INGENIEURVERMESSUNG VOR 2000 JAHREN Referent: Gerhard Pscheidt
Vermessungsdirektor
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Wir bewundern heute noch immer die steinernen Kolossalbauten
aus dem Altertum: die gyptischen Pyramiden und die griechischen
Tempel aus dem rmischen Weltreich sind uns die Stdte mit ihren
Amphitheatern und das ausgedehnte Straennetz bekannt. Nicht zuletzt
staunen wir ber die alten rmischen Wasserleitungen mit ihren aus
Bgen bestehenden Aqudukten, die Flsse und Schluchten berspannten
und deren Rohrleitungen durch Gebirgstunnel gingen. Beispielhaft
finden wir solch eine antike Wasserleitung heute noch in Frankreich
in der Gegend von Nimes. Ihr Anfang liegt bei den Quellen von Uzs.
Von der Quellfassung gespeist und die Neigung der Terrains
ausntzend, gelangt sie nach Zwischenschaltung eines
Wasserverteilers nach Nimes. Bemerkenswert ist die Meisterschaft
der rmischen Vermessungsingenieure bei der Berechnung des Geflles.
Gelndeschwierigkeiten erlaubten keine gerade Fhrung und wegen der
Berge mussten die Umleitungen geplant werden. Bei nur 25 km
Luftlinie musste die Leitung deshalb auf fast 50 km ausgebaut
werden. Der Hhenunterschied zwischen Quelle und Wasserverteiler
betrug ganze 17 m auf 41 km Leitung, also 40 cm auf 1 km. Die
Wasserleitung erreichte am Tal des Flusses Gardon einen starken
Einschnitt. Die Brcke des Point du Gard selbst bildete nur einen
kleinen, aber bemerkenswerten Abschnitt dieser Leitung und ist
durch ihre Khnheit ein Wunderwerk der antiken Ingenieurbaukunst.
Die groen (57 cm hohen), mit der Zeit gelblich gewordenen Blcke des
Bauwerks sind ohne Bindemittel, wie z.B. Mrtel, aufeinander
eingepasst worden. Der Pont ist 49 m hoch und an der Basis 142 m
lang. Die obere Lnge betrgt 275 m mit 35 Bgen. Der Kanal, der
tglich 20 000 m Wasser liefern konnte, ist mit Platten abgedeckt
und ruht auf 3 Arkadenreihen, die jeweils 21,87 m, 19,5 m und 7,4 m
hoch sind. Dabei ist das komplizierte technisch Bauwerk nicht
geradlinig, sondern in einer leichten gleichmigen Krmmung in der
Trasse errichtet worden. Als Bauherr dieser und noch anderer
Wasserleitungen gilt der grte Baulwe der Antike, unter dessen
Leitung auch viele Brcken, Strassen und Denkmler, ja ganze
Stadtteile errichtet wurden. Er hie Marcus Vipsanius Agrippa (63 12
v. Chr.) und war der Freund, Feldherr und spter auch der
Schwiegersohn Kaiser Augustus. Whrend bei den Wasserleitungsbauten
Umleitungen in Kauf genommen wurden, vermieden die rmischen
Vermessungsinge- nieure Umwege bei den Planungen ihrer
schnurgeraden Strassen. Man trug deshalb Hgel ab und fllte Tler
auf.
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Messgerte der Antike Hhenmessgert Chorobates Der aus Holz
gefertigte rmische Choro- bates ist nur in der Beschreibung des
Ingenieurs und Schriftstellers Vitruv (1 Jh. V. Chr.) berliefert.
Er bestandaus einem 20 Fu (= 6 m) langen Trger mit senk- rechten
Sttzen, die mit dem Trger ver- strebt waren. An den Streben waren
Linien markiert. Wenn die Schnre der vom Trger herabhngenden Lote
die Marken verdeckten, lag die Trgerober-kante horizontal. Bei Wind
pendelten die Lote hin und her. Dann wurde die Rinne auf dem Trger
bis zum Rand mit Wasser gefllt. Man hatte so ebenfalls eine
horizontale Visierlinie. gyptische Setzwaage Die Setzwaage war
bereits im antiken gypten als Nivelliergert bekannt und wurde
vermutlich beim Pyramidenbau im 3. Jahrtausend v. Chr. benutzt. Im
gleichschenkligen Dreieck wird die Grundlinie durch ihre Hhe
halbiert. Wenn die freihngende Lotschnur der Setzwaage die Marke in
der Mitte des Querholzes ver- deckt, ist die Schnur
Seitenhalbierende und Hhe des Dreiecks. Das Querholz liegt jetzt
senkrecht zur lotrechten Schnur, also waagerecht. Die zum Querholz
parallelen Setzkanten der Schenkelhlzer geben nun die horizontale
Richtung an.
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Die Dioptra, das Mehrzweck-Instrument der Antike Heron aus
Alexandria (um 100 n. Chr.) beschreibt in seinem gleichnamigen
Lehrbuch die Dioptra, das am vielsei- tigsten verwendbare
Vermessungsinstrument der Antike. Das Gert besteht aus einem Stnder
mit zwei Schnecken- getrieben, mit denen eine kreisfrmige Scheibe
in der waagerechten und senkrechten Ebene gedreht werden kann. Auf
der Scheibe sind zwei senkrecht zueinander stehende Durchmesser
eingezeichnet. Durch Zielen ber diese beiden Durchmesser mit Hilfe
eines um den Scheibenmittelpunkt drehbaren Visierlineals mit
Diopter knnen rechte Winkel abgesteckt werden. Hhenunterschiede
lassen sich ausmessen, wenn man die Kreisscheibe gegen ein U-fr-
miges, mit Wasser geflltes Glasrohr austauscht. Die gedachte
Verbindungslinie der Wasserspiegel in den beiden senkrechten Enden
des U-Rohres ist stets waagerecht. Visiert man entlag dieser Linie
eine Melatte an, die senkrecht auf einem Punkt steht, so kann an
der Lngenteilung der Latte der Abstand des Punktes von der
Visierlinie abgelesen werden. Wird der Messvorgang fr einen zweiten
Punkt wiederholt, so erhlt man dessen Abstand von der Visierlinie.
Die Differenz der beiden Abstnde ist der Hhenunterschied zwischen
den Punkten. Mit der Dioptra und ihrem Zu- behr lsst sich eine
ganze Reihe von vermessungstechnischen Aufgaben lsen, die Heron in
seinem Lehrbuch be- schreibt. Dazu gehrt das indirekte Ausmessen
von Turm- und Berghhen oder von unzugnglichen Entfernungen, etwa zu
einem Punkt jenseits eines Flusses. Sogar fr astronomische
Beobachtungen war die Dioptra geeignet. Dioptra nach Heron Es ist
keine Dioptra aus der Antike berliefert. Wir kennen aber sie
Schriften Herons, dessen Name uns gelufig ist durch die nach ihm
benannte Formel zur Berechnung des Flcheninhalts eines Dreiecks. In
seinem Buch ber die Dioptra gibt er eine solch gute Beschreibung
mit Maangaben, dass die Dioptra rekonstruiert werden konnte.
Nachbau der Dioptra Das Visierlineal mit Diopter ist um den Schei-
benmittelpunkt drehbar. Bei horizontaler Lage der Scheibe lassen
sich durch Visieren ent- lang der beiden Durchmesser rechte Winkel
abstecken. Durch Drehen der Kurbeln nimmt die Scheibe jede
gewnschte Lage ein. Wird sie in die Ebene zweier Zielpunkte
gebracht, so kann der Winkel zwischen den Richtungen zu den Punkten
gemessen werden (sog. Positionswinkel).
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Indirekte Streckenmessung Gesucht ist die Lnge der Strecke AB.
Die Gerade AB wird bis D verlngert. In B und D werden mit der
Dioptra rechte Winkel abgesteckt. Auf ihren freien Schenkeln werden
die Punkte C und F so festgelegt, dass sie mit A eine Gerade
bilden. Aus den hnlichen Dreiecken ADF und CEF kann man die
Proportionen ablesen: AD : DF = CE : EF mit CE = BD und EF = DF BC
Die horizontalen Strecken BD, DF und BC werden gemessen. Man
errechnet: AD = DF x und AB = AD BD. AB C F D E CE EF
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Messlatte Die Messlatte wurde ebenfalls nach Herons Be-
schreibungen rekonstruiert. Mit einem Schnurlot wurde die Latte
beim Messen lotrecht gestellt. ber eine Rolle lief ein Seil, mit
dem die Zieltafel so lange an der Latte auf- oder abbewegt wurde,
bis der Beobachter die Trenn- linie der Farbflchen genau im Visier
der Kanal- waage hatte. Mit Hilfe des Zeigers wurde an der
Lattenteilung der Hhenunterschied zwischen dem Punkt, auf dem die
Latte stand und der horizontalen Ziellinie abgelesen.
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Die rmische Groma Zum Absetzen rechter Winkel benutzen die
rmischen Feld- messer die Groma. Sie wurde neben dem
gekennzeichneten Punkt, auf dem Bild neben dem Stein, der den
Schnittpunkt von Cardo und Decumanus festlegt, in den Boden gestoen
uns so ausgerichtet, dass die Mittelpunkte des Winkelkreuzes und
des Steins genau senkrecht bereinander lagen. Das Kreuz wurde nun
so gedreht, dass zwei sich gegenberhngende Lot- schnre in die
vorher festgelegte Richtung des Cardo wiesen. Im rechten Winkel
dazu wurde durch Visieren ber das andere Lotschnurpaar die Richtung
des Decumanus abgesetzt. Rekonstruktion der Groma Es ist keine
Groma aus rmischer Zeit erhalten geblieben, da sie weitgehend aus
Holz gefertigt war, das im Verlauf der Jahr- hunderte vermoderte.
Bei Ausgrabungen in Pompeji, das im Jahr 79 n. Chr. durch einen
Vesuvausbruch verschttet wurde, fand man Bauteile aus Eisen und
Bronze. Nach diesen und Beschreibung durch rmische Feldmesser ist
die Groma rekonstruiert worden. Die rmische Groma
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Landschaft mit Centuriation Diese moderne topographische Karte
zeigt einen Ausschnitt aus der oberitalienischen Poebene bei Lugo
in der Nhe von Ravenna. Straen, Wege und Grben begrenzen noch heute
die quadratischen Felder, die vor zwei Jahr- tausenden durch die
rmische Centuration ent- standen waren. Die rmischen
Centuriationen
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Centurien auf Steintafeln Orange/Sdfrankreich, 1. Jh. n. Chr..
Das Gitternetz der Centuration wurde in Metall- und Steintafeln
eingraviert und diese bei der Gemeindeverwaltung aufbewahrt. Auf
landschaftliche Ge- gebenheiten wurden eingetragen: von links nach
rechts verluft eine Strae, von oben nach unten in geschlngelter
Doppellinie ein Fluss. Die einzelnen Centurien enthielten Angaben
ber ihre Lage, bezogen auf Decumanus und Cardo, die Gre der
innerhalb der Centruie verpachteten Flchen, die Hhe des
Pachtzinses, die Namen der Pchter und hnliches.
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Grundriss der Cheops-Pyramide Der Grundriss der Cheops-Pyramide
ist ein nahezu vollkommenes Quadrat. Die Eck- winkel weichen von 90
um Winkelwerte ab, die nur mit einem modernen Theodolit nach-
gewiesen werden konnten. Die Seiten sind im Durchschnitt 230,364 m
lang. Das ent- spricht im altgyptischen Lngenmass 440 Ellen. Vom
Sollma unterscheiden sich die Seitenlngen um hchstens ein Dezi-
meter.
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Absteckung von rechten Winkeln Die gyptischen Ingenieure
benutzten fr die Absteckung der Pyramiden das Mess- seil, mit dem
sie auch die Felder aus- maen. Es war in gleichen Abstnden durch
Knoten unterteilt. Vermutlich wand- ten die Seilspanner zum
Abstecken der rechten Winkel die dargestellte Methode an. Sie
machten sich die Tatsache zu- nutze, dass in einem Dreieck mit dem
Seitenverhltnis 3:4:5 die beiden kurzen Seiten stets einen rechten
Winkel ein- schlieen. Jahrtausende spter formu- lierte Pythagoras
dies als Lehrsatz.
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Hhenmessung Erstaunlich sind die geringen Abweichungen der
Hhenangaben fr die Eckpunkte, obwohl die gypter bei der Absteckung
nur ein recht einfaches Hhenmessgert benutzt hatten, die Setzwaage.
Die Setz- waage war ein gleichschenkliges Holzdreieck, das auf der
Grundseite hochkant aufgestellt wurde. Von der Spitze hing an einer
Schnur ein Lot herab. Wenn das Lot an einer Marke, die in der Mitte
der Grund- seite eingekerbt war, einpendelte, lag die Grundseite
waagerecht.
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Der Tunnel von Samos Selbst heute ist es eine groartige
vermessungstechnische Leistung, wenn ein Straen- oder
Eisenbahntunnel von zwei Seiten gleichzeitig vorgetrieben wird und
nach der letzten Sprengung die beiden Stollen lage- und hhenmig
genau zusammen treffen. Zum Baubeginn gibt der Vermessungsingenieur
die Lage der Stollenmundlcher an und dann arbeiten die Tunnelbauer
aufeinander zu, ohne sich sehen zu knnen nur durch die Mithilfe des
Vermessungs- ingenieurs ist es ihnen mglich, die Richtung der
beiden Stollen einzuhalten. Nicht anders war es in der Antike, aus
der uns eine ganze Reihe von Tunnelbauten bekannt ist. Mit
Sicherheit wei man jedoch nur von dem Tunnel auf der griechischen
Insel Samos, dass er - um die Bauzeit zu verkrzen - von zwei Seiten
gleichzeitig vorgetrieben wurde. Um 550 v. Chr. erbaut, durchstt er
mit einer Lnge von ber einem Kilometer den Berg Kastro. Am
nrdlichen Tunneleingang nahm er das Wasser einer Quelle auf und
leitete es bis zum sdlichen Ausgang, der innerhalb der Mauern der
Stadt Samos lag. So war die lebenswichtige Wasserleitung vor
Feinden geschtzt.
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Der Tunnel des Eupalinos Unter der Herrschaft des Tyrannen
Polykrates (573 522 v. Chr.) wurde der Tunnel von Samos erbaut. Den
Auftrag erteilte er dem Eupalinos. Festlegung der Tunnelachse Vor
Baubeginn hatte Eupalinos die Richtung der Tunnelachse beiderseits
des Berges festzulegen. Er lie um den Berg herum die Lngen der
Strecken a bis g ausmessen. Durch Addition und Subtraktion der
Streckenlngen erhielt er die Lngen der Drei- ecksseiten A und B. Fr
die Hilfsdreiecke 1 und 2 lie er die Strecken B 1 und B 2 ausmessen
und senkrecht dazu die Strecken A 1 und A 2 abstecken, deren Lngen
er aus den Verhltnisgleichungen A 1 = B 1 x und A 2 = B 2 x
errechnet hatte. Durch die Richtungen R 1 und R 2 lag die Richtung
der Tunnelachse fest. ABAB ABAB A B A1A1 B1B1 R1R1 R2R2 A2A2 B2B2 g
a b c d e f Eingang Ausgang 1 2 Berg Kastro
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Eingang Ausgang Berg Kastro Vortrieb der beiden Stollen Dem
Eupalinos war bewusst, dass seine Ver- messung zum Festlegen der
Tunnelachse dies- seits und jenseits des Berges fehlerhaft sein
konnte. Eine geringe Abweichung der Richtungen R 1 und R 2 von der
geplanten Achse musste be- wirken, dass die Stollenrichtungen um so
mehr auseinander klafften, je weiter die Stollen in den Berg
gehauen wurden. Deshalb lie Eupalinos den sdlichen Stollen
geradlinig und den nrd- lichen auf seinem letzten Teilstck
zickzack- frmig vortreiben. Auf diese Weise musste der Sdstollen
unbedingt auf den Nordstollen treffen.
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Was Eratosthemes berlegte Wenn der Brunnen in Syene schattenlos
ist, dann steht die Sonnen genau senkrecht ber dem Brunnen, also in
Verlngerung der Brunnenachse. Da der Brunnen lotrecht in die Erde
gegraben ist, luft die gedanklich nach unten verlngerte
Brunnenachse durch den Mittelpunkt der Erde. Der Obelisk in
Alexandria steht lotrecht auf der Erde. Verlngert man gedanklich
dessen Achse, so luft auch diese durch den Erdmittelpunkt und
schneidet dort die Verlngerung der Brunnenachse.
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Was Eratosthenes ausrechnete Den Winkel an der Spitze des
Obelisken errechnete Eratosthenes aus dem Verhltnis der Lnge des
Obelisken zur Lnge seines Schattens. Er war 7,2 gro. Somit hatte er
auch den Winkel im Erdmittelpunkt. Eratosthenes kannte die Formel:
Umfang = Bogen x fr die Berechnung des Erdumfangs. Er setzte den
Bogen 748,44 km und den Winkel 7,2 ein und rechnete: Umfang =
748,44 km x Der von Eratosthenes ermittelte Erdumfang war 37422 km.
360 Winkel 360 7,2
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Was Eratosthenes zeichnete Eratosthenes machte sich eine
Zeichnung mit zwei Parallelen, die von einer Geraden geschnitten
werden. Die rechte Parallele stellt die verlngerte Brunnenachse
dar, die linke den Sonnenstrahl, der gerade noch an der Spitze des
Obelisken vorbeiluft und dann auf den Erd- boden fllt. Die
schneidende Gerade ist die verlngerte Achse des Obelisken. Auerdem
zeichnete Eratosthenes vier Winkel ein. Man erkennt, dass die
waagerecht und die senkrecht schraf- fierten Winkel jeweils gleich
gro sind.
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Was Eratosthenes brauchte Fr Eratosthenes waren die beiden
spitzen Winkel wichtig. Um den Erdumfang berechnen zu knnen,
brauchte er den Winkel im Erdmittelpunkt, den er jedoch nicht
messen konnte. Es lie sich aber der gleichgroe Winkel an der Spitze
des Obelisken er- mitteln. Eratosthenes brauchte noch die Lnge des
Kreisbogens, also die Entfernung zwischen Syene und Alexandria. Er
kannte sie aus Angaben von Handelskarawanen, die zwischen beiden
Orten ver- kehrten. In heutiger Maeinheit betrug sie 748,44
km.
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Vielen Dank fr die Aufmerksamkeit!
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