III.ラプラス変換微分方程式を代数方程式に直して解く

III.ラプラス変換 – p.1/26

1.定義と性質

III.ラプラス変換 – p.2/26

1.定義と性質—1.1定義

III.ラプラス変換 – p.3/26

1.定義と性質—1.1定義

t ≥ 0で定義された関数 y(t)に対し

Y (s) =

Z

∞

0e−sty(t)dt

を y(t)のラプラス変換とよび, Y = L(y)と書く.

逆に 与えられた に対し となる を求めることをラプラス逆変換とよび と書く

例

注が で定義されていても が 全体で定義されているとは限らない

III.ラプラス変換 – p.4/26

1.定義と性質—1.1定義

t ≥ 0で定義された関数 y(t)に対し

Y (s) =

Z

∞

0e−sty(t)dt

を y(t)のラプラス変換とよび, Y = L(y)と書く.

逆に,与えられた Y (s)に対し Y = L(y)となる y(t)を求めることをラプラス逆変換とよび, y = L−1(Y )と書く.

例

注が で定義されていても が 全体で定義されているとは限らない

III.ラプラス変換 – p.4/26

1.定義と性質—1.1定義

t ≥ 0で定義された関数 y(t)に対し

Y (s) =

Z

∞

0e−sty(t)dt

を y(t)のラプラス変換とよび, Y = L(y)と書く.

逆に,与えられた Y (s)に対し Y = L(y)となる y(t)を求めることをラプラス逆変換とよび, y = L−1(Y )と書く.

[例]

L(1) =1

s(s > 0) L(eat) =

1

s − a(s > a)

注が で定義されていても が 全体で定義されているとは限らない

III.ラプラス変換 – p.4/26

1.定義と性質—1.1定義

t ≥ 0で定義された関数 y(t)に対し

Y (s) =

Z

∞

0e−sty(t)dt

を y(t)のラプラス変換とよび, Y = L(y)と書く.

逆に,与えられた Y (s)に対し Y = L(y)となる y(t)を求めることをラプラス逆変換とよび, y = L−1(Y )と書く.

[例]

L(1) =1

s(s > 0) L(eat) =

1

s − a(s > a)

[注]

y(t)が t ≥ 0で定義されていても, Y (s)が s ≥ 0全体で定義されているとは限らない.

III.ラプラス変換 – p.4/26

1.定義と性質—1.2性質

III.ラプラス変換 – p.5/26

1.定義と性質—1.2性質

(i) L(αy1 + βy2) = αL(y1) + βL(y2) (但し α, β は定数, y1 = y1(t), y2 = y2(t) )

よって「微分 をかける」「積分 で割る」と対応しているので 微分方程式はラプラス変換すると代数方程式になる例題 は定数解答 両辺をラプラス変換すると

従って ラプラス変換の例より

III.ラプラス変換 – p.6/26

1.定義と性質—1.2性質

(i) L(αy1 + βy2) = αL(y1) + βL(y2) (但し α, β は定数, y1 = y1(t), y2 = y2(t) )

(ii)L(y′)

よって「微分 をかける」「積分 で割る」と対応しているので 微分方程式はラプラス変換すると代数方程式になる例題 は定数解答 両辺をラプラス変換すると

従って ラプラス変換の例より

III.ラプラス変換 – p.6/26

1.定義と性質—1.2性質

(i) L(αy1 + βy2) = αL(y1) + βL(y2) (但し α, β は定数, y1 = y1(t), y2 = y2(t) )

(ii)L(y′) =

Z

∞

0y′(t)e−stdt

よって「微分 をかける」「積分 で割る」と対応しているので 微分方程式はラプラス変換すると代数方程式になる例題 は定数解答 両辺をラプラス変換すると

従って ラプラス変換の例より

III.ラプラス変換 – p.6/26

1.定義と性質—1.2性質

(i) L(αy1 + βy2) = αL(y1) + βL(y2) (但し α, β は定数, y1 = y1(t), y2 = y2(t) )

(ii)L(y′) =

Z

∞

0y′(t)e−stdt = [y(t)e−st]∞0 +

Z

∞

0y(t)se−stdt

よって「微分 をかける」「積分 で割る」と対応しているので 微分方程式はラプラス変換すると代数方程式になる例題 は定数解答 両辺をラプラス変換すると

従って ラプラス変換の例より

III.ラプラス変換 – p.6/26

1.定義と性質—1.2性質

(i) L(αy1 + βy2) = αL(y1) + βL(y2) (但し α, β は定数, y1 = y1(t), y2 = y2(t) )

(ii)L(y′) =

Z

∞

0y′(t)e−stdt = [y(t)e−st]∞0 +

Z

∞

0y(t)se−stdt = sY (s) − y(0) (Y = L(y))

よって「微分 をかける」「積分 で割る」と対応しているので 微分方程式はラプラス変換すると代数方程式になる例題 は定数解答 両辺をラプラス変換すると

従って ラプラス変換の例より

III.ラプラス変換 – p.6/26

1.定義と性質—1.2性質

(i) L(αy1 + βy2) = αL(y1) + βL(y2) (但し α, β は定数, y1 = y1(t), y2 = y2(t) )

(ii)L(y′) =

Z

∞

0y′(t)e−stdt = [y(t)e−st]∞0 +

Z

∞

0y(t)se−stdt = sY (s) − y(0) (Y = L(y))

(iii)L(

Z t

0y(τ)dτ)

よって「微分 をかける」「積分 で割る」と対応しているので 微分方程式はラプラス変換すると代数方程式になる例題 は定数解答 両辺をラプラス変換すると

従って ラプラス変換の例より

III.ラプラス変換 – p.6/26

1.定義と性質—1.2性質

(i) L(αy1 + βy2) = αL(y1) + βL(y2) (但し α, β は定数, y1 = y1(t), y2 = y2(t) )

(ii)L(y′) =

Z

∞

0y′(t)e−stdt = [y(t)e−st]∞0 +

Z

∞

0y(t)se−stdt = sY (s) − y(0) (Y = L(y))

(iii)L(

Z t

0y(τ)dτ) =

Z

∞

0

„Z t

0y(τ)dτ

«

e−stdt

よって「微分 をかける」「積分 で割る」と対応しているので 微分方程式はラプラス変換すると代数方程式になる例題 は定数解答 両辺をラプラス変換すると

従って ラプラス変換の例より

III.ラプラス変換 – p.6/26

1.定義と性質—1.2性質

(i) L(αy1 + βy2) = αL(y1) + βL(y2) (但し α, β は定数, y1 = y1(t), y2 = y2(t) )

(ii)L(y′) =

Z

∞

0y′(t)e−stdt = [y(t)e−st]∞0 +

Z

∞

0y(t)se−stdt = sY (s) − y(0) (Y = L(y))

(iii)L(

Z t

0y(τ)dτ) =

Z

∞

0

„Z t

0y(τ)dτ

«

e−stdt

=

»„Z t

0y(τ)dτ

«„

−1

se−st

«–∞

0

+1

s

Z

∞

0y(t)e−stdt

よって「微分 をかける」「積分 で割る」と対応しているので 微分方程式はラプラス変換すると代数方程式になる例題 は定数解答 両辺をラプラス変換すると

従って ラプラス変換の例より

III.ラプラス変換 – p.6/26

1.定義と性質—1.2性質

(i) L(αy1 + βy2) = αL(y1) + βL(y2) (但し α, β は定数, y1 = y1(t), y2 = y2(t) )

(ii)L(y′) =

Z

∞

0y′(t)e−stdt = [y(t)e−st]∞0 +

Z

∞

0y(t)se−stdt = sY (s) − y(0) (Y = L(y))

(iii)L(

Z t

0y(τ)dτ) =

Z

∞

0

„Z t

0y(τ)dτ

«

e−stdt

=

»„Z t

0y(τ)dτ

«„

−1

se−st

«–∞

0

+1

s

Z

∞

0y(t)e−stdt =

1

sY (s)

よって「微分 をかける」「積分 で割る」と対応しているので 微分方程式はラプラス変換すると代数方程式になる例題 は定数解答 両辺をラプラス変換すると

従って ラプラス変換の例より

III.ラプラス変換 – p.6/26

1.定義と性質—1.2性質

(i) L(αy1 + βy2) = αL(y1) + βL(y2) (但し α, β は定数, y1 = y1(t), y2 = y2(t) )

(ii)L(y′) =

Z

∞

0y′(t)e−stdt = [y(t)e−st]∞0 +

Z

∞

0y(t)se−stdt = sY (s) − y(0) (Y = L(y))

(iii)L(

Z t

0y(τ)dτ) =

Z

∞

0

„Z t

0y(τ)dτ

«

e−stdt

=

»„Z t

0y(τ)dτ

«„

−1

se−st

«–∞

0

+1

s

Z

∞

0y(t)e−stdt =

1

sY (s)

よって「微分↔ s をかける」,「積分↔ s で割る」と対応しているので,微分方程式はラプラス変換すると代数方程式になる.

例題 は定数解答 両辺をラプラス変換すると

従って ラプラス変換の例より

III.ラプラス変換 – p.6/26

1.定義と性質—1.2性質

(i) L(αy1 + βy2) = αL(y1) + βL(y2) (但し α, β は定数, y1 = y1(t), y2 = y2(t) )

(ii)L(y′) =

Z

∞

0y′(t)e−stdt = [y(t)e−st]∞0 +

Z

∞

0y(t)se−stdt = sY (s) − y(0) (Y = L(y))

(iii)L(

Z t

0y(τ)dτ) =

Z

∞

0

„Z t

0y(τ)dτ

«

e−stdt

=

»„Z t

0y(τ)dτ

«„

−1

se−st

«–∞

0

+1

s

Z

∞

0y(t)e−stdt =

1

sY (s)

よって「微分↔ s をかける」,「積分↔ s で割る」と対応しているので,微分方程式はラプラス変換すると代数方程式になる.

[例題]dy

dt= ky + f(t) (k は定数)

解答 両辺をラプラス変換すると

従って ラプラス変換の例より

III.ラプラス変換 – p.6/26

1.定義と性質—1.2性質

(i) L(αy1 + βy2) = αL(y1) + βL(y2) (但し α, β は定数, y1 = y1(t), y2 = y2(t) )

(ii)L(y′) =

Z

∞

0y′(t)e−stdt = [y(t)e−st]∞0 +

Z

∞

0y(t)se−stdt = sY (s) − y(0) (Y = L(y))

(iii)L(

Z t

0y(τ)dτ) =

Z

∞

0

„Z t

0y(τ)dτ

«

e−stdt

=

»„Z t

0y(τ)dτ

«„

−1

se−st

«–∞

0

+1

s

Z

∞

0y(t)e−stdt =

1

sY (s)

よって「微分↔ s をかける」,「積分↔ s で割る」と対応しているので,微分方程式はラプラス変換すると代数方程式になる.

[例題]dy

dt= ky + f(t) (k は定数)

[解答]両辺をラプラス変換すると

sY (s) − y(0) = kY (s) + F (s) (F = L(f))

従って ラプラス変換の例より

III.ラプラス変換 – p.6/26

1.定義と性質—1.2性質

(i) L(αy1 + βy2) = αL(y1) + βL(y2) (但し α, β は定数, y1 = y1(t), y2 = y2(t) )

(ii)L(y′) =

Z

∞

0y′(t)e−stdt = [y(t)e−st]∞0 +

Z

∞

0y(t)se−stdt = sY (s) − y(0) (Y = L(y))

(iii)L(

Z t

0y(τ)dτ) =

Z

∞

0

„Z t

0y(τ)dτ

«

e−stdt

=

»„Z t

0y(τ)dτ

«„

−1

se−st

«–∞

0

+1

s

Z

∞

0y(t)e−stdt =

1

sY (s)

よって「微分↔ s をかける」,「積分↔ s で割る」と対応しているので,微分方程式はラプラス変換すると代数方程式になる.

[例題]dy

dt= ky + f(t) (k は定数)

[解答]両辺をラプラス変換すると

sY (s) − y(0) = kY (s) + F (s) (F = L(f))

··· Y (s) =1

s − k(y(0) + F (s))

従って ラプラス変換の例より

III.ラプラス変換 – p.6/26

1.定義と性質—1.2性質

(i) L(αy1 + βy2) = αL(y1) + βL(y2) (但し α, β は定数, y1 = y1(t), y2 = y2(t) )

(ii)L(y′) =

Z

∞

0y′(t)e−stdt = [y(t)e−st]∞0 +

Z

∞

0y(t)se−stdt = sY (s) − y(0) (Y = L(y))

(iii)L(

Z t

0y(τ)dτ) =

Z

∞

0

„Z t

0y(τ)dτ

«

e−stdt

=

»„Z t

0y(τ)dτ

«„

−1

se−st

«–∞

0

+1

s

Z

∞

0y(t)e−stdt =

1

sY (s)

よって「微分↔ s をかける」,「積分↔ s で割る」と対応しているので,微分方程式はラプラス変換すると代数方程式になる.

[例題]dy

dt= ky + f(t) (k は定数)

[解答]両辺をラプラス変換すると

sY (s) − y(0) = kY (s) + F (s) (F = L(f))

··· Y (s) =1

s − k(y(0) + F (s))

従って,ラプラス変換の例より y(t) = y(0)ekt + L−1“

F (s)s−k

”

III.ラプラス変換 – p.6/26

1.定義と性質—1.2性質

(iv) L(y1 · y2)

残念！

と の新しい積 合成積 を

で定義する すると

よって

III.ラプラス変換 – p.7/26

1.定義と性質—1.2性質

(iv) L(y1 · y2) 6= L(y1) · L(y2) 残念！

と の新しい積 合成積 を

で定義する すると

よって

III.ラプラス変換 – p.7/26

1.定義と性質—1.2性質

(iv) L(y1 · y2) 6= L(y1) · L(y2) 残念！

y1(t)と y2(t)の新しい積 y1 ∗ y2 (合成積)を

(y1 ∗ y2)(t) =

Z t

0y1(t − τ)y2(τ)dτ で定義する.

すると

よって

III.ラプラス変換 – p.7/26

1.定義と性質—1.2性質

(iv) L(y1 · y2) 6= L(y1) · L(y2) 残念！

y1(t)と y2(t)の新しい積 y1 ∗ y2 (合成積)を

(y1 ∗ y2)(t) =

Z t

0y1(t − τ)y2(τ)dτ で定義する. すると,

L(y1 ∗ y2) =

Z

∞

0

„Z t

0y1(t − τ)y2(τ)dτ

«

e−stdt

よって

III.ラプラス変換 – p.7/26

1.定義と性質—1.2性質

(iv) L(y1 · y2) 6= L(y1) · L(y2) 残念！

y1(t)と y2(t)の新しい積 y1 ∗ y2 (合成積)を

(y1 ∗ y2)(t) =

Z t

0y1(t − τ)y2(τ)dτ で定義する. すると,

L(y1 ∗ y2) =

Z

∞

0

„Z t

0y1(t − τ)y2(τ)dτ

«

e−stdt =

Z

∞

0

„Z

∞

τ

y1(t − τ)e−stdt

«

y2(τ)dτ

よって

III.ラプラス変換 – p.7/26

1.定義と性質—1.2性質

(iv) L(y1 · y2) 6= L(y1) · L(y2) 残念！

y1(t)と y2(t)の新しい積 y1 ∗ y2 (合成積)を

(y1 ∗ y2)(t) =

Z t

0y1(t − τ)y2(τ)dτ で定義する. すると,

L(y1 ∗ y2) =

Z

∞

0

„Z t

0y1(t − τ)y2(τ)dτ

«

e−stdt =

Z

∞

0

„Z

∞

τ

y1(t − τ)e−stdt

«

y2(τ)dτ

=

Z

∞

0

„Z

∞

τ

y1(t − τ)e−s(t−τ)dt

«

e−sτ y2(τ)dτ

よって

III.ラプラス変換 – p.7/26

1.定義と性質—1.2性質

(iv) L(y1 · y2) 6= L(y1) · L(y2) 残念！

y1(t)と y2(t)の新しい積 y1 ∗ y2 (合成積)を

(y1 ∗ y2)(t) =

Z t

0y1(t − τ)y2(τ)dτ で定義する. すると,

L(y1 ∗ y2) =

Z

∞

0

„Z t

0y1(t − τ)y2(τ)dτ

«

e−stdt =

Z

∞

0

„Z

∞

τ

y1(t − τ)e−stdt

«

y2(τ)dτ

=

Z

∞

0

„Z

∞

τ

y1(t − τ)e−s(t−τ)dt

«

e−sτ y2(τ)dτ

=

Z

∞

0

„Z

∞

0y1(σ)e−sσdσ

«

e−sτ y2(τ)dτ

よって

III.ラプラス変換 – p.7/26

1.定義と性質—1.2性質

(iv) L(y1 · y2) 6= L(y1) · L(y2) 残念！

y1(t)と y2(t)の新しい積 y1 ∗ y2 (合成積)を

(y1 ∗ y2)(t) =

Z t

0y1(t − τ)y2(τ)dτ で定義する. すると,

L(y1 ∗ y2) =

Z

∞

0

„Z t

0y1(t − τ)y2(τ)dτ

«

e−stdt =

Z

∞

0

„Z

∞

τ

y1(t − τ)e−stdt

«

y2(τ)dτ

=

Z

∞

0

„Z

∞

τ

y1(t − τ)e−s(t−τ)dt

«

e−sτ y2(τ)dτ

=

Z

∞

0

„Z

∞

0y1(σ)e−sσdσ

«

e−sτ y2(τ)dτ

=

„Z

∞

0y1(σ)e−sσdt

«„Z

∞

0e−sτ y2(τ)dτ

«

よって

III.ラプラス変換 – p.7/26

1.定義と性質—1.2性質

(iv) L(y1 · y2) 6= L(y1) · L(y2) 残念！

y1(t)と y2(t)の新しい積 y1 ∗ y2 (合成積)を

(y1 ∗ y2)(t) =

Z t

0y1(t − τ)y2(τ)dτ で定義する. すると,

L(y1 ∗ y2) =

Z

∞

0

„Z t

0y1(t − τ)y2(τ)dτ

«

e−stdt =

Z

∞

0

„Z

∞

τ

y1(t − τ)e−stdt

«

y2(τ)dτ

=

Z

∞

0

„Z

∞

τ

y1(t − τ)e−s(t−τ)dt

«

e−sτ y2(τ)dτ

=

Z

∞

0

„Z

∞

0y1(σ)e−sσdσ

«

e−sτ y2(τ)dτ

=

„Z

∞

0y1(σ)e−sσdt

«„Z

∞

0e−sτ y2(τ)dτ

«

= L(y1) · L(y2)

よって

III.ラプラス変換 – p.7/26

1.定義と性質—1.2性質

(iv) L(y1 · y2) 6= L(y1) · L(y2) 残念！

y1(t)と y2(t)の新しい積 y1 ∗ y2 (合成積)を

(y1 ∗ y2)(t) =

Z t

0y1(t − τ)y2(τ)dτ で定義する. すると,

L(y1 ∗ y2) =

Z

∞

0

„Z t

0y1(t − τ)y2(τ)dτ

«

e−stdt =

Z

∞

0

„Z

∞

τ

y1(t − τ)e−stdt

«

y2(τ)dτ

=

Z

∞

0

„Z

∞

τ

y1(t − τ)e−s(t−τ)dt

«

e−sτ y2(τ)dτ

=

Z

∞

0

„Z

∞

0y1(σ)e−sσdσ

«

e−sτ y2(τ)dτ

=

„Z

∞

0y1(σ)e−sσdt

«„Z

∞

0e−sτ y2(τ)dτ

«

= L(y1) · L(y2)

よって L(y1 ∗ y2) = L(y1) · L(y2)

III.ラプラス変換 – p.7/26

2.ラプラス変換の辞書

III.ラプラス変換 – p.8/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

III.ラプラス変換 – p.9/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[公式集]

但し として

但し

特に 自然数 ならば

は複素数但し

同様にして

線形常微分方程式の解として登場した関数が未だ出尽くしていない！

III.ラプラス変換 – p.10/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[公式集]

• L(1)

但し として

但し

特に 自然数 ならば

は複素数但し

同様にして

線形常微分方程式の解として登場した関数が未だ出尽くしていない！

III.ラプラス変換 – p.10/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[公式集]

• L(1) =

Z

∞

0e−st · 1dt

但し として

但し

特に 自然数 ならば

は複素数但し

同様にして

線形常微分方程式の解として登場した関数が未だ出尽くしていない！

III.ラプラス変換 – p.10/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[公式集]

• L(1) =

Z

∞

0e−st · 1dt =

»

− e−st

s

–∞

0

但し として

但し

特に 自然数 ならば

は複素数但し

同様にして

線形常微分方程式の解として登場した関数が未だ出尽くしていない！

III.ラプラス変換 – p.10/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[公式集]

• L(1) =

Z

∞

0e−st · 1dt =

»

− e−st

s

–∞

0

=1

s

但し として

但し

特に 自然数 ならば

は複素数但し

同様にして

線形常微分方程式の解として登場した関数が未だ出尽くしていない！

III.ラプラス変換 – p.10/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[公式集]

• L(1) =

Z

∞

0e−st · 1dt =

»

− e−st

s

–∞

0

=1

s

• L(tα)

但し として

但し

特に 自然数 ならば

は複素数但し

同様にして

線形常微分方程式の解として登場した関数が未だ出尽くしていない！

III.ラプラス変換 – p.10/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[公式集]

• L(1) =

Z

∞

0e−st · 1dt =

»

− e−st

s

–∞

0

=1

s

• L(tα) =

Z

∞

0e−st · tαdt

但し として

但し

特に 自然数 ならば

は複素数但し

同様にして

線形常微分方程式の解として登場した関数が未だ出尽くしていない！

III.ラプラス変換 – p.10/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[公式集]

• L(1) =

Z

∞

0e−st · 1dt =

»

− e−st

s

–∞

0

=1

s

• L(tα) =

Z

∞

0e−st · tαdt =

Z

∞

0e−x ·

“x

s

”α dx

s(但し st=x として dt= dx

s)

但し

特に 自然数 ならば

は複素数但し

同様にして

線形常微分方程式の解として登場した関数が未だ出尽くしていない！

III.ラプラス変換 – p.10/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[公式集]

• L(1) =

Z

∞

0e−st · 1dt =

»

− e−st

s

–∞

0

=1

s

• L(tα) =

Z

∞

0e−st · tαdt =

Z

∞

0e−x ·

“x

s

”α dx

s(但し st=x として dt= dx

s)

=1

sα+1

Z

∞

0xαe−xdx

但し

特に 自然数 ならば

は複素数但し

同様にして

線形常微分方程式の解として登場した関数が未だ出尽くしていない！

III.ラプラス変換 – p.10/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[公式集]

• L(1) =

Z

∞

0e−st · 1dt =

»

− e−st

s

–∞

0

=1

s

• L(tα) =

Z

∞

0e−st · tαdt =

Z

∞

0e−x ·

“x

s

”α dx

s(但し st=x として dt= dx

s)

=1

sα+1

Z

∞

0xαe−xdx =

Γ(α + 1)

sα+1

(但し s>0)

特に 自然数 ならば

は複素数但し

同様にして

線形常微分方程式の解として登場した関数が未だ出尽くしていない！

III.ラプラス変換 – p.10/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[公式集]

• L(1) =

Z

∞

0e−st · 1dt =

»

− e−st

s

–∞

0

=1

s

• L(tα) =

Z

∞

0e−st · tαdt =

Z

∞

0e−x ·

“x

s

”α dx

s(但し st=x として dt= dx

s)

=1

sα+1

Z

∞

0xαe−xdx =

Γ(α + 1)

sα+1

(但し s>0)

特に α = n (自然数) ならば, L(tn) =n!

sn+1

は複素数但し

同様にして

線形常微分方程式の解として登場した関数が未だ出尽くしていない！

III.ラプラス変換 – p.10/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[公式集]

• L(1) =

Z

∞

0e−st · 1dt =

»

− e−st

s

–∞

0

=1

s

• L(tα) =

Z

∞

0e−st · tαdt =

Z

∞

0e−x ·

“x

s

”α dx

s(但し st=x として dt= dx

s)

=1

sα+1

Z

∞

0xαe−xdx =

Γ(α + 1)

sα+1

(但し s>0)

特に α = n (自然数) ならば, L(tn) =n!

sn+1

• L(ezt)z は複素数

但し

同様にして

線形常微分方程式の解として登場した関数が未だ出尽くしていない！

III.ラプラス変換 – p.10/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[公式集]

• L(1) =

Z

∞

0e−st · 1dt =

»

− e−st

s

–∞

0

=1

s

• L(tα) =

Z

∞

0e−st · tαdt =

Z

∞

0e−x ·

“x

s

”α dx

s(但し st=x として dt= dx

s)

=1

sα+1

Z

∞

0xαe−xdx =

Γ(α + 1)

sα+1

(但し s>0)

特に α = n (自然数) ならば, L(tn) =n!

sn+1

• L(ezt)z は複素数

=

Z

∞

0e−st · eztdt

但し

同様にして

線形常微分方程式の解として登場した関数が未だ出尽くしていない！

III.ラプラス変換 – p.10/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[公式集]

• L(1) =

Z

∞

0e−st · 1dt =

»

− e−st

s

–∞

0

=1

s

• L(tα) =

Z

∞

0e−st · tαdt =

Z

∞

0e−x ·

“x

s

”α dx

s(但し st=x として dt= dx

s)

=1

sα+1

Z

∞

0xαe−xdx =

Γ(α + 1)

sα+1

(但し s>0)

特に α = n (自然数) ならば, L(tn) =n!

sn+1

• L(ezt)z は複素数

=

Z

∞

0e−st · eztdt =

Z

∞

0e(z−s)tdt

但し

同様にして

線形常微分方程式の解として登場した関数が未だ出尽くしていない！

III.ラプラス変換 – p.10/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[公式集]

• L(1) =

Z

∞

0e−st · 1dt =

»

− e−st

s

–∞

0

=1

s

• L(tα) =

Z

∞

0e−st · tαdt =

Z

∞

0e−x ·

“x

s

”α dx

s(但し st=x として dt= dx

s)

=1

sα+1

Z

∞

0xαe−xdx =

Γ(α + 1)

sα+1

(但し s>0)

特に α = n (自然数) ならば, L(tn) =n!

sn+1

• L(ezt)z は複素数

=

Z

∞

0e−st · eztdt =

Z

∞

0e(z−s)tdt =

"

e(z−s)t

z − s

#

∞

0

但し

同様にして

線形常微分方程式の解として登場した関数が未だ出尽くしていない！

III.ラプラス変換 – p.10/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[公式集]

• L(1) =

Z

∞

0e−st · 1dt =

»

− e−st

s

–∞

0

=1

s

• L(tα) =

Z

∞

0e−st · tαdt =

Z

∞

0e−x ·

“x

s

”α dx

s(但し st=x として dt= dx

s)

=1

sα+1

Z

∞

0xαe−xdx =

Γ(α + 1)

sα+1

(但し s>0)

特に α = n (自然数) ならば, L(tn) =n!

sn+1

• L(ezt)z は複素数

=

Z

∞

0e−st · eztdt =

Z

∞

0e(z−s)tdt =

"

e(z−s)t

z − s

#

∞

0

=1

s − z(但し s>Re z)

同様にして

線形常微分方程式の解として登場した関数が未だ出尽くしていない！

III.ラプラス変換 – p.10/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[公式集]

• L(1) =

Z

∞

0e−st · 1dt =

»

− e−st

s

–∞

0

=1

s

• L(tα) =

Z

∞

0e−st · tαdt =

Z

∞

0e−x ·

“x

s

”α dx

s(但し st=x として dt= dx

s)

=1

sα+1

Z

∞

0xαe−xdx =

Γ(α + 1)

sα+1

(但し s>0)

特に α = n (自然数) ならば, L(tn) =n!

sn+1

• L(ezt)z は複素数

=

Z

∞

0e−st · eztdt =

Z

∞

0e(z−s)tdt =

"

e(z−s)t

z − s

#

∞

0

=1

s − z(但し s>Re z)

• L(cos ωt)

同様にして

線形常微分方程式の解として登場した関数が未だ出尽くしていない！

III.ラプラス変換 – p.10/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[公式集]

• L(1) =

Z

∞

0e−st · 1dt =

»

− e−st

s

–∞

0

=1

s

• L(tα) =

Z

∞

0e−st · tαdt =

Z

∞

0e−x ·

“x

s

”α dx

s(但し st=x として dt= dx

s)

=1

sα+1

Z

∞

0xαe−xdx =

Γ(α + 1)

sα+1

(但し s>0)

特に α = n (自然数) ならば, L(tn) =n!

sn+1

• L(ezt)z は複素数

=

Z

∞

0e−st · eztdt =

Z

∞

0e(z−s)tdt =

"

e(z−s)t

z − s

#

∞

0

=1

s − z(但し s>Re z)

• L(cos ωt) = L„

eiωt + e−iωt

2

«

同様にして

線形常微分方程式の解として登場した関数が未だ出尽くしていない！

III.ラプラス変換 – p.10/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[公式集]

• L(1) =

Z

∞

0e−st · 1dt =

»

− e−st

s

–∞

0

=1

s

• L(tα) =

Z

∞

0e−st · tαdt =

Z

∞

0e−x ·

“x

s

”α dx

s(但し st=x として dt= dx

s)

=1

sα+1

Z

∞

0xαe−xdx =

Γ(α + 1)

sα+1

(但し s>0)

特に α = n (自然数) ならば, L(tn) =n!

sn+1

• L(ezt)z は複素数

=

Z

∞

0e−st · eztdt =

Z

∞

0e(z−s)tdt =

"

e(z−s)t

z − s

#

∞

0

=1

s − z(但し s>Re z)

• L(cos ωt) = L„

eiωt + e−iωt

2

«

=1

2

„

1

s − iω+

1

s − (−iω)

«

同様にして

線形常微分方程式の解として登場した関数が未だ出尽くしていない！

III.ラプラス変換 – p.10/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[公式集]

• L(1) =

Z

∞

0e−st · 1dt =

»

− e−st

s

–∞

0

=1

s

• L(tα) =

Z

∞

0e−st · tαdt =

Z

∞

0e−x ·

“x

s

”α dx

s(但し st=x として dt= dx

s)

=1

sα+1

Z

∞

0xαe−xdx =

Γ(α + 1)

sα+1

(但し s>0)

特に α = n (自然数) ならば, L(tn) =n!

sn+1

• L(ezt)z は複素数

=

Z

∞

0e−st · eztdt =

Z

∞

0e(z−s)tdt =

"

e(z−s)t

z − s

#

∞

0

=1

s − z(但し s>Re z)

• L(cos ωt) = L„

eiωt + e−iωt

2

«

=1

2

„

1

s − iω+

1

s − (−iω)

«

=s

s2 + ω2

同様にして

線形常微分方程式の解として登場した関数が未だ出尽くしていない！

III.ラプラス変換 – p.10/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[公式集]

• L(1) =

Z

∞

0e−st · 1dt =

»

− e−st

s

–∞

0

=1

s

• L(tα) =

Z

∞

0e−st · tαdt =

Z

∞

0e−x ·

“x

s

”α dx

s(但し st=x として dt= dx

s)

=1

sα+1

Z

∞

0xαe−xdx =

Γ(α + 1)

sα+1

(但し s>0)

特に α = n (自然数) ならば, L(tn) =n!

sn+1

• L(ezt)z は複素数

=

Z

∞

0e−st · eztdt =

Z

∞

0e(z−s)tdt =

"

e(z−s)t

z − s

#

∞

0

=1

s − z(但し s>Re z)

• L(cos ωt) = L„

eiωt + e−iωt

2

«

=1

2

„

1

s − iω+

1

s − (−iω)

«

=s

s2 + ω2

• L(sinωt)

同様にして

線形常微分方程式の解として登場した関数が未だ出尽くしていない！

III.ラプラス変換 – p.10/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[公式集]

• L(1) =

Z

∞

0e−st · 1dt =

»

− e−st

s

–∞

0

=1

s

• L(tα) =

Z

∞

0e−st · tαdt =

Z

∞

0e−x ·

“x

s

”α dx

s(但し st=x として dt= dx

s)

=1

sα+1

Z

∞

0xαe−xdx =

Γ(α + 1)

sα+1

(但し s>0)

特に α = n (自然数) ならば, L(tn) =n!

sn+1

• L(ezt)z は複素数

=

Z

∞

0e−st · eztdt =

Z

∞

0e(z−s)tdt =

"

e(z−s)t

z − s

#

∞

0

=1

s − z(但し s>Re z)

• L(cos ωt) = L„

eiωt + e−iωt

2

«

=1

2

„

1

s − iω+

1

s − (−iω)

«

=s

s2 + ω2

• L(sinωt) = L„

eiωt − e−iωt

2i

«

同様にして

線形常微分方程式の解として登場した関数が未だ出尽くしていない！

III.ラプラス変換 – p.10/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[公式集]

• L(1) =

Z

∞

0e−st · 1dt =

»

− e−st

s

–∞

0

=1

s

• L(tα) =

Z

∞

0e−st · tαdt =

Z

∞

0e−x ·

“x

s

”α dx

s(但し st=x として dt= dx

s)

=1

sα+1

Z

∞

0xαe−xdx =

Γ(α + 1)

sα+1

(但し s>0)

特に α = n (自然数) ならば, L(tn) =n!

sn+1

• L(ezt)z は複素数

=

Z

∞

0e−st · eztdt =

Z

∞

0e(z−s)tdt =

"

e(z−s)t

z − s

#

∞

0

=1

s − z(但し s>Re z)

• L(cos ωt) = L„

eiωt + e−iωt

2

«

=1

2

„

1

s − iω+

1

s − (−iω)

«

=s

s2 + ω2

• L(sinωt) = L„

eiωt − e−iωt

2i

«

=1

2i

„

1

s − iω− 1

s − (−iω)

«

同様にして

線形常微分方程式の解として登場した関数が未だ出尽くしていない！

III.ラプラス変換 – p.10/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[公式集]

• L(1) =

Z

∞

0e−st · 1dt =

»

− e−st

s

–∞

0

=1

s

• L(tα) =

Z

∞

0e−st · tαdt =

Z

∞

0e−x ·

“x

s

”α dx

s(但し st=x として dt= dx

s)

=1

sα+1

Z

∞

0xαe−xdx =

Γ(α + 1)

sα+1

(但し s>0)

特に α = n (自然数) ならば, L(tn) =n!

sn+1

• L(ezt)z は複素数

=

Z

∞

0e−st · eztdt =

Z

∞

0e(z−s)tdt =

"

e(z−s)t

z − s

#

∞

0

=1

s − z(但し s>Re z)

• L(cos ωt) = L„

eiωt + e−iωt

2

«

=1

2

„

1

s − iω+

1

s − (−iω)

«

=s

s2 + ω2

• L(sinωt) = L„

eiωt − e−iωt

2i

«

=1

2i

„

1

s − iω− 1

s − (−iω)

«

=ω

s2 + ω2

同様にして

線形常微分方程式の解として登場した関数が未だ出尽くしていない！

III.ラプラス変換 – p.10/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[公式集]

• L(1) =

Z

∞

0e−st · 1dt =

»

− e−st

s

–∞

0

=1

s

• L(tα) =

Z

∞

0e−st · tαdt =

Z

∞

0e−x ·

“x

s

”α dx

s(但し st=x として dt= dx

s)

=1

sα+1

Z

∞

0xαe−xdx =

Γ(α + 1)

sα+1

(但し s>0)

特に α = n (自然数) ならば, L(tn) =n!

sn+1

• L(ezt)z は複素数

=

Z

∞

0e−st · eztdt =

Z

∞

0e(z−s)tdt =

"

e(z−s)t

z − s

#

∞

0

=1

s − z(但し s>Re z)

• L(cos ωt) = L„

eiωt + e−iωt

2

«

=1

2

„

1

s − iω+

1

s − (−iω)

«

=s

s2 + ω2

• L(sinωt) = L„

eiωt − e−iωt

2i

«

=1

2i

„

1

s − iω− 1

s − (−iω)

«

=ω

s2 + ω2

• 同様にして L(cosh at) =s

s2 − a2, L(sinhat) =

a

s2 − a2

線形常微分方程式の解として登場した関数が未だ出尽くしていない！

III.ラプラス変換 – p.10/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[公式集]

• L(1) =

Z

∞

0e−st · 1dt =

»

− e−st

s

–∞

0

=1

s

• L(tα) =

Z

∞

0e−st · tαdt =

Z

∞

0e−x ·

“x

s

”α dx

s(但し st=x として dt= dx

s)

=1

sα+1

Z

∞

0xαe−xdx =

Γ(α + 1)

sα+1

(但し s>0)

特に α = n (自然数) ならば, L(tn) =n!

sn+1

• L(ezt)z は複素数

=

Z

∞

0e−st · eztdt =

Z

∞

0e(z−s)tdt =

"

e(z−s)t

z − s

#

∞

0

=1

s − z(但し s>Re z)

• L(cos ωt) = L„

eiωt + e−iωt

2

«

=1

2

„

1

s − iω+

1

s − (−iω)

«

=s

s2 + ω2

• L(sinωt) = L„

eiωt − e−iωt

2i

«

=1

2i

„

1

s − iω− 1

s − (−iω)

«

=ω

s2 + ω2

• 同様にして L(cosh at) =s

s2 − a2, L(sinhat) =

a

s2 − a2

線形常微分方程式の解として登場した関数が未だ出尽くしていない！

III.ラプラス変換 – p.10/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[定理] (s-軸上の移動)

とすると

これより

例題解答 方程式をラプラス変換して初期値を代入すると

但し

III.ラプラス変換 – p.11/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[定理] (s-軸上の移動)

L(y(t)) = Y (s)とすると L(eaty(t)) = Y (s − a)

これより

例題解答 方程式をラプラス変換して初期値を代入すると

但し

III.ラプラス変換 – p.11/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[定理] (s-軸上の移動)

L(y(t)) = Y (s)とすると L(eaty(t)) = Y (s − a)

··· L(eaty(t)) =

Z

∞

0e−st

`

eaty(t)´

dt

これより

例題解答 方程式をラプラス変換して初期値を代入すると

但し

III.ラプラス変換 – p.11/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[定理] (s-軸上の移動)

L(y(t)) = Y (s)とすると L(eaty(t)) = Y (s − a)

··· L(eaty(t)) =

Z

∞

0e−st

`

eaty(t)´

dt =

Z

∞

0e−(s−a)ty(t)dt

これより

例題解答 方程式をラプラス変換して初期値を代入すると

但し

III.ラプラス変換 – p.11/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[定理] (s-軸上の移動)

L(y(t)) = Y (s)とすると L(eaty(t)) = Y (s − a)

··· L(eaty(t)) =

Z

∞

0e−st

`

eaty(t)´

dt =

Z

∞

0e−(s−a)ty(t)dt = Y (s − a)

これより

例題解答 方程式をラプラス変換して初期値を代入すると

但し

III.ラプラス変換 – p.11/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[定理] (s-軸上の移動)

L(y(t)) = Y (s)とすると L(eaty(t)) = Y (s − a)

··· L(eaty(t)) =

Z

∞

0e−st

`

eaty(t)´

dt =

Z

∞

0e−(s−a)ty(t)dt = Y (s − a)

これより

例題解答 方程式をラプラス変換して初期値を代入すると

但し

III.ラプラス変換 – p.11/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[定理] (s-軸上の移動)

L(y(t)) = Y (s)とすると L(eaty(t)) = Y (s − a)

··· L(eaty(t)) =

Z

∞

0e−st

`

eaty(t)´

dt =

Z

∞

0e−(s−a)ty(t)dt = Y (s − a)

これより• L(eattn)

例題解答 方程式をラプラス変換して初期値を代入すると

但し

III.ラプラス変換 – p.11/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[定理] (s-軸上の移動)

L(y(t)) = Y (s)とすると L(eaty(t)) = Y (s − a)

··· L(eaty(t)) =

Z

∞

0e−st

`

eaty(t)´

dt =

Z

∞

0e−(s−a)ty(t)dt = Y (s − a)

これより• L(eattn) =

n!

(s − a)n+1

例題解答 方程式をラプラス変換して初期値を代入すると

但し

III.ラプラス変換 – p.11/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[定理] (s-軸上の移動)

L(y(t)) = Y (s)とすると L(eaty(t)) = Y (s − a)

··· L(eaty(t)) =

Z

∞

0e−st

`

eaty(t)´

dt =

Z

∞

0e−(s−a)ty(t)dt = Y (s − a)

これより• L(eattn) =

n!

(s − a)n+1

• L(eat cos ωt)

例題解答 方程式をラプラス変換して初期値を代入すると

但し

III.ラプラス変換 – p.11/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[定理] (s-軸上の移動)

L(y(t)) = Y (s)とすると L(eaty(t)) = Y (s − a)

··· L(eaty(t)) =

Z

∞

0e−st

`

eaty(t)´

dt =

Z

∞

0e−(s−a)ty(t)dt = Y (s − a)

これより• L(eattn) =

n!

(s − a)n+1

• L(eat cos ωt) =s − a

(s − a)2 + ω2

例題解答 方程式をラプラス変換して初期値を代入すると

但し

III.ラプラス変換 – p.11/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[定理] (s-軸上の移動)

L(y(t)) = Y (s)とすると L(eaty(t)) = Y (s − a)

··· L(eaty(t)) =

Z

∞

0e−st

`

eaty(t)´

dt =

Z

∞

0e−(s−a)ty(t)dt = Y (s − a)

これより• L(eattn) =

n!

(s − a)n+1

• L(eat cos ωt) =s − a

(s − a)2 + ω2

• L(eat sin ωt)

例題解答 方程式をラプラス変換して初期値を代入すると

但し

III.ラプラス変換 – p.11/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[定理] (s-軸上の移動)

L(y(t)) = Y (s)とすると L(eaty(t)) = Y (s − a)

··· L(eaty(t)) =

Z

∞

0e−st

`

eaty(t)´

dt =

Z

∞

0e−(s−a)ty(t)dt = Y (s − a)

これより• L(eattn) =

n!

(s − a)n+1

• L(eat cos ωt) =s − a

(s − a)2 + ω2

• L(eat sin ωt) =ω

(s − a)2 + ω2

例題解答 方程式をラプラス変換して初期値を代入すると

但し

III.ラプラス変換 – p.11/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[定理] (s-軸上の移動)

L(y(t)) = Y (s)とすると L(eaty(t)) = Y (s − a)

··· L(eaty(t)) =

Z

∞

0e−st

`

eaty(t)´

dt =

Z

∞

0e−(s−a)ty(t)dt = Y (s − a)

これより• L(eattn) =

n!

(s − a)n+1

• L(eat cos ωt) =s − a

(s − a)2 + ω2

• L(eat sin ωt) =ω

(s − a)2 + ω2

[例題] y′′ + 2y′ + 5y = 0 y(0) = 2, y′(0) = −4

解答 方程式をラプラス変換して初期値を代入すると

但し

III.ラプラス変換 – p.11/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[定理] (s-軸上の移動)

L(y(t)) = Y (s)とすると L(eaty(t)) = Y (s − a)

··· L(eaty(t)) =

Z

∞

0e−st

`

eaty(t)´

dt =

Z

∞

0e−(s−a)ty(t)dt = Y (s − a)

これより• L(eattn) =

n!

(s − a)n+1

• L(eat cos ωt) =s − a

(s − a)2 + ω2

• L(eat sin ωt) =ω

(s − a)2 + ω2

[例題] y′′ + 2y′ + 5y = 0 y(0) = 2, y′(0) = −4

[解答]方程式をラプラス変換して初期値を代入するとsL(y′) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)

但し

III.ラプラス変換 – p.11/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[定理] (s-軸上の移動)

L(y(t)) = Y (s)とすると L(eaty(t)) = Y (s − a)

··· L(eaty(t)) =

Z

∞

0e−st

`

eaty(t)´

dt =

Z

∞

0e−(s−a)ty(t)dt = Y (s − a)

これより• L(eattn) =

n!

(s − a)n+1

• L(eat cos ωt) =s − a

(s − a)2 + ω2

• L(eat sin ωt) =ω

(s − a)2 + ω2

[例題] y′′ + 2y′ + 5y = 0 y(0) = 2, y′(0) = −4

[解答]方程式をラプラス変換して初期値を代入するとsL(y′) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)

= s(sL(y) − y(0)) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)

但し

III.ラプラス変換 – p.11/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[定理] (s-軸上の移動)

L(y(t)) = Y (s)とすると L(eaty(t)) = Y (s − a)

··· L(eaty(t)) =

Z

∞

0e−st

`

eaty(t)´

dt =

Z

∞

0e−(s−a)ty(t)dt = Y (s − a)

これより• L(eattn) =

n!

(s − a)n+1

• L(eat cos ωt) =s − a

(s − a)2 + ω2

• L(eat sin ωt) =ω

(s − a)2 + ω2

[例題] y′′ + 2y′ + 5y = 0 y(0) = 2, y′(0) = −4

[解答]方程式をラプラス変換して初期値を代入するとsL(y′) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)

= s(sL(y) − y(0)) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)

= s2Y − 2s + 4 + 2(sY − 2) + 5Y = 0 (但し Y = L(y))

III.ラプラス変換 – p.11/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[定理] (s-軸上の移動)

L(y(t)) = Y (s)とすると L(eaty(t)) = Y (s − a)

··· L(eaty(t)) =

Z

∞

0e−st

`

eaty(t)´

dt =

Z

∞

0e−(s−a)ty(t)dt = Y (s − a)

これより• L(eattn) =

n!

(s − a)n+1

• L(eat cos ωt) =s − a

(s − a)2 + ω2

• L(eat sin ωt) =ω

(s − a)2 + ω2

[例題] y′′ + 2y′ + 5y = 0 y(0) = 2, y′(0) = −4

[解答]方程式をラプラス変換して初期値を代入するとsL(y′) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)

= s(sL(y) − y(0)) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)

= s2Y − 2s + 4 + 2(sY − 2) + 5Y = 0 (但し Y = L(y))

··· Y =2s

(s + 1)2 + 4

III.ラプラス変換 – p.11/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[定理] (s-軸上の移動)

L(y(t)) = Y (s)とすると L(eaty(t)) = Y (s − a)

··· L(eaty(t)) =

Z

∞

0e−st

`

eaty(t)´

dt =

Z

∞

0e−(s−a)ty(t)dt = Y (s − a)

これより• L(eattn) =

n!

(s − a)n+1

• L(eat cos ωt) =s − a

(s − a)2 + ω2

• L(eat sin ωt) =ω

(s − a)2 + ω2

[例題] y′′ + 2y′ + 5y = 0 y(0) = 2, y′(0) = −4

[解答]方程式をラプラス変換して初期値を代入するとsL(y′) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)

= s(sL(y) − y(0)) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)

= s2Y − 2s + 4 + 2(sY − 2) + 5Y = 0 (但し Y = L(y))

··· Y =2s

(s + 1)2 + 4= 2

s + 1

(s + 1)2 + 22− 2

(s + 1)2 + 22

III.ラプラス変換 – p.11/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[定理] (s-軸上の移動)

L(y(t)) = Y (s)とすると L(eaty(t)) = Y (s − a)

··· L(eaty(t)) =

Z

∞

0e−st

`

eaty(t)´

dt =

Z

∞

0e−(s−a)ty(t)dt = Y (s − a)

これより• L(eattn) =

n!

(s − a)n+1

• L(eat cos ωt) =s − a

(s − a)2 + ω2

• L(eat sin ωt) =ω

(s − a)2 + ω2

[例題] y′′ + 2y′ + 5y = 0 y(0) = 2, y′(0) = −4

[解答]方程式をラプラス変換して初期値を代入するとsL(y′) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)

= s(sL(y) − y(0)) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)

= s2Y − 2s + 4 + 2(sY − 2) + 5Y = 0 (但し Y = L(y))

··· Y =2s

(s + 1)2 + 4= 2

s + 1

(s + 1)2 + 22− 2

(s + 1)2 + 22

··· y(t) = L−1(Y (s))

III.ラプラス変換 – p.11/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[定理] (s-軸上の移動)

L(y(t)) = Y (s)とすると L(eaty(t)) = Y (s − a)

··· L(eaty(t)) =

Z

∞

0e−st

`

eaty(t)´

dt =

Z

∞

0e−(s−a)ty(t)dt = Y (s − a)

これより• L(eattn) =

n!

(s − a)n+1

• L(eat cos ωt) =s − a

(s − a)2 + ω2

• L(eat sin ωt) =ω

(s − a)2 + ω2

[例題] y′′ + 2y′ + 5y = 0 y(0) = 2, y′(0) = −4

[解答]方程式をラプラス変換して初期値を代入するとsL(y′) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)

= s(sL(y) − y(0)) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)

= s2Y − 2s + 4 + 2(sY − 2) + 5Y = 0 (但し Y = L(y))

··· Y =2s

(s + 1)2 + 4= 2

s + 1

(s + 1)2 + 22− 2

(s + 1)2 + 22

··· y(t) = L−1(Y (s)) = e−t(2 cos 2t − sin 2t)

III.ラプラス変換 – p.11/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[練習問題]

I.次の関数のラプラス逆変換を求めよ.

1.1

s+

2

s2+

4

s3

2.1

1 + 2s

3.s + 3

s2 + 2s + 2

II.次の常微分方程式の初期値問題を解け.y′′ − 3y′ + 2y = e3t y(0) = 1, y′(0) = 0

解答

III.ラプラス変換 – p.12/26

2.ラプラス変換の辞書—2.1基本的な関数

[練習問題]

I.次の関数のラプラス逆変換を求めよ.

1.1

s+

2

s2+

4

s3

2.1

1 + 2s

3.s + 3

s2 + 2s + 2

II.次の常微分方程式の初期値問題を解け.y′′ − 3y′ + 2y = e3t y(0) = 1, y′(0) = 0

[解答]

I. 1. 1 + 2t + 2t2

2.1

2e−

t

2

3. e−t cos t + 2e−t sin t

II. y(t) =5

2et − 2e2t +

1

2e3t

III.ラプラス変換 – p.12/26

2.ラプラス変換の辞書—2.2ラプラス変換後の微分と積分

III.ラプラス変換 – p.13/26

2.ラプラス変換の辞書—2.2ラプラス変換後の微分と積分

[定理] (ラプラス変換後の微分と積分)

• L (ty(t)) = − d

dsY (s) 同様に L (tny(t)) = (−1)n dn

dsnY (s)

但し が存在するとする

例

III.ラプラス変換 – p.14/26

2.ラプラス変換の辞書—2.2ラプラス変換後の微分と積分

[定理] (ラプラス変換後の微分と積分)

• L (ty(t)) = − d

dsY (s) 同様に L (tny(t)) = (−1)n dn

dsnY (s)

• L„

y(t)

t

«

=

Z

∞

s

Y (σ)dσ (但し limt→+0

y(t)tが存在するとする)

例

III.ラプラス変換 – p.14/26

2.ラプラス変換の辞書—2.2ラプラス変換後の微分と積分

[定理] (ラプラス変換後の微分と積分)

• L (ty(t)) = − d

dsY (s) 同様に L (tny(t)) = (−1)n dn

dsnY (s)

• L„

y(t)

t

«

=

Z

∞

s

Y (σ)dσ (但し limt→+0

y(t)tが存在するとする)

··· L (ty(t)) =

Z

∞

0e−stty(t)dt

例

III.ラプラス変換 – p.14/26

2.ラプラス変換の辞書—2.2ラプラス変換後の微分と積分

[定理] (ラプラス変換後の微分と積分)

• L (ty(t)) = − d

dsY (s) 同様に L (tny(t)) = (−1)n dn

dsnY (s)

• L„

y(t)

t

«

=

Z

∞

s

Y (σ)dσ (但し limt→+0

y(t)tが存在するとする)

··· L (ty(t)) =

Z

∞

0e−stty(t)dt =

Z

∞

0− ∂

∂s

`

e−sty(t)´

dt

例

III.ラプラス変換 – p.14/26

2.ラプラス変換の辞書—2.2ラプラス変換後の微分と積分

[定理] (ラプラス変換後の微分と積分)

• L (ty(t)) = − d

dsY (s) 同様に L (tny(t)) = (−1)n dn

dsnY (s)

• L„

y(t)

t

«

=

Z

∞

s

Y (σ)dσ (但し limt→+0

y(t)tが存在するとする)

··· L (ty(t)) =

Z

∞

0e−stty(t)dt =

Z

∞

0− ∂

∂s

`

e−sty(t)´

dt = − d

ds

Z

∞

0e−sty(t)dt

例

III.ラプラス変換 – p.14/26

2.ラプラス変換の辞書—2.2ラプラス変換後の微分と積分

[定理] (ラプラス変換後の微分と積分)

• L (ty(t)) = − d

dsY (s) 同様に L (tny(t)) = (−1)n dn

dsnY (s)

• L„

y(t)

t

«

=

Z

∞

s

Y (σ)dσ (但し limt→+0

y(t)tが存在するとする)

··· L (ty(t)) =

Z

∞

0e−stty(t)dt =

Z

∞

0− ∂

∂s

`

e−sty(t)´

dt = − d

ds

Z

∞

0e−sty(t)dt = − d

dsY (s)

例

III.ラプラス変換 – p.14/26

2.ラプラス変換の辞書—2.2ラプラス変換後の微分と積分

[定理] (ラプラス変換後の微分と積分)

• L (ty(t)) = − d

dsY (s) 同様に L (tny(t)) = (−1)n dn

dsnY (s)

• L„

y(t)

t

«

=

Z

∞

s

Y (σ)dσ (但し limt→+0

y(t)tが存在するとする)

··· L (ty(t)) =

Z

∞

0e−stty(t)dt =

Z

∞

0− ∂

∂s

`

e−sty(t)´

dt = − d

ds

Z

∞

0e−sty(t)dt = − d

dsY (s)

L„

y(t)

t

«

=

Z

∞

0e−st y(t)

tdt

例

III.ラプラス変換 – p.14/26

2.ラプラス変換の辞書—2.2ラプラス変換後の微分と積分

[定理] (ラプラス変換後の微分と積分)

• L (ty(t)) = − d

dsY (s) 同様に L (tny(t)) = (−1)n dn

dsnY (s)

• L„

y(t)

t

«

=

Z

∞

s

Y (σ)dσ (但し limt→+0

y(t)tが存在するとする)

··· L (ty(t)) =

Z

∞

0e−stty(t)dt =

Z

∞

0− ∂

∂s

`

e−sty(t)´

dt = − d

ds

Z

∞

0e−sty(t)dt = − d

dsY (s)

L„

y(t)

t

«

=

Z

∞

0e−st y(t)

tdt =

Z

∞

0

»

− e−σt

t

–σ=∞

σ=s

y(t)dt

例

III.ラプラス変換 – p.14/26

2.ラプラス変換の辞書—2.2ラプラス変換後の微分と積分

[定理] (ラプラス変換後の微分と積分)

• L (ty(t)) = − d

dsY (s) 同様に L (tny(t)) = (−1)n dn

dsnY (s)

• L„

y(t)

t

«

=

Z

∞

s

Y (σ)dσ (但し limt→+0

y(t)tが存在するとする)

··· L (ty(t)) =

Z

∞

0e−stty(t)dt =

Z

∞

0− ∂

∂s

`

e−sty(t)´

dt = − d

ds

Z

∞

0e−sty(t)dt = − d

dsY (s)

L„

y(t)

t

«

=

Z

∞

0e−st y(t)

tdt =

Z

∞

0

»

− e−σt

t

–σ=∞

σ=s

y(t)dt =

Z

∞

0

„Z

∞

s

e−σtdσ

«

y(t)dt

例

III.ラプラス変換 – p.14/26

2.ラプラス変換の辞書—2.2ラプラス変換後の微分と積分

[定理] (ラプラス変換後の微分と積分)

• L (ty(t)) = − d

dsY (s) 同様に L (tny(t)) = (−1)n dn

dsnY (s)

• L„

y(t)

t

«

=

Z

∞

s

Y (σ)dσ (但し limt→+0

y(t)tが存在するとする)

··· L (ty(t)) =

Z

∞

0e−stty(t)dt =

Z

∞

0− ∂

∂s

`

e−sty(t)´

dt = − d

ds

Z

∞

0e−sty(t)dt = − d

dsY (s)

L„

y(t)

t

«

=

Z

∞

0e−st y(t)

tdt =

Z

∞

0

»

− e−σt

t

–σ=∞

σ=s

y(t)dt =

Z

∞

0

„Z

∞

s

e−σtdσ

«

y(t)dt

=

Z

∞

s

„Z

∞

0e−σty(t)dt

«

dσ

例

III.ラプラス変換 – p.14/26

2.ラプラス変換の辞書—2.2ラプラス変換後の微分と積分

[定理] (ラプラス変換後の微分と積分)

• L (ty(t)) = − d

dsY (s) 同様に L (tny(t)) = (−1)n dn

dsnY (s)

• L„

y(t)

t

«

=

Z

∞

s

Y (σ)dσ (但し limt→+0

y(t)tが存在するとする)

··· L (ty(t)) =

Z

∞

0e−stty(t)dt =

Z

∞

0− ∂

∂s

`

e−sty(t)´

dt = − d

ds

Z

∞

0e−sty(t)dt = − d

dsY (s)

L„

y(t)

t

«

=

Z

∞

0e−st y(t)

tdt =

Z

∞

0

»

− e−σt

t

–σ=∞

σ=s

y(t)dt =

Z

∞

0

„Z

∞

s

e−σtdσ

«

y(t)dt

=

Z

∞

s

„Z

∞

0e−σty(t)dt

«

dσ =

Z

∞

s

Y (σ)dσ

例

III.ラプラス変換 – p.14/26

2.ラプラス変換の辞書—2.2ラプラス変換後の微分と積分

[定理] (ラプラス変換後の微分と積分)

• L (ty(t)) = − d

dsY (s) 同様に L (tny(t)) = (−1)n dn

dsnY (s)

• L„

y(t)

t

«

=

Z

∞

s

Y (σ)dσ (但し limt→+0

y(t)tが存在するとする)

··· L (ty(t)) =

Z

∞

0e−stty(t)dt =

Z

∞

0− ∂

∂s

`

e−sty(t)´

dt = − d

ds

Z

∞

0e−sty(t)dt = − d

dsY (s)

L„

y(t)

t

«

=

Z

∞

0e−st y(t)

tdt =

Z

∞

0

»

− e−σt

t

–σ=∞

σ=s

y(t)dt =

Z

∞

0

„Z

∞

s

e−σtdσ

«

y(t)dt

=

Z

∞

s

„Z

∞

0e−σty(t)dt

«

dσ =

Z

∞

s

Y (σ)dσ

[例]

• L(t cos ωt) = − d

dsL(cos ωt) =

s2 − ω2

(s2 + ω2)2

L(t sin ωt) = − d

dsL(sinωt) =

2ωs

(s2 + ω2)2

III.ラプラス変換 – p.14/26

2.ラプラス変換の辞書—2.2ラプラス変換後の微分と積分

[定理] (ラプラス変換後の微分と積分)

• L (ty(t)) = − d

dsY (s) 同様に L (tny(t)) = (−1)n dn

dsnY (s)

• L„

y(t)

t

«

=

Z

∞

s

Y (σ)dσ (但し limt→+0

y(t)tが存在するとする)

··· L (ty(t)) =

Z

∞

0e−stty(t)dt =

Z

∞

0− ∂

∂s

`

e−sty(t)´

dt = − d

ds

Z

∞

0e−sty(t)dt = − d

dsY (s)

L„

y(t)

t

«

=

Z

∞

0e−st y(t)

tdt =

Z

∞

0

»

− e−σt

t

–σ=∞

σ=s

y(t)dt =

Z

∞

0

„Z

∞

s

e−σtdσ

«

y(t)dt

=

Z

∞

s

„Z

∞

0e−σty(t)dt

«

dσ =

Z

∞

s

Y (σ)dσ

[例]

• L(t cos ωt) = − d

dsL(cos ωt) =

s2 − ω2

(s2 + ω2)2

L(t sin ωt) = − d

dsL(sinωt) =

2ωs

(s2 + ω2)2

• L„

2

t(1 − cos ωt)

«

=

Z

∞

s

(2L(1) − 2L(cos ωt))dσ =

Z

∞

s

„

2

σ− 2

σ

σ2 + ω2

«

dσ

= log

„

1 +ω2

s2

«

···2

s− 2

s

s2 + ω2= − d

dslog

„

1 +ω2

s2

«

III.ラプラス変換 – p.14/26

2.ラプラス変換の辞書—2.2ラプラス変換後の微分と積分

[練習問題]

I. 次の関数のラプラス逆変換を求めよ。1.

s

(s + 1)22.

s2

(s − 2)33.

4s

(s + 1)(s − 1)2

II. 次の常微分方程式の初期値問題を解け.y′′ + 2y′ + y = e−t y(0) = 1, y′(0) = 3

解答

なので

なので

なので

III.ラプラス変換 – p.15/26

2.ラプラス変換の辞書—2.2ラプラス変換後の微分と積分

[練習問題]

I. 次の関数のラプラス逆変換を求めよ。1.

s

(s + 1)22.

s2

(s − 2)33.

4s

(s + 1)(s − 1)2

II. 次の常微分方程式の初期値問題を解け.y′′ + 2y′ + y = e−t y(0) = 1, y′(0) = 3

[解答]

I.1.s

(s + 1)2=

s + 1

(s + 1)2− 1

(s + 1)2

なので

なので

なので

III.ラプラス変換 – p.15/26

2.ラプラス変換の辞書—2.2ラプラス変換後の微分と積分

[練習問題]

I. 次の関数のラプラス逆変換を求めよ。1.

s

(s + 1)22.

s2

(s − 2)33.

4s

(s + 1)(s − 1)2

II. 次の常微分方程式の初期値問題を解け.y′′ + 2y′ + y = e−t y(0) = 1, y′(0) = 3

[解答]

I.1.s

(s + 1)2=

s + 1

(s + 1)2− 1

(s + 1)2=

1

(s + 1)− 1

(s + 1)2

なので

なので

なので

III.ラプラス変換 – p.15/26

2.ラプラス変換の辞書—2.2ラプラス変換後の微分と積分

[練習問題]

I. 次の関数のラプラス逆変換を求めよ。1.

s

(s + 1)22.

s2

(s − 2)33.

4s

(s + 1)(s − 1)2

II. 次の常微分方程式の初期値問題を解け.y′′ + 2y′ + y = e−t y(0) = 1, y′(0) = 3

[解答]

I.1.s

(s + 1)2=

s + 1

(s + 1)2− 1

(s + 1)2=

1

(s + 1)− 1

(s + 1)2=

1

(s + 1)−

− d

ds

„

1

(s + 1)

«ff

なので

なので

なので

III.ラプラス変換 – p.15/26

2.ラプラス変換の辞書—2.2ラプラス変換後の微分と積分

[練習問題]

I. 次の関数のラプラス逆変換を求めよ。1.

s

(s + 1)22.

s2

(s − 2)33.

4s

(s + 1)(s − 1)2

II. 次の常微分方程式の初期値問題を解け.y′′ + 2y′ + y = e−t y(0) = 1, y′(0) = 3

[解答]

I.1.s

(s + 1)2=

s + 1

(s + 1)2− 1

(s + 1)2=

1

(s + 1)− 1

(s + 1)2=

1

(s + 1)−

− d

ds

„

1

(s + 1)

«ff

なので L−1

„

s

(s + 1)2

«

= e−t − te−t

なので

なので

III.ラプラス変換 – p.15/26

2.ラプラス変換の辞書—2.2ラプラス変換後の微分と積分

[練習問題]

I. 次の関数のラプラス逆変換を求めよ。1.

s

(s + 1)22.

s2

(s − 2)33.

4s

(s + 1)(s − 1)2

II. 次の常微分方程式の初期値問題を解け.y′′ + 2y′ + y = e−t y(0) = 1, y′(0) = 3

[解答]

I.1.s

(s + 1)2=

s + 1

(s + 1)2− 1

(s + 1)2=

1

(s + 1)− 1

(s + 1)2=

1

(s + 1)−

− d

ds

„

1

(s + 1)

«ff

なので L−1

„

s

(s + 1)2

«

= e−t − te−t

2.s2

(s−2)3=

1

(s−2)+

4

(s−2)2+

4

(s−2)3

なので

なので

III.ラプラス変換 – p.15/26

2.ラプラス変換の辞書—2.2ラプラス変換後の微分と積分

[練習問題]

I. 次の関数のラプラス逆変換を求めよ。1.

s

(s + 1)22.

s2

(s − 2)33.

4s

(s + 1)(s − 1)2

II. 次の常微分方程式の初期値問題を解け.y′′ + 2y′ + y = e−t y(0) = 1, y′(0) = 3

[解答]

I.1.s

(s + 1)2=

s + 1

(s + 1)2− 1

(s + 1)2=

1

(s + 1)− 1

(s + 1)2=

1

(s + 1)−

− d

ds

„

1

(s + 1)

«ff

なので L−1

„

s

(s + 1)2

«

= e−t − te−t

2.s2

(s−2)3=

1

(s−2)+

4

(s−2)2+

4

(s−2)3=

1

(s−2)+

− d

ds

„

4

(s−2)

«ff

+

(−1)2d2

ds2

„

2

(s−2)

«ff

なので

なので

III.ラプラス変換 – p.15/26

2.ラプラス変換の辞書—2.2ラプラス変換後の微分と積分

[練習問題]

I. 次の関数のラプラス逆変換を求めよ。1.

s

(s + 1)22.

s2

(s − 2)33.

4s

(s + 1)(s − 1)2

II. 次の常微分方程式の初期値問題を解け.y′′ + 2y′ + y = e−t y(0) = 1, y′(0) = 3

[解答]

I.1.s

(s + 1)2=

s + 1

(s + 1)2− 1

(s + 1)2=

1

(s + 1)− 1

(s + 1)2=

1

(s + 1)−

− d

ds

„

1

(s + 1)

«ff

なので L−1

„

s

(s + 1)2

«

= e−t − te−t

2.s2

(s−2)3=

1

(s−2)+

4

(s−2)2+

4

(s−2)3=

1

(s−2)+

− d

ds

„

4

(s−2)

«ff

+

(−1)2d2

ds2

„

2

(s−2)

«ff

なので L−1

„

s2

(s − 2)3

«

= (1 + 4t + 2t2)e2t

なので

III.ラプラス変換 – p.15/26

2.ラプラス変換の辞書—2.2ラプラス変換後の微分と積分

[練習問題]

I. 次の関数のラプラス逆変換を求めよ。1.

s

(s + 1)22.

s2

(s − 2)33.

4s

(s + 1)(s − 1)2

II. 次の常微分方程式の初期値問題を解け.y′′ + 2y′ + y = e−t y(0) = 1, y′(0) = 3

[解答]

I.1.s

(s + 1)2=

s + 1

(s + 1)2− 1

(s + 1)2=

1

(s + 1)− 1

(s + 1)2=

1

(s + 1)−

− d

ds

„

1

(s + 1)

«ff

なので L−1

„

s

(s + 1)2

«

= e−t − te−t

2.s2

(s−2)3=

1

(s−2)+

4

(s−2)2+

4

(s−2)3=

1

(s−2)+

− d

ds

„

4

(s−2)

«ff

+

(−1)2d2

ds2

„

2

(s−2)

«ff

なので L−1

„

s2

(s − 2)3

«

= (1 + 4t + 2t2)e2t

3.4s

(s+1)(s−1)2=− 1

s+1+

1

s−1+

2

(s−1)2

なので

III.ラプラス変換 – p.15/26

2.ラプラス変換の辞書—2.2ラプラス変換後の微分と積分

[練習問題]

I. 次の関数のラプラス逆変換を求めよ。1.

s

(s + 1)22.

s2

(s − 2)33.

4s

(s + 1)(s − 1)2

II. 次の常微分方程式の初期値問題を解け.y′′ + 2y′ + y = e−t y(0) = 1, y′(0) = 3

[解答]

I.1.s

(s + 1)2=

s + 1

(s + 1)2− 1

(s + 1)2=

1

(s + 1)− 1

(s + 1)2=

1

(s + 1)−

− d

ds

„

1

(s + 1)

«ff

なので L−1

„

s

(s + 1)2

«

= e−t − te−t

2.s2

(s−2)3=

1

(s−2)+

4

(s−2)2+

4

(s−2)3=

1

(s−2)+

− d

ds

„

4

(s−2)

«ff

+

(−1)2d2

ds2

„

2

(s−2)

«ff

なので L−1

„

s2

(s − 2)3

«

= (1 + 4t + 2t2)e2t

3.4s

(s+1)(s−1)2=− 1

s+1+

1

s−1+

2

(s−1)2=− 1

s+1+

1

s−1+

− d

ds

„

2

(s−1)

«ff

なので

III.ラプラス変換 – p.15/26

2.ラプラス変換の辞書—2.2ラプラス変換後の微分と積分

[練習問題]

I. 次の関数のラプラス逆変換を求めよ。1.

s

(s + 1)22.

s2

(s − 2)33.

4s

(s + 1)(s − 1)2

II. 次の常微分方程式の初期値問題を解け.y′′ + 2y′ + y = e−t y(0) = 1, y′(0) = 3

[解答]

I.1.s

(s + 1)2=

s + 1

(s + 1)2− 1

(s + 1)2=

1

(s + 1)− 1

(s + 1)2=

1

(s + 1)−

− d

ds

„

1

(s + 1)

«ff

なので L−1

„

s

(s + 1)2

«

= e−t − te−t

2.s2

(s−2)3=

1

(s−2)+

4

(s−2)2+

4

(s−2)3=

1

(s−2)+

− d

ds

„

4

(s−2)

«ff

+

(−1)2d2

ds2

„

2

(s−2)

«ff

なので L−1

„

s2

(s − 2)3

«

= (1 + 4t + 2t2)e2t

3.4s

(s+1)(s−1)2=− 1

s+1+

1

s−1+

2

(s−1)2=− 1

s+1+

1

s−1+

− d

ds

„

2

(s−1)

«ff

なので L−1

„

4s

(s + 1)(s − 1)2

«

= −e−t + (1 + 2t)et

III.ラプラス変換 – p.15/26

2.ラプラス変換の辞書—2.2ラプラス変換後の微分と積分

[練習問題]

I. 次の関数のラプラス逆変換を求めよ。1.

s

(s + 1)22.

s2

(s − 2)33.

4s

(s + 1)(s − 1)2

II. 次の常微分方程式の初期値問題を解け.y′′ + 2y′ + y = e−t y(0) = 1, y′(0) = 3

[解答]

I.1.s

(s + 1)2=

s + 1

(s + 1)2− 1

(s + 1)2=

1

(s + 1)− 1

(s + 1)2=

1

(s + 1)−

− d

ds

„

1

(s + 1)

«ff

なので L−1

„

s

(s + 1)2

«

= e−t − te−t

2.s2

(s−2)3=

1

(s−2)+

4

(s−2)2+

4

(s−2)3=

1

(s−2)+

− d

ds

„

4

(s−2)

«ff

+

(−1)2d2

ds2

„

2

(s−2)

«ff

なので L−1

„

s2

(s − 2)3

«

= (1 + 4t + 2t2)e2t

3.4s

(s+1)(s−1)2=− 1

s+1+

1

s−1+

2

(s−1)2=− 1

s+1+

1

s−1+

− d

ds

„

2

(s−1)

«ff

なので L−1

„

4s

(s + 1)(s − 1)2

«

= −e−t + (1 + 2t)et

II. y =

„

1

2t2 + 4t + 1

«

e−t

III.ラプラス変換 – p.15/26

2.ラプラス変換の辞書—2.3t-軸上の移動

III.ラプラス変換 – p.16/26

2.ラプラス変換の辞書—2.3t-軸上の移動

[定理] (t-軸上の移動)

t ≥ 0で定義された関数 y(t)と a > 0に対して

y(t) =

8

>

>

<

>

>

:

0 (0 ≤ t < a)

12y(0) (t = a)

y(t − a) (a < t)

と定義すると L(y) = e−asL(y)

ヘビサイド関数 とすると このとき

但し とする例

III.ラプラス変換 – p.17/26

2.ラプラス変換の辞書—2.3t-軸上の移動

[定理] (t-軸上の移動)

t ≥ 0で定義された関数 y(t)と a > 0に対して

y(t) =

8

>

>

<

>

>

:

0 (0 ≤ t < a)

12y(0) (t = a)

y(t − a) (a < t)

と定義すると L(y) = e−asL(y)

··· Ha(t) =

8

>

>

<

>

>

:

0 (0 ≤ t < a)

12

(t = a)

1 (a < t)

(ヘビサイド関数)とすると y(t) = y(t−a)Ha(t)

このとき

但し とする例

III.ラプラス変換 – p.17/26

2.ラプラス変換の辞書—2.3t-軸上の移動

[定理] (t-軸上の移動)

t ≥ 0で定義された関数 y(t)と a > 0に対して

y(t) =

8

>

>

<

>

>

:

0 (0 ≤ t < a)

12y(0) (t = a)

y(t − a) (a < t)

と定義すると L(y) = e−asL(y)

··· Ha(t) =

8

>

>

<

>

>

:

0 (0 ≤ t < a)

12

(t = a)

1 (a < t)

(ヘビサイド関数)とすると y(t) = y(t− a)Ha(t) このとき

L(y) = L(y(t − a)Ha(t)) =

Z

∞

0e−st (y(t − a)Ha(t)) dt

但し とする例

III.ラプラス変換 – p.17/26

2.ラプラス変換の辞書—2.3t-軸上の移動

[定理] (t-軸上の移動)

t ≥ 0で定義された関数 y(t)と a > 0に対して

y(t) =

8

>

>

<

>

>

:

0 (0 ≤ t < a)

12y(0) (t = a)

y(t − a) (a < t)

と定義すると L(y) = e−asL(y)

··· Ha(t) =

8

>

>

<

>

>

:

0 (0 ≤ t < a)

12

(t = a)

1 (a < t)

(ヘビサイド関数)とすると y(t) = y(t− a)Ha(t) このとき

L(y) = L(y(t − a)Ha(t)) =

Z

∞

0e−st (y(t − a)Ha(t)) dt =

Z

∞

a

e−sty(t − a)dt

但し とする例

III.ラプラス変換 – p.17/26

2.ラプラス変換の辞書—2.3t-軸上の移動

[定理] (t-軸上の移動)

t ≥ 0で定義された関数 y(t)と a > 0に対して

y(t) =

8

>

>

<

>

>

:

0 (0 ≤ t < a)

12y(0) (t = a)

y(t − a) (a < t)

と定義すると L(y) = e−asL(y)

··· Ha(t) =

8

>

>

<

>

>

:

0 (0 ≤ t < a)

12

(t = a)

1 (a < t)

(ヘビサイド関数)とすると y(t) = y(t− a)Ha(t) このとき

L(y) = L(y(t − a)Ha(t)) =

Z

∞

0e−st (y(t − a)Ha(t)) dt =

Z

∞

a

e−sty(t − a)dt

=

Z

∞

0e−s(τ+a)y(τ)dτ

但し t−a=τ とする

例

III.ラプラス変換 – p.17/26

2.ラプラス変換の辞書—2.3t-軸上の移動

[定理] (t-軸上の移動)

t ≥ 0で定義された関数 y(t)と a > 0に対して

y(t) =

8

>

>

<

>

>

:

0 (0 ≤ t < a)

12y(0) (t = a)

y(t − a) (a < t)

と定義すると L(y) = e−asL(y)

··· Ha(t) =

8

>

>

<

>

>

:

0 (0 ≤ t < a)

12

(t = a)

1 (a < t)

(ヘビサイド関数)とすると y(t) = y(t− a)Ha(t) このとき

L(y) = L(y(t − a)Ha(t)) =

Z

∞

0e−st (y(t − a)Ha(t)) dt =

Z

∞

a

e−sty(t − a)dt

=

Z

∞

0e−s(τ+a)y(τ)dτ

但し t−a=τ とする

= e−as

Z

∞

0e−sτ y(τ)dτ

例

III.ラプラス変換 – p.17/26

2.ラプラス変換の辞書—2.3t-軸上の移動

[定理] (t-軸上の移動)

t ≥ 0で定義された関数 y(t)と a > 0に対して

y(t) =

8

>

>

<

>

>

:

0 (0 ≤ t < a)

12y(0) (t = a)

y(t − a) (a < t)

と定義すると L(y) = e−asL(y)

··· Ha(t) =

8

>

>

<

>

>

:

0 (0 ≤ t < a)

12

(t = a)

1 (a < t)

(ヘビサイド関数)とすると y(t) = y(t− a)Ha(t) このとき

L(y) = L(y(t − a)Ha(t)) =

Z

∞

0e−st (y(t − a)Ha(t)) dt =

Z

∞

a

e−sty(t − a)dt

=

Z

∞

0e−s(τ+a)y(τ)dτ

但し t−a=τ とする

= e−as

Z

∞

0e−sτ y(τ)dτ = e−asL(y)

例

III.ラプラス変換 – p.17/26

2.ラプラス変換の辞書—2.3t-軸上の移動

[定理] (t-軸上の移動)

t ≥ 0で定義された関数 y(t)と a > 0に対して

y(t) =

8

>

>

<

>

>

:

0 (0 ≤ t < a)

12y(0) (t = a)

y(t − a) (a < t)

と定義すると L(y) = e−asL(y)

··· Ha(t) =

8

>

>

<

>

>

:

0 (0 ≤ t < a)

12

(t = a)

1 (a < t)

(ヘビサイド関数)とすると y(t) = y(t− a)Ha(t) このとき

L(y) = L(y(t − a)Ha(t)) =

Z

∞

0e−st (y(t − a)Ha(t)) dt =

Z

∞

a

e−sty(t − a)dt

=

Z

∞

0e−s(τ+a)y(τ)dτ

但し t−a=τ とする

= e−as

Z

∞

0e−sτ y(τ)dτ = e−asL(y)

[例]

• L(Ha(t)) =e−as

sL((t − a)Ha(t)) =

e−as

s2L„

(t − a)2

2Ha(t)

«

=e−as

s3

III.ラプラス変換 – p.17/26

2.ラプラス変換の辞書—2.3t-軸上の移動

[例題] 次の常微分方程式の初期値問題を解け.

y′′ + 3y′ + 2y =1

ε(H1(t) − H1+ε(t)) (ε > 0) y(0) = 0, y′(0) = 0

解答 方程式をラプラス変換して初期値を代入すると

III.ラプラス変換 – p.18/26

2.ラプラス変換の辞書—2.3t-軸上の移動

[例題] 次の常微分方程式の初期値問題を解け.

y′′ + 3y′ + 2y =1

ε(H1(t) − H1+ε(t)) (ε > 0) y(0) = 0, y′(0) = 0

[解答] 方程式をラプラス変換して初期値を代入すると

s2Y + 3sY + 2Y =1

ε

e−s − e−(1+ε)s

s

III.ラプラス変換 – p.18/26

2.ラプラス変換の辞書—2.3t-軸上の移動

[例題] 次の常微分方程式の初期値問題を解け.

y′′ + 3y′ + 2y =1

ε(H1(t) − H1+ε(t)) (ε > 0) y(0) = 0, y′(0) = 0

[解答] 方程式をラプラス変換して初期値を代入すると

s2Y + 3sY + 2Y =1

ε

e−s − e−(1+ε)s

s

Y =1

ε

e−s − e−(1+ε)s

s(s + 1)(s + 2)

III.ラプラス変換 – p.18/26

2.ラプラス変換の辞書—2.3t-軸上の移動

[例題] 次の常微分方程式の初期値問題を解け.

y′′ + 3y′ + 2y =1

ε(H1(t) − H1+ε(t)) (ε > 0) y(0) = 0, y′(0) = 0

[解答] 方程式をラプラス変換して初期値を代入すると

s2Y + 3sY + 2Y =1

ε

e−s − e−(1+ε)s

s

Y =1

ε

e−s − e−(1+ε)s

s(s + 1)(s + 2)

=1

ε

„

1

2

1

s− 1

s + 1+

1

2

1

s + 2

«

“

e−s − e−(1+ε)s”

III.ラプラス変換 – p.18/26

2.ラプラス変換の辞書—2.3t-軸上の移動

[例題] 次の常微分方程式の初期値問題を解け.

y′′ + 3y′ + 2y =1

ε(H1(t) − H1+ε(t)) (ε > 0) y(0) = 0, y′(0) = 0

[解答] 方程式をラプラス変換して初期値を代入すると

s2Y + 3sY + 2Y =1

ε

e−s − e−(1+ε)s

s

Y =1

ε

e−s − e−(1+ε)s

s(s + 1)(s + 2)

=1

ε

„

1

2

1

s− 1

s + 1+

1

2

1

s + 2

«

“

e−s − e−(1+ε)s”

··· y =1

ε

„

1

2− e−(t−1) +

1

2e−2(t−1)

«

H1(t)

−1

ε

„

1

2− e−(t−(1+ε)) +

1

2e−2(t−(1+ε))

«

H1+ε(t)

III.ラプラス変換 – p.18/26

2.ラプラス変換の辞書—2.3t-軸上の移動

[例題] 次の常微分方程式の初期値問題を解け.

y′′ + 3y′ + 2y =1

ε(H1(t) − H1+ε(t)) (ε > 0) y(0) = 0, y′(0) = 0

[解答] 方程式をラプラス変換して初期値を代入すると

s2Y + 3sY + 2Y =1

ε

e−s − e−(1+ε)s

s

Y =1

ε

e−s − e−(1+ε)s

s(s + 1)(s + 2)

=1

ε

„

1

2

1

s− 1

s + 1+

1

2

1

s + 2

«

“

e−s − e−(1+ε)s”

··· y =1

ε

„

1

2− e−(t−1) +

1

2e−2(t−1)

«

H1(t)

−1

ε

„

1

2− e−(t−(1+ε)) +

1

2e−2(t−(1+ε))

«

H1+ε(t)

=

8

>

>

<

>

>

:

0 (0 ≤ t < 1)

1ε

`

12− e−(t−1) + 1

2e−2(t−1)

´

(1 ≤ t < 1 + ε)

1ε

˘

−e−(t−1) + e−(t−(1+ε))¯

+ 12

1ε

˘

e−2(t−1) − e−2(t−(1+ε))¯

(1 + ε ≤ t)

III.ラプラス変換 – p.18/26

2.ラプラス変換の辞書—2.3t-軸上の移動

[練習問題]次の常微分方程式の初期値問題を解け.y′′ + 2y = 1 − H1(t) y(0) = 0, y′(0) = 0

解答 方程式をラプラス変換して初期値を代入すると

III.ラプラス変換 – p.19/26

2.ラプラス変換の辞書—2.3t-軸上の移動

[練習問題]次の常微分方程式の初期値問題を解け.y′′ + 2y = 1 − H1(t) y(0) = 0, y′(0) = 0

[解答] 方程式をラプラス変換して初期値を代入すると

s2Y + 2Y =1

s− e−s

s

III.ラプラス変換 – p.19/26

2.ラプラス変換の辞書—2.3t-軸上の移動

[練習問題]次の常微分方程式の初期値問題を解け.y′′ + 2y = 1 − H1(t) y(0) = 0, y′(0) = 0

[解答] 方程式をラプラス変換して初期値を代入すると

s2Y + 2Y =1

s− e−s

s

Y =1

s(s2 + 2)− e−s

s(s2 + 2)

III.ラプラス変換 – p.19/26

2.ラプラス変換の辞書—2.3t-軸上の移動

[練習問題]次の常微分方程式の初期値問題を解け.y′′ + 2y = 1 − H1(t) y(0) = 0, y′(0) = 0

[解答] 方程式をラプラス変換して初期値を代入すると

s2Y + 2Y =1

s− e−s

s

Y =1

s(s2 + 2)− e−s

s(s2 + 2)

=1

2

„

1

s− s

s2 + 2

«

`

1 − e−s´

III.ラプラス変換 – p.19/26

2.ラプラス変換の辞書—2.3t-軸上の移動

[練習問題]次の常微分方程式の初期値問題を解け.y′′ + 2y = 1 − H1(t) y(0) = 0, y′(0) = 0

[解答] 方程式をラプラス変換して初期値を代入すると

s2Y + 2Y =1

s− e−s

s

Y =1

s(s2 + 2)− e−s

s(s2 + 2)

=1

2

„

1

s− s

s2 + 2

«

`

1 − e−s´

··· y =1

2

“

1 − cos√

2t”

− 1

2

“

1 − cos√

2(t − 1)”

H1(t)

III.ラプラス変換 – p.19/26

2.ラプラス変換の辞書—2.3t-軸上の移動

[練習問題]次の常微分方程式の初期値問題を解け.y′′ + 2y = 1 − H1(t) y(0) = 0, y′(0) = 0

[解答] 方程式をラプラス変換して初期値を代入すると

s2Y + 2Y =1

s− e−s

s

Y =1

s(s2 + 2)− e−s

s(s2 + 2)

=1

2

„

1

s− s

s2 + 2

«

`

1 − e−s´

··· y =1

2

“

1 − cos√

2t”

− 1

2

“

1 − cos√

2(t − 1)”

H1(t)

=

8

<

:

12

“

1 − cos√

2t”

(0 ≤ t < 1)

12

“

cos√

2(t − 1) − cos√

2t”

(1 ≤ t)

III.ラプラス変換 – p.19/26

2.ラプラス変換の辞書—2.4デルタ関数

III.ラプラス変換 – p.20/26

2.ラプラス変換の辞書—2.4デルタ関数

[定義](デルタ関数)

δa(t) = limε→+0

Ha−ε(t) − Ha+ε(t)

2εをデルタ関数とよぶ.

性質

定理

III.ラプラス変換 – p.21/26

2.ラプラス変換の辞書—2.4デルタ関数

[定義](デルタ関数)

δa(t) = limε→+0

Ha−ε(t) − Ha+ε(t)

2εをデルタ関数とよぶ.

[性質]

δa(t) =

8

<

:

0 t 6= a

+∞ t = a ,

Z

∞

0δa(t)dt = 1

定理

III.ラプラス変換 – p.21/26

2.ラプラス変換の辞書—2.4デルタ関数

[定義](デルタ関数)

δa(t) = limε→+0

Ha−ε(t) − Ha+ε(t)

2εをデルタ関数とよぶ.

[性質]

δa(t) =

8

<

:

0 t 6= a

+∞ t = a ,

Z

∞

0δa(t)dt = 1

[定理]

L(δa) = e−as

III.ラプラス変換 – p.21/26

2.ラプラス変換の辞書—2.4デルタ関数

[定義](デルタ関数)

δa(t) = limε→+0

Ha−ε(t) − Ha+ε(t)

2εをデルタ関数とよぶ.

[性質]

δa(t) =

8

<

:

0 t 6= a

+∞ t = a ,

Z

∞

0δa(t)dt = 1

[定理]

L(δa) = e−as

··· L(δa(t)) = L„

limε→+0

Ha−ε(t) − Ha+ε(t)

2ε

«

III.ラプラス変換 – p.21/26

2.ラプラス変換の辞書—2.4デルタ関数

[定義](デルタ関数)

δa(t) = limε→+0

Ha−ε(t) − Ha+ε(t)

2εをデルタ関数とよぶ.

[性質]

δa(t) =

8

<

:

0 t 6= a

+∞ t = a ,

Z

∞

0δa(t)dt = 1

[定理]

L(δa) = e−as

··· L(δa(t)) = L„

limε→+0

Ha−ε(t) − Ha+ε(t)

2ε

«

= limε→+0

L(Ha−ε(t)) −L(Ha+ε(t))

2ε

III.ラプラス変換 – p.21/26

2.ラプラス変換の辞書—2.4デルタ関数

[定義](デルタ関数)

δa(t) = limε→+0

Ha−ε(t) − Ha+ε(t)

2εをデルタ関数とよぶ.

[性質]

δa(t) =

8

<

:

0 t 6= a

+∞ t = a ,

Z

∞

0δa(t)dt = 1

[定理]

L(δa) = e−as

··· L(δa(t)) = L„

limε→+0

Ha−ε(t) − Ha+ε(t)

2ε

«

= limε→+0

L(Ha−ε(t)) −L(Ha+ε(t))

2ε

= limε→+0

e−(a−ε)s

s− e−(a+ε)s

s

2ε

III.ラプラス変換 – p.21/26

2.ラプラス変換の辞書—2.4デルタ関数

[定義](デルタ関数)

δa(t) = limε→+0

Ha−ε(t) − Ha+ε(t)

2εをデルタ関数とよぶ.

[性質]

δa(t) =

8

<

:

0 t 6= a

+∞ t = a ,

Z

∞

0δa(t)dt = 1

[定理]

L(δa) = e−as

··· L(δa(t)) = L„

limε→+0

Ha−ε(t) − Ha+ε(t)

2ε

«

= limε→+0

L(Ha−ε(t)) −L(Ha+ε(t))

2ε

= limε→+0

e−(a−ε)s

s− e−(a+ε)s

s

2ε

=1

2lim

εs→+0

− e−(as−εs) − e−as

−εs− e−(as+εs) − e−as

εs

!

III.ラプラス変換 – p.21/26

2.ラプラス変換の辞書—2.4デルタ関数

[定義](デルタ関数)

δa(t) = limε→+0

Ha−ε(t) − Ha+ε(t)

2εをデルタ関数とよぶ.

[性質]

δa(t) =

8

<

:

0 t 6= a

+∞ t = a ,

Z

∞

0δa(t)dt = 1

[定理]

L(δa) = e−as

··· L(δa(t)) = L„

limε→+0

Ha−ε(t) − Ha+ε(t)

2ε

«

= limε→+0

L(Ha−ε(t)) −L(Ha+ε(t))

2ε

= limε→+0

e−(a−ε)s

s− e−(a+ε)s

s

2ε

=1

2lim

εs→+0

− e−(as−εs) − e−as

−εs− e−(as+εs) − e−as

εs

!

=1

2

„

− d

d(as){e−as} − d

d(as){e−as}

«

III.ラプラス変換 – p.21/26

2.ラプラス変換の辞書—2.4デルタ関数

[定義](デルタ関数)

δa(t) = limε→+0

Ha−ε(t) − Ha+ε(t)

2εをデルタ関数とよぶ.

[性質]

δa(t) =

8

<

:

0 t 6= a

+∞ t = a ,

Z

∞

0δa(t)dt = 1

[定理]

L(δa) = e−as

··· L(δa(t)) = L„

limε→+0

Ha−ε(t) − Ha+ε(t)

2ε

«

= limε→+0

L(Ha−ε(t)) −L(Ha+ε(t))

2ε

= limε→+0

e−(a−ε)s

s− e−(a+ε)s

s

2ε

=1

2lim

εs→+0

− e−(as−εs) − e−as

−εs− e−(as+εs) − e−as

εs

!

=1

2

„

− d

d(as){e−as} − d

d(as){e−as}

«

= e−as

III.ラプラス変換 – p.21/26

2.ラプラス変換の辞書—2.4デルタ関数

[例題] y′′ + 3y′ + 2y = δ1 y(0) = 0, y′(0) = 0

解答 方程式をラプラス変換すると

練習問題解答 方程式をラプラス変換すると

III.ラプラス変換 – p.22/26

2.ラプラス変換の辞書—2.4デルタ関数

[例題] y′′ + 3y′ + 2y = δ1 y(0) = 0, y′(0) = 0

[解答]方程式をラプラス変換するとs2Y + 3sY + 2Y = e−s

練習問題解答 方程式をラプラス変換すると

III.ラプラス変換 – p.22/26

2.ラプラス変換の辞書—2.4デルタ関数

[例題] y′′ + 3y′ + 2y = δ1 y(0) = 0, y′(0) = 0

[解答]方程式をラプラス変換するとs2Y + 3sY + 2Y = e−s

Y =e−s

(s + 2)(s + 1)

練習問題解答 方程式をラプラス変換すると

III.ラプラス変換 – p.22/26

2.ラプラス変換の辞書—2.4デルタ関数

[例題] y′′ + 3y′ + 2y = δ1 y(0) = 0, y′(0) = 0

[解答]方程式をラプラス変換するとs2Y + 3sY + 2Y = e−s

Y =e−s

(s + 2)(s + 1)

=e−s

s + 1− e−s

s + 2

練習問題解答 方程式をラプラス変換すると

III.ラプラス変換 – p.22/26

2.ラプラス変換の辞書—2.4デルタ関数

[例題] y′′ + 3y′ + 2y = δ1 y(0) = 0, y′(0) = 0

[解答]方程式をラプラス変換するとs2Y + 3sY + 2Y = e−s

Y =e−s

(s + 2)(s + 1)

=e−s

s + 1− e−s

s + 2

··· y(t) =

8

<

:

0 (0 ≤ t < 1)

e−(t−1) − e−2(t−1) (1 ≤ t)

練習問題解答 方程式をラプラス変換すると

III.ラプラス変換 – p.22/26

2.ラプラス変換の辞書—2.4デルタ関数

[例題] y′′ + 3y′ + 2y = δ1 y(0) = 0, y′(0) = 0

[解答]方程式をラプラス変換するとs2Y + 3sY + 2Y = e−s

Y =e−s

(s + 2)(s + 1)

=e−s

s + 1− e−s

s + 2

··· y(t) =

8

<

:

0 (0 ≤ t < 1)

e−(t−1) − e−2(t−1) (1 ≤ t)

[練習問題] y′′ + 16y = 4δπ y(0) = 2, y′(0) = 0

解答 方程式をラプラス変換すると

III.ラプラス変換 – p.22/26

2.ラプラス変換の辞書—2.4デルタ関数

[例題] y′′ + 3y′ + 2y = δ1 y(0) = 0, y′(0) = 0

[解答]方程式をラプラス変換するとs2Y + 3sY + 2Y = e−s

Y =e−s

(s + 2)(s + 1)

=e−s

s + 1− e−s

s + 2

··· y(t) =

8

<

:

0 (0 ≤ t < 1)

e−(t−1) − e−2(t−1) (1 ≤ t)

[練習問題] y′′ + 16y = 4δπ y(0) = 2, y′(0) = 0

[解答] 方程式をラプラス変換するとs2Y − 2s + 16Y = 4e−πs

III.ラプラス変換 – p.22/26

2.ラプラス変換の辞書—2.4デルタ関数

[例題] y′′ + 3y′ + 2y = δ1 y(0) = 0, y′(0) = 0

[解答]方程式をラプラス変換するとs2Y + 3sY + 2Y = e−s

Y =e−s

(s + 2)(s + 1)

=e−s

s + 1− e−s

s + 2

··· y(t) =

8

<

:

0 (0 ≤ t < 1)

e−(t−1) − e−2(t−1) (1 ≤ t)

[練習問題] y′′ + 16y = 4δπ y(0) = 2, y′(0) = 0

[解答] 方程式をラプラス変換するとs2Y − 2s + 16Y = 4e−πs

··· Y = 2s

s2 + 16+ e−πs 4

s2 + 16

III.ラプラス変換 – p.22/26

2.ラプラス変換の辞書—2.4デルタ関数

[例題] y′′ + 3y′ + 2y = δ1 y(0) = 0, y′(0) = 0

[解答]方程式をラプラス変換するとs2Y + 3sY + 2Y = e−s

Y =e−s

(s + 2)(s + 1)

=e−s

s + 1− e−s

s + 2

··· y(t) =

8

<

:

0 (0 ≤ t < 1)

e−(t−1) − e−2(t−1) (1 ≤ t)

[練習問題] y′′ + 16y = 4δπ y(0) = 2, y′(0) = 0

[解答] 方程式をラプラス変換するとs2Y − 2s + 16Y = 4e−πs

··· Y = 2s

s2 + 16+ e−πs 4

s2 + 16

i .e. y(t) = 2 cos 4t + sin 4(t − π)Hπ(t)

III.ラプラス変換 – p.22/26

2.ラプラス変換の辞書—2.4デルタ関数

[例題] y′′ + 3y′ + 2y = δ1 y(0) = 0, y′(0) = 0

[解答]方程式をラプラス変換するとs2Y + 3sY + 2Y = e−s

Y =e−s

(s + 2)(s + 1)

=e−s

s + 1− e−s

s + 2

··· y(t) =

8

<

:

0 (0 ≤ t < 1)

e−(t−1) − e−2(t−1) (1 ≤ t)

[練習問題] y′′ + 16y = 4δπ y(0) = 2, y′(0) = 0

[解答] 方程式をラプラス変換するとs2Y − 2s + 16Y = 4e−πs

··· Y = 2s

s2 + 16+ e−πs 4

s2 + 16

i .e. y(t) = 2 cos 4t + sin 4(t − π)Hπ(t)

=

8

<

:

2 cos 4t (0 ≤ t < π)

2 cos 4t + sin 4t (π ≤ t)

III.ラプラス変換 – p.22/26

3.ラプラス変換の運用—周期関数

III.ラプラス変換 – p.23/26

3.ラプラス変換の運用—周期関数

[定理] y(t)が周期 p > 0の周期関数、即ち y(t + p) = y(t)が t ≥ 0で成り立つならば、y(t)のラプラス変換は以下の様に表される。

L(y) =1

1 − e−ps

Z p

0e−sty(t)dt

例

III.ラプラス変換 – p.24/26

3.ラプラス変換の運用—周期関数

[定理] y(t)が周期 p > 0の周期関数、即ち y(t + p) = y(t)が t ≥ 0で成り立つならば、y(t)のラプラス変換は以下の様に表される。

L(y) =1

1 − e−ps

Z p

0e−sty(t)dt

··· L(y) =

Z

∞

0e−sty(t)dt =

Z p

0e−sty(t)dt +

Z 2p

p

e−sty(t)dt + · · · +Z (n+1)p

np

e−sty(t)dt + · · ·

例

III.ラプラス変換 – p.24/26

3.ラプラス変換の運用—周期関数

[定理] y(t)が周期 p > 0の周期関数、即ち y(t + p) = y(t)が t ≥ 0で成り立つならば、y(t)のラプラス変換は以下の様に表される。

L(y) =1

1 − e−ps

Z p

0e−sty(t)dt

··· L(y) =

Z

∞

0e−sty(t)dt =

Z p

0e−sty(t)dt +

Z 2p

p

e−sty(t)dt + · · · +Z (n+1)p

np

e−sty(t)dt + · · ·

=

Z p

0e−sty(t)dt +

Z p

0e−s(t+p)y(t)dt + · · · +

Z p

0e−s(t+np)y(t)dt + · · ·

例

III.ラプラス変換 – p.24/26

3.ラプラス変換の運用—周期関数

[定理] y(t)が周期 p > 0の周期関数、即ち y(t + p) = y(t)が t ≥ 0で成り立つならば、y(t)のラプラス変換は以下の様に表される。

L(y) =1

1 − e−ps

Z p

0e−sty(t)dt

··· L(y) =

Z

∞

0e−sty(t)dt =

Z p

0e−sty(t)dt +

Z 2p

p

e−sty(t)dt + · · · +Z (n+1)p

np

e−sty(t)dt + · · ·

=

Z p

0e−sty(t)dt +

Z p

0e−s(t+p)y(t)dt + · · · +

Z p

0e−s(t+np)y(t)dt + · · ·

= (1+e−sp+e−2sp+ · · · +e−nsp+ · · · )Z p

0e−sty(t)dt

例

III.ラプラス変換 – p.24/26

3.ラプラス変換の運用—周期関数

[定理] y(t)が周期 p > 0の周期関数、即ち y(t + p) = y(t)が t ≥ 0で成り立つならば、y(t)のラプラス変換は以下の様に表される。

L(y) =1

1 − e−ps

Z p

0e−sty(t)dt

··· L(y) =

Z

∞

0e−sty(t)dt =

Z p

0e−sty(t)dt +

Z 2p

p

e−sty(t)dt + · · · +Z (n+1)p

np

e−sty(t)dt + · · ·

=

Z p

0e−sty(t)dt +

Z p

0e−s(t+p)y(t)dt + · · · +

Z p

0e−s(t+np)y(t)dt + · · ·

= (1+e−sp+e−2sp+ · · · +e−nsp+ · · · )Z p

0e−sty(t)dt

=1

1 − e−sp

Z p

0e−sty(t)dt

例

III.ラプラス変換 – p.24/26

3.ラプラス変換の運用—周期関数

[定理] y(t)が周期 p > 0の周期関数、即ち y(t + p) = y(t)が t ≥ 0で成り立つならば、y(t)のラプラス変換は以下の様に表される。

L(y) =1

1 − e−ps

Z p

0e−sty(t)dt

··· L(y) =

Z

∞

0e−sty(t)dt =

Z p

0e−sty(t)dt +

Z 2p

p

e−sty(t)dt + · · · +Z (n+1)p

np

e−sty(t)dt + · · ·

=

Z p

0e−sty(t)dt +

Z p

0e−s(t+p)y(t)dt + · · · +

Z p

0e−s(t+np)y(t)dt + · · ·

= (1+e−sp+e−2sp+ · · · +e−nsp+ · · · )Z p

0e−sty(t)dt

=1

1 − e−sp

Z p

0e−sty(t)dt

[例]

L(| sin ωt|) =1

1 − e−π

ωs

Z π

ω

0e−st sin ωtdt

III.ラプラス変換 – p.24/26

3.ラプラス変換の運用—周期関数

[定理] y(t)が周期 p > 0の周期関数、即ち y(t + p) = y(t)が t ≥ 0で成り立つならば、y(t)のラプラス変換は以下の様に表される。

L(y) =1

1 − e−ps

Z p

0e−sty(t)dt

··· L(y) =

Z

∞

0e−sty(t)dt =

Z p

0e−sty(t)dt +

Z 2p

p

e−sty(t)dt + · · · +Z (n+1)p

np

e−sty(t)dt + · · ·

=

Z p

0e−sty(t)dt +

Z p

0e−s(t+p)y(t)dt + · · · +

Z p

0e−s(t+np)y(t)dt + · · ·

= (1+e−sp+e−2sp+ · · · +e−nsp+ · · · )Z p

0e−sty(t)dt

=1

1 − e−sp

Z p

0e−sty(t)dt

[例]

L(| sin ωt|) =1

1 − e−π

ωs

Z π

ω

0e−st sin ωtdt

=1

1 − e−π

ωs

Im

Z π

ω

0e−steiωtdt =

ω(1 + e−π

ωs)

(s2 + ω2)(1 − e−π

ωs)

III.ラプラス変換 – p.24/26

3.ラプラス変換の運用—周期関数

以下では [定理] を使わず直接周期関数のラプラス変換を扱う例を示す。

例題次の常微分方程式を考察せよ

解答より方程式をラプラス変換すると、

III.ラプラス変換 – p.25/26

3.ラプラス変換の運用—周期関数

以下では [定理] を使わず直接周期関数のラプラス変換を扱う例を示す。[例題]

次の常微分方程式を考察せよ.

y′′ + 2y′ + 10y = r(t) r(t) =

8

>

>

<

>

>

:

1 2nπ < t < (2n + 1)π (n = 0, 1, 2, . . .)

0 t = nπ (n = 0, 1, 2, . . .)

−1 (2n − 1)π < t < 2nπ (n = 1, 2, 3, . . .)

解答より方程式をラプラス変換すると、

III.ラプラス変換 – p.25/26

3.ラプラス変換の運用—周期関数

以下では [定理] を使わず直接周期関数のラプラス変換を扱う例を示す。[例題]

次の常微分方程式を考察せよ.

y′′ + 2y′ + 10y = r(t) r(t) =

8

>

>

<

>

>

:

1 2nπ < t < (2n + 1)π (n = 0, 1, 2, . . .)

0 t = nπ (n = 0, 1, 2, . . .)

−1 (2n − 1)π < t < 2nπ (n = 1, 2, 3, . . .)[解答]

r(t) = H0(t) − 2Hπ(t) + 2H2π(t) − 2H3π(t) + · · ·より方程式をラプラス変換すると、

III.ラプラス変換 – p.25/26

3.ラプラス変換の運用—周期関数

以下では [定理] を使わず直接周期関数のラプラス変換を扱う例を示す。[例題]

次の常微分方程式を考察せよ.

y′′ + 2y′ + 10y = r(t) r(t) =

8

>

>

<

>

>

:

1 2nπ < t < (2n + 1)π (n = 0, 1, 2, . . .)

0 t = nπ (n = 0, 1, 2, . . .)

−1 (2n − 1)π < t < 2nπ (n = 1, 2, 3, . . .)[解答]

r(t) = H0(t) − 2Hπ(t) + 2H2π(t) − 2H3π(t) + · · ·より方程式をラプラス変換すると、s2Y − sy(0) − y′(0) + 2 (sY − y(0)) + 10Y =

1

s(1 − 2e−πs + 2e−2πs − 2e−3πs + · · · )

III.ラプラス変換 – p.25/26

3.ラプラス変換の運用—周期関数

以下では [定理] を使わず直接周期関数のラプラス変換を扱う例を示す。[例題]

次の常微分方程式を考察せよ.

y′′ + 2y′ + 10y = r(t) r(t) =

8

>

>

<

>

>

:

1 2nπ < t < (2n + 1)π (n = 0, 1, 2, . . .)

0 t = nπ (n = 0, 1, 2, . . .)

−1 (2n − 1)π < t < 2nπ (n = 1, 2, 3, . . .)[解答]

r(t) = H0(t) − 2Hπ(t) + 2H2π(t) − 2H3π(t) + · · ·より方程式をラプラス変換すると、s2Y − sy(0) − y′(0) + 2 (sY − y(0)) + 10Y =

1

s(1 − 2e−πs + 2e−2πs − 2e−3πs + · · · )

··· Y =(s + 2)y(0) + y′(0)

s2 + 2s + 10+

1

s(s2 + 2s + 10)(1 − 2e−πs + 2e−2πs − 2e−3πs + · · · )

III.ラプラス変換 – p.25/26

3.ラプラス変換の運用—周期関数

以下では [定理] を使わず直接周期関数のラプラス変換を扱う例を示す。[例題]

次の常微分方程式を考察せよ.

y′′ + 2y′ + 10y = r(t) r(t) =

8

>

>

<

>

>

:

1 2nπ < t < (2n + 1)π (n = 0, 1, 2, . . .)

0 t = nπ (n = 0, 1, 2, . . .)

−1 (2n − 1)π < t < 2nπ (n = 1, 2, 3, . . .)[解答]

r(t) = H0(t) − 2Hπ(t) + 2H2π(t) − 2H3π(t) + · · ·より方程式をラプラス変換すると、s2Y − sy(0) − y′(0) + 2 (sY − y(0)) + 10Y =

1

s(1 − 2e−πs + 2e−2πs − 2e−3πs + · · · )

··· Y =(s + 2)y(0) + y′(0)

s2 + 2s + 10+

1

s(s2 + 2s + 10)(1 − 2e−πs + 2e−2πs − 2e−3πs + · · · )

=(s+1)y(0)

(s+1)2+9+

y(0)+y′(0)

(s+1)2+9+

1

10

„

1

s− s + 1

(s+1)2+9− 1

3

3

(s+1)2+9

«

(1−2e−πs+ · · · )

III.ラプラス変換 – p.25/26

3.ラプラス変換の運用—周期関数

以下では [定理] を使わず直接周期関数のラプラス変換を扱う例を示す。[例題]

次の常微分方程式を考察せよ.

y′′ + 2y′ + 10y = r(t) r(t) =

8

>

>

<

>

>

:

1 2nπ < t < (2n + 1)π (n = 0, 1, 2, . . .)

0 t = nπ (n = 0, 1, 2, . . .)

−1 (2n − 1)π < t < 2nπ (n = 1, 2, 3, . . .)[解答]

r(t) = H0(t) − 2Hπ(t) + 2H2π(t) − 2H3π(t) + · · ·より方程式をラプラス変換すると、s2Y − sy(0) − y′(0) + 2 (sY − y(0)) + 10Y =

1

s(1 − 2e−πs + 2e−2πs − 2e−3πs + · · · )

··· Y =(s + 2)y(0) + y′(0)

s2 + 2s + 10+

1

s(s2 + 2s + 10)(1 − 2e−πs + 2e−2πs − 2e−3πs + · · · )

=(s+1)y(0)

(s+1)2+9+

y(0)+y′(0)

(s+1)2+9+

1

10

„

1

s− s + 1

(s+1)2+9− 1

3

3

(s+1)2+9

«

(1−2e−πs+ · · · )

··· y(t) = e−t“

y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)

3sin 3t

”

+1

10

n

(1 −e−t cos 3t− e−t

3sin 3t)

−2`

1−e−(t−π) cos 3(t−π)− e−(t−π)

3sin 3(t−π)

´

Hπ(t)

+2`

1−e−(t−2π) cos 3(t−2π)− e−(t−2π)

3sin 3(t−2π)

´

H2π(t)

−2`

1−e−(t−3π) cos 3(t−3π)− e−(t−3π)

3sin 3(t−3π)

´

H3π(t) + · · ·o

III.ラプラス変換 – p.25/26

3.ラプラス変換の運用—周期関数

= e−t“

y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)

3sin 3t

”

+1

10

n

(1+e−t cos 3t+e−t

3sin 3t) − 2(e−t cos 3t+

e−t

3sin 3t)

−2`

1+eπ(e−t cos 3t+e−t

3sin 3t)

´

Hπ(t)

−2`

−1+e2π(e−t cos 3t+e−t

3sin 3t)

´

H2π(t)

−2`

1+e3πe−t cos 3t+e−t

3sin 3t)

´

H3π(t) + · · ·o

III.ラプラス変換 – p.26/26

3.ラプラス変換の運用—周期関数

= e−t“

y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)

3sin 3t

”

+1

10

n

(1+e−t cos 3t+e−t

3sin 3t) − 2(e−t cos 3t+

e−t

3sin 3t)

−2`

1+eπ(e−t cos 3t+e−t

3sin 3t)

´

Hπ(t)

−2`

−1+e2π(e−t cos 3t+e−t

3sin 3t)

´

H2π(t)

−2`

1+e3πe−t cos 3t+e−t

3sin 3t)

´

H3π(t) + · · ·o

= e−t“

y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)

3sin 3t

”

+1

10

n

(1−2Hπ(t)+2H2π(t)− · · · )+(e−t cos 3t+e−t

3sin 3t)

−2(1+eπHπ(t)+e2πH2π(t)+e3πH3π(t) + · · · )(e−t cos 3t+e−t

3sin 3t)

´

o

III.ラプラス変換 – p.26/26

3.ラプラス変換の運用—周期関数

= e−t“

y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)

3sin 3t

”

+1

10

n

(1+e−t cos 3t+e−t

3sin 3t) − 2(e−t cos 3t+

e−t

3sin 3t)

−2`

1+eπ(e−t cos 3t+e−t

3sin 3t)

´

Hπ(t)

−2`

−1+e2π(e−t cos 3t+e−t

3sin 3t)

´

H2π(t)

−2`

1+e3πe−t cos 3t+e−t

3sin 3t)

´

H3π(t) + · · ·o

= e−t“

y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)

3sin 3t

”

+1

10

n

(1−2Hπ(t)+2H2π(t)− · · · )+(e−t cos 3t+e−t

3sin 3t)

−2(1+eπHπ(t)+e2πH2π(t)+e3πH3π(t) + · · · )(e−t cos 3t+e−t

3sin 3t)

´

o

= e−t“

y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)

3sin 3t

”

+1

10

n

(−1)[t

π]+(e−t cos 3t+

e−t

3sin 3t)

−21 − e([ t

π]+1)π

1 − eπ(e−t cos 3t+

e−t

3sin 3t)

´

o

III.ラプラス変換 – p.26/26

3.ラプラス変換の運用—周期関数

= e−t“

y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)

3sin 3t

”

+1

10

n

(1+e−t cos 3t+e−t

3sin 3t) − 2(e−t cos 3t+

e−t

3sin 3t)

−2`

1+eπ(e−t cos 3t+e−t

3sin 3t)

´

Hπ(t)

−2`

−1+e2π(e−t cos 3t+e−t

3sin 3t)

´

H2π(t)

−2`

1+e3πe−t cos 3t+e−t

3sin 3t)

´

H3π(t) + · · ·o

= e−t“

y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)

3sin 3t

”

+1

10

n

(1−2Hπ(t)+2H2π(t)− · · · )+(e−t cos 3t+e−t

3sin 3t)

−2(1+eπHπ(t)+e2πH2π(t)+e3πH3π(t) + · · · )(e−t cos 3t+e−t

3sin 3t)

´

o

= e−t“

y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)

3sin 3t

”

+1

10

n

(−1)[t

π]+(e−t cos 3t+

e−t

3sin 3t)

−21 − e([ t

π]+1)π

1 − eπ(e−t cos 3t+

e−t

3sin 3t)

´

o

−→ 1

10

n

(−1)[t

π]+

2e([ t

π]+1)π

1 − eπ(e−t cos 3t+

e−t

3sin 3t)

´

o

III.ラプラス変換 – p.26/26

3.ラプラス変換の運用—周期関数

= e−t“

y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)

3sin 3t

”

+1

10

n

(1+e−t cos 3t+e−t

3sin 3t) − 2(e−t cos 3t+

e−t

3sin 3t)

−2`

1+eπ(e−t cos 3t+e−t

3sin 3t)

´

Hπ(t)

−2`

−1+e2π(e−t cos 3t+e−t

3sin 3t)

´

H2π(t)

−2`

1+e3πe−t cos 3t+e−t

3sin 3t)

´

H3π(t) + · · ·o

= e−t“

y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)

3sin 3t

”

+1

10

n

(1−2Hπ(t)+2H2π(t)− · · · )+(e−t cos 3t+e−t

3sin 3t)

−2(1+eπHπ(t)+e2πH2π(t)+e3πH3π(t) + · · · )(e−t cos 3t+e−t

3sin 3t)

´

o

= e−t“

y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)

3sin 3t

”

+1

10

n

(−1)[t

π]+(e−t cos 3t+

e−t

3sin 3t)

−21 − e([ t

π]+1)π

1 − eπ(e−t cos 3t+

e−t

3sin 3t)

´

o

−→ 1

10

n

(−1)[t

π]+

2e([ t

π]+1)π

1 − eπ(e−t cos 3t+

e−t

3sin 3t)

´

o

III.ラプラス変換 – p.26/26

3.ラプラス変換の運用—周期関数

= e−t“

y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)

3sin 3t

”

+1

10

n

(1+e−t cos 3t+e−t

3sin 3t) − 2(e−t cos 3t+

e−t

3sin 3t)

−2`

1+eπ(e−t cos 3t+e−t

3sin 3t)

´

Hπ(t)

−2`

−1+e2π(e−t cos 3t+e−t

3sin 3t)

´

H2π(t)

−2`

1+e3πe−t cos 3t+e−t

3sin 3t)

´

H3π(t) + · · ·o

= e−t“

y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)

3sin 3t

”

+1

10

n

(1−2Hπ(t)+2H2π(t)− · · · )+(e−t cos 3t+e−t

3sin 3t)

−2(1+eπHπ(t)+e2πH2π(t)+e3πH3π(t) + · · · )(e−t cos 3t+e−t

3sin 3t)

´

o

= e−t“

y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)

3sin 3t

”

+1

10

n

(−1)[t

π]+(e−t cos 3t+

e−t

3sin 3t)

−21 − e([ t

π]+1)π

1 − eπ(e−t cos 3t+

e−t

3sin 3t)

´

o

−→ 1

10

n

(−1)[t

π]+

2e([ t

π]+1)π

1 − eπ(e−t cos 3t+

e−t

3sin 3t)

´

o

III.ラプラス変換 – p.26/26

3.ラプラス変換の運用—周期関数

= e−t“

y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)

3sin 3t

”

+1

10

n

(1+e−t cos 3t+e−t

3sin 3t) − 2(e−t cos 3t+

e−t

3sin 3t)

−2`

1+eπ(e−t cos 3t+e−t

3sin 3t)

´

Hπ(t)

−2`

−1+e2π(e−t cos 3t+e−t

3sin 3t)

´

H2π(t)

−2`

1+e3πe−t cos 3t+e−t

3sin 3t)

´

H3π(t) + · · ·o

= e−t“

y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)

3sin 3t

”

+1

10

n

(1−2Hπ(t)+2H2π(t)− · · · )+(e−t cos 3t+e−t

3sin 3t)

−2(1+eπHπ(t)+e2πH2π(t)+e3πH3π(t) + · · · )(e−t cos 3t+e−t

3sin 3t)

´

o

= e−t“

y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)

3sin 3t

”

+1

10

n

(−1)[t

π]+(e−t cos 3t+

e−t

3sin 3t)

−21 − e([ t

π]+1)π

1 − eπ(e−t cos 3t+

e−t

3sin 3t)

´

o

−→ 1

10

n

(−1)[t

π]+

2e([ t

π]+1)π

1 − eπ(e−t cos 3t+

e−t

3sin 3t)

´

o

III.ラプラス変換 – p.26/26