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Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Induktive Statistik • Einleitung • Stichproben • Stichprobenverteilungen • Bestimmung von Vertrauensbereichen • Statistische Prüfverfahren

Induktive Statistik

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Induktive Statistik. Einleitung Stichproben Stichprobenverteilungen Bestimmung von Vertrauensbereichen Statistische Prüfverfahren. Einleitung. Beispiel für induktive Statistik Neues Medikament Warum sollen die Konsumenten es kaufen? Weil es hübscher verpackt ist? - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Induktive Statistik

• Einleitung

• Stichproben

• Stichprobenverteilungen

• Bestimmung von Vertrauensbereichen

• Statistische Prüfverfahren

Page 2: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Einleitung

Beispiel für induktive StatistikNeues Medikament

• Warum sollen die Konsumenten es kaufen? Weil es hübscher verpackt ist?

• Wie beweist man, dass es besser ist als die schon vorhandenen Medikamente?

• Wie ist ein solcher Test manipulierbar?

Page 3: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Stichproben

Grundgesamtheit: Alle möglichen Ergebnisse des Versuchs

Stichprobe: Die n Ergebnisse eines tatsächlich durchgeführten Versuchs

z.B. Ziehen aus einer UrneGrundgesamtheit: alle KugelnStichprobe die Kugel, die ich ziehe

Unendlich viele Versuche: Stichprobe = Grundgesamtheit

Page 4: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Begriff ‚Stichprobe‘

Kommt aus der Metall gewinnenden Industrie und dem Warenhandel

Kleiner Teil der Schmelzmasse wurde dem Schmelzofen entnommen um die Qualität der Schmelzmasse zu prüfen

Rückschluss von der Probe auf die gesamte Schmelzmasse (die Grundgesamtheit)

Auch im Warenhandel (Käse, Getreide, etc.)

Page 5: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Beispiel (1)

Bestimmung der Größe der Studenten Vermessungswesen eines bestimmten Jahres

N=20 Personen

Einfachste Möglichkeit: Alle 20 abmessen Erwartungswert und Varianz der Grund-gesamtheit

i xi i xi

1 188 11 170

2 183 12 187

3 183 13 177

4 185 14 178

5 178 15 180

6 198 16 182

7 163 17 189

8 164 18 173

9 174 19 176

10 185 20 177

Page 6: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Beispiel (2)

Aber: Es ist uns zu aufwändig, also wählen wir n=5 Studenten und messen deren Größe Stichprobe

Wir wollen nun von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit schließen

Anzahl der möglichen Stichproben:

504.155

20,

!!

!

nNn

N

n

N

Page 7: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Beispiel (3)

Ausgangspunkt: Die 5 Studenten wurden zufällig ausgewählt Mittelwert ist eine Zufallsgröße

Mittelwert hat also eine Wahrscheinlich-keitsverteilung (Stichprobenverteilung)

Zentraler Grenzwertsatz Stichproben-verteilung ist die Normalverteilung

Page 8: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Stichprobenverteilung des arithmetischen Mittels

Ab etwa n=30 normalverteilt

• Erwartungswert:

• Standardabweichung:

X

nX

Page 9: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Stichprobenverteilung der Standardabweichung

Voraussetzung: Normalverteilung der Grundgesamtheit

Es folgt: Normalverteilung für die Stich-probenverteilung der Standardabweichung S für n

• Erwartungswert:

• Standardabweichung:

S

nS 2

Page 10: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Stichprobenverteilung der Differenz zweier Standardabweichungen

Voraussetzung: Normalverteilung der Grundgesamtheiten, große Stichproben(n > 100)

Es folgt: Normalverteilung für die Stich-probenverteilung der Differenz der Standardabweichungen DS=S1-S2

• Erwartungswert:

• Standardabweichung:

21 SD

nnSD 22

22

21

Page 11: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Vertrauensbereiche

Mittelwert s und Standardabweichung s sind Punktschätzwerte für und

Keine Information über Zuverlässigkeit oder Genauigkeit (keine Angaben über Abweichung vom wahren Wert)

Abhilfe: Vertrauensbereiche (Vertrauens-, Konfidenzintervall)

Mit Stichprobendaten berechnetes IntervallÜberdeckt den wahren Wert mit vorgegebener

Wahrscheinlichkeit S

Page 12: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Vertrauensbereich für Mittelwertbei bekanntem (1)

Normalverteilte Grundgesamtheit

Stichprobe liefert x1, … xn

Standardabweichung aus Erfahrung

Vertrauensbereich mit P(mu<m<mo) = S

Mit u untere und o obere Vertrauens-grenze

Normierte Normalverteilung: P(-us<<+us) = S

Page 13: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Vertrauensbereich für Mittelwertbei bekanntem (2)

us: -Quantil: Stichprobenfunktion

Also:

Einfache Umformungen:

Grenzen:

21

nX

Mittelwert der Stichprobe

SunX

uP ss

Sn

uXn

uXP ss

nuX

nuX sosu

,

Page 14: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Beispiel Streckenmessung

x=130,100m =4,0cm n=4 S=0,95

Tabelle im Skriptum: us=1,96

P(130,061m<<130,139m)=0,95

oder:

95,0,9,3100,130 Scmmn

ux s

Page 15: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Vertrauensbereich für Mittelwertbei unbekanntem (1)

Normalverteilte Grundgesamtheit

Stichprobe liefert x1, … xn

Standardabweichung nur Schätzwert

Vertrauensbereich für die normierte Normalverteilung: P(-tS<t<+tS) = Smit der Stichprobenfunktion

ns

Xt

Page 16: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Vertrauensbereich für Mittelwertbei unbekanntem (2)

Also:

Einfache Umformungen:

Grenzen:

Vertrauensbereich:

Stns

XtP

SS

Sn

stX

n

stXP SS

n

stX

n

stX SoSu ,

n

stX S

Page 17: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Beispiel Streckenmessung

x=130,100m s=4,0cm n=4 S=0,95

Tabelle im Skriptum: tS=3,18 (k=4-1=3)

P(130,036m<<130,164m)=0,95

oder:

95,0,4,6100,130 Scmmn

stx S

Page 18: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Vertrauensbereich für die Standardabweichung (1)

Normalverteilte Grundgesamtheit

Stichprobe liefert x1, … xn

Standardabweichung

Vertrauensbereich mit P(u<<o) = S‘‘

Mit u untere und o obere Vertrauens-grenze

n

ii xx

ns

1

2

1

1

Page 19: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Vertrauensbereich für die Standardabweichung (2)

Ausgangspunkt:

Dichtefunktion der Standardabweichung ist die 2-Verteilung, kann geschrieben werden als

S2: Zufallsgröße „Varianz der Stichprobe“k: Anzahl der Freiheitsgrade

''2

Sqk

qP uu

2

2

2

222

212

SkT

n

Page 20: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Vertrauensbereich für die Standardabweichung (3)

Wenn nicht wahre Fehler sondern Verbesserungen v:

k=n, wenn der wahre Wert bekannt, sonst k=n-1

Es folgt

und

Also:

2

2

2

222

212

Skvvv T

n

vv

''SqS

qP ou

''SSqSqP ou

SqSq oouu ,

Page 21: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Beispiel Streckenmessung

s=4,0cm n=4 S=0,95

Tabelle im Skriptum:

qu=0,57, qo=3,73 (k=4-1=3)

quS=0,574,0cm=2,3cm

qoS=3,734,0cm=14,9cm

oder: P(2,3cm<<14,9cm)=0,95

Page 22: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Vertrauensbereich für beliebige Ausgleichungsaufgaben (1)

Formeln für Mittelwert bei unbekannter Standardabweichung auch auf Ausgleichungsaufgaben anwendbar

Mittel gleich ausgeglichenen Unbekannten oder Messwerten

Standardabweichung des Mittels gleich Standardabweichung der Unbekannten oder Messwerten

Freiheitsgrade k gleich Anzahl der überschüssigen Messungen

Page 23: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Vertrauensbereich für beliebige Ausgleichungsaufgaben (2)

Beliebiges Ergebnis (Unbekannte oder Messwert) G mit Standardabweichung mG

mittS aus der Tabelle für 2-seitige Sicherheitqu, qo als abgeleitete Sicherheitsgrenzen

GoGuGS mqmqbzwmtG ;.

Page 24: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Vertrauensbereich für beliebige Ausgleichungsaufgaben (3)

Vertrauensbereich im Allgemeinen aussagekräftiger als Standardabweichung

Standardabweichung selbst nur Schätzwert für wahren Wert

Standardabweichung nicht mit Wahrscheinlichkeit verbunden

Bei geringer Redundanz oft nur unzureichende Beschreibung

Vertrauensbereich immer mit Wahrscheinlich-keitsaussage verbunden deutlicher und zutreffender

Page 25: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Statistische Prüfverfahren (1)

Statistischer Test stellt fest, ob die Daten einer Stichprobe mit einer Hypothese übereinstimmen

Zu testende Behauptung: Nullhypothese

z.B. Gleiche Mittelwerte – H0: 1=2

Stichprobenfunktion wird gewählt – liefert Sicherheitsgrenzen

Berechnung einer PrüfgrößeVergleich Prüfgröße – Sicherheitsgrenze

Page 26: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Statistische Prüfverfahren (2)

Prüfgröße innerhalb der Sicherheitsgrenzen (Annahmebereich): Hypothese wird angenommen

Prüfgröße außerhalb der Sicherheitsgrenzen (Ablehnungsbereich): Hypothese wird abgelehnt

Sicherheitswahrscheinlichkeit (Signifikanzniveau) üblicherweise 95% (selten 99% - hochsignifikant)

Page 27: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Vorsicht!

• Annahme einer Hypothese bedeutet, dass die Stichprobe nicht gegen die Hypothese spricht

• Annahme bedeutet NICHT, dass die Hypothese zu 95% richtig ist

• Ablehnung bedeutet, dass die Prüfgröße in einem Bereich liegt, in dem sie bei richtiger Hypothese nur zu 5% liegen würde

• Ablehnung bedeutet NICHT, dass die Hypothese zu 95% falsch ist

Page 28: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Fehler bei Tests

• Fehler erster Art: Ablehnung einer richtigen Hypothese (Wahrscheinlichkeit dafür 5% bzw. 1%)

• Fehler zweiter Art: Annahme einer falschen Hypothese (Angabe einer Wahrscheinlichkeit nicht möglich)

Page 29: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Praktische Durchführung

1. Formulierung der Fragestellung2. Aufstellen der Hypothese3. Wählen der Stichprobenfunktion und

Berechnen der Prüfgröße4. Entnahme der Sicherheitsgrenzen aus

der entsprechenden Tabelle5. Entscheidung über Annahme oder

Ablehnung und Beantwortung der Fragestellung

Page 30: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Test von bei bekanntem

Hat die Grundgesamtheit einen bestimmten (vorgegebenen) Mittelwert?

Hypothese: Grundgesamtheit hat Mittelwert 0, also

Stichprobenfunktion

Prüfgröße

Sicherheitsgrenze aus Tabelle

Vergleich

00 : H

nX

0

n

xu

0

Page 31: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Beispiel Refraktionskoeffizient

x=0,15 s=0,03 n=10

Hypothese: Grundgesamtheit hat Mittelwert 0=0,13 also

Prüfgröße

Sicherheitsgrenze aus Tabelle uS=1,96

2,11>1,96 Hypothese abgelehnt, es muss 0,15 verwendet werden

13,0: 00 H11,210

03,0

13,015,00

nx

u

Page 32: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Test von bei unbekanntem

Hat die Grundgesamtheit einen bestimmten (vorgegebenen) Mittelwert?

Hypothese: Grundgesamtheit hat Mittelwert 0, also

Stichprobenfunktion

Prüfgröße

Sicherheitsgrenze aus Tabelle

Vergleich

00 : H

nS

Xt 0

ns

xt 0ˆ

Page 33: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Beispiel Polarplanimeter

x=9,97mm2 s=0,015 n=4 k=3 0=10mm2

Hypothese: Grundgesamtheit hat Mittelwert 0=10 also

Prüfgröße

Sicherheitsgrenze aus Tabelle bei k=3 tS=3,18

4,00>3,18 Hypothese abgelehnt, es muss 9,97 verwendet werden

200 00,10: mmH

00,44015,0

00,1097,9ˆ 0

ns

xt

Page 34: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Test von 1 und 2 bei bekanntem 1 und 2

Haben die beiden Grundgesamtheiten denselben Mittelwert?

Hypothese: Grundgesamtheit haben denselben Mittelwert, also

Stichprobenfunktionmit

Prüfgröße

Sicherheitsgrenze und Vergleich

210 : H

d

XX

21'''

21

211

212

2

22

1

21

nn

nn

nnd

21221

212

'''nn

nn

xxu

Page 35: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Beispiel Senkungserscheinungen

x‘ = 32,120m s1=8mm n1=6

x‘‘= 32,113m s2=5mm n2=4

Hypothese: Grundgesamtheiten haben gleichen Mittelwert, also

Prüfgröße

Sicherheitsgrenze aus Tabelle uS=1,96

1,71<1,96 Hypothese angenommen, keine signifikanten Senkungen

210 : H71,146

5684

321133212022

u

Page 36: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Test von 1 und 2 bei unbekanntem 1 und 2 (1)

Haben die beiden Grundgesamtheiten denselben Mittelwert?

Hypothese: Grundgesamtheit haben denselben Mittelwert, also

Stichprobenfunktionmitmit dem gewogenen Mittel der Varianzen als Varianz Grundgesamtheit

210 : H

dS

XXt 21'''

21

21

21

222

211

21

21

2

2

1

2

)1()1(

)1()1(

nn

nn

nn

SnSn

nn

nnS

n

S

n

SSd

)1()1(

)1()1(

21

222

2112

nn

SnSnS

Page 37: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Test von 1 und 2 bei unbekanntem 1 und 2 (2)

Prüfgröße

Sicherheitsgrenze mit k=n1+n2-2 Freiheitsgraden

Vergleich

21

21

21

221

212

1111

'''ˆ

nnnn

nnSnSn

xxt

Page 38: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Beispiel Bauwerksbewegungen

x‘ =50,630m n1=26 u1=18 s02=0,26mgon Qxx=3,00

x‘‘=50,636m n2=34 u1=21 s02=0,22mgon Qxx=2,53

Hypothese: Grundgesamtheiten haben gleichen Mittelwert, also

Prüfgröße

Sicherheitsgrenze aus Tabelle tS=2,08

1,08<2,08 Hypothese angenommen, keine signifikanten Bewegungen

210 : H

08,1

53,200,3138

)22,0(13)26,0(8

6,50630,5063ˆ22

22

t

Page 39: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Test einer Standardabweichung (1)

Hat die Grundgesamtheit eine bestimmte (vorgegebene) Standardabweichung?

Hypothese: Grundgesamtheit hat Standardabweichung 0, also

Stichprobenfunktion

Prüfgröße

00 : H

20

22

kS

20

22ˆ

ks

Page 40: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Test einer Standardabweichung (2)

Sicherheitsgrenze aus Tabelle, dabei Entscheidung, ob– Test gegen Alternativhypothese >0

(einseitige Fragestellung): S2 oder

– Test gegen Alternativhypothese 0

(zweiseitige Fragestellung): qu und qo

abgeleitete Prüfgröße:

Vergleich

s

kp 0

2ˆˆ

Page 41: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Beispiel Nivellement (einseitig)

s=3,8mm k=8 0=2,5mm

Hypothese: Grundgesamtheit hat 0=2,5mm, also

Prüfgröße

Sicherheitsgrenze aus Tabelle S2=15,5

18,5>15,5 Hypothese abgelehnt, erreichte Genauigkeit ist geringer

5,2:0 H

5,185,2

8,38ˆ

20

22

ks

Page 42: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Beispiel Stationsausgleich (zweiseitig)

s=0,1mgon k=44 0=0,14mgon

Hypothese: Grundgesamtheit hat 0=0,14mgon, also

Prüfgröße

Sicherheitsgrenze aus Tabelle qu=0,85, qo=1,22

1,4>1,22 Hypothese abgelehnt, erreichte Genauigkeit ist zu hoch

14,0:0 H

4,110,0

14,0ˆ 0

sp

Page 43: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Test zweier Standardabweichungen

Haben die beiden Grundgesamtheiten dieselbe Standardabweichung?

Hypothese: Grundgesamtheit haben gleiche Standardabw., also

Stichprobenfunktion

Prüfgröße (s12>s2

2)

Sicherheitsgrenze mit k1/k2 aus Tabelle

Vergleich (Alternativ: 1>2)

210 : H

22

21

S

SF

22

21ˆ

s

sF

Page 44: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Beispiel Messgenauigkeit

s1=0,39mgon s2=0,27mgon k1=20 k2=15

Hypothese: Messungen gleich genau, also

Prüfgröße

Sicherheitsgrenze aus Tabelle FS=2,33

2,09<2,33 Hypothese angenommen, beide Geräte gleich genau

210 : H

09,227,0

39,0ˆ2

2

22

21

s

sF

Page 45: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Test mehrerer Standard-abweichungen (Cochran-Test)

Haben alle Grundgesamtheiten dieselbe Standardabweichung?

Hypothese: Grundgesamtheiten haben die gleiche Standardabw., also

Stichprobenfunktion

Prüfgröße

Sicherheitsgrenze aus Tabelle

Vergleich

mH 210 :

222

21

2max

maxmSSS

SG

22

221

2max

maxˆ

msss

sG

Page 46: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Beispiel Messgenauigkeit

8 Messungen mit je 10 übersch. Beob. 0,42, 0,41, 0,36, 0,39, 0,42, 0,52, 0,40, 0,38

Hypothese: Messungen gleich genau, also

Prüfgröße

Sicherheitsgrenze GmaxS=0,283

0,283>0,196 Hypothese angenommen, keine Änderung der Genauigkeit

8210 : H

196,038,041,042,0

52,0ˆ222

2

max

G

Page 47: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Cochran-Test

Besonders gut geeignet, wenn eine Standardabweichung wesentlich größer als die anderen

Auch verwendbar, wenn Anzahl der Freiheitsgrade nur nahezu gleich

Größere Unterschiede bei den Freiheits-graden: Bartlett-Test

Page 48: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Test eines Korrelationskoeffizienten

Ist der Korrelationskoeffizient gleich Null?

Hypothese: Korrelationskoeffizient gleich Null, also

Stichprobenfunktion

Prüfgröße

Sicherheitsgrenze aus Tabelle

Vergleich

0:0 XYH

21

2

XY

XY

R

nRt

21

xy

xy

r

nrt

Page 49: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Beispiel trig. Höhenmessungen

15 Messungen nach 2 Punkten Verbesserungen

Hypothese: Keine Korrelation, also

Prüfgröße

Sicherheitsgrenze tS=2,17

2,57>2,17 Hypothese abgelehnt

0:0 XYH 57,2

581,01

13581,0

1

22

xy

xy

r

nrt

581,0

yyxx

yxxy vvvv

vvr

Page 50: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Test eines extremen Merkmals (Ausreißertest)

Ist ein Wert ein Ausreißer?

Hypothese: Wert gehört zur Grundgesamt-heit, also

Stichprobenfunktion

Prüfgröße

Sicherheitsgrenze aus Tabelle

Vergleich

),(.),(: minmax0 NxbzwNxH

'.

'minmax

S

XXbzw

S

XX

'.

'ˆ minmax

s

xxbzw

s

xx

Page 51: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Beispiel Winkelmessung

6 Winkelmessungen, ein extremer Wert

Hypothese: Extremer Wert gehört zu selben Grundgesamtheit, also

Prüfgröße

Sicherheitsgrenze S=2,00

2,04>2,00 Hypothese abgelehnt, Wert ist ein Ausreißer und somit zu streichen

,: max0 NxH

04,2294,0

1,27,2

'ˆ max

s

xx

Page 52: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Test auf Normalverteilung

Ist die Stichprobe normalverteilt?

Hypothese: Stichprobe gehört zu einer normalverteilten Grundgesamtheit, also

Stichprobenfunktion

Prüfgröße

Sicherheitsgrenze aus Tabelle

Vergleich

),,()(: 2000 xxFH

r

m m

mm

np

npH

1

22

r

m m

mm

np

nph

1

22̂

Anzahl Klassen

theoret. abs. Häufigkeit

empirische absolute Häufigkeit

Page 53: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Beispiel Winkelmessung

270 Verbesserungen für ein Netz

Hypothese: Verbesserungen sind normal-verteilt, also

Prüfgröße

Sicherheitsgrenze S2=14,1

10,5<14,1 Hypothese angenommen, Verteilung der Werte widerspricht nicht der Annahme der Normalverteilung

20 )194,0(,006,0,)(: mgonmgonxxFH

49,10ˆ 2

Page 54: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Zusammenfassung

• Statistische Tests prüfen Hypothesen mittels Stichproben

• Bei statistischen Tests können 2 Arten von Fehlern passieren:– Ablehnung einer richtigen Hypothese (1. Art)– Annahme einer falschen Hypothese (2. Art)

• Für typische Testsituationen gibt es Standardverfahren

Page 55: Induktive Statistik

Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

ENDE

• A1 ist hier zu Ende

• Was fehlt noch? (Stoff von A2)– Umgang mit groben Fehlern– Festlegung des geodätischen Datums– Qualitätsangaben über Unbekannte hinaus– Komplexere Anwendungen

(Deformationsanalyse, Geostatistik etc.)