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Hybrides Vcrarbei tcn empir ischer F u n k t i o n e n in dcr Mechanik

Von Heinz K~ihler, Wolfenbfittel

Reale mecha~ische Systeme sind bi~u]ig so kompliziert, daft eine ]ormale Diskussion ihrer Eigenschalten zu umstiindlich ist oder zu uniibersichtlichen Ergebni.~sen ]~hrt. I n vielen Fdlle~ vermag man aber experi- mentelles Untersuchen mit statistischen Ver]ahren zu kombinieren und damit ein]ache Modellvorstellungen zu scha]]en. Es werden l'robleme einer Meflwerter/assung in der ,~lechanik betrachtet. Dabei ergeben sich Vorteile ]fir das hybride Verarbeiten vote Meflwerten mit elektronischen Datenverarbeitungsanlagen.

1. Einleitung Aus der zunehmenden Bedeutung analoger und digitalor

Anlagen ffir die Datenverarbeitung ist der Begriff ,,hybride Rechentechnik" entstanden. Bekanntlich sind Analog- und Digitalrechner Automaten mit grunds/itzlich voneinander verschiedenen physikalischen Eigenschaften. Der Informa- tionsflul~ in Analogiemaschinen besteht im wesentlichen aus zeitabhgngigen elektrischen Spanmmgen, w/i.hrend Digitalmaschinen die D~ten als diskrcte ~rerte verarbeiten. Aus diesem Grund sin(t Digitalrechner noch fiberwiegend in der kommerziellon Datenverarbeitung eingesetzt, w~ih- rend Analogiema~chinen dagegen haupts/ichlich zur Unter- suchung von technisch-wissenschaftlichen :Problemcn diencn. Die hybride Rechentechnik nutzt gleichzeitig die Vorteile analoger und digitaler Reehner. Diese sind dann fiber Datenkanglo miteinander gekoppelt und werden Hybrid-l~echner genannt.

Die Ausgangssignale fast aller Mef~wertaufnehmer bilden analoge Informationen. Solehe Melawertaufnehmor lassen sieh normalerwoise direkt ohne zusgtzliche Zwischengliedor an Analogiemasehinen anschlielaen. Viele Verfahren zum Auswerten yon Mel3gr6Ben fiberfordern aber die F/thigkeiten eines Analogreehners. Durch das Sehaffen eines Sonder- forschungsbereichs in der Fachrichtung Informatik, ns ,,digitales Verarbeiten kontinuierlicher Signale", berfick- sichtigt marx aueh das hybride Verarbeiten empirischer Funktionen in der Mechanik. Der Ausdruck ,,hybrid" sell darauf hinweisen, dal~ kontinuierliche Signale aueh analog zu verarbeiten sind. In einigen F/illen ist dies sogar gfin- stiger als das rein digitale Verfahren.

Jedes reale physikalische Gebilde unterliegt irreversiblen Prozessen. Diese Prozesse sind nichtumkehrbare Zustands- ~nderungen; sie k6nnen auch als das Mel~ergebnis eigener Untersuchungen des Gebildes gedeutet werden, d. h. jedes physikalische System reagiert auf Umwelteinflfisse. Prin- zipiell ist darum jedes System ein MeSwertaufnehmer. Der MeBtechniker hat nun die Aufgabe, physikalische Effekte zum Erfassen eines Vorgangs so auszuws dab ge- wfinschte Informationen m6gliehst unabhiingig yon anderen Einflfissen sicher gewonnen werden. Die tr/ige Masse ist ein Kri ter ium f/ir besehleunigte Systeme und reagiert a.uf die Koordinatcn des Beschleunigungsvektors.

]_)as theoretische Untersuehen meehanischer Gebilde sell Aussagen darfiber liefern, ob sich das System unter bekann- ten Bedingungen so verhglt, dab bestimmte Forderungen erffillt werden, ob z. B. einc Brficke vorgegebene statische und dynamische Beanspruchungen aushglt, ob die Eigen- schwingungen eines Fahrzeugs ausreichend ged/impft sind und welchcn Wertebereich der Ortsvektor eines Raum- fahrzeugs -- in Abhgngigkeit yon weitcren Parametern -- ffir eine gezielte Landung nicht fiberschreit(m darf.

Viele reale mechanische Systeme k6nnen formal nicht untersucht werden, well ihre Struktur zu kompliziert ist (z. B. Schalen von beliebiger Form) oder well der Einflu2 gul~erer St6rungen sowohl im Frequenz- als attch im Zeit-

bereieh unbekannt ist. Dies gilt z. 13. fiir das Verlegen von Eisenbahnschienen in bisher nicht erschlossenen Gebieten. Die Struktur der St6rungen vermag man erst dann genau zu ermitteln, wenn die Schienen verlegt sind trod Messungen mit Schienenfahrzeugen ausgewcrtet werden.

:Die zuletzt genannten Beispiele sind bereits Forschungs- gebiet. Experimentclle Untersuchungen dienen auch hgufig zur Kontrolle bercits gesicherter Theorien. Eine berochnete und gefertigte Neukonstruktion mu[~ normalerweise ira Versuch gepriift werden, well man bei theoretischen Erwg- gungen leicht Voraussetzungen fibersieht, die in der Praxis eine wichtige Relic spielen.

Ein weiteres Ziel experimenteller Untersuchungen be- steht darin, neue Erkenntnisse m6glichst rasch zu gewinnen. Wie bereits erw/ihnt wurde, lgi~t sieh jedes mecha,fische Gebilde als Mel~wertaufnehmer denton. Damit miiBte die Beobaehtung des Langzeitverhaltens einer Konstruktion dazu genfigen, um festzustellen, ob gewfinschte Fordorun- gen befriedigt wcrden. Im Alltagsleben fehlt jedoch fast immer die Zeit, zu warten, ob eine Konstruktion gestellte Bedingungen zu erffillen vermag. Besonders deutlich zeigen (ties (tie :Raumfahrt-l)rojekto.

Die rasche Zunahme der elektronischen Mel3technik hat zwar viele bemerkenswerte M6glichkeiten zum Erfassen empiriseher Funktionen gesehaffen; die damit verknfipfte Datenflut bringt aber neue Probleme. Genfigte vor 20 Jah- ren hgufig das Betrachten eines Papierschriebs, auch als Kontrollo theoretischer Rechnungen, so liefert das Unter- suehen komplizierter Gebilde so viol Information, dab man sich gezwungen sieht, elektronische Datenverarbeitungs- anlagen zur Auswertung einzusetzen. Die gegenws Entwicklung 1/il~t crwarten, dal~ das programmgesteuerte Auswerten empirischer Funktionen eine dot gr6f~tcn An- wcndungen dcr Rechnertechnik wird. In etwa zchn Jahren anfallende Me2werte benStigen zu ihrer FCeduktion sieher- lich einen Reehcnaufwand, der die Leistungsfghigkeit aller bis heute installierten elektronischen Datenverarbeitungs- anlagen fiberstcigt.

2. Erhssen experimenteller Funktionen ]-)as Messen oder das ]3estimmen yon Versuchsergeb-

nissen bedeutct das Erfassen spezieller Eigenschaften yon L6sungsfunktionen in der ]4egel unbekannter mathema- tischer Operatoren, oder allgemein gesprochen

%) x? v, . . . . . . . . . . . . . . . (1).

Darin bedeuten mit i = 1, 2, ..., m und k = 1, 2, ..., n die Gr6Ben xg die L6sungsvektoren, yr die St6rvektoren und 0,~ die Operatoren. AuBerdem gelten die hoehgestellten Klammerausdrfieke (z) und (1) mit z --4= 1 und l # 1 symbol- haft ffir niehtlineare Systeine.

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Allgemeine Reehenvorsehr i f tcn fehlen, dureh empirisehes ]3est immcn der LSsungsvektoren x~ und dcr S t6rvektoren y~ die Opera toren O~ expl iz i t zu berechncn. Werden dyna- mische Sys teme megteehnisch untersucht , so erhfilt man als Ergebnisse h/iufig Funkt ionen , die Ms regelloser (sto- chastischer) Vorgang zu deu ten sind. Is t das dynamische Sys tcm linear, so k6nnen mi t sog. stoeha.stischen Verfahrcn einige al lgemeine Eigenschaf ten de, r Opera toren Oik dcrar t berechnct werden, dal] der Forschungsingcnieur daraus Sehliisse fiir M/ingel und m6gliehe .~,n(terungen eine, r ]Zon- s t rukt ion zu ziehcn vermag. Dic s tochast ischcn Verfahren liefern also Vorausse tzungen fiir Arbei t shypothesen.

N i t ] c 0 kann Gl. (1) zu ciner a l lgemeinen inhomo- genen, n icht l incarcn Different ia lgleichung zweitcr Ordnung mi t n ieh tkons tan ten Kocff iz ientcn a~(t) vere infacht wer- den I t ] :

• a i ( t ) f i ( x , ~ , '2) =- y ( t ) . . . . . . . . . . ( 2 ) . i=1

Dabei bedeuten x (z. B. die Ortskoordinate) und t (z. B. die Zeit) zwei unabhiingige Vertinderliche, 1)unkte tiber x Able i tungen nach t, ai(t) und y ( t ) Funk t ionen nur yon t und Q(x, 2, "2) Funk t ioncn yon x, 2 und '2.

Technisch bedeutsame Different ia lgle ichungcn erhiilt man, wenn dic P roduk te x&, x`2 und ~55 der gemischtcn Glieder null werden. Dann gilt z. B.

e l ( t ) fl(X) q- a2(t) f2(x) q- as( t ) fa(x) = y ( t )

�9 . . ( 3 ) .

I)iese Gleichung ist cine al lgcmeine Dars te lhmg vieler seit l angem bekannte r Different ialgleiehungen, z. B. der Legen- dreschen und der Ricca t i s chen Different ialgleichungen.

Rheol ineare Schwinger werdcn durch Differentialglei- chungen v o m al lgemeinen H i l l s c h e n Typ beschriebcn. Diese Gleichungen erhgl t man, wenn

az(t) ft(55) = m'2 . . . . . . . . . . . . . ( 4 ) ,

a2(t) f2(e) = 0(~) . . . . . . . . . . . . . (5),

aa(t) f3(x) - c(t) x . . . . . . . . . . . . (6)

gesetzt wird. Dabei bezeiehnen x die Aus lenkung des Systems, m die Masse, o dic Dgmpfung u n d c die Feder - steifigkeit . Aus G1. (3) bis (6) cn t s teh t

m "2 + o(5c) -b c(t) x = y ( t ) . . . . . . . . . (7).

Eine wei tere Spezialisierung yon Gl. (7) ist die M a t h i e u s c h e I)i f ferent ia lgleichung [2]

'2 -{- [). -[- /~ cos (w t)] x = 0 . . . . . . . . (8).

Sie beschreibt einen Schwinger mi t einer Federkennl inie , die sich mi t der Zeit gndert .

I n GI. (8) bedeuten 2 eine kons tan te Feders te i f igkei t und/~ die Ampl i t ude der mi t der Kreis f requenz w fiberlagerten Stcif igkei tsschwingung. Prakt i sche Beispiele sind Pendel m i t orschi i t ter ter Aufhgngung oder in der Nachr ichten- technik zur Frequenzana lyse benu tz te Suchtonfi l ter . Ebenso k6nnten Beziehungen nach Gl. (7) wicht ig werden, wenn man an die. Kons t ruk t ion yon Laufwerken fiir Fahrzeuge denkt , die sich dem m o m e n t a n e n Le i s tungsspek t rum der StSrfunkt ion y so anpassen, daf3 die erzwungezmn Schwin- gungen mSglichst klein bleibcn. Die Praxis wird hicr altar ve rmut l i ch enge Grenzen setzen, well des Steuern yon c(t) eine zusgtzliche Leis tung erfordert . Dies ist anschaul ich mi t Gl. (8) zu vers tehen. Die M a t h i e u s c h e Differential- gleichung ha t fiir verschiedcne d i s k r e ~ co-Werte Instabi l i - tg ten . Schwingungen werden aber nur dann angcfacht , wenn Energie zugeffihrt wird.

Reduz ie r t man GI. (7) auf den Fal l c ( t ) = c = konst , so folgt

m 2 + O(i') + c x = y ( t ) . . . . . . . . . . (9).

Die Kennl in ie des gesehwindigkeitsabh/i , lgigen Dgtmpfers l au te t also

o(2) =-y(t) -- m55- - c x . . . . . . . . . (10).

Soil die Kennl inie des Diimpfers mi t einem wirkl iehen Modell empir iseh bes t immt werden, so muB man allo Gr6Ben auf der reehten Seito erfassen, also die St6rfunk- t ion y, die Besehleunigung 55 und den Weg x.

Der meBtechnische Aufwand erreieht bei einfaehen Ge- bihten, dcren S t ruk tu r bekannt ist., sehon reeht erhebliehe AusmaBe und l/iBt sieh bei Schwingern mi t mehreren Fre ihei tsgraden, wie z. B. Fahrzeugen, kaum iibersehauen. :Eine MeBvorschrif t naeh G1. (1 0) ha t allerdings den Vorteil , dab keine Vorschri f ten zu y ( t ) bes tehen; die MeBgr6gen miissen nur exak t genug erfaBt werden.

Falls die S t ruk tu r eines dynamischen Gebildes n ieht f ibersehaubar ist, wird das Sys tem a l s sog. sehwarzer Kas ten be t raehte t , dem eine bes t immte Anzahl yon Ein- gangsgr61,~en y~ und Ausgangsgr6flen xk , ngmlieh Vektoren, zugeordnet ist, Bi ld 1. Dami t erh/ilt man eine ansehauliehe Dars te l lung von G1. (1).

~ I 01:k, "~e" .~k,

Biid 1. Sehemat isehe Dars te l lung yon GI. (1) mit te ls eines , ,schwarzen Kast.ens".

y~ ]']ingangsgr6flen. xk Ausgang~gr6Ben. O~ Opcratoren

Die Vektoren x~ a n d y, werden exper imentel l bes t immt . Stochast ische Verfahren er lauben es, die Eigenschaf ten der Opera toren O,~ so zu berechnen, dab der K o n s t n l k t e u r z . B . eines Fahrzeugs Hinweise dari iber erh/ilt, ob eine Feder , ein Dgmpfer oder ein anderes Kons t ruk t ionse lement zu gndern ist. D e m Ingenieur miissen bes t immte Eigen- schaften seiner Kons t ruk t ion aber bekannt sein. Ob mi t einer _Anderung ein gewfinschter Erfolg eintr i t t , muB erncut exper imentc l l un te r such t werden.

Die dem Verfasser bisher bckann t gewordenen stocha- st ischen Verfahren [3 bis 5] ]assen keinen exakten SchluB zu, ob und in welchem Umfange ein System Nicht l ineari- t / i ten hat . Hinweise verm6gen lediglich Gruppen gleich- ar t iger exper imente l le r Un te r suchungen zu liefern. Die Four ieranalyse eincs Gebildes en tsprcchend GI. (7) t / iuscht un te r bes t immten Bedingungen ein lineares Sys tem mit vielen Fre ihe i t sgraden vor. Eine sich gndernde Feder- s teif igkeit c(t) e rzeugt m i tun t c r verschiedene diskrete Eigenwer te .

Die mi t Gl. (10) erfaBte Abhgngigkei t licfert bereits einige Hinweise, welche mechanischen Gr613en be im expe- r imente l len Unle r suchen des Sys tems zu erfassen sind: die K r a f t y(t). die Massem, die Fede rkons t an toc , die Be- schleunigung 2 und tier Weg x.

In der Mel3technik sind fast alle bekannten physika- lischen Effek te genu tz t worden [6], die vor al lem mi t clck- t ronischen Vcrfahren gut zu bes t immen sind. wie Wider- s tand, Kapazi t / i t , I nduk t iv i tg t , c lekt rodynamisches Prin- zip, piezoelektr ischer Effekt , photoelektr ischer Effekt , Photographic , Lascrstrahlen. I m wesentl ichen werden geo- met r i sche Gr6Ben und bekannte Able i tungen nach der Zcit t erfaBt: Lgngen x~, daraus hergele i tc t die Fliichcn x~ ~ und die Rauminha l t e xi ~, ferner Winkel v~l, auBerdem die mecha- nisehen Gr61]en 2~ und ~ , wei terhin zr und t,~. Impulse ,

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Kr/ifte und Memento sind hergeleitete GrSl3en, die durch Einffihren der Masse m oder des TrKgheitstcnsors O~ be- rechnet werden.

Wie bereits in der Einleitung gesagt wurde, mul3 ein mechanischer Me2wertaufnehmer so konstruiert sein, daI3 man ein meehanisch-elektrisches System mit einer einzigen, ganz speziellen Eigenschaft erh/ilt. Die Antwort dieses Systems auf Umwelteinfliisse sell nur eine einzige Infor- mation liefern, unkorreliert zu anderen GrSfJen. ]n der mechanischen Me/3t, eehnik stehon vor allem folgende Geber- typen, die sich den genanntcn Fordcrungen ann~hern, zur u [7] :

1. Dehnungsmei3streifcn (Messen einer Widerstands~nde- rung): Mit diesen Streifen wcrden vor allem Werkstoff- dehnungen und damit verknfipfte GrSf$en bestimmt, wie Krs Torsions- und Biegemomente, Driicke, Be- schleunigungen. Die Entwicklung der DehnungsmeB- streifen hat einen hohen Stand crreicht; die ttersteller liefcrn Streifen mit besonderen geometrischen Abmessun- gen, auch mit angepaBten Temperaturkoeffizienten und spezifiziertcm Langzeitverhalten.

2. Indukt ive Aufnehmer fOr Wcge, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen: Die vielen Gcbertypen dieser Art unterscheiden sich ve t allem in der Empfindlichkeit, der Grenzfrequenz, der Linearitht, der AuflSsung, dem Tem- peraturverhaltcn, den ~ul3eren Abmessungen, dem Go: wicht und damit der Belastung des Meflobjekts.

Weitere Aufnehmer arbeiten als

3. Hallgeneratoren, Feldplatten (Wegmessungen),

4. kapazitive Anfnehmer (Wegmessungen),

5. piezoclektrisehe Aufnehmer (Krs

6. photoelektrische Aufnehmer, optoelektronische Auf- nehmer (Feststellen von Lichtschranken und Lichtinten- sits und damit alle darauf zuriickzufiihrenden mecha- nischen Gr613en).

Bei seiner experimentellen Arbeit kann der Ingenieur houte voraussetzen, daf~ ein me[3t~,chnisches Untersuchen seiner Konstruktion in jedem Fall mSglich ist u n d e r einen gewiinschten Meflwertaufnehmer vielleieht yon einschl/igi- gen Firmen bekommen kann. Oer Ingenieur sollte aber mit den physikalisehen Effekten, die der Messung zugrunde liegen, soweit ver traut sein, dad die gewolmonen Informa- tionen zuverl~tssig sind. Jeder Me2wertaufnehmer arbeitet eben nur unter best immten Umweltbedingungen sicher.

3. B e i s p i e l e tfir h y b r i d e s V e r a r b e i t e n

Gegenw/~rtig sind die Ausgangssignale yon Me2wert- aufnehmern odor Me~ketten noch iiberwiegend Analog- funktionen. Digitale Aufnehmcr werden zwar bereits in gr6f~erem Umfang entwiekelt, doeh erschweren vor allem noch die Kosten eine weite Verbreitung.

Eine experimentelle Interpretat ion yon G1. (10) wird man zwecl~n/il~ig mit einem Analogreclmer ausfiihren, entweder direkt gekoppelt mit dem Versuchsmodell im sog. on-line- Betrieb oder unter Verwendnng yon analogen Zwischen- speichern ira off-line-Betrieb. Erst worm die Untersuehung mit einer groI3en Anzahl an Variationen der Masse m odor auch der Federsteifigkeit c vorzunehmen ist, wird man allm/ihlich zu hybriden Verfahrcn fibergehen.

Dan hybride Verarbeiten yon Mel]grSf3en -- besonders wenn sehr viele zu untersuchende Vorgtinge gleichzeitig ablaufen -- wird beim Einsatz stoehastischer Verfahren allms zwingend, well ihre Anwendungen die F/ihig- keiten eines Analogrechners rasch fibersteigen.

In einem einfachen hybriden Datcnverarbeitungssystem wird der Informationsflul3 in der Regel so sein, daI~ die

�9 Analogsignalc zuns digital gewandelt werden. Ein :Digitalrechner reduziert die Daten und gibt sic auschlieftcnd entweder als oinze]ne Werim odor als Analogftmktionen wieder aus.

I m Rechenzentrum der Technischen Universit/it in Braunschweig warden gegcnw/irtig mit praktischen Mcssun- gcn MSglichkeiten erprobt, kon~inuierliche Signale mit eineln Hybrid-Magnetbandspeichcr im off-line-Betricb mit den Programmiersprachen Algol (,,algorithmic language") und Fortran (,,formula translation") zu interpretieren [8; 9]: Der Hybrid-Magnetbandspeicher ist einschliefllieh seiner gesamten Elektronik (also der Hardware) im Inst i tut for Rechentechnik tier Technischen Universit/it Braunschweig entwickelt worden. Ebenso wurden bereits umfangreiche Programmierungs- und Bedienungseinrichtungen (Soft- ware) erstellt. L'berlegungen zu einer praktisch brauch- baren Konstruktion fiir das digitale Verarbeiten konti- nuierlicher Signale, die au2er t taus anfallen, bildeten den Ausgangspunkt.

Stochastische Verfahren finder matt im Schrift tum an vielen Stellen [3; 4; 9; 10]. Die bekanntesten Verfahrcn worden ira fo]genden unter 1. bis 6. kurz angeffihrt.

1. Die V e r t e i l u n g s d i c h t e f u n k t i o n (Amplitudenspek- trum) ist durch

w = w ( x ) . . . . . . . . . . . . . . . (11)

mit x als der unabh/ingigen Vers (z. B. Meg- wart) gegeben. Die bekannteste, nach C . . F . G a u f l be- nannte Dichtefunktion dcr Verteilung lautet

w ( x ) = w e e - h2x ' . . . . . . . . . . . . (12)

mit h als einem Parameter und w0 als dem Maximalwert yon w (x). Der Maximalwert dieser Funktion betragt

1 w0 - ____V z = . . . . . . . . . . . . . . (13),

wenn man mit dcr Bcziehung

1 h a . . . . . . . . . . . . . . . . (14)

2 (r 2

die sog. Streuung, bzw. den Effektivwert a der Wechsel- spannungskomponente cinfiihrt. Aus der Dichtefunktion w(x) wird die Verteilungsfunktion

Oo

W ( x ) = S w ( x ) dx = 1 . . . . . . . . . . (15) - - 0 0

berechnet. Aus der Verteilungsfunktion kana man die Momeute einer Verteilung ermitteln.

2. FOr den l i n e a r e n M i t t e l w e r t .~ gilt

1 n (16) = - L x , . . . . . . . . . . . . . .

v = l

,nit x~ (v ~ 1 bis n) als den Einzehverten.

3. Der q u a d r a t i s e h c M i t t e l w e r t ergibt sich gem/il~

_ _ 1 n .~2 = ~ , y - - X2 . . . . . . . . . . . . . ( 1 7 ) .

' = 1 v

4. Die A u t o k o r r e l a t i o n i s tdu rch

1 T R x z ( 3 ) = lira --T- f x ( t ) x ( t - - v) a t . . . . (18)

T-~oo 0

gegeben (mit R z z ( 3 ) als Autokorrelatiot~sfunktion, v als Zeitverschicbung und T als Intcgrationszeit). Daraus wird durch Fouriertransformation das Frequenzspek- t rum der Energiedichte berechnet. Es gilt :

OO

R z z ( 3 ) = S ~ ( / ) c o s (2 ~ / 3 ) d / . . . . . . (tO), 0

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G x x ( ] ) = 2 ~ Rxx(V) eos (2 ~ ] T) dT . . . . ( 2 0 ) - . o o

mit ] als der Frequenz und Gxx(/) als dem (mel~baren) Energiedichtespektrum.

5. Bei zwei Funkt ionen x(t) und y(t) wonder man die K r e u z k o r r e l a t i o n a.n. Hierbei ist

1 T Rxy(v) = l i r a --~ ~ x(t) y(t -- T) dt . . . . (21),

T -~* o o o

Gxy(/) = 2 ~ Rxy(~) eos (2 n / r) d r . . . . . ( 2 2 )

mit Rxy(T) als Kreuzkorrelationsfunktion und Gxy (])als dem Energiespektrum der Kreuzleistungsdichte. Die Autokorrelation vermag periodische Anteile in der Funk- tion x(t) festzustellen. Die Kreuzkorrelation bestimmt die J~hnlichkeiten von zwei Funk t i onenx und y; im Schrift tum sind etliche Beispiele fiir Anwendungen nach- zulesen [3; 5]. Eines der bemerkenswertesten Beispiele ist das Bestimmen der Sprungantwort oder der LSsungs- funktionen eines Systems fOx Anfangswerte. :Das System wird in diesem Fail mit mSglichst breitbandigem weii~em Nauschen y (t) erregt. Dabei spielt es keine Nolle, ob die Konstruktion im Laboratorium odor im wirklichen Betrieb gepriift wird. Aus dem Rauschen y und der gemessenen L6sungsfunktion x liefert die Kreuzkorrela- tion die Sprungantwort. Aus der Sprungantwort wieder- um ist das Frequenz- und das Phasenverhalten des Priif- objekts und damit die ~'bertragungsfunktion zu berech- non, die zu einem Arbeitsmodell fiihren kann. Sind n~mlich die Ubertragungsfunktionen eines Systenm und das Spektrum der St6rfunktionen bekannt, so kann man sein dynamisches Verhalten bestimmen [9].

6. Die A u t o - u n d d ie ] 4 r e u z k o r r e l a t i o n lmssensich auch fiber die Fourieranalysis berechnen [9]. Dieses Ver- fahren ffihrt auf das allgemein bekannte Fourierintegral

=7 Sx(/) x(t) e - i 2 n l ~ dt . . . . . . . . (23) - o o

mit i = ~ und Sx(]) als dem linearen Amplituden- spektrum der Funkt ionx( t ) fox jede Frequenz] . Als weitere Beziehung gilt fiir lineare Systeme

S~(I) = Sy(l) H (]) . . . . . . . . . . . (24).

Da,~ Ausgangsspektrum Sx ist also des Produkt aus dem Eingangsspektrum Sy und der ~'bertragungsfunktion H. Das :Energiediebte-Spektrum lautet

a ~ (/) = S~ (/) S* (/) =

= [A(/) -t- i B(/)] [A(/) -- i B(/)] =

= A2(]) + B~-(]) . . . . . . . . . (25).

FOX des Spektrum der Kreuzleistungsdichte gilt analog

a~y(]) - - S ~ S ~ = (Ax + i B~) (Ay -- i By)

- - ( A z A v + Bx By) + i ( B x A y - - A x By)

�9 . . ( 2 6 ) .

In G1. (25) und (26) bedeuten S* (]) den konjugiert kom- plexen Wert zu Sx(]), A x und Bz den Real- bzw. den

�9 Imagin~rteil des linearen Ausgangsspektrums Sx(]) und

S* (/), A y und By den Real- bzw. Imaginiirteil des linearen Eingangsspektrums Sy und dessen konjugiert komplexer Funkt ion S~.

Im Gegemsatz zur Eigen-Leistungsdichte Gxx enth~lt die Kreuzleistungsdichte Gxy cinch Imagini~rteil. Aus der Auto- und der Kreuzleistungsdiehte kann die Uber- tragungsfunktion H berechnet werden. Nach G1. (24) ist

S~ (1) H (h - - Sy (/) . . . . . . . . . . . . . . (27) �9

Des Erweitern mit dem Imaginiirteil des Fourierintegrals und das Beriieksiehtigen von G1. (25) und (26) ergibt

t1(1) - S ~ S * - G~y . . . . . . . . . . (2S) .

Die Ubertragungsfunktion wird fehlerhaft berectmet, wenn das zu untersuchende System innere St6rtmgen aufweist. Diese St6rungen k6nnen durch Bestimmen der Koh/i, renzfunktionen ~ reehnerisch eliminiert werden. Es ist

Gxx y2 Gxx ~ Onn . . . . . . . . . . . (29).

Die Koh/~renzfunktion ~ liegt zwischen 0 und 1. Falls keine inhere St6rungn(t) existiert, ist die Eigen- Leistungsdichte dieser St6rungen Gnn = 0 und damit 7 ~ = 1. Die Bedingung ):2 < 1 bedeutet sowohl :Nicht- linearit/iten als auch die Existenz einer Eigenst6rung des Systems. Die Querstriche fiber den Funktionen nach G1. (29) bedeuten, de2 Mittelwerte aus einigen dieser Funktionen zu bilden sind.

4 . S c h r i f t t u m

[1] K6hler, H.: Die Speieherung yon Signalen niedriger Frequenz auf Magnetband mit Anwendungen auf MeB- technik und analoge Datenverarbeitung. Diss. Techn. ttochschule Braunsehweig 1961.

[2] Bolotin, W . W . : Kinetische Stabilitiit el~stischer Systeme. Berlin : VEB Verlag Technik 1961.

[3] Giloi, W.: Simulation und Analyse stochastischer Vor- ggnge. Mfinchen u. Wien: N. Oldenbourg-Verlag 1967.

[4]Schlitt, H.: Systemthcorie fiir regellose Vorg~nge. Berlin, G6ttingen, Heidelberg: Springer-Verlag 1960�9

[5] K6hler, H.: Programmgesteuerte Mel3datenauswertung mit einem Hybrid-Magnetbandspeicher. elektrische ausrfistung 11 (1970) Nr. 5 S. 25/28.

[6] Klein, P. E.: Systemketten fiir die Erfassung und Ver- arbeitung elektrischer und nichtelektrischer Gr6Ben. Tagungsmanuskript PEK-Elektronik, Tettnang, Aug. 1969.

[7] Romacker, B.: Mel3wertaufnehmer, elektronische Mei~- teehnik und Mel3datenverarbeitung in der Fahrzeug- entwicklung. Tagungsmanuskript PEK-Elektronik, Tettnang, Aug. 1969�9

[8] KShler, H.: Digitales Verarbeiten yon Me2werten mit Hybrid-Magnetbandspeicher. Archiv fiir technisches Messen J 083-15, Lfg. 421 (1971) Nr. 2 S. 23/26.

[9] Roth, P . R . : Digital Fourier analysis. Hewlett- Packard-Journ. Juni 1970, S. 2/9�9

[10] Braun, H.: Untersuchungen yon Fahrbahnuneben- heiten und Anwendungen der Ergebnisse. Diss. Techn. Universit/it Braunscbweig 1969.

Eingegangen am 10.11. 1971 F 2599

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