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Hybride Systeme

Wolfgang Kleier

Universitat Bayreuth

27. Juni 2008

Einleitung Beispiele Unstetige dynamische Systeme Losungskonzepte Weitere Beispiele Literatur

Inhalt

1 EinleitungWas ist ein hybrides System?Hybrider Automat

2 BeispieleWasserstandskontrollsystemHupfender BallGehemmtes Pendel

3 Unstetige dynamische SystemeFallunterscheidung

4 LosungskonzepteEinfachste konvexe DefinitionMethode der aquivalenten SteuerungDrittes Konzept

5 Weitere Beispiele1. Beispiel2. Beispiel

6 Literatur


Was ist ein hybrides System?

Mathematische Beschreibung:

Sei X =n⋃

i=1Xi mit Xi ∩ Xj = Ø fur i 6= j

Es gelte x = fi (x) fur x ∈ Xi

Andere Moglichkeit:

x(t) = f (x(t), i(t))i(t) = ν(x(t), i(t−))

Dabei ist x(t) ∈ Rn, i(t) ∈ I ⊂ Z


Hybrider Automat

Hybrider Automat

Hybrider Automat = (L,X , Inv ,Act,E )

L: endliche Menge der diskreten Zustande

X ⊂ Rn: kontinuierlicher Zustandsraum

Inv : L→ P(X ), l 7→ Inv(l) ⊂ X Ortsinvariante von l

Act ordnet jedem l ∈ L eine Differenzialgleichung zu:

x = fl(x)

E : endliche Menge von Kanten (Ubergangen, Ereignissen)

Kante E = (l , l ′,Guardll ′ , Jumpll ′)

l , l ′ ∈ L

Guardll ′ ⊂ X Sprungbedingung

Jumpll ′ ⊂ X × X : Sprung


Hybrider Automat


Hybrider Automat

Trajektorien des hybriden Automaten

Definition: stetige Trajektorie (l , δ, x)

l ∈ L

δ > 0 Dauer der Trajektorie

x : [0, δ]→ X stetig differenzierbar mit

x(t) ∈ Inv(l)∀t ∈]0, δ[x(t) = fl(x(t))∀t ∈]0, δ[

Definition:Trajektorie des Automaten

Folge von stetigen Trajektorien, sodass zu den Ereigniszeitpunkten

t0 = δ0, tj+1 = tj + δj+1, j = 0, 1, 2, ...

gilt:

xj(tj) ∈ Guardll ′

(xj(tj), xj+1(tj)) ∈ Jumpll ′


Beispiele


Wasserstandskontrollsystem


Beschreibung:

y(t) ∈ R+: Wasserstand

x(t) ∈ R+: Zeit seit dem letzten Steuersignal

Wasser steigt um 1 Mengeneinh. pro Zeiteinh., wenn Pumpelauft.

Wasser fallt um 2 Mengeneinh. pro Zeiteinh., wenn Pumpesteht.

Bei Wasserstand y(t) = 10 schaltet Pumpe nach 2 Sek. ab.

Bei Wasserstand y(t) = 5 schaltet Pumpe nach 2 Sek. an.




Hupfender Ball

Hupfender Ball

Beschreibung:

Ball hupft auf einem Tisch

Sprunge ohne Zeitverlust

Stoßzahl e ∈]0, 1[

keine diskreten Variablen

eine kontinuierliche Variable q(Abstand zwischen Tisch und Ball)


Hupfender Ball

Mathematische Darstellung:

q(t) = −1, falls q(t) > 0q(t+) = −eq(t−), falls q(t) = 0 ∧ q(t) ≤ 0

Kompatibilitatsbedingungen:

Sei q(τ) = 0, q(τ) ≤ 0:

limt↗τ

q(t) = q(τ) = q(τ+) = limt↘τ

q(t)

limt↗τ

q(t) = q(τ−)

q(τ+) = limt↘τ

q(t)


Hupfender Ball

Mit Anfangsbedingungen: q(0+) = 0 und q(0+) = 1 findenSprunge zu den Zeiten 2, 2 + 2e, 2 + 2e + 2e2, ... statt.

⇒ Haufungspunkt bei 21−e

Menge der Ereigniszeitpunkte: ετ = {2k−1∑j=0

e j |k ∈ N} ∪ { 21−e }

Dennoch gibt es eine Losung:

q(t) =

−12

(t −

k−1∑j=0

e j

)(t −

k∑j=0

e j

), fur

t ∈

]2

k−1∑j=0

e j , 2k∑

j=0e j

[,

k = 0, 1, 2, ...0, fur

t > 21−e


Hupfender Ball

Graphische Darstellung der Losung:


Gehemmtes Pendel

Gehemmtes Pendel

Beschreibung:

Pendellange l

Stift verkurzt Pendellangeauf ls

Auslenkungswinkel φ

Bahngeschwindigkeit v amEnde des Pendels

kontinuierlicheZustandsraumvariable:x = (φ, v)

Zwei Zustande:gehemmt: φ ≤ φStift

ungehemmt: φ > φStift


Gehemmtes Pendel

Im ungehemmten Fall, φ ≤ φStift , gilt:

φ =1

lv

v = −g sinφ

Im gehemmten Fall, φ > φStift , gilt:

φ =1

lsv

v = −g sinφ

x = (φ, v) verhalt sich auch zu den Ereigniszeitpunkten stetig, dierechte Seite dagegen unstetig.


Gehemmtes Pendel

Bei y = (φ, φ) als Zustandsraumvariable wurde die zweiteZustandsraumvariable zu den Ereigniszeitpunkten von φ zu l

lsφ

springen.

⇒ Komplexitat der Beschreibung ist also abhangig von der Wahlder Zustandsraumvariablen!


Unstetige dynamische Systeme


Unstetige dynamische Systeme

Sei φ eine glatte reellwertige Funktion auf dem Rn.

S− := {x ∈ Rn|φ(x) < 0}

S0 := {x ∈ Rn|φ(x) = 0}

S+ := {x ∈ Rn|φ(x) > 0}

Sei f+ ∈ C(S+ ∪ S0),f− ∈ C(S− ∪ S0) und f ∈ C(S+ ∪ S−) mit

f (x) :=

{f+(x), falls x ∈ S+

f−(x), falls x ∈ S−

Betrachte die Differentialgleichung

x(t) = f (x(t))


x(t) = f (x(t))

Weil x im Allgemeinen auf S0 nicht differenzierbar ist, ersetze dieDifferentialgleichung durch die Integralgleichung

x(t) = x(0) +

∫ t

0f (x(s))ds

(Caratheodory-Gleichung)


Fallunterscheidung

Sei x0 ∈ S0. Dann gibt es f−(x0), f+(x0).

Fallunterscheidung

1 Beide Vektoren zeigen nach S+

⇒ Caratheodory-Interpretation ist ausreichend.

2 Beide Vektoren zeigen nach S−⇒ analog zu (1).

3 f+(x0) zeigt nach S+, f−(x0) zeigt nach S−4 f+(x0) zeigt nach S−, f−(x0) zeigt nach S+

⇒ Caratheodory-Interpretation liefert kein brauchbaresLosungskonzept


Losungskonzepte


Einfachste konvexe Definition

Einfachste konvexe Definition

Sei Situation (4) gegeben.

Fur alle x ∈ S0 sei Tx(S0) der Tangentialraum an S0 in x .

⇒ ∃α ∈]0, 1[:

αf−(x0) + (1− α)f+(x0) = f0(x0) ∈ Tx0(S0)

Dadurch kann eine Funktion f0 in einer Umgebung U(x0) von (x0)definiert werden, sodass ∀x ∈ U(x0) : f0(x) ∈ Tx(S0).

Die Differentialgleichung x(t) = f0(x) definiert eine Bewegung aufS0. (’Rutschbewegung’)


Methode der aquivalenten Steuerung

Methode der aquivalenten Steuerung

Annahme: f = f (x , u(x))

Dabei sei u(x) eine mengenwertige Funktion, die fur x ∈ S+ ∪ S−einen reellen Funktionswert annimmt und fur x ∈ S0 einabgeschlossenes Intervall U(x) als Werte annimmt.

In (4): Fur x ∈ S0 suche uaq ∈ U(x) mit f (x , uaq(x)) ∈ Tx(S0).

Die Differentialgleichung x(t) = f (x , uaq(x)) beschreibt auch eineRutschbewegung.


Drittes Konzept

Drittes Losungskonzept

Annahme: f = f (x , u(x))

Dabei sei wieder u(x) ∈ U(x), wobei U(x) fur x ∈ S+ ∪ S− eineinzelner Punkt und fur x ∈ S0 ein abgeschlossenes Intervall sei.

Fur gegebenes x0 sei F (x0) die kleinste konvexe Menge die{f (x0, u)|u ∈ U(x0)} enthalt.

Betrachte die Differentialinklusion x(t) ∈ F (x(t)) ∩ Tx(S0).

⇒ Losung nicht eindeutig⇒ Losungen konnen S0 nicht verlassen


Drittes Konzept

Falls f (x , u) affin von u abhangt und U(x0) = [u+, u−] mitu+ = lim

x → x0x ∈ S+

u(x) und u− = limx → x0x ∈ S−

u(x), dann sind alle drei

Losungskonzepte gleich.


Weitere Beispiele


1. Beispiel

1. Beispiel

Sei θ ∈]0, π[ und ein System gegeben durch:

x1(t) = cos(θu(t))

x2(t) = − sin(θu(t))

u(t) = sgn x2(t)

Fur x2 < 0 und x2 > 0 ist die rechte Seite konstant.Fur x2 = 0 ist ein Rutschzustand moglich.

Wende darauf die Losungskonzepte an.


1. Beispiel

Die Methode der aquivalenten Steuerung bestimmt u so, dass

x2 = − sin(θu) = 0

Daher ist u = 0 und damit der Rutschzustand gegeben durch

x1 = 1


1. Beispiel

Die einfachste konvexe Definition liefert eine Konvexkombination

der Vektoren

(cos θ− sin θ

),

(cos θsin θ

), sodass die zweite

Komponente verschwindet.Diese Kombination ist(

cos θ0

)=

1

2

(cos θ− sin θ

)+

1

2

(cos θsin θ

)Der Rutschzustand ist dann gegeben durch

x1 = cos θ


1. Beispiel

Das dritte Losungskonzept bestimmt zu jedem x0 = (x1, 0) diekleinste konvexe Menge, die

{f (x0, u)|u ∈ U(x)} =

{(cos(θu)− sin(θu)

)|u ∈ [−1, 1]

}enthalt, d.h.

F (x0) =

{(x1, x2)

∣∣∣∣ x1 ∈ [cos θ, 1]x2 ∈ [− sin θ, sin θ]

}

⇒ F (x0) ∩ {(x1, x2)|x2 = 0} = {(x1, x2)|x1 ∈ [cos θ, 1], x2 = 0}

Zu losen ist also die Differentialinklusion

x1 ∈ [cos θ, 1]


1. Beispiel

Approximation des gegebenen Systems durch ein glattes System:

Approximiere sgn x2 durch tanh(

x2ε

)mit ε > 0 klein.

Dies fuhrt zu dem glatten System:

x1 = cos(θ tanh(

x2ε

)),

x2 = − sin(θ tanh(

x2ε

)) Abbildung: ε = 0.1

Losung des Systems ist:

x1(t) = t + c, x2(t) = 0

Diese Losung erfullt die Bedingung des Rutschzustands nach derMethode der aquivalenten Steuerung.


1. Beispiel

Approximation des gegebenen Systems durch ein anderes glattesSystem:

x1 = cos(θ)

x2 = − tanh(x2

ε

)sin(θ)

Losung des Systems ist:

x1(t) = t cos θ + c

x2(t) = 0

Diese Losung erfullt die Bedingung des Rutschzustands nach dereinfachsten konvexen Definition.


1. Beispiel

Die Losung nach der einfachsten konvexen Definition kann manmit der Methode der aquivalenten Steuerung erhalten, wenn mandas System ersetzt durch:

x1 = cos θ

x2 = −u sin θ

u = sgn x2


2. Beispiel

2. Beispiel

Sei ein System gegeben durch:

x1 = −x1(t) + x2(t)− u(t)

x2 = 2x2(t)(u2(t)− u(t)− 1)

u = sgn x1(t)

In diesem System ist furx1 = 0

−1 ≤ x2 ≤ 1

ein Rutschzustand moglich. Wende darauf die Losungskonzepte an.


2. Beispiel

Die einfachste konvexe Definition liefert fur alle (x1, x2) mitx1 = 0,−1 ≤ x2 ≤ 1 eine Konvexkombination der Vektoren(−x1 + x2 − 1−2x2

),

(−x1 + x2 + 1

2x2

), sodass die erste

Komponente verschwindet.Diese Kombination ist

(0−2x2

2

)=

(x2 + 1)

2

(−x1 + x2 − 1−2x2

2

)−(x2 − 2)

2

(−x1 + x2 + 1

2x22

)Der Rutschzustand ist dann gegeben durch

x2 = −2x22


2. Beispiel

Die Methode der aquivalenten Steuerung bestimmt u so, dass

x1 = −x1 + x2 − u = 0

Daher ist u = x2 und damit der Rutschzustand gegeben durch

x2 = 2x2(x22 − x2 − 1)


2. Beispiel

Das dritte Losungskonzept bestimmt zu jedem x0 = (0, x2) diekleinste konvexe Menge, die {f (x0, u)|u ∈ U(x)} ={(

−x1(t) + x2(t)− u(t)2x2(t)(u2(t)− u(t)− 1)

)|u ∈ [−1, 1]

}enthalt, d.h.

F (x0) =

{(x1, x2)

∣∣∣∣ x1 ∈ [x2 − 1, x2 + 1]x2 ∈ [2x2(−5

4 ), 2x2]

}

⇒ F (x0)∩{(x1, x2)|x1 = 0} = {(x1, x2)|x1 = 0, x2 ∈ [2x2(−5

4), 2x2]}

Zu losen ist also die Differentialinklusion

x2 ∈ [2x2(−5

4), 2x2]


Literatur:

A.F. Filippov, Differential Equations with Discontinuous RighthandSides, (Mathematics and Its Applications; 18), Kluwer, Dordrecht1988

A. van der Schaft, H. Schumacher, An Introduction to HybridDynamical Systems, (Lecture Notes in Control and InformationSciences ; 251), Springer, London 2000

M. Johansson, Piecewise Linear Control Systems, (Lecture Notesin Control and Information Sciences ; 284), Springer, Berlin 2003

I.P. Natanson, Theorie der Funktionen einer reellen Veranderlichen,Harri Deutsch, Thun 1977


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