III. Induktive Statistik

1. Schätztheorie 1.1. Grundbegriffe, Stichproben 1.2. Maximum-Likelihood-Schätzer 1.3. Erwartungstreue Schätzer 1.4. Konfidenzintervalle 1.5. Spezialfall Binomial-Verteilung

2. Spezialfall Normalverteilung 2.1. Student- und Chi-Quadrat-Verteilung 2.2. Konfidenzintervalle

3. Tests 3.1. Grundbergriffe 3.2. Tests einfacher Hypothesen (Neyman-Pearson-Test) 3.3. Tests zusammengesetzter Hypothesen 3.4. Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 3.5. Chi-Quadrat-Tests 3.6. Kolmogorov-Smirnov-Test 3.7. Einfache Varianzanalyse

Beschreibende Statistik(= Deskriptive Statistik)Beschreibung von Datenmaterial

Schließenden Statistik(= Induktive Statistik)Analyse von Datenmaterial,Hypothesen, Prognosen

Teil I

Teil III

Wahrscheinlich-keitstheorie

Teil II

Eine Urne enthält n Kugeln, davon Nweiße und n - N schwarze.

Aus der Urne werden nacheinanderm Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,genau k weiße Kugeln zu ziehen?

Sie beträgt gerade H(n, N, m)(k)!

Die hypergeometrische Verteilung

Notation

Schätzung der Zahl der Fischein einem See in Mecklenburg

N Fische werden gefangen und markiert

Die Fische werden in den See zurück-gegeben. Man wartet, bis die markiertenFische sich (möglichst gleichmäßig) im See verteilt haben.

Man geht erneut auf Fischzug und fängtm Fische. Von diesen seien k markiert.

Schätzung für die Gesamtzahlder Fische im See:

Statistische Struktur(diskreter Fall)

Dabei sind:

Schätzproblem

Schätzer

Ω

ΘModell

Beobachtung(Stichprobe)

Grundgesamtheit(mögliche Beobachtungen)

Schätzung

Ω

ΘModell

Beobachtung(Stichprobe)

Grundgesamtheit(mögliche Beobachtungen)

Schätzung

Eg

Stichprobe(diskreter Fall)

Mathematischer Rahmen

Stichprobenfunktionen

SonntagseinsätzeFeuerwacheFeuerwache

Stichproben(stetiger Fall)

Mathematischer Rahmen

Statistische Struktur diskret stetig

Maximum-Likelihood-Schätzer(diskreter Fall)

Likelihood-Funktion

M-L-Schätzer

mit

oder

Der Parameter

ist die beste Erklärungfür die Beobachtung

Schätzung der Zahl der Fischein einem See in Mecklenburg

N Fische werden gefangen und markiert

Die Fische werden in den See zurück-gegeben. Man wartet, bis die markiertenFische sich (möglichst gleichmäßig) im See verteilt haben.

Man geht erneut auf Fischzug und fängtm Fische. Von diesen seien k markiert.

ist M-L-Schätzer !

Likelihood-Funktion

Der Logharithmus ln x iststreng monoton wachsend

Beispiel Bernoulli-Verteilung

Stichprobe vom Umfang n mit Bernoulli-verteilter Stichprobenvariablen(p: Wahrscheinlichkeit des Ereignisses)

M-L-Schätzer für pwieder gegeben durch:

Maximum-Likelihood-Schätzer(stetiger Fall)

Likelihood-Funktion

M-L-Schätzer

mit

oder

Der Parameter

ist die beste Erklärungfür die Beobachtung x

Maximum-Likelihood-Schätzer(diskreter Fall)

Likelihood-Funktion

M-L-Schätzer

mit

oder

Beispiel Poisson-Verteilung

Stichprobe vom Umfang n mit Poisson-verteilter Stichprobenvariablen(Intensität: )

M-L-Schätzer für

oder

Beispiel Bernoulli-Verteilung

Stichprobe vom Umfang n mit Bernoulli-verteilter Stichprobenvariablen(p: Wahrscheinlichkeit des Ereignisses)

M-L-Schätzer für pwieder gegeben durch:

Normalverteilte Stichprobenvariable

M-L-Schätzer Erwarungswert

Hier spielt es keine Rolle, ob die Varianzbekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt:

Normalverteilte Stichprobenvariable

M-L-Schätzer Varianz bekannt

Normalverteilte Stichprobenvariable

M-L-Schätzer Varianz unbekannt

Übersicht

BeispielGewicht von ÄpfelnÄpfeln

Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

Erwartungstreue Schätzer

Wenn der Parameter selbstgeschätzt werden soll:

Wenn ein allgemeines statistischesProblem vorliegt:

Dabei bedeutet der Index , dass der Erwartungswert bzgl. des W.maßes zum

Parameter genommen wird.

Schätzung des Erwartungswertesder Stichprobenvariablen X

Statistisches Problem gegeben durch:

Erwartungstreuer Schätzer:

Schätzung der Varianz derStichprobenvariablen X

Statistisches Problem gegeben durch:

Erwartungstreuer Schätzer:

Erwartungswert bekannt

Schätzung der Varianz derStichprobenvariablen X

Statistisches Problem gegeben durch:

Erwartungstreuer Schätzer:

Erwartungswert unbekannt

Normalverteilte Stichprobenvariable

Erwartungstreuer Schätzer für den Erwarungswert

Hier spielt es wieder keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht.

In jedem Fall gilt:

ist erwartungstreuerwartungstreu

Normalverteilte Stichprobenvariable

Erwartungstreuer Schätzer für die Varianz

bekannt

ist erwartungstreuerwartungstreu

Normalverteilte Stichprobenvariable

Erwartungstreuer Schätzer für die Varianz

unbekannt

ist erwartungstreuerwartungstreu

Kein M-L-Schätzer!!

Übersicht

erwartungstreuerwartungstreu

erwartungstreuerwartungstreu

erwartungstreuerwartungstreunichtnicht

erwartungstreuerwartungstreu