I. Elementargeometrie - univie.ac.atfh/geomueb.pdf · Hinweis: Es gilt #CBD= 1 2F und #ADP+#BCP = 1 2F, wobei F die Fl ache des Parallelogramms ist. B.Strahlensatz Anwendungen des

Übungen zu Geometrie F. Hofbauer

I. Elementargeometrie

A.Einleitung

Winkelberechnungen

1. Man zeige, dass die Winkelsumme in einem konvexen Viereck gleich 3600 und in einem konvexenn-Eck gleich (n−2)·1800 ist. Wie groß sind die Winkel im regelmäßigen n-Eck. Hinweis: konvexbedeutet, dass alle Winkel < 1800 sind.

2. Auf jeder Seite eines unregelmäßigen konvexen Fünfecks, dessen Winkel > 900 sind, wird einDreieck errichtet, dessen Schenkel die Verlängerungen der benachbarten Fünfeckseiten sind.(Es entsteht ein fünfzackiger Stern.) Seien α1, α2, α3, α4 und α5 die Winkel an den Spitzender aufgesetzten Dreiecke. Man zeige α1 + α2 + α3 + α4 + α5 = 180

0. (analog für ein n-Eck.)

3. Sei ABCD ein Viereck. Sei gA die Gerade durch A, die die beiden Außenwinkel beim EckpunktA halbiert. Entsprechend seien gB , gC und gD definiert. Diese vier Geraden bilden ein Viereck.Man zeige, dass in diesem Viereck die Summe einander gegenüberliegender Winkel gleich 1800

ist.

4. Wie letztes Beispiel. Die Geraden gA, gB , gC und gD halbieren jedoch die Innenwinkel anstattdie Außenwinkel.

5. Sei ABCD ein Rechteck, sei M der Mittelpunkt der Seite BC und N der der Seite CD. SeiP der Schnittpunkt der Geraden ℓ(B,N) und ℓ(D,M). Man zeige, dass ]MAN = ]DPNgilt. Hinweis: Sei φ = ]BMA = ]CMD und ψ = ]DNA = ]CNB. Winkel berechnen:]MPN , ]MAB, . . .

Kongruenzüberlegungen

6. Durch einen Punkt P auf der Diagonale eines Parallelogramms werden Parallelen zu den Seitendes Parallelogramms gezogen. Man zeige, dass von den vier entstehenden Teilparallelogram-men die beiden flächengleich sind, die nicht von der Diagonale durchschnitten werden. Hin-weis: Ein Parallelogramm wird durch eine Diagonale in zwei zueinander kongruente und daherflächengleiche Dreiecke zerlegt.

7. Sei ABCD ein Parallelogramm, sodass der Winkel α bei A und C spitz ist. Sei M der Mit-telpunkt der Diagonale AC. Wir wählen P auf ℓ(C,D) so, dass ]MPC = α gilt. Man zeige|AP | = |BP |.

Orientierter Abstand

8. Seien A, B und C beliebige Punkte auf einer Gerade. Welche der folgenden Gleichungen sindrichtig: AB +BC + CA = 0, AB = AC +BC, AB −AC = CB,

9. Seien A, B, C und D beliebige Punkte auf einer Gerade. Welche der folgenden Gleichungensind richtig: ABCD =

BADC ,

ABAD = 1 +

DBAD , AB ·AC = |AB| · |AC|, |AB ·AC| = |AB| · |AC|,

10. Die vier Punkte A, B, C und D liegen auf einer Gerade. Man zeige, dass DA · BC + DB ·CA+DC ·AB = 0 gilt.

Dreiecksflächen

11. Sei P ein beliebiger Punkt im Innern eines gleichseitigen Dreiecks. Die Summe der Normal-abstände von P zu den Seiten des Dreiecks ist gleich der Höhe des Dreiecks.

12. Sei ABCD ein Quadrat mit Seitenlänge 1. Sei E der Mittelpunkt der Seite AB und F derMittelpunkt der Seite BC. Die Strecken AF und EC teilen das Quadrat in vier Teile. Manberechne die Flächen dieser Teile. Hinweis: Man zeichne noch die Diagonale BD ein. Welche

Dreiecke sind flächengleich? Welche Dreiecke kann man zu einem Dreieck zusammenfassen,dessen Fläche bekannt ist?

13. Sei ABCD ein Parallelogramm. Sei P ein beliebiger Punkt der Seite CD. Sei R der Schnitt-punkt der Strecke AP mit der Diagonale BD. Man zeige #ADR = #BRP . Hinweis: Es gilt#CBD = 12F und #ADP +#BCP =

12F , wobei F die Fläche des Parallelogramms ist.

B. Strahlensatz

Anwendungen des Strahlensatzes und seiner Umkehrung

14. Sei M der Schnittpunkt der beiden Diagonalen eines Parallelogramms. Dann ist M der Mit-telpunkt beider Diagonalen.Es gilt auch die Umkehrung. Hat ein Viereck die Eigenschaft, dass der Schnittpunkt M derDiagonalen der Mittelpunkt beider Diagonalen ist, dann ist das Viereck ein Parallelogramm.

15. Sei ABCD ein konvexes Viereck und M der Schnittpunkt seiner Diagonalen. Man zeige|MB||MD| =

#ABC#ADC . Hat ein Viereck die Eigenschaft, dass beide Diagonalen die Fläche des Vierecks

halbieren, dann ist das Viereck ein Parallelogramm.

16. Seien g und h nicht parallele Gerade. Seien P1, P2 und P3 Punkte auf der Gerade g und Q1,Q2 und Q3 Punkte auf der Gerade h, jedoch keiner dieser Punkte liege auf beiden Geraden.Man zeige: Wenn ℓ(P2, Q1) parallel zu ℓ(P3, Q2) und ℓ(P1, Q2) parallel zu ℓ(P2, Q3) liegt, dannliegt auch ℓ(P1, Q1) parallel zu ℓ(P3, Q3). (Satz von Pappos)

17. Seien g1, g2 und g3 verschiedene Gerade, die einander in einem Punkt S schneiden. Seien P1und Q1 Punkte auf g1, seien P2 und Q2 Punkte auf g2 und seien P3 und Q3 Punkte auf g3.Man zeige: Wenn ℓ(P1, P2) parallel zu ℓ(Q1, Q2) und ℓ(P2, P3) parallel zu ℓ(Q2, Q3) liegt, dannliegt auch ℓ(P1, P3) parallel zu ℓ(Q1, Q3). (Satz von Desargues)

18. Seien k1 und k2 verschieden große Kreise, sodass der eine ganz außerhalb des anderen liegt.Seien M1 und M2 ihre Mittelpunkte und g die Gerade durch M1 und M2. Diese beidenKreise haben vier gemeinsame Tangenten. Zwei dieser Tangenten gehen zwischen den Kreisenhindurch. Ihr Schnittpunkt B liegt auf g. Die anderen beiden Tangenten liegen außen an denKreisen. Ihr Schnittpunkt A liegt ebenfalls auf g, jedoch nicht zwischen den Kreisen, sondernaußerhalb beim kleineren Kreis. Man zeige, dass AM1AM2

BM2BM1

= −1 gilt.19. Man zeige, dass die Seitenmitten eines beliebigen konvexen Vierecks die Eckpunkte eines Par-

allelogramms sind. Hinweis: Umkehrung des Strahlensatzes.

20. Sei △ABC ein Dreieck und s die Schwerlinie durch C. Sei P ein Punkt auf s und h dieGerade durch P parallel zur Seite AB. Sei Q der Schnittpunkt von h mit ℓ(B,C) und R derSchnittpunkt von h mit ℓ(A,C). Man zeige |PQ| = |PR|.

Ähnliche Dreiecke

21. In einem Dreieck △ABC sei D der Fußpunkt der Höhe durch C, E der Fußpunkt der Höhedurch A und F der Fußpunkt der Höhe durch B. Man zeige, dass |CD||AC| =

|BF ||AB| ,

|CD||BC| =

|AE||AB|

und |AE||AC| =|BF ||BC| gilt.

22. SeienM1 undM2 die Mittelpunkte zweier Kreise k1 und k2, die einander nicht schneiden. SeienP1 und Q1 die Schnittpunkte des Kreises k1 mit den Tangenten vom Punkt M1 aus an denKreis k2. Seien P2 und Q2 die Schnittpunkte des Kreises k2 mit den Tangenten vom PunktM2aus an den Kreis k1. Dann gilt |P1Q1| = |P2Q2|. Hinweis: Man zeichne die Gerade ℓ(M1,M2)und suche ähnliche Dreiecke.

Menelaos und Ceva

23. Seien A, B, C und D vier Punkte in der Ebene. Sei E der Schnittpunkt der Geraden ℓ(A,C)und ℓ(B,D) und F der Schnittpunkt der Geraden ℓ(A,B) und ℓ(C,D). Man zeige FAFB ·

EBED ·

FDFC ·

ECEA = 1. Hinweis: Satz von Menelaos zweimal anwenden.

24. Umkehrung des Satzes von Menelaos: Sei △ABC ein Dreieck. Sei D ein Punkt auf ℓ(A,B),sei E ein Punkt auf ℓ(B,C), und F einer auf ℓ(C,A). Wenn DADB ·

EBEC ·

FCFA = 1 gilt, dann liegen

die Punkte D, E und F auf einer Gerade. Hinweis: Es ist nicht möglich, dass ℓ(D,E) parallelzu ℓ(C,A) liegt (indirekter Beweis mit Strahlensatz).

25. Sei △ABC ein Dreieck mit Seitenmitten Ma, Mb und Mc. Sei g eine Gerade, die ℓ(B,C)im Punkt Pa, ℓ(A,C) im Punkt Pb und ℓ(A,B) im Punkt Pc schneidet. Sei Qa der an Magespiegelte Punkt Pa. Sei Qb der an Mb gespiegelte Punkt Pb. Sei Qc der an Mc gespiegeltePunkt Pc. Dann liegen die Punkte Qa, Qb und Qc auf einer Gerade.

26. Sei △ABC ein Dreieck mit Seitenmitten Ma, Mb und Mc. Sei P ein Punkt. Sei Pa derSchnittpunkt der Geraden ℓ(P,A) und ℓ(B,C) und Qa der an Ma gespiegelte Punkt Pa. SeiPb der Schnittpunkt der Geraden ℓ(P,B) und ℓ(A,C) und Qb der an Mb gespiegelte Punkt Pb.Sei Pc der Schnittpunkt der Geraden ℓ(P,C) und ℓ(A,B) und Qc der an Mc gespiegelte PunktPc. Dann schneiden die Geraden ℓ(A,Qa), ℓ(B,Qb) und ℓ(C,Qc) einander in einem Punkt.

27. Sei △ABC ein Dreieck und P ein Punkt. Sei A1 der Schnittpunkt von ℓ(A,P ) mit ℓ(B,C),B1 der von ℓ(B,P ) mit ℓ(A,C) und C1 der von ℓ(C,P ) mit ℓ(A,B). Weiters sei A2 derSchnittpunkt von ℓ(B1, C1) mit ℓ(B,C), B2 der von ℓ(A1, C1) mit ℓ(A,C) und C2 der vonℓ(A1, B1) mit ℓ(A,B). Man zeige, dass die Punkte A2, B2 und C2 auf einer Geraden liegen.Hinweis: Menelaos und Ceva.

C.Pythagoras

Ebene Figuren

28. Man bestimme die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks und die Abschnitte, in die sie durch denHöhenschnittpunkt unterteilt wird.

29. Sei ABCD ein Quadrat mit Seitenlänge a. Sei k der Kreis, der durch die Eckpunkte A und Bgeht und die Seite CD berührt. Man berechne den Radius dieses Kreises.

30. Sei ABCD ein Quadrat mit Seitenlänge a. Die Punkte E auf der Seite BC und F auf der SeiteCD werden so gewählt, dass das Dreieck △AEF gleichseitig ist. Man berechne die Seitenlängedieses Dreiecks.

31. Sei AB der Durchmesser eines Halbkreises und C ein Punkt auf AB. Aus diesem Halbkreiswerden zwei Halbkreise mit Durchmessern AC und CB herausgeschnitten. Die verbleibendeFigur heißt Arbelos. Sei D der Schnittpunkt der Senkrechten auf AB durch C mit dem erstenHalbkreis. Dann ist die Fläche des Arbelos gleich der Fläche des Kreises mit Durchmesser CD.(Archimedes)

32. Sei ABCD ein Quadrat mit Seitenlänge a. Sei E der Mittelpunkt der Seite CD. Die StreckenAC und BE schneiden einander im Punkt S. Man berechne die Längen der Seiten des Dreiecks△ABS und dessen Fläche. Hinweis: Strahlensatz: CE ist parallel zu AB.

33. Sei a die Seite eines dem Einheitskreis eingeschriebenen regelmäßigen n-Ecks. Man zeige, dass√2−

√4− a2 die Seite eines dem Einheitskreis eingeschriebenen regelmäßigen 2n-Ecks ist.

Man berechne die Seite des regelmäßigen 8-Ecks und 16-Ecks.34. Sei a die Seite eines dem Einheitskreis umgeschriebenen regelmäßigen n-Ecks. Man zeige, dass

4a (√

1 + a2/4−1) die Seite eines dem Einheitskreis umgeschriebenen regelmäßigen 2n-Ecks ist.Man berechne die Seite des regelmäßigen 8-Ecks und 16-Ecks.

Körper im Raum

35. Man bestimme die Länge der Diagonale eines Würfels.36. Man bestimme die Höhe eines regelmäßigen Tetraeders.37. Man berechne den Radius r der Umkugel und den Radius ϱ der Inkugel eines regelmäßigen

Tetraeders.38. Wir sind im R3. Sei A = (a, 0, 0), B = (0, b, 0) und C = (0, 0, c), wobei a, b und c alle > 0 sind.

Zusammen mit O = (0, 0, 0) bilden diese Punkte die Ecken eines rechtwinkeligen Tetraeders.Wir betrachten die Flächeninhalte der vier Dreiecke: R = #ABC, U = #ABO, V = #ACO

und W = #BCO. Man zeige, dass R2 = U2 +V 2 +W 2 gilt. Hinweis: Man berechne die Höhek durch O im Dreieck △ABO und daraus die Höhe h durch C im Dreieck △ABC.

Berührende Kreise

39. Zwei Kreise mit Radien r1 und r2 berühren einander von außen und haben die Gerade g alsgemeinsame Tangente, die die beiden Kreise in verschiedenen Punkten berührt. Ein weitererKreis mit Radius s berührt die beiden Kreise von außen und auch die Tangente g. Man zeige,dass 1√

s= 1√r1 +

1√r2

gilt.

40. Sei ABCD ein Quadrat mit Seitenlänge a. Man berechne den Radius des Inkreises des Dreiecks△ABC.

41. Sei ABCD ein Quadrat mit Seitenlänge a. Sei k ein Halbkreis mit AB als Durchmesser, der imInnern des Quadrats liegt. Man berechne den Radius des Kreises, der k, BC und CD berührt.

42. Sei ABCD ein Quadrat mit Seitenlänge a. Sei kA der Viertelkreis mit Mittelpunkt A, der denPunkt B mit dem Punkt D verbindet. Ebenso sei kB der Viertelkreis mit Mittelpunkt B, derden Punkt A mit dem Punkt C verbindet. Diese beiden Viertelkreise teilen das Quadrat invier Teile. Jedem dieser Teile wird ein Kreis eingeschrieben, der die Begrenzungslinien berührt.Man berechne die Radien dieser Kreise.

43. Sei AB ein Durchmesser eines Kreises k. Sei C ein beliebiger Punkt auf AB und g dieSenkrechte auf AB durch C. Sei D ein Schnittpunkt von g und k. Sei l ein Kreis, derdie Strecken CB und CD und den Kreis k von innen berührt. Der Punkt, in dem l die StreckeCB berührt, sei U . Man zeige, dass |AU | = |AD| gilt.

44. Sei AB eine Strecke und C ein Punkt auf AB. Der Kreis k1 habe AB als Durchmesser.Seinen Radius bezeichnen wir mit r1. Der Kreis k2 habe AC als Durchmesser. Seinen Radiusbezeichnen wir mit r2. (Die Kreise berühren einander in A.) Der Kreis k3 berührt die StreckeAB, den Kreis k2 von außen und den Kreis k1 von innen. Gesucht ist der Radius von k3.

45. Sei C ein Punkt auf AB. Die Halbkreise k über AB, k1 über AC und k2 über CB bilden denArbelos. Sei g die Senkrechte auf AB durch C. Sei l1 der Kreis, der g, k und k1 berührt undl2 der Kreis, der g, k und k2 berührt. Dann haben l1 und l2 den gleichen Radius.

46. Im Arbelos aus Beispiel 45 wurde bereits die gemeinsame Tangente g im Punkt C an dieHalbkreise k1 und k2 eingeführt. Sei D ihr Schnittpunkt mit dem großen Halbkreis k. DieHalbkreise k1 und k2 haben neben g eine zweite gemeinsame Tangente h. Sie berührt k1 imPunkt U und k2 im Punkt V . Man zeige, dass |UV | = |CD| gilt. Ist S der Schnittpunktder Tangenten ℓ(C,D) und ℓ(U, V ), dann gilt |SU | = |SC| = |SV | = |SD|. Weiters liegen diePunkte A, U und D auf einer Gerade, ebenso die Punkte B, V und D. Hinweise: Wir berechen|UV | und |CD| mit Pythagoras. Tangenten von S an k1: |SU | = |SC|. Tangenten von S ank2: |SV | = |SC|. Damit erhalten wir |SU | = |SC| = |SV | = |SD|. Weiters sind △M1USund △M1CS kongruent, △M1CS und △ACD sind ähnlich, △AM1U ist gleichschenkelig. Esfolgt ]M1AU = ]CAD.Zum Satz von Carnot

47. Sei ABCD ein Rechteck und P ein Punkt. Man zeige |PA|2 − |PB|2 + |PC|2 − |PD|2 = 0.48. Man zeige, dass die Strecken AB und CD genau dann aufeinander senkrecht stehen, wenn

AC2 −AD2 = BC2 −BD2 gilt.49. Sei △ABC ein gleichseitiges Dreieck und P ein Punkt. Seien Pa, Pb und Pc die Fußpunkte

der Lote von P auf die Geraden ℓ(B,C), ℓ(A,C) und ℓ(A,B). Man zeige APc+BPa+CPb =PcB + PaC + PbA. Hinweis: Satz von Carnot, gleichseitiges Dreieck!

50. Sei △ABC ein Dreieck mit Seitenmitten Ma, Mb und Mc. Sei P ein Punkt. Seien Pa, Pb undPc die Fußpunkte der Lote von P auf die Geraden ℓ(B,C), ℓ(A,C) und ℓ(A,B). Sei Qa deran Ma gespiegelte Punkt Pa und ga die Senkrechte auf ℓ(B,C) durch Qa. Sei Qb der an Mbgespiegelte Punkt Pb und gb die Senkrechte auf ℓ(A,C) durch Qb. Sei Qc der anMc gespiegeltePunkt Pc und gc die Senkrechte auf ℓ(A,B) durch Qc. Dann schneiden die Geraden ga, gb und

gc einander in einem Punkt.

51. Sei△ABC ein Dreieck und D, E und F beliebige Punkte. Die Senkrechte durchD auf ℓ(A,B),die Senkrechte durch E auf ℓ(B,C) und die Senkrechte durch F auf ℓ(C,A) schneiden einanderin einem Punkt genau dann, wenn |AD|2 − |DB|2 + |BE|2 − |EC|2 + |CF |2 − |FA|2 = 0 gilt.Hinweis: Sei D∗ der Fußpunkt des Lots von D auf ℓ(A,B). Dann gilt |AD∗|2 − |D∗B|2 =|AD|2 − |DB|2.

52. Auf den Seiten eines Dreiecks △ABC als Basis werden gleichschenkelige Dreiecke △AC∗B,△BA∗C und △CB∗A gesetzt. Sei gA die Senkrechte auf ℓ(B∗, C∗) durch A, sei gB dieSenkrechte auf ℓ(A∗, C∗) durch B und gC die Senkrechte auf ℓ(A

∗, B∗) durch C. Dannschneiden diese drei Geraden einander in einem Punkt. Hinweis: Beispiel 51 auf das Dreieck△A∗B∗C∗ anwenden.

D.Dreieck

Schwerlinie, Streckensymmetrale, Winkelsymmetrale

53. Ein beliebiges Dreieck wird durch die Schwerlinien in sechs flächengleiche Teile geteilt. Hinweis:Man suche Dreiecke mit gleich langer Basis und gemeinsamer Höhe.

54. Sei △ABC ein Dreieck und M der Mittelpunkt der Seite AB. Sei P ein beliebiger Punkt aufder Schwerlinie CM . Sei Q der Schnittpunkt von ℓ(B,P ) und ℓ(A,C). Dann gilt CPPM = 2

CQQA .

Hinweis: Parallele durch M zu ℓ(B,P ). Strahlensatz.

55. Sei AB eine Strecke, P ein Punkt und F der Fußpunkt des Lots von P auf ℓ(A,B). Man zeige|PA|2 − |PB|2 = |FA|2 − |FB|2. Damit beweise man, dass P genau dann auf der Symmetraleder Strecke AB liegt, wenn |PA| = |PB| gilt.

56. Zwei Kreise berühren einander von außen im Punkt P . Eine gemeinsame Tangente berührtden einen Kreis im Punkt U , den anderen im Punkt V . Man zeige ]UPV = 900. Hinweis:Welche Dreiecke sind gleichschenkelig?

57. Man zeige: Die sechs Symmetrieebenen der Kanten eines unregelmäßigen Tetraeders schneideneinander in einem Punkt (Mittelpunkt der Umkugel).

58. Zwei Halbebenen H1 und H2 im Raum, die von derselben Gerade ausgehen, haben eine winkel-halbierende Halbebene. Jeder Punkt dieser winkelhalbierenden Halbebene hat gleichen Nor-malabstand von H1 und H2. Man zeige, dass ein unregelmäßiger Tetraeder eine Inkugel besitzt(und vier Ankugeln). Hinweis: Drei winkelhalbierende Halbebenen, von denen jede eine Kanteeiner Seitenfläche enthält, schneiden einander in einem Punkt. Dieser hat gleichen Normalab-stand von allen vier Tetraederflächen.

59. In einem Viereck bezeichnen wir die Ecken der Reihe nach mit A, B, C und D. Man zeige,dass für ein Tangentenviereck |AB| + |CD| = |BC| + |DA| gilt. Ein Tangentenviereck ist einViereck, das einen Inkreis hat.

60. Sei △ABC ein Dreieck mit Winkeln α, β und γ. Man drücke den Winkel, den die Winkelsym-metralen durch die Eckpunkte B und C miteinander bilden, durch α, β und γ aus.

61. Sei △ABC ein beliebiges Dreieck, I der Inkreismittelpunkt und Ia, Ib und Ic die Ankreis-mittelpunkte. Man drücke die Winkel des Dreiecks △ IaIbI durch α, β und γ aus. Hinweis:Beispiel 60. Die innere und äußere Winkelsymmetrale durch einen Eckpunkt stehen senkrechtaufeinander.

62. Sei △ABC ein beliebiges Dreieck und Ia, Ib und Ic die Ankreismittelpunkte. Man drücke dieWinkel des Dreiecks △ IaIbIc durch α, β und γ aus.

63. Sei △ABC ein Dreieck. Seien U und V die Fußpunkte der Lote von C auf die Symmetralender Innenwinkel bei A und bei B. Seien P und Q die Fußpunkte der Lote von C auf dieSymmetralen der Außenwinkel bei A und bei B. Dann liegen die vier Punkte P , Q, U undV auf einer Gerade. Auch die Mittelpunkte der Seiten AC und BC liegen auf dieser Gerade.Hinweis: Die innere und äußere Winkelsymmetrale durch einen Eckpunkt stehen senkrechtaufeinander. Damit erhält man Rechtecke. Was gilt für deren Diagonalen?

64. Seien A und B Punkte auf einem Kreis k. Wir nehmen an, dass die Tangenten in den Punkten Aund B an den Kreis k einander im Punkt C schneiden. Man zeige, dass der Inkreismittelpunktdes Dreiecks △ABC auf k liegt.

Besondere Punkte mit Ceva und Carnot

65. Sei △ABC ein Dreieck und D der Schnittpunkt der Symmetrale eines Außenwinkels bei C mitℓ(A,B). Man zeige, dass ADDB = −

|AC||BC| gilt. Hinweis: Die Parallele zu AC durch B schneidet

die Symmetrale des Außenwinkels in einem Punkt E. Man wende den Strahlensatz an undzeige |BE| = |BC|.

66. Sei D der Schnittpunkt der Symmetrale eines Außenwinkels bei C mit ℓ(A,B). Sei E derSchnittpunkt der Symmetrale eines Außenwinkels bei A mit ℓ(B,C). Sei F der Schnittpunktder Symmetrale eines Außenwinkels bei B mit ℓ(A,C). Dann liegen die Punkte D, E und Fauf einer Gerade. Hinweis: Beispiel 65 und Beispiel 24.

67. Seien Qa, Qb und Qc die Punkte, in denen ein Ankreis eines Dreiecks △ABC die (Verlän-gerungen der) drei Dreiecksseiten berührt. Man zeige mit Hilfe der Umkehrung des Satzesvon Ceva, dass die drei Geraden ℓ(A,Qa), ℓ(B,Qb) und ℓ(C,Qc) einander in einem Punktschneiden. Hinweis: |AQb| = |AQc|, |BQa| = |BQc| und |CQa| = |CQb|.

Zentrische Streckung, Eulergerade

68. Sei ABCD ein Parallelogramm. Sei P ein Punkt auf der Diagonale AC. Weiters seien E aufAB und G auf CD so gewählt, dass E, P und G auf einer Gerade liegen. Ebenso seien F aufBC und H auf AD so gewählt, dass F , P und H auf einer Gerade liegen. Man zeige, dass EHund FG parallel sind. Hinweis: Die zentrische Streckung mit Zentrum P , die C auf A abbildet,bildet G auf E und F auf H ab.

69. Sei △ABC ein beliebiges Dreieck mit Inkreismittelpunkt I und Umkreismittelpunkt U . Manzeige, dass I der Höhenschnittpunkt und U der Mittelpunkt des Neunpunktkreises für dasDreieck △ IaIbIc sind. Weiters zeige man, dass U der Mittelpunkt der Strecke IV ist, wobeiV der Umkreismittelpunkt des Dreiecks △ IaIbIc ist. Hinweis: Eulergerade für △ IaIbIc.

70. Mit Hilfe der Eigenschaften eines Parallelogramms beweisen wir, dass Mc, Rc und Hc auf demNeunpunktkreis liegen. Das ergibt einen alternativen Beweis zum Beweis in der Vorlesung.(a) Die Höhe durch C und die Symmetrale der Seite AB sind parallel. Die Schwerlinie ℓ(C,Mc)und die Eulergerade ℓ(U,H) schneiden einander im Schwerpunkt S. Der Strahlensatz ergibtCHMcU

= SCSMc = −2. Es folgt CH = 2UMc und UMc = CRc = RcH (Rc Mittelpunkt von CH).(b) Nun ist UMcRcC ein Parallelogramm. Es folgt |McRc| = |UC| = r. Ebenso ist UMcHRcein Parallelogramm und N ist nach Definition der Mittelpunkt der Diagonale UH. Daher istN auch der Mittelpunkt der anderen Diagonale McRc. Was folgt daraus für Mc und Rc? (Ist]ACB = 900, dann gilt U =Mc und C = H = Rc.)(c) Jetzt zum Höhenfußpunkt Hc: Wegen ]RcHcMc = 900 können wir △RcHcMc zu einemRechteck ergänzen. Da N der Mittelpunkt der Diagonale McRc ist, ist NHc die Hälfte deranderen Diagonale. Es gilt somit |NHc| = |NMc|. Was folgt daraus für Hc?Wenn |AC| = |BC| gilt, dann funktioniert dieser Beweis nicht. In diesem Fall liegen C, Rc,H, S, U und Mc auf einer Gerade. Es gilt SC = −2SMc (Schwerlinie) und SH = −2SU(Eulergerade). Wie kann man damit den Beweis führen? Es gilt auch Hc =Mc.

E. Peripheriewinkelsatz

Umkreis, Höhen, Winkelsymmetralen

71. In einem Viereck bezeichnen wir die Winkel der Reihe nach mit α, β, γ und δ. Ein Sehnen-viereck ist ein Viereck, dessen vier Eckpunkte auf einem Kreis liegen. Man zeige, dass einViereck genau dann ein Sehnenviereck ist, wenn α + γ = 1800 gilt. (Es gilt dann auchβ + δ = 1800, da die Winkelsumme im Viereck ja 3600 ist.)

72. Sei △ABC ein Dreieck und U der Umkreismittelpunkt. Man bestimme die Winkel in denDreiecken △ABU , △BCU und △ACU .

73. SeienMa,Mb undMc die Seitenmitten und Ha, Hb und Hc die Höhenfußpunkte eines Dreiecks△ABC. Seien a, b und c die Seitenlängen, U der Umkreismittelpunkt und r der Umkreisradius.Man zeige |AHb|c =

|AHc|b =

|UMa|r . Analog gilt

|BHa|c =

|BHc|a =

|UMb|r und

|CHa|b =

|CHb|a =

|UMc|r . Hinweis: Die Dreiecke △ABHb, △ACHc und △UMaB sind ähnlich (Beispiel 72).

74. Sei △ABC ein Dreieck. Ein Kreis, der durch A und B geht, schneide die Seite AC im PunktF und die Seite BC im Punkt E. Man bestimme die Winkel im Dreieck △FEC. Sei V derUmkreismittelpunkt des Dreiecks △FEC. Man zeige, dass ℓ(C, V ) senkrecht auf ℓ(A,B) steht.Hinweis: Beispiel 72 auf △FEC anwenden.

75. Sei △ABC ein Dreieck mit α ̸= β. Sei Wc der Schnittpunkt der Winkelsymmetrale durch Cmit der Seite AB. Sei P der Schnittpunkt der Gerade ℓ(A,B) mit der Tangente im Punkt Can den Umkreis. Man zeige |PC| = |PWc|. Hinweis: Tangentenwinkelsatz.

76. In einem spitzwinkeligen Dreieck △ABC sei D der Fußpunkt der Höhe durch C, E derFußpunkt der Höhe durch A und F der Fußpunkt der Höhe durch B. Man zeige ]BED =]CEF = α, ]AFD = ]CFE = β und ]ADF = ]BDE = γ. Hinweis: Die Punkte D undE liegen auf dem Kreis mit Durchmesser AC.

77. Sei △ABC ein spitzwinkeliges Dreieck und H der Höhenschnittpunkt. Das Dreieck, dessenEcken die Höhenfußpunkte sind, heißt Höhenfußpunktdreieck. Mit Hilfe von Beispiel 76 zeigeman, dass H der Inkreismittelpunkt des Höhenfußpunktdreiecks ist.

78. Sei △ABC ein spitzwinkeliges Dreieck. Das Dreieck, dessen Ecken die Höhenfußpunkte sind,heißt Höhenfußpunktdreieck. Das Dreieck, dessen Seiten die Tangenten an den Umkreis in denPunkten A, B und C sind, heißt Tangentendreieck. Man zeige, dass die einander entsprechen-den Seiten des Höhenfußpunktdreiecks und des Tangentendreiecks zueinander parallel liegen.Hinweis: Tangentenwinkelsatz, Beispiel 76.

79. Sei △ABC ein Dreieck, E ein Punkt auf BC und F einer auf AC. Sei w̃γ die Gerade durchC, die die beiden Außenwinkel bei C halbiert. Sei N der Schnittpunkt ̸= C von w̃γ mit demUmkreis von △BCF und M der Schnittpunkt ̸= C von w̃γ mit dem Umkreis von △ACE.Dann sind die Dreiecke △AEM und △BFN gleichschenkelig und zueinander ähnlich. (The-bault) Hinweis: Drücke die Winkel der Dreiecke △AEM und △BFN mit Hilfe des Periph-eriewinkelsatzes durch γ aus.

80. Zum Südpolsatz: Man zeige, dass der Eckpunkt A und der Ankreismittelpunkt Ic gleichenAbstand vom Südpol P haben. Hinweis: Man zeige, dass das Dreieck △APIc gleichschenkeligist. Die innere und äußere Winkelsymmetrale durch A stehen aufeinander senkrecht.

81. Sei △ABC ein Dreieck mit Ankreismittelpunkten Ia und Ib. Sei Q der Schnittpunkt ̸= C deräußeren Winkelsymmetrale durch den Eckpunkt C mit dem Umkreis. Dann hat Q gleichenAbstand zu den vier Punkten A, B, Ia und Ib. (Nordpolsatz) Hinweis: Vorgangsweise analogzum Beweis des Südpolsatzes.

82. Es sei I der Inkreismittelpunkt eines Dreiecks △ABC und k ein Kreis durch die Punkte A undB. Dieser Kreis schneide die Gerade ℓ(A, I) in den Punkten A und P , die Gerade ℓ(B, I) inden Punkten B und Q, die Gerade ℓ(A,C) in den Punkten A und R und die Gerade ℓ(B,C)in den Punkten B und S, wobei die Punkte A, B, P , Q, R und S paarweise verschieden sindund R beziehungsweise S auf den Strecken AC und BC liegen. Man zeige, dass die Geradenℓ(P, S), ℓ(Q,R) und ℓ(C, I) einander in einem Punkt schneiden. (ÖMO 2015) Hinweis: Winkelbei den Punkten R und S berechnen.

Kreise

83. Seien A, B, C und D vier Punkte und P der Schnittpunkt der Geraden ℓ(A,B) und ℓ(C,D),wobei diese fünf Punkte alle voneinader verschieden seien. Wenn PA·PB = PC ·PD gilt, dannliegen die vier Punkte A, B, C und D auf einem Kreis. (Umkehrung des Sehen-Sekantensatzes)

Hinweis: Die Dreiecke △PAC und △PDB sind ähnlich, Peripheriewinkelsatz. Oder: Vor-gangsweise wie bei der Umkehrung des Strahlensatzes.

84. Sei AB eine Strecke und C ein Punkt auf AB. Sei k1 der Kreis mit Durchmesser AC und k2der Kreis mit Durchmesser CB (sie berühren einander in C). Sei g eine gemeinsame Tangenteder beiden Kreise, jedoch nicht die durch C. Sie berührt k1 im Punkt P und k2 im Punkt Q.Man zeige, dass die Punkte A, P , Q und B auf einem Kreis liegen. Hinweis: Wir bezeichnen]BAP mit α. Man drücke die Winkel des Vierecks APQB durch α aus.

85. Der Kreis k1 mit Mittelpunkt M und der Kreis k2 mit Mittelpunkt N schneiden einanderin den Punkten P und Q. Die Gerade g durch M und P schneide k2 im Punkt U und dieGerade h durch N und P schneide k1 im Punkt V , wobei U und V ungleich P sind. Manzeige, dass die Punkte M , V , U , N und Q auf einem Kreis liegen. Hinweis: Die Dreiecke△MNP und △MNQ sind sind zueinander kongruent. Die Dreiecke △UNP und △VMPsind gleichschenkelig.

86. Seien k1 und k2 zwei Kreise, die einander in den Punkten A und B schneiden. Sei g eine Geradedurch A und h eine durch B, jedoch sei keine der Geraden eine Tangente an einen der Kreise.Seien G1 und G2 die Schnittpunkte ̸= A der Gerade g mit k1 und k2. Seien H1 und H2 dieSchnittpunkte ̸= B der Gerade h mit k1 und k2. Man zeige, dass die Strecke G1H1 parallelzur Strecke G2H2 liegt.

87. Sei △ABC ein Dreieck mit Seitenlängen a, b und c. Auf den Verlängerungen der Seiten ACund BC tragen wir von C aus nach außen die Strecke der Länge c ab und erhalten so die PunkteCa und Cb. Auf den Verlängerungen der Seiten BA und CA tragen wir von A aus nach außendie Strecke der Länge a ab und erhalten so die Punkte Ab und Ac. Auf den Verlängerungen derSeiten AB und CB tragen wir von B aus nach außen die Strecke der Länge b ab und erhaltenso die Punkte Ba und Bc. Man zeige, dass die Punkte Ab, Ac, Ba, Bc, Ca und Cb auf einemKreis liegen. (Satz von Conway) Hinweis: Gleichschenkelige Dreiecke helfen beim Bestimmender Winkel.

88. Sei ABCD ein Sehnenviereck mit Umkreis k. Seien kAB , kBC , kCD und kDA die Bögen, in diek durch die Punkte A, B, C und D geteilt wird. Sei P der Mittelpunkt von kAB , Q der vonkBC , R der von kCD und S der von kDA. Man zeige, dass ℓ(P,R) senkrecht auf ℓ(Q,S) steht.

89. Sei △ABC ein Dreieck mit |AC| = |BC|. Wir wählen zwei Punkte U und V auf der Seite AB.Seien P und Q die Schnittpunkte der Geraden ℓ(C,U) und ℓ(C, V ) mit dem Umkreis. Manzeige, dass die vier Punkte P , Q, U und V auf einem Kreis liegen.

90. Der Kreis k1 mit Mittelpunkt M und der Kreis k2 mit Mittelpunkt N schneiden einander inden Punkten P und Q. Eine Gerade g durch P schneidet k1 im Punkt A und k2 im Punkt B,wobei A und B ungleich P sind. Sei R der Schnittpunkt der Geraden ℓ(A,M) und ℓ(B,N).Man zeige, dass M , R, Q und N auf einem Kreis liegen und ebenso A, R, Q und B. Hinweis:Sei ]PMQ = 2α, ]PNQ = 2β und ]APQ = γ. Damit berechne man die anderen Winkel.Man erhält ]MQN = ]MRN = ]ARB = ]AQB = 1800 − α− β.Lote

91. Sei △ABC ein Dreieck mit Höhenschnittpunkt H. Sei F der Fußpunkt der Höhe durch Cund M der Mittelpunkt der Seite AB. Sei K der Mittelpunkt der Höhe durch A und L derMittelpunkt der Höhe durch B. Dann liegen die fünf Punkte F , M , K, H und L auf einemKreis.

92. Sei △ABC ein Dreieck und F der Fußpunkt der Höhe durch C. Seien P und Q die Fußpunkteder Lote von F auf die Seiten BC und AC. Sei g eine Parallele zur Seite AB und U und Vihre Schnittpunkte mit ℓ(B,C) und ℓ(A,C). Dann liegen die vier Punkte P , Q, U und V aufeinem Kreis.

93. Sei △ABC ein Dreieck, H der Fußpunkt der Höhe durch C und M der Mittelpunkt der SeiteAB. Seien F und G die Fußpunkte der Lote von A und von B auf die Winkelsymmetrale wγ .Dann liegen die vier Punkte H, F , M und G auf einem Kreis. Hinweis: Bestimme ]GFH

(Peripheriewinkelsatz) und ]GMH (ist D der Schnittpunkt von ℓ(B,G) und ℓ(A,C), danngilt |BG| = |DG| und MG ∥ AC).

94. Sei △ABC ein Dreieck und F der Fußpunkt der Höhe durch C. Seien P und Q die Fußpunkteder Lote von F auf die Seiten BC und AC. Seien U und V die Fußpunkte der Lote von Fauf die Höhen durch A und durch B. Dann liegen die vier Punkte P , Q, U und V auf einerGerade. Hinweis: Zeige ]FPQ = ]FPV .

95. Sei △ABC ein Dreieck und Mb und Mc die Mittelpunkte der Seiten AC und AB. Sei P derFußpunkt des Lots von A auf die Symmetrale des Innenwinkels bei B. Sei Q der Fußpunkt desLots von A auf die Symmetrale des Innenwinkels bei C. Dann liegen die vier Punkte Mb, Mc,P und Q auf einer Gerade. Hinweis: Zeige ]AMcMb = β und ]AMcP = β.

96. Sei △ABC ein Dreieck und F und G die Punkte, in denen der Inkreis die Seiten AC undBC berührt. Sei P der Fußpunkt des Lots von A auf die Symmetrale des Innenwinkels bei B.Sei Q der Fußpunkt des Lots von B auf die Symmetrale des Innenwinkels bei A. Dann liegendie vier Punkte F , G, P und Q auf einer Gerade. Hinweis: Zeige ]AFP = 12 (α + β) und]GFC = 900 − 12γ.

97. Sei △ABC ein spitzwinkeliges Dreieck und Wc der Schnittpunkt der Winkelsymmetrale durchC mit der Seite AB. Seien Pa und Pb die Fußpunkte der Lote von Wc auf ℓ(B,C) und ℓ(A,C).Weiters sei F der Fußpunkt der Höhe durch C. Dann gilt ]PaFC = ]PbFC.

98. Sei ABCD ein Viereck, dessen Diagonalen senkrecht aufeinander stehen. Sei U der Schnitt-punkt der Diagonalen und P , Q, R und S die Fußpunkte der Lote von U auf ℓ(A,B), ℓ(B,C),ℓ(C,D) und ℓ(D,A). Man zeige, dass die Punkte P , Q, R und S auf einem Kreis liegen.

99. Sei ABCD ein Viereck. Seien A∗ und B∗ die Fußpunkte der Lote von den Eckpunkten A undB auf die Gerade ℓ(C,D). Seien C∗ und D∗ die Fußpunkte der Lote von den Eckpunkten Cund D auf die Gerade ℓ(A,B). Dann hat das Viereck A∗B∗C∗D∗ dieselben Winkel wie dasViereck ABCD.

100. Sei ABCD ein Viereck. Seien A∗ und C∗ die Fußpunkte der Lote von den Eckpunkten A undC auf die Gerade ℓ(B,D). Seien B∗ und D∗ die Fußpunkte der Lote von den Eckpunkten Bund D auf die Gerade ℓ(A,C). Dann hat das Viereck A∗B∗C∗D∗ dieselben Winkel wie dasViereck ABCD.

F. Inkreis, Ankreise, Fläche

Gleichungen und Ungleichungen

101. Für jedes Dreieck gilt F 2 = ϱϱaϱbϱc, wobei ϱ der Inkreisradius und ϱa, ϱb und ϱc die Ankreis-radien sind.

102. Für jedes Dreieck gilt 1ϱa +1ϱb

+ 1ϱc =1ϱ .

103. Für jedes Dreieck gilt ϱaϱb + ϱaϱc + ϱbϱc = s2, wobei s der halbe Umfang ist.

104. Für jedes Dreieck gilt ϱa + ϱb + ϱc − ϱ = 4r, wobei r der Umkreisradius ist.105. Seien a, b und c die Längen der Seiten eines Dreiecks. Dann gilt abc ≥ 8(s− a)(s− b)(s− c),

wobei s = 12 (a+ b+ c) ist (Schur-Ungleichung). Hinweis: Sei x = s−a, y = s− b und z = s− c.Daraus werden a, b und c berechnet. Es gilt x+ y ≥ 2√xy, . . .

106. Sei r der Umkreisradius und ϱ der Inkreisradius eines Dreiecks. Dann gilt r ≥ 2ϱ (Ungleichungvon Euler). Hinweis: r = abc4F , ϱ =

Fs , F =

√s(s− a)(s− b)(s− c), Beispiel 105.

107. Sei r der Umkreisradius und ϱc ein Ankreisradius. Man zeige ϱc < 4r. Hinweis: r =abc4F ,

ϱc =Fs−c , Heronformel, c = 2s− a− b. Es gilt s− a− b < 0 und s

2 − ab > 0 wegen s > a unds > b.

108. Sei F die Fläche und s der halbe Umfang eines Dreiecks. Dann gilt F ≤ 13√3s2. Gleichheit

gilt nur, wenn das Dreieck gleichseitig ist. Hinweis: geometrisch-arithmetische Ungleichung:(xyz)1/3 ≤ 13 (x+ y + z) mit x = s− a, y = s− b und z = s− c.

109. Für die Ankreisradien und die Höhen eines Dreiecks gilt 1ϱa +1ϱb

+ 1ϱc =1ha

+ 1hb +1hc.

110. Seien Ma, Mb und Mc die Seitenmitten eines Dreiecks △ABC. Sei ϱ der Inkreisradius,U der Umkreismittelpunkt und r der Umkreisradius. Ist △ABC spitzwinkelig, dann gilt|UMa| + |UMb| + |UMc| = r + ϱ. Für ein stumpfwinkeliges Dreieck ist einer der links ste-henden Summanden mit einem Minuszeichen zu versehen. (Satz von Carnot) Hinweis: Wirmultiplizieren die zu beweisende Gleichung mit a + b + c. Es gilt ϱ(a + b + c) = 2F =|UMa|a+ |UMb|b+ |UMc|c. Jetzt Beispiel 73.

111. Sei I der Mittelpunkt und ϱ der Radius des Inkreises eines Dreiecks. Weiters sei Ia der Mit-telpunkt und ϱa der Radius des Ankreises an die Seite BC. Die Punkte, in denen diese beidenKreise die (Verlängerung der) Seite AB berühren, bezeichnen wir mit P und Pa. Man zeige,dass die Dreiecke △IPB und △BPaIa zueinander ähnlich sind. Man schließe, dass ϱs−b =

s−cϱa

gilt. Hinweis: Bei den Berührpunkten haben die Dreiecke rechte Winkel. Die innere und äußereWinkelsymmetrale im Punkt B stehen senkrecht aufeinander.

112. Es gilt ϱ = Fs und ϱa =Fs−a . Nach Beispiel 111 gilt

ϱs−b =

s−cϱa

. Man eliminiere ϱ und ϱa aus

diesen Gleichungen und berechne dadurch F . Das gibt einen anderen Beweis der HeronschenFlächenformel.

Weitere besondere Punkte

113. Sei k der Inkreis und ka, kb und kc die drei Ankreise eines Dreiecks △ABC. Sei Ta der Punkt,in dem kb die Verlängerung der Seite BC berührt, und Tb der Punkt, in dem ka die Verlän-gerung der Seite AC berührt. Weiters sei Tc der Punkt, in dem k die Seite AB berührt. MitHilfe von der Umkehrung des Satzes von Ceva zeige man, dass die die drei Geraden ℓ(A, Ta),ℓ(B, Tb) und ℓ(C, Tc) einander in einem Punkt schneiden.

114. Seien Ia, Ib und Ic die Ankreismittelpunkte. Mit Hilfe der Umkehrung des Satzes von Carnotzeige man, dass die Senkrechte durch Ia auf ℓ(B,C), die Senkrechte durch Ib auf ℓ(A,C) unddie Senkrechte durch Ic auf ℓ(A,B) einander in einem Punkt V (Bevanpunkt) schneiden.

115. Sei V wie in Beispiel 114. Durch Berechnen geeigneter Winkel zeige man, dass Ia, Ib und Icden gleichen Abstand von V haben.

116. Seien I der Inkreismittelpunkt und Ia, Ib und Ic die Ankreismittelpunkte. Mit Hilfe derUmkehrung des Satzes von Carnot zeige man, dass die Senkrechte durch I auf ℓ(A,B), dieSenkrechte durch Ib auf ℓ(B,C) und die Senkrechte durch Ia auf ℓ(A,C) einander in einemPunkt W schneiden.

117. Sei W wie in Beispiel 116. Durch Berechnen geeigneter Winkel zeige man, dass I, Ia und Ibden gleichen Abstand von W haben.

II. Trigonometrie

G.Dreieck

Gleichungen und Ungleichungen

118. Für die Winkel α, β und γ eines Dreiecks gilt tanα + tanβ + tan γ = tanα tanβ tan γ undcot α2 +cot

β2 +cot

γ2 = cot

α2 cot

β2 cot

γ2 . Hinweis: tan(180

0−φ) = − tanφ, cot(900−φ) = tanφund tan(α+ β) = tanα+tan β1−tanα tan β .

119. Für die Winkel eines Dreiecks gilt cosα+cosβ+cos γ ≤ 32 . Hinweis: Cosinussatz, Beispiel 105.120. Für ein beliebiges Dreieck zeige man F = 2r2 sinα sinβ sin γ.

121. Man zeige sinα+sinβ = 2 sin α+β2 cosα−β2 und sinα− sinβ = 2 sin

α−β2 cos

α+β2 . Hinweis: Sei

φ = α+β2 und ψ =α−β2 . Dann gilt α = φ+ ψ und β = φ− ψ. Summensatz.

122. Für ein beliebiges Dreieck gilt tan α−β2 =a−ba+b tan

α+β2 (Tangenssatz). Weitere Formeln erhält

man durch zyklisches Vertauschen. Hinweis: Aus dem Sinussatz ergibt sich a−ba+b =sinα−sin βsinα+sin β .

Dann Beispiel 121.

123. Für ein beliebiges Dreieck gilt sin α2 =√

(s−b)(s−c)bc und cos

α2 =

√s(s−a)bc . Weitere Formeln

erhält man durch zyklisches Vertauschen. Hinweis: sin2 α2 =1−cosα

2 und cos2 α

2 =1+cosα

2 .Jetzt Cosinussatz.

124. Für ein beliebiges Dreieck gilt (b + c) sin α2 = a cosβ−γ2 und (b − c) cos

α2 = a sin

β−γ2 (Moll-

weidsche Formeln). Weitere Formeln erhält man durch zyklisches Vertauschen. Hinweis: Sum-

mensatz für cos β−γ2 und sinβ−γ2 . Dann Beispiel 123.

125. In jedem Dreieck gilt s = 4r cos α2 cosβ2 cos

γ2 und s−a = 4r cos

α2 sin

β2 sin

γ2 . Hinweis: r =

abc4F ,

Beispiel 123, Heronsche Flächenformel.

126. Für ein beliebiges Dreieck zeige man ϱ = 4r sin α2 sinβ2 sin

γ2 .

Sätze über das Dreieck

127. Für zwei Winkel α und β mit α+ β < 1800 gilt sinα = sinβ ⇐⇒ α = β. Damit zeige man(a) Für jedes Dreieck △ABC gilt: |CA| = |CB| ⇐⇒ ]BAC = ]ABC (Sinussatz).(b) Ein Punkt liegt auf der Symmetrale eines Winkels (< 1800) genau dann, wenn er von denbeiden Schenkeln des Winkels gleichen Normalabstand hat.

128. Sei △ABC ein Dreieck und D der Schnittpunkt der Winkelsymmetrale durch C mit der SeiteAB. Mit Hilfe des Sinussatzes zeige man |AD||DB| =

|AC||BC| . Hinweis: Es gilt sinφ = sin(180

0 −φ).129. Sei △ABC ein Dreieck und M und N Punkte auf der Seite AB, sodass die Winkel ]ACM

und ]BCN gleich sind. Mit Hilfe des Sinussatzes zeige man AM ·ANBM ·BN =|AC|2|BC|2 .

130. Auf den Seiten eines Dreiecks △ABC werden außen Dreiecke △BCA1, △CAB1 und △ABC1aufgesetzt, sodass der Winkel bei A gleich φ, der bei B gleich ψ und der bei C gleich χist. Wir nehmen an, dass diese Winkel zwischen 00 und 900 liegen. Man zeige, dass diedrei Geraden ℓ(A,A1), ℓ(B,B1) und ℓ(C,C1) einander in einem Punkt schneiden. Hinweis:Sei A2 der Schnittpunkt von ℓ(B,C) und ℓ(A,A1). Analog seien B2 und C2 definiert. Esgenügt AC2C2B

BA2A2C

CB2B2A

= 1 zu zeigen. Durch mehrmaliges Anwenden des Sinussatzes zeige manBA2A2C

= |AB| sinχ sin(β+ψ)|AC| sinψ sin(γ+χ) .

Dreidimensionale Körper

131. Man bestimme den Winkel zwischen der Diagonale und einer Kante eines Würfels.132. Man bestimme den Winkel zwischen zwei Seitenflächen eines regelmäßigen Tetraeders.

Ebene Figuren

133. Sei ABCD ein Quadrat mit Seitenlänge 1. Über der Seite AB wird im Innern des Quadrats eingleichschenkeliges Dreieck mit Basiswinkel 150 errichtet. Seine Spitze sei P . Man zeige, dassdas Dreieck △CDP gleichseitig ist. Hinweis: Man berechne |CP | mit Hilfe des Cosinussatzes.

134. Es seien a = 4, b = 5 und c = 6 die Längen der Seiten eines Dreiecks. Dann gilt γ = 2α.135. In einem Dreieck gelte α = 2β. Man zeige, dass dann auch a2 = b2 + bc gilt. Hinweis: Alle

drei Winkel lassen sich durch β ausdrücken. Der Sinussatz liefert zwei Gleichungen, aus denenman β eliminiert. (sin 2β = 2 sinβ cosβ, sin 3β = 3 sinβ cos2 β − sin3 β)

136. In einem Dreieck gelte α = β + 900. Man zeige, dass dann auch c2(a2 + b2) = (a2 − b2)2gilt. Hinweis: Alle drei Winkel lassen sich durch β ausdrücken. Der Sinussatz liefert zweiGleichungen, aus denen man β eliminiert. (sin(900 ± β) = cosβ, cos 2β = cos2 β − sin2 β)

137. Seien A, B, C und D aufeinanderfolgende Eckpunkte eines regelmäßigen Siebenecks. Sei P derSchnittpunkt der Geraden ℓ(A,C) und ℓ(B,D). Dann gilt |AB|+ |AP | = |AD|. Hinweis: Seiφ = 180

0

7 . Die in den Dreiecken mit Eckpunkten P , A, B, C und D auftretenden Winkel sindVielfache von φ.

138. Sei k ein Halbkreis mit Durchmesser PQ und g die Tangente im Punkt Q. Seien A undB Punkte auf k und C der Schnittpunkt der Tangenten in den Punkten A und B. Sei Uder Schnittpunkt von ℓ(P,A) mit g, sei V der Schnittpunkt von ℓ(P,B) mit g und sei Wder Schnittpunkt von ℓ(P,C) mit g. Man zeige |UW | = |VW |. Hinweis: Wir können als

Halbkreis den Einheitskreis im Koordinatensystem oberhalb der x-Achse wählen. Dann giltA = (cosα, sinα) und B = (cosβ, sinβ) mit 00 < α < β < 1800.

139. Satz von Napoleon: Auf die Seiten eines Dreiecks △ABC mit Seitenlängen a, b und c wer-den außen gleichschenkelige Dreiecke mit Basiswinkel 300 aufgesetzt. Die Spitzen D, E und F

dieser Dreiecke bilden ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge√

b2

3 +c2

3 −bc3 cosα+

bc√3sinα.

Setzt man die gleichschenkeligen Dreiecke innen auf, so bilden deren Spitzen U , V und W

ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge√

b2

3 +c2

3 −bc3 cosα−

bc√3sinα. Man zeige, dass

#ABC = #DEF −#UVW gilt.140. Sei △ABC ein gleichseitiges Dreieck. Sei P ein Punkt auf dem Bogen des Umkreises zwis-

chen A und B. Dann gilt |PC| = |PA| + |PB|. (Satz von Pompeiu) Hinweis: Sei U derUmkreismittelpunkt und r der Umkreisradius: |UP | = |UA| = |UB| = |UC| = r.

H.Viereck

Sehnenviereck

141. Seien a, b, c und d die Längen der Seiten eines Sehnenvierecks und α der von den Seiten a

und b eingeschlossene Winkel. Man zeige, dass cosα = a2+b2−c2−d22ab+2cd gilt. Hinweis: Der von den

Seiten c und d eingeschlossene Winkel beträgt 1800 − α. Es gilt cos(1800 − α) = − cosα. Seie die Längen der Diagonale, die das Viereck in zwei Dreiecke teilt, eines mit Seitenlängen a, bund e, das andere mit Seitenlängen c, d und e. Man wende den Cosinussatz auf diese beidenDreiecke an.

142. Seien a, b, c und d die Längen der Seiten eines Sehnenvierecks und e die Länge der Diagonale,die das Viereck so teilt, dass auf einer Seite a und b, auf der anderen Seite c und d liegen. Man

zeige e2 = (ac+bd)(ad+bc)ab+cd . Hinweis: Cosinussatz und Beispiel 141.

143. Seien a, b, c und d die Längen der Seiten eines Sehnenvierecks und e und f die der Diagonalen.Mit Hilfe von Beispiel 142 zeige man ef = ac+ bd. (Satz von Ptolemäus)

144. Seien a, b, c und d die Längen der Seiten eines Sehnenvierecks und F seine Fläche. Man zeige,dass dann 16F 2 = (2ab+ 2cd)2 − (a2 + b2 − c2 − d2)2 gilt. Hinweis: Sei β der von den Seitena und b eingeschlossene Winkel. Dann ist 1800 − β der von den Seiten c und d eingeschlosseneWinkel. Es gilt sinβ = sin(1800 − β). Man erhält F als Summe zweier Dreiecksflächen. DannBeispiel 141.

145. Seien a, b, c und d die Längen der Seiten eines Sehnenvierecks mit Umkreisradius r und FlächeF . Sei e die Länge der Diagonale, die das Viereck so teilt, dass auf einer Seite a und b, auf

der anderen Seite c und d liegen. Man zeige r = (ab+cd)e4F . Hinweis: Man zeige sinβ =e2r mit

Hilfe des Peripheriewinkelsatzes. Dann berechne man F als Summe zweier Dreiecksflächen wiein Beispiel 144.

146. Mit Hilfe von Beispiel 144 zeige man, dass F =√(s− a)(s− b)(s− c)(s− d) für die Fläche F

eines Sehnenvierecks mit Seitenlängen a, b, c und d gilt, wobei s = 12 (a+ b+ c+ d) der halbeUmfang ist. (Formel von Brahmagupta)

Andere Vierecke

147. Seien a und b die Längen der Seiten und e und f die Längen der Diagonalen eines Parallel-ogramms. Man zeige 2a2 + 2b2 = e2 + f2. Hinweis: Man berechne e und f mit Hilfe desCosinussatzes. Es gilt cos(1800 − α) = − cosα.

148. Sei ABCD ein Viereck. Man zeige, dass die Diagonalen AC und BD genau dann senkrechtaufeinander stehen, wenn |AB|2 + |CD|2 = |BC|2 + |DA|2 gilt. Hinweis: Durch viermaligesAnwenden des Cosinussatzes zeige man |AB|2+ |CD|2−|BC|2−|DA|2 = ±2|AC| · |BD| cosφ,wobei φ ein Winkel ist, den die Diagonalen AC und BD einschließen (cos(1800−φ) = − cosφ).

Stewarts Formel

149. Sei △ABC ein Dreieck mit Seitenlängen a, b und c. Sei s die Länge der Schwerlinie durch denEckpunkt C. Man zeige mit Hilfe von Stewarts Formel, dass s2 = a

2

2 +b2

2 −c2

4 gilt.150. Sei △ABC ein Dreieck mit Seitenlängen a, b und c, mit Umkreismittelpunkt U , Umkreisradius

r und Schwerpunkt S. Man zeige |US|2 = r2− 19 (a2+b2+c2). Hinweis: SeiM der Mittelpunkt

von AB und s = |CM | die Länge der Schwerlinie durch C. Man drücke |US|2 durch s, r = |UC|und |UM | aus (S teilt die Schwerlinie im Verhältnis 1:2). Pythagoras: |UM |2 = r2 − c

2

4 .151. Sei ABCD ein Viereck mit Seitenlängen a, b, c und d und Diagonallängen e und f . Sei M

der Mittelpunkt der Diagonale AC und N der der Diagonale BD. Sei p der Abstand dieserMittelpunkte. Man zeige a2 + b2 + c2 + d2 = e2 + f2 + 4p2. Hinweis: Beispiel 149 für △ABDmit Schwerlinie AN , für △CBD mit Schwerlinie CN und für △ACN mit Schwerlinie MN .

152. Man beweise den Sehnensatz mit Stewarts Formel.

I. Komplexen Zahlen

Rechenübungen

153. Man berechne (1− i)3, (1 + i)(1− i)(2 + i), i71, (3 + 4i)−1, 1−2i2+i154. Man berechne

√2 + i2

√3

155. Man berechne die vierten Wurzeln aus −8 + i8√3

156. Man löse in C: z2 − (6− 2i)z + 8 + 2i = 0

Eulerformel

157. Man schreibe als Summe: cos2 α sinα, sin3 α cos 2α158. Man schreibe sin4 α als Summe.159. Für die Winkel eines Dreiecks gilt sinα+ sinβ + sin γ = 4 cos α2 cos

β2 cos

γ2 .

160. Für die Winkel eines Dreiecks gilt cosα+ cosβ + cos γ = 1 + 4 sin α2 sinβ2 sin

γ2

161. Für die Winkel eines Dreiecks gilt cos2 α+ cos2 β + cos2 γ + 2 cosα cosβ cos γ = 1162. Für die Winkel eines Dreiecks gilt cotα cotβ + cotβ cot γ + cot γ cotα = 1163. Gilt α+ β + γ = 3600, dann auch cos2 α+ cos2 β + cos2 γ − 2 cosα cosβ cos γ = 1.164. Gilt α+ β + γ = 900, dann auch sin2 α+ sin2 β + sin2 γ + 2 sinα sinβ sin γ = 1

Betrag

165. Für eine komplexe Zahl z bezeichne ℜ(z) den Realteil von z (ist z = p + iq, dann ℜ(z) = p).Für komplexe Zahlen w und z zeige man ℜ(w + z) = ℜ(w) + ℜ(z) und ℜ(z) ≤ |z|.

166. Seien w und z komplexe Zahlen und u = 1w+z |w + z|. Mit Hilfe der Formel |z1z2| = |z1| · |z2|zeige man |u| = 1. Es gilt |w + z| = (w + z)u = wu + zu = ℜ(wu + zu), da wu + zu einereelle Zahl ist. Mit Hilfe von Beispiel 165 zeige man |w+ z| ≤ |w|+ |z|. (Für w+ z = 0 ist dieUngleichung |w + z| ≤ |w|+ |z| trivial.)

J.Geometrie mit komplexen Zahlen – Drehstreckungen

Quadrate - Drehung um 90 Grad

167. Über den Seiten AC und BC eines Dreiecks △ABC errichten wir nach außen die QuadrateACC1A1 und BB2C2C. (Die über C liegenden Punkte sind C1 und C2.) Die Mittelpunktedieser Quadrate seien M1 und M2. Sei D der Mittelpunkt der Strecke AB und E der derStrecke C1C2. Man zeige, dass das Viereck DM2EM1 ein Quadrat ist.

168. Sei ABCD ein konvexes Viereck. Über den Seiten AB und CD errichten wir nach außenQuadrate ABKL und CDMN . Die Mittelpunkte der Strecken AC, BD, KM und NL bildenein Quadrat (wenn sie nicht zusammenfallen).

169. Sei A1A2A3A4 ein Quadrat. An jeder Ecke dieses Quadrats wird ein beliebiges Quadratangehängt. Das sind die vier Quadrate A1B1C1D1, A2B2C2D2, A3B3C3D3 und A4B4C4D4.Die Ecken werden jeweils im Gegenuhrzeigersinn beschriftet. Sei M1 der Mittelpunkt derStrecke D1B2, M2 der der Strecke D2B3, M3 der der Strecke D3B4 und M4 der der Strecke

D4B1. Man zeige, dass die StreckenM1M3 undM2M4 gleich lang sind und senkrecht aufeinan-der stehen.

170. Über den Seiten eines Dreiecks △ABC errichten wir nach außen die Quadrate ABB1A1,BCC2B2 und CAA3C3. (Die über B liegenden Punkte sind B1 und B2. Die über C liegendenPunkte sind C2 und C3.) Weiters bilden wir die Parallelogramme BB1UB2 und CC2V C3.Man zeige, dass das Dreieck △UAV gleichschenkelig und rechtwinkelig ist.

Gleichseitige Dreiecke

171. Über den Seiten BC und AC eines Dreiecks △ABC werden gleichseitige Dreiecke errichtet(beide innen oder beide außen). Seien Sa und Sb ihre Spitzen undMa undMb die Mittelpunkteder Strecken SaC und SbC. Weiters sei Mc der Mittelpunkt der Seite AB. Das Dreieck△MaMbMc ist dann gleichseitig.

172. Über jeder Seite eines Dreiecks △ABC wird nach außen und nach innen ein gleichseitigesDreieck errichtet. Die Spitzen der Dreiecke außen seien A1, B1 und C1. Die Spitzen derDreiecke innen seien A2, B2 und C2. Man zeige, dass der Mittelpunkt der Strecke AA1 gleichdem Mittelpunkt der Strecke B2C2 ist, und dass der Mittelpunkt der Strecke AA2 gleich demMittelpunkt der Strecke B1C1 ist.

Sei Ma der Mittelpunkt der Strecke B1C1, Mb der Mittelpunkt der Strecke A1C1 und Mc derMittelpunkt der Strecke A1B1. Dann sind die Dreiecke △MaMbC, △MaMcB und △MbMcAgleichseitig. Die Mittelpunkte dieser drei Dreiecke bilden ebenfalls ein gleichseitiges Dreieck.

173. Über der Seite AB eines Quadrats ABCD wird im Innern des Quadrats ein gleichseitigesDreieck errichtet. Sei S seine Spitze. Seien Mc und Md die Mittelpunkte der Strecken SCund SD. Weiters sei M der Mittelpunkt des Quadrats. Das Dreieck △McMdM ist danngleichseitig.

174. Sei △A1A2A3 ein gleichseitiges Dreieck. An jeder Ecke dieses Dreiecks wird ein beliebigesgleichseitiges Dreieck angehängt. Das sind die drei Dreiecke A1B1C1, A2B2C2 und A3B3C3.Die Ecken werden jeweils im Gegenuhrzeigersinn beschriftet. Sei M1 der Mittelpunkt derStrecke C1B2, M2 der der Strecke C2B3 und M3 der der Strecke C3B1. Man zeige, dass dasDreieck △M1M2M3 gleichseitig ist.

Basiswinkel 30 Grad und 45 Grad

175. Über jeder Seite eines konvexen Vierecks wird nach außen ein gleichschenkeliges Dreieck mitBasiswinkel 450 errichtet. Je zwei gegenüberliegende Spitzen dieser Dreiecke verbinden wirdurch eine Strecke. Diese beiden Strecken sind gleich lang und stehen senkrecht aufeinander(Satz von Aubel). Weiters gilt: Die vier Mittelpunkte benachbarter Spitzen sind die Eckpunkteeines Quadrats.

176. Setzt man auf die vier Seiten eines Parallelogramms gleichschenkelige Dreiecke mit Basiswinkel450, dann bilden die Spitzen dieser vier Dreiecke ein Quadrat. (Satz von Thebault)

177. Sei ABCD ein Parallelogramm. Zu beiden Seiten beider Diagonalen werden gleichschenke-lige Dreiecke mit Basiswinkel 450 errichtet. Man zeige, dass die Spitzen dieser Dreiecke einParallelogramm bilden, das kongruent zum ursprünglichen ist und zu diesem um 900 verdrehtliegt.

178. Sei △ABC ein Dreieck. Über der Seite BC als Basis errichten wir nach innen ein gleich-schenkeliges Dreieck mit Basiswinkel 300. Über den Seiten AB und AC errichten wir nachaußen Dreiecke, die bei A einen rechten und bei B bzw. C einen Winkel von 300 haben. Manzeige, dass die Spitzen der aufgesetzten Dreiecke ein gleichseitiges Dreieck bilden.

179. Sei ABCD ein Parallelogramm. Über den Seiten AB und CD als Basis werden nach außengleichschenkelige Dreiecke mit Basiswinkel 300 errichtet. Über der Seite AD wird nach außenein gleichseitiges Dreieck errichtet. Man zeige, dass die Spitzen der aufgesetzten Dreiecke eingleichseitiges Dreieck bilden.

180. Sei△ABC ein Dreieck. Auf den Seiten dieses Dreiecks als Basis werden außen gleichschenkelige

Dreiecke mit Basiswinkel 450 aufgesetzt. Seien P , Q und R die Spitzen dieser Dreiecke. Auf denSeiten des Dreiecks △PQR als Basis werden innen gleichschenkelige Dreiecke mit Basiswinkel450 aufgesetzt. Man zeige, dass ihre Spitzen die Seitenmitten des Dreiecks △ABC sind. (Satzvon Neuberg)

Ähnliche Dreiecke

181. Über den Seiten eines Dreiecks △ABC errichten wir nach außen ähnliche Dreiecke △BCD,△CAE und △ABF (die Winkel bei den erstgenannten Eckpunkten sind gleich, die bei denzweitgenannten und die bei den drittgenannten). Man zeige, dass die Schwerpunkte derDreiecke △ABC und △DEF gleich sind. Ist M der Mittelpunkt der Seite AB und N der derStrecke DF , dann liegt EC parallel zu MN und ist doppelt so lang wie MN .

182. Über den Seiten AB und BC eines Parallelogramms ABCD errichten wir nach außen ähnlicheDreiecke △PAB und △BCQ (die Winkel bei den erstgenannten Eckpunkten sind gleich, diebei den zweitgenannten und die bei den drittgenannten). Man zeige, dass das Dreieck △PDQähnlich zu den beiden aufgesetzten ist.

183. Über den vier Seiten eines beliebigen Vierecks ABCD errichten wir ähnliche Dreiecke △ABE,△CBF , △CDG und △ADH (die Winkel bei den erstgenannten Eckpunkten sind gleich, diebei den zweitgenannten und die bei den drittgenannten), wobei das erste und das dritte Dreieckinnen und das zweite und das vierte außen sitzen. Man zeige, dass das Viereck △EFGH einParallelogramm ist.

Anderes

184. Sei △ABC ein gleichseitiges Dreieck. Eine Gerade g parallel zu ℓ(B,C) schneidet AB imPunkt P und AC im Punkt Q. Sei D der Mittelpunkt des gleichseitigen Dreiecks △APQ undE der Mittelpunkt der Strecke CP . Man zeige, dass 300, 600 und 900 die Winkel im Dreieck△BDE sind.

185. Sei △ABC ein Dreieck. Auf der Seite BC dieses Dreiecks als Basis wird außen ein gleich-schenkeliges Dreiecke mit Basiswinkel 300 aufgesetzt, dessen Spitze wir P nennen. Auf derSeite AC wird außen ein gleichseitiges Dreieck aufgesetzt, dessen Spitze wir Q nennen. Weiterssei M der Mittelpunkt der Seite AB. Man zeige, dass 300, 600 und 900 die Winkel im Dreieck△QPM sind.

186. Sei ABCDEF ein reguläres Sechseck. Sei M der Mittelpunkt der Strecke AC und K derMittelpunkt der Seite EF . Man zeige, dass das Dreieck △MDK gleichseitig ist.

K. Geometrie mit komplexen Zahlen – Betrag und Dreiecksungleichung

187. Es gilt |BC|·|PB|·|PC|+|AC|·|PA|·|PC|+|AB|·|PA|·|PB| ≥ |BC|·|AC|·|AB| für ein Dreieck△ABC und einen beliebigen Punkt P . (Gleichheit gilt, wenn △ABC nicht stumpfwinkeligund P der Höhenschnittpunkt ist.) Hinweis: (v −w)(v − p)(w − p) + (w − u)(u− p)(w − p) +(u− v)(u− p)(v − p) = (v − u)(w − v)(u− w).

III. Koordinaten

L. Vektoren

188. Man zeige, dass die Fläche des Dreiecks mit den Ecken (a1, a2), (b1, b2) und (c1, c2) gleich dem

Betrag von 12(a1(b2 − c2) + b1(c2 − a2) + c1(a2 − b2)

)= 12

∣∣∣ 111

a1b1c1

a2b2c2

∣∣∣ ist.189. Man berechne die Fläche des Dreiecks mit den Ecken (−1, 2, 0), (0, 3, 3) und (2, 2, 1).190. Man berechne den Winkel beim Eckpunkt (−1, 2, 0) des Dreiecks in Beispiel 189.191. Man berechne den Abstand des Punktes (1,−2) von der Geraden 2x− y = 4.192. Man berechne den Schnittpunkt der Geraden 2x+ y = 4 und 5x− 2y = 1.

193. Welche Lage haben die Geraden −21x+ 28y = 16 und 15x− 20y = 9 zueinander? Welche dieGeraden 6x− 9y = 127 und 14x− 21y = 4?

194. Gesucht ist die Gleichung der Ebene durch die drei Punkte (−1, 2, 0), (0, 3, 3) und (2, 2, 1).195. Die Ecken der Grundfläche eines Parallelepipeds bezeichnen wir der Reihe nach mit A, B, C

und D, die darüberliegenden Ecken der Deckfläche mit E, F , G und H, wobei E über A liegt.Es sei A = (4, 1, 0), B = (3, 5,−1), D = (6, 0, 1) und E = (5, 0, 6). Man berechne die anderenEcken des Parallelepipeds.

196. Die Ecken eines Parallelepipeds bezeichnen wir wie in Beispiel 195. Es sei B = (4, 1, 2), D =(2, 5, 3), E = (3, 2, 6) und G = (7, 6, 9). Man berechne die anderen Ecken des Parallelepipeds.

197. Wir setzen die Volumsformel für einen Quader als bekannt voraus. Sei V das Volumen einesQuaders ABCDEFGH, dessen Grundfläche ein Parallelogramm ist, das heißt ABCD undEFGH sind kongruente Parallelogramme, wobei das zweite durch Parallelverschieben aus demersten hervorgeht, wobei senkrecht zu diesem verschoben wird. Sei G die Fläche des Parallel-ogramms ABCD (Grundfläche) und h = |AE| (Höhe). Man zeige V = G · h. Hinweis: SeienC̃ und D̃ auf ℓ(C,D) so gewählt, dass ABC̃D̃ ein Rechteck ist, und G̃ und H̃ auf ℓ(G,H) so,

dass EFG̃H̃ ein Rechteck ist. Die Körper (Quader mit dreieckiger Grundfläche) ADD̃EHH̃

und BCC̃FGG̃ sind kongruent.198. Sei V das Volumen eines Parallelepipeds ABCDEFGH. Sei G die Fläche des Parallelogramms

ABCD (Grundfläche) und h der Normalabstand des Punktes E von der Ebene, in der dasParallelogramm ABCD liegt (Höhe). Man zeige V = G · h. Hinweis: Ausgangspunkt istBeispiel 197. Man kann so beginnen: E∗ und H∗ auf ℓ(E,H) und F ∗ und G∗ auf ℓ(F,G) mit−−→EE∗ =

−−−→HH∗ =

−−→FF ∗ =

−−→GG∗ geeignet wählen.

199. Man berechne das Volumen des Parallelepipeds aus Beispiel 195.200. Man zeige, dass die Seitenmitten eines beliebigen Vierecks die Eckpunkte eines Parallelogramms

sind. SeienM1 undM2 die Mittelpunkte der beiden Diagonalen dieses Parallelogramms. SeienD1 und D2 die Mittelpunkte der beiden Diagonalen des gegebenen Vierecks. Sei M der Mit-telpunkt der Strecke D1D2. Man zeige M = M1 = M2. Hinweis: Seien a, b, c und d dieOrtsvektoren zu den Eckpunkten des Vierecks. Man kann dann der Reihe nach die gefragtenMittelpunkte berechnen: Sind u und v die Ortsvektoren zu zwei Punkten, dann ist 12 (u + v)der Ortsvektor zum Mittelpunkt.

201. Welchen Punkt erhält man, wenn man den Punkt (3, 2) auf die Gerade x− 2y = 4 projiziert?Welchen Punkt erhält man, wenn man den Punkt (3, 2) an der Geraden x− 2y = 4 spiegelt?

M. Standardlage

202. Für ein Dreieck in Standardlage berechne man die Höhenfußpunkte Ha, Hb und Hc.203. Sei △ABC ein Dreieck und g die Trägergerade der Höhe durch C. Sei P ein beliebiger Punkt

auf g und K und L die Mittelpunkte der Strecken PA und PB. Sei hK die Gerade durch Ksenkrecht auf ℓ(B,C) und hL die Gerade durch L senkrecht auf ℓ(A,C). Dann schneiden dieGeraden hK , hL und g einander in einem Punkt.

204. Sei △ABC ein Dreieck, D ein Punkt auf AB und E ein Punkt auf BC. Sei H der Höhen-schnittpunkt des Dreiecks △ABC und H∗ der des Dreiecks △DBE. Seien K und L dieMittelpunkte der Strecken AE und CD. Dann steht HH∗ senkrecht auf KL.

205. Sei △ABC ein Dreieck und D der Schnittpunkt der Winkelsymmetrale durch C mit der SeiteAB. Seien U , V und W die Umkreismittelpunkte der Dreiecke △ABC, △ACD und △BCD.Dann gilt |UV | = |UW |.

206. Sei △ABC ein Dreieck und wα, wβ und wγ die Winkelsymmetralen. Seien R und S dieSchnittpunkte von wα und wβ mit dem Umkreis. Dann steht ℓ(R,S) senkrecht auf wγ . Hinweis:Der Südpolsatz vereinfacht die Berechnung von R und S.

207. Sei △ABC ein Dreieck und F der Fußpunkt der Höhe durch C. Sei g die Gerade durch Fsenkrecht auf ℓ(B,C) und P der Schnittpunkt von g mit ℓ(B,C). Sei h die Gerade durch C

senkrecht auf ℓ(A,P ) und Q ihr Schnittpunkt mit g. Dann gilt |FQ||FP | =|FB||AB| .

208. Sei ABCD ein Quadrat und E ein Punkt auf ℓ(A,B). Sei F der Schnittpunkt der Geradenℓ(B,C) und ℓ(D,E). Sei G der Schnittpunkt der Geraden ℓ(A,F ) und ℓ(C,E). Man zeige,dass die Geraden ℓ(B,G) und ℓ(D,E) aufeinander senkrecht stehen. Hinweis: Wie legt manein Quadrat am einfachsten in ein Koordinatensystem?

209. Sei △ABC ein Dreieck mit |AC| = |BC|. Die Punkte P auf AB, Q auf BC und R auf ACwerden so gewählt, dass PQCR ein Parallelogramm ist. Sei S der Schnittpunkt der Geradeℓ(A,B) mit der Symmetrale der Strecke QR. Man zeige, dass die Dreiecke △QRS und △ABCähnlich sind.

210. Sei △ABC ein Dreieck mit Höhenschnittpunkt H. Sei M der Mittelpunkt der Seite AB undg die Gerade durch H senkrecht auf HM . Seien P und Q die Schnittpunkte der Gerade g mitℓ(A,C) und ℓ(B,C). Dann haben P und Q gleichen Abstand von H.

211. Sei △ABC ein Dreieck und F der Fußpunkt der Höhe durch C. Seien P auf ℓ(B,C) und Qauf ℓ(A,C) so gewählt, dass die drei Geraden ℓ(F,C), ℓ(A,P ) und ℓ(B,Q) einander in einemPunkt schneiden. Man zeige, dass ]PFC = ]QFC gilt. (Satz von Blanchet)

212. Sei △ABC ein Dreieck mit Höhenschnittpunkt H und Umkreismittelpunkt U . Sei F derFußpunkt der Höhe durch C und g die Gerade durch F senkrecht auf UF . Sei P der Schnitt-punkt der Geraden g und ℓ(A,C) (existiert nicht, wenn α = 450 oder α = 1350). Dann ist einWinkel zwischen den Geraden ℓ(P,H) und ℓ(F,H) gleich α.

213. Sei △ABC ein Dreieck und Hb und Hc die Fußpunkte der Höhen durch B und C. Sei K derMittelpunkt der Strecke HbHc. Weiters seien Pa und Pb die Fußpunkte der Lote von Hc aufℓ(B,C) und ℓ(A,C). Dann liegen die Punkte K, Pa und Pb auf einer Gerade.

214. Sei △ABC ein Dreieck und N der Schnittpunkt des Umkreises mit der Symmetrale der SeiteAB, der auf derselben Seite von AB liegt wie C (Nordpol). Sei h die Halbgerade, die von Aausgeht und durch C läuft. Sei P der Punkt auf h, für den |AP | = 12 (|AC|+ |BC|) gilt. Dannsteht ℓ(N,P ) senkrecht auf h. (Archimedes, Broken Chord Theorem)

215. Sei △ABC ein Dreieck mit Umkreismittelpunkt U und Höhenschnittpunkt H. Seien Ha undHb die Fußpunkte der Höhen durch A und durch B und sei M der Mittelpunkt der Seite AB.Sei R der Schnittpunkt der Höhe durch C mit der Geraden ℓ(Ha,Hb) und T der Schnittpunktder Geraden ℓ(U,C) und ℓ(A,B). Man zeige, dass ℓ(H,M) und ℓ(R, T ) parallel liegen.

IV. Lineare Abbildungen, Kegelschnitte, lineare Gleichungssysteme

N . Lineare Abbildungen und Isometrien

Matrizen

216. Sei x = ( 3−1 ), A = (1−4

32 ) und B = (

7−5

−32 ). Man berechne Ax, x

tA, AB und BA.

217. Für die Matrizen aus Beispiel 216 berechne man detA, detB und detAB.

218 – 221. Man berechne Eigenwerte und Eigenvektoren für folgende Matrizen( 21

61 ), (

5−2

21 ), (

3−2

11 ), (

2−2

50 ).

222. Sei A = ( abbc ) eine Matrix und λ1 und λ2 ihre Eigenwerte, das sind die Nullstellen des charak-

teristischen Polynoms det(λI2 −A) = λ2 − (a+ c)λ+ ac− b2. Man zeige: Ist detA > 0, dannhaben λ1 und λ2 gleiches Vorzeichen. Ist detA < 0, dann haben λ1 und λ2 verschiedenesVorzeichen. Ist detA = 0, dann gilt λ1 = 0 oder λ2 = 0.

Isometrien

223. Die Matrizen ( 01−10 ), (

−10

0−1 ) und

1√2( 11

−11 ) sind Matrizen von Drehungen um den Nullpunkt.

Um welchen Winkel wird gedreht?

224. Man bestimme die Drehung um den Punkt (1, 2) mit Winkel 600.

225. Steht der Vektor u senkrecht auf(cos α2sin α2

), dann ist Sα,u eine Spiegelung um die Gerade durch

den Punkt 12u mit Richtungsvektor(cos α2sin α2

).

226. Die Abbildung x 7→ 15 (34

−43 )x + (

62 ) ist eine Drehung. Man berechne den Punkt, um den

gedreht wird.

227. Die Abbildung x 7→ 12 (1√3

√3

−1 )x+(48 ) ist eine Schubspiegelung. Man berechne die Spiegelungs-

gerade und den Schubvektor.228. Seien A, B, C und D Punkte in der Ebene. Es gelte |AB| = |CD| und A ̸= B. Dann existeiert

genau eine Drehung oder eine Translation, die C in A und D in B überführt. Hinweis: Manunterscheide drei Fälle: Die Symmetralen der Strecken AC und BD fallen zusammen, sindparallel oder haben genau einen Schnittpunkt M . Im dritten Fall sind die Dreiecke △MABund MCD kongruent.

229. Seien A, B, C und D Punkte in der Ebene. Es gelte |AB| = |CD| und A ̸= B. Dann existeiertgenau eine Schubspiegelung, die C in A und D in B überführt. Hinweis: Die Spiegelungsgeradeliegt parallel zu einer Winkelsymmetrale der Geraden ℓ(A,B) und ℓ(C,D).

O.Kegelschnitte

Gleichungen von Kegelschnitten und von Tangenten bestimmen

230. Man bestimme die Gleichung der Ellipse in Hauptlage durch die Punkte (2, 2) und (1, 4).231. Man bestimme die Gleichung der Parabel in Hauptlage, die durch den Punkt (4, 16) geht.232. Man bestimme die Gleichung der Hyperbel in Hauptlage, die Brennweite 3 hat und durch den

Punkt (4, 1) geht.233. Man bestimme die Gleichung der Parabel in Hauptlage, die die Gerade x−2y = 2 als Tangente

hat.234. Man bestimme die Gleichung der Hyperbel in Hauptlage, die die beiden Geraden 2x + y = 1

und 4x− 3y = 1 als Tangenten hat.235. Man bestimme die Gleichung der Hyperbel in Hauptlage, die durch den Punkt (

√10, 4) geht

und die Gerade x− 12y = 1 als Tangente hat.236 – 241. Gesucht sind die Gleichungen der Tangenten vom Punkt P aus an den Kegelschnitt.

x2

7 +3y2

7 = 1 P = (5, 1)x2

7 +3y2

7 = 1 P = (−1, 3)3x2

11 −16y2

11 = 1 P = (1,18 )

3x2 − 2y2 = 1 P = (−1,−2)y2 = x P = (−3, 1)y2 = 2x P = (1, 32 )

Sätze über Kegelschnitte

242. Seien G1 und G2 zwei Punkte (die man auf die x-Achse legen kann). Man bestimme die Mengealler Punkte (x, y), deren Abstände zu den Punkten G1 und G2 Verhältnis v haben.

243. Seien k1 und k2 zwei Kreise mit Mittelpunkten M1 und M2, sodass k2 innerhalb von k1 liegt.Man zeige, dass die Mittelpunkte aller Kreise, die k1 von innen und k2 von außen berühren,auf einer Ellipse liegen, deren Brennpunkte M1 und M2 sind. Ebenso liegen die Mittelpunktealler Kreise, die k1 von innen berühren und von k2 von innen berührt werden, auf einer Ellipse,deren Brennpunkte M1 und M2 sind, die aber eine andere Hauptachse hat.

244. Was passiert, wenn im letzten Beispiel die Kreise k1 und k2 einander schneiden? Wo liegendann die Mittelpunkte der Kreise, die sowohl k1 als auch k2 berühren? Und was passiert, wennk2 ganz außerhalb von k1 liegt?

245. Sei g eine Gerade und k ein Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r. Seien g1 und g2 dieGeraden, die parallel zur Geraden g liegen und von dieser Abstand r haben. Sei p1 die Parabelmit Brennpunkt M und Leitlinie g1. Sei p2 die Parabel mit Brennpunkt M und Leitlinie g2.

Man zeige, dass der Mittelpunkt eines Kreises, der k und g berührt, auf p1 oder p2 liegt. (Esgibt zwei Fälle: g schneidet k und g schneidet k nicht.)

246. Seien F1 und F2 zwei Punkte. Sei e eine Ellipse und h eine Hyperbel mit Brennpunkten F1und F2. Sei P einer der vier Schnittpunkte von e und h. Man zeige, dass der Schnittwinkelvon e und h im Punkt P ein rechter ist. Hinweis: Tangentenkonstruktion

247. Sei p die Polare eines Punktes P bezüglich eines Kegelschnitts. Ein Punkt Q liegt genau dannauf p, wenn die Polare von Q durch P geht.

248. Sei P ein Punkt außerhalb einer Ellipse mit Brennpunkten F1 und F2. Seien B1 und B2 dieBerührpunkte der Tangenten von P an die Ellipse. Man zeige ]B1PF1 = ]B2PF2. (Satz vonPoncelet) Es gilt auch ]B1F2P = ]PF2B2. Hinweis: Die Spiegelpunkte U und V von F1 anden Tangenten haben gleichen Abstand von F2, das heißt F2 liegt auf der Symmetrale der SreckeUV . Die Verbindungslinien von F2 zu den Spiegelpunkten gehen durch die Berührpunkte.

249. Sei P ein Punkt auf der Leitlinie einer Parabel mit Brennpunkt F . Man zeige, dass dieSymmetrale der Strecke PF eine Tangente an die Parabel ist.

250. Sei △ABC ein Dreieck und p die Parabel mit Brennpunkt C und Leitlinie ℓ(A,B). Man zeige,dass die Symmetralen der Dreiecksseiten AC und BC Tangenten an die Parabel p sind.

251. Sei P ein Punkt auf der Leitlinie l einer Parabel mit Brennpunkt F . Man zeige, dass dieTangenten von P aus an die Parabel senkrecht aufeinander stehen. Man zeige, dass dieVerbindungslinie der beiden Berührpunkte dieser Tangenten durch F geht. Hinweis: Wiekonstruiert man die Tangente von einem Punkt aus an die Parabel?

252. Seien t1, t2 und t3 Tangenten an eine Parabel. Sie bilden ein Dreieck. Man zeige, dass derBrennpunkt der Parabel auf dem Umkreis des Dreiecks liegt. Hinweis: Tangentenkonstruktion,zweite Steinergerade (ein Punkt liegt genau dann auf dem Umkreis eines Dreiecks, wenn . . . )

253. Auf der Parabel y2 = 2px mit Scheitel S = (0, 0) seien die Punkte A und B so gewählt, dassAS senkrecht auf BS steht. Man zeige, dass die Gerade ℓ(A,B) durch den Punkt (2p, 0) geht.Hinweis: Rechnung im Koordinatensystem.

254. Wir legen die Tangenten von einem Punkt P aus an eine Parabel. Seien B1 und B2 dieBerührpunkte der Tangenten undM der Mittelpunkt der Strecke B1B2. Sei K der Mittelpunktder Strecke MP . Man zeige, dass K auf der Parabel liegt. Hinweis: Rechnung mit Hilfe derPolare.

255. Sei △ABC ein Dreieck mit Seitenlängen a, b, c und halbem Umfang s. Sei wγ die Winkel-symmetrale durch C. Für die Normalabstände dA und dB der Eckpunkte A und B von wγ

gilt dann d2A =ba (s − a)(s − b) =

bac2−(a−b)2

4 und d2B =

ab (s − a)(s − b) =

abc2−(a−b)2

4 . Für

die Normalabstände d̃A und d̃B der Eckpunkte A und B von der Winkelsymmetrale w̃γ der

Außenwinkel bei C gilt d̃2A =bas(s − c) =

ba(a+b)2−c2

4 und d̃2B =

ab s(s − c) =

ab(a+b)2−c2

4 .Hinweis: Beispiel 123.

256. Seien F1 und F2 die Brennpunkte einer Ellipse (Hyperbel) und t die Tangente in einem PunktP . Seien d1 und d2 die Normalabstände der Brennpunkte F1 und F2 von der Tangente t. Indemman Beispiel 255 auf das Dreieck △F1F2P anwendet, berechne man d1 und d2 für Ellipse undHyperbel. In beiden Fällen gilt d1d2 = b

2, wobei b die Länge der kleinen Halbachse ist.

Hauptachsentransformation

257 – 264. Für folgende Kurven zweiter Ordnung führe man die Hauptachsentransformation durchund bestimme, um welchen Kegelschnitt es sich handelt.9x2 + 24xy + 16y2 − 40x− 95y − 25 = 05x2 + 8xy + 5y2 − 22x− 14y + 17 = 08x2 − 4xy + 5y2 + 4

√5x− 10

√5y − 11 = 0

4xy − 3y2 + 32√5x− 44√

5y − 28 = 0

4x2 + 24xy + 11y2 − 50y − 5 = 0xy + x− 5y − 3 = 0

6xy + 8y2 − 12x− 26y + 11 = 0x2 − 6xy + 9y2 + 4x− 12y + 3 = 0

Flächen zweiter Ordnung

265. Sei A der Punkt (1, 0, 0) und ε die y-z-Ebene. Sei v ∈ (0,∞). Man bestimme die Menge allerPunkte P = (x, y, z), für die |PA|d(P,ε) = v gilt.

266. Es seien(

100

)+ t

(0ab

)und

(−100

)+ t

(0ba

)mit a2 + b2 = 1 Parameterdarstellungen der Geraden

g und h. Man bestimme die Menge aller Punkte P = (x, y, z), für die d(P, g) = d(P, h) gilt.

267. Es sei(

100

)+ t

(010

)eine Parameterdarstellungen der Geraden g und ε die Ebene mit Gleichung

x = −1. Sei v ∈ (0,∞). Man bestimme die Menge aller Punkte P = (x, y, z), für die d(P,g)d(P,ε) = vgilt.

268. Die Gerade g sei die x-Achse und ε sei die y-z-Ebene. Sei v ∈ (0,∞). Man bestimme dieMenge aller Punkte P = (x, y, z), für die d(P,g)d(P,ε) = v gilt.

P. Lineare Gleichungssysteme

269. Man berechne den Schnittpunkt der drei Ebenen x + 2y + z = 2, 3x + 5y + z = 9 und7x+ 12y + 2z = 22.

270 – 272. Man löse

x1+

−3x1−−7x1−

2x2+

5x2−12x2−

x3 =

x3 =

2x3 =

2

−13

9x1+

3x1+

−6x1+

3x2−17x2+

2x2+

6x3 =

2x3 =

30x3 =

0

−1222

+

x1−x1

−2x1+

2x2−2x2+

+

4x2−

4x3+

5x3+

2x3+

8x3−

x4 =

2x4 =

x4 =

x4 =

−20

3

−4

273 – 275. Man löse

2x1−4x1+

6x1+

x2−x2−

3x2−

3x3 =

4x3 =

5x3 =

3

9

15

2x1−6x1−8x1−4x1

3x2−9x2−9x2−

−

x3+

x3+

2x3+

2x3+

3x4 =

6x4 =

7x4 =

2x4 =

2

7

6

4

3x1+

9x1+

−3x16x1+

2x26x2−

+

6x2+

+

4x3+

4x3−x3+

5x4 =

7x4 =

x4 =

8x4 =

3

1

5

8

276 – 279. Gesucht sind Eigenwerte und Eigenvektoren(−1

42

111

−20−1

),(

211

−320

402

),(

311

−4−2−4

20−2

).

280. Man bestimme die Gleichung des Kegelschnitts durch die fünf Punkte (1, 3), (1,−1), (−2, 4),(−2, 2), (2, 2).

281. Sei △ABC ein Dreieck in Standardlage, das weder gleichschenkelig noch rechtwinkelig ist.Sei H der Höhenschnittpunkt und S der Schwerpunkt dieses Dreiecks. Man berechne dieHyperbel durch die fünf Punkte A, B, C, H und S. Diese Hyperbel heißt Kieperthyperbel.Hinweis: Ansatz ax2+ bxy+ cy2+dx+ ey+ f = 0. Man kann mit einer beliebigen Konstantenmultiplizieren. Man versuche es mit f = 1.

V. Anhang

A. Strahlensatz und Satz von Pythagoras

282. Sei AB der Durchmesser eines Halbkreises. Sei t die Tangente im Punkt B an den Halbkreisund s die in einem anderen Punkt D. Sei T der Schnittpunkt von s und t. Sei g die Geradedurch D senkrecht auf AB, E ihr Schnittpunkt mit AB und F ihr Schnittpunkt mit ℓ(A, T ).Dann gilt |DF | = |FE|. (Archimedes)

283. Sei k ein Kreis mit Durchmesser AB und C ein weiterer Punkt auf k. Seien tA, tB und tCdie Tangenten in den Punkten A, B und C an den Kreis. Den Schnittpunkt von tA und tCbezeichnen wir mit P , den von tB und tC mit Q, den von ℓ(A,Q) und ℓ(B,P ) mit R undden von ℓ(C,R) und ℓ(A,B) mit S. Man zeige, dass ℓ(C,R) senkrecht auf ℓ(A,B) steht unddass |CR| = |RS| gilt. Hinweis: Legt man von einem Punkt die beiden Tangenten an einenKreis, dann sind die Abschnitte bis zu den Berührpunkten gleich lang. Strahlensatz und dessenUmkehrung.

284. In Beispiel 283 seiM der Mittelpunkt und r der Radius des Kreises k. Dann gilt ]PMQ = 900und r2 = |AP | · |BQ|. Hinweis: ]AMP = ]CMP , ]BMQ = ]CMQ, Höhensatz imrechtwinkeligen Dreieck.

285. Sei k ein Kreis mit Durchmesser AB und C ein weiterer Punkt auf k. Seien tA, tB und tCdie Tangenten in den Punkten A, B und C an den Kreis. Den Schnittpunkt von tA undℓ(B,C) bezeichnen wir mit U , den von tB und ℓ(A,C) mit V . Man zeige, dass die Geradenℓ(A,B), tC und ℓ(U, V ) parallel liegen oder einander in einem Punkt schneiden. (Kann manauch analytisch lösen.)

286. Sei AB eine Sehne in einem Kreis k. In dem kleineren Teil, den AB von k abschneidet, wirdein Kreis l eingeschrieben (es gibt viele solche Kreise), der AB im Punkt P und k im PunktQ berührt. Sei g die Senkrechte auf AB durch den Mittelpunkt M des Kreises k. Sei R derSchnittpunkt von g mit dem Kreisbogen von A nach B, der nicht durch Q geht. Dann liegendie Punkte Q, P und R auf einer Gerade. Hinweis: Sei N der Mittelpunkt des Kreises l. Esgilt |MQ| = |MR|, |NQ| = |NP | und ]RMQ = ]PNQ. Daher auch ]NQP = ]MQR.

287. Sei AB eine Sehne im Kreis k. Sei L ein Punkt auf der Sehne AB. Seien k1 und k2 zwei Kreise,die beide den Kreis k von innen die Sehne AB im Punkt L berühren, jedoch auf verschiedenenSeiten der Sehne AB liegen. Seien r1 und r2 die Radien der Kreise k1 und k2. Man zeige, dassr1r2

unabhängig von der Position des Punktes L auf der Sehne AB ist.288. Sei k ein Kreis mit Mittelpunkt M . Die Tangenten von einem Punkt P außerhalb des Kreises

berühren den Kreis k in den Punkten A und B. Sei BC der Durchmesser des Kreises k, derdurch B geht, und F der Fußpunkt des Lotes von A auf BC. Die Gerade ℓ(P,C) geht danndurch den Mittelpunkt der Strecke AF . Hinweis: Sei Q der Schnittpunkt von ℓ(B,P ) undℓ(A,C). Nun sind MP und ℓ(A,C) parallel (beide senkrecht auf AB oder Umkehrung desStrahlensatzes). Aus dem Strahlensatz folgt BPBQ =

BMBC =

12 . Somit ist CP Schwerlinie im

Dreieck △CBQ. Sie halbiert AF , da AF parallel zu BQ liegt (beide senkrecht zu BC).

B. Peripheriewinkelsatz

289. Sei △ABC ein Dreieck. Sei N der Schnittpunkt der Symmetrale der Seite AB mit demUmkreis, der auf derselben Seite von AB liegt wie C. Sei F der Fußpunkt des Lots von N aufℓ(A,C). Dann gilt |AF | = 12 (|AC| + |BC|). (Archimedes) Hinweis: Wir verlängern die SeiteAC über C hinaus um die Länge der Seite BC und erhalten so den Punkt D. Es gilt dann]ADB = γ2 . Es gilt auch ]ANB = γ. Somit ist N der Mittelpunkt des Kreises durch A, Bund D und AD ist eine Sehne in diesem Kreis, also ist F der Mittelpunkt von AD.

290. Sei ABCD ein Sehnenviereck, dessen Diagonalen senkrecht aufeinander stehen. Sei M derSchnittpunkt der Diagonalen und g die Gerade durch M senkrecht auf AB. Sei S der Schnitt-punkt der Geraden g und ℓ(C,D). Dann gilt |SD| = |SM | = |SC|. (Brahmagupta) Hinweis:Sei φ = ]CAB und ψ = ]DBA = 900 − φ. Daraus kann man die Winkel in den Dreiecken△CMS und △DMS berechnen.

291. Sei ABCD ein Sehnenviereck. SeienMa, Mb, Mc undMd die Inkreismittelpunkte der Dreiecke△ABD, △ABC, △CDB und △CDA. Das Viereck MaMbMcMd ist dann ein Rechteck.Hinweis: Sei φ = ]ADB = ]ACB. Es gilt ]AMaB = ]AMbB = 900 + φ2 (Beispiel 60).Somit liegen A, Ma, Mb und B auf einem Kreis. Berechne ]AMaMb und ]MaMbB. Ebensoerhält man ]BMbMc und ]MbMcC und so weiter.

292. Sei △ABC ein Dreieck mit Umkreis k. Sei g die Gerade ℓ(A,B) und h die Tangente an k imPunkt C. Wir nehmen an, dass g und h einander im Punkt P schneiden. Sei w die Symmetraledes Winkels ]APC. Sie schneidet die Seite AC des Dreiecks in einem Punkt U und die SeiteBC in einem Punkt V . Man zeige, dass |CU | = |CV | gilt. Hinweis: Wir nehmen an, dass Anäher bei P liegt als B. Aus dem Tangentenwinkelsatz folgt ]PCA = ]ABC. Die Dreiecke△PV B und △PUC sind ähnlich. Es folgt ]PV B = ]PUC und daraus ]UV C = ]V UC.

293. Sei △ABC ein (spitzwinkeliges) Dreieck mit Umkreismittelpunkt U . Seien Ha, Hb und Hc dieHöhenfußpunkte. Man zeige, dass ℓ(U,C) senkrecht auf ℓ(Ha,Hb) steht (natürlich auch ℓ(U,A)senkrecht auf ℓ(Hb,Hc) und ℓ(U,B) senkrecht auf ℓ(Ha,Hc)). Hinweis: Berechne ]UCA und]HaHbC.

294. Sei △ABC ein (spitzwinkeliges) Dreieck mit Höhenschnittpunkt H. Sei g eine Gerade durch Hund ga, gb und gc die Bilder von g bei Spiegelung an ℓ(B,C), an ℓ(A,C) und an ℓ(A,B). Manzeige, dass der Schnittpunkt P von ga und gb existiert und auf dem Umkreis liegt. Hinweis: DieBilder Ha und Hb von H bei Spiegelung an ℓ(B,C) und ℓ(A,C) liegen auf dem Umkreis undauf ga beziehungsweise gb. Man berechne ]HaCHb und ]DPE, wobei D der Schnittpunktvon g mit ℓ(B,C) und E der von g mit ℓ(A,C) ist. Daraus ergibt sich ]HaPHb.

295. Aus Beispiel 294 ergibt sich ein Satz von Carnot: Unter den Voraussetzungen von Beispiel 294schneiden die drei Geraden ga, gb und gc einander in einem Punkt, der auf dem Umkreis liegt.

296. Das Dreieck △ABC habe bei C einen rechten Winkel. Die Punkte D auf AC, E auf AB undF auf BC seien so gewählt, dass das Viereck CDEF ein Quadrat ist. Sei H der Fußpunktder Höhe durch C. Man zeige, dass HD den Winkel ]AHC halbiert und HF den Winkel]BHC. Hinweis: Die Punkte C, D, E, F und H liegen auf einem Kreis.

297. Sei ABCD ein Parallelogramm. Sei U ein Punkt auf AB und V einer auf CD. Weiters seiP ein Punkt auf UV . Die Umkreise der Dreiecke △AUP und △CV P schneiden einander ineinem Punkt Q ungleich P (wenn sie nicht zufällig einander berühren). Man zeige, dass Q aufder Diagonale AC liegt. Hinweis: Man zeige ]AQP + ]PQC = 1800.

298. Sei ABCD ein Parallelogramm. Seien P und R die Fußpunkte der Lote vom Eckpunkt Bauf die Geraden ℓ(A,D) und ℓ(C,D). Sei Q der Fußpunkt des Lots vom Eckpunkt B aufdie Diagonale AC und sei M der Mittelpunkt dieser Diagonale. Dann liegen die vier PunkteP , M , Q und R auf einem Kreis. Hinweis: Im Fall α < 900 zeige man ]RMP = 2α mitHilfe von Symmetrieüberlegungen (Spiegelung an den Parallelen zu den Seiten durch M) und]RQP = 2α mit Hilfe des Peripheriewinkelsatzes.

299. Zwei Kreise k1 und k2 schneiden einander in den Punkten A und B. Auf dem Bogen des Kreisesk1, der innerhalb von k2 liegt, wählen wir einen Punkt C und zeichnen dort die Tangente gan den Kreis k1. Seien P und Q die Schnittpunkte der Tangente g mit dem Kreis k2. Danngilt ]PAC = ]QBC und ]PBC = ]QAC. Hinweis: Sei ]ACP = φ und ]PAC = α.Andere Winkel lassen sich dann durch φ und α ausdrücken. Tangentenwinkelsatz, um ]ABCzu berechnen. Das Viereck ABQP ist ein Sehnenviereck.

300. Zwei Kreise k1 und k2 schneiden einander in den Punkten A und B. Sei g eine Gerade,die den Kreis k2 in den Punkten P und Q schneidet und den Bogen des Kreises k1, derinnerhalb von k2 liegt, in den Punkten C und D. Dann gilt ]PAC = ]QBD und ]PBC =]QAD. (Verallgemeinerung von Beispiel 299) Hinweis: Die Vierecke ABQP und ABDC sindSehnenvierecke.

301. Zwei Kreise k1 und k2 schneiden einander in den Punkten P und Q. Seien g und h zweiGerade durch P , sodass ℓ(P,Q) den Winkel zwischen g und h halbiert. Seien G1 und G2 dieSchnittpunkte ̸= P von g mit k1 und k2. Seien H1 und H2 die Schnittpunkte ̸= P von h mit k1und k2. Dann sind die beiden Dreiecke △QG1G2 und △QH1H2 kongruent. Hinweis: Habenzwei Sehnen in einem Kreis gleiche Peripheriewinkel, dann sind sie gleich lang.

302. Sei ABCD ein Sehnenviereck und S der Schnittpunkt seiner Diagonalen. Seien E, F , G undH die Fußpunkte der Lote von S auf ℓ(A,B), ℓ(B,C), ℓ(C,D) und ℓ(D,A). Dann hat dasViereck EFGH, falls es konvex ist, einen Inkreis mit Mittelpunkt S. (Ist es nicht konvex,

dann gibt es einen Kreis, der die Trägergeraden der vier Seiten berührt.) Hinweis: Es gilt]CAD = ]DBC (Sehnenviereck). Die Vierecke SEAH und SEBF haben einen Umkreis.Es folgt ]SEH = ]SAH = ]CAD und ]SEF = ]SBF = ]DBC, also ]SEH = ]SEF .

303. Sei ABCD ein konvexes Viereck. Seien gA, gB , gC und gD die Symmetralen der Außenwinkel.Seien E, F , G und H der Reihe nach die Schnittpunkte von gA mit gB , von gB mit gC , gC mitgD und von gD mit gA. Dann ist das Viereck EFGH ein Sehnenviereck (Beispiel 3). Sei hEdie Senkrechte auf ℓ(A,B) durch E, hF die Senkrechte auf ℓ(B,C) durch F , hG die Senkrechteauf ℓ(C,D) durch G und hH die Senkrechte auf ℓ(D,A) durch H. Seien P , Q, R und S derReihe nach die Schnittpunkte von hH mit hE , von hE mit hF , hF mit hG und von hG mithH . Dann hat das Viereck PQRS einen Inkreis. Hinweis: Durch Berechnen geeigneter Winkelzeige man |HP | = |EP |, |EQ| = |QF |, |FR| = |RG| und |GS| = |SH|. Es folgt, dass dieSeitensymmetralen des Vierecks EFGH die Winkelsymmetralen des Vierecks PQRS sind. DaEFGH ein Sehnenviereck ist, schneiden sie einander in einem Punkt.

C. Inkreis, Ankreise

304. Sei △ABC ein Dreieck und P der Punkt, in dem der Inkreis die Seite AB berührt. Dannliegen der Mittelpunkt K der Strecke CP , der Inkreismittelpunkt I und der Mittelpunkt Mder Seite AB auf einer Gerade. Hinweis: Sei Q der an M gespiegelte Punkt P und F der

Fußpunkt der Höhe durch C. Man rechne nach, dass |CF ||FQ| =|IP ||PM | gilt (mit entsprechenden

Formeln für den Inkreisradius, für den Abstand des Berührpunkts P von einem Eckpunkt, . . . ).Es folgt, dass MI und QC parallel liegen (Umkehrung Strahlensatz). Der Strahlensatz ergibtjetzt, dass ℓ(M, I) die Strecke CP in deren Mittelpunkt trifft.

305. Für ein Dreieck gilt a2 + b2 + c2 ≥ 4√3F + (a − b)2 + (a − c)2 + (b − c)2 (Hadwiger-Finsler-

Ungleichung). Hinweis: Heronsche Flächenformel, a = y + z, b = x + z, c = x + y einsetzen.Es gilt x = s− a > 0, y = s− b > 0, z = s− c > 0.

D. Trigonometrie

306. Seien φ und ψ Winkel zwischen 00 und 1800 und δ beliebig. Wenn sinφsinψ =sin(δ−φ)sin(δ−ψ) gilt, dann

folgt φ = ψ. Hinweis: Summensatz.307. Seien α, β und γ die Winkel eines Dreiecks, das heißt α + β + γ = 1800. Auf den Seiten

eines gleichseitigen Dreiecks △UVW werden außen Dreiecke aufgesetzt: Das Dreieck △VWAhat Winkel 600 + γ3 bei V und 60

0 + β3 bei W . Das Dreieck △WUB hat Winkel 600 + α3

bei W und 600 + γ3 bei U . Das Dreieck △UV C hat Winkel 600 + β3 bei U und 60

0 + α3 beiV . Man zeige, dass △ABC die Winkel α, β und γ hat und dass die Seiten der aufgesetzetenDreiecke diese Winkel dritteln. (Das ergibt einen Beweis für den Satz von Morley.) Hinweis:Winkel berechnen. Zuerst in den aufgesetzten Dreiecken, dann in △UBC (dazu Sinussatz für△UV C und△UWB, dann Sinussatz für△UBC und schließlich Beispiel 306 mit φ = ]UBW ,ψ = ]UBC und δ = β3 +

γ3 ). Ebenso in △V AC und △WAB.

308. Sei ABCD ein Quadrat mit Seitenlänge 4r. Seien k1 und k2 Kreise mit Radius r, die die SeiteAB und einander berühren, sodass k1 auch noch AD und k2 auch BC berührt. Neben ℓ(D,A)gibt es eine zweite Tangente t1 von D an den Kreis k1. Ebenso gibt es neben ℓ(C,B) einezweite Tangente t2 von C an den Kreis k2. Sei l der Inkreis des Dreiecks, dessen Seiten von t1,t2 und CD gebildet werden. Man zeige, dass l ebenfalls Radius r hat.

309. Sei △ABC ein gleichseitiges Dreieck und PQ eine Strecke. Seien u, v und w die Längen derProjektionen der Strecke PQ auf ℓ(A,B), ℓ(B,C) und ℓ(A,C). Man zeige, dass eine der dreiZahlen u, v und w die Summe der beiden anderen ist. Hinweis: Man zeichne vom Punkt P ausdrei Halbgeraden, die parallel zu den Seiten des Dreiecks△ABC liegen und einen Winkel ≤ 900mit PQ einschließen. Sei α der Winkel zwischen PQ und der nächstgelegenen Halbgerade. Manberechne u, v und w mit Hilfe von α.

310. Sei P ein Punkt im Innern eines Kreises k. Drei Geraden, die durch P gehen und Winkelvon 600 einschließen, schneiden k in den Punkten A1, A2, A3, A4, A5 und A6, wobei dieseSchnittpunkte entlang des Kreises nummeriert werden. Man zeige, dass |PA1|+|PA3|+|PA5| =|PA2| + |PA4| + |PA6| gilt. Hinweis: Sei M der Mittelpunkt des Kreises k. Wir können dieBezeichnung der Punkte auf k so wählen, ]A1MP minimal ist. Sei F1 der Fußpunkt des Lotsvon M auf A1A4. Dann gilt |A1F1| = |F1A4| und |PA1| − |PA4| = 2|F1P |. Ähnliches gilt fürdie beiden anderen Sehnen. Ist α = ]A1MP , dann sind ]A2MP und ]A6MP gleich 600+αund 600 − α.

311. Sei AB ein fester Durchmesser eines Kreises k und d eine Zahl kleiner als |AB|. Sei UV einebewegliche Sehne der Länge d und K ihr Mittelpunkt. Seien F und G die Fußpunkte der Lotevon U und V auf AB. Das Dreieck △FKG ist dann gleichschenkelig. Bewegt man die SehneUV , dann sind die dadurch entstehenden Dreiecke △FKG alle zueinander ähnlich. Hinweis:Sei M der Mittelpunkt von k, α = ]UMK = ]VMK und φ = ]AMK oder = ]BMK.Sei H der Fußpunkt des Lots von K auf AB. Dann ist H der Mittelpunkt von FG. Berechne

|KH| und |FG|. Man sieht, dass |KH||FG| nur von d, α und dem Radius des Kreises abhängt.312. Sei k ein Kreis mit Mittelpunkt M und P ein Punkt, der nicht auf k liegt und ungleich M

ist. Sei g die Senkrechte auf MP durch P . Sei h eine beliebige Gerade durch P , die k inden Punkten H1 und H2 schneidet. Weiters seien t1 und t2 die Tangenten in H1 und H2 anden Kreis k und T1 und T2 die Schnittpunkte von t1 und t2 mit g. Man zeige, dass P derMittelpunkt der Strecke T1T2 ist. Hinweis: Sei δ = ]MH1H2 = ]MH2H1 und φ = 900 − δder Winkel zwischen den Tangenten t1 und t2 und der Sehne H1H2. Sei α = ]PMH1 undβ = ]PMH2. Jetzt Sinussatz, zuerst für die Dreiecke △MPH1 und △MPH2, und dann fürdie Dreiecke △PH1T1 und △PH2T2.

313. Für die Winkel eines Dreiecks giltcot2 α+ cot2 β + cot2 γ ≥ 1 (Gleichheit nur für gleichseitiges Dreieck).

314. Für die Winkel (alle ̸= 900) eines konvexen Vierecks gilttanα+tan β+tan γ+tan δ

tanα tan β tan γ tan δ = cotα+ cotβ + cot γ + cot δ.

E. Geometrie mit komplexen Zahlen

315. Seien A, B, C, D und E Punkte, die in d

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I. Elementargeometrie - univie.ac.atfh/geomueb.pdf · Hinweis: Es gilt #CBD= 1 2F und #ADP+#BCP = 1 2F, wobei F die Fl ache des Parallelogramms ist. B.Strahlensatz Anwendungen des