IngenieurtutoriumMathematik ISkriptProf. Dr.-Ing. Jens SchneiderDipl.-Ing. Johannes Kuntscheemail: kuntsche@iwmb.tu-darmstadt.de

Fachbereich 13Bauingenieurwesen und GeodäsieInstitut für Werkstoffe und Mechanikim BauwesenFachgebiet Statik

©2012 28. Februar 2012

Kapitel 1: Grundlagen der Mathematik

1. Mengen, Zahlen und Vektoren

DEFEine Menge ist die Zusammenfassung von unterschiedlichen Elementen zu einer Einheit.

• natürliche Zahlen N := {1, 2,3, ...}↑ ↑

Definition Mengenklammer

• N0 := N∪ {0}= {0,1, 2,3, ...}↑

Vereinigung von Mengen

• ganze Zahlen Z := {...,−3,−2,−1,0, 1,2, 3, ...}

• rationale Zahlen Q :=§m

n: m, n ∈ Z, n 6= 0

ª

In Worten: Q ist die Menge der Quotienten m durch n, für die gilt, dass m und n Elemente derMenge der ganzen Zahlen sind und n nicht null ist.

• reelle Zahlen R

• komplexe Zahlen C

• leere Menge ; := {}

Es gilt: N N0 Z Q R C↑

echte Teilmenge

DEFEine Menge S ist nach unten (nach oben) beschränkt, wenn es eine Zahl a (b) gibt, sodass für alle Ele-mente der Menge gilt, dass sie größer (kleiner) als a(b) sind.Ist S nach oben und unten beschränkt, so heißt S beschränkt (S ⊆ [a, b]).Die Zahlen a (b) heißen untere (obere) Schranke. Die kleinste untere (obere) Schranke heißtInfimum (Supremum). Infimum und Supremum müssen nicht zur Menge S gehören.

sup[a, b] = sup]a, b[= b

Bemerkung: Rechenregeln von Skalaren (normale Zahlen) werden als bekannt vorausgesetzt.

Exkurs: Beweis durch vollständige Induktion

1. Induktionsbeginn: Aussage A stimmt für Anfangswert n= no : A(n0)

2. Induktionsschritt:

• Annahme, dass A(n) wahr ist

• Zeige, dass A(n+1) wahr ist

Dann gilt die Aussage A für alle n≥ n0.

Beispiel

a) 1+ 2+ ...+ n=n(n+ 1)

2für alle n≥ 1

IA: n= 1

1=1(1+ 1)

2= 1 Ø

IS: zu zeigen: 1+ 2+ ...+ n+ (n+ 1) =(n+ 1)((n+ 1) + 1)

2

1+ 2+ ...+ n+ (n+ 1)IS=

n(n+ 1)2

+ (n+ 1) =n(n+ 1) + 2(n+ 1)

2=(n+ 1)(n+ 2)

2

b) 2n > n2 für alle n≥ 5

IA: 25 = 32> 52 = 25 Ø

IS: es gilt: 2n > n2

zu zeigen: 2n+1 > (n+ 1)2 = n2+ 2n+ 1

2n+1 = 2 · 2n IS> 2n2 = n2+ n2 > n2+ 3n= n2+ 2n+ n> n2+ 2n+ 1

↑Abschätzungen

Anwendung in der rekursiven Definition

Beispiel: Fakultät

• 0!= 1

• (n+ 1)!= n! · (n+ 1) für n ∈ N0

⇒ n!= 1 · 2 · ... · n für n ∈ N (ohne die null)

2

Exkurs: Überblick über die Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt sich mit dem Abzählen von Möglichkeiten für ein bestimmtes Ereignis. Eswerden oft modellhaft Urnen betrachtet, aus denen nach einer bestimmten Vorschrift Kugeln gezogenwerden. Die Urne enthält insgesamt n verschiedenen Kugeln, k Kugeln werden daraus gezogen. Un-terschieden wird, ob die Kugeln zurückgelegt werden oder nicht und ob die Reihenfolge der Ziehungbeachtet wird oder nicht.

1. Mit Zurücklegen (Wiederholungen), geordnet: n · n · n · ... · n= nk

Beispiel: Es wird k-mal aus der Urne nacheinander eine Kugel gezogen, notiert und anschließendwieder in die Urne gelegt. Die Reihenfolge wird dabei beachtet.

2. Mit Zurücklegen (Wiederholungen), ungeordnet:�n+k−1

k

�

= (n+k−1)!k!(n−1)!

Beispiel: Es wird k-mal aus der Urne nacheinander eine Kugel gezogen, notiert und anschließendwieder in die Urne gelegt. Die Reihenfolge wird dabei nicht beachtet.

3. Ohne Zurücklegen (Wiederholungen), geordnet: P(n, k) = n · (n− 1) · ... · (n− k+ 1) = n!(n−k)!

Beispiel: Es wird k-mal aus der Urne nacheinander eine Kugel gezogen, notiert und anschließendbeiseite gelegt. Die Reihenfolge wird dabei beachtet.

4. Ohne Zurücklegen (Wiederholungen), ungeordnet: C(n, k) = P(n,k)k!= n!(n−k)!k!

=�n

k

�

Beispiel: Es wird k-mal aus der Urne nacheinander eine Kugel gezogen, notiert und anschließendbeiseite gelegt. Die Reihenfolge wird dabei nicht beachtet. (Lotto)

Vektoren

DEF

• Ein kartesisches Koordinatensystem ist ein rechtwinkliges Koordinatensystem in der Ebene oder imRaum. Die Achsen beschreiben ein Rechtssystem (Rechte-Hand-Regel).

y

x(z)

z

y

x

3

• Durch Angabe der Koordinaten erhält man einen Punkt.

• Die Verbindung zweier Punkte R und Q kann als Vektor ~a = ~RQ definiert werden. Ein Vektor hatdemnach eine Richtung und eine Länge (Betrag). Stimmen diese beiden Eigenschaften bei zweiVektoren überein, so sind die Vektoren gleich. Somit kann jeder Vektor in einem Koordinatensystemauf einen Vektor zurückgeführt werden, der im Nullpunkt beginnt.

x0

y

a1

a2A

Q

R

a

a

~a = ~RQ = ~0A=�

a1a2

�

a1, a2: Komponenten von ~a

Rechenregeln werden bei Addition, Subtraktion und Multiplikation mit einem Skalar (normale Zahl) aufdie Komponenten und damit auf skalare Rechenregeln zurückgeführt.

~a+~b =�

a1a2

�

+�

b1b2

�

=�

a1+ b1a2+ b2

�

λ · ~a = λ�

a1a2

�

=�

λa1λa2

�

λ ∈ R

Skalarprodukt im Rn: ~a ·~b =n∑

i=1

ai bi = a1 b1+ a2 b2+ ...+ an bn

Vektorprodukt (Kreuzprodukt) im R3:

~a×~b =

a2 b3− a3 b2a3 b1− a1 b3a1 b2− a2 b1

Länge (Betrag) im Rn: |~a|=

s

n∑

i=1

a2i =Æ

a21 + a2

2 + ...+ a2n

Bemerkungen:

• Das Skalarprodukt kann auch als

~a ·~b = |~a| · |~b| · cosϕ

geschrieben werden, wobei ϕ der von ~a und ~b eingeschlossene Winkel ist (0 ≤ ϕ ≤ 180◦). Ist dasSkalarprodukt gleich null, so stehen ~a und ~b senkrecht aufeinander.

4

Beispiel (Technische Mechanik)

y

x

G: Eigengewicht

s: Wegϕ

G

G1

G2

s

sx

syϕ

ϕ

Arbeit = Kraft mal gleichgerichtetem Weg

W = | ~G1| · |~s|= |~G| · |~sy |= |~G| · |~s| · cosϕ = ~G ·~s| ~G1|= |~G| · cosϕ

|~sy |= |~s| · cosϕ

Mit Zahlen: |~G|= 5kN , |~s|= 2m, ϕ = 60◦

|~G| · |~s| · cos60◦ = 5kNm

~G ·~s =�

o−5kN

��

2m · sinϕ−2m · sinϕ

�

= 10kNm · cos60◦ = 5kNm

• Das Vektorprodukt ~a×~b liefert als Ergebnis einen Vektor ~c, der senkrecht auf die Ebene, die von ~aund ~b aufgespannt wird, steht (~c · ~a = 0, ~c ·~b = 0).Der Betrag von ~c kann auch folgendermaßen berechnet werden:

|~c|= |~a| · |~b| · sinϕ

Beispiel (Geometrie)

Flächeninhalt eines Parallelogramms F

h

a

b

ϕ

5

F = |~a×~b|= |~a| · |~b| · sinϕ = |~a| · h

Mit Zahlen: ~a =

500

, ~b =

220

(Kreuzprodukt im R3 definiert)

F =

�

�

�

�

0 · 0− 2 · 00 · 2− 5 · 05 · 2− 0 · 2

�

�

�

�

=

�

�

�

�

00

10

�

�

�

�

= 10

F = |~a| · h= |~a| · |~b| · sinϕ = 5 ·p

22+ 22 · sin45◦ = 5 · 2p

2 ·p

2

2= 10

Anwendungsbeispiel 1: Kräfte in der Technischen Mechanik

Lösung über Gleichgewichtsbedingungen:

Die Summe der (horizontalen und vertikalen) Kräfte muss verschwinden. Es darf keine resultierendeKraft geben, wenn das System in Ruhe sein soll:

∑

~F = ~0

Gegeben: Gewichtskräfte G1, G2, G3Gesucht: Winkel α1,α2 für Gleichgewicht

G1 G2

α1 α2

G3

y

x

6

∑

~F = ~G1+ ~G2+ ~G3 =�

−G1HG1V

�

+�

G2HG2V

�

+�

0−G3V

�

=�

00

�

∑

FH =−G1H + G2H = 0

− G1 · cos (α1) + G2 · cos(α2) = 0∑

Fv = G1V + G2V − G3V = 0

G1 · sin(α1) + G2 · sin(α2)− G3 = 0

G1 · cos(α1) = G2 · cos(α2)G1 · sin(α1)− G3 =−G2 · sin(α2)

Quadrieren und Addieren liefert:

G21 cos2α1+ G2

1 sinα1− 2G1G3 sinα1+ G23 = G2

2 cos2α2+ G22 sin2α2

G21 − 2G1G3 sinα1+ G2

3 = G22

sinα1 =G2

1 + G23 − G2

2

2G1G3

analog sinα2 =G2

2 + G23 − G2

1

2G2G3

mit Zahlen:

G1 = 8kN

G2 = 10kN

G3 = 15kN

⇒ α1 = 51,9◦

α2 = 60,5◦

G3

G1 G2

52 60

Kontrolle (zeichnerisch):

α1

α2G1

G2

G3⇒ Keine Resultierende!

7

2. Komplexe Zahlen

Lösung von Gleichungen:

• x2+ 1= 0?

• (x + 1)2+ 2= 0?

Mit der Menge der reellen Zahlen (R) nicht möglich. Erweiterung um die Menge der komplexen ZahlenC.

DEF

• Eine Zahl z := x + i y mit x , y ∈ R und i2 := −1 heißt komplexe Zahl z mit derimaginären Einheit i.

• Menge der komplexen Zahlen C := {x + i y : x , y ∈ R}

• Realteil von z: Re(z) := x

• Imaginärteil von z: Im(z) := y

• Zu z konjugiert komplexe Zahl: z := x − i y

• Betrag von z: |z| :=p

x2+ y2

Bemerkung:Man kann die komplexen Zahlen auch anhand der komplexen (Gaußschen) Zahlenebene einführen:

Im(z)

Re(z)

z = x + iy

r = |z

|

ϕx

y

Eine sich daraus ergebende Schreibweise von komplexen Zahlen ist die Polarkoordinatendarstellung:

z = x + i y = r(cosϕ+ i sinϕ) = reiϕ

mit:

• r = |z|=p

x2+ y2

• ϕ = atan� y

x

�

(auf Quadranten achten!)

• eiϕ: komplexe Exponentialfunktion

• ϕ: Argument von z (ϕ := ar g(z))

8

Rechenregeln:Die Rechenregeln für Addition, Subtraktion und Multiplikation folgen aus den Rechenregeln für reelleZahlen:

• z1+ z2 = (x1+ i y1) + (x2+ i y2) = (x1+ x2) + i(y1+ y2)

• z1 · z2 = (x1+ i y1) · (x2+ i y2) = (x1 x2− y1 y2) + i(x1 y2+ x2 y1)

Die Division ist folgendermaßen definiert:

•z1

z2=

z1 · z2

z2 · z2=

z1 · z2

|z2|2

Durch die Polarkoordinatenschreibweise übertragen sich zudem die Rechenregeln für Exponenten aufdie komplexen Zahlen:

z.B. eiϕ1 · eiϕ2 = ei(ϕ1+ϕ2)

• z1 · z2 = (|z1|eiϕ1)(|z2|eiϕ2) = |z1| · |z2|ei(ϕ1+ϕ2)

•z1

z2=|z1|eiϕ1

|z2|eiϕ2=|z1||z2|

ei(ϕ1−ϕ2)

Eine Gleichung von der Gestalt

• zn = a mit a, z ∈ C, a = |a|eiϕund n ∈ N

hat genau n verschiedene Lösungen:

• zk =np

|a|ei(ϕ+2πkn ) = n

p

|a|�

cos(ϕ+2πkn) + isin(ϕ+2πk

n)�

für k = 0,1, ..., n− 1.

Beispiele:

1. z =−2+ 2i

|z|=p

22+ 22 = 2p

2

ϕ = atan�

+2

−2

�

=−45◦ aber im zweiten Quadranten:

1 2-1-2

1

2

Re(z)

Im(z)

z

ϕ = 135°

-45°

9

⇒ ϕ = 180◦− 45◦ = 135◦ =3

4π

z = 2p

2�

cos3

4π+ i sin

3

4π

�

= 2p

2ei 34π

2. z1 = 2ei π6 , z2 = 3ei 4π3

z1 · z2 = 6ei 3π2 = 6

�

cos�

3

2π

�

+ i sin�

3

2π

��

=−6i

-6 z1 . z2

3_ π

2Re(z)

Im(z)

Die Multiplikation einer komplexen Zahlen z1mit einer zweiten komplexen Zahl z2 entsprichteiner Drehung um den Winkel ϕ2 und einerStreckung/Stauchung um |z2| in der GaußschenEbene.

z1

z2=

2

3ei�

− 76π�

=2

3

�

cos�

−7

6π

�

+ i sin�

−7

6π

��

=2

3

�

−p

3

2+ i ·

1

2

�

=−p

3

3+ i ·

1

3

Re�

z1

z2

�

=−p

3

3

Im�

z1

z2

�

=1

3�

�

�

�

z1

z2

�

�

�

�

=2

3

ar g�

z1

z2

�

= 360◦−7

6π ·

180

π= 150◦

3. Gleichung x2+p

2x + 1= 0

�

x2+

p2

2

�2

=−1+1

2=−

1

2

x +

p2

2=±i

p2

2

x1 =−p

2

2+

p2

2i =

p2

2(−1+ i)

x2 =

p2

2(−1− i)

x1, x2 ∈ C

10

Anwendung der komplexen Zahlen im Ingenieurwesen (Beispiele):

• Herleitung der Scheibengleichung (∆∆F = 0) über komplexe Funktionen (Statik der Flächentrag-werke, Bruchmechanik)

• Spannungsoptik (Messtechnik), Wellengleichung

• Elektrotechnik (komplexe Wechselstromrechnung)

• Allgemein: Lösung von Differentialgleichungen (Funktionstheorie)

• Schwingungen (Baudynamik)

Anwendungsbeispiel 2: Schwingung eines Hochhauses

Erste übliche Annahme: Freie, ungedämpfte Schwingung

Gesucht: Bauwerksreaktion x(t)

x

c

Ruhelage:

Auslenken um x0 und loslassen!

Mechanische Behandliung: Freikörperbild

cx

x

11

2. Newtonsches Grundgesetz: mx =∑

Fx =−cx

⇒ Bewegungsgleichung x +c

mx = 0 (Differentialgleichung, DGL)

⇒ Lösung: x(t) = x0 · cos

�Ç

c

m· t�

⇒ Kontrolle: x(t) =−x0 · sin�Ç

c

m· t�Ç

c

m

x(t) =−x0 · cos

�Ç

c

m· t�

c

m

⇒−x0 · cos

�Ç

c

m· t�

c

m·m+ c · x0 · cos

�Ç

c

m· t�

= 0 Ø

Nächste verbesserte Annahme: Freie, gedämpfte Schwingung

x

c

Ruhelage:

Freikörperbild:

cx

x

: viskoser Dämpfer (Kraft proportional zur Geschwindigkeit)

dx.

mx =−cx − d x

⇒ Bewegungsgleichung x =d

mx +

c

mx = 0 (DGL)

mit Abkürzungen ω2 =c

m, 2δ =

d

m, ωd =

p

ω2−δ2

ergibt sich als Lösung für eine schwache Dämpdung: x(t) = e−δt(A1eiωd t + A2e−iωd t)

⇒ Komplexe Exponentialfunktion (Komplexe Lösung)

x(t) = e−δt[(A1+ A2) cos(ωd t)︸ ︷︷ ︸

Realteil

+i (A1− A2) sin(ωd t)︸ ︷︷ ︸

Imaginärteil

]

⇒ Reelle Lösung als Superposition (Zusammenfügung) von Real- und Imaginärteil

⇒ x(t) = e−δt(A · cos(ωd t) + B · sin(ωd t))

Abklingende Schwingung

12

Mit (halbwegs) realistischen Zahlen:

h= 100m

E = 30.000N

mm2 Beton

I = 100m4

EI = 3.000.000MNm2 = 3 · 106MNm2

c =3EI

h3 = 9MN

mm= 45.000t

∧= 450MN

δ = 0,1

ω=Ç

c

m=

s

9 · 106 Nm

45 · 106kg=

s

9

45

kgmm·s2

kg=

r

0,21

s2 = 0,451

s

ωd =p

w2−δ2 = 0,441

s

�

Td =2π

wd= 14,3s

�

Anfangsauslenkung (bspw. durch Windböe): x0 = 1mx(t = 0) = x0 = A= 1m

keine Anfangsgeschwindigkeit⇒ B = 0

⇒ x(t) = e−δt · cos(wd t) · 1m

10 20 30 40 50t

�1.0

�0.5

0.0

0.5

1.0x�t�

13

3. Funktionen

DEFEine Funktion (Abbildung) f ist eine Vorschrift, die jedem Element x aus der Menge D f genau ein Ele-ment aus der Menge Wf zuordnet:f : D f →WfEs gilt:

• Definitionsbereich: D f ⊆ R

• Wertebereich: Wf = { f (x) : x ∈ D f } ⊆ R

• Bildpunkt von x unter f : f (x)

• Graph von f : G f =��

xy

�

∈ R2 : y = f (x), x ∈ D f

�

Beispiel:

1. Normalparabel(mit eingeschränktem Definitionsbereich):

f1(x) = x2, D f = [−2,2],⇒Wf = [0, 4]

Graph:

�2 �1 1 2 x

1

2

3

y

x2

2. Wurzelfunktion:

f2(x) =p

x ⇒ D f = [0,∞[ ⇒Wf = [0,∞[Graph:

1 2 3 4 x

1

2

y

x

14

3. f3(x) =1

x⇒ D f = R\{0} ⇒Wf = R\{0}

Graph:

�3 �2 �1 1 2 3 x

�3�2�1

123

y

1x

Im Folgenden ist f immer eine Funktion mit f : D f → R.

DEF: Symmetrieeigenschaften

• Achsensymmetrie ( f gerade): f (−x) = f (x)

• Punksymmetrie ( f ungerade): f (−x) =− f (x)

Beispiel:

• f1(x) ist gerade

• f3(x) ist ungerade

DEF: MonotonieDie Funktion f heißt (streng) monoton wachsend, falls für alle x1, x2 ∈ D f mit x1 < x2 gilt:

f (x1)≤ f (x2) ( f (x1)< f (x2))

Analog: (streng) monoton fallend.

Beispiel:

• f1(x) ist nicht monotonaber f1(x) mit D f = [−2, 0] ist streng monoton fallendund f1(x) mit D f = [0, 2] ist streng monoton wachsend

• f2(x) ist streng monoton wachsend

DEF: BeschränktheitDie Funktion f ist beschränkt, falls es eine positive Zahl b gibt, sodass gilt:−b ≤ f (x)≤ b für alle x ∈ D fAndernfalls heißt f unbeschränkt. (Vergleiche Beschränktheit von Mengen)Beispiel:

• f1(x) ist beschränkt mit b = 4

• f2(x), f3(x) sind unbeschränkt.

15

DEF: UmkehrfunktionDie Funktion f heißt:

• injektiv: x1 6= x2⇒ f (x1) 6= f (x2)(Zu jedem y = f (x) gibt es höchstens ein x ∈ D f )

• surjektiv: f (D f ) =Wf(Durch Einsetzen aller x−Werte aus dem Definitionsbereich wird der gesamte Wertebereich abge-bildet)

• bijektiv: f injektiv und surjektiv

• Umkehrfunktion: Ist f (x) = y bijektiv, dann gilt:f −1(y) = x mit f −1 : Wf → D f

Bemerkung:Die Umkehrfunktion wird bestimmt, indem die Funktion f (x) = y nach x aufgelöst wird und anschlie-ßend x und y vertauscht werden. Dies entspricht einer Spiegelung an der Winkelhalbierenden y = x .Jede streng monotone Funktion ist umkehrbar.Durch Einschränken des Wertebereichs kann jede Funktion surjektiv gemacht werden. Somit kann manauch sagen, dass die Injektivität als Voraussetzung zur Umkehrbarkeit ausreicht.

Beispiel:

• f1 ist nicht injektiv, da f (−2) = f (2) = 4aber f1 ist surjektiv, da Wf = [0,4] von f1 komplett abgebildet wird.

• f2 ist bijektiv und f −12 (x) = x2 mit D f = [0,∞[ ist die Umkehrfunktion:

1 2 3 4 x

1

2

y

• f3 ist bijektiv und f −13 (x) = f3(x)

16

DEF: Komposition (Verkettung, Hintereinanderschaltung) von Funktionen

Zu zwei Funktionen f : A→ B und g : B→ C kann man die Komposition h= f ◦ g bilden. Die Funktionh ergibt sich zu h(x) = ( f ◦ g)(x) = f (g(x)). Dabei wird in f (x) das x durch g(x) ersetzt. Man führtalso erst die Funktion g(x) aus und steckt dieses Ergebnis in die Funktion f (x).

Bei der Komposition ist die Reihenfolge zu beachten!

Beispiel:

• f (x) = sin(x),

• g(x) = x3+ 5,

• ( f ◦ g)(x) = f (g(x)) = sin(x3+ 5)

• (g ◦ f )(x) = g( f (x)) = (sin(x))3+ 5

Anmerkung:Wichtige Anwendung der Verkettung von Funktionen sind die Kettenregel beim Ableiten und die Inte-gratration durch Substitution.

17

Kreisfunktionen (Trigonometrische Funktionen)

Anwendung z.B. Geometrie, Schwingungen, Näherungen für beliebige periodische Funktionen (Fourier-Reihen)

Einheitskreis

cos(x)r = 1

sin(x)tan(x)

x

rechtwinkliges Dreieck

x

H

G

A

sin(x) =G

Htan(x) =

G

A

cos(x) =A

Hcot(x) =

1

tan(x)=

A

G

Funktionen Graphen Eigenschaften (k ∈ Z)

• f (x) = sin(x)

• D f = R

• Wf = [−1, 1]� Π2

Π2 Π 2 Π x

�1

1

y

sin�x� • 2π - periodisch

• ungerade

• beschränkt mit −1≤ sin(x)≤ 1

• f (x) = cos(x)

• D f = R

• Wf = [−1, 1]� Π2

Π2 Π 2 Π x

�1

1

y

cos�x� • 2π - periodisch

• gerade

• beschränkt mit −1≤ sin(x)≤ 1

• f (x) = tan(x)

• D f = R\¦

kπ+ π

2

©

• Wf = R� Π2

Π2 Π 2 Π x

�1

1

y

tan�x� • π - periodisch

• ungerade

• unbeschränkt

18

Bemerkung: Umrechnung der Winkelmaße

• Von Gradmaß in Bogenmaß: αRad = αGrad ∗180◦

π

• Von Bogenmaß in Gradmaß: αGrad = αRad ∗π

180◦

• Von Grad in Gon: αGon = αGrad ∗200◦

180◦

Umkehrfunktionen der Kreisfunktionen

Um die Umkehrfunktionen zu bilden, müssen die Definitionsbereiche eingeschränkt werden, da durchdie Periodizität die Funktionen nicht injektiv sind. Für sin und cos müssen zudem die Wertebereiche aufWf = [−1, 1] eingeschränkt sein für die Surjektivität.

Funktionen Graphen

• f (x) = arcsin(x)

• D f = [−1,1]

• Wf =�

−π2, π

2

� �1 1 x

� Π2

Π2

y

sin�1�x�

• f (x) = arccos(x)

• D f = [−1,1]

• Wf = [0,π]

�1 1 x

Π2

Π

y

cos�1�x�

• f (x) = arctan(x)

• D f = R

• Wf =�

−π2, π

2

� �1 1 x

� Π2

Π2

y

tan�1�x�

19

Anwendungsbeispiel 3: Mohrscher Spannungskreis (Trigonometrie)

Anwendung in TM, Statik, Geotechnik, Stahlbau Ebener Spannungszustand (Aus einer Scheibe heraus-geschnittenes Element):

x

y

t

τxy

τxy

σxσx

σy

σy

σ : Normalspannungenτ: Schubspannungen

Was passiert, wenn das Element gedreht herausgeschnitten wird?

⇒ KoordinatentransformationGegeben: σx ,σy ,τx yGesucht: σξ,ση,τξη

dη · t = dAd x = dη · sinϕd y = dη · cosϕ

Kräftegleichgewicht liefert:

↗: σξ · dA− (σx · dA · cosϕ) cosϕ− (τx y · dA · cosϕ) sinϕ− (σy · dA · sinϕ) sinϕ− (τx y · dA · sinϕ) cosϕ = 0

↖: analog

20

Durch Umformen (Additionstheoreme) erhält man die Transformationsgleichungen:

σξ =1

2(σx +σy) +

1

2(σx −σy) cos(2ϕ) +τx y sin(2ϕ)

ση =1

2(σx +σy)−

1

2(σx −σy) cos(2ϕ)−τx y sin(2ϕ)

τξη = −1

2(σx −σy) sin(2ϕ) +τx y cos(2ϕ)

Bei welchem Schnitt werden die Spannungen extremal?Quadrieren und Addieren der Transformationsgleichungen liefert:

�

σξ−1

2(σx +σy)

�2

+τ2ξη =

�

σx −σy

2

�2

+τ2x y

Mit den Abkürzungen:

• r2 =�

σx −σy

2

�2

+τ2x y

• σM =1

2(σx +σy)

ergibt sich:

(σ−σM)2+τ2 = r2

Vergleiche allgemeine Kreisgleichung: (x − xM)2+ (y − yM)2 = r2

Die Spannungen eines Elements können also als Kreis dargestellt werden (Mohrscher Spannungskreis):

σ

τ

σM σx

σy

τxy

τxy

r

21

Damit werden die oben genannten Abkürzungen verdeutlicht:

• Der Radius r folgt aus Pythagoras und σM aus der Geometrie (Mittelwert).

• Dreht man nun den Schnitt (vgl. obige Abbildung) um ϕ gegen den Uhrzeigersinn, so bewegt mansich auf dem Mohrschen Kreis mit 2ϕ im Uhrzeigersinn.

Die extremalen Spannungen betragen also:

σ1,2 = σM ± r =σx +σy

2±

È

�

σx −σy

2

�2

+τ2x y

Beispiel:

σx =−64N

mm2

σy = 32N

mm2

τx y =−20N

mm2

Gesucht:

a) Spannungen im Schnitt 60◦ zur x-Achse

b) Mohrscher Spannungskreis

c) Hauptspannungen

22

Lösung:

a) Transformationsgleichungen (ϕ = 60◦)

σξ =1

2(−64+ 32) +

1

2(−64− 32) · cos(120◦)− 20 · sin(120◦)

=−9, 32N

mm2

ση =−22,68N

mm2

τξη = 51,57N

mm2

b) σM =−64+ 32

2=−16

N

mm2

σx

σy

-20

σM 20

20

τxy

σ

τ

c) r =

È

�−64− 32

2

�2

+ (−20)2 = 52

σ1,2 =−16± 52

σ1 = 36N

mm2

σ2 =−68N

mm2

23

DEF: Grenzwerte einer Funktion

Gegeben ist ein Intervall I ⊆ R, ein Wert a aus dem Intervall I (a ∈ I) und eine Funktion f : D f → R mitD f = I\{a}.

• rechtsseitiger Grenzwert b : limx→a+

f (x) = b

Die Definition der Grenzwerte erfolgt über Folgen, die hier nicht behandelt werden. Die Aussageist dabei die folgende: „Egal über welchen Weg (welche Folge) ich mich dem Wert a von rechtsannähere, der Funktionswert strebt immer gegen b. Analog sind folgende Grenzwerte definiert:

• linksseitiger Grenzwert: limx→a−

f (x) = b

• Grenzwert: limx→a+

f (x) = limx→a−

f (x) = limx→a

f (x) = b

• Grenzwert im Unendlichen: limx→∞

f (x) = b oder limx→−∞

f (x) = b

Beispiel:

• f3(x) =1

x: lim

x→0+f (x) = +∞

limx→0−

f (x) =−∞

• f4(x) =x2+ x − 6

x − 2:

limx→2+

f (x) = limx→2−

f (x) = limx→2

f (x) = 5

• f5(x) = sin�

1

x

�

hat bei x = 0 keinen Grenzwert.

DEF: Stetigkeit

• f ist stetig in x0, falls limx→x0

f (x) = f (x0)

• f ist stetig auf I , falls f stetig in jedem Punkt x0 ∈ I

Beispiel:

• f1(x) = x2 ist stetig auf D f = R

• f2(x) =p

x ist stetig auf D f = [0,∞[

• f3(x) =1

xist in x = 0 nicht stetig, aber auf D f = R\{0} stetig

• f4(x) =x2+ x − 6

x − 2ist in x = 2 nicht stetig, da f (2) nicht definiert ist, aber auf D f = R\{2} stetig.

24

Bemerkungen:

• Die Stetigkeit einer Funktion kann auch mit dem ε−δ - Kriterium überprüft werden.

• Die Kombination (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Verkettung) von stetigen Funktionen er-gibt wieder einer stetige Funktion

• Für auf einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktionen gilt:

– f ist beschränkt

– f nimmt auf dem Intervall ein Maximum und Minimum an

– Jeder Wert zwischen Maximum und Minimum wird angenommen

DEF: Exponentialfunktion

• Die Zahlenfolge�

1+1

n

�n

hat den Grenzwert im Unendlichen

limn→∞

�

1+1

n

�n

= e = 2,718...

• Die Zahlenfolge�

1+x

n

�nhat den Grenzwert im Unendlichen

limn→∞

�

1+x

n

�n= ex

• Die Funktion f : R→ R mit f (x) = ex = exp(x) heißt Exponentialfunktion (e - Funktion).

• Die Funktion f : R→ R mit f (x) = ax heißt allgemeine Exponentialfunktion (a > 0)

• Cosinus Hyperbolicus: cosh(x) =ex + e−x

2

• Sinus Hyperbolicus: sinh(x) =ex − e−x

2

Graphen:

�3 �2 �1 1 2 3 x

1

2

3

y

�x��x 2x5x

25

�3 �2 �1 1 2 3 x

�3�2�1

123

y

cosh�x�

sinh�x�Eigenschaften der e - Funktion

• D f = R

• ex > 0 für alle x ∈ R

• streng monoton steigend⇒ umkehrbar

• limx→∞

ex =∞, limx→−∞

ex = 0, e0 = 1

• Die Ableitung von ex ist wieder ex

Umkehrfunktion: der natürliche Logarithmus

f (x) = y = ex

⇔ ln(y) = x

⇒ f −1(x) = ln(x)

Graph:

�3 �2 �1 1 2 3 x

�3�2�1

123

y�x

ln�x�

Eigenschaften des natürlichen Logarithmus

• D f =]0,∞[

• streng monoton steigend

• limx→0

ln(x) =−∞, limx→∞

ln(x) =∞

26

Rechenregeln:

• ex+y = ex e y

• ex−y =ex

e y

• e0 = 1

• (ex)y = ex y

• eln(x) = x

• ax = ex ·ln(a)

• ln(x y) = ln(x) + ln(y)

• ln�

x

y

�

= ln(x)− ln(y)

• ln(1) = 0

• ln(x y) = y · ln(x)

• ln(ex) = x

• loga(x) =1

ln(a)ln(x)

Anwendungen:

Exponentiell wachsende bzw. fallende Prozesse (Radioaktivität, Abkühlung, Sättigung,...), Ansatzin Differentialgleichungen, freie Seiltragwerke (Kettenlinie), Verlauf der Vorspannkraft im Spann-betonbau

Anwendungsbeispiel 4: Seilhaftung

Aus den Gleichgewichtsbedingungen und H = µ0 ·N (Grenzhaftung) bzw. R= µ ·N (Reibung) folgen beigegebenen S1 (α im Bogenmaß):

Haftung:S1e−µ0α ≤ S2 ≤ S1eµ0α

Grenzhaftung:S2 > S1 : S2 = S1eµ0α

S2 < S1 : S2 = S1e−µ0α

Reibung:S2 > S1 : S2 = S1eµα

S2 < S1 : S2 = S1e−µα

27

Beispiele

1) Ein Schiffstau muss eine Kraft von 100kN auf den Anlegepoller übertragen können. Der Haftungs-koeffizient beträgt µ0 = 0,2. Wie oft muss das Seil um den Poller gewickelt werden, damit derKnoten (max. 5kN) noch hält?

 

S1 = 100kN

S2 = 5kN

r = 0,2m

Grenzhaftung:

S1 = S2eµ0α (S2 < S1)

100kN = 5kN · e0,2·α | : 5kN

20= e0,2α | ln(...)2, 996= 0, 2α

α= 14,98= 858◦

Das Seil muss drei mal (1080◦) um den Poller gewickelt werden.

2) Gesucht: Seilbremskraft, damit System in Ruhe ist (S1?)⇒ Grenzhaftung

System:

 

MA

r

S1

r = 0,5m

MA = 10kNm

µ0 = 0, 3

FKB:

 

MA

S1

S2

A S2 > S1⇒ S2 = S1eµ0α

α= 180◦ = π

28

Momentengleichgewicht um A:

yA: MA = S1r − S2r = 0

⇔MA

r+ S1− S1eµ0α = 0

⇔ S1(1− e0,3π) =−MA

r

⇔ S1 =−MA

r(1− e0,3π)=

MA

r(e0,3π− 1)=

10

0, 5(2, 566− 1)= 12, 8kN

⇒ S2 = 12,8e0,3π = 32,8kN

29

Kapitel 2: Differentiation

DEFEs sei I ⊆ R ein offenes Intervall, f : I → R und x0 ∈ I . Wir nennen f differenzierbar an der Stelle x0,falls der Grenzwert (Differenzenquotient)

limx→x0

f (x)− f (x0)x − x0

existiert.

Schreibweise:

f ′(x0) =d f (x0)

d x:= lim

x→x0

f (x)− f (x0)x − x0

= limh→0

f (x0+ h)− f (x0)h

f ′(x0) heißt Ableitung von f an der Stelle x0.

Geometrische Bedeutung der Ableitung:

• f ′(x0) ist die Steigung der Tangente im Punkt (x0, f (x0))

• Tangentengleichung: y = f (x0) + f ′(x0) · (x − x0)

• Lineare Approximation für die Funktion f (x) in der Nähe von x0:

f (x)≈ f (x0) + f ′(x0) · (x − x0)

Bemerkung:

f in x0 differenzierbar⇒ f in x0 stetig

Rechenregeln:

a)�

f (x) + g(x)�′ = f ′(x) + g ′(x)

b)�

λ · f (x)�′ = λ · f ′(x), λ ∈ R

c)�

f (x) · g(x)�′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x) (Produktregel)

d)�

f (x)g(x)

�′

=f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)

(g(x))2, g(x) 6= 0 (Quotientenregel)

e)�

f (g(x))�′ = f ′(g(x)) · g ′(x) (Kettenregel)

f) g ′(x) =1

f ′(g(x))mit g(x) = f −1(x) (Umkehrfunktion)

30

Ableitungen von ausgewählten Funktionen

Beschreibung f (x) f ′(x)

1 konstante Funktion c 0

2 lineare Funktion ax + b a

3 Polynom xn n · xn−1

4 Quotient1

xn = x−n −nx−n−1 =−n

xn+1

5 Wurzelp

x = x12

1

2x−

12 =

1

2p

x

6 Sinus sin(x) cos(x)

7 Cosinus cos(x) − sin(x)

8 Tangens tan(x)1

cos2(x)

9 e - Funktion ex ex

10 Sinus Hyperbolicus sinh(x) cosh(x)

11 Cosinus Hyperbolicus cosh(x) sinh(x)

12 natürlicher Logarithmus ln(x)1

x

13 allgemeiner Logarithmus loga(x)1

ln(a)·

1

x

Beispiele

a) f (x) = x5+ x + 4

f ′(x) = 5x4+ 1

b) f (x) = 3x2

f ′(x) = 3 · 2x

c) f (x) = sin(x) · cos(x)

f ′(x) = cos(x) · cos(x) + sin(x) · (− sin(x)) = cos2(x)− sin2(x)

d) f (x) = tan(x) =sin(x)cos(x)

f ′(x) =cos(x) · cos(x)− sin(x) · (− sin(x))

cos2(x)=

cos2(x) + sin2(x)cos2(x)

=1

cos2(x)

e) f (x) = e8x2+cos(x)

f ′(x) = e8x2+cos(x) · (16x − sin(x))

31

f) f (x) = ex , f −1(x) = g(x) = ln(x)

g ′(x) =1

f ′(g(x))=

1

eln(x)=

1

x

DEF: Höhere Ableitungen

• Ableitung von f (x) : f ′(x)

• Ableitung von f ′(x) :�

f ′(x)�′ := f ′′(x) := f (2)(x) :=

d2 f (x)d x2

• Analog:f (0)(x) := f (x)

f (1)(x) := f ′(x)

f (2)(x) := f ′′(x)...

f (n)(x) :=�

f (n−1)(x)�′

• Ist die Ableitung von f stetig, so heißt f stetig differenzierbar

• Ist die n-te Ableitung von f stetig, so heißt f n-mal stetig differenzierbar

32

Anwendungsbeispiel 5: Kettenlinie (Seilbau)

Hängt ein Seil nur unter der Last seines Eigengewichts q, so wird die Form exakt durch die Kettenliniebeschrieben:

(Koordinatensystem liegt im Tiefpunkt)

y(x) =H

q· cosh

� q

H· x�

mit:

• H = Horizontalkraft�

konstant über x mit H =ql2

8 f

�

• q = Eigengewicht

• f = Stich

• l = horizontaler Abstand zwischen den Auflagerpunkten A und B

Aufgabe:

a) Bestätige, dass die Funktion y(x) die Differentialgleichung der Keetenlinie erfüllt:

y ′′(x) =qp

1+ y ′2

H

b) Bestimme die Seilkraft S als Funktion von x

α: Steigungswinkel

y ′: Steigung�

y ′ = tanα=V

H

�

33

c) Welches Seil ist für folgende Situation geeignet:

f = 10m

l = 100m

q = 2kN

m(Eigengewicht und Belastung)

Lösung:

a) 1. Ableiten

y(x) =H

q· cosh

� q

H· x�

y ′(x) =H

q· sinh

� q

H· x�

·q

H= sinh

� q

H· x�

y ′′(x) = cosh� q

H· x�

·q

H

2. Einsetzen (Es gilt: cosh2(x)− sinh2(x) = 1)

cosh� q

H· x�

·q

H?=

q

H

Ç

1+ sinh2� q

H· x�

=q

H· cosh

� q

H· x�

Ø

b) Pythagoras

S2 = H2+ V 2 :

y ′ =V

H⇔ V = y ′ ·H⇔ V 2 = y ′2 ·H2

⇒ S =p

H2+ V 2 =p

H2+ y ′2 ·H2 = Hp

1+ y ′2

= H

Ç

1+ sinh2� q

H· x�

= H · cosh� q

H· x�

c) H =ql2

8 f=

2 kNm· (100m)2

8 · 10m= 250kN

S = H · cosh� q

H· x�

Smax = S(50m) = S(−50m) = 270, 3kN

Gewählt: PG55, da ZR,d nicht überschritten werden soll (ZR,d = 326kN)

34

Anwendung der Differentiation

DEF: Extrema

• An der Stelle x0 hat f ein globales Maximum (Minimum), fallsf (x)≤ f (x0)

�

f (x)≥ f (x0)�

für alle x ∈ D f

• An der Stelle x0 hat f ein lokales Maximum (Minimum), falls es ein Intervall I um x0 gibt, sodassf (x)≤ f (x0)

�

f (x)≥ f (x0)�

für alle x ∈ I

• Extremum/Extremstelle: Maximum oder Minimum

Bemerkungen:

• Notwendige Bedingung für lokale Extremstelle an x0 ( f ist differenzierbar): f ′(x0) = 0x0 heißt dann stationärer Punkt.

• Kandidaten für Extremstellen sind:

– Randpunkte (bzw. x =±∞)

– nicht differenzierbare Punkte

– stationäre Punkte

• Hinreichende Bedingung für lokales Maximum/Minimum ( f ist zweimal stetig differenzierbar, x0ist stationärer Punkt):

– f ′′(x0)< 0⇒ f hat in x0 ein lokales Maximum

– f ′′(x0)> 0⇒ f hat in x0 ein lokales Minimum

• Aus dem Vorzeichen der ersten Ableitung lässt sich die Monotonie bestimmen, da f ′(x) die Stei-gung darstellt.

• Damit gilt, dass wenn f differenzierbar mit f ′(x) 6= 0 ist, existiert eine Umkehrfunktion zu f aufeinem geeigneten Definitionsbereich

• Die zweite Ableitung definiert die Krümmung der Funktion f :

– f ′′(x)> 0⇒ Linkskrümmung

– f ′′(x)< 0⇒ Rechtskrümmung

• Ein Wechsel der Krümmung entspricht einem Wendepunkt x0:

f ′′(x0) = 0 mit f ′′′(x0) 6= 0

35

Kurvendiskussion y = f (x)

1 Definitions- und Wertebereich festlegen

2 Symmetrie testen

3 Stetigkeit prüfen

4 Nullstellen bestimmen

5 f ′, f ′′, f ′′′ berechnen

6 Extremwertanalyse

7 Monotoniebereiche festlegen

8 Wendepunkte bestimmen

9 Verhalten für x →±∞ untersuchen, Asymptoten bestimmen

10 Graph skizzieren

36

Beispiel: f (x) = 3x2 · ex

1 D f = R, Wf = [0,∞[

2 1) f (−x) = f (x)3(−x)2 · e−x ?

= 3x2 · ex

⇒ e−x 6= ex

2) f (−x) =− f (x)3(−x)2 · e−x ?

=−3x2 · ex

e−x 6=−ex

nicht symmetrisch

3 stetig auf D f = R (Komposition/Kombination stetiger Funktionen)

4 Nullstelle: x1 = 0

5 f ′(x) = 6xex + 3x2ex = ex(3x2+ 6x)f ′′(x) = ex(3x2+ 6x + 6x + 6) = ex(3x2+ 12x + 6)f ′′′(x) = ex(3x2+ 12x + 6+ 6x + 12) = ex(3x2+ 18x + 18)

6 f ′(x)!= 0

⇒ 3x2+ 6x = 0⇒ x2 = 0⇒ 3x + 6= 0⇒ x3 =−2

x2 = 0 : f (x2) = 0f ′′(x2) = 6> 0⇒ (0; 0) ist lokales Minimum

x3 =−3 : f (x3) = 1,624f ′′(x3) =−0,81< 0⇒ (−2; 1,624) ist lokales Maximum

7 f ′(x <−2)> 0 ⇒ f streng monoton steigend auf ]−∞,−2[f ′(−2< x < 0)< 0⇒ f streng monoton fallend auf ]− 2,0[f ′(0< x)> 0 ⇒ f streng monoton steigend auf ]0,∞[

8 f ′′(x)!= 0

⇔ 3x2+ 12x + 6= 0⇔ x2+ 4+ 2= 0⇔ (x + 2)2 =−2+ 22 = 2 ⇒ x4,5 =−2±

p2

f ′′′(x4 =−2+p

2) = 4,7 6= 0f ′′′(x5 =−2−

p2) =−0,3 6= 0

⇒ x4, x5 sind Wendepunkte

9 limx→−∞

f (x) = 0 (L’Hospital)

limx→∞

f (x) =∞

37

10 Graph:

�10 �5 �2 �1 1 x

1

2

3

y

Regel von L’Hospital

Funktionen f und g für die gilt (x0 ∈ [a, b] oder x0 =±∞):

• f und g auf [a, b]\{x0} differenzierbar

• limx→x0

f (x) = limx→x0

g(x) ∈ {0,±∞}

⇒ limx→x0

f (x)g(x)

= limx→x0

f ′(x)g ′(x)

(Weitere Ableitungen möglich)

Beispiel:

a) limx→0

sin(x)x= lim

x→0

cos(x)1

= 1

b) limx→∞

ex

x= lim

x→∞

ex

1=∞ (ex „wächst am schnellsten“)

c) limx→−∞

3x2ex = limx→−∞

3x2

e−x = limx→∞−

6x

e−x = limx→∞

6

e−x = 0

38

Anwendungsbeispiel 6: Potential

Stabilität einer Gleichgewichtslage

• Potentielle Energie = Potential Π

• System stabil, wenn Auslenkungen das Potential erhöhen:

• Kennt man das Potential eines Systems (Herleitung siehe TM), so kann man die stabilen Gleichge-wichtslagen berechnen, indem man die Minima des Potentials sucht→ Extremwertanalyse

• Analog: indifferentes und instabiles Gleichgewicht:

• Vorgehen bei bekanntem Potential P:

1.dΠd x= Π′ = 0

2. Π′′(x0)> 0 → Minimum → stabilΠ′′(x0)< 0 → Maximum → instabil

Aufgabe:Drei in ihren Mittelpunkten reibungsfrei gelagerte Zahnräder haben die durch Gewichte G1 bis G3 dar-gestellten Unwuchten. Sie werden so montiert, wie das linke Bild zeigt.Man ermittle für G1 = G3 = 2G, G2 = G und x =

p3r die möglichen Gleichgewichtslagen und untersuche

deren Stabilität.

39

gegeben : Π(α) =−Gr(2p

3sinα+ cos 2α)

Lösung

Π(α) =−Gr(2p

3sin(α) + cos(2α)), α= [0, 2π[

Π′(α) =dΠdα=−Gr(2

p3cos(α)− 2sin(2α))

=−2Gr · cos(α)(p

3− 2sin(α)) (sin(2α) = 2sin(α) cos(α))Π′ = 0

⇔−2Gr · cos(α)︸ ︷︷ ︸

1) =0

(p

3− 2sin(α))︸ ︷︷ ︸

2) =0

1) cos(α) = 0

⇒ α1 =Π2

, α2 =3Π2

2)p

3− 2 sin(α) = 0

⇔ sin(α) =

p3

2

⇒ α3 =Π3

, α4 =2Π3

Π′′ =d2Πdα2 =−Gr(−2

p3 sin(α)− 4 cos(2α))

= 2Gr(p

3 sin(α) + 2 cos(2α))

Π′′(α1) = 2Gr(p

3− 2)< 0⇒ Maximum⇒ instabil

Π′′(α2) = 2Gr(−p

3− 2)< 0⇒ instabil

Π′′(α3) = 2Gr

�

p3 ·p

3

2+ 2 ·

�

−1

2

�

�

= Gr > 0⇒ stabil

Π′′(α4) = 2Gr

�

p3 ·p

3

2+ 2 ·

�

−1

2

�

�

= Gr > 0⇒ stabil

40

Exkurs: Satz von Taylor

Anwendung:

• Approximation/Annäherung von Funktionen

• Grenzwertbetrachtungen

• Potenzreihenansatz bei Differentialgleichungen

• Fehlerrechnung (Physik, Vermessungskunde)

Taylor-Formel

Die Funktion f sei auf dem offenen Intervall I (n+ 1)-mal stetig differenzierbar. Dann gilt für x , a ∈ I :

f (x) = Tn(x , a) + Rn+1(x , a)

mit dem Taylor-Polynom

Tn(x , a) :=n∑

k=0

f (k)(a)k!

(x − a)k = f (a) +f ′(a)

1!(x − a) +

f ′′(a)2!(x − a)2+ ...+

f (n)(a)n!

(x − a)n

und dem Restglied Rn+1(x , a). Die Stelle a heißt Entwicklungsstelle.

Der bei dieser Approximation gemachte Fehler

| f (x)− Tn(x , a)|= |Rn+1(x , a)|

kann durch Kenntnis des Restglieds abgeschätzt werden:

• Rn+1(x , a) :=1

n!

x∫

a

(x − t)n · f (n+1)(t) · d t (Cauchy)

• Rn+1(x , a) :=f (n+1)(ξ)(n+ 1)!

(x − a)n+1, ξ ∈ [a, x] (Lagrange)

41

Beispiele

a) Abbruch des Taylor-Polynoms nach dem ersten (linearen) Glied entspricht der linearenApproximation (Kapitel 2):f (x)≈ f (a) + f ′(a) · (x − a)

b) Näherung für die Funktion f (x) = ex in der Nähe von a = 5 mit zwei Gliedern.

T2(x , 5) = e5+e5

1!(x − 5) +

e5

2!(x − 5)2 = 148, 4+ 148, 4 · (x − 5) + 74, 25(x − 5)2

1 2 3 4 5 6x

200

400

600

800

1000

y

c) Der Fehler für die Näherung der Funktion f (x) = ex mit a = 0 soll kleiner als 1% sein (0≤ x ≤ 1).Langrange liefert:

Rn+1(x , 0) =f (n+1)(ξ)(n+ 1)!

· xn+1

Abschätzung für x ≤ 1 (ξ zwischen 0 und 1):eξ

(n+ 1)!· xn+1 ≤

e

(n+ 1)!· xn+1 ≤

1

100

Für x = 0, 1 ergibt sich:

n= 1 :e

2!· 0,12 = 0,014> 0,01 ⇒ Ein Glied reicht nicht

n= 2 :e

3!· 0,13 = 0,0005< 0,01 ⇒ Zwei Glieder reichen

Für x = 1 ergibt sich:

n= 5 :e

6!· 16 = 0,004< 0, 01 ⇒ 5 Glieder reichen

d) f (x) = sin (x)

Wie viele Glieder muss man mitnehmen, wenn man sich von der Entwicklungsstelle a = 0 entfernt?

42

n= 5

5 10 15x

�1.0

�0.5

0.0

0.5

1.0

y

n= 10

5 10 15x

�1.0

�0.5

0.0

0.5

1.0

y

n= 20

5 10 15x

�1.0

�0.5

0.0

0.5

1.0

y

n= 50

5 10 15x

�1.0

�0.5

0.0

0.5

1.0

y

Taylor-Reihe

T f (x , a) :=∞∑

k=0

f (k)(a)k!

(x − a)k

Diese Reihe konvergiert gegen die Funktion, wenn das Restglied Rn+1 mit n→∞ gegen 0 strebt.Mit bekannten Potenzreihen lassen sich Summen/Produkte von Funktionen in Reihen entwickeln.

Auswahl bekannter Potenzreihen (a = 0)

• ex = 1+1

1!x +

1

2!x2+

1

3!x3+ ....

• sin (x) = x −1

3!x3+

1

5!x5−

1

7!x7+ ...

• cos (x) = 1−1

2!x2+

1

4!x4−

1

6!x6+ ...

• sinh (x) =1

2(ex − e−x)

=1

2

�

1+1

1!x +

1

2!x2+

1

3!x3+ ...+ (−1) +

1

1!x −

1

2!x2+

1

3!x3− ...

�

= x +x3

3!+

x5

5!+

x7

7!+ ...

• ln (1+ x) = x −1

2x2+

1

3x3−

1

4x4+ ...

43

Anwendungsbeispiele

a) Physik: Der Luftdruck p in der Atmosphäre hängt von der Höhe h über NN etwa nach folgenderGesetzmäßigkeit ab:

p(h) = p0 · e− h

h0 mit ho ≈ 12 km und dem Luftdruck am Boden p0 ≈ 1013 mbar.Entwickeln Sie p(h) nach Taylor und brechen Sie die Reihe nach dem ersten Glied ab. Sie erhalteneine Gerade p(h) = a · h+ b.

• Wie hängen a und p mit den Parametern p0 und h0 zusammen?

• Bei welcher Höhe hx ist nach dieser Geradengleichung der Druck auf Null gefallen?

Lösung

p(h) = p0 · e− h

h0

p′(h) =−p0

h0· e−

hh0

T1(h, 0) = p(0) +p′(0)

1!(h− 0)

= p0−p0

h0· h

⇒ a =−p0

h0, b = p0

p0−p0

h0· hx

!= 0

⇒ hx = h0 = 12km

0 50 100 150h0

200

400

600

800

y

b) Grenzwertbetrachtung:

limx→0

x − sin (x)x3 = lim

x→0

x −�

x − x3

3!+ x5

5!− ...

�

x3

= limx→0

x3

3!− x5

5!+ x7

7!− ...

x3 = limx→0

�

1

3!−

x2

5!+

x4

7!− ...

�

=1

3!=

1

6

44

Vergleiche L’ Hospital:

limx→0

x − sin (x)x3 = lim

x→0

1− cos (x)3x2 = lim

x→0

sin (x)6x

= limx→0

cos (x)6

=1

6

c) Fehlerrechnung

Gegeben: Funktion F , die von mehreren Variablen (x , y, ...) abhängt. Die Variablen sind mit Fehlern(∆x ,∆y, ...) behaftet.

Gesucht: Fehler der Funktion ∆F?Grundlagen: Mehrdimensionale Differentiation, Totales Differential, mehrdimensionale Taylor-

Formel (siehe Skript IngTut Mathe II S.50 ff.)

Es ergibt sich bei Abbruch der Taylor-Formel nach dem ersten Glied:

F(x +∆x , y +∆y, ...)≈ F(x , y, ...) +∂ F

∂ x∆x +

∂ F

∂ y∆y + ...

Der Fehler ist also

∆F ≈∂ F

∂ x∆x +

∂ F

∂ y∆y + ...

Der größtmögliche Fehler (Fehlerschranke) ergibt sich zu

∆F =

�

�

�

�

∂ F

∂ x

�

�

�

�

·∆x +

�

�

�

�

∂ F

∂ y

�

�

�

�

·∆y + ...

Der wahrscheinliche Fehler (Gaußsche Fehlerfortpflanzung) ergibt sich zu

∆F =

È

�

∂ F

∂ x·∆x

�2

+�

∂ F

∂ y·∆y

�2

...

Beispiel: E-Modul-Messung eines Balkens (Kragarm)

E =F l3

3 · I · z

F = 130 N ∆FF= 0,5%

L = 500 mm ∆LL= 1%

I = 20.000 mm4 ∆II= 1%

z = 2 mm ∆zz= 3%

45

Größtfehler:

∆Emax =

�

�

�

�

L3

3Iz

�

�

�

�

· 0, 005 · F +�

�

�

�

F · 3L2

3Iz

�

�

�

�

· 0,01 · L+�

�

�

�

−F L3

3I2z

�

�

�

�

· 0, 01 · I +�

�

�

�

−F L3

3Iz2

�

�

�

�

· 0,03 · z = 10156N

mm2

relativer Fehler:

∆Emax

E= 0,075= 7, 5%

Wahrscheinlicher Fehler:

∆Ew =

s

�

L3

3Iz· 0,005 · F

�2

+

�

F3L2

3Iz· 0,01 · L

�2

+

�

−F L3

3I2z· 0,01 · I

�2

+

�

−F L3

3Iz2 · 0,03 · z�2

= 5941N

mm2

relativer Fehler:

∆Ew

E= 0,044= 4,4%

46

Kap.3: Integration

DEF: Riemannsche Summe

Sei f in [a, b] beschränkt und Z eine Zerlegung von [a, b]mit den Zwischenstellen ξk, dann nenntman

Sz =n∑

k=1

f (ξk) (xk − xk−1)︸ ︷︷ ︸

∆xk

die zugehörige Riemannsche Summe.

y = f(x)

xa=x0

ξ1

x1 x2ξ2

. . . b=xk

Wählt man die Zerlegung immer feiner, so entsteht das bestimmte Integral S von f über [a, b]:

S :=

b∫

a

f (x)d x

Bemerkungen:

• Ist f bereichsweise stetig, so ist f integrierbar

• Das Integral entspricht der Fläche zwischen dem Graphen und der x- Achse (so lange die Funktionf im Integrationsbereich positiv ist)

Berechnung des Integrals:

• DEF: Man nennt eine auf dem Intervall I differenzierbare Funktion F eine Stammfunktion von f ,wenn gilt:

F ′(x) = f (x) für alle x ∈ I

47

• Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung (HDI)

Es sei f auf [a, b] stetig. Dann gilt:

1) Existenz einer Stammfunktion

Fa(x) :=

x∫

a

f (t)d t, x ∈ [a, b]

ist eine Stammfunktion von f . Das bedeutet, dass gilt:

F ′a(x) =d

d x

x∫

a

f (t)d t = f (x)

Jeder andere Stammfunktion hat die Form:

F(x) = Fa(x) + c

2) Berechnung von bestimmten Integralen

Ist F eine beliebige Stammfunktion von f , so gilt:

b∫

a

f (x)d x = F(b)− F(a)

Demnach bestimmt man zur Berechnung von bestimmten Integralen zuerst eine Stammfunk-tion F zu f (Kontrolle: F ′ = f ) und wendet anschliedend den HDI 2) an.

Bemerkungen:

• Die Menge aller Stammfunktionen von f :

∫

f (x)d x heißt unbestimmtes Integral von f . Sie un-

terscheiden sich untereinander durch die Integrationskonstante c: F2(x) = F1(x) + c

• Zur Bestimmung der grundlegenden Integrale kann man die Tabelle „Ableitungen von ausgewähl-ten Funktionen“ „rückwärts“ anwenden (F ′(x) = f (x))

Beispiel:

a)

π2∫

0

sin(x)d x =�

− cos(x)�π2

0=− cos

�π

2

�

− (− cos(0)) =−0− (−1) = 1

b)

2∫

−1

(x4+ 3)d x =

�

x5

5+ 3x

�2

−1

=

�

25

5+ 3 · 2

�

−�

(−1)5

5+ 3 · (−1)

�

=32

5+ 6−

�−1

5− 3�

=78

5

c)

8∫

1

1

xd x =

�

ln(x)�8

1= ln(8)− ln(1)≈ 2,08

48

Rechenregeln: ( f , g über [a, b] integrierbar, c ∈ [a, b], λ,µ ∈ R)

1

a∫

a

f (x)d x = 0

2

b∫

a

f (x) =−

a∫

b

f (x)d x

3

b∫

a

(λ · f (x) +µ · g(x))d x = λ

b∫

a

f (x)d x +µ

b∫

a

g(x)d x

4

b∫

a

f (x)d x =

c∫

a

f (x)d x +

b∫

c

f (x)d x

5 f (x)≤ g(x) für a ≤ x ≤ b⇒

b∫

a

f (x)d x ≤

b∫

a

g(x)d x

3 a < b⇒�

�

�

�

b∫

a

f (x)d x

�

�

�

�

≤

b∫

a

�

�

�

�

f (x)

�

�

�

�

d x

Beispiele:

1

1∫

1

x2 =

�

x3

3

�1

1

=13

3−

13

3= 0

2

1∫

0

sinh(x)d x =�

cosh(x)�1

0= cosh(1)− cosh(0)≈ 0, 54

0∫

1

sinh(x)d x =�

cosh(x)�0

1= cosh(0)− cosh(1)≈−0,54

3

3∫

−3

(3x2+ 4ex)d x = 3

3∫

−3

x2d x + 4

3∫

−3

ex d x = 3

�

x3

3

�3

−3

+ 4�

ex�3

−3

= 3

�

33

3−(−3)3

3

�

+ 4�

e3− e−3�

≈ 134,1

4

1∫

−1

1

cos2(x)d x =

0∫

−1

1

cos2(x)d x +

1∫

0

1

cos2(x)d x =

�

tan(x)�0

−1+�

tan(x)�1

0

= tan(0)− tan(−1) + tan(1)− tan(0) = tan(1)− tan(−1)≈ 3,11

49

5 f (x) = x , g(x) = x2, a = 1, b = 2 f (x)< g(x) für a ≤ x ≤ bb∫

a

f (x)d x =

�

x2

2

�2

1

=3

2

b∫

a

g(x)d x =

�

x3

3

�1

2

=7

3

6 f (x) = sin(x), a = 0, b = 2π�

�

�

�

2π∫

0

sin(x)d x

�

�

�

�

=

�

�

�

�

�

− cos(x)�2π

0

�

�

�

�

= | − 1− (−1)|= |0|= 0

2π∫

0

| sin(x)|d x =

π∫

0

sin(x)d x +

2π∫

π

− sin(x)d x =�

− cos(x)�π

0+�

cos(x)�2π

π

=−(−1)− (−1) + 1− (−1) = 4

7∫

cos(x)d x = sin(x) + c∫

1

x2 =−1

x+ c

50

Anwendungsbeispiel 7: Bestimmung der Q−, M−, w′−, w-Linie (TM 2)

Zusammenhang:

EIw′′′′(x) = q(x) : Belastung (Streckenlast)

EIw′′′(x) =−Q(x) : Querkraft (negativ)

EIw′′(x) =−M(x) : Biegemoment (negativ)

w′(x) : Neigung

w(x) : Durchbiegung

Woher kommt der Zusammenhang?⇒ Kleines Balkenelement

z.B. Q′(x) =−q(x)

∆x

QrQl

q(x)

dx

Q(x)

Q(x) + dQ(x)

q(x)∆x 0

Gleichgewicht liefert:∑

FV!= 0

Q(x)− q(x)d x − (Q(x) + dQ(x)) = 0

⇔−q(x)d x = dQ(x)

⇔dQ(x)

d x=−q(x)

⇔Q′(x) =−q(x)

Beispiel:

Gegeben: Kragarm

x

l

EI

q(x) = q0 = konst

EI = 10.000kNm2

q0 = 10kN

ml = 5m

51

Gesucht: Verläufe von w, w′, M ,Q

Lösung:

EIw′′′′(x) = q(x) = q0

EIw′′′(x) =−Q(x) =

∫

q(x)d x = q0 · x + c1

EIw′′(x) =−M(x) =

∫

−Q(x)d x =q0

2x2+ c1 x + c2

EIw′(x) =

∫

−M(x)d x =q0

6x3+

c1

2x2+ c2 x + c3

EIw(x) =

∫

EIw′(x)d x =q0

24x4+

c1

6x3+

c2

2x2+ c3 x + c4

Die vier Integrationskonstanten c1− c4 werden durch die Randbedingungen bestimmt:

w(0) = 0 ⇒ c4 = 0

w′(0) = 0 ⇒ c3 = 0

M(l) = 0 ⇒ −�q0

2l2+ c1l + c2

�

= 0

Q(l) = 0 ⇒ −�

q0l + c1�

= 0

c1 =−qo l

c2 =q0l2

2

w(x) =1

EI

�

q0

24x4−

q0l

6x3+

q0l2

4x2

�

w′(x) =1

EI

�

q0

6x3−

q0l

2x2+

q0l2

2x

�

M(x) =−q0

2x2+ q0l x −

q0l2

2Q(x) =−q0 x + q0l

Mit Zahlen:

1 2 3 4 5

�0.06

�0.04

�0.02

Biegelinie

52

1 2 3 4 5

�0.020

�0.015

�0.010

�0.005

Neigung

1 2 3 4 5

�120

�100

�80

�60

�40

�20

Biegemoment

1 2 3 4 5

10

20

30

40

50Querkraft

53

Integrationsregeln

Die Voraussetzungen (siehe Mathebuch) seien gegeben

1. Partielle Integration:

•

∫

u′v d x = u · v −∫

uv ′d x

•

b∫

a

u′v d x =�

u · v�b

a−

b∫

a

uv ′d x

Beispiel:

a)

∫

xex d x :

u′(x) = ex , u(x) = ex

v (x) = x , v ′(x) = 1

∫

xex d x = x · ex −∫

ex · 1d x = xex − ex + c

b)

∫

ln(x)d x :

u′(x) = 1, u(x) = x

v (x) = ln(x), v ′(x) =1

x∫

ln(x)d x = x · ln(x)−∫

x ·1

xd x = x · ln(x)− x + c

c)

∫

cos2(x)d x :

u′(x) = cos(x), u(x) = sin(x)v (x) = cos(x), v ′(x) =− sin(x)

∫

cos2(x)d x = sin(x) · cos(x) +

∫

sin(x) · sin(x)d x

= sin(x) · cos(x) +

∫

�

1+ cos2(x)�

d x

= sin(x) · cos(x) +

∫

1d x −∫

cos2(x)d x

⇔ 2

∫

cos2(x)d x = sin(x) · cos(x) +

∫

1d x

⇔∫

cos2(x)d x =1

2(sin(x) cos(x) + x + c)

54

2. Integration durch Substitution:

•

∫

f (t)d t =

∫

f (g(x)) · g ′(x)d x

•

b∫

a

f (t)d t =

g(b)∫

g(a)

f (g(x)) · g ′(x)d x

1. Variante: Berechnung von

∫

f (g(x)) · g ′(x)d x

1. Substituiere g(x) = t; g ′(x) = t ′ = d td x⇔ d t = g ′(x) · d x

2. Berechne das Integral

∫

f (t)d t = F(t) + c

3. Rücksubstituiere t = g(x)

⇒∫

f (g(x)) · g ′(x)d x =

∫

f (t)d t = F(t) + c = F(g(x)) + c

2. Variante: Berechnung von

∫

f (x)d x

1. Substitution wählen: x = g(t), d x = g ′(t)d t (g umkehrbar mit g−1)

2. Berechne das Integral:

∫

f (g(t)) · g ′(t)d t = F(t) + c

3. Rücksubstituiere t = g−1(x)

⇒∫

f (x)d x =

∫

f (g(t)) · g ′(t)d t = F(t) + c = F(g−1(x)) + c

Beispiel:

1. Variante

a)

∫

esin(x) · cos(x)d x :

g(x) = t = sin(x), g ′(x) = cos(x)

∫

esin(x) · cos(x)d x =

∫

et d t = et + c = esin(x)+ c

b)

∫

xp

1− x2d x :

g(x) = t = 1− x2, g ′(x) =−2x

∫

xp

1− x2d x =

∫

1p

t·�

−1

2

�

d t =

∫

−1

2p

td t =−

pt + c =−

p

1− x2+ c

55

c)

2∫

1

(ln(x))3

xd x :

g(x) = t = ln(x), g ′(x) =1

x

2∫

1

(ln(x))3

xd x =

ln(2)∫

ln(1)=0

t3d t =

�

t4

4

�ln(2)

0

=ln4(2)

4≈ 0, 058

d)

∫

f ′(x)f (x)

d x =

∫

1

td t = ln |t|+ c = ln | f (x)|+ c

2. Variante

a)

∫

cos(3x)d x :

g(t) = x =t

3⇔ t = 3x , g ′(t) =

1

3∫

cos(3x)d x =

∫

cos(t) ·1

3d t =

1

3· sin(t) + c =

1

3· sin(3x) + c

b)

∫

1

1+ ex d x :

g(t) = x = ln(t)⇒ t = ex , g ′(t) =1

t∫

1

1+ ex d x =

∫

1

1+ eln(t)·

1

td t =

∫

1

1+ t·

1

t

=

∫

1+ t − t

t(1+ t)d t =

∫�

1+ t

t(1+ t)−

t

t(1+ t)

�

d t =

∫�

1

t−

1

t + 2

�

d t

= ln(t)− ln(1+ t) + c = x − ln(1+ ex) + c

3. Symmetrien:

• f gerade (achsensymmetrisch):

a∫

−a

f (x)d x = 2

a∫

0

f (x)d x

• f ungerade (punktsymmetrisch):

a∫

−a

f (x)d x = 0

4. Rationale Funktionen:

Gegeben: allgemeine rationale Funktion R(x) =p(x)q(x)

Beispiel: R(x) =x4+ 3x2− 5

x2+ 3x − 4

56

1) Polynomdivision, sodass R(x) = h(x) +r(x)q(x)

(x4+ 3x3− 5) : (x2+ 3x − 4) = x2+ 4

− (x4+ 3x3− 4x2)

4x2− 5

− (4x2+ 12x − 16)

− 12x − 11

R(x) = x2+ 4+−12x + 11

x2+ 3x − 4

2) Zerlegung von q(x) in Linearfaktoren

x2+ 3x − 4= 0

⇔ (x + 1,5)2 = 4+ 2,25

⇔ x1,2 =±p

6,25− 1, 5

⇒ x1 = 1, x2 =−4

⇒ q(x) = (x − 1) · (x + 4)

3) Partialbruchzerlegung (Zerlegung vonr(x)q(x)

in Teilbrüche)

−12x + 11

(x − 1)(x + 4)=

A1

x − 1+

A2

x + 4

4) Bestimmung der Koeffizienten Ai durch Multiplikation mit q(x)−12x + 11= A1(x + 4) + A2(x − 1)und Einsetzen der in 2) bestimmten Nullstellen

x1 = 1 : −12 · 1+ 11= A1 · 5 ⇒ A1 =−1

5

x2 =−4 : 48+ 11= A2 · (−5) ⇒ A2 =−59

5

5) Integration der umgeformten Funktion

R(x) =x4+ 3x3− 5

x2+ 3x − 4= x2+ 4−

1

5(x − 1)−

59

5(x + 4)∫

R(x)d x =x3

3+ 4x −

1

5ln(x − 1)−

59

5ln(x + 4) + c

57

Hausaufgabe:

Löse das Integral

a)

π∫

0

sin2(x)5

d x durch partielle Integration und

b)

∫

sin(x) cos(x)d x durch Substitution

Lösung

a)

π∫

0

sin2(x)5

d x =1

5

π∫

0

sin2(x)d x

u′(x) = sin(x), u(x) =− cos(x)v (x) = sin(x), v ′(x) = cos(x)

π∫

0

sin(x) · sin(x)d x =�

− sin(x) cos(x)�π

0+

π∫

0

cos(x) · cos(x)d x

=�

− sin(x) cos(x)�π

0+

π∫

0

�

1− sin2(x)�

d x

⇔

π∫

0

sin2(x)d x =1

2

��

− sin(x) cos(x)�π

0+

π∫

0

1d x�

=π

2

⇒1

5

π∫

0

sin2(x)d x =π

10

b) Substitution nach erster Variante

g(x) = t = sin(x)g ′(x) = cos(x)∫

sin(x) cos(x)d x =

∫

td t =t2

2+ c =

sin2(x)2

+ c

58

Anwendung der Integration: Längen- und Flächenmessung

DEF

Die Abbildung f : I → R2, mit der Koordinatendarstellung f (t) =�

x(t)y(t)

�

beschreibt eine Kurve

im R2.Der Parameter t aus dem Intervall I kann beispielsweise als Zeit zugeordnet werden, sodass�

x(t)y(t)

�

den Ort eines Massenpunktes in der Ebene zur Zeit t beschreibt.

(x(t)y(t))

y

x

Beispiele Koordinatendarstellung Graph

Gerade�

x(t)y(t)

�

=�

x0+ r1 ty0+ r2 t

�

x0

y0

r1

r2

y

x

Kreis�

x(t)y(t)

�

=�

x0+ r · cos(t)y0+ r · sin(t)

�

x0

y0

y

x

r

Funktion�

x(t)y(t)

�

=�

tf (t)·

�

=�

a · ta · f (t)

�

, a ∈ R

59

DEF: Kurveneigenschaften

Sei f : [a, b]→ R2 eine reguläre Kurve mit f (t) =�

x(t)y(t)

�

. Dann heißt

L =

b∫

a

p

x2(t) + y2(t)d t

die Länge der Kurve f und

K(t) =x(t) · y(t)− y(t) · x(t)�p

x2(t) + y2(t)�3

die Krümmung der Kurve im Punkt�

x(t)y(t)

�

.

Beispiel

1) Gerade:�

x(t)y(t)

�

=

�

t12t

�

mit f : [0,4]→ R2

y

x

1

41

2

L =

4∫

0

È

12+�

1

2

�2

d t =

4∫

0

r

5

4d t =

r

5

4

�

t�4

0= 4

r

5

4= 2p

5

Pythagoras:p

22+ 42 = 2p

5

K =1 · 0− 1

2· 0

q

12+�

12

�23 = 0

60

2) Kreis:�

x(t)y(t)

�

=�

r · cos(t)r · sin(t)

�

mit f : [0,2π]→ R2

x

y

r

L =

2π∫

0

p

(−r · sin(t))2+ (r · cos(t))2d t =

2π∫

0

rp

sin2(t) + cos2(t)d t = r

2π∫

0

1d t = 2πr

K =−r · sin(t)(−r · sin(t))− r · cos(t)(−r · cos(t))

p

(−r · sin(t))2+ (r · cos(t))23

=r2 · sin2(t) + r2 · cos2(t)p

r2 · (sin2(t) + cos2(t))3

=r2

r3 =1

r

3) Funktion y = f (x) : L =

b∫

a

p

1+ f ′(x)2d x

61

Fläche zwischen zwei Graphen

F =

b∫

a

| f (x)− g(x)|d x

y

x

F

f(x)

g(x)

a b

Kreis

r x

y

f(x) =

g(x) =

r∫

−r

|p

r2− x2− (−p

r2− x2)|d x

= 2

r∫

−r

p

r2− x2d x

= 2r

r∫

−r

r

1−� x

2

�2

d x

62

Substitution:

x

r= cos(t)⇔ x = r · cos(t) = g(t)

d x · g ′(t)d t =−r · sin(t)d t

F = 2r

arccos� r

r

�

∫

arccos�−r

r

�

p

1− cos2(t)(−r · sin(t))d t

= 2r

0∫

π

p

sin2(t)(−r · sin(t))d t

= 2r2

0∫

π

(− sin2(t))d t

=−2r2�

1

2(t − cos(t) · sin(t))

�0

π

=−r2(0− 0− (π− 0)) = πr2

Schwerpunkt der Fläche zwischen zwei Graphen

xs =

b∫

ax( f (x)− g(x))d x

b∫

a( f (x)− g(x))d x

ys =1

2

b∫

a( f 2(x)− g2(x))d x

b∫

a( f (x)− g(x))d x

63

Rotationskörper

x

y

a b

Rotation um x-Achse

x

y

z

Volumen

V = π

b∫

a

f 2(x)d x

Mantelfläche

M = 2π

b∫

a

f (x)p

1+ f ′(x)2d x

64