I Grundlagen

1. Logik

Mathematische Aussagen

1 ist kleiner als 2.

Zu jeder natürlichen Zahl gibt es eine größere natürliche Zahl.

Für drei Punkte gibt es immer eine Ebene, zu der sie gehören.

2 ist kleiner als 1.

Es gibt eine natürliche Zahl die größer als alle anderen ist.

Für drei Punkte gibt es immer eine Gerade, zu der sie gehören.

Mathematischer Unterricht sollte stärker gefördert werden.

Es ist unangemessen, die Null als natürliche Zahl zu bezeichnen.

Aussageformen

3n ist eine gerade Zahl.

m teilt n ohne Rest.

Alle a sind b.

a = b.

Aristoteles (384 - 322) gilt als Schöpfer der klassischen Logik

Quantoren

Mindestens eine Lösung der Gleichgung x3 + 1 = 0 ist reell.

: ist reell.

Alle Lösungen der Gleichung x3 + 1 = 0 sind reell.

: ist reell.

n m: n < m.

m n: n < m.

Symbol Anwendung Bedeutung

A B A gilt genau dann wenn B gilt.

A B Wenn A gilt, dann gilt auch B.

A B A und B gelten beide.

A B A oder B oder beide gelten.

A A gilt nicht.

A B

1 1

1 0

0 1

0 0

A B A B

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

A B A B A B

1 1 1 1

1 0 0 0

0 1 0 1

0 0 1 1

A B A B A B A B

1 1 1 1 1

1 0 0 0 0

0 1 0 1 0

0 0 1 1 0

A B A B A B A B A B

1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 1

0 1 0 1 0 1

0 0 1 1 0 0

A B A B A B A B A B A

1 1 1 1 1 1 0

1 0 0 0 0 1 0

0 1 0 1 0 1 1

0 0 1 1 0 0 1

A B A B A B A B A B A

1 1 1 1 1 1 0

1 0 0 0 0 1 0

0 1 0 1 0 1 1

0 0 1 1 0 0 1

A B A B

1 1 0 0

1 0 0 1

0 1 1 0

0 0 1 1

A B A B A B

1 1 0 0 1

1 0 0 1 0

0 1 1 0 1

0 0 1 1 1

A B A B A B B A

1 1 0 0 1 1

1 0 0 1 0 0

0 1 1 0 1 1

0 0 1 1 1 1

A B A B A B B A ¬A B

1 1 0 0 1 1 1

1 0 0 1 0 0 0

0 1 1 0 1 1 1

0 0 1 1 1 1 1

1.1 Beweisen Sie, dass die folgenden Aussagen stets wahr sind, also zur Ableitung wahrer Aussagen die linke Teilaussage für die rechte und die rechte für die linke eingesetzt werden kann (Äquivalenzumformungen):

(A B) (B A) (Kommutativgesetz)

(A B) (B A) (Kommutativgesetz)

(A B) C A (B C) (Assoziativgesetz)

(A B) C A (B C) (Assoziativgesetz)

A (B C) (A B) (A C) (Distributivgesetz)

A (B C) (A B) (A C) (Distributivgesetz)

(A B) A B (de Morgansches Gesetz)

(A B) A B (de Morgansches Gesetz)

1.2 Zeigen Sie mit Hilfe einer Wahrheitstafel oder durch Äquivalenzumformung mit Hilfe von bereits bekannten Aussagen die Wahrheit der folgenden logischen Gesetze:

A (A) (Doppelte Negation)

A A (Tertium non datur)

(A A) (Kontradiktion)

((A B) A) B (Abtrennungsregel)

((A B) B) A (Widerlegung)

((A B) (B C)) (A C) (Syllogismus)

1.3 Welche der folgenden Aussagen sind immer wahr, welche sind immer falsch, welche sind vom Wahrheitswert der Einzelaussagen abhängig?

A ¬A

A A

(A B) A

A (B A)

(A (A B)) B

(A B) (B A )

(A B) (A B)

¬B (A ( A B))