Hypoplastische Stoffgesetze - eine Einführunganiem/dyd-zips/BM3-1-Intro-hypo.pdf · 2019-02-14 · Modern Trends in Geomechanics, 2006 Ubung aus 3d-responses-All.nb: Antwortspolaren

Hypoplastische Stoffgesetze - eine Einfuhrung

A. Niemunis und F. PradaIBF-Karlsruhe

Viskositat, Teilsattigung und Zyklik10. Januar 2019

Inhalt der Vorlesung (1)

I Hypoplastische Stoffgesetze

I Hypoplastizitat mit zyklischer Belastung 3D + iD

I Visko-hypoplastizitat, Setzung eines Damms

I Kriechhange mit Verdubelung

I Pseudo-Kriechen der Boden unter zyklischen Belastung

I Hochzyklisches Modell fur Pseudo-Kriechen

I Naturliche Boden

I Phanomen der Scherlokalisierung

I Verflussigungspotential

I Setzungen, Sackungen, großflachige Setzungen

I Sondierungen, Penetration, Kontaktmechanik

I Teilsattigung Hydraulik + Mechanik

I Teilsattigung Numerik

Elastoplastizitat (EP) (2)

Konventionelle bodenmechanische Berechnungen:

I Setzungsberechnung: Boden ist elastischε

T

z.B. in der Formel s = σ1− ν2

πE

[L ln

B + R

L+ B ln

L + R

B

]mit R =

√L2 + B2 nach

Steinbrenner

I Tragfahigkeit: Boden ist starr ideal-plastischε

TTy

z.B. in den Grundbruchformeln σ = (2 + π)c oder σ =c

tanϕ

(1 + sinϕ

1− sinϕeπ tanϕ − 1

)nach Prandtl (Zonenbruch)

I Daraus Elastoplastizitatε

TTy

σ =

0 fur σε > 0 und |σ| = Ty

Eε fur andere Falle

oderT =

0 fur TD > 0 und |T | = Ty

Eε sonst

Elastoplastizitat (EP) (3)

EP beschreibt die Spannungsrate T (T,D) und nicht dieSpannung T (ε){

T = 0 fur TD > 0 und |T | = Ty

T = ED sonst

mit D =dε

dtund T =

dT

dt

Pfadabhangigkeit

ε

ε

T

T( )?Ende

εT( )?Ende

εT( )?Ende

ε Ende

In der numerischen Berechnung erfordert EP eine inkrementelle Form:

∆T = E∆ε

und erst eine Zeitintegration T t+∆t = T t + ∆T , εt+∆t = εt + ∆ε ergibtT (ε(t)) (T ist ein pfadabhangiges Funktional von ε(t) und keine Funktion).

elastisch T = E D plastisch T = 0

|T | < Ty oder |T | = Ty und

T D < 0 T D > 0

Die Integrierte T (ε)-Kurve ist zu

“kantig” /Die Dilatanzeffekte sind schwerreproduzierbar (Rowe 1961) /

Nichtlineare Elastizitat (4)

Inkrementelle (Hypo-) Elastizitat

T = ED wobei E =

[1−

(|T |Ty

)n]Emax

ist fur Boden nicht geeignet.

ε

T

E(T)1

T = Ty

ε

T

E(T)1

T = -Ty

ε

T

E(T)1soll

ε

T

E(T)1

ist ε

T

E(T)1

NL-Elastizitat ergibt zwar glatte Spannung-Dehnungs-Kurven, versagt aberbei Entlastung, da die Spannungs-Dehnung-Hysterese nicht modelliertwerden kann.

Hypoelastizitat ist integrierbar , z.B.solu=DSolve[{T’[e]== 100(1-(T[e] /10)^2), T[0]==0}, T[e] ,e][[1]];

Plot[T[e] /. solu, {e, -1, 1}]

“Bilineare” Elastizitat (5)

“Bilineare” inkrementelle Elastizitat z.B. Davies & Mullenger, 1978

T =

ED fur TD > 0

EmaxD fur TD < 0

mit E =

[1−

(|T |Ty

)n]Emax

NL-elastisch fur Belastung TD > 0L-elastisch fur Entlastung TD < 0

ε

T

E(T)

E = Emax

Kontinuitatsbedingung verletzt daher ist das Stoffgesetz unbrauchbar /

Problem mit der“bilinearen” Elastizitat (6)

Kontinuitatsbedingung im 3D Fall: Definition der Belastung.

T =

E : D fur n : E : D > 0 = Bel.

Emax : D fur n : Emax : D < 0 = Entl.

mit E =

[1−

(f(T)

Ty

)n]Emax und n = n(T)

Fließkrit: f(T)−Ty = 0 Be-lastung: n : E : D > 0

Bel.-richtung ndef=

[∂f

∂T

]→Belastung

Tn

Belastung Belastung Belastung

n.

T.

T ,D

T ,D

1 1

2 2

Bel.

Entl.

affine Flächen

Grafische Darstellung eines Stoffgesetzes (7)

Das Stoffgesetz ∆T = f(D∆t) nimmt die Dehnungsinkremente D∆t undbildet sie zu den Spannungsinkrementen (T−T0) ab.

T0

Abbildung =konstitutive Gleichung

ε0

DehnungsraumSpannungsraum

Spannungspfad

Dehnungspfad

D

T

T tt ΔΔ

0


ε0


D

T

T tt ΔΔ

0


ε0


D

T

T tΔ

0


ε0


D1

2 D2

T1

2 T2-

-

-

-D

T

T t

= isotrope Kompression= isotrope Extension

Δ

0


ε0

D1

2 D2

T1

2 T2-

-

-

-D

T

T t


Δ

0


So wird die Kugel ‖D∆t‖ = r zur Antwortspolare ‖f−1(T−T0)‖ = r imSpannungsraum abgebildet.



T0


ε0


Spannungspfad

Dehnungspfad

D

T

T tt ΔΔ

0


ε0


D

T

T tt ΔΔ

0


ε0


D

T

T tΔ

0


ε0


D1

2 D2

T1

2 T2-

-

-

-D

T

T t


Δ

0


ε0

D1

2 D2

T1

2 T2-

-

-

-D

T

T t


Δ

0





T0


ε0


Spannungspfad

Dehnungspfad

D

T

T tt ΔΔ

0


ε0


D

T

T tt ΔΔ

0


ε0


D

T

T tΔ

0


ε0


D1

2 D2

T1

2 T2-

-

-

-D

T

T t


Δ

0


ε0

D1

2 D2

T1

2 T2-

-

-

-D

T

T t


Δ

0





T0


ε0


Spannungspfad

Dehnungspfad

D

T

T tt ΔΔ

0


ε0


D

T

T tt ΔΔ

0


ε0


D

T

T tΔ

0


ε0


D1

2 D2

T1

2 T2-

-

-

-D

T

T t


Δ

0


ε0

D1

2 D2

T1

2 T2-

-

-

-D

T

T t


Δ

0





T0


ε0


Spannungspfad

Dehnungspfad

D

T

T tt ΔΔ

0


ε0


D

T

T tt ΔΔ

0


ε0


D

T

T tΔ

0


ε0


D1

2 D2

T1

2 T2-

-

-

-D

T

T t


Δ

0


ε0

D1

2 D2

T1

2 T2-

-

-

-D

T

T t


Δ

0





T0


ε0


Spannungspfad

Dehnungspfad

D

T

T tt ΔΔ

0


ε0


D

T

T tt ΔΔ

0


ε0


D

T

T tΔ

0


ε0


D1

2 D2

T1

2 T2-

-

-

-D

T

T t


Δ

0


ε0

D1

2 D2

T1

2 T2-

-

-

-D

T

T t


Δ

0



Antwortspolaren - numerisches Beispiel (7+)Needs["Tensor‘bnova‘"]

elUpdate[state_, de_, params_] := Module[{T, dT, eps},

{T, eps} = state[[1 ;; 2]]; m = normalized[T + dev[T]] ;

dT = iEVermeer[T, params]~colon~( de - m *0.3*Sqrt[(de ~colon~de)]);

{T + dT, eps + de, dT, de}];

T = -100*DiagonalMatrix[{3, 1, 1}]; eps = 0*delta ; state = {T, eps };

params = {75000, 200, 0.3 } ;

stressResponsePQ[elUpdate, {T, eps}, params]

stressResponse3D[elUpdate, {T, eps}, params]

200 200 400

200

100

100

200

300

600

Diskontinuitat der ”bilinearen” Elastizitat (8)

To

TTo

n(a)

(b)

T o

f( ) = 0

Instabilität: infinitesimal kleine Abweichung in verursacht finite Änderung in

D

T.

1

T2

1D

2D

a a

b b

Instabilität

“bilineare” Elastizität

Diskontinuitat beim Uberqueren der neutralen Richtung /Die Operatoren der Be- und Entlastung sollen fur neutrale Dehnung (furdie n : E : D = 0 gilt) die gleiche Antworten T geben!

Die Antwort aus der Elastoplastizitat oder

Hypoplastizitat ist stetig! ,Konkavitat ist kein Problem

n

Antwortspolare elast.

e.-plast.

konkav

Antwortspolaren - fur MCC (9)Masin & Gudehus, Geotechnique 2007 Dolezalova, Proceed. Modern Approaches to Plasticity,Horton, 1991.

Antwortspolaren im Dehnungsraum (10)

Tamagnini,Masin,Constanzo,Viggiani, Proceed. Modern Trends in Geomechanics, 2006

Ubung aus 3d-responses-All.nb: Antwortspolaren aus der Hypoplastizitat.


Versuche Karlsruhe Sand

εP [10-4]

ε Q [1

0-4]

-2-2

-1

-1

0

0

1

1

2

2

100 200 300 400 500 600

-100

0

100

200

300

Q (

kPa)

P (kPa)

ExperimentHyperelasticity UC

ICUEIE

Dehnungsrosetten an 23 Spannungen E.Espino und L.Knittel, IBF 2015


Experimentell schwierig (lokale Messung der Verformung)


Experimentell schwierig (lokale Messung der Verformung)

Mehrflachen-EP als parallele Kopplung (11 )

1 2

back stress α = T1 - T2

Spannung T1

Spannung T2

Ges.SpannungT=T1+T2

T

εa

b

c d

e

fg

R1

R2

R +

R1

2

Mehrflachenplastizitat =

Geglatteter Ubergang vonElastizitat zu Plastizitat:

TTT

εε

y

I Gemeinsame Dehnungsrate Dk = D mit k = 1, 2, . . .

I Identische, elastische Steifigkeiten E fur Tk = E Dk

I Unterschiedliche Festigkeiten Rk bei Festigkeitskriteria |Tk| ≤ RkI Partiellen Spannungen konnen unterschiedlich sein. Sie werden

summiert T =∑nk=1 Tk

I α = ”Back stress” = Mittelpunkt des elastischen Bereiches.

I Die parallele Kopplung ergibt eine ”kinematische Verfestigung” :α wird verschoben.

Mehrflachenmodelle (Mroz- oder Overlay Modell) (12)

T

T

T

e

e

T

e

e

T

e

T

e

I Guter T − ε Verlauf und gute Hysterese (Masing Regel) ,I Komplizierte Strukturspannungen (=’back stresses’) notig /I Kontraktanz ist zu klein (da die Entlastung vorwiegend elastisch ist-).

Reparatur ist kompliziert, z.B. mit der sog. Degradationsflache. /

Hypoplastizitat (HP) (13)

Die HP liefert glatte Spannungs-Dehnung-Kurven mit Hysterese und bleibt

dabei sehr einfach , (HP - Kolymbas 1978; CLoE - Chambon 1996, Endochrone Theorie

- Valanis 1971)

T = E

(D −m

∣∣∣∣ TTy∣∣∣∣n |D|) mit m = sign(T ) = ±1

Sonderfalle a,b,c,d:

2 4 6 8

-1

-0.5

0.5

1T

Ty

εn=1

E1

a

b

c

d

Fur E = 100 MPa, n = 1.5 und D in [%/h]

a) T = Ty , D = 1 dh. m = 1 und

T = E(1− 1 |1|1.5 |1|) = 0

b) T = −Ty , D = −1 dh. m = −1 und

T = E(−1− (−1) |−1|1.5 |−1|) = 0

c) T = 13Ty , D = 1 dh. m = 1 und

T = E(1− 1∣∣ 13

∣∣1.5 |1|) = 810 kPa/h

d) T = Ty , D = −1 dh. m = 1 und

T = E(−1− 1 |1|1.5 |−1|) = −2000 kPa/h

U: 1D-HP mit Mathematica : Rechenteil (17)Bezeichnungen:mat = {EE ,smax, n } = E, σmax, n{s1, e1, de, ds } = σ, ε,∆ε,∆σunknown = entweder ∆ε oder ∆σunapprox = Pradiktor fur {unknown, e1, s1 } fur implizite Zeitintegration.

states ={{σ, ε}1 , {σ, ε}2 , . . .

}Liste mit Zustandsgroßen = Pfad

increment[mat_, loading_]:= Module[{EE,smax,n,e0,e1,s0,s1,de,ds,eq1,eq2,eq3,unknown,unapprox},

{EE, smax, n} = mat;

{e0, s0} = Last[states];(*states is a global variable,

to be initialized outside*){de, ds} = loading;

eq1 = s0 + ds == s1;

eq2 = e0 + de == e1;

eq3 = ds == EE (de - Sign[s1]*Abs[s1/smax]^n Abs[de]);

unknown = Select[{de, ds}, ! NumberQ[#] &][[1]];

unapprox = {{unknown, 0}, {e1, e0}, {s1, s0}};

solution = FindRoot[{eq1, eq2, eq3}, unapprox , AccuracyGoal -> 5] ;

Evaluate[{e1, s1} /. solution] // N

];

step[mat_, loading_, ninc_] := Do[AppendTo[states, increment[mat, loading]], {iinc, 1, ninc}];

mat = {EE = 1000, smax = 10, n = 1};

states = {{0, 0}};

1D-HP mit Mathematica : GUI (18)Simulation des Odometerversuchs im Kompressionsdiagramm

controlPanel[] := Module[{},

Manipulate[

ListPlot[ states[[All, 1 ;; 2]],Joined -> True,

PlotMarkers -> Automatic, AxesLabel -> {\[Epsilon],\[Sigma]}],

"Loading step consists of:", {{ninc, xninc}},

"increments consisting of", {{de, xde}}, {{ds, xds}}, "each",

Delimiter,

Button["Calculate step",

step[mat, {de, ds}, ninc];],

Button["Undo step",

If[Length[states]>= 2+ninc,states= Drop[states,-ninc],states={First[states]}];],

Button["Reset the initial state",

states = {states[[1]]}; ninc = xninc; de = xde; ds = xds; ]

] (*manipulate*)

] ; (*module*)

controlPanel[]

HP: alte und neue Schreibweise (13b)

I Alt T = LD +N |D|, neu T = E

(D −m

∣∣∣∣ TTy∣∣∣∣n |D|)

I Spannungsrate T =dT

dt, Dehnungsrate D =

dε

dt

I Fließbedingung (folgt aus T = 0 bei D 6= 0)∣∣∣∣NL∣∣∣∣ = 1 oder

∣∣∣∣ TTy∣∣∣∣ = 1 oder |T | = Ty

I Fließregel (folgt ebenfalls aus T = 0 bei D 6= 0)

~D = sign(−N/L) oder ~D = m

I Parameter:

I Steifigkeit L = EI max. Spannung Ty

I neuer Exponent n

HP mit einem Exponenten (13b)

T = E

(D −m

∣∣∣∣ TTy∣∣∣∣n |D|) n beeinflusst die Krummung

Bei n→∞ und E →∞ erhalten wir St.-Venant Korper

2 4 6 8

-1

-0.5

0.5

1T

Ty

εn=6

E12 4 6 8

-1

-0.5

0.5

1T

Ty

εn=1

E1

Leider kann die HP nicht zwischen derErst- und Wiederbelastung unterscheiden

/.Das Problem heißt ”Ratcheting”

Sperrklinkeε

σ

Endochrone Theorie (13a)

Die innere Zeit z ist die Lange des Dehnungsphades, dz = |ε|dt (Valanis 1971)

Die Spannung T wird als Integral (mit Kernfunktion K) formuliert:

T (z) =

∫ z

0

K(z, τ)dε(τ)

dτdτ mit K(z, τ) = Ee−b(z−τ) (1)

wobei τ ein Parameter analog zu z ist, d.h. dτ = |ε|dt.

1e

-b(z- )

ε

ε1

2

τ

τ = zτ

Die Kernfunktion K(z, τ)/E = e−b(z−τ) beschreibt einen ruckwarts entlangdes Verformungspfades abklingende Wichtungsfaktor. Damit wird diejungste Geschichte der Verformung im Vordergrund stehen.

Endochrone Theorie (13a)Ableitung bezuglich z eines Integrals mit den Integrationsgrenzen abhangig von z (Leibnizregelfur Parameterintegrale, http://de.wikipedia.org/wiki/Parameterintegral):

d

dz

∫ U(z)

L(z)f(z, τ)dτ =

∫ U(z)

L(z)

∂f(z, τ)

∂zdτ + f(z, U)U

′(z)− f(z, L)L

′(z) (2)

Die Spannungsrate (bezuglich z) mit L(z) = 0 und U(z) = z betragt

dT

dz= −b

∫ z0K(z, τ)

dε(τ)

dτdτ +K(z, z)

dε(τ)

dτ1 (3)

dT

dz= −bT +E

dε(τ)

dτ(4)

dT = −bTdz +Edε(τ)

dτdz (5)

T = −bT |ε| +Eε (6)

HP und endochrone Theorie sind aquivalent und die beiden lassen sich mit‖ε‖ fur 3D verallgemeinern.

Zyklische Akkumulation (ist zu groß) (14)

Δεacc

ampl2ΔT

T

ε

2Δε

(N<0)acc

E-(T/T )yn

E+(T/T )yn

ampl

ΔT

T

T>0

D>0

D>0

(>0)m=1

T<0ε

m=-1

T>0 m=1

T<0 m=-1

E-(T/T )yn

E+(T/T )yn

Dehnungszyklen ↑ Spannungszyklen ↑

∆T acc = 4Nεampl =

= −mE∣∣∣∣ TTy

∣∣∣∣n 4εampl

∆εacc =−4NT ampl

L2 −N2=

=4T amplY m

E(1− Y 2)mit Y =

∣∣∣∣ TTy∣∣∣∣n

pro Zyklus

Schwinger mit hypoplastischer Feder (15)

lhypoplast.Feder

Masse

L,N

mε

A

l = u

I Gleichgewicht TA+mu = 0homogene Verformung u = lε u. u = lε ergibtTA+mlε = 0und abgeleitet nach Zeit:TA+ml

...ε= 0

...u= l

...ε= Ruck, engl. jerk

eq1 = T’[t] + 10 e’’’[t] == 0;

I Stoffgesetz: T = LD +N |D|, z.B. mit L = 10 und N = −Teq2 = T’[t] == 10 e’[t] - T[t] Abs[e’[t]];

I AB: (bei t = 0): T = 5, ε = 0, ε = 1, ε = 0IC = {T[0] == 5 , e[0] == 0, e’[0] == 1, e’’[0] == 0};

Die erhaltene GDG hat die numerische Losung

solu = NDSolve[{eq1,eq2,IC}, {e, T}, {t,0,100}, Method-> "BDF",

MaxSteps->100000][[1]]

ParametricPlot[ ({e[t], T[t]} /. solu), {t, 0, 100}]

ParametricPlot[ ({e[t], e’[t]} /. solu), {t, 0, 100}]

Freies Schwingen - Beispiele (16)

Oben: Spannung-Dehnungskurven, unten: Phasendiagramme

2 4 6 8 10 12

-6

-4

-2

2

4

6T

ε

2 4 6 8 10 12

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1D

ε

2 4 6 8 10 12

-6

-4

-2

2

4

6

T

ε

2 4 6 8 10 12

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1D

ε

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

-6

-4

-2

2

4

6

T

ε

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1 D

ε

2 4 6 8 10 12

-6

-4

-2

2

4

6

T

ε

2 4 6 8 10 12

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1D

ε

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

-6

-4

-2

2

4

6

T

ε

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1D

ε

2 4 6 8 10

2

4

6

8

10

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2 4 6 8 10

T

εD

ε

hat keine Grenze

N=-5 N=-T N=-TT(0)=0 T(0)=0 T(0)=5

Exzessive Akkumulation bei unsymm. Zyklen /BDF =(Backward Differencing Formula)= Differenzen unter Einbeziehung vorherigerZeitpunkte.BDF 1. Ordnung = Euler Integration.BDF 2. Ordnung basiert auf einer Parabel, die auf den Zeitpunkten t−∆t, t und t+∆tfestgelegt wird.Die Implementierung ist unwesentlich aufwendiger als Euler, die Ergebnisse sind jedochwesentlich genauerer (fur aquidistante Gitter).

Vereinfachte HP fur 3D unter monotoner Belastung (17)

FE-Berechnung mit HP ergibt eine Aufwolbung neben dem Fundamentwenn der Dilatanzwinkel ausreichend groß ist.Das Verhalten von HP und EP Modellen ist dabei ahnlich.

P

P

P

Q

Q

Q

Y=0

T

T T

T

n

P

P

P

Q

Q

Q

T

T

n

1 1

2 2

3

P

Q

PR

Y=1

T

n(A.F.R.)

T1

T2

T3

3.q

3.q

3

.q3

.q3

.q3

.q3

q

pkrit.

Zustand

mehrDilatanz

Zug

ist soll

Hypopl. Fließregel:

HP EP Fließregel

Y = 0→ perfekte Elastizitat, z.B. am Zustand T1

Y = 1→ perfekte Plastizitat, z.B. am Zustand T3 T = E : (D−mY ‖D‖)

Vereinfachte HP fur 3D unter monotoner Belastung (18)

Druckabhangige Elastizitat E = E0 + λEP mit ν = 0, d.h. T = ED

Drucker-Prager Fließkriterium mit abge-rundeter Spitze

y(T) ≡ −M P −B +√Q2 +B2 = 0

mit

P = −trT (∂P/∂Tij) = −δijQ = ‖T∗‖ (∂Q/∂Tij) = T ∗ij/Q

M =√

8/3 sinϕ/(3 + sinϕ)

B =√

24 c cosϕ/(3 + sinϕ)

Q

PPR

1

Y=0T

Die Interpolation 0 < Y < 1 fur T = E : (D− Y wm|D|) erfolgt mit

Y =Q√

(B + MP )2 −B2fur P > PR

Y =(B + MPR)(PR − P ) +

√B2(P − PR)2 + (2B/M + PR)PRQ2

PR(2B + MPR)fur P < PR

Vereinfachte HP fur monotone Belastung (19)Assoziierte Fließregel (fur dichten Sand) ψ = ϕ

m =

[∂y

∂T

]→=

[T∗√

B2 + ‖T∗‖2+M 1 =

1

bT∗ +M 1

]→Volumentreue (isochore) Fließregel (fur lockeren Sand) ψ = 0

m = h ~1 +√

1− h2 ~T∗ mit h =

1− P/PR, fur P < PR;

0, fur P ≥ PR.

Inkrementelle Berechnung mit einer impliziten Zeitintegration und mit einerkonsistenten Jakobi Matrix:

∂Pmn∂εab

=

[Jijmn − L′ijklmn

Mεkl +

MεLijrs

∂(Y wLijrsmrs)

∂Pmn

]−1[Lijab − LijrsY wmrs

~Mεab

]mit

Mε = ‖Mε‖ und P = Tt+∆t garantiert numerische Stabilitat mit quadrati-

scher Konvergenz der Gleichgewichtsiteration. (Erklarung in der Vorlesungzur Numerik in der Geotechnik)

Mangelhafte Simlation mit vW-HP (20)

(Avg: 75%)SDV1

+6.800e−01+6.833e−01+6.867e−01+6.900e−01+6.933e−01+6.967e−01+7.000e−01+7.033e−01+7.067e−01+7.100e−01+7.133e−01+7.167e−01+7.200e−01

+6.502e−01

+7.737e−01

Step: Step−2Increment 5010: Step Time = 1.000Primary Var: SDV1Deformed Var: U Deformation Scale Factor: +1.000e+00

FROM G600 BY A.NIEMUNISODB: 1.odb Abaqus/Standard Version 6.7−1 Tue May 08 14:16:59 Mitteleuropäische Sommerzeit 2012

Durchstanzen mit dem Fundament auch bei sehr dichten Bodennur vW-HP.

Implementierung der HP (20)

Shear Stress (kPa)

-200-110-20+70

+160+250+340+430+520+610+700

ShearStress (kPa)

-15-5

+6+17+27+38+48+59+69+79+90

Streifenfundament (dicht) Kreisfundament (dicht)

Streifenfundament (locker) Kreisfundament (locker)

9m

7.5m0.5m

s=0.2m

Q=15kPaQ=15kPa

γ '=10kN/m3

x1

x2

Deformiertes Netz und Isolinien der Schubspannung T12.Sehr gute (±10%) Ubereinstimung mit Tragfahigkeit nach DIN 4017.


Im lockeren Sand bildet sich wirklich kein Buckel neben dem Fundament.(Reproduziert durch ψ = 0◦, )

Quelle: Tatsuoka, F., Nakamura, S., Huang, C. C. & Tani, K., Soils & Foundations 1990


Der Bruchmechanismus wird qualitativ richtig prognostiziert (Vesic 1973).

(a)

(b)

(c)

Erhohte Steifigkeit bei kleinen Verformungen (23)

Elastizitat gilt bis εampl ≈ 10−5

ε

T

εET

1% 1%0

Anderung der Steifigkeit E(εampl) mit der Verformungsamplitude auchunterhalb von εampl = 10−3

E(10−3) ≈ 1

5E(10−5)

Wichtig fur die Setzungsprognosen.(ε = 0 ist verstanden als Ausgangs-K0-Zustand).

Kleine DehnungenErhohte Steifigkeit bei Sand furεampl<10−4

σ

εamplε0 0.010.001

σ

εamplε010-310-5

keine Linearität

Lineare Elastizitat nur bis εampl ≈10−5

Nichtlinearitat bei Sand auch furγampl<10−2

10-6

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

G/G

max

γ ampl10-5 10-4 10-3 10-2

:e=0.640:e=0.696:e=0.742:e=0.793

Kokusho (1980)

klein

groß

sehr klein

LDVT

TriaxRC υ = G/ρs

Stützmauer

Fundament

Tunnel


Abnahme der Schubsteifigkeit G mit der Dehnungsamplitude γampl

0.0001

Stützmauer

Fundament

Tunnel

klein großsehrklein

LVDT

1μm0.1μm

Triax

G

γ [%]0.001 0.01 0.1 1 10

aus RC υ = G/ρs

ampl

WikipediA: LVDT = Linear Variable Differential-Transformer. Primarspule + zwei

Sekundarspulen. Letztere sind gegenphasig in Reihe geschaltet, dadurch subtrahieren sich die

Spannungen (. . . ) Wird die Symmetrie gestort, so entsteht eine Ausgangsspannung.


Abnahme der Steifigkeit mit γampl(die Schleife wird flacher)

Zunahme der Dampfung mit γampl(die Schleife wird dicker)

GmaxG

Backbonecurve

ampl

Gmax

G D

D=

D=Dämpfung

4π

Dmax

log

γ γ

τ

0

0.5

1.0

Erstbelastung nach einem Einspielen (Shakedown) wird durch “Backbonecurve” beschrieben.Dampfungsmaß D wird oft mit dem Gutefaktor (=quality factor) Q = 1/(2D) ausgedruckt.

Hysteretisches Verhalten

I Reversibilitat

I Dampfungsmaß D(γampl)

I Sekantensteifigkeit G(γampl)

γ

τ

γ

τ

γ

τ

G1

γ

τEt

Et

1

γ

τ

EtEt

1

γ

τ

G1

G1

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

I Steifigkeit Et nimmtunmittelbar nach jederUmkehr zu

I Keine Sprunge beiUber-Belastung.

I Wiederbelastung passiertexakt durch alteUmkehrpunkte(= keine Akkumulation).

I Kleine Zyklen werdenvergessen beiUber-Belastung.

I Dampfungsmaß nimmtuberproportional mit derAmplitude zu.

Hysterese ist i.d.R. durch Akkumulation (pseudo-Kriechen) uberlagert (Vorlesungen 5+6).


I Reversibilitat



γ

τ

γ

τ

γ

τ

G1

γ

τEt

Et

1

γ

τ

EtEt

1

γ

τ

G1

G1

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ








I Reversibilitat



γ

τ

γ

τ

γ

τ

G1

γ

τEt

Et

1

γ

τ

EtEt

1

γ

τ

G1

G1

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ








I Reversibilitat



γ

τ

γ

τ

γ

τ

G1

γ

τEt

Et

1

γ

τ

EtEt

1

γ

τ

G1

G1

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ








I Reversibilitat



γ

τ

γ

τ

γ

τ

G1

γ

τEt

Et

1

γ

τ

EtEt

1

γ

τ

G1

G1

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ








I Reversibilitat



γ

τ

γ

τ

γ

τ

G1

γ

τEt

Et

1

γ

τ

EtEt

1

γ

τ

G1

G1

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ








I Reversibilitat



γ

τ

γ

τ

γ

τ

G1

γ

τEt

Et

1

γ

τ

EtEt

1

γ

τ

G1

G1

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ








I Reversibilitat



γ

τ

γ

τ

γ

τ

G1

γ

τEt

Et

1

γ

τ

EtEt

1

γ

τ

G1

G1

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ








I Reversibilitat



γ

τ

γ

τ

γ

τ

G1

γ

τEt

Et

1

γ

τ

EtEt

1

γ

τ

G1

G1

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ








I Reversibilitat



γ

τ

γ

τ

γ

τ

G1

γ

τEt

Et

1

γ

τ

EtEt

1

γ

τ

G1

G1

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ








I Reversibilitat



γ

τ

γ

τ

γ

τ

G1

γ

τEt

Et

1

γ

τ

EtEt

1

γ

τ

G1

G1

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ








I Reversibilitat



γ

τ

γ

τ

γ

τ

G1

γ

τEt

Et

1

γ

τ

EtEt

1

γ

τ

G1

G1

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ








I Reversibilitat



γ

τ

γ

τ

γ

τ

G1

γ

τEt

Et

1

γ

τ

EtEt

1

γ

τ

G1

G1

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ








I Reversibilitat



γ

τ

γ

τ

γ

τ

G1

γ

τEt

Et

1

γ

τ

EtEt

1

γ

τ

G1

G1

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ








Masing Regel:

I Vom Umkehrpunkt (reversal) (γR, τR) entspricht dieEntlastungs-Kurve der zweifachen Erstbelastungs-Kurve im τ − γDiagramm:

Erstbelastung τ = F (γ) Entlastungτ − τR

2= F

(γ − γR

2

)I Eine Uberlastung folgt die Erstbelastungs-Kurve unabhangig von der

Veformungsgeschichte, siehe Abschnitt b . . . d

γ ,τ 0 0

time

τ

γ

τ

τ 0

ta a

bb

τ

γ

τ

τ =F(

γ)

1-st

lo

ading

γ ,τ 0 0

τ 0 t

c

bb

τ

γ

τ

-2x 1-st loading

τ =F(

γ)

γ , τ R R

γ , τ R R

1-st

lo

ading

c

γ ,τ 0 0

τ 0 t

c

τ

2x 1

-st l

oadi

ng

γ

τ

-2x1-st loading

τ =F(

γ)

γ , τ R R

γ , τR R

1st l

oa

ding

c

γ ,τ 0 0

τ 0

ddb

b

t

c

d dbbτ

2x 1

-st l

oadi

ng

γ

τ

-2x 1st loading

τ =F(

γ)

γ , τ R R

γ , τ R R

1st l

oa

ding

c

γ ,τ 0 0

τ 0


Masing Regel:



2= F

(γ − γR

2



γ ,τ 0 0

time

τ

γ

τ

τ 0

ta a

bb

τ

γ

τ

τ =F(

γ)

1-st

lo

ading

γ ,τ 0 0

τ 0

t

c

bb

τ

γ

τ

-2x 1-st loading

τ =F(

γ)

γ , τ R R

γ , τ R R

1-st

lo

ading

c

γ ,τ 0 0

τ 0 t

c

τ

2x 1

-st l

oadi

ng

γ

τ

-2x1-st loading

τ =F(

γ)

γ , τ R R

γ , τR R

1st l

oa

ding

c

γ ,τ 0 0

τ 0

ddb

b

t

c

d dbbτ

2x 1

-st l

oadi

ng

γ

τ

-2x 1st loading

τ =F(

γ)

γ , τ R R

γ , τ R R

1st l

oa

ding

c

γ ,τ 0 0

τ 0


Masing Regel:



2= F

(γ − γR

2



γ ,τ 0 0

time

τ

γ

τ

τ 0 ta a

bb

τ

γ

τ

τ =F(

γ)

1-st

lo

ading

γ ,τ 0 0

τ 0

t

c

bb

τ

γ

τ

-2x 1-st loading

τ =F(

γ)

γ , τ R R

γ , τ R R

1-st

lo

ading

c

γ ,τ 0 0

τ 0

t

c

τ

2x 1

-st l

oadi

ng

γ

τ

-2x1-st loading

τ =F(

γ)

γ , τ R R

γ , τR R

1st l

oa

ding

c

γ ,τ 0 0

τ 0

ddb

b

t

c

d dbbτ

2x 1

-st l

oadi

ng

γ

τ

-2x 1st loading

τ =F(

γ)

γ , τ R R

γ , τ R R

1st l

oa

ding

c

γ ,τ 0 0

τ 0


Masing Regel:



2= F

(γ − γR

2



γ ,τ 0 0

time

τ

γ

τ

τ 0 ta a

bb

τ

γ

τ

τ =F(

γ)

1-st

lo

ading

γ ,τ 0 0

τ 0 t

c

bb

τ

γ

τ

-2x 1-st loading

τ =F(

γ)

γ , τ R R

γ , τ R R

1-st

lo

ading

c

γ ,τ 0 0

τ 0

t

c

τ

2x 1

-st l

oadi

ng

γ

τ

-2x1-st loading

τ =F(

γ)

γ , τ R R

γ , τR R

1st l

oa

ding

c

γ ,τ 0 0

τ 0

ddb

b

t

c

d dbbτ

2x 1

-st l

oadi

ng

γ

τ

-2x 1st loading

τ =F(

γ)

γ , τ R R

γ , τ R R

1st l

oa

ding

c

γ ,τ 0 0

τ 0


Masing Regel:



2= F

(γ − γR

2



γ ,τ 0 0

time

τ

γ

τ

τ 0 ta a

bb

τ

γ

τ

τ =F(

γ)

1-st

lo

ading

γ ,τ 0 0

τ 0 t

c

bb

τ

γ

τ

-2x 1-st loading

τ =F(

γ)

γ , τ R R

γ , τ R R

1-st

lo

ading

c

γ ,τ 0 0

τ 0 t

c

τ

2x 1

-st l

oadi

ng

γ

τ

-2x1-st loading

τ =F(

γ)

γ , τ R R

γ , τR R

1st l

oa

ding

c

γ ,τ 0 0

τ 0

ddb

b

t

c

d dbbτ

2x 1

-st l

oadi

ng

γ

τ

-2x 1st loading

τ =F(

γ)

γ , τ R R

γ , τ R R

1st l

oa

ding

c

γ ,τ 0 0

τ 0

Vorschlage fur das backbone Profil F (γ) (27)

• Ramberg & Osgood γ =τ

Gmax+ α

(τ

Gmax

)rmit

γ

γy=

τ

τy+ α

(τ

τy

)r• Hardin & Drnevich

G

Gmax=

1

1 + β(γ/γref)amit β ≈ 1 und a ≈ 0.92

• Prevost τ = Gmaxγmax

y − 12

+√

14− y

m+1

mm+1

− y mit y = τmax/(Gmaxγmax)

• Bardet G(γ) =

Gmax

(τmax − ττmax

)nfur τ < τmax

0 fur τ >= τmax

• Prandtl; Kondner & Zelasko; Jennings; Seed & Idriss; Iwan; Finn; Pyke;Vucetic; Darendeli; Lo Presti, ...

Die 3D Erweiterungen sind kaum zu finden in der Literatur.

Beispiel: F (γ) nach Hardin, Drnevich (27)

Die Formel G/Gmax = 1/(1 + β(γ/γref)a) betrachtet γ als eine Amplitude,

d.h. γ > 0. Wir bilden τ = F (γ) mit |γ| d.h.

F (γ) ≡ Gmaxγ

1 + β(|γ|/γref)a(7)

F[g_] := Gmax g/(1 + b (Abs[g]/gref)^a);

Gmax = 10000 ; b = 1; gref = 0.001; a = 0.9; (* mat const *)

gR1= 0.01; gR2= -0.005; gR3= 0.00; gR4= -0.0025; gR5=0.015;

tR1 = F[gR1];

tR2 = tR1 + 2 F[(gR2 - gR1)/2];

tR3 = tR2 + 2 F[(gR3 - gR2)/2];

tR4 = tR3 + 2 F[(gR4 - gR3)/2];

tR5 = tR4 + 2 F[(gR5 - gR4)/2];

g0 = ListPlot [{{0,0}, {gR1,tR1},{gR2,tR2},{gR3,tR3},

{gR4,tR4},{gR5,tR5}}];

g1 = Plot[ F[g] , {g, 0, gR1} ];

g2 = Plot[ tR1 + 2 F[(g - gR1)/2] , {g, gR1, gR2} ];




Show[ g0, g1, g2, g3, g4, g5 , PlotRange -> All]

0.005 0.005 0.010 0.015

10

5

5

10

15

1

2

3

4

0

5τ

σ

Die Masing Regelτ − τR

2= F

(γ − γR

2

)garantiert keine geschlossene

Zyklen ohne Aktualisierung von γR und τR. Es ist nicht einfach die LetzteUmkehr!

Intergranulare Dehnung (=iD) (28)

Um Ratcheting zu mildern wird die Steifigkeit nach jeder Pfad-Umkehrerhoht. Dafur muss der jungste Zeitverlauf der Dehnung = iD, hberucksichtigt werden.

• hD > 0 und |h| = R (max. Wert von h), Steifigkeit wird nicht erhoht

• h = 0 Steifigkeit wird 5-fach erhoht

• hD < 0 Steifigkeit wird 5-fach erhoht

Entwicklung von h:h =

(1−|h|R

)D fur hD ≥ 0 Aufbau, h→ R~D

h = D fur hD < 0 Abbau, h→ 0

h

ε

h=R

h=-R

11

ohne iD

ohne iD

εε

T T h = Rh = R

h=-Rh=-R

h=0

hD > 0hD < 0

Intergranulare Dehnung (29)

m LR L + N |D|

h=R und hD>0h=0 oder hD<0

Die Steifigkeit kann bis mR ≈5-fach vergroßert werden.

ohne iD

ohne iD

εε

T T h = Rh = R

h=-Rh=-R

h=0

hD > 0hD < 0

T =

[(1− |h|

R

)mR +

|h|R

]LD +

|h|RN~hD fur hD ≥ 0

T = mRLD fur hD < 0

mit N = −T und ~h = sign(h) also ~hD = |D| gilt.

h = |R| und hD > 0 ergibt T = LD +N~hD =alte Hypoplast.

h = |R| und hD < 0 ergibt T = mRLD =nach Pfad-Umkehr

h = 0 ergibt T = mRLD =elastisches Einspielen

Hypoplast. Schwinger mit intergr. Dehnung (30)

73

10T

ε

-0.4

3 7

1D

ε

73

10T

ε

-0.4

3 7

1D

ε

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-2

2

4

6

8

10

12T

ε

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

1

ε

D

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.4

0.4

ε

h

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-2

2

4

6

8

10

12T

ε

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

1

ε

D

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.05

ε

h

-0.05

73

10T

ε

-0.4

3 7

1D

ε0.5 1 1.5 2 2.5 3

-2

2

4

6

8

10

12T

ε

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

1

ε

D

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.4

0.4

ε

h

Ohne iD mit kleiner iD mit großer iD

Ratcheting ohne und mit iD (31)

0.1

0.3

e

00

4 8 12

ε [%]1

T - T

[M

Pa]

12

T [MPa]1

0.20.1 0.5 1

(ln)0.6

0.7

0.65

HP

HP

Odometer Test und Triax. Test

ohne die iD

0.20.1 0.5

e

0.1

0.3

00 4 8 12

ε [%]1

T - T

[M

Pa]

12

T [MPa]11

(ln)0.6

0.7

0.65

HP+

HP+

und mit der iD

Defekte der iD (32)Masing Regel nicht erfullt(Dampfung unrealistisch). /

(a)

(b)

(c)

(d)

τ

γ

Einfaches Scheren.

Verhalten bei unterschiedlichenAmplituden mangelhaft /

Vo

lum

en

1+e

log(p)Druck

iD hier richtig

iD hier zu klein

ohneiD

iD zu groß

soll

Odometer: zyklische Belastung

Defekte bei iD

Prognostizierte Sekanten-Steifigkeit G(γampl) und Dampfung D(γampl) sindzum Teil unrealistisch.

-15

-10

-5

0

5

10

15

-2x10-3

-1 0 1 2γ12

[-]

τ 12[k

Pa]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1

γ [-]

G/G

max

[-]

0

0.2

0.4

0.6

10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1

γ [-]

D[-

]-10

-5

0

5

10

-5.0x10

-4-2.5 0 2.5 5.0

γ12 [-]

τ 12[k

Pa]

12ampl

12ampl

soll

soll

Documents

Hypoplastische Stoffgesetze - eine Einführunganiem/dyd-zips/BM3-1-Intro-hypo.pdf · 2019-02-14 · Modern Trends in Geomechanics, 2006 Ubung aus 3d-responses-All.nb: Antwortspolaren