Prof. Dr.- ing. Jens Jensen Hochschule Bremen (FH) Fachbereich 05 Maschinenbau

Technische Hydromechanik Vorlesungs- Rumpfmanuskript Edition 01, Juli 2000

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Vorwort Dieser Text enthält den für den Studenten des Maschinenbaus bestimmten ersten Teil meiner Vorlesungen über Technische Hydromechanik; die Hydrostatik; der zweite Teil meines Skriptes behandelt die Hydrodynamik, der dritte Teil behandelt die Grundlagen der Aero- oder Gasdyna-mik. In Anbetracht der großen Schwierigkeiten, die dem Ingenieurstudenten erfahrungsgemäß gerade beim Studium dieses Fachgebietes begegnen, habe ich versucht, den Stoff so darzustellen, daß die Vorlesung vor- und nachgearbeitet werden kann, so daß ich mich während der Vorlesung vertieft der „praktischen Anwendung“ der Konzepte des Fachgebiets widmen kann, z.B. dem Durchrechnen beispielhafter Übungsaufgaben. Dabei werde ich auch versuchen, die während der praktischen Übungen gezeigten Versuche (an-hand von mechanischen Ersatzsystemen) zu beschreiben, mathematisch zu formulieren und rech-nerisch zu lösen. Zu diesem Text: Zunächst wird in einem kurzen Abriß die geschichtliche Entwicklung der (Technischen) Hydro-mechanik als Teilgebiet der Mechanik dargestellt. Es folgt eine Zusammenstellung der immer wieder benötigten wichtigsten mathematischen Hilfsmittel aus den Gebieten der Differential-, Integral- und Vektorrechnung. Bei der Darstellung der sich nun anschließenden Kapitel habe ich versucht, mich davon leiten zu lassen, daß es dem Studenten häufig einfacher fällt, vom Speziellen beginnend zum Allgemeinen „aufzusteigen“: Teil 1 dieses Textes handelt die Hydrostatik ab. Es werden also zunächst die wichtigsten Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen behan-delt, dann der hydrostatische Druck und schließlich die von ihm hervorgerufenen Kräfte. Der „theoretische“ Teil schließt ab mit Stabilitätsproblemen der Hydrostatik, also dem Schweben und Schwimmen. In einem „praktischen“ Teil werden dann die Meßtechniken der Hydrostatik vorgestellt. Teil 2 dieses Textes handelt die Hydrodynamik ab. Zunächst wird die Dynamik der Idealen Flüssigkeit behandelt, dann die der realen Flüssigkeit, behandelt wird dabei insbesondere die stationäre, verlustbehaftete technische Rohrströmung. Die Definition von Kennzahlen und Handhabung für Modelluntersuchungen. Teil 3 dieses Textes stellt die wichtigsten Grundprinzipien der Aero- oder Gasdynamik vor, hier mit einer Beschränkung auf die Rohr- und Düsenströmung von Gasen. Bremen, Juli 2000 der Verfasser scio nescire (Sokrates) Inhaltsverzeichnis

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Grundlagen 1. Einführung 6 1.1 Aufgabe der Hydromechanik 6 1.2 Abriss zur geschichtlichen Entwicklung der Hydromechanik 6 1.3 Grundlegende mathematische Hilfsmittel der Hydromechanik 8 2. Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen 15 2.1 Aggregatzustand 15 2.2 Dichte 17 2.3 Schallgeschwindigkeit 19 2.4 Viskosität (oder Zähigkeit) 21 2.5 Thermische Stoffwerte 23 2.6 Oberflächenspannungen und Kapillarität 25 Teil 1 Hydrostatik 3. Hydrostatik 30 3.1 Ausbildung der Freien Oberfläche 30 3.2 Fluid - Druck oder hydrostatischer Druck 34 3.3 Technische Umsetzung des hydrostatischen Grundgesetzes 41 3.4 Fluidkräfte auf Wandungen 44 3.5 Auftrieb 48 4. Meßtechniken der Hydrostatik 50 4.1 Messung des Flüssigkeitsvolumens oder Füllstands 50 4.2 Dichtemessung 53 4.3 Viskositätsmessung 55 4.4 Druckmessung 56 Teil 2 Hydrodynamik 5. Hydrodynamik (Fluid- Dynamik) 64 5.1 Grundbegriffe zur Beschreibung der Strömung von Flüssigkeiten 64 5.2 Fluid- Kinematik (also das „Wie“ der Strömung) 66 5.3 Fluid- Kinetik (also das „Warum“ der Strömung) 68 6. (eindimensionale) Strömung der Idealen Fluide 77 6.1 EULERsche Bewegungsgleichungen für die instationäre und stationäre Absolutströmung Idealer Fluide 77 6.2 Energiegleichungen der Absolutströmung; BERNOULLI- Gleichungen 78 6.3 Technische Anwendungen der BERNOULLI- Gleichungen 80 7. (eindimensionale) Strömung der realen Flüssigkeit 85 7.1 Flüssigkeitsreibung und Viskosität 7.2 Kennzahlen und Modelluntersuchungen

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7.3 Strömungsformen 7.4 erweiterte Energiegleichung von BERNOULLI für reale Flüssigkeiten 7.5 Strömungsverluste bei technischen Rohrströmungen 8. Strömungskräfte 8.1 Bestimmung der Strömungskräfte 8.2 Strömungskräfte bei der Durchströmung von Rohren und Umströmung von Profilen Teil 3 Grundlagen der Aero- oder Gasdynamik 8. Strömung von Gasen 8.1 Rohrströmung von Gasen 8.2 Energiegleichung (von BERNOULLI) für strömende Gase 8.3 Durchströmen von Düsen/ Diffusoren 8.4 Umströmung des Tragflügels Anhang Anhang 1 - Das griechische Alphabet - Vorsilben und Kurzzeichen für dezimale Vielfache und Teile von Einheiten Anhang 2 - SI-Einheiten Anhang 3 - Tabellen Anhang 4 - Weiterführende Literatur

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Grundlagen

1. Einführung 1.1 Aufgabe der Hydromechanik

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Die (Technische) Hydromechanik behandelt die Mechanik der flüssigen und gasförmigen Me-dien, d.h. es werden Stoffe untersucht, die einer Gestaltänderung nur sehr geringen Widerstand entgegen setzen- in der Mechanik idealer Flüssigkeiten wird der Widerstand vernachlässigt, in der zäher Flüssigkeiten wird er berücksichtigt. Solange man diese Stoffe als inkompressibel an-sehen kann, unterscheidet sich das physikalische Verhalten von Flüssigkeiten und Gasen nicht; m.H. der (Technischen) Hydromechanik untersucht man ihr mechanisches Verhalten. _____________________________________________________________________________ Bemerkung: Die idealisierende Annahme der Inkompressibilität ist für Flüssigkeiten praktisch stets erfüllt, für Gase aber sind Volumenänderungen insbesondere dann nicht mehr vernachläs-sigbar, wenn sie sich mit hoher Geschwindigkeit bewegen. Die Mechanik kompressibler Gase untersucht die Gas- oder Aerodynamik. _____________________________________________________________________________ Die Statik als Lehre vom Gleichgewicht untersucht die Bedingungen, unter denen die unter den Einwirkungen von Kräften stehenden Körper sich in Ruhe befinden, die Kinetik untersucht den Zusammenhang zwischen den auf einen Körper wirkenden Kräften und den durch sie hervorge-rufenen Bewegungen. Der Teil der Mechanik, der sich allein mit der Beschreibung der Bewe-gung befaßt, ohne dabei auf die einwirkenden Kräfte und die bewegten Massen einzugehen, wird Bewegungslehre oder Kinematik genannt. Kinetik und Kinematik werden auch unter dem Oberbegriff Dynamik zusammengefaßt: Also spricht man für die zuvor definierten Medien von Hydrostatik und Hydrodynamik; beide gemeinsam bilden das Fachgebiet der Hydromechanik ! 1.2 Abriß zur geschichtlichen Entwicklung der (Technischen) Hydromechanik Zur (Technischen) Mechanik Die Naturwissenschaften, zu ihnen gehört die Mechanik als Teilgebiet der Physik, haben die Aufgabe, die Zustände und Zustandsänderungen unserer Umgebung zu untersuchen und die Er-gebnisse dieser Untersuchungen in Naturgesetzen zu formulieren. Die Naturwissenschaft ist eine unerläßliche Voraussetzung für die Ausübung von Technik (und umgekehrt), soll diese nicht auf das Niveau von Handwerk oder reinem Empirismus beschränkt bleiben. Die einfachsten Zustandsänderungen sind solche, bei denen die Körper ihre physikalische, che-mische und oft sogar auch die geometrische Beschaffenheit beibehalten und nur ihren Ort und ihren Bewegungszustand im Raum verändern, d.h. sich bewegen oder verformen: Hiermit beschäftigt sich die Mechanik als Wissenschaft seit ca. 300 Jahren ! Mit der Schrift „Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno a due nuove science“ im Jahre 1638 begründete Galileo Galilei die Mechanik als Wissenschaft und Isaac Newton vollendete 1678 mit seinem Werk „Philosophiae naturalis principia mathematica“ die Grundlegung der Klassischen Mechanik. (Auf der Basis der Newtonschen „principia“ erfolgte der Ausbau der Klassischen Mechanik, der selbst heute nicht abgeschlossen ist !) Zur (Technischen) Hydromechanik

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Schon Archimedes von Syrakus (287- 222 v.Chr.) hatte sich mit Hydrostatik befaßt (die For-mulierung des Auftriebsprinzips geht auf ihn zurück). Simon Stevin (1548- 1620) erläutert und ergänzt das Auftriebsprinzip von Archimedes und findet die hydrostatischen Grundgesetze. Evangelista Torricelli findet 1643 das Prinzip der barometrischen Druckmessung und Otto von Guericke begründet 1654 mit seinem berühmten Experiment mit den „Magdeburger Halbku-geln“ die Mechanik der Gase. Schließlich stellt Isaac Newton 1684 die Gesetze für die Reibung in Flüssigkeiten (und den Widerstand von Körpern in strömenden Medien) auf. Mit seinem im Jahre 1738 erschienenen Werk „Hydrodynamica“ hat dann Daniel Bernoulli die Hydrodynamik begründet.

Daniel BERNOULLI Die allgemeinen Bewegungsgleichungen für ideale, d.h. reibungsfreie Strömungen stellt Leon-hard Euler im Jahr 1755 vor.

Leonard EULER 1.3 Grundlegende mathematische Hilfsmittel der Hydromechanik Die Mathematik ist das wichtigste Hilfsmittel für die Behandlung (hydro)mechanischer Proble-me.

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Hier soll aus den Grundlagen der Differential- und Integralrechnung sowie der Vektorrechnung (als der Kurzschrift der Mechanik) lediglich das zur Behandlung (hydro)mechanischer Probleme unerläßliche „Handwerkzeug“ vorgestellt werden. (Der strenge Aufbau, das Durcharbeiten und die Beweisführung bleibt natürlich der Mathe-matikvorlesung vorbehalten !) 1.3.1 Zur Differential- und Integralrechnung Die Ableitung I’(x) – (sprich „I- Strich“)- einer Funktion I (x), Abb. 1.1,

Abb. 1.1: Geometrische Deutung der Ableitung einer Funktion /1/ ist definiert als Quotient der Differentiale dI, dx: I’(x) = dI/dx = lim ∆I/∆x= lim [I(x + ∆x) - I(x)]/∆x = tanα (1.1) ∆x→0 ∆x→0 Diese Beziehung stellt die Grundformel der Differentialrechnung dar, anhand derer sich die (Steigung der) Funktion I(x) an der Stelle x analysieren läßt. Nach dem Fundamentalsatz der Integralrechnung, (1.5), kann die Integralrechnung als Um-kehrung der Differentialrechnung gesehen werden: Kennt man I’(x), dann ist I(x) das Integral dieser Funktion (Bedingung: I(x), I’(x) müssen stetig sein). _____________________________________________________________________________ /1/ Reckling, K.A. Mechanik I, Fr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1968 Das Bestimmte Integral F einer Funktion y(x) in den Grenzen von x = a bis x = b ist der Flä-cheninhalt unter der Kurve y(x) zwischen den o.a. Grenzen, Abb. 1.2: b b F = ∫ y(x) dx (1.2.1)

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x = a x = a Macht man nun die obere Grenze des Integrals (1.2.1) variabel, x x F = F(x) = ∫ y(ξ) dξ , (1.2.2) ξ = a ξ = a

Abb. 1.2: Geometrische Deutung des Integrals einer Funktion /1/ so wird die Integralfunktion F eine Funktion der variablen oberen Grenze. Die Gesamtheit aller sich um eine willkürliche additive Konstante C unterscheidenden Inte-gralfunktionen I(x) heißt Unbestimmtes Integral, x I(x) = ∫ y(ξ) dξ + C = F(x) + C . (1.3) ξ = a Zwischen dem Bestimmtem Integral F(x) und dem Unbestimmtem Integral I(x) der Funktion y(x) besteht die Beziehung b b b F = ∫ y(x) dx= I(x) = I(b)- I(a). (1.4) a x= a a 1.3.2 Zur Vektorrechnung Alle mechanischen Größen sind von zweierlei Typ:

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Die einen sind bestimmt durch Angabe ihres Betrages (Zahlenwert und physikalische Einheit)- es sind dies z.B. Länge, Flächen- und Rauminhalt, Masse, Temperatur, Zeit, Leistung, man nennt sie Skalare. (Ein Skalar ohne physikalische Einheit heißt Beiwert.) Andere Größen sind erst durch Angabe ihres Betrages und ihrer Richtung (im Raum) eindeutig bestimmt- man nennt sie Vektoren, es sind dies z.B. Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft. 1.3.2.1 Kennzeichnung von Vektoren Neben der geometrischen Darstellung von Vektoren (siehe nachfolgende Abbildungen) gibt es verschiedene formelmäßige Darstellungen. a) Vektoren mit zeitlich konstantem Betrag Man stellt diese im kartesischen Koordinatensystem dar, Abb. 1.3.

Abb. 1.3: Vektor A im kartesischen (rechtwinkligen) Koordinatensystem (Rechtssystem) /1/ A = Ax i + Ay j + Az k = Ax ex + Ay ey + Az ez = Ax, Ay, Az = A e (1.5) mit dem Betrag | A | = A A = √ (Ax)2 + (Ay)2 + (Az)2 , (1.6) den Einheitsvektoren e; ex , ey , ez , mit | e | = 1 oder i, j, k und den Richtungscosinus cosα = Ax/ A, cosβ = Ay/ A, cosγ = Az/ A, (1.7) mit cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1. (1.8)

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b) Vektoren mit zeitlich veränderlichem Betrag Man stellt diese in einem raumfesten, kartesischen Koordinatensystem, Abb. 1.4.1, oder ei-nem mitbewegten, natürlichen Koordinatensystem, Abb. 1.4.2, dar: r(t) = x(t) ex + y(t) ey + z(t) ez = x(t), y(t), z(t) . (1.9)

Abb. 1.4.1: Vektor r(t) im raumfesten, kartesischen Koordinatensystem /1/

Abb. 1.4.2: Vektor r(s) in einem mitbewegten, natürlichen Koordinatensystem /1/ Im mitbewegten, natürlichen Koordinatensystem gelten folgende Definitionen: Der Tangenten- Einheitsvektor

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et = dr(s) / ds | et | = 1 (1.10.1) weist stets in Richtung der Tangente an die Trajektorie, die positive Richtung in Richtung der positiven Bewegung von P. Der Normalen- Einheitsvektor en = (det / ds) / | det / ds | | en | = 1 (1.10.2) steht stets senkrecht zu et, seine positive Richtung weist zum Krümmungsmittelpunkt M der Trajektorie. Der Binormalen- Einheitsvektor ec = et x en (1.10.3) steht stets senkrecht auf der et, en- Ebene. 1.3.2.2 Vektoralgebra 2.1 Summation von Vektoren R = A1 + A2 = A1x + A2x ; A1y + A2y ; A1z + A2z = Rx ; Ry ; Rz (1.11) R = A1 - A2 = A1 + (- A2) (1.12)

Abb. 1.5: Addition und Subtraktion von Vektoren /1/ 2.2 Skalarprodukt (zweier Vektoren), auch Inneres Produkt (engl.: dot- product, also Punkt- Produkt) genannt B A = A B = | A | | B | cosϕ (1.13) (sprich „Punkt“ oder „Skalar“) Ein spezielles Skalarprodukt stellt die sogenannte Orthogonalitätsbedingung zwischen zwei Vektoren dar: Für ϕ = π /2 gilt

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A B = 0, (1.14) insbesondere gilt ex ey = 0, ex ez = 0, ey ez = 0, und mit ϕ = 0 gilt A B = | A | | B |, insbesondere gilt ex ex = 1, ey ey = 1, ez ez = 1. Hinter dem Skalarprodukt steht die geometrische Aussage „Projiziere den Vektor B auf den Vektor A“, Abb. 1.6.

Abb. 1.6: Skalarprodukt zweier Vektoren /1/ A B = Ax, Ay, Az Bx, By, Bz = Ax Bx + Ay By + Az Bz = | A | | B | cosϕ (1.15) und cosϕ = ( A B ) / | A | | B | (1.16) 2.3 Vektorprodukt (zweier Vektoren), auch Äußeres Produkt (engl.: cross- product, also Kreuz- Produkt) genannt A x B = C = | A | | B | sinϕ e = - B x A (1.17) (sprich „Kreuz“) Eine spezielle Bedeutung besitzt die sogenannte Parallelitätsbedingung: Für ϕ = 0 gilt A x B = 0, (1.18) insbesondere gilt ex x ex = ey x ey = ez x ez = 0 . Wichtig ist auch die Determinantenschreibweise dieses Produkts: C = A x B = ex ey ez = ex Ay Az - ey Ax Az + ez Ax Ay (1.19.1)

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Ax Ay Az By Bz Bx Bz Bx By Bx By Bz = Ay Bz - Az By , Ax Bz - Az Bx , Ax By - Ay Bx (1.19.2) Hinter dem Vektor- Produkt steht die geometrische Aussage „drehe Vektor A in die Richtung von Vektor B“, Abb. 1.7.

Abb.1.7: Vektorprodukt zweier Vektoren /1/ Das Spatprodukt (Skalarprodukt dreier Vektoren) und das dreifache Vektorprodukt (Vektor-produkt dreier Vektoren) werden im Rahmen der Hydromechanik nicht benötigt ! 2.4 Differentiation eines Vektors Ein Vektor im raumfesten, kartesischen Koordinatensystem wird differenziert gemäß r = dr / dt = dx / dt ex + dy / dt ey + dz / dt ez = vx , vy , vz (1.20) 2. Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen 2.1 Aggregatzustand

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Materie kann in den Aggregatzuständen (oder Phasen) fest, flüssig und gasförmig auftreten. Dabei unterscheidet sie sich einerseits hinsichtlich ihres molekularen Aufbaus, andererseits durch ihre makroskopischen Eigenschaften. Feste Körper besitzen eine Gestaltfestigkeit- die zu einer Gestaltänderung notwendige Kraft ist proportional der Formänderung. Flüssigkeiten haben keine feste Gestalt, aber ein bestimmtes Volumen- die zu einer Gestaltänderung notwendige Kraft ist (meistens) von der Formände-rungsgeschwindigkeit abhängig. Gase füllen jedes Volumen aus. _____________________________________________________________________________ Bemerkung: Neuerdings wird der PLASMA- Zustand oft als vierter Aggregatzustand der Mate-rie bezeichnet. _____________________________________________________________________________ Der Zustand einer Stoffmenge wird durch Zustandsgrößen (ZuGr) beschrieben: Für eine Stoff-menge mit einheitlicher chemischer Zusammensetzung (reiner Stoff) läßt sich der Zustand durch die thermischen ZuGr, den absoluten Druck p, das spezifische Volumen v und die absolute Temperatur T beschreiben. Diese drei ZuGr sind durch die Thermische Zustandsgleichung (ZuGl) F(p, v, T)= 0 (2.1) miteinander verknüpft, die für jeden Stoff und jede Phase charakteristisch ist. Die ZuGl wird graphisch als Zustandsfläche in einem p,v,T- Diagramm, Abb. 2.1, dargestellt.

Abb. 2.1: Zustandsfläche eines reinen Stoffes /2/ Projiziert man die Zustandsfläche auf eine Ebene, so entstehen sogenannte Zustandsdiagramme; Abb. 2.2 zeigt das sogenannte p,v- Diagramm.

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Abb. 2.2: p,v- Diagramm (mit Grenzkurven der Phasen) /2/ vK, TK spezif. Volumen und absol. Temperatur des Kritischen Punkts K Da sich die Flüssigphase oberhalb des Kritischen Punktes nicht von der Gasphase unterscheiden läßt, heißen Flüssigkeiten und Gase gemeinsam Fluide. Die (Technische) Hydromechanik befaßt sich mit der Statik und Dynamik homogener Fluide, die als Kontinua behandelt werden, d.h. als Körper, deren physikalische Eigenschaften gleichförmig über ihr Volumen verteilt sind. Fluide sind dadurch gekennzeichnet, daß sich ihre Teilchen durch Druck- und Schubkräfte sehr leicht gegeneinander verschieben lassen, Zugkräfte aber nicht aufgenommen werden können. _____________________________________________________________________________ /2/ Baehr, H.D. Thermodynamik (8. Aufl.), Springer- Verlag, Berlin; 1992 2.2 Dichte Definiert ist die Dichte eines Stoffes als

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ρ= m/ V [ρ]= Kg/ m3 (2.2) mit der Masse m in Kg und dem Volumen V in m3 des Stoffes. _____________________________________________________________________________ Bemerkung: In der Thermodynamik wird meist mit dem Reziprokwert, dem spezifischen Volu-men v= 1/ ρ [v]= m3 / Kg (2.3) gearbeitet. _____________________________________________________________________________ Die Dichte eines Fluids ist abhängig von seinen Thermischen ZuGr, dem absol. Druck p und der absol. Temperatur T. Dieser Zusammenhang, der durch die Thermische ZuGl (2.1) angegeben wird, ist nur experimentell zu ermitteln: Für jede Phase eines Stoffes ist die ZuGl normalerweise unterschiedlich ! Mathematisch wird für die Druck- und Temperatur- Abhängigkeit der Dichte meist der Ansatz dρ/ ρ= βT dp- βp dT (2.4) gemacht, wobei βT der „isotherme Kompressibilitäts- Koeffizient“ und βp der „isobare Wär-meausdehnungs- Koeffizient“ ist. _____________________________________________________________________________ Bemerkung: „Isotherm“- Zustandsänderung (ZÄ) bei konstanter Temperatur T, „isobar“- ZÄ bei konstantem Druck p. _____________________________________________________________________________ 2.2.1 Dichte von Flüssigkeiten Für Flüssigkeiten ergibt sich die Dichte bei isobarer ZÄ, d.h. Temperaturänderung bei p= const., nach (2.4) zu ρ= ρ0 / [1+ βp (T- T0 )]; (2.5.1) bei isothermer ZÄ, d.h. Druckänderung bei T= const., ergibt sich aus (2.4) entsprechend ρ= ρ0 / [1- βT (p- p0 )]. (2.5.2) _____________________________________________________________________________ Bemerkung: Für Wasser (H2 O) gelten folgende Werte, /3/ βp= - 0,085 10-3 1/ °K bei p0= 1,013 bar, T0= 273,16 °K βp= 0,207 10-3 1/ °K bei p0= 0,981 bar, T0= 293,16 °K βT= 51,1 10-6 1/ bar bei T0= 273,16 °K, p= (1- 100) bar βT= 46,8 10-6 1/ bar bei T0= 293,16 °K, p=(1- 100) bar _____________________________________________________________________________

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Erfolgt die ZÄ der Flüssigkeit sowohl unter Druck- als auch Temperaturänderung, so setzt man, analog zu den Gleichungen (2.5), für die Dichte an ρ= ρ0/ [(1+ βpm ∆T) (1- βTm ∆p)], (2.6) mit den „mittleren Kompressibilitäts- und Wärmeausdehnungs- Koeffizienten“ βTm und βpm, sowie den Abkürzungen ∆T= (T- T0), ∆p= (p- p0). 2.2.2 Dichte von Gasen Für (Ideale) Gase lautet die Thermische ZuGl p v = R T, (2.7) mit dem absol. Druck p, dem spezif. Volumen v, der absol. Temperatur T und der Speziellen Gaskonstanten R des jeweiligen Gases. Hieraus errechnet sich die Dichte ρ m.H. der Beziehung (2.3) bzw. ρ= 1/ v (2.3.1) zu ρ= p/ (R T) (2.8) _____________________________________________________________________________ Bemerkung: Technische Gase können normalerweise in einem weiten Druckbereich als Ideale Gase betrachtet werden, i.a. bis p< 1 MPa. _____________________________________________________________________________ Für reale Gase wird (2.7) m.H. des sogenannten Realgasfaktors ς modifiziert, so daß die Thermi-sche ZuGl lautet p v= ς R T. (2.7.1) _____________________________________________________________________________ /3/ Bohl, W. Technische Strömungslehre (9. Aufl.), Vogel- Buchverlag, Würzburg; 1991 _____________________________________________________________________________ Bemerkung: Für das technisch wichtigste Gas(gemisch), die feuchte Luft, berechnet sich die Dichte anhand der Gleichung

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ρ= (1- 0,378 ϕ pW/ p) p/ (R T) (2.9) mit der rel. Luftfeuchte ϕ, dem Partialdruck des Wasserdampfes pW und der Speziellen Gaskon-stanten der Luft, R= 0,2871 KJ/ (Kg °K). _____________________________________________________________________________ 2.3 Schallgeschwindigkeit Eine Schallwelle ist eine (periodische) Druck- und Dichteschwankung geringer Amplitude (oder Intensität), die sich in einem kompressiblen Medium mit der sogenannten Schallgeschwindigkeit a fortpflanzt, Abb. 2.3. Schallgeschwindigkeit bezeichnet also eine Ausbreitungsgeschwindigkeit einer kleinen Druck-störung, Schall genannt.

Abb. 2.3: Zur Fortpflanzung des Schalls in einem Fluid /4/ Die im Rohr am Querschnitt A wirkende Kraft dF verschiebt die Fluidteilchen um die Strecke ds in x- Richtung und es entsteht eine (Über-) Druckwelle dp= dF/ A, die nach der Zeit dτ die Stre-cke dl durchläuft. Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Druckstörung dp ist also a= dl/dτ. (2.10.1) _____________________________________________________________________________ /4/ Sigloch, H. Technische Fluidmechanik (3. Auflage) VDI- Verlag, Düsseldorf, 1996; ISBN 3-18-401523-8 Nach dem NEWTONschen Grundgesetz (dm b= dK) gilt am freigemachten Massenele- ment dm = ρ A dl in x- Richtung ρ A dl (d2l/dτ2 ) = dF= A dp,

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- mit der absol. Beschleunigung d2l/dτ2 = d(dl)/dτ2 = ds/dτ2 der Fluidmasse dm. Daraus erhält man dp = ρ dl ds/dτ2 = ρ dl (ds/dτ2) (dl/dl) = ρ (dl/dτ2) (ds/dl) = ρ (ds/dl) a2 , nach a umgestellt also a= √(dl/ ds) dp/ ρ . Der Term dl/ds, bzw. der inverse Ausdruck ds/ dl, läßt sich durch die Volumenänderung ausdrü-cken: d(dV)= d(A dl)= A d(dl)= A ds, also d(dV)/ dV= A ds/ A dl= ds/ dl ; andererseits gilt aber auch dm = ρ dV= (dV- d(dV)) (ρ + dρ) ≈ ρ dV+ dρ dV- ρ d(dV), also erhält man d(dV)/ dV= dρ/ ρ= ds/ dl. Damit läßt sich die Schallgeschwindigkeit also m.H. der Gleichungen a= √ (ρ/ dρ) (dp/ ρ)= √ dp/dρ (2.10.2) berechnen. 2.3.1 Schallgeschwindigkeit in Flüssigkeiten Bei kleinen Druckerhöhungen, dp→0, bleibt die Temperatur T sicher konstant, d.h. dT= 0. Aus (2.4) erhält man damit dρ/ ρ= βT dp bzw. dp/dρ= 1/ (ρ βT). Für die Schallgeschwin-digkeit (2.10) gilt also in nahezu inkompressiblen Flüssigkeiten a= √ dp/ dρ = √ 1/ (ρ βT). (2.11) 2.3.2 Schallgeschwindigkeit in Gasen Hier wird angenommen, daß die ZÄ (also die Druckerhöhung) ohne Wärmezu- oder abfuhr er-folgt, man sagt die ZÄ sei isentrop. Dafür nimmt (2.7) die Form p vκ= p/ (ρκ)= const (2.12) an, mit κ, dem sogenannten Isentropen- Koeffizienten. Damit erhält man für die Schallge-schwindigkeit (2.10) in Gasen die Gleichung

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a= √p v κ= √ p κ/ ρ= √ κ R T . (2.13) _____________________________________________________________________________ Bemerkung: In der Praxis wird anhand der Schallgeschwindigkeit a eine Abgrenzung zwischen der Hydrodynamik (Strömungslehre inkompressibler Fluide) und der Aerodynamik (Strömungs-lehre kompressibler Fluide) vorgenommen. Bezeichnet man die absolute Strömungsgeschwindigkeit eines Fluides mit c und die Schallge-schwindigkeit mit a , so wird der Quotient Ma= c/ a, (2.14) Mach- Zahl genannt. Strömungen von Fluiden mit Ma < 0,3 ... 0,4 können mit genügender Genauigkeit als in-kompressibel betrachtet werden. _____________________________________________________________________________ 2.4 Viskosität (oder Zähigkeit) Viskosität ist ein Maß für die durch innere Reibung bestimmte Verschiebbarkeit der Fluidteil-chen gegeneinander. Nach NEWTON ist die Reibung zwischen den Fluidteilchen abhängig von der Geschwindig-keitsänderung zwischen den Teilchen und weitgehend druckunabhängig.

Abb.: 2.4: zum NEWTONschen Fluidreibungsgesetz /4/ Für die Kraft F, die notwendig ist, um die ebene Platte der Fläche A im Abstand ∆z mit der Ge-schwindigkeit cx entlang der ebenen Wand (cx= 0) zu bewegen, Abb. 2.4, lassen sich folgende Proportionalitäten beobachten: F ∼ A ∆cx / ∆z Folgerichtig machte NEWTON dafür den linearen Ansatz F= η A ∆cx / ∆z (2.14)

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- NEWTONsches Fluidreibungsgesetz geheißen-, mit dem Proportionalitätsfaktor η, auch „dy-namische Viskosität (oder Zähigkeit) η“ genannt, [η]= Pa s; die dynamische Viskosität hängt von der Art des Fluids ab. Für nicht zu große Schichtdicken ∆z ist das Geschwindigkeitsgefälle ∆cx / ∆z linear- je größer das Gefälle, desto größer ist die Reibung zwischen den Fluidteilchen. _____________________________________________________________________________ Bemerkung: Bei zu großer Schichtdicke z ist das Geschwindigkeitsgefälle nichtlinear, so daß das NEWTONsche Fluidgesetz lautet F= η A dcx / dz (2.14.1) _____________________________________________________________________________ Bildet man den Quotienten F/ A, so stellt dieser die durch die Fluidreibung bedingte Tangential-spannung (Schubspannung) τ dar, τ= F/ A= ηdcx / dz. (2.15) Fluide, für die das NEWTONsche Fluidreibungsgesetz gilt, heißen NEWTONsche Fluide- es sind die technisch wichtigen Fluide Wasser, Öl, Wasserdampf, Luft,... Gase Wasser Blut „leichte“ Öle „schwere“ Asphalt 10 -5 10 -3 10 -2 10 1 10 3 η[Pa s] t= 20°C _____________________________________________________________________________ Bemerkung: Die Technische Fluidmechanik behandelt ausschließlich NEWTONsche Fluide, mit nicht NEWTONschen Fluiden befaßt sich die Wissenschaft der RHEOLOGIE. _____________________________________________________________________________

Abb. 2.5: Schubspannung vs. Geschwindigkeitsgefälle in verschiedenen Fluiden /4/ Als „kinematische Viskosität (oder Zähigkeit) ν„ wird der Quotient ν= η/ ρ ; [ν]= m2 s-1 (2.16)

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bezeichnet. Die Viskosität eines Fluides ist als Stoffgröße i.a. druck- und temperaturabhängig: Die Druckabhängigkeit ist gering, die Temperaturabhängigkeit jedoch ausgeprägt- interessan-terweise nimmt die Viskosität von Gasen mit steigender Temperatur zu, die von Flüssigkeiten aber ab, Abb. 2.6. _____________________________________________________________________________ Bemerkung: In der Praxis tauchen auch andere Einheiten für Viskosität (Zähigkeit) auf, wie - ENGLERgrad (E), Näherung E ≈ (0.13- 0.14) ν für ν> 20 mm2/ s - SAYBOLD- Sekunden und REDWOOD- Sekunden im engl. Sprachraum - SAE- Klassen für Öle (Society of Automotive Engineers) _____________________________________________________________________________

Abb. 2.6: Temperaturabhängigkeit der Viskosität von Fluiden /4/ 2.5 Thermische Stoffwerte 2.5.1 Spezifische Innere Energie u, Spezifische Enthalpie h, die Spezifischen Wärmekapazitäten cv, cp Die Innere Energie U eines Fluids wird in der Thermodynamik definiert als die Differenz von Gesamtenergie E eines Systems und Kinetischer sowie Potentieller Energie Ekin, Epot: U = E- (Ekin + Epot) Dann ist die Spezifische Innere Energie u u = U/ m = u(T, v), (2.17) mit der Systemmasse m. Die Spezifische Enthalpie h eines Fluides ist definiert als die Summe von Spezifischer Innerer Energie u und der „Spezifischen Strömungsenergie“ p v, h = u + pv = h(T, p). (2.18)

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Beide sind Thermodynamische Zustandsgrößen (ZuGr), d.h. es gelten die sogenannten vollstän-digen Differentiale du = (δu / δT) dT + (δu / δv) dv und dh = (δh/ δT) dT + (δh/ δp) dp. Hierin wird der Term (δu / δT) = cv (T, v) (2.19.1) spezifische Wärmekapazität bei konstantem (spezifischen) Volumen cv genannt und der Term (δh / δT) = cp (T,p) (2.19.2) spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck cp. Die Wärmekapazitäten sind für die wichtigsten technischen Fluide tabelliert, /3/. Für Ideale Gase gilt die ZuGl (2.5), daneben aber auch die Tatsache, daß u, h reine Temperatur-funktionen sind, d.h. u = u(T), h = h(T). Für die Differenz dieser Spezifischen Zustandsgrößen (ZuGr) ergibt sich h - u = p v = R T, also die Spezielle Gaskonstante R des Fluids cp- cv = R. (2.20) Der Quotient der beiden Wärmekapazitäten cp, cv ergibt den sogenannten Isentropenexponen-ten κ, cp / cv = κ (2.20.2) Damit läßt sich (2.20) aber auch als R = cv (κ - 1) = cp (κ - 1)/ κ (2.20.1) darstellen. Auch die Werte für R und κ sind tabelliert, /3/. 2.5.2 Dampfdruck Der Dampfdruck pD stellt für ein Fluid den stabilen temperaturabhängigen Grenzdruck dar, zwi-schen den Phasen (Aggregatzuständen) „flüssig“ und „gasförmig“.

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Alle Zustände - mit dem Dampfdruck (oder Sättigungsdruck) als Grenzdruck und der zugehöri-gen Sättigungstemperatur als Grenztemperatur - zwischen dem Tripelpunkt und dem Kritischen Punkt liegen auf der Dampfdruckkurve, Abb.2.7.

Abb. 2.7: p,T- Diagramm /2/ 2.6 Oberflächenspannungen und Kapillarität 2.6.1 Oberflächenspannungen Aufgrund der an der Freien Oberfläche nach innen wirkenden (sehr kleinen) Anziehungskräfte zwischen den Flüssigkeitsteilchen treten in der Oberfläche Zugspannungen auf, Oberflächen-spannungen σ12 genannt, [ σ12] = N/ m2 . Die Oberflächenspannungen sind stark temperaturab-hängig: Mit steigender Temperatur nehmen sie ab. Zwischen festen Wänden und einem Fluid entstehen in den Berührungsflächen Haftspannun-gen, in den Grenzflächen sich nicht mischender Fluide entstehen Grenzflächenspannungen. Als in den Grenzflächen wirkende Oberflächenspannungen werden folgende unterschieden, Abb. 2.8: - σ12 Spannung zwischen sich nicht mischenden Fluiden (Flüssigkeit und Gas) - σ13 Spannung zwischen Gas und Festkörper - σ23 Spannung zwischen Flüssigkeit und Festkörper

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Abb. 2.8: Benetzung einer festen Wand /3/ a) benetzende (hydrophile) Wand (α < 90 °) b) nicht benetzende (hydrophobe) Wand (α > 90 °) _____________________________________________________________________________ Bemerkung: Kohäsion- Anziehung(skraft) zwischen Fluidteilchen Adhäsion- Anziehung(skraft) zwischen Festkörper und Fluid _____________________________________________________________________________ Zwischen dem Festkörper und der Oberfläche der Flüssigkeit bildet sich ein Berührungswinkel α heraus, der abhängig ist vom Verhältnis der Haftspannung (σ13- σ23) zur Oberflächenspannung σ12, cos α = (σ13- σ23)/ σ12 (2.21) Auch die Tropfenbildung und die Bildung von Gasblasen in Flüssigkeiten läßt sich m.H. der in den Grenzflächen wirkenden Oberflächenspannungen erklären. 2.6.2 Kapillarität Während in einer ebenen Grenzfläche keine senkrecht zur Oberfläche wirkenden Druckkräfte auftreten können, tritt an gekrümmten Oberflächen eine senkrecht zur Oberfläche wirkende Normalkraft Fn auf, die den sogenannten Grenzflächen- oder Kapillardruck ∆pk zur Folge hat, Abb. 2.9.

Abb. 2.9: Zur Ableitung des Kapillardrucks ∆pk /3/ Zunächst gilt σv = σ sin (ϕ1/ 2) ≈ σ ϕ1/ 2 und damit also 2 σv = σ ϕ1 - entsprechendes gilt natürlich auch für die dazu senkrechte Richtung. Setzt man an der Grenzfläche also das Kräftegleichgewicht an,

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dFn= σ ϕ1 ds2 + σ ϕ2 ds1 = ∆pk dA= ∆pk ds1 ds2 und verwendet die geometrische Beziehung ds= R ϕ, dann erhält man nach kurzer Zwischenrechnung für den Kapillardruck ∆pk = σ (1/ R1 + 1/ R2). (2.22.1) bzw. für R1 = R2 = R ∆pk = 2 σ/ R (2.22.2) _____________________________________________________________________________ Bemerkung: Wassertropfen haben einen max. Durchmesser von ca. 6,5 mm. _____________________________________________________________________________ Taucht man nun ein enges Rohr in eine Flüssigkeit ein, so kommt es zu der Erscheinung der so-genannten Kapillarität, Abb. 2.10:

Abb. 2.10: Kapillarität (in engen Rohren) /4/ a) Kapillar- Aszension b) Kapillar- Depression Die Berechnungen im Zusammenhang mit der Kapillarität beschränken sich meist auf die Be-rechnung der Steig- oder Depressionshöhe hm m.H. der Gleichung (2.22).

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Teil 1

Hydrostatik 3. Hydrostatik (Fluid- Statik) 3.1 Ausbildung der Freien Oberfläche Fluide bilden Begrenzungs- oder Grenzflächen gegenüber festen Körpern und nicht mischba-ren anderen Fluiden: Trennfläche - Grenzfläche zwischen zwei nicht mischbaren Flüssigkeiten

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Freie Oberfläche - Grenzfläche zwischen einer Flüssigkeit und einem Gas Fluide passen sich, da sie leicht verschiebbar sind, vollständig den Grenzflächen von Festkör-pern an. Zwischen ruhenden Fluidteilchen, c= 0, wirken nach dem NEWTONschen Ansatz (2.15) τ = η dc/ dz (3.1) keine Tangentialspannungen oder- kräfte, wie z.B. Reibung, sondern lediglich Normalspannun-gen und - kräfte. D.h., Freie Oberflächen stellen sich stets senkrecht zur Richtung der wir-kenden resultierenden Kraft. 3.1.1 Ruhende oder mit der absoluten Geschwindigkeit c= const translativ bewegte Flüs-sigkeitsbehältnisse Eine Flüssigkeit mit der Masse m, die mit einer absoluten Geschwindigkeit c= const bewegt wird oder ruht (c= 0), unterliegt allein der Wirkung der Erdschwere mit der Erdbeschleunigung g= 9.81 m/ s , Abb. 3.1.

Abb. 3.1: Freie Oberfläche (kleiner Ausdehnung) in ruhendem Behältnis /4/ Die Gewichtskraft mg ist zum Erdmittelpunkt hin gerichtet, d.h., da sie senkrecht zur Grenzflä-che zwischen der Flüssigkeit und dem umliegenden Gas (Umgebungsluft) steht, stellt die Grenz-fläche einen Kugel- Oberflächenausschnitt (mit etwa dem Erdradius) dar. Kleine Grenzflächen sind damit praktisch horizontal ! _____________________________________________________________________________ Bemerkung: Die Freie Oberfläche wird üblicherweise durch eine Linie mit einem auf die Spitze gestellten Dreieck und darunter gezeichneter Schlangenlinie gekennzeichnet. _____________________________________________________________________________ 3.1.2 Beschleunigt bewegte Flüssigkeitsbehältnisse

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Als repräsentative Standardfälle werden, wie in der Literatur üblich, translatorisch und rotato-risch bewegten Behältnisse behandelt, der „Tankwagen“ und die „Zentrifuge“. 3.1.2.1 Translatorisch bewegtes Behältnis Die beschleunigten Flüssigkeitsteilchen sind untereinander in Ruhe! Auf das Flüssigkeitselement der Masse dm wirkt nahe der freien Oberfläche neben der Gewichtskraft dm g, entgegen der Richtung der absoluten Behälter- Beschleunigung bB , die Massenträgheitskraft dm bB. Die Freie Oberfläche bildet sich senkrecht zur Richtung der resultierenden Kraft dFres heraus, mit dem Neigungswinkel α , der sich nach Abb. 3.2 zu tan α = dm bB/ dm g (3.2) berechnet.

Abb. 3.2: Kräfte am freigemachten Flüssigkeitselement, Behältnis mit beschleunigter Translationsbewegung Bei reiner Translationsbewegung des Behältnisses ist die Beschleunigung aller Flüssigkeitsteil-chen gleich der des Behältnisses; letztere läßt sich berechnen anhand des zeitlichen Geschwin-digkeitsverlaufs vB (t) oder des zeitlichen Verschiebungsverlaufs sB (t) oder des Verlaufs der Geschwindigkeit in Abhängigkeit der Verschiebung vB (sB): bB= dvB (t)/ dt= d2sB (t)/ dt2 = vB dvB (sB)/ dsB. (3.3) 3.1.2.2 Rotatorisch bewegtes Behältnis Bei reiner Rotationsbewegung des Behältnisses berechnet sich die Beschleunigung der Flüssig-keitsteilchen nur im Falle von rotationssymmetrischen Behältern, die zudem noch um eine ihrer Symmetrieachsen rotieren müssen, noch „einfach“: Die Beschleunigung der Teilchen bFl , die sich bei ebener Bewegung nach

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bFl = bt et + bn en (3.4) aus der Tangentialbeschleunigung bt = dcFl/ dt (3.4.1) und der Normalbeschleunigung bn = cFl

2/ r (3.4.2) zusammensetzt, ist dabei abhängig vom jeweiligen Abstand r von der Drehachse des rotierenden Behältnisses und dessen Winkelgeschwindigkeit Ω = dϕ / dt = 2 π n (3.5) - ϕ (t) ist der zeitlich veränderliche Drehwinkel, n die Drehzahl des Behältnisses.

Abb. 3.3: Kräfte am freigemachten Flüssigkeitselement, Behältnis mit gleichförmiger Rotations-bewegung, d.h. Ω= const Bei Rotation mit Ω= const wirkt auf das Flüssigkeitsteilchen eine reine Normal- (oder Zentripe-tal-) Beschleunigung; mit cFl = rΩ (3.6) erhält man also bFl = bn= r Ω2 . (3.7) Hiermit berechnet sich der Neigungswinkel α der Freien Oberfläche zu tan α = dFTr / dG = dm r Ω2 / dm g = r Ω2 /g (3.8)

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_____________________________________________________________________________ Bemerkung: Die Ausbildung von Grenzflächen in schwierigen, rotativ bewegten Behältnissen, d.h. nichtrotationssymmetrischen Behältern und in Behältern, die nicht um eine Symmetrieachse rotieren, ist nachzulesen bei FRANKE, P.G., Hydrostatik, Bauverlag, Berlin 1970 _____________________________________________________________________________ 3.2 Fluid- Druck oder hydrostatischer Druck 3.2.1 Allgemeines Nach NEWTON, (3.1), können in einer ruhenden Flüssigkeit keine Tangential- sondern nur Normalspannungen wirken: Die Normalkräfte müssen Druckkräfte sein, da Zugkräfte von Flüs-sigkeiten normalerweise nicht übertragen werden können. Außerdem kann sich das Volumen von Flüssigkeiten nur bei extrem großen Drücken ändern.

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Die Druckspannung- kurz DRUCK p genannt- errechnet sich aus der Normalkraft Fn ≡ F pro Fläche A, laut Abb. 3.4 zu p= lim dF/ dA >0 oder kurz p= F/ A (3.9) dA→0

Abb. 3.4: freigeschnittenes Flüssigkeitselement Innere (Stoff- oder Massenkräfte) und äußere Kräfte können Druck(spannungen) hervorrufen.

Der Druck besitzt die physikalische Einheit Pa (Pascal), mit 1 Pa= 1 N/ m2.

_____________________________________________________________________________ Bemerkung: Gebräuchliche Druckeinheiten sind ferner 1 HPa = 102 Pa = 1 mbar 1 bar = 105 Pa = 105 N/ m2 1 at = 1 kp/ cm2 = 9,81 N/ cm2 = 0,981 bar (techn. Atmosphäre) 1 atm = 1,013 bar (physikal. Atmosphäre) 1 Torr = 1 mmHg = 1/ 760 atm = 1,333 mbar 1 mWS = 0.1 at (WasserSäule) 1 lb/ sq.in.= 1 p.s.i.= 6894,7 Pa pounds (lb) per square inch, wobei 1 (britisches !) pound (lb) = 0,4536 kg und 1 inch = 25,400 mm 1 lb/ sq.ft.= 47,88 Pa pounds (lb) per square foot, wobei 1 foot = 0,3048 m 1 in. WG= 249,1 Pa inch WaterGauge _____________________________________________________________________________ Die Richtungsunabhängigkeit des Druckes wird "hydrostatischer Spannungszustand" genannt, d.h. es gilt: Der Druck ist eine skalare Größe, d.h. er ist richtungsunabhängig und nur eine Funktion des Ortes! 3.2.2 Erzeugung des (hydrostatischen) Druckes durch äußere Kräfte, Kolbenkräfte Auf eine von einer starren Behälterwand umschlossene Flüssigkeit wird, unter Vernachlässigung innerer Kräfte, eine äußere Kraft F= p A ausgeübt ! Nach dem sogenannten Druckfortpflan-zungsgesetz von PASCAL pflanzt sich der Druck p= F/ A- bei Vernachlässigung der Dichte- und Schwerewirkung- nach allen Richtungen gleichmäßig und in konstanter Größe fort: Überall im Innern und an der Berandung der Flüssigkeit herrscht der gleiche Druck ! Vorführung Versuch 1

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Technische Anwendung: Hydraulische Presse, Abb. 3.5.

Abb. 3.5: Prinzipskizze der Hydraulischen Presse /4/ Der Quotient F2/ F1= A2/ A1= (d2/ d1)2 (3.10) wird als Kraftübersetzung, der Quotient ∆s2/ ∆s1 = (d1/ d2)2 (3.11) als Wegübersetzung bezeichnet. Nach dem Energieerhaltungssatz gilt für die verlustfreie Hyd-raulische Presse ∆W2= F2 ∆s2= ∆W1 = F1 ∆s1 = W = const In ausgeführten Anlagen ist Reibung zwischen Zylinder und Kolben nicht zu vermeiden, so daß der Wirkungsgrad η= ∆W2/ ∆W1 stets kleiner Eins ist, η< 1. Der Hauptvorteil der Hydraulischen Presse ist die Möglichkeit der Übertragung großer Kräfte über große Entfernungen ! 3.2.2.1 Arbeit der äußeren Kräfte, Druckenergie Ist der Druck p während der Verschiebung ∆s konstant, so ist die Druckenergie oder Druckarbeit ∆W = F ∆s = p A ∆s = p ∆V. (3.12) Ändert sich der Druck aber während der Verschiebung des Kolbens, so darf nicht mehr mit Dif-ferenzen sondern muß mit Differentialen gerechnet werden ! Häufig hängt der Druck in einer nicht näher bekannten funktionalen Form vom Volumen ab, d.h. p = p (V), also dW = p (V) dV (3.12.1)

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Zwischen den Volumina V1 und V2 muß bei einer Arbeitsmaschine also die Energie 2 V2 ∫ dW = W1,2 = ∫ p (V) dV (3.13) 1 V1 zugeführt werden (bei einer Kraftmaschine ist diese Energie abzuführen). Für eine isotherme Zustandsänderung der Flüssigkeit während der Volumenänderung gilt nach (2.4) mit dρ/ ρ = βT dp = -dV/ V1, so daß gilt dV = - V1 βT dp Hiermit wird die " Druckenergie" berechenbar: 2 p2 ∫ dW = W1,2 = - V1 βT ∫ p dp = - βT V1 (p2

2 - p12)/ 2 (3.14)

1 p1 Hier ist βT der isotherme Kompressibilitätskoeffizient, V1 das Anfangsvolumen beim Anfangs-druck p1; p2 ist der Enddruck. _____________________________________________________________________________ Bemerkung: Der Begriff "Druckenergie" als Verbindung von Druck und Energie (Arbeit) sollte nicht verwendet werden! _____________________________________________________________________________ Nach p= dW/ dV (3.15.1) läßt sich Druck nicht nur als Kraft pro Flächeneinheit sondern auch als Energie (Arbeit) pro Vo-lumeneinheit ausdrücken oder nach p = ρ dW/ dm (3.15.2) auch als Energie pro Masseneinheit-, eine Schreibweise, die später sehr häufig gebraucht werden wird. "Druckenergie" läßt sich speichern. Technisch werden zwei Speichertypen verwendet: a) Gewichtsspeicher, Abb. 3.6.1 Speicher mit konstantem Druck (Vorteil) und veränderlichem Volumen. Nachteile: Große Abmessungen und Massen; bewegliche Teile mit Dichtproblemen zwischen diesen Teilen!

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Abb. 3.6.1: Prinzipskizze eines Gewichtsspeichers b) Druckgasspeicher oder Windkessel, Abb. 3.6.2 Speicher mit konstantem Volumen und veränderlichem Druck (Nachteil). Vorteile: Kleine Abmessungen, keine beweglichen Teile (bis auf eine Membran, die manchmal zur Trennung von Druckgas und der Speicherflüssigkeit verwendet wird).

Abb. 3.6.2: Prinzipskizze eines Druckgasspeichers 3.2.3 Erzeugung des (hydrostatischen) Druckes durch Innere Kräfte, Gewichtskräfte 3.2.3.1 In Flüssigkeiten (inkompressible Fluide)

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An der Freien Oberfläche einer Flüssigkeit herrscht der Bezugsdruck p0 . Nach dem PASCAL-schen Druckfortpflanzungsgesetz setzt sich dieser gleichmäßig durch die Flüssigkeit fort, Abb. 3.7. Dem Druck p0 überlagert sich innerhalb der Flüssigkeit der sogenannte Schweredruck pS infol-ge des Gewichts der Flüssigkeitssäule, pS = dG / dA = dm g / dA = ρ dV g /dA = ρ z g dA / dA = ρ g h, der linear mit der Flüssigkeitstiefe h zunimmt.

Abb. 3.7: zum Schweredruck (Die Flüssigkeit ist in Ruhe, da die Gewichtskraft eine Innere Kraft ist, die nach NEWTON kei-ne Schwerpunktsverschiebung hervorrufen kann- ihr entgegen wirkt stets eine gleichgroße Auf-triebskraft d Fs = pS dA = - d G = - dm g = ρ g h dA) Den Gesamtdruck in z beschreibt das sogenannte hydrostatische Grundgesetz p(z) = p0 + pS = p0 + ρ g ( z0 - z ) = p0 + ρ g h (3.16) In Punkten gleicher Tiefe z herrscht, unabhängig von der Form oder Größe des Flüssigkeitsbe-hältnisses, überall der gleiche Druck. Linien gleichen Drucks heißen Isobaren- also sind Freie Oberflächen Isobaren (Meeresspiegel ⇔ Normal- Null). (3.16) zeigt, dass sich der Druck durch die Länge einer Flüssigkeitssäule ausdrücken lässt: Mess-geräte, die dieses Prinzip der Druckmessung benutzen, heißen Flüssigkeits- Manometer, Abb.3.8.1. _____________________________________________________________________________ Bemerkungen: - die Manometerflüssigkeit, auch Mess- oder Sperrflüssigkeit genannt, wird anhand seiner

Dichte für verschiedene Messbereiche des Manometers gewählt. Eingesetzt werden Wasser, Öle, Alkohole und spezielle Flüssigkeiten wie z.B. Tetrachlorkohlenstoff, Tetrabromäthan; das früher verwendete gesundheitsschädliche Quecksilber sollte nicht mehr eingesetzt wer-den!

- zu beachten ist, dass das U- Rohr- Manometer einen konstanten Querschnitt A besitzen und dass die Flüssigkeitssäule homogen sein muss; ferner muss für genaueste Messungen der

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Temperatureinfluss auf die Längsausdehnung der Manometerflüssigkeit und das Gefäß be-rücksichtigt werden, auch die Effekte der Kapillarität.

_____________________________________________________________________________

Abb. 3.8.1: Flüssigkeits- (U- Rohr)- Manometer /5/ Die Druckdifferenz berechnet sich zu p1- p2 = (ρM - ρF) g ∆h (3.17) Für p2 = 0, d.h. absolutes Vakuum, also einen evakuierten (geschlossenen rechten) Schenkel des U- Rohr- Manometers in Abb. 3.7, ist p1 ein absoluter oder barometrischer Druck. Für p2 ≠ 0 ist p1- p2 ein relativer oder manometrischer Druck (auch Differenzdruck). Bezogen auf einen beliebig wählbaren Bezugsdruck p0 - zumeist wird der Umgebungs-(luft)druck pamb („ambiente“, span. für Umgebung) gewählt- wird der absolute Druck p (manchmal auch noch als pabs bezeichnet) als Überdruck p - p0 = pü (3.18.1) oder Unterdruck p0 - p = pu (3.18.2) bezeichnet; pü, pu sind relative Drücke. Die Größe p = 0 heißt absolutes Vakuum; das relative Vakuum ist definiert als pu/pamb = (pamb – p)/pamb = 1- p/pamb (3.19) Abb. 3.8.1 zeigt verschiedene Manometer, die nach dem erwähnten Prinzip arbeiten. _____________________________________________________________________________ /5/ Mesch, F. Messtechnisches Praktikum für Maschinenbauer und Verfahrenstechniker, 3. Auf-lage; BI Hochschultaschenbuch Band 736; Bibliographisches Institut, Karlsruhe 1981 3.2.3.2 In Gasen (kompressible Fluide) Der Schweredruck bei kleinen Gasvolumina ist meist vernachlässigbar.

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Bei Gasschichten großer Ausdehnung, insbesondere bei der Erd- Atmosphäre, ist die Druck-änderung bei Höhenänderung nicht vernachlässigbar. Der absolute Umgebungs- oder Luftdruck pamb wird durch das Gewicht der Lufthülle verursacht, er schwankt in Abhängigkeit von Temperatur und Feuchtigkeit und hängt von der geographischen Ortshöhe ab, pamb = pamb (Ortshöhe, Klima). Auch hier gilt natürlich grundsätzlich (3.16), hier in der Form dpamb = - ρ (T, ϕ, z) g dz (3.18) geschrieben. Da aber die Dichte abhängig ist von Temperatur T, Feuchte ϕ und örtlichem Druck (Höhe z), und diese Abhängigkeit nicht in Form einer allgemeinen Gleichung dargestellt werden kann, muss auf Messdaten und Näherungsbeziehungen zurückgegriffen werden. Meist verwendet man dabei verschiedene thermodynamische Modellvorstellungen für die Erd-atmosphäre: Mit der Annahme, dass die Temperatur der Erdatmosphäre konstant ist, verwendet man das so-genannte isotherme (oder barotrope) Modell, in dem der Druck p mit der Höhe z exponentiell abnimmt, also p(z) = p0 exp [- z ρ0 g/ p0], (3.19.1) (p0, ρ0 sind dabei die ZuGr an der Erdoberfläche, z= 0). Da aber die Temperatur real mit etwa 6, 5 °C/ km abnimmt, liefert (3.19.1) nur bis etwa z = 400 m Höhe brauchbare Druckwerte. Für größere Höhen benutzt man das sogenannte isentrope (o-der barometrische) Modell, bei dem sich der Druck p mit der Höhe z nach p(z) = p0 [1- z (κ - 1) ρ0 g/ (κ p0 )] (κ/ (κ - 1)) (3.19.2) ändert. Setzt man in (3.19.2) statt des Isentropenexponenten (für Luft) κ den Polytropenexponenten n ein, so erhält man den Druckverlauf p(z) in großen Höhen für das polytrope Modell der Erdat-mosphäre. 3.3 Technische Umsetzung des hydrostatischen Grundgesetzes a) Kommunizierende Gefäße

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Das Verhalten von Fluiden in verbundenen Gefäßen läßt sich m.H. des hydrostatischen Grund-gesetzes und des Druckfortpflanzungsgesetzes klären, Abb. 3.9. Aus p1 = pamb + ρ1 g h1 + ρ2 g h0 p2 = pamb + ρ2 g (h2 + h0) erhält man hieraus mit p1 = p2 = p die Beziehung zwischen den Höhen und Dichten h2/h1 = ρ1/ρ2 . (3.20)

Abb. 3.9: Skizze eines kommunizierenden Gefäßes /4/ Für gleiche Flüssigkeiten, d.h. ρ1 = ρ2 , wird h2 = h1. Technisch angewandt wird dieser Effekt in der sogenannten Mammut - Pumpe, Abb. 3.10, und beim Kaminzug, Abb. 3.11. b) Mammut- Pumpe oder Druckluft- Heber

Abb. 3.10: Mammut- Pumpe oder Druckluft- Wasserheber /6/ - das nach unten offene Förderrohr (S) und das umgebende Gefäß (F) bilden das kom- munizierende Gefäß. _____________________________________________________________________________ /6/ Schulz, H. Die Pumpen, 13. Auflage; Berlin 1983 Durch eine separate Druckluftleitung (R) wird dem Förderrohr am unteren Ende ständig Luft eingedüst. Da damit das entstehende Flüssigkeit- Luft- Gemisch eine geringere Dichte besitzt als die das Rohr umgebende Flüssigkeit, steigt das Flüssigkeit- Luft- Gemisch im Förderrohr hoch und tritt (bei richtiger Auslegung) am oberen Rohrende aus. Vorteil : Pumpe ohne bewegte Teile, verschleißarm.

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Nachteil: hoher Druckluftbedarf c) „Natürlicher Zug“ in Schornsteinen Für die dem Schornstein unten zugeführte warme Luft mit Tli > Tla (i innen, a außen) gilt einer-seits nach der thermischen ZuGl (2.7) ρli < ρla, andererseits gilt unten und oben (o oben, u unten) das hydrostatische Grundgesetz (3.16), also plui = ploi + ρli g h und plua = ploa + ρla g h, mit ploi = ploa. Daraus erhält man die Druckdifferenz zwischen außen und innen plua- plui = (ρla - ρli) g h, (3.21) verantwortlich für den „Zug“ des Schornsteins. d) „Heben“ von Flüssigkeiten

Abb. 3.10: Prinzipdarstellung zur Saugwirkung /4/ Anhand von Abb. 3.11 läßt sich die Saugwirkung in Pumpen erklären: In die Flüssigkeit (Fl) ragt ein Rohr (R), das oben mit einem Ventil (V) verschlossen werden kann. M.H. einer Pumpe evakuiert man nun das Rohr über der Leitung (L) bis auf den Absolut-druck pSu = pamb- pS, abs und die Flüssigkeit steigt im Rohr (R) um die Saughöhe HS HS = (pamb- pS,abs)/(ρg) = pSu/(ρg). (3.22.1) Zu beachten ist, dass der Saugdruck nur bis zum Dampfdruck pD der angesaugten Flüssigkeit abgesenkt werden kann (der Dampfdruck einer Flüssigkeit hängt ab vom Fluidtyp und stark von

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der Temperatur), denn wird dieser erreicht, siedet die Flüssigkeit und es entsteht ein inhomoge-nes Fluid. Mit pSabs > pD erhält man für die maximale (theoretische*) Saughöhe HSmaxth HSmaxth = (pamb- pD)/(ρ g) . (3.22.2) (* Die tatsächliche maximale Saughöhe HSmax < HSmaxth aufgrund von Strömungsverlusten, die im Laufe dieser Arbeit behandelt werden) 3.4 Fluidkräfte auf Wandungen Es werden nachfolgend offene Behälter betrachtet, d.h. der Bezugsdruck p0 in (3.16) ist gleich dem Umgebungsdruck pamb, p0 = pamb; außerdem beschränkt sich dieses Betrachtung auf Flüssig-keiten, wegen der geringen Dichte von Gasen.

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3.4.1 ebene Wandungen 1.Bodenkraft Nach Abb. 3.11 gilt für die Bodenkraft F

Abb. 3.11: zur Herleitung der Bodenkraft F; PASCALsches Paradoxon /4/ F = (pinnen- paußen) A = (pamb + ρ g H – pamb) A = ρ g H A = ρ g VA = FG,A = pÜ A , (3.23) FG,A Gewichtskraft der über A stehenden Flüssigkeitssäule. Die Bodenkraft F auf der (belasteten) Fläche A hängt allein ab von der Größe dieser Fläche und von der Höhe der darüber stehenden Flüssigkeitssäule; F wirkt im Schwerpunkt des über A ste-henden Flüssigkeitskörpers. 2. Seitenkraft Nach Abb. 3.12 und (3.23) gilt

Abb. 3.12: Seitenkraft auf eine schräge ebene Wand /4/ dF = pü dA = ρ g t dA = ρ g sinα y dA , also F = ∫ dF = ρ g sinα ∫y dA = ρ g yS sinα A = ρ g tS A = pS,Ü A , (3.24) (A) (A)

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mit der Definition des statischen Moments 1. Ordnung der Fläche A bezüglich der Achse x bzw. der Definition des Schwerpunktes S der Fläche A ∫ y dA = yS A . (3.25.1) (A) Die Größe der Seitenkraft F ist also gleich der der Gewichtskraft FG eines gedachten Flüs-sigkeitsvolumens V = A H = A tS. _____________________________________________________________________________ Bemerkung: Die hier abgeleiteten Formeln sind für Berechnungen spezieller Probleme nur dann „einfach zu übernehmen“, wenn das hier verwendete Koordinatensystem mit dem des speziellen Problems übereinstimmt ! _____________________________________________________________________________ Der Angriffspunkt der Seitenkraft F wird Druckmittelpunkt D genannt, besitzt die noch zu berechnenden Koordinaten xD, yD Die Koordinate yD berechnet sich nach yD F = ∫ y dF und (3.24) zu (A) yD ρ g sinα A = ∫ y ρ g y sinα dA (A) bzw. yD = ∫ y2 dA/(yS A) = Ixx/(yS A) , (3.26.1) (A) mit der Definition des statischen Moments 2. Ordnung der Fläche A bezüglich der Achse x bzw. der Definition des Flächenträgheitsmoments Ixx der Fläche A bezüglich der Achse x Ixx = ∫ y2 dA . (3.25.2) (A) Für viele einfache geometrische Formen der Fläche A ist IS,xx tabelliert, d.h. das Flächenträg-keitsmoment der Fläche A bezogen auf eine Achse durch den Schwerpunkt S, parallel zur Achse x. Mit Hilfe des Satzes von STEINER, Ixx = IS,xx + yS

2 A (3.27) erhält man damit für yD yD = (ISxx + yS

2 A)/(yS A) = yS + ISxx/(yS A) . (3.26.2) Mit ey = yD – yS , ex = xD - xS (3.28.1, 3.28.2) wird die Exzentrizität in y- und in x- Richtung bezeichnet. Für die Koordinate xD gilt entsprechend zunächst xD F = ∫ x dF, dann (A) xD ρ g yS sinα A = ∫ x ρ g y sinα dA und damit

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(A) xD = ∫ x y dA /(yS A) = Ixy/(yS A) , (3.29) (A) mit Ixy = ∫ x y dA , (3.25.3) (A) der Definition des statischen Moments 2. Ordnung der Fläche A bezüglich den Achsen x und y bzw. der Definition des Deviationsmoments der Fläche A bezüglich der Achsen x und y. D.h. der Druckmittelpunkt D der Fläche A liegt um yD „tiefer“ und um xD „seitlicher“ als der Flächen- Schwerpunkt S der Fläche A; nur für Flächen mit einer Symmetrieachse durch S, paral-lel zu y wird xD = 0, d.h. D liegt senkrecht unterhalb S. 3. Aufkraft Abb. 3.13 zeigt eine Prinzipskizze dieses Belastungsfalls.

Abb. 3.13: Aufkraft auf eine beliebige, auch unebene Fläche A /4/ Der Einfüllstutzen eines Behälters steht die Flüssigkeit um die variable „Höhe“ t über dem De-ckel des Behälters. Für die Aufkraft gilt zunächst wiederum dF = pÜ dA = ρ g t dA = ρ g dV, also F = ∫ dF = ∫ ρ g dV = ρ g V = FG ; (3.30) (A) (A) FG ist die Gewichtskraft eines fiktiven Flüssigkeitskörpers, der sich, oberhalb der gedrückten Fläche A, bis zur Freien Oberfläche des Einfüllstutzens erstreckt. Die Kraft FG wirkt im Schwer-punkt SV dieses Flüssigkeitskörpers.

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3.4.2 gekrümmte Wandungen Der Behälter in Abb. 3.14 ist aus Gründen der Vereinfachung als symmetrisch zur z- Achse ge-wählt.

Abb. 3.14: Kraft auf symmetrische, gekrümmte Wandung /4/ Die auf den um den Winkel α geneigten Flächenstreifen dA wirkende Kraft dF wird in eine hori-zontale (y- Richtung) und vertikale (t- Richtung) Komponente zerlegt; dAy, dAt sind die in die y- und die t- Richtung projizierten Komponenten von dA, für die gilt dAy = dA sinα und dAt = dA cosα. Für die Kraftkomponenten gilt entsprechend dFy = dF sinα = pÜ dA sinα = ρ g t dAy und dFt = dF cosα = pÜ dA cosα = ρ g t dAt ; dementsprechend gilt für die Horizontal- Komponente Fy der Kraft F Fy = ∫ dFy = ρ g ∫ t dAy (3.27.1.1) (A) (Ay) oder, mit dem statischen Moment 1. Ordnung der Projektionsfläche Ay bezüglich der x- Achse ∫ t dAy =tSy Ay , (Ay) Fy = ρ g tSy Ay = pSyÜ Ay . (3.27.1.2) Für die Vertikal- Komponente Ft gilt Ft = ∫ dFt = ρ g ∫ dV = ρ g V = FG . (3.27.2) (A) (V) Die Exzentrizität ist- in diesem speziellen Fall der zur z- Achse symmetrischen gedrückten Flä-che A– ey = tDy- tSy = ISxx/(tSy Ay), ex = 0 . (3.28.1, 3.28.2)

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Es gelten damit folgende Zusammenhänge: 1. Die Horizontalkraft Fy gegen eine gekrümmte Fläche ist gleich der Druckkraft gegen die Pro-jektion der gedrückten Fläche in horizontaler Richtung. 2. Die Wirkungslinie der Horizontalkraft Fy geht durch den Druckmittelpunkt Dy der Projektion der gedrückten Fläche in horizontaler Richtung. 3. Die Vertikalkraft Ft = - Fz gegen eine gekrümmte Fläche ist gleich der Gewichtskraft des Flüs-sigkeitskörpers, der über der gedrückten Fläche steht und bis zur Freien Oberfläche reicht. 4. Die Wirkungslinie der Vertikalkraft Ft geht durch den Schwerpunkt Sv des Flüssigkeitskör-pers, der über der gedrückten Fläche steht und bis zur Freien Oberfläche reicht. Der Betrag der Gesamtkraft F lässt sich natürlich nach ________ F = √ Fy

2 + Ft2 , (3.29.1)

die Richtung nach tanβ = Ft/Fy (3.29.2) bestimmen. Für eine zur z- Achse unsymmetrisch gedrückte Fläche A erhielte man natürlich, zusätzlich zur Horizontal- Komponente Fy und zur Vertikal- Komponente Ft, eine weitere Horizontal- Kompo-nente Fx mit Fx = ρ g tSx Ax (3.27.3) und der Exzentrizität ex = tDx – tSx = ISxx/(tSx Ax); (3.28.3) die Berechnung dieser zweiten Horizontal- Komponente Fx erfolgt natürlich völlig analog zu der der ersten Horizontal- Komponente Fy. Die Gesamtkraft im räumlichen Fall ist dann ____________ F = √ Fx

2 + Fy2 + Ft

2 , (3.30.1) mit den beiden Richtungswinkeln tanβy = Ft/Fy , tanβx = Ft/Fx . (3.30.2, 3.30.3) 3.5 Auftrieb

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Die Kraft, die ein Fluid auf einen eingetauchten Körper ausübt, wird als statischer Auftrieb be-zeichnet. Nach ARCHIMEDES ist diese Kraft bekanntlich gleich der Gewichtskraft des ver-drängten Fluidvolumens. 3.5.1 Auftriebskraft Die Auftriebskraft ergibt sich nach Abb. 3.15 aus der Differenz der vertikal nach unten wirken-den „Ab“kraft dF1x und der vertikal nach oben wirkenden „Auf“kraft dF2x. D.h. nach dFa = dF2x – dF1x = dF2 cosα2 – dF1 cosα1 = (ρ g t2 + pamb) dA2 cosα2 – (ρ g t1 + pamb) dA1 cosα1 = (p2 – p1) dA = ρ g (t2 – t1) dA = ρ g dVK erhält man Fa = ρ g ∫ dVK = ρ g VK (3.31) (VK)

Abb. 3.15: zur Berechnung der Auftriebskraft auf einen eingetauchten Körper /4/ Die Auftriebskraft greift im Schwerpunkt des Körpers an. _____________________________________________________________________________ Bemerkungen: 1. Der Körper dreht sich solange, bis die Auftriebskraft im Schwerpunkt des Körpers angreift. 2. Bei vollkommen in das Fluid eingetauchten Körpern unterscheidet man - das Schweben des Körpers bei FG = Fa - das Aufsteigen des Körpers bei FG < Fa - das Absinken des Körpers bei FG > Fa

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3. Liegt der Körper so auf dem Boden, daß kein Fluid – auch keine molekulare Fluidschicht ! – unter den Körper dringen kann, so ist die „Auf“kraft Null und es ist kein Auftrieb vorhanden, d.h. der Körper wird dann mit der „Ab“kraft auf den Gefäßboden gedrückt. 4. Bei sich nicht mischenden Fluiden verdrängt das schwere Fluid das leichtere nach oben, auf-grund der Auftriebskraft. ___________________________________________________________________________ 3.5.2 Schwimmen und Gleichgewicht Ein Körper kann nur dann schwimmen, wenn die auf sein Gesamtvolumen bezogene Dichte klei-ner ist als die des Fluids, in das er eingetaucht ist. Der Körper taucht dann soweit in das Fluid ein, bis die o.e. Bedingung für ein Schwimmen erfüllt ist. Die Gleichgewichts - Bedingung für das Schwimmen lautet also Fa = FG (3.32) Der Begriff des „Gleichgewichts“ erfordert eine Definition der Stabilität: Man unterscheidet - die stabile Schwimmlage - die labile Schwimmlage und - die indifferente Schwimmlage Abb. 3.16 zeigt diese Schwimmlagen.

Abb. 3.16: Stabilitätsfälle des Schwimmens /4/ a) stabil b) labil c) indifferent

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Praktische Anwendung: (Berechnung der) allgemeinen Stabilitätsbedingung Bei vielen praktischen Problemen ist die stabile Schwimmlage von großer Wichtigkeit: Eine stabile Schwimmlage liegt dann vor, wenn der Schwimmkörper nach einer Störung wieder in seine Gleichgewichtslage zurückkehrt, was für Auslenkwinkel α < 12° der Fall ist.

Abb. 3.17: Stabiles Schwimmen /4/ Abb. 3.17 zeigt die Auftriebskraft dFa = ρ g dV = ρ g z dA mit z = x α (α < 12°, in Bogenmaß also α < 0,21). Das Moment der Auftriebskraft Ma0 bezogen auf den Koordinatenursprung 0 nach einer Auslen-kung um α ist 0 b Ma0 = Fz x1 - ∫ x dFa - ∫ x dF-a . b 0 Für stabiles Schwimmen muß dieses Moment gleich dem rückdrehenden Moment F’z x2 sein, d.h. also der Auftriebskraft F’z = Fz, die im Schwerpunkt S’V angreift: 0 b F’z x2 = Fz x1 - ∫ x dFa - ∫ x dF-a, b 0 mit F’z = ρ g V und dF-a = dFa = ρ g α x dA. Setzt man diese Größen ein und faßt die Integrale zusammen, so erhält man zunächst b V ρ g (x1 + x2) = ρ g α ∫ x2 dA; 0 mit den Abkürzungen b x1 + x2 = α(hm + e) , Is = ∫ x2 dA = Is(α) 0 und der Definition der metazentrischen Höhe

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hm = Is/V – e (3.33) erhält man für hm > 0 die allgemeine Stabilitätsbedingung ISmin /V > e. (3.34) _____________________________________________________________________________ Bemerkung: Bei Schiffen beträgt hm, je nach Typ, zwischen 0,4 m und 1,2 m. _____________________________________________________________________________ In der vorstehenden Ableitung wurden folgende Bezeichnungen verwendet: - As Schwimmfläche , d.h. Körper- Querschnittsfläche in der Freien Oberfläche - α Auslenkwinkel aus der stabilen Schwimmlage - 0 Drehachse des Körpers, in der Schwimmfläche gelegen; geht durch die Schwerpunkte SK, SV - SK Körperschwerpunkt, unabhängig von α - SV Schwerpunkt des verdrängten Flüssigkeitsvolumens bei α = 0 - S’V Schwerpunkt des verdrängten Flüssigkeitsvolumens bei α ≠ 0; es gilt S’V = S’V(α) - V vom Körper verdrängtes Flüssigkeitsvolumen - M Metazentrum, Schnittpunkt der Wirkungslinie von Fa mit der Symmetrieachse des Körpers - hm metazentrische Höhe - e Exzentrizität, Abstand zwischen SK und SV 4. Messtechniken der Hydrostatik

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In der Hydro- oder Fluidstatik werden statische Messgrößen ermittelt, d.h. zeitlich unveränderli-che oder kaum veränderliche Messgrößen. Für die Messtechnik ist diese Tatsache von großer Bedeutung, denn so braucht man sich bei den hier zu behandelnden Messgrößen nicht um ihre Dynamik und nicht um die dynamischen Eigenschaften des Sensors des zu verwendenden Mess-gerätes zu kümmern. Nachfolgend werden die wichtigsten Geräte für die (industrielle) Messung von Volumen (oder Füllstand) von Flüssigkeiten, Dichte, Viskosität und, Druck vorgestellt, insbesondere solche Ge-räte, die ein hydrostatisches Messprinzip verwenden. 4.1 Messung des Flüssigkeitsvolumens oder Füllstands Die kontinuierliche und diskontinuierliche Füllstandsmessung dient zur Bestimmung des Inhalts von Behältern, Tanks, Silos, Bunkern usw. Vom Messverfahren her werden unterschieden - mechanische Verfahren - elektromechanische Verfahren - rein elektrische Verfahren - hydrostatische und pneumatische Verfahren - Ultraschall- Verfahren - andere spezielle Verfahren Bei den mechanischen Verfahren wird häufig mit Schwimmern gearbeitet, Abb. 4.1.1, bei de-nen der Schwimmer als Messwertaufnehmer für die Höhe der Freien Oberfläche dient. Abb. 4.1.1: Messung der (Höhe der) Freien Oberfläche m.H. eines Schwimmers /7/ Die Kraft FR dient zur Anzeige des eingetauchten Schwimmervolumens V1 FR ≈ mS g – g V1 ρ1 , mit mS , der Masse des Schwimmers. Der Messwert kann rein mechanisch oder elektrisch zur Anzeige oder Registrierung gebracht werden. Abb. 4.1.2 zeigt eine hydrostatische Füllstandsmessung: Anhand des hydrostatischen Boden-drucks p = g (ρ1 h1 - ρ2 h2) ___________________________________________________________________________ /7/ Profos, P. (Herausgeber), Handbuch der Industriellen Messtechnik, 4. Auflage; Vulkan- Ver-lag, Essen 1987 am Differenzdruckmanometer läßt sich der Füllstand angeben.

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Abb. 4.1.2: Füllstandsmessung m.H. einer Differenzdruckmessung des Bodendrucks im Behäl ter /7/ Pneumatische Füllstandsmessungen erfolgen zumeist m.H. der sogenannten Einperlmethode, Abb. 4.1.3: Über ein Tauchrohr wird dabei Druckluft (Stickstoff) in die zu messende Flüssigkeit „perlend“ eingebracht. Abb. 4.1.3: Pneumatische Füllstandsmessung m.H. der Einperlmethode /7/ Der pneumatische Druck, der sich hinter der Drosselstelle im Tauchrohr einstellt, entspricht dem hydrostatischen Druck über dem Rohrende und ist somit ein Maß für den Füllstand. 4.2 Dichtemessung Folgende Methoden der Dichtemessung von Fluiden werden industriell angewandt: Für Flüssigkeiten - Wägemethode - Auftriebsmethode - Schwingungsmethode - Hydrostatische Methode und für Gase - Wägemethode - Strömungsmethoden - Schwingungsmethoden Bei der diskontinuierlichen Dichtemessung von Flüssigkeiten werden bei der Wägemethode Pyk-nometer eingesetzt, kleine Wägeflaschen mit präzisem Volumen.

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Nach der Auftriebsmethode arbeiten Hydrostatische Waagen und Aräometer, Abb. 4.2.1, einem Senkkörper (Masse mA, Spindelquerschnitt ASp = π r2) an dem die Dichte der Flüssigkeit propor-tional der abgelesenen Länge h ist. Abb. 4.2.1: Aräometer zur Bestimmung der Dichte von Flüssigkeiten /5/ Abb. 4.2.2 zeigt eine pneumatische Dichtemessung: Durch den Volumenstrom- Regler (2) wird ein konstanter Volumenstrom der Luft eingestellt. Die einströmende Luft kann nur an der Ausströmdüse (7) austreten, wo sich ein hydrostatischer Druck ph einstellt, der im gesamten Perlrohr (6) konstant ist, d.h. dass der hydrostatische Druck im Innern der Flüssigkeit in einen Luftdruck pM im Druckraum (3) umgeformt wird. Der hydro-statische Druck ph auf die Austrittsfläche AD des Perlrohrs ist gleich der Gewichtskraft FG der darüber stehenden Flüssigkeitssäule, , d.h. pM = ph = FG/AD = AD h ρ g / AD = ρ g h, Abb. 4.2.2: Pneumatische Dichtemessung durch Messung des statischen Drucks /7/ was bei h = const und langsam ausperlender Luft zum Messwert ρ = pM/gh, führt. Die Dichte von Gasen misst man m.H. einer Gasdichtewaage, Abb. 4.2.3:

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Abb. 4.2.3: Gasdichtewaage /7/ Man misst dabei den Auftrieb den eine mit trockener Luft gefüllte Glaskugel im Messgas erfährt; die Absorption des Gases durch die Glasoberfläche und der von Temperatur- und Druckände-rungen wird durch entsprechende Kompensationen ausgeschlossen. 4.3 Viskositätsmessung Viskosimeter werden unterschieden nach den im entsprechenden Gerät vorliegenden Strömungs-formen der zu messenden Flüssigkeit. Man arbeitet mit - einer Kapillarströmung - einer Strömung zwischen zwei konzentrisch rotierenden Zylindern - einer Strömung zwischen zwei axial bewegten konzentrischen Zylindern - einer instationären Schichtenströmung und - einer Schleichströmung Abb. 4.3.1: Permanent- Viskosimeter /7/ Abb. 4.3.1 zeigt ein Kapillarviskosimeter, bei dem die Druckdifferenz ∆p = ρ g h in der Kapilla-re (c) in Form der Ausflusshöhe h gemessen wird, die direkt proportional der kinematischen Viskosität ν = η/ρ ist, mit der dynamischen Viskosität η.

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Abb. 4.3.2: Prinzipbild eines Rotationsviskosimeters /7/ Ruht der innere Zylinder, so spricht man von einem COUETTE- Viskosimeter; bei diesem ist die dynamische Viskosität η der stationär und laminar zwischen den Zylindern strömenden Flüssig-keit proportional dem antreibenden Drehmoment des inneren Zylinders. In Abb. 4.3.3 ist ein Fallkörper- Viskosimeter dargestellt, bei dem die dynamische Viskosität η proportional der Fallgeschwindigkeit v eines Fallkörpers in einem Rohr ist. Zwischen dem Fall-körper (Kugel b) und dem Messrohr (a) bildet sich dabei eine schleichenden Strömung aus. Abb. 4.3.3: Prinzipskizze eines Fallkörper- Viskosimeters /7/ 4.4 Druckmessung Bezüglich der Meßaufgabe müssen unterschieden werden Meßgeräte für Überdruckmessungen und solche für Unterdruckmessungen. Bezüglich des Meßprinzips werden folgende Gerätegruppen unterschieden:

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- Druckmeßgeräte mit Sperrflüssigkeit - Federelastische Druckmeßgeräte - Druckmeßumformer a) Druckmeßgeräte mit Sperrflüssigkeit Diese Geräte verlieren im industriellen Einsatz an Bedeutung und werden noch zu Messungen kleiner Drücke oder Druckdifferenzen eingesetzt. Bevorzugte Sperrflüssigkeiten sind - Wasser (meist gefärbt) mit ρ ≈ 103 Kg/m3 - Quecksilber mit ρ ≈ 13,55 103 Kg/m3 - Alkohole, Öle und für niedrigere Drücke - Tetrachlorkohlenstoff mit ρ ≈ 1,6 103 Kg/m3 - Tetrabrommethan mit ρ ≈ 2,96 103 Kg/m3 Bei einem Teil der Geräte (ein- oder zweischenklige U- Rohr- oder Schrägrohr- Manometer) stellt die Säule der Sperrflüssigkeit das Messelement dar; aus der Höhendifferenz von Freien Oberflächen oder Trennflächen läßt sich der Druck unter der Berücksichtigung der Dichte der Sperrflüssigkeit berechnen. In Abb 3.8.1 sind diese Geräte schematisch dargestellt. Bei der Druckmessung in Flüssigkeiten (Dichte ρ1) m.H. eines zweischenkligen U- Rohr- Ma-nometers , Abb. 4.4.1, ist die Höhendifferenz h1 zwischen Meßort und Meßgerät zu berücksich-tigen pe = g(h ρ - h1 ρ1), zu berücksichtigen ist ferner, daß h1 von h abhängt. Abb. 4.4.1: Zweischenkliges U- Rohr- Manometer /8/ ___________________________________________________________________________ /8/ Strohrmann, G. Messtechnik im Chemiebetrieb; Oldenbourg Verlag, München 1997 Einschenklige Manometer, Abb. 4.4.2, besitzen ein Druckgefäß, so daß sich die Oberflächenver-schiebung im Gefäß zu der im Meßschenkel wie 1: 100 verhält. Bei Druckmessungen in Flüssigkeiten mit der Dichte ρ1 muß auch bei einschenkligen Manome-tern die Höhe h1 berücksichtigt werden, hier aber hängt h1 praktisch nicht von h ab !

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Bei Schrägrohr- Manometern ist ein Schenkel schwach ansteigend angeordnet, so daß sich damit eine kleine Höhendifferenz verstärkt darstellen läßt. Hierbei ist zu beachten, daß die Nei-gung bei Kalibrierung und Messung gleich sein muß, daher sind solche Geräte mit Libelle und Justierschraube ausgerüstet. Bei einem Barometer wird ein Schenkel verschlossen und evakuiert, so daß sich in diesem Schenkel oberhalb der Sperrflüssigkeit lediglich Dampf der Sperrflüssigkeit befindet. Für den Druck pabs gilt dann pabs = ρ g h. Abb. 4.4.2: Einschenkliges (Gefäß-) Manometer /8/ Andere Geräte, z.B. die sogenannte Ringwaage, Abb. 4.4.3, und das Tauchsichelgerät, Abb.4.4.4, benutzen die Sperrflüssigkeit lediglich zur Trennung von Druck- und Bezugsdruck-raum, ihre Dichte beeinflußt die Meßgenauigkeit nicht. Abb. 4.4.3: Ringwaage /8/ Die bei einer Überdruckmessung von außen druckbeaufschlagte sichelförmige Glocke (Tauchsi-chel S) - von innen wirkt der Bezugsdruck - taucht in die Sperrflüssigkeit ein, bis ein Kräfte-gleichgewicht herrscht zwischen der resultierenden Druckkraft und der Gewichtskraft des Nei-gungsgewichts G. Die Kraft wird über eine Waage in Druckeinheiten angezeigt.

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Für Unterdruckmessungen wird die Glocke von innen druckbeaufschlagt, von außen wird der Bezugsdruck aufgebracht. Abb. 4.4.4: Tauchsichelgerät /8/ Im Tauchglocken- Meßwerk, Abb. 4.4.5, wird die auf die Tauchglocke (2) wirkende resultie-rende kleine Kraft (bei kleinen Differenzdrücken) in ein elektrisches Signal umgeformt. Abb. 4.4.5: Tauchglocken- Meßwerk /8/ - 1 Sperrflüssigkeit - 2 Glocke b) federelastische Druckmeßgeräte Hierzu gehören Rohr- (oder BOURDON-) Feder- Manometer, Abb. 4.4.6, und Plattenfeder- Manometer, Abb. 4.4.7; sie messen einen relativen Druck, im allgemeinen bezogen auf den At-mosphärendruck.

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a) - 1 Rohrfeder - 3 Federendstück b) Abb. 4.4.6: Rohr- (oder BOURDON-) feder- Manometer a) Prinzipbild b) Querschnitte von Rohrfedern verschiedener Nenndrücke - 2 Druckraum a) - 4 Plattenfeder b) c) Abb. 4.4.7: Plattenfeder- Manometer a) Prinzipbild b) Kapselfedern c) Wellrohrfeder Druckbereiche, Linearität und Hysterese werden durch die Anzahl der Wellungen, deren Form und Tiefe, und durch die Materialstärke der Plattenfeder bestimmt. Für die Messung von Differenzdrücken unterscheidet man anhand des Meßprinzips - Geräte mit Sperrflüssigkeit - Geräte mit federelastischem Meßwerk

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- Differenzdruck- Anzeiger - Differenzdruck- Meßumformer Abb. 4.4.8: U- Rohr- Manometer zur Messung des Differenzdrucks zwischen zwei Messstel- len /8/ ∆p ist proportional der Differenz der Dichten von Sperr- und Meßflüssigkeit Abb. 4.4.9: Differenzdruckmessung m.H. eines Plattenfeder- Messgeräts /8/ 1 Plattenfeder 2 Minus- Druckkammer 3 Plus- Druckkammer

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Teil 2

Hydrodynamik 5. Hydrodynamik (Fluid- Dynamik) 5.1 Grundbegriffe zur Beschreibung der Strömung von Flüssigkeiten 1. Einteilung der Strömungen Strömungsgruppen: - eindimensionale (Linien-) Strömung

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- zweidimensionale (Flächen-) Strömung - dreidimensionale (Raum-) Strömung Strömungsarten: - instationäre Strömung Strömungsparameter c, p, ρ, T sind zeit- und ortsabhängig - stationäre Strömung Strömungsparameter sind nur ortsabhängig, zeitlich also konstant Anhand der Strömungsgeschwindigkeit c es werden unterschieden gleichförmige Strömung c(s) = const ungleichförmige Strömung c(s) ≠ const Strömungsformen: - Laminare (Schichten-) Strömung - Turbulente (Wirbel-) Strömung Strömungsklassen: - Potentialströmung reibungsfreie und wirbel- und drehungsfreie Strömung - Wirbelströmung reibungsfrei reibungsbehaftet 2. Einteilung der Fluide Fluidmodelle: - Ideales Fluid viskositätsfrei, also reibungslos - Reales Fluid viskositätsbehaftet und also reibungsbehaftet Fluidarten: - inkompressibles Fluid, ρ = const - kompressibles Fluid, ρ ≠ const 3. Strömungsgeschwindigkeit c lokale Strömungsgeschwindigkeit c: Geschwindigkeit der einzelnen Fluidteile mittlere Strömungsgeschwindigkeit cm: Mittelwert der lokalen Geschwindigkeiten über dem Strömungsquerschnitt c= ds/dt = et ds/dt = c et = ex dx/dt + ey dy/dt + ez dz/dt (5.1) 4. Begriffe zur Bewegung des Fluids Strombahn: - die Bahnlinie oder Strombahn ist der Weg s, den ein Fluidteilchen mit der Ge-schwindigkeit c in der Zeit t zurücklegt. Kann fotographisch durch eine Langzeitaufnahme sichtbar gemacht werden Stromlinie: - Tangentenkurve an zusammenpassende Geschwindigkeitsvektoren Stromlinien sind Kurven, die bei bestimmten Zeitpunkten zum Geschwin-

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digkeitsfeld passen. Kann fotographisch durch eine Momentaufnahme sichtbar gemacht werden - Stromlinien- Verengungen zeigen Querschnitte mit einer beschleunigten Strömung - Stromlinien – Auffächerungen zeigen Querschnitte mit verzögerter Strö mung - Stromlinien können nicht geknickt und sich kreuzend verlaufen Isotachen: - Kurven gleicher Geschwindigkeit Hodograph: - Kurve, die die Endpunkte der von einem Punkt aus angetragenen Ge schwindigkeitsvektoren verbindet Stromröhre: gebildet durch ein Bündel von Stromlinien, die eine ortsfeste, geschlossene Raumkurve berühren. Stromfaden: Stromröhre mit dem infinitesimalen Querschnitt dA; die Strömungsparameter über den Querschnitt sind konstant. Durch die Mantelfläche des Stromfadens kann keine Masse zu- oder abgeführt werden, lediglich durch die Endquerschnitte findet ein Massenfluß statt. Stromfadentheorie: Anwendung der eindimensionalen Strömungsgleichungen auf einfache Syste me. Staupunkt: die Körperstelle mit c = 0, an der eine Stromlinie senkrecht auf den umströmten Körper trifft oder von ihm abgeht. Es gibt eine Stromlinie, die den Körper vorn senkrecht im vorderen Staupunkt (SPv) trifft, sich dort teilt und der Körperkontur folgt und sich hinten im hinteren Staupunkt (SPh) wieder vereinigt und dort senk recht von der Körperoberfläche abgeht. Mit Stromfläche bezeichnet man die umhüllenden Stromlinien eines umströmten Körpers. 5.2 Fluid- Kinematik (also das „Wie“ der Strömung) Es gibt zwei Methoden zur analytischen Beschreibung der Fluid- Bewegung: LAGRANGEsche Betrachtungsweise Es wird der Weg jedes Fluidteilchens analytisch beschrieben, womit komplizier te teilchengebundene LAGRANGE- Bewegungsgleichungen entstehen

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EULERsche Betrachtungsweise Fluidteilchen wird orts- und zeitgebunden beschrieben m.H. der EULERschen Bewegungsgleichungen 1. eindimensionale Strömungen - reine Stromfadenströmung, Inhalt der sogenannten Stromfadentheorie. a) Bewegungsgrößen Weg s: entlang des Stromfadens gemessen Geschwindigkeit c, entlang des Stromfadens: . c = ds/dt = s = f(s,t) , (5.2.1) bei instationärer Flüssigkeit; bei stationärer Strömung gilt . c = ds/dt = s = f(s) . (5.2.2) Beschleunigung b, entlang des Stromfadens: . b = dc/dt = c = ∂c/∂t + c ∂c/∂s , (5.3.1) bei instationärer Strömung und b = dc/dt (5.3.2) bei stationärer Strömung. b) Durchfluß Vernachlässigt man eine Querschnittsänderung der Stromröhre entlang ds, so gilt für den Volu-menstrom . V = dV/dt = d(A s)/dt = (A ds + s dA)/dt ≈ A ds/dt = A c (5.4) und den Massenstrom . . . m = dm/dt = d(ρ V)/dt = V dρ/dt + ρ dV/dt = V ρ + ρ V ; (5.5) bei stationärer Strömung gilt an jeder Stelle der Stromröhre ρ = const, d.h. der Massenstrom ist dann . . m = ρ V = ρ c A (5.5.1) c) Kontinuität . . Nach dem Massenerhaltungssatz muß in der Stromröhre gelten m1 = m2 , d.h. für ρ ≠ const (Ga-se) gilt mit .

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m = ρ V = ρ c A = const , (5.6.1) die Kontinuitätsgleichung genannt. Für ρ = const (Flüssigkeiten) vereinfacht sich (5.6.1) zu . V = c A = const . (5.6.2) In differentieller Form schreiben sich beide Gleichungen als 0 = dρ/ρ + dA/A = dc/c (5.6.1.1) bzw. 0 = dA/A + dc/c . (5.6.2.1) _____________________________________________________________________________ Bemerkung: Die Kontinuitätsgleichung wird in Umgangsform häufig auch als „Contigleichung“ bezeichnet. _____________________________________________________________________________ 2. mehrdimensionale Strömung (von inkompressiblen Flüssigkeiten) Die mehrdimensionale Strömung lässt sich ungleich schwieriger analytisch behandeln als die eindimensionale Strömung. Die allgemeine Bewegung eines Flüssigkeitsteilchens wird dabei dargestellt als eine Superposition von reiner Translation, Deformation (ohne Volumenänderung) und Rotation, siehe Kapitel 9 dieses Teils 2.. 5.3 Fluid- Kinetik (also das “Warum” der Strömung) Die meisten der Strömungsprobleme können nicht exakt analytisch gelöst werden, sie erfordern eine experimentelle und häufig auch empirische Lösung, die Beobachtung von Strömungen mit einschließend. Die dazu notwendigen Experimente werden an Modellen durchgeführt, die nach Ähnlichkeitsbe-ziehungen den originalen um- oder durchströmten Elementen nachgebildet sind.

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Damit die am Modell gewonnenen Ergebnisse auf das Original übertragen werden können, müs-sen die Strömungen ähnlich sein: Strömungen sind ähnlich, wenn die geometrischen und charakteristischen physikalischen Größen (an zugeordneten Stellen der Strömungen) proportional sind. 1.Geometrische Ähnlichkeit Geometrische Ähnlichkeit zwischen Original O und Modell M erfordert eine Proportionalität zwischen Abmessungen (Längen ∼ L, Flächen ∼ L2 und Volumen ∼ L3) und Rauhigkeiten k Also gilt der Längen- Maßstab mL mL = LO/LM = kO/ kM , (5.7.1) der Flächen- Maßstab mA mA = AO/AM = mL

2 (5.7.2) und der Volumenmaßstab mV mV = VO/VM = mL

3 . (5.7.3) _____________________________________________________________________________ Bemerkung: Insbesondere für die Rauhigkeiten ist die geometrische Ähnlichkeit fertigungstech-nisch meist nicht zu realisieren, mL ≠ mO/mM, so daß eine direkte Übertragung der am Modell gewonnenen Ergebnisse auf das Original im Nahbereich der Oberflächen nicht möglich ist. _____________________________________________________________________________ 2. Physikalische Ähnlichkeit, Kennzahlen Physikalisch ähnlich sind Strömungen, wenn eine Proportionalität besteht zwischen den physika-lischen Größen die den Strömungsverlauf bestimmen. Das sind - mechanische Größen wie Zeit, Weg, Geschwindigkeit, Kräfte, Energie, ... - thermische Größen und Stoffeigenschaften wie Temperatur, Dichte, Viskosität, Wärmeleitfä-

higkeit, ... Vollständige physikalische Ähnlichkeit ist kaum zu erreichen. Man fordert daher meist, daß die wesentlichen physikalischen Größen proportional zueinander sind. Hierzu dienen dimensionslo-se, voneinander unabhängige Ähnlichkeitsgrößen, sogenannte Kenngrößen oder Kennzahlen. Diese Kennzahlen lassen sich durch drei Methoden bestimmen: - 1. Dimensionsanalyse: Darstellung der Kennzahlen als dimensionslose Produkte dimensi-

onsbehafteter Größen - 2. Vergleich gleichartiger Größen: es werden Kräfte zueinander ins Verhältnis gesetzt - 3. Lösung von Differentialgleichungen dimensionsloser Variablen: die Variablen der Dif-

ferentialgleichungen (für Bewegung oder Energie) werden durch gleichartige Bezugsgrößen dimensionslos gemacht, die Lösungen der Differentialgleichungen liefern Kennzahlen

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Nachfolgend soll die Bestimmung der Kennzahlen m.H. des Vergleichs gleichartiger Größen dargestellt werden, Methode 2. Die REYNOLDS- Zahl Re, wohl die wichtigste Kennzahl der stationären Strömung eines in-kompressiblen Fluids durch oder um einen Körper, setzt zueinander ins Verhältnis die Träg-heitskräfte und die Widerstandskräfte einer Strömung von Original (O) und Modell (M): Das Verhältnis der Widerstandskräfte FW der Strömung ist ähnlich dem der Trägheitskräfte FT der Strömung, bei vorausgesetzter mechanischer Ähnlichkeit. Für die Widerstandskräfte gilt FWO/FWM = AO ηO dcxO dzM/(AM ηM dcxM dzO), vergleiche (2.14.1); mit den geometrischen Ähnlichkeitsbeziehungen z ∼ L = D, A ∼ L2 = D2, dcx/dz ∼cx/z und cx = c, vergleiche (5.7), entsteht daraus für die Bezugsstellen 1, 2 der Strömung FWO/FWM = D1 η1 c1/(D2 η2 c2) . (5.8.1) Für die Trägheitskräfte gilt FTO/FTM = ρO VO dcxO dtM/(ρM VM dcxM dtO). Mit den Ähnlichkeitsbeziehungen V ∼ L3 = D3, ∆t = ∆s/c ∼ L/c = D/c und also dt ∼ D/c erhält man daraus an den Bezugsstellen 1, 2 der Strömung FTO/FTM = ρ1 D1

2 c12/(ρ2 D2

2 c22) . (5.8.2)

Bildet man das Verhältnis beider, so erhält man daraus die REYNOLDS- Zahl Re = c1 D1/ν1 = c2 D2/ν2 = c D/ν . (5.8) Eine weitere wichtige Kennzahl ist die Machzahl Ma, vergleiche (2.14); sie stellt sich dar als ein Verhältnis von Strömungsgeschwindigkeiten (bzw. von Trägheitskraft der Strömung zu Elas-tizitätskraft des strömenden Mediums)- a ist die Schallgeschwindigkeit-, Ma = cO/aO = cM/aM = c/a. (5.9) Die FROUDE- Zahl Fr ergibt sich aus dem Vergleich von Trägheitskraft und Gewichtskraft des strömenden Mediums. Aus FTO/FTM = mO bO/(mM bM) und

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FGO/FGM = mO g/ (mM g) erhält man für den Quotienten FTO/FGO = FTM/FGM = bO/g = bM/g, unter Berücksichtigung der geometrischen Ähnlichkeit b ∼ c/t = c/(L/c) = c2/L also an den Bezugsstellen 1,2 der Strömung Fr = c1/(√l1 g) = c2/(√l2 g) = c/(√l g) . (5.10) Die STROUHAL- Zahl Sr stellt ein Verhältnis dar von konvektiver und lokaler Beschleuni-gung, bk und bl, ist also wie die Mach- Zahl eine reine kinematische Kennzahl (für instationäre Strömung): Sr = bk/bl = c ∂c/∂s/(∂c/∂t) = c ∂t/∂s = c t/L , (5.11) mit der Ähnlichkeitsbeziehung s ∼ L. 3. Strömungsformen Man beobachtet bei der experimentellen Untersuchung von Strömungen zwei grundsätzlich ver-schiedene Strömungsformen, - eine geschichte Strömung, laminare Strömung genannt und - eine verwirbelte Strömung, turbulente Strömung genannt. 3.1 Laminare Strömung Eine geschichtete Strömung, Abb. 5.1, entsteht bei (sehr) kleinen Strömungsgeschwindigkeiten. Abb. 5.1: Laminare Strömung /4/ 3.2 Turbulente Strömung Ab einem kritischen Wert der Strömungsgeschwindigkeit wird die stabile laminare Strömung instabil, Abb. 5.2.

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Abb. 5.2: Turbulente Strömung /4/ Bei der turbulenten Strömung ist der geordneten Grundströmung ungeordnete stochastische Schwankungsbewegungen längs und quer zur Strömungsrichtung überlagert; die turbulente Strö-mung ist stark durchmischt. Die Turbulenz schwächt sich infolge der makroskopischen Schwankungsbewegungen ab, wenn sie nicht immer neu angefacht werden würde durch die Fluidreibung an den Begrenzungen des Strömungsfeldes, wo sich kleine Wirbel ablösen, die in das Innere des Strömungsfeldes eindrin-gen. Dennoch betrachtet man die „im Kleinen“ instabile turbulente Strömung als „im Großen“ stabil. Die Entstehung der Turbulenzen konnte bisher nicht einwandfrei analytisch geklärt werden. Die Entstehung aus dünnen Fluid- Randschichten des Strömungsfeldes , den Grenzschichten, postu-liert PRANDTL in seiner Grenzschichttheorie: Die theoretische und numerische Behandlung der Turbulenz ist aber noch nicht möglich ! Die Intensität der Turbulenz wird durch den Turbulenzgrad Tu angegeben, _____ Tu ≈ √c‘2

x/ c∞ , 5.12) für turbulente Strömung gilt Tu ≈ 0,1, für turbulenzarme Strömung gilt Tu ≈ 0,01; c‘x ist der Schwankungs- Mittelwert (der Komponente) der turbulenten Schwankungs- Geschwindigkeit c‘. 3.3 kritische Re- Zahl, Strömungsumschlag Der Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung wird beeinflußt durch - die Strömungsgeschwindigkeit c - die Fluidart (ρ, ν) - die geometrischen Abmessungen des Strömungsfeldes - Störungen der Strömung Da auch die REYNOLDS- Zahl diese Einflußgrößen beinhaltet, erfolgt der Umschlag bei der sogenannten kritischen REYNOLDS- Zahl, Rekrit. Diese beträgt für eine Innenströmung (in einem Rohr oder Kanal) Rekrit = ckrit D/ν ≈ 2320 = 2300 (5.13.1) Mit D dem hydraulischen Durchmesser des Strömungsquerschnittes und ckrit, der kritischen Strö-mungsgeschwindigkeit. Es gilt Re < Rekrit → laminare Strömung Re > Rekrit → turbulente Strömung

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Für Außenströmungen (Umströmungen) berechnet sich die kritische REYNOLDS- Zahl nach Rekrit = c Lkrit/ν , (5.13.2) mit Lkrit der kritischen Körpertiefe in Strömungsrichtung. _____________________________________________________________________________ Bemerkungen: - Einige Zahlenwerte zu Rekrit Widerstandskörper (Körper, die nur Strömungswidderstand verur- sachen) Rekrit = (3- 5) 105 bis 3 106 Tragflügel Rekrit = (0,5- 1,5) 105 bis 5 105 - unter sehr störungsfreien Laborbedingungen ist laminare (Innen-) Strömung auch bis Re = 5 104 beobachtet worden, die dann bei kleinsten Störungen, nicht rückkehrbar, in turbulente Strömung umschlägt; bei laminarer Strömung unter Rekrit kehrt eine durch eine Störung turbulent gewordene Strömung wieder in die laminare Strömungsform zurück - Allgemein läßt sich anhand der REYNOLDS- Zahl zeigen, daß bei Strömungen mit kleinem Re- Wert (viskose Strömungen) die Viskosität η die bestimmende Stoffgröße ist, bei Strömungen mit großem Re- Wert (träge Strömungen) ist das die Dichte ρ. - sogenannte schleichende Strömung hat Re ≈ 1; eindimensionale schleichende Strömung heißt Kapillarströmung, zweidimensional heißt sie Schmierschicht- strömung und dreidimensional spricht man von STOKESscher Kugelumströ- mung - technische Strömungen sind durchweg turbulent _____________________________________________________________________________ 4. Grenzschichttheorie Nach der Haftbedingung nimmt die eine Wand berührende Fluidschicht deren Geschwindigkeit an: In einer dünnen Übergangsschicht, der sogenannten Reibungs-, Rand- oder Grenzschicht voll-zieht sich für ein strömendes Fluid der Übergang von der Wandgeschwindigkeit zum Wert der äußeren Strömung, Abb. 5.3. Nach dieser Grenzschichttheorie teilt man das Strömungsfeld in - die Außenströmung (äußerer Bereich) und - die Randströmung (Grenzschicht) ein. In der Grenzschicht herrscht ein großer Geschwindigkeitsgradient, verbunden mit viskosi-tätsbedingten Reibungsverlusten. Die Grenzschichtdicke δ wird als der senkrechte Wandabstand definiert bei dem die Strömungs-geschwindigkeit nur noch um 1% von der Geschwindigkeit der Außenströmung abweicht.

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Abb. 5.3: zur Grenzschichtdicke δ; Geschwindigkeitsverläufe (l laminar, t turbulent) /4/ In der turbulenten Grenzschicht ist der Strömungswiderstand erheblich größer als in der lamina-ren Grenzschicht, doch ist die turbulente Grenzschicht weniger stark ablösegefährdet als die la-minare. Vorteilhaft für die turbulente Grenzschicht ist, daß hier der Wärmeübergang infolge der starken Schwankungsbewegungen in der Grenzschicht größer ist bei laminarer Grenzschicht. Die meisten Grenzschichtphänomene sind analytisch nicht geklärt, was insbesondere die kom-pressiblen Fluiden angeht, bei denen die Temperaturabhängigkeit der Stoffwerte ρ und ν zu be-rücksichtigen ist; bei kompressiblen Fluiden ändert sich die Temperatur mit dem Druck. Kom-pressible Grenzschichten heizen die angrenzende Wand auf, womit sich die Reibungswirkung weiter erhöht. Grenzschichten können sich ablösen, sogenannte Strömungs- Ablösungen bildend: Wenn in Strömungsrichtung längs einer Körperkontur ein Gebiet mit einem Druckanstieg vorhanden ist (durch eine Abnahme der Strömungsgeschwindigkeit), dringt das strömende Fluid aufgrund der abnehmenden kinetischen Energie nicht weit in das Gebiet mit ansteigendem Druck ein und weicht aus, sich dabei von der Wand lösend. Die Fluidteilchen in Grenznähe strömen (zwischen abgelöster Grenzschicht und Wand) infolge des Druckgradienten, der Hauptströmung entgegen, Abb. 5.4. Sie drücken dabei die Grenzschicht in das Innere des Strömungsfeldes, erhöhen hier die Turbulenzen und damit die Strömungsverluste; zwischen der Wand und der abgelösten unge-störten Strömung bildet sich ein von großen Wirbeln durchsetzter Wirbel- oder Totraum, der meist nur durch konstruktive Maßnahmen zu beseitigen ist. Abb. 5.4: Geschwindigkeitsprofile bei Druckabfall (B) und Druckanstieg (V); Ablösepunkt (A) der Grenzschicht /4/ Da die turbulente Grenzschicht sich später ablöst als die laminare, denn ihr Geschwindigkeits-profil ist völliger, Abb. 5.3, wird bei Strömungsproblemen mit Ablösegefahr eine Turbulenz durch sogenannte Stolperdrähte künstlich erzeugt, Abb. 5.5; es gelingt damit, den Ablösepunkt weiter „nach hinten“ zu verlagern.

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Auch durch die entsprechende Gestaltung von Stromlinienkörpern, Abb. 5.6, gelingt es, eine Grenzschicht- Ablösung gering zu halten. Abb. 5.5: Umströmung einer Kugel oder eines Zylinders mit Stromlinien- und Druckverlauf /4/

a) laminare Grenzschicht, Ablösewinkel α < 90° b) turbulente Grenzschicht mit Stolperdrähten, Ablösewinkel α > 90°

Abb. 5.6: Stromlinienkörper /4/ S Staupunkt Die hinter umströmten Körpern wieder zusammentreffenden Strömungsfelder besitzen unter-schiedliche Geschwindigkeiten. Es entstehen zwischen beiden Diskontinuitätsflächen, HELM-HOLTZsche Unstetigkeitsflächen genannt. Diese werden schon durch kleinste Störungen zu harmonischen Wellenbewegungen angeregt, verbunden mit Druckschwankungen gleicher Fre-quenz. Die Wellenbewegungen sind instabil wachsen ständig an und lösen sich in Wirbel auf. Auch beim Freistrahl, dem Ausströmen eines Fluids in die (meist ruhende) Umgebung, Abb. 5.8, kommt es am Strahlrand zu einer starken Wechselwirkung: Der Freistrahl reißt Umgebungsme-dium mit und, verbunden mit einer immer stärker werdenden Vermischung, weitet sich der Frei-strahl kegelförmig auf.

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Abb. 5.8: Freistrahl mit Geschwindigkeitsverläufen und Strahlbereichen /4/ K kontinuierlicher Bereich, T Tropfenbereich, Z Zerstäubungsbereich An der Hinterkante von Zylindern entsteht bei bestimmten Querschnittsabmessungen, Fluid und Strömungsgeschwindigkeiten eine pendelnde Bewegung der Strömung, wobei abwechselnd rechts- und linksdrehende Wirbel von der Ober- und Unterkante des Zylinders erzeugt werden, Abb. 5.7. Diese sogenannten KÁRMÁNsche Wirbel bilden eine Wirbelstraße. Abb. 5.7: KÁRMÁNsche Wirbelstraße /4/ _____________________________________________________________________________ Bemerkung: Messungen von KÁRMÁN ergaben, daß sich für Strömungen mit h/L= 0,28 eine stabile Wirbel-straße ergibt, die in der Gebäude- Aerodynamik zu sehr gefährlichen Schwingungserregungen führen kann. _____________________________________________________________________________ Auch die Umströmung von scharfen Ecken ist immer mit Strömungsablösung verbunden, Abb. 5.7.

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Abb. 5.7: Strömungsablösungen bei der Umströmung von Ecken /4/ 6. (eindimensionale) Strömung der Idealen Fluide Zunächst wird die Strömung Idealer Fluide m.H. der Stromfadentheorie behandelt. 6.1 EULERsche Bewegungsgleichungen für die instationäre und stationäre Absolutströ-mung Idealer Fluide

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Für die Bewegung des Flüssigkeitsteilchens dm längs des Stromfadens erhält man m.H. des NEWTONschen Grundgesetzes, nach Abb. 6.1, Abb. 6.1: Kräfte am freigemachten Fluidteilchen dm in Bewegungsrichtung (längs des Strom- fadens) /4/ . dm b = dm c = ρ dAs ds dc/dt = p dAs – (p + ∂p/∂s ds) dAs sinα Hieraus entsteht mit sinα = dz/ds = ∂z/∂s die sogenannte EULERsche Strömungsgleichung für instationäre eindimensionale Strömung in Stromlinienrichtung mit c = c(s, t) und p = p(s) g ∂z + 1/ρ ∂p + ∂s ds/dt = 0 = g ∂z + 1/ρ ∂p + ∂(c2/2) + ∂c/∂t ds . (6.1.1) Für stationäre Strömung mit c = c(s) hat die EULERsche Strömungsgleichung die Form g dz + 1/ρ dp + d(c2/2)= 0 . (6.1.2) In Richtung der Normalen n zur Bewegungsrichtung, Abb. 6.2, erhält man nach dem NEWTON-schen Grundgesetz Abb. 6.2: Kräfte am freigemachten Fluidteilchen dm senkrecht zur Bewegungsrichtung (längs des Stromfadens) /4/ dm bn = dm Ω2 R = c2/R = ρ dAn dn = p dAn – (p + ∂p/∂n dn) dAn – dFG cosα und hieraus (∂p/∂n + ρ g cosα + ρ c2/R = 0,

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und mit cosα = dz/dn = ∂z/∂n schließlich die Bewegungs- DGL in Normalen- Richtung g ∂z + 1/ρ ∂p + c2/R ∂n = 0. (6.2.1) Falls der Einfluß der Schwere auf die Bewegung vernachlässigbar ist, oder aber für eine horizon-tale Strömung mit z = const, erhält man aus (6.2.1) die verkürzte Gleichung 1/ρ ∂p + c2/R ∂n = 0. (6.2.2) Die Gleichungen (6.2) zeigen den wichtigen Umstand, dass in jeder gekrümmten Strombahn immer ein Druckabfall quer zur Stromlinienrichtung, in Richtung auf den Krümmungsmittel-punkt hin, stattfindet. _____________________________________________________________________________ Bemerkung: Die weitaus umfangreichere Herleitung der EULERschen Bewegungsgleichungen für die Rela-tivströmung eines Flüssigkeitsteilchens in einem um eine feste Achse rotierenden Koordinaten-system /4/, wichtig für das grundlegende Verständnis aller Strömungsmaschinen, muß den ent-sprechenden Spezialvorlesungen vorbehalten bleiben. _____________________________________________________________________________ 6.2 Energiegleichungen der Absolutströmung; BERNOULLI- Gleichungen Durch Integration der EULERschen Bewegungs- DGLen erhält man die sogenannten Energie-gleichungen. Für die instationäre Strömung eines Idealen Fluids liefert bei ρ = const die Integration von (6.1.1) zwischen den Bezugsquerschnitten 1, 2 s1 s2 g z1 + p1/ρ + c1

2/2 + ∫ ∂c/∂t ∂s = g z2 + p2/ρ c22/2 + ∫∂c/∂t ∂s . (6.3.1.1)

0 0 (6.3.1.1) in differentieller Form geschrieben lautet p s g z + ∫ 1/ρ ∂p + c2/2 + ∫∂c/∂t ∂s = const . (6.3.1) 0 0 _____________________________________________________________________________ Bemerkung: Instationäre Strömungen sind zumeist Fluidschwingungen; eine instationäre Strömung ist aber auch der sogenannte JOUKOWSKI- Stoß, der durch eine schnelle Verzögerung einer Strömung erfolgt.

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_____________________________________________________________________________ Die Integration der DGL (6.2.1) zwischen den Bezugsquerschnitten 1, 2 ergibt die sogenannte BERNOULLI- Gleichung für die stationäre Strömung eines Fluids mit ρ = const p1/ρ + c1

2/2 + g z1 = p2/ρ + c22/2 + g z2 . (6.3.2.1)

(6.3.2.1) in differentieller Form geschrieben lautet p/ρ + c2/2 + gz = const . (6.3.2) _____________________________________________________________________________ Bemerkung: Die Terme der Gleichung (6.3.2) stellen spezifische Energien dar: - p/ρ ist die spezif. Druckenergie - c2/2 die spezif. kinet. Energie und - g z die spezif. potentielle Energie. Daher nennt man die BERNOULLI- Gleichung (6.3.2) auch die BERNOULLI- Gleichung in (spezieller) Energieform. Dividiert man (6.3.2) durch g, so erhält man die BERNOULLI- Gleichung in Höhenform p/(ρ g) + c2/(2 g) + z = const , (6.3.3) mit den Termen - p/(ρ g) , der Druckhöhe - c2/(2 g) , der Geschwindigkeitshöhe und - z , der geodätischen Höhe Multipliziert man (6.3.2) mit ρ, so erhält man die BERNOULLI- Gleichung in Druckform p + ρ c2/2 + ρ g z = const (6.3.4) mit - dem statischen Druck pstat = p + ρ g z und dem - dynamischen Druck pdyn = ρ c2/2. Jede dieser Formen wird in speziellen Problemen der Technischen Hydrodynamik bevorzugt eingesetzt: (6.3.2) in der Berechnung hydrodynamischer Probleme, (6.3.3) im Technischen Rohrleitungsbau und (6.3.4) in der Strömungs- Messtechnik. _____________________________________________________________________________ Die allgemeinste Form der BERNOULLI- Gleichung erhält man unter der Berücksichtigung der (spezifischen) Inneren Energie u eines Fluids: Für die Gesamtenergie eines strömenden Fluids gilt dann p/ρ + c2/2 + g z + u = const . (6.3.5)

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6.2.1 Technische Anwendungen der BERNOULLI- Gleichungen 1. Umströmung eines Starrkörpers; Staupunkt Wird ein Starrkörper umströmt, Abb. 6.3, so staut sich das Fluid (in der Mitte des symmetri-schen Staugebietes) auf: Die Staustromlinie trifft im Staupunkt SP senkrecht auf den Staukör-per und kommt hier völlig zur Ruhe. Abb. 6.3: Staupunktströmung an einem starren Körper in einem waagerechten Strömungsfeld /4/ Wendet man nun die BERNOULLI- Gleichung (6.3.4) zwischen den Querschnitten1, 2 auf die Staustromlinie an, so erhält man mit c1 = c, c2 = 0, p2 = p1 + ρ c2/2 = pges = pstat + pdyn , (6.4) mit dem Gesamtdruck p2 = pges, dem statischen Druck p1 = pstat und dem dynamischen Druck oder Staudruck ρ c2/2 = pdyn. (6.4) zeigt eine Möglichkeit zur meßtechnischen Bestimmung der Strömungsgeschwindigkeit auf, denn es gilt ____________ c = √ 2 (pges- pstat)/ρ . (6.5) Abb. 6.4 zeigt die Messung von pges m.H. eines PITOT- Rohres und die Messung von pstat m.H. eines Piezorohres, Abb. 6.5 zeigt die Vereinigung beider Messungen in einem Meßgerät, dem Abb. 6.4: Messung des statischen und des Gesamtdrucks- pstat, pges- stationär strömender Fluide /4/ sogenannten PRANDTL- Rohr (oder Staurohr).

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Abb. 6.5: Prinzipbild eines PRANDTL- Rohrs zur Messung der absoluten Strömungsgeschwin- digkeit von stationär strömenden Fluiden /4/ 2. Strömung durch Düse und Diffusor Bei einer Verengung des Strömungsquerschnittes in Strömungsrichtung spricht man von einer Düse, bei einer Erweiterung von einem Diffusor, Abb. 6.6. Abb. 6.6: Düsen- oder Diffusor- Strömung /4/ G geometrische Beziehung K Kontinuitäts- Beziehung E energetische Beziehung In Düsen wird Druckenergie in Geschwindigkeitsenergie umgeformt, Anwendungen findet das in Strömungskraftmaschinen (Turbinen) und Strahldüsen; in Diffusoren wird Geschwindigkei-tsener-gie in Druckenergie umgeformt, was in Strömungsarbeitsmaschinen (Kreiselpumpen, Kreiselver-dichter) Anwedung findet. 3. VENTURI- Rohr Bei dem VENTURI- Rohr, Abb. 6.7, handelt es sich ebenfalls um ein Meßgerät zur Messung der Strömungsgeschwindigkeit oder des Volumenstroms einer stationären Strömung eines Fluids. Aufgrund der Hintereinanschaltung von Düse und Diffusor in Strömungsrichtung, sowie der Dif-ferenzdruckmessung zwischen 1 (vor der Düse) und 2 (im engsten Strömungsquerschnitt, nach der Düse und vor dem Diffusor) mißt man

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Abb. 6.7: Prinzipbild eines VENTURI- Rohrs /4/ Die Strömungsgeschwindigkeit _______ ______ c2 = √ 1/(1-m2) √2 g ∆h (6.6.1) oder den Volumenstrom . __________ ______ V = A1 √ m2/(1 - m2) √ 2 g ∆h , (6.6.2) mit m = A2/A1 und ∆h = h1 – h2. 4. Wasserstrahlpumpe Abb. 6.8 zeigt das Prinzipbild einer Strahlpumpe (auch Injektor genannt), bei der m.H. einer Düse in einem Trägerfluid ein Unterdruck erzeugt wird, um m.H. dieses Unterdrucks ein Fluid anzusaugen und zu transportieren oder eien Raum zu entleeren (evakuieren). Abb. 6.8: Prinzipbild einer Wasserstrahlpumpe /4/ _____________________________________________________________________________ Bemerkung: Um Strömungsprobleme analytisch zu behandeln, geht man in bestimmten Schritten vor: 1. Man zeichnet eine (möglichst technische) Skizze der Anlage 2. Man stellt die Strömung des Fluids anhand von Stromfäden (- linien) dar 3. Man zeichnet ein (beliebig horizontal gelegenes) Bezugsniveau (N-N, NormalNull) für die Berechnung der potentiellen Energie des strömenden Fluids ein- man legt dieses Bezugsniveau möglichst in den niedrigsten Punkt der Anlage 4. Man zeichnet die Bezugsquerschnitte für die Energiegleichung ein- stets senkrecht zu den Stromlinien und an Orten, an denen Energien, Drücke, Geschwindigkeiten oder Querschnittsda-ten gesucht sind.

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5. Man berechnet m.H. von Kontinuitätsgleichung und BERNOULLI- Gleichung die gesuchten Daten. (6. Da sich in großen Anlagen die notwendigen Rechenschritte stets wiederholen, sollte man versuchen, diese Rechnungen durch Rechenprogramme zu automatisieren.) _____________________________________________________________________________ 5. Ausfluß aus Behältern, TORRICELLI- Gleichung Sehr häufig trifft man in der Praxis auf die Frage nach der Ausflußgeschwindigkeit c einer Flüs-sigkeit aus einem Behälter und der Zeit T für eine Absenkung der Freien Oberfläche um ∆H, Abb. 6.9. Abb. 6.9: zur Berechnung des Ausflusses aus Behältern /4/ Unterschieden werden muß zwischen dem stationären und dem instationären Ausfluß. a) stationärer Ausfluß Für H0 = const, pü = const ergibt die Berechnung die Ausflußgeschwindigkeit __________ _____________ c = √ 1/(1 – m2) √ 2 (g H0 + pü/ρ) (6.7.1) mit m = A2/A1. Für den Sonderfall pü = 0, d.h. die Freie Oberfläche, erhält man _________ ______ c = √ 1/(1 – m2) √ 2 g H0 , (6.7.1.1) für den Fall pü = 0 und A1 >> A2 ______ c = √ 2 g H0 ; (6.7.1.2) (6.7.1.2) wird TORRICELLI- Ausflussgleichung genannt. b) instationärer Ausfluß Hier ist die Ausflussgeschwindigkeit c ≠ const und ergibt sich zu __________ _____ c(z) = √ 1/(1 – m2) √ 2 g z . (6.7.2.1) Die Lösung einer homogenen DGL erster Ordnung ergibt für die Ausflusszeit T für eine Absen-kung der Freien Oberfläche von H1 auf H2

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______________ ___ ___ T = √ 2 (m2/(1 – m2)) √ H1 √ H2 . (6.7.2.2) _____________________________________________________________________________ Bemerkung: Die Herleitung der Energiegleichungen (BERNOULLI- Gleichungen) für die Relativströmung eines Fluids in einem stationär rotierenden System bleibt speziellen Vorlesungen vorbehalten, z.B. der in Strömungsmaschinen. _____________________________________________________________________________