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2020年经济类联考数学真题解析

二、数学单项选择题：第 21-30题（本大题共 10小题，每小题 2分，共 20分）

21. 已知

2

-1lim 8

1x

x ax b

x

，那么 ,a b满足下面哪种关系（ ）

（A） 1a b （B） 1a b （C） 8a b （D） 8a b

【答案】（A）

【解析】由

2

-1lim 8

1x

x ax b

x

，得

2

1lim 0,x

x ax b

即 1a b ，故选（A）.

22. 已知连续函数 ( )f 满足 ( ) ( ) ,xe

xF x f d

则 ( )F x =（ ）

（A） ( ) ( )x xe f e f x （B） ( ) ( )x xe f e f x

（C） ( ) ( )x xe f e f x （D） ( ) ( )x xe f e f x

【答案】（D）

【解析】 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )x x x xF x f e e f x e f e f x ,故选（D）.

23. 设函数 ( ) sin cos ,f x x x x 下列命题正确的是（ ）

（A） (0)f 是极大值， ( )2

f是极小值 （B） (0)f 是极小值， ( )

2f是极大值

（C） (0)f 是极大值， ( )2

f也是极大值 （D） (0)f 是极小值， ( )

2f也是极小值

【答案】（B）

【解析】 ( ) sin cos sin cosf x x x x x x x

x ( ,0)2

0 (0, )

2

2

( , )

2

( )f x <0 =0 >0 =0 <0

由上表可知： (0)f 是极小值， ( )2

f是极大值。故选（B）.

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24. 设函数

2 1 1,

2 2( )

11,

2

xxe x

f x

x

，则

3

21

2

( )f x dx

（ ）

（A） 1 （B）0 （C）1 （D）2

【答案】（A）

【解析】2

3 1 3

2 2 21 1 1

2 2 2

( ) 1 1xf x dx xe dx dx

.

25. 已知函数 ( )f x 的一个原函数 2ln x ,则 ( )x f x dx （ ）

（A） 2ln x C （B） 2ln x C （C） 2ln lnx x C （D） 22 ln lnx x C

【答案】（D）

【解析】 ( ) ( ) ( ) ( )x f x dx xdf x xf x f x dx

2 2ln lnx x x C 21

2ln lnx x x Cx

22 ln lnx x C 故选（D）.

26. 当 0x 时，下面四个无穷小量中，哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量（ ）

（A） 2x （B）1 cos x （C） 21 1x （D） sinx x

【答案】（D）

【解析】当 0x 时，1 cos x 21

2x , 2 21

1 12

x x ,31

sin6

x x x ,故选（D）.

27. 已知 1X 和 2X 是相互独立的随机变量，分布函数分别为 1( )F x 和 2 ( )F x ，则下列选项一

定是某一随机变量分布函数的为（ ）

（A） 1 2( ) ( )F x F x （B） 1 2( ) ( )F x F x （C） 1 2( ) ( )F x F x （D） 1

2

( )( )

F xF x

【答案】（C）

【解析】分布函数要满足非负性，规范性，单调不减性，右连续性.

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非负性：因为 1 20 ( ) 1,0 ( ) 1F x F x

所以 1 20 ( ) ( ) 1F x F x

规范性：因为 1 2lim ( ) 0, lim ( ) 0x x

F x F x

所以 1 2lim ( ) ( ) 0x

F x F x

因为 1 2lim ( ) 1, lim ( ) 1x x

F x F x

所以 1 2lim ( ) ( ) 1x

F x F x

单调不减性：因为 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2, ( ) ( ), ( ) ( )x x F x F x F x F x

所以 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2, ( ) ( ) ( ) ( )x x F x F x F x F x

右连续性：因为 1 1 2 2, ( ) lim ( ), ( ) lim ( )x a x a

a R F a F x F a F x

所以 1 2 1 2( ) ( ) lim ( ) ( )x a

F a F a F x F x

，故选（C）.

28. 已知军训打靶对目标进行 10 次独立射击，假设每次打靶射击命中率相同，若击中靶子

次数的方差为 2.1，则每次命中靶子概率等于（ ）

（A）0.2 （B）0.3 （C）0.4 （D）0.5

【答案】（B）

【解析】由题目可知，设 10次射击中击中靶子的次数为 X ，每次打靶射击命中率为 p，则

X 服从于参数为 10n ， p的二项分布，即 (10, )X B p ，故 ( )D X 10 (1 )p p 2.1 ，

可得 0.3p .

29. 已知 A是m n 的实矩阵，其秩 min ,r m n ，则该矩阵（ ）

（A）没有等于零的 1r 阶子式，至少有一个不为零的 r阶子式.

（B）有不为零的 r阶子式，所有 1r 阶子式全为零.

（C）有等于零的 r阶子式，没有不等于零的 1r 阶子式.

（D）所有 r阶子式不等于零，所有 1r 阶子式全为零.

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【答案】（B）

【解析】根据矩阵秩的定义，可知矩阵 A至少存在一个不等于零的 r阶子式，所有的 1r 阶

子式全为零，故选（B）.

30. 已知 A是 3阶矩阵，且 3, TA A 是 A的转置矩阵，则1

2TA （ ）

（A）3

2 （B）

3

2 （C）

3

8 （D）

3

8

【答案】（D）

【解析】

3 31 1 1 3

2 2 2 8T TA A A

,故选（D）.

三、数学计算题：第 31-40（本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分）

31.求0

1 1lim

1 xx

x

e x

.

【答案】2

3

【解析】2 2

20 0 0

1 1 1 1lim lim lim

1 (1 )

x x

x xx x x

x x x e x x e

e x x e x

20 0 0

1 1 31 lim 1 lim 1 lim

2 2 2

x x

x x x

x e e x

x x x

.

32. .已知 y xx y ，求 1x

dy

dx .

【答案】1

【解析】两边取对数，得 ln lny x x y ，两边对 x求导，得1 1

ln lndy dy

x y y xdx x y dx

，

将 1x 代入原方程得 1y ，故 1x

dy

dx 1 .

33. 给定函数 3( ) 2 4, ( ) ( ( ))f x x x g x f f x ，求 (0)g .

【答案】100

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【解析】由 3( ) 2 4f x x x ，故 (0) 4f ，且 2( ) 3 2f x x ，

则 (0) 2, ( 4) 50f f ，

( ) ( ( )) ( )g x f f x f x ，则 (0) ( (0)) (0) ( 4) (0) 100g f f f f f .

34..求定积分 21

12 1x x dx

.

【答案】22

3

【解析】

21 12

1 1

12

1

12

0

3 2

2 1 5 1 4 4 2

5 1 2

2 5 1 2

152

03

22

3

x x dx x x x x x dx

x x dx

x x dx

x x x

.

35..设函数 2xz e f x y ，且当 0y 时，2z x ，求一阶偏导数

z

x

.

【答案】 2 2 2x yxe e x y

【解析】当 0y 时，2z x 时，原式可化为 2 xx e f x ，解得 2( ) xf x e x ，

所以

222

x yxz e e x y ，则

z

x

=

2 2 2x yxe e x y .

36.设 ' (ln ) 1f x x ，求 ( )f x .

【答案】 ( ) ,tf t t e C C R

【解析】令 2ln ,x t x t ，则 ' ( ) 1 tf t e ，则 ( ) ,tf t t e C C R .

37. 已知随机变量 X 服从泊松分布， 1 2 2P X P X ，求 3P X .

【答案】1

6e

【解析】随机变量 X 服从泊松分布，即 , 0,1,2 , 0!

keP X k k

k

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因为 1 2 2P X P X ，代入 1, 2k k 得2e e ，求出 1

则 31 1

33! 6

eP X

e

.

38. 二维随机变量 ,X Y 的联合分布律为

X

Y

1 2

1 a 0.4

2 b 0.2

求当随机变量 ,X Y 相互独立时的a，b的取值.

【答案】4 2

,15 15

a b

【解析】由题干可得

1 2 1 2~ , ~

0.4 0.2 0.6X Y

a b a b

由于 ,X Y 相互独立，则 1, 2 1 2 0.4 0.6 0.4P X Y P X P Y a ，

2, 2 2 2 0.2 0.6 0.2P X Y P X P Y b

解得4 2

,15 15

a b .

39. 已知齐次线性方程组

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 2 4 0

5 5 0

2 0

x a x x

x ax a x

x x x

有非零解，求参数a的值.

【答案】 5 3a a 或

【解析】由于齐次线性方程组有非零解，系数矩阵为方阵，则其行列式为 0.

3 2 4 3 5 2

5 25 5 5 5 5 5 3 0

5 51 1 2 1 0 0

a aa

a a a a a aa a

解得 5 3a a 或 .

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40.已知向量 1 1,2,1 ,T

2 2,3,T

a ， 3 1, 2, 2T

a ， 1 1, 1,T

a ，

2 1,3, 4T

，且 1 不能由 1 2 3, , 线性表示， 2 可以由 1 2 3, , 线性表示，求参数a

的值.

【答案】 1a

【解析】根据题意可知， 1 2 3 1 2 3 1, , , , ,r r ， 1 2 3 1 2 3 2, , , , ,r r ,

1 2 3 1 2

1 2 1 1 1 1 2 1 1 1

, , , , 2 3 2 1 3 0 1 3 1

1 2 4 0 0 3 1 5 3 1

a a

a a a a a a

则 3 1 0, 5 3 0, 1 0a a a a ，解得 1a .