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1Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II
3. Das Prüfen von Hypothesen
Hypothese ? ! Stichprobe
3.1. Signifikanztests in der Wirtschaft
Prüfung, ob eine (theoretische) Hypotheseüber die Verteilung eines Merkmals X und ihre Parameter mit einer (empirischen) Stichprobe verträglich ist
III.
2Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II
3.1. Signifikanztests in der Wirtschaft (II)
Theorie Vermutung WunschBefürchtung............
Zufallsstichprobe
III.
Hypothese aufstellen
Hypothese prüfen
3Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II
3.1. Signifikanztests in der Wirtschaft (III)
Ablehnung,wenn Stichprobe „signifikant“, d.h. mehr als zufällig, von der Hypothese abweicht
Nichtablehnung,bei kleineren Abweichungen, d.h. „Zufall” wird unterstellt
„Nichtablehnung“ heißt nicht „Annahme“ der Hypothese
III.
4Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II
3.1. Signifikanztests in der Wirtschaft (IV)
Beispiel: Bierabfüllanlage
a) Füllmenge X Verdacht: nicht korrektWahrer Mittelwert µ unbekannt,aber Nennfüllmenge µ0= 500 ml
HypothesenpaarNullhypothese H0: µ = µ0 (hier Forderung)Alternativhyp. H1: µ ≠ µ0 (hier Verdacht)
III.
5Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II
3.1. Signifikanztests in der Wirtschaft (V)
noch Beispiel:
Überprüfung mit Zufallsstichprobe:
Durchschnitt aus Zufallsstichprobe
Ablehnung von H0 z.B., wenn „zu groß“
x
Was heißt "zu"? (= “signifikant”)
III.
0µ−x
6Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II
3.1. Signifikanztests in der Wirtschaft (VI)
Vorgabe des Signifikanzniveaus α.
Bei Ablehnung der Nullhypothese Irrtum höchstens mit der Wahrscheinlichkeit αzulässig,
d.h. Alternativhypothese mit Sicherheit von mindestens 1- αwahr
III.
7Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II
3. 2. Hypothesen über Durchschnitte
3.2.1 Einstichproben-Gauß-Test
Hypothese über den Mittelwert eines Merkmals X anhand einer Zufallsstichprobe (X1,...,Xn) bei bekannter Streuung σ.
Nullhypothese H0: µ = µ0
Alternativhypothese H1: µ ≠ µ0
Vorläufige Forderung: X ~ N(µ,σ2)
III.
8Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II
3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (II)
Aus Schätztheorie bekannt: Konfidenzintervall:
gleichbedeutend: ασµ
α −=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛≤
−−
1........2
1zXP
........12121−=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ⋅+<≤
⋅−
−−
n
zX
n
zXP
σµ
σ αα
III.
Z
9Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II
3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (III)
Wenn H0 stimmt, dann ist µ = µ0, und
Testvariable standardnormalverteilt nXZσµ0−
=
III.
10Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II
3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (IV)
und dann müsste sein:
Andernfalls stimmt vielleicht H0 nicht.
Also: H0 ablehnen, wenn ⏐z⏐>z......
(Ablehnungsbereich)
αα −=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≤
−1||P
21
zZ
III.
-z1-"/2 Zz1-"/2
"/2"/2 1-"0
11Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II
3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (V)
Beispiel a) (Fortsetzung):
Abfüllmenge normalverteilt mit σ = 1,5 ml,
H0 : µ = µ0
H1 : µ ≠ µ0 (Verdacht falscher Abfüllung)
α = 0,01 (vorher festlegen)
Tafel: z1-1/2 = 2,58
Zufallsstichprobe: n = 25 ergibt
III.
499,28ml=x
12Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II
3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (VI)
noch Beispiel
noch a)
|z| = 2,4 < 2,58 ⇒ .......... Ablehnung von H.....
Interpretation!
Gründe?
4,20 −=−
= nµxzσ
III.
13Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II
3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (VII)
Vielleicht Frage H0: µ ≤ µ0 interessanter
Aber unhandlich, warum?
Also weiter: H0: µ = µ0
Jedoch jetzt H1: µ > µ0 rechtsseitiger Test
Testvariable wieder nµXZσ
0−=
III.
14Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II
3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (VIII)
Wenn H0 stimmt, müsste gelten:
Also H0 ablehnen, wenn Z > z1-α
d. h. bei großem .
Ein kleines stört Ho nicht.
z1-"
"1-"
Z
III.
( ) α1P 1 −=≤ −αzZ
xx
15Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II
3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (IX)
Beispiel b)
Produzent will nachweisen, dass nicht zu wenig in den Flaschen ist:
H0 : µ = µ0 (Eigentlich µ # µ0)
H1: µ > µ0 (Behauptung)
α = 1 %
III.
16Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II
3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (X)
noch Beispiel b)
Stichprobe wie a) (darf man eigentlich nicht nehmen):
z = -2,4
Tafel: z1-α = 2,326
⇒ ..........Ablehnung von H0 : µ ≤ µ0
Interpretation?
III.
ml499,28=x
17Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II
3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (XI)
Dritte Möglichkeit: H0: µ ≥ µ0
Praktisch gleichbedeutend:
H0 : µ = µ0
H1 : µ < µ0 linksseitiger Test
Wenn H0 stimmt, dann gilt:
Hilfe: zα = -z1-α warum?
ασ α =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ≤
− znµX 0P
III.
18Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II
3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (XII)
Umgekehrt
H0 ablehnen, wenn Testvariable
also bei kleinem
-z1-" Zz1-"
1-""
99%
1%( ) αα −=−> − 1P 1zZ
ασ −−≤−
= 10 znµXZ
III.
x
19Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II
3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (XIII)
Beispiel c) Verbraucherverband will nachweisen, dass zu wenig in den Flaschen ist.
H0: µ = µ0 (eigentlich µ ≥ µ0 )
H1: µ < µ0 (Behauptung)
Stichprobe wie im Beispiel a):
= 499,28 ml ; z = -2,4 ; 1- α = 0,99 ; z1-α = 2,326 ; zα = -2,326
H0 .?. abzulehnen Was sagt Verbraucherverband??
III.
Übung: bei α = 5%?
x326.24.2 −<−
20Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II
3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (XIV)
Gaußtest kurz: Große Stichprobe oder Normalverteilung, Varianz bekannt.
Nullhypothese H0: µ=µ0
1. Alternativhypothese H1: ...
a) Zweiseitig: µ ≠ µ0
b) einseitig µ > µ0 H0??
c) “ µ < µ0
III.
21Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II
3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (XV)
2. α ⇒ z1-α/2 bzw. z1- α
3. Stichprobe ⇒ ⇒ Testvariablenwert z
4. Ablehnung von H0 , wenn
a) | z | > z1-α /2
b) z > z1-α
c) z < -z1-α
x
III.
22
Analyse der Nichtablehnung
Beispiel a)Mögliche Ursachen ??1. Nullhypothese stimmt2. Nullhypothese stimmt nicht, aber ??3. …
(Achtung: Wenn α = 0,05 ⇒ z1-α /2 = 1,96 ⇒ |z| > 1,96 ⇒ Ablehnung)
Beispiel b)Nichtablehnung trivial
Lösung ohne Tafelwert möglich
Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II III.
