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InhalteBeugung• Fresnel-Huygens‘sches Prinzip• Beugung an der Kante• Fresnelsche Zonen Platte• Poisson Fleck

E3-V13 – 16. Dez‘18

Beugung an Spalt und Kreisblende

• Fresnel-Kirchhoff-Integral• Fraunhofer (Fernfeld) Näherung• Babinetsches Prinzip

Fresnel-Kirchhoff Theorie der Beugung

Die Fresnel-Kirchhoffsche Beugungstheorie .

W.Zinth PhysikLMU 13

Kirchhoff'sche Theorie berechnet aus der vorgegebenen Feldverteilung in der Blen-denöffnung (Transmissionsfunktion Ω(ξ, η), die komplex sein kann, um Amplituden und Phasenänderungen zu berücksichtigen) das Feld auf der rechten Seite der Blen-de:

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Kugelwellen (Elementarwellen EK)) bei der Ausbreitung von jedem Punkt der Blen-

denebene zum Beobachtungspunkt, EK ∝ exp(ikr)/r führen zur Feldstärke U(R→ ) am

Beobachtungsort P (Koordinaten R→ = (x, y, z)):

(Huygenssche Elementarwellen verwendet) Proportionalitätskonstante ist i/λ. Bei Beleuchtung der Blendenöffnung mit Kugelwellen vom Quell-Punkt Q am Ort R0 = ( xo, yo, zo) erhält man: U0(ξ,η) = e0/r0 exp(ikr0)

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Die Fresnel-Kirchhoffsche Beugungstheorie .



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Weiteres Vorgehen und Bezeichnungen:

• Beleuchtende Punktlichtquelle Q am Ort R0 = ( xo, yo, zo) erzeugt Feldstärke U0

• Vektor von Q zum Punkt (ξ, η) in der Blendenöffnung bezeichnen wir dabei mit - r→ 0

• r→ : Vektor vom Punkt (ξ, η) zum Beobachtungspunkt P (Koordinaten R

→ = (x, y, z))

• Winkel χ bzw. χ0 vernachlässigt!

• Koordinatenursprung liegt willkürlich in die Blendenöffnung

• ξ und η sind die Koordinaten in der Blendenebene, definiert durch z = 0 Eigenschaften des Feld am Punkt P (Integration über offenen Teil der Blende) durch drei wesentliche Faktoren bestimmt:

1. das einfallende Feld U0(ξ,η) an der Blendenöffnung, 2. die Kugelwelle, die sich vom Ort (ξ, η) her ausbreitet, 3. die Blendenöffnung Ω(ξ, η) (Form, Transmission).

Fresnel-KirchhoffscheIntegral

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Fraunhofer'schen Beugung: R0 → ∞ und R → ∞ , ψ vernachlässigbar.

Gebeugte Intensität UP (α,β) enthält nur Terme, die in Koordinaten ξ und η linear sind

Diese Gleichung kann mit dem Zusammenhang zwischen den Wellenvektoren und den Richtungskosinus (k ⋅ α = kx bzw. k ⋅ β = ky bzw. k ⋅ α0 = k0x bzw. k ⋅ β0 = k0y )in eine neu Formgebracht werden, die in der Festkörperphysik sehr gebräuchlich ist:

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Für senkrecht auf die Beugungsöffnung (Ω (ξ, η)) einfallendes Licht ergibt sich eine weitere Vereinfachung, da hier α0 = β0 = 0 ist:

Fraunhofersche Beugung, senkrechter Lichteinfall

(4.8) UP(α,β) = VP0 ⌡⌠-∞

+∞ ⌡⌠

-∞

+∞ Ω (ξ, η) exp (-ikαξ - ikβη) dξ dη

Funktion Ω (ξ, η) gibt die Transmission der Blende (damit Integrationsgrenzen → ±∞) Die gebeugte Intensität - als Funktion der beiden Raumfrequenzen kx = k ⋅ α und ky = k ⋅ β (bzw. des Streuvektors)- ist Betragsquadrat der zweidimensionalen Fouriertransformation der Blendenfunktion I(α,β) ∝ |UP(α,β)|2 ∝|FT(Ω (ξ, η))|2 Für endliche Abstände R bzw. R0 muss man explizit Phasenfunktion ψ berücksichti-gen: Fresnel'schen Beugung

Fraunhofersche Beugung.


4.2.3 Fraunhofer'sche Beugung Lichtquelle und Beobachtungspunkt sehr weit vom beugenden Objekt entfernt In der Praxis: Beobachtung der Beugungsfigur hinter dem Objekt in der Brennebene einer Sammel-linse L Gebeugtes Licht mit Richtungskosinus (α, β) wird in der Brennebene auf den Punkt (X, Y) = (α ⋅ f, β ⋅ f) abgebildet (paraxiale Strahlen, d. h. kleine Beugungswinkel α, β << 1)

x x Y

X

LL´

f´ fBeugungs-öffnung

Beugung am langen Spalt

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4.3 Spezielle Fälle der Fraunhofer'schen Beugung

4.3.1 Beugung an einem langen Spalt Spalt der Breite b, dessen Höhe h sehr groß sei: h >> b der mit senk-recht einfallendem Licht beleuchtet wird: 1-d Problem: Ω Spalt (ξ, η) = ΩSpalt (η) Integration über ξ sofort auszuführen (Lösung der Integration gibt die δ-Funktion δ(α), d.h. keine Ablenkung des Lichtes in x bzw. ξ−Richtung). Licht liegt auf einer Linie: X = 0:


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Wert bei β = 0 über die de L' Hospitalsche Regel:

Für die gebeugte Intensität ISpalt (β) erhalten wir den folgenden Verlauf:


(4.9) ISpalt (β)ISpalt (0) =

sin2 (kβb/2)(kβb/2)2 =

⎝⎜⎜⎛

⎠⎟⎟⎞sin

⎝⎜⎜⎛

⎠⎟⎟⎞πb sinθ

λπb sinθ

λ

2 =

⎝⎜⎜⎛

⎠⎟⎟⎞sin B

B 2

Zusammenhang Richtungskosinus β und Ablenkwinkel θ in η-Richtung: β = sin θ Bemerkung: FT einer Rechteckfunktion gibt sin(x) / x Verlauf!

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Im Zentrum liegt intensivstes Maximum Zu beiden Seiten Maxima (deren Intensiät sehr schnell abklingt) und Minima Physikalische Ursache für diese Intensitätsminima (Nullstellen): gebeugtes Licht von unterschiedlichen Bereichen des Spaltes interferiert destruktiv. Nullstellen der Intensität I (θMin ) = 0 bei den Nullstellen von sin B mit B ≠ 0.

Lage der Minima (Nullstellen) bei Beugung am Spalt (4.14) sin (B) = sin (πb sinθ/λ) = 0 => πb sinθ/λ = n π

sin θMin = ± λb , ±

2λb , ..., ±

nλb für n = 1, 2,....., nmax

Benachbarte Nullstellen haben Abstand λ/b mit Ausnahme der Nullstellen links und rechts des Hauptmaximums die 2λ/b voneinander entfernt sind. Beachten Sie: Es gibt eine endliche Anzahl von Nullstellen. Frage: Geben Sie allgemein eine Formel für nmax an. Wieviele Nullstellen finden Sie für λ = 1 µm und b = 2 µm?

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Im Zentrum liegt intensivstes Maximum Zu beiden Seiten Maxima (deren Intensiät sehr schnell abklingt) und Minima Physikalische Ursache für diese Intensitätsminima (Nullstellen): gebeugtes Licht von unterschiedlichen Bereichen des Spaltes interferiert destruktiv. Nullstellen der Intensität I (θMin ) = 0 bei den Nullstellen von sin B mit B ≠ 0.

Lage der Minima (Nullstellen) bei Beugung am Spalt (4.14) sin (B) = sin (πb sinθ/λ) = 0 => πb sinθ/λ = n π

sin θMin = ± λb , ±

2λb , ..., ±

nλb für n = 1, 2,....., nmax

Benachbarte Nullstellen haben Abstand λ/b mit Ausnahme der Nullstellen links und rechts des Hauptmaximums die 2λ/b voneinander entfernt sind. Beachten Sie: Es gibt eine endliche Anzahl von Nullstellen. Frage: Geben Sie allgemein eine Formel für nmax an. Wieviele Nullstellen finden Sie für λ = 1 µm und b = 2 µm?


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Volle Halbwertsbreite des Hauptmaximums Δθ ≈ λ/b (genauer wäre es 0,9 ⋅ λ/b) Bei sehr kleinen Blendendurchmessern b < λ treten keine Minima auf (Spaltbreite so klein ist, dass keine Bereiche mehr existieren die destruktiv miteinan-der interferieren könnten) Nebenmaxima der gebeugten Intensität treten auf für: tan B = B

Lage und Intensität der ersten Maxima bei Beugung am Spalt

(4.15) sin θMax = ± 1,43 λb , ± 2,46

λb ,

I (θMax)/I0 = 0,047 , 0,017

Für höhere Ordnungen: sin θMax, n ≈ ± 2n + 1

2 λb

Qualitative Betrachtung – Geometrische Herleitung.


Qualitative Behandlung der Beugung am Spalt: Nullstellen der Beugungsintensität treten immer in diejenigen Richtungen auf, für die der Spalt paarweise in gleich große Flächen aufgeteilt werden kann, deren Strahlen paarweise destruktiv interferieren: Für den Gangunterschied Δs entsprechender Strahlen gilt dann: Δs = λ/2

∆s = λ/2θ

1. Ordnung: zwei Teilflächen interferieren

Qualitative Betrachtung – Geometrische Herleitung.


∆s = λ/2

θ

2. Ordnung: 4 Teilflächen interferieren Damit eine Beugungsnullstelle auftreten kann muss der Spalt eine Mindestbreite b = λ besitzen.

Beugung an der Rechtecksblende.

W.Zinth PhysikLMU 1

4.3.2 Beugung an einer Rechteckblende

Spalt endlicher Höhe h: Integration über ! explizit ausführen.

Ablenkung kann nun auch in X Richtung erfolgen

Ablenkwinkel " ist mit dem Richtungskosinus # in ! Richtung verknüpft: sin " = #.

Gebeugte Intensität hängt von # und $ ab:

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W.Zinth PhysikLMU 2

(4.12) I(#,$)

I0 =

sin2 AA2

sin2 BB2

mit A = h2 k# =

h2 k sin" ; B =

b2 k$ =

b2 k sin %

!Näherung für kleine Winkel)

Beugungsbild:

• Beugungsbild des langen Spalts liegt bei # = 0

• Dieses Beugungssignal ist in X Richtung gemäß der Funktion sin2 A/A2 fort-

gesetzt. Gitterförmige Anordnung von Minima und Maxima

• Je größer die Rechteckseite des Spaltes (b oder h) desto kleiner wird der

entsprechende Abstand benachbarter Maxima/Nullstellen

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W.Zinth PhysikLMU 2

(4.12) I(#,$)

I0 =

sin2 AA2

sin2 BB2

mit A = h2 k# =

h2 k sin" ; B =

b2 k$ =

b2 k sin %


Beugungsbild:






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W.Zinth PhysikLMU 2

(4.12) I(#,$)

I0 =

sin2 AA2

sin2 BB2

mit A = h2 k# =

h2 k sin" ; B =

b2 k$ =

b2 k sin %


Beugungsbild:






Beugung an der kreisförmigen Blende.

W.Zinth PhysikLMU 3

4.3.3 Beugung an einer kreisförmigen Öffnung Kreisförmige Begrenzungen des Strahlenganges sehr häufig Mathematische Behandlung der Beugung an einer kreisförmigen Blende mit Durch-messer D führt auf eine Besselfunktion Aufgrund der rotationssymmetrischen Öffnung ergibt sich rotationssymmetrisches Beugungsbild Airy-Scheibchen:

I(%) = I(0)

2J1(kDsin(!) / 2)kDsin(!) / 2

"

# $

%

& '

2

mit der Bessel-Funktion J1


W.Zinth PhysikLMU 4

Sehr intensives Hauptmaximum ist ringförmig von Nebenmaxima umgeben

Deren Amplitude fällt sehr schnell ab

Nullstellen bei Beugung an einer Kreisblende

(4.13) sin %min ~– 1,22 &D

, 2,23 &D

, ....., " (n + 1/4) &D

Durchmesser des Beugungshauptmaximums: '% " 1,22 &/D


W.Zinth PhysikLMU 5

Beispiel:

Beugung an der Iris des Auges

Wellenlänge des Lichts von & = 600 nm

Bei sehr hellem Licht: Pupillendurchmesser D " 1,5 mm

und den typischen Augenparametern

Augenlänge L ~– 20 mm

Brechungsindex Glaskörper ngl ~– 1,33)

Beugungsscheibchendurchmesser d = 1,22 & L/(D ng ) = 7 µm

D. h. die Beugung an der Pupille erzeugt (bei sehr hellem Licht) ein Beugungs-scheibchen, dessen Durchmesser (etwas) größer ist als der Abstand zweier Rezepto-ren auf der Netzhaut.

Das Auge ist beugungs-angepasst für mittlere Beleuchtungsstärken (mitlere Pupil-lendurchmesser).

Frage: Wie könnte man in der Evolution das Sehvermögen verbessern?

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