Udo-Rehle.de 1/23 17.06.2014

Differential -

Geometrie

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Reductio ad absurdum

De Beginn einer Erkenntnis ist stets die Frage,

>> Wie kann denn auch sein, was nicht sein kann? <<

März 2013

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INHALTSVERZEICHNIS

1. Was ist eine Kurve? 1

2. Pathologische Kurven 5 3. Was ist eine Parametertransformation? 14

4. Die Tangente 18 5. Wie kann man die Länge einer Kurve berechnen? 19

6. Die Bogenlänge als natürlicher Parameter .. .. .. .. .. 24 7. Was bedeutet die zweite Ableitung? 26

8. Wie kann man die Krümmung noch charakterisieren? 28 9. Wir bewegen das Bezugssystem mit 31

10. Was ist das Tangentenbild? 32 11. Legt die Krümmung die Kurve eindeutig fest? 34

12. Wann berühren sich zwei Kurven? 37 13. Was ist ein Krümmungskreis? .. .. .. .. .. .. .. 41

14. Die Evolute 47

15. Die-Involute. 55 16. Unterschied zwischen lokal und global?. 58

17. Der Jordansche Kurvensatz.. 60 18. Was ist Topologie? .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... .. .. .. .. 64

19. Die Windungszahl .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... .. .. 70 20. Projektive und nichteuklidische Geometrie. 82

21. Die Tangentendrehzahl .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... .. 86 22. Was ist eine Eilinie? .. .. .. .. .. .. .... .. .. .. .. .. .. .. .. 92

23. Wann ist eine Menge konvex? .. .. .. .. .. .. .... .. .. .. . 93 24. Eine Dimension höher. .. .. .. .. .. .. .... .. .. .. .. .. 102

25. Was sind Tangentenpolarkoordinaten?. 115 26. Geometrische Bedeutungen von h' und h". 117

27. Der Flächeninhalt einer Eilinie.. .. .. .. .. .. .. .... .. .. .. 119 28. Hyperflächen .. .. .. .. .. .. .... .. .. .. .. .. 124

29. Allgemeine Relativitäts-Theorie.. 131

30. Durchmesser und Breite einer Eilinie 152 31. Was sind Gitterpunkte? .. .. .. .. .. .. .. .... .. .. .. .. .. 165

32. Wie heißt der Vierscheitelsatz? .. 172 33. Gibt es Kreise, die fünf Ecken haben? 192

34. Wozu ist ein Gleichdick nütze? 200 35. Welche Eigenschaften haben Gleichdicke? 205

36. Was sind Zindlerkurven?. .. .. .. .. .. .. .... .. .. .. .. .. 210 37. Wer kennt Kakeyas Problem?. 214

38. Raumkurven konstanter Breite.. 218 39. Was versteht man unter Gesamtkrümmung?. 220

40. Verallgemeinerte Kurven konstanter Breite. 228 41. Gibt es auch Körper konstanter Breite?. 231

42. Kann man verbogene Flächen eben machen?.. 234 43. Wozu stetige Vektorfelder?. 240

44. Die am besten untersuchten Flächen sind minimal. 244

45. Was versteht man unter Katastrophentheorie?.. 270 46. Zum Schluss ein fünf-dimensionale Betrachtung. 281

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Mathematische

Begriffe

Abschätzungen 54, 109, 120f, 161, 221, 223, 250, 265ff, 269, 281.

Affensattel 107, 267. Affine Geometrie 180, 187.

Antipodenpunkte 82, 243.

Astroide 38, 48f, 116, 119, 188, 265, 273.

Berührung 18, 37ff, 42ff, 68,117,1 85, 201, 217, 230f, 233, 247, 255f

Beschleunigung 26f, 97, 131, 136f.

Bezugssystem 31, 133, 136, Bettizahl 75, 77, 223.

Böschungslinie 35.

Breite 153ff, 192, 205ff, 231.

Christoffelsymbole 125, 129, 140.

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Diametralpunkte 82, 152ff, 16l, 206, 208, 218, 231.

Differentialgleichungen 100, 144, 147, 237, 243f, 246ff. Differentialtopologie 90f, 249f.

Diffeomorphismus 109, 249ff, 264, 270 , 274.

Doppel-Eilinie 33. Doppelnormale 205, 207, 228, 231.

Doppelpunkt 4, 65 ,71, 86ff, 94, 97 , 10? ,183, 185, 211, 213.

Doppeltangente 50, 98. Doppeltorus 79, 188.

Drehfläche 23f, 35f, 102, 105, 108, 225f, 132ff, 259. Dreiblatt 50,(88), 209.

Dreispitz 51, 116, 173, 209f, 212, 214f.

Durchmesser 107, 109, 152ff, 165, 192, 205ff, 231, 250. Durchschnittsgeschwindigkeit 18.

Durchschnittskrümmung 220.

Eifläche 107ff, 121f, 232, 235ff, 250, 281.

Eilinie 92, 101, 108, 116, 119f, 152ff, 165ff, 172ff, 232. Ellipsoid 108f, 245, 265

Elliptischer Punkt 106f, 132. Elliptische Geometrie 84, 181f.

Einbettung 82, 235, 238, 265. Enveloppe s. Hüllkurve

Epizykloide 48, 57, 174, 204. Euler-Charakteristik 79ff, 223, 126, 241, 252f, 265.

Evolute 47ff, 116, 119, 154, 172, 174, 206ff, 258. Evolutoide 51, 53, 210.

Evolvente s. Involute. Explizite Darstellung 15f, 248, 254, 262.

Exotische Sphären 251.

Extremaleigenschaften 43, 50,53,98f,105,107,118,120,128, 154,158,l6o,l62,l73,

l87f,191,209,2l4,220f,230f,245,249,256f,270ff,281f.

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Fadenkonstruktion 56, 92.

Flachpunkt 108, 132, 252. Flachtangente 38.

Flächeninhalt 6, 23ff, 98f, 119ff, 168ff, 225, 245. Fixpunkte 100, 127, 177f.

Fokalfläche 46. Fokus 48.

Funktionentheorie 71, 244, 247f. Fußpunktkurve 188, 208f.

Gegenpunkte 154f, 206.

Geodätische 35, 85, 108f, 125, 133ff, 138, 146, 220f, 224, 238, 242f, 264.

Gesamtkrümmung 87,122f,175,207,212,219,220ff,235t,242,265ff. Gesamtwindung 227.

Geschlecht 75, 103, 188f, 224, 242, 262. Geschlossenheit 4, 60ff, 81, 234f, 240f, 264f.

Gradient 146,248. Grenzfallbetrachtung 4, 6, 18f, 23,42,68f,85,96,119,123,142,

158,164,190,212,218,230,255,259.

Henkelpunkt 45.

Homöomorphismus 65, 73ff, 81, 103, 105, 224, 235f, 249f, 252.

Homologie 70f, 89f, 99, 182.

Homotopie 70f, 89ff.

Hüllkurve 47ff, 55, 115f, 118,163,196f,207tf,211,261,(273). Hyperbolische Geometrie 83ff, 181f, 189, 225f, 282.

Hyperbolischer Punkt 106, 132, 252, 261.

Hyperboloid 36, 39f, 135, 234, 236, 264.

Hyperebene 46, 111, 187, 238.

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Hyperfläche 109, 124ff, 223, 233, 235, 238, 249, 269.

Hyperkomplexe Zahlen 250.

Hyperkugel 46, 111, 163, 220, 238, 249.

Hypervolumen 114, 129.

Hypozykloide 48, 51, 116, 173, 209, 214f.

Index 71f, 240ff.

Indikatrix 107.

Inflexionspunkt 50, 61.

Inkreis 19, 156, 161, 185, 205, 229, 231.

Integral der mittleren Krümmung M 54, 122ff, 281.

Integralgeometrie 58, 184, 189f.

Inversion 177ff, 219.

Involute 55ff, 208, 258.

Isogonaltrajektorie 35.

Isometrie 125, 234ff, 250, 259.

Isoperimetrie 99, 120f, 217, 281.

Jordanflächen 63, 246

Jordankurven 14, 60ff, 186, 247, 253ff, 264.

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Kardioide (Herzkurve) 4

Kaustik 48f, 53, 275.

Kegel 3, 35, 90, 102, 133, 135f, 142, 249, 264, 281.

Kleinsche Flasche 77, 82, 281.

Kompaktheit 79,82,84,109?,130,226,235,250,261,264f.

Konvexe Hülle 98f,107,252.

Konvexität 93ff,102ff,117,122,153,160,198,212,220,223,228,236f.

Kreuzhaube 90.

Krümmung (Flächen-) K 105ff, 124ff, 223ff, 234ff, 238, 261.

(Kurven-) κ (Kappa) 27ff, 34f, 42ff, 86ff, 97, 172ff, 191,220ff,236.

(Raum-) 137f, 223ff.

Krümmungskreis 31,37f,4lff,154f,172ff,180f,185f,206,208.

Krümmungskugel 46.

Krümmungsradius 9, 30, 41f, 46f, 116ff, 208, 231, 235.

Kugel 23, 35f, 100, 103, 139, 163,170,184, 219, 222, 225, 227, 231, 235,237,

241ff, 249ff, 265. Kurve -Differenzierbarkeit 2ff, 60ff, 88ff, 97, 174.

- entartete 5ff

- geschlossene 4 , 60ff, 183,240f. - räumliche 35f, 133ff, 183f, 213,218f, 220ff.

- stückweise glatte 61, 89.

- verknotete 64, 75, 188ff, 220, 255. - verschlungene 252f.

Länge

6, 19ff, 118, 218, 220f.

Lemniskate 65, 87, 152.

Lissajouskurven 4

Loxodromen 35f, 239.

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Mannigfaltigkeit 53f, 81, 110,124f,130,136,139f,223,226,242,250f,264,

Meridian 35f, 133f, 242.

Metrik 124ff, 135ff, 234, 236.

Minkowskiraum 134ff, 145f, 189.

Mittlere Krümmung H 122, 125ff, 223, 235, 238, 251f.

Mobiusband 66, 75f, 77f, 82, 90, 247f, 253, 266, 281.

Mobiusgeometrie 181f.

Möbiustransformation 179ff.

N abelpunkt

40, 107, 133, 238. 130

Natürliche Gleichung 34, 124.

Normale (Flächen-) 109,125,129,207,235,269.

(Kurven-) 31, 117, 205, 228.

Normalenabbildung

32f, 80f, 105f, 109, 225, 236, 241, 265ff, 269.

Normalenebene 33, 109, 218. Normalkrümmung 125, 220. Normalschnitt 40, 105, 218, 220, 222

Oberfläche 23,114,121 ff,232,234,254,281.

Offenheit 64, 264ff. Orientierbarkeit 75ff, 82, 108f,252,264,265f.

Orthogonalprojektion 104,153,233,261,265.

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Oskulation 37f, 40.

Parabolischer Punkt 106, 133

Paraboloid 40, 44.

Parallelfläche 23, 122, 129f. Parallelkörper 122f.

Parallelkreise (Breitenkreise) 36, 133. Parallelkurven 118ff, 195ff, 206, 212.

Parameter 2, 14ff, 24ff, 117, 248, 270, 274. Pascalsche Schnecke 97, 183.

Passante 95f, 107. Peanokurve 7ff, 12f.

Periodische Geschlossenheit 60f, 183, 264, 267. Polarkoordinaten 33, 53f, 65, 115f, 121, (148), 183.

Polyeder (Polytop) 23, 75, 79f, 102ff, 122, 161, 282.

Polygon 19f, 60, 62f, 94, 99, 225. Polytopapproximation 23, 54, 236, 282.

Projektive Geometrie 82ff, 181f, 187, 250, 281. Pseudosphäre 85, 223, 226.

Punkt (Mehrfach-) 11, 65, 88, 168, 209, 257.

(singuläre) 3, 24, 61, 241.

(unendlich ferne) 82, 177, 219.

(Wickel-) 28,30, 62..

Rand (Begrenzung) 66ff, 77, 94ff, 103, 112f , 224f, 240, 246, 264.

Reduktion 73, 76. Regelfläche 39, 106, 125ff, 234f, 259f, 264.

Regularität 3, 46, (61), 89f, 252f. Reguläre Vielecke 19, 193, 217, 228ff.

Rektifizierbarkeit 22, 221. Riemannsche Geometrie 66, 81, 110, 137ff, 181 , 223ff, 236, 250f, 264,

Riemannsche Krümmungstensor 125, 140f. Rückkehrpunkt 20, 50.

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Rollkurven s. Zykloiden

Rosette (Rollkurve) 33, 50, 65, 188, 209.

Sattelpunkt s. hyperbolischer Punkt

Scheitelpunkt 43, 49ff, 172ff,206,209,219,229.

Schmieghyperebenen 46, 187.

Schmieghyperkugel 46, 188,

Schmiegebene 33, 46, 219, 229.

Schmieggerade 45.

Schmiegkreis 39ff, 42ff, 46, 120f, 172, 190, 209.

Schmiegung 38ff, 121.

Schnäbel 61, 212.

Schneeflockenkurve 6f, 13.

Schraubenlinie 34f, 154,259f.

Sierpinskikurve 11, -Schwamm 13.

Singularität 3f, 61f, 247, 249, 270ff.

Sphären Sn 15f, 23, 33, 80f, 100,109,114,125,218,222,236t,241f,249ff,265.

Spitzen 3f, 30, 45, 49ff, 57, 67, 119, 172, 197, 206f, 211ff, 243,252.

Spiralen 29f, 35, 37, 53f, 61, 174f, 185.

Spiralzylinder 35, 264.

Stützebene 103ff, 231f.

Stützfunktion h 115ff, 123, 153, 163, 231.

Stützgerade 95f, 117, 193, 205, 222.

Tangente 18, 27, 38, 86ff, 95, 117, 152f, 189, 208.

Tangentenbild 32, 86, 218f, 227.

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Tangentendrehwinkel 28, 96ff, 97, 115, 119, 153, 175, 212.

Tangentendrehzahl (Umlaufszahl) 86ff, 266. Tangentenfläche 45, 54, 127, 234.

Tangentenkoordinaten 55, 115ff. Tangentialebene 23, 33, 81, 105, 108, 124, 163.

Topologie 11, 62ff, 74ff, 84, 89f, 103, 223f, 244, 247, 250.

Toroiden 118f, 197.

Torsen siehe flache Regelflächen

Torsion 31ff, 46, 184, 227.

Torus 24f,36,63,74,79,81,90,132,l87f,232,236,238,24lf,2$0,253f,281

Trigonometrische Funktionen 21f, 85, 258.

Überdeckungszahl 80f, 266, (238).

Umfang 19ff, 98f, 101, 118,120,169,205,215,220,229,233,281.

Umkreis 19, 155, 176, 179, 185, 205, 231. Umkugel 156, 231.

Variationsrechnung 137f, 144, 238, 242ff, 246f, 259.

Verzweigungspunkt 11 , 63, 247, 255, 266f. Vierdimensionaler Raum 65, 82, 122ff, 134ff, 220, 233, 275.

Volumen 23, 25, 54, 114, 121ff, 129f, 163, 281.

Vollständigkeit 109, 236, 262, 264ff.

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Wendepunkt 29f, 45, 47, 88, 97f, 174, 176, 183.

Wendetangente 38, 45. Weingartenabbildung 126, 128.

Weingartenfläche 238. Windungszahl 70ff, 88, 240.

Zentriertheit 99, ( 161).

Zerlegungsprobleme 76,99,153,211.

Zusammenhang 62,64,72ff,94,224,253,267. Zweieck 202, 217, 226, 229.

Zyklische Ordnung 186f, 190. Zykloiden (gewöhnliche) 52

sonst siehe Epi- und Hypo-Zykloide Zykloiden höherer Stufe 50,175.

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Namensverzeic

hnis

P.S. Alexandrov (1896 - ?) (67), 236.

Archimedes (ca.287-212 v. Chr.) 20,23,54,103,121 .

V.J. Arnold 275.

Barbier 205, 229, 232.

T.F..Banchhoff 220, 222.

M. Barner 187

E. Beltrami (1835-1900) 85, 244.

Jakob Bernoulli (1654-1705) 53, 246. Johann Bernoulli (1667-1748) 200, 258.

Bernstein 248f, 265.

(J. Bertrand (1822-1900) 35.

A.S. Bersicovitch (1891-1907) 216.

E. Betti (1823-92) 75, 223. L. Bianchi (1856-1928) 244.

R. Bishop 31. W. Blaschke (1885-1962) 58,161,173,186,201,218,281.

Blichfeld 166. W. Bohm 261.

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G. Bol 122,186.

J. Bolyai (i802- 60) (82), 83. B. Bolzano (1781-1848) 5, (6).

Bombieri 249

P.O. Bonnet (1819-92) 109,224ff,234,241,244,259.

E. Borel (1871-1956) 264.

Bose 190.

W. Boy 89ff.

C.V. Boys (1855-1944) 244.

L.E.J. Brouwer1 (1881-1966) 66ff, (67),(69), 99f,242.

G. Browskin 170

H. Brunn (1862-1939) 101,108.

H. Bückner 218. Buffon (1707-88) 58.

Caratheodory (1873-1950) 174. Cassini 65 E. Catalan 244, 259f.

A. L. Cauchy (1789-1857) 118, 217, 264. B. Cavallieri (1598-1647) 121.

A. Cayley (1821-95) 128(128), 250.

E. Cesaro (1859-1906) 24. B.Y.Clwa, •3?3

S.S. Chern 223,226,235,269 (269).

E.B. Christoffel (1829-1900) 125, 140, 235. J. Clairaut (? - 1765) 133.

J.Mc Clellan 102. S. Cohn-Vossen 81, 237, 266.

N. Copernikus (1473-1543) 57. A. Cornu (1842-1917) 28ff.

G. Darboux (1842-1917) 31, 200, 261.

B.V.Dekstek 54

1 Luitzen Egbertus Jan BROUWER behauptet, das das >>tertium non datur<<

in unendlichen Fällen nicht gelten muß!

Udo-Rehle.de 16/23 17.06.2014

R. Descartes ( 1596-1650)

P.A.M. Dirac Chr. Doppler (1803-53) 151

J. Douglas 246,253.

E. Ehrhard 166.

A. Einstein (1879-1955) 129, 131ff.

A. Emch 178

A. Enneper 244, 261f. L. Eötvös (1848-1919) 136.

L. Euler (1707-83) 16, 64, 79, 105, 192, 200, 246(246), 258.

Fabricius-Bjerre 182, 185f.

M. Fary 220 H. Federer 249.

W. Fenchel 220,225,267.

P. Fermat (1601-65) 137.

J.P. Fillmore 218,232. Firey 235.

W.H. Fleming 264. D.Fog 174,176.

J.B.J. Fourier (1768-1830) 174, 228. M. Frechet (1878-1973) 220,(222).

F. Frenet (1816-68) 31. C.M. Fulton 182.

M. Fujiwara 202,214,217f,228,230.

Udo-Rehle.de 17/23 17.06.2014

G. Galilei (1564-1642) 131(131). -

C.F. Gauß (1777-1855)

16, 21, 32f,(58),71,83,105,124f, 132,(140),224ff,241. R.P. Gerach 149.

H. Gericke 183. E.De Giorgi 249.

M. Goldberg 233.

Grandi 65. W.C. Graustein 174

Greene 237 Gromoll 251

H. Guggenheimer 189. Guisti 249.

H.P. Guldin (1577-1643) 24f.

J. Hadamard (1865-1963) 107,109.

W.R. Hamilton (1805-65)

128, 250. J. Hammer l66f.

O. Haupt 184,189f.

F. Hausdorff (1868-1942) 13.

S. Hawking 149.

E. Heil 182,189. E. Heine (1821-82) 264.

Hellwig 237 E. Helley 99,156.

L. Henneberg 262, 266.

G. Herglotz (1881-1953) 59(59),122,174.

D. Hilbert (1862-1943) (66) ,84, 89,144.

Udo-Rehle.de 18/23 17.06.2014

R. Honsberger 171

H. Hopf (1894-1971) 241,264,(269). J. Hoschek 213.

E.P. Hubble (189-1953) 151 G. Hunt 274.

A. Hurwitz (1859-1919) 174. Chr. Huygens (1629-95) 47, 52, 132, 258.

M.C. Irwin 218.

S.B. Jackson 174,183.

C.G.J. Jacobi (1804-51) 33, 243(243).

H. Jonas 261. E.S. Jones 183.

C. Jordan (1838-1922) 14, 63.

H.V.E. Jung 156f,159,163.

T.H.S. Kakeya 214ff,228.

J. Kepler (1571-1630) 104, 146, 182.

F. Klein (1849-1925) 13, 77, 85, 180,(182).

A. Kneser (1862-1930) 173f.

Kobayashi 250 A.N. Kolmogorow (geb. 1903-?) (67).

E. Kreyszig 235

N. Kuiper 238. T. Kulikowski 170.

Udo-Rehle.de 19/23 17.06.2014

J.L. Lagrange (1736-1813) 108,246(246),248,251.

E. Laguerre (1834-86) 179,181.

P.S. Laplace (1749-1827) 140,142.

R.K. Lashof 223.

H.L. Lebesgue (1875-1941) 157.

S. Lefschetz (1884-1972) (69).

G.W. Leibniz (1646-1716) 258.

T. Levi-Civita (1873-1941) 142.

S. Lie (1842-99) 180ff,244,252.

H. Liebmann (1874-1939) 235,237. J. Liouville (1808-82) 248.

J.A. Lissajous (1822-80) 4. J.B. Listing (1808-82) 66.

N.I. Lobatschewski (1793-1856) (82),93,85. H.A.Lorentz (1853-1928) 133

R. Malgrange 275

K.L. Mampel 211.

B. Mandelbrot 13 J. Mather 217.

Meißner 217 J.B. Meusnier (1754-93) 220,251,259.

W.F. Meyer (8156-1934) 251. A. Michelson (1852-1931) 132,141.

J.W. Milnor 220,249.

F. Minding (1806-85) 108.

H. Minkowski (1864-1909)

95,115,130,134,161,(163),165,233,235.

A.F. Möbius (1790-1868) (58),66(66),75,77f,179,181

R. Mössbauer 150

Mohrmann 174,187.

G. Monge (1746-1818) (59). B. Morini 90.

Udo-Rehle.de 20/23 17.06.2014

S. Mukhopahyaya (1867-1935) 172.

Nash 238.

I. Newton (1642-1727)

131f (131).

Nikolaides (1866 - ? ) 44 J.C.C. Nitsche 269.

I. Niven 168. Nomizu 250.

S.P. Olowjanischnikow 236.

R. Ossermann 247, 266.

J. Pal 159,214.

B. Pascal (1623-62) 53, (58), 111.

E. Pascal (Blaise sein Vater) 97, 107.

G. Peano (1858-1932) 7f,12.

R. Penrose 149. Pich 168.

J. Plateau (1801-89) 245ff. A.W. Pogorelow 237.

H. Poincare' (1854-1912) (66), 75, 79. 108, 241

L. Poinsot (1777-1859) 104.

S.D. Poisson (1781-1840) 140, 142, 144.

T. Poston 278.

H. Rademacher (1892-1969) 195,.199 205

Udo-Rehle.de 21/23 17.06.2014

T. Rado 246,254f.

R.A.F. Reaumur ( 1683-1757) 52. F. Reuleaux (1829-1905) 193f,200ff,215.

A. Ribaucour 244,252. G. Ricci (1853-1925) 140,146.

B. Riemann (1826-66) 5(5), (59), 66, 84, 125, 137, (140),

157, 181, 244.

W. Rinow 264. M.Roberts 261.

S.A. Robertson 218. Rooy 221.

Rosen 150.

G. Saban 224. H. Samelson 264.

A .E. Sandage 145. M.F. Scherk 216ff.

A. Schinzel 169f. L.G. Schnirelmann (1905-38) 99.

R. Schneider 267. H.A. Schwarz (1843-1921) 23,244,255,261.

K. Schwarzschild (1876-1916) 148f.

J.A. Serret (1819-85) 31,244. A. Shapiro 89f.

W. Sierpinski (1882-1969) 11,13(13). M.E. Sinclair 259.

St. Smakal 218. S. Smale 89.

Spivak 57.

J. Steiner-(1796-1863) 51, 90, 120ff,(123),129,209.

H. Steinhaus (1887-1972) 169. G.G. Stokes (1819-1903) 119.

J.J. Storker 237. R. Sprague 159,160.

K. Strubecker 211.

Udo-Rehle.de 22/23 17.06.2014

W. Süss (1895-1959) 101

Takeno 150. T. Tasahn 182.

B. Taylor (l685-1731) 4

J. Taylor 146.

0. Toelplitz (1881-1940) 199, 205.

R. Thom 275.

Valette 182.

O. Veblen (1880-1960) (67).

L. Vietoris 174.

Villarveau 36 W. Vogt 174,185.

K. Voss 235.

F. Wankel 203,(204).

B. Wegner 209,218t.

K. Weierstraß (1815-97) 5(5),244,247,262.

J. Weingarten (1836-1910) 126,238,244,261

H. Weyl (18(5-1955) (66),142,235.

N. Wiener (1894-1964) 254.

Wolf 250.

A.B.R.Woodcock 272,278.

Wu 237.

W. Wunderlich 201.

Udo-Rehle.de 23/23 17.06.2014

K. Zindler (1866-1934) 210.

E.C. Zeeman 275.

H.S. Zuckermann 168.