Mathematik macht Freu(n)de AB – Binomialverteilung

In einer Urne befinden sich 6 graue und 4 weiße Kugeln. Du ziehst 3 Mal hintereinander eine Kugel.Jede gezogene Kugel legst du gleich wieder zurück in die Urne. „Ziehen mit Zurücklegen“

a) Beschrifte die Kanten des Baumdiagramms mit den Wahrscheinlichkeiten.Berechne die Wahrscheinlichkeit für jeden möglichen Ablauf. 1. Pfadregel

=⇒ P ( ) =

=⇒ P ( ) =

=⇒ P ( ) =

=⇒ P ( ) =

=⇒ P ( ) =

=⇒ P ( ) =

=⇒ P ( ) =

=⇒ P ( ) =

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 graue Kugeln zu ziehen? 2. Pfadregel

Ziehen mit Zurücklegen

Du wirfst einen fairen 6-seitigen Würfel insgesamt 10 Mal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit . . .

. . . nur Sechser zu würfeln?

= 1 zu

. . . zuerst einen Sechser und danach 9 Mal keinen Sechser zu würfeln?

. . . beim letzten Wurf den ersten Sechser zu würfeln?

. . . nur beim 3.Wurf und beim 8.Wurf einen Sechser zu würfeln?

. . . genau einen Sechser zu würfeln? Jeder günstige Pfad hat Länge 10 und die gleiche Wahrscheinlichkeit.

. . . genau zwei Sechser zu würfeln? Jeder günstige Pfad hat Länge 10 und die gleiche Wahrscheinlichkeit.Wie viele Pfade im Baumdiagramm sind günstig? Mehr zu solchen Abzählproblemen findest du am AB – Kombinatorik.

Gleiches Zufallsexperiment unabhängig wiederholen

Datum: 19. August 2019

Mathematik macht Freu(n)de AB – Binomialverteilung

Wir werfen einen fairen 6-seitigen Würfel insgesamt 10 Mal. Bei jedem Wurf unterscheiden wir nurzwischen den Ergebnissen und . Das Gesamtergebnis des Zufallsexperiments ist eine Folge.Zum Beispiel:

⟨, , , , , , , , ,

⟩1) Jede Folge von 10 Würfen, die genau k Sechser beinhaltet, hat die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Stelle eine Formel für die Wahrscheinlichkeit der Folge⟨

, . . . ,︸ ︷︷ ︸k Mal

, , . . . ,︸ ︷︷ ︸10− k Mal

⟩auf:

k = 0, 1, 2, . . . , 101. Pfadregel

2) Es gibt verschiedene Ergebnisfolgen, die genau k Sechser beinhalten. Kombinatorik

3) Stelle eine Formel für die Wahrscheinlichkeit pk auf, dass genau k Sechser gewürfelt werden:

pk = 2. Pfadregel

Die Wahrscheinlichkeiten pk sind im folgenden Säulendiagramm dargestellt.Berechne p3 mit deinem Taschenrechner. Trage den Wert in der Tabelle rechts ein.

Anzahl Sechser k Wahrscheinlichkeit pk

0 16,14...%1 32,30...%2 29,07...%34 5,42...%5 1,30...%6 0,21...%7 0,024...%8 1,86... · 10−3 %9 8,27... · 10−5 %10 1,65... · 10−6 %

4) Die Zufallsvariable X ordnet jeder Ergebnisfolge die Anzahl der Sechser zu.Mehr dazu findest du auf dem AB – Zufallsvariablen.

Statt p6 + p7 + p8 + p9 + p10 können wir dann kurz P (X ≥ 6) schreiben.Berechne die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

P (X ≤ 1) =

P (X < 3) =

P (X ≥ 3) =

5) Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der Sechser bei n Würfen an.Stelle eine Formel für die Wahrscheinlichkeit auf, dass sich unter nWürfen genau k Sechser befinden:

P (Y = k) =

10 Würfe, k Sechser

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Mathematik macht Freu(n)de AB – Binomialverteilung

Jedes Mal, wenn die oben eingeworfene Kugel auf einen Nagel • trifft, fällt sie mit Wahrscheinlichkeit 12

nach links und mit Wahrscheinlichkeit 12 nach rechts.

Die Zufallsvariable X gibt an, wie oft die Kugel insgesamt nach rechts fällt.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel genauden rechts eingezeichneten Pfad nimmt?

Am Ende landet die Kugel in einem der 6 Fächer.Sind alle 6 Fächer gleich wahrscheinlich?

0,5

X=

0

X=

1

X=

2

X=

3

X=

4

X=

5

0,5

0,5 0,5

0,5 0,5

0,5 0,5

0,5 0,5

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugelim Fach X = 2 landet?

P (X = 2) =

Galtonbrett

Ein Zufallsexperiment mit genau 2 möglichen Ergebnissen heißt Bernoulli-Experiment.

a) Ein Wurf mit einer fairen Münze ist ein Bernoulli-Experiment mit Ergebnisraum Ω = Kopf,Zahl.

P (Kopf) = P (Zahl) =

b) Ein Wurf mit einem fairen 6-seitigen Würfel ist ein Bernoulli-Experiment, wenn wir nur zwischenden Ergebnissen und unterscheiden.

P ( ) = P ( ) =

Bernoulli-Experiment

Was ist eine binomialverteilte Zufallsvariable X?

• Ein Bernoulli-Experiment hat 2 mögliche Ergebnisse: Ω = Erfolg,MisserfolgEs gilt: P (Erfolg) = p und P (Misserfolg) = 1− p Zum Beispiel: Ω = , , p = 1

6

• Wir führen dieses Bernoulli-Experiment n Mal unabhängig unter denselben Bedingungen durch.

• Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Erfolge unter den n Durchführungen an.

Dann heißt die Zufallsvariable X binomialverteilt mit den Parametern n und p.Die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den n Durchführungen genau k Erfolge befinden, beträgt:

P (X = k) =

(n

k

)· pk · (1 − p)n−k︸ ︷︷ ︸Anzahl Pfade mit genau k Erfolgen (Kombinatorik und 2. Pfadregel)

WS von jedem Pfad mit genau k Erfolgen (1. Pfadregel)

Binomialverteilung

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Mathematik macht Freu(n)de AB – Binomialverteilung

Überlege jeweils, ob X eine binomialverteilte Zufallsvariable ist.Falls ja, gib die Parameter n und p an. Falls nein, begründe warum X nicht binomialverteilt ist.

a) Eine Schachtel enthält 4 rote und 3 blaue Kugeln. Du ziehst eine zufällige Kugel, notierst die Farbeund legst die Kugel wieder zurück. Du führst insgesamt 5 solche Ziehungen hintereinander durch.X . . . Anzahl blauer Kugeln unter den 5 Ziehungen

b) Du wirfst gleichzeitig 8 faire 6-seitige Würfel mit Augenzahlen 1 bis 6.X . . . Anzahl Würfel mit Augenzahl 1 oder 2

c) Eine Schachtel enthält 5 rote und 5 blaue Kugeln. Du ziehst ohne hinzusehen insgesamt 3 Kugelnaus der Schachtel.X . . . Anzahl blauer Kugeln unter den 3 Kugeln

d) Du wirfst einen fairen 6-seitigen Würfel mit Augenzahlen 1 bis 6 so lange, bis zum ersten Mal einSechser kommt.X . . . Anzahl Würfe bis zum ersten Sechser

e) Ein Single-Choice-Test enthält 30 Fragen mit jeweils 5 Antwortmöglichkeiten. Bei jeder Frage istgenau eine Antwort richtig. Du kreuzt bei jeder Frage zufällig eine Antwortmöglichkeit an.X . . . Anzahl richtig beantworteter Fragen

f) Eine gezinkte Münze mit den 2 Seiten „Kopf“ und „Zahl“ zeigt mit 70 % Wahrscheinlichkeit „Kopf“.Du wirfst die Münze 18 Mal.X . . . Anzahl Würfe mit Ergebnis „Zahl“

g) In einer Klasse sind 14 Schüler und 11 Schülerinnen. Von ihnen werden zur Stundenwiederholungnacheinander 4 verschiedene Personen ausgewählt.X . . . Anzahl Schülerinnen, die zur Stundenwiederholung ausgewählt werden

h) Beim Roulette sind auf einer Scheibe 37 Felder mit den Zahlen von 0 bis 36 nummeriert.Davon sind 18 Felder rot, 18 Felder schwarz, und ein Feld grün. Bei jeder Drehung wird mit einerKugel ein Feld zufällig ausgewählt. Du beobachtest insgesamt 30 Drehungen.X . . . Anzahl Drehungen, bei denen ein rotes Feld ausgewählt wird

i) In einer Urne befinden sich 45 Kugeln, die mit den Zahlen von 1 bis 45 durchnummeriert sind.Bei einer Lotto-Ziehung werden 6 Kugeln zufällig und ohne Zurücklegen gezogen.Lukas beobachtet über ein Jahr hinweg alle 104 Lotto-Ziehungen.X . . . Anzahl Lotto-Ziehungen, bei denen die Kugel mit der Zahl 42 gezogen wird

j) Du wirfst nacheinander 4 faire 6-seitige Würfel mit Augenzahlen 1 bis 6.X . . . Anzahl verschiedener Augenzahlen unter den 4 Würfeln

Binomialverteilte Zufallsvariable?

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Mathematik macht Freu(n)de AB – Binomialverteilung

Single-Deck Blackjack wird mit 52 Karten gespielt.Darunter befinden sich genau 4 Karten mit einem König und genau 4 Karten mit einem Ass.Jede Person erhält 2 zufällige Spielkarten. Sind die beiden Spielkarten ein Ass und ein König (inbeliebiger Reihenfolge), spricht man von einem Blackjack.

1) Berechne die Wahrscheinlichkeit p für einen Blackjack.

p =

2) Du spielst 1000 Runden Single-Deck Blackjack. Nach jeder Runde werden die Karten neu gemischt.X ist die Anzahl der Runden, bei denen du einen Blackjack hast.Berechne mit Technologieeinsatz die Wahrscheinlichkeit, dass du dabei . . .

. . . höchstens 10 Mal einen Blackjack hast.

. . . weniger als 6 Mal einen Blackjack hast.

. . .mindestens 13 Mal einen Blackjack hast.

. . . öfter als 3 Mal einen Blackjack hast.

. . .mindestens 7 Mal, aber weniger als 13 Mal einen Blackjack hast.

. . . genau 15 Mal einen Blackjack hast.

3) Beschreibe jeweils ein mögliches Ereignis im angegebenen Sachzusammenhang,dessen Wahrscheinlichkeit berechnet wird:

P (A) =(

802

)· p2 · (1− p)78

Ereignis A:

P (B) = (1− p)130

Ereignis B:

P (C) =8∑

i=3

(250i

)· pi · (1− p)250−i Zur Erinnerung:

8∑i=3

f(i) = f(3) + f(4) + f(5) + f(6) + f(7) + f(8)

Ereignis C:

P (D) = 1− (1− p)70

Ereignis D:

Blackjack

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Mathematik macht Freu(n)de AB – Binomialverteilung

X ist eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern n = 100 und p.

Wie sieht das Säulendiagramm aus,wenn p = 0 ist?

Wie sieht das Säulendiagramm aus,wenn p = 1 ist?

Welche Eigenschaft hat das Säulendiagramm, wenn p = 0,5 ist?

Wie viele Erfolge erwartest du, wenn p = 0,42 ist?

42 Erfolge sind auch das wahrscheinlichste Ergebnis bei p = 0,42. Die WS für genau 42 Erfolge beträgt aber trotzdem nur rund 8 %.

Binomialverteilung

X ist eine binomialverteilte Zufallsvariable mit Parametern n und p.

1) Der Erwartungswert von X ist

E(X) = µ = n · p.

2) Die Varianz von X ist

V (X) = σ2 = n · p · (1 − p). Für welches p ist V (X) am größten?

3) Die Standardabweichung σ von X ist

σ =√V (X) =

√n · p · (1 − p).

Kenngrößen der Binomialverteilung

Die Zufallsvariable X nimmt die Werte 0, 1, 2, . . . , 10 mit den folgenden Wahrscheinlichkeiten an:

xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P (X = xi) 0,5 % 2 % 5 % 10 % 20 % 25 % 20 % 10 % 5 % 2 % 0,5 %

1) Berechne: P (X ≤ 3) = P (X > 8) = P (3 < X ≤ 7) =

2) Begründe, warum X nicht binomialverteilt sein kann.

Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable

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