О линейных процессах докритического рождения и смертив случайной среде

J.  Math.  Biol.  75 (2017) 85– 108http://dx.doi.org/10.1007/s00285-016-1079-0 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01414042

Nicolas Bacaer

Исследовательский институт развития Les Cordeliers, Париж, Франция

nicolas.bacaer@ird.fr

резюме

Получена явная формула для скорости вымирания линейных докритических процессов рождения и смерти в случайной среде.Эта формула иллюстрируется путем численного расчета собственного значения наибольшей действительной части дляусеченной матрицы главного уравнения. Производящая функция ассоциированного собственного вектора проверяет особуюсистему дифференциальных уравнений типа Фукса. Особое внимание уделено случаю двух сред, который приводит кдифференциальному уравнению Римана.

1 Введение Предположим, что среда колеблется между конечным числом K состояний (K ≥ 2) следуя однородной непрерывной цепиМаркова времени. лиQ = (Qi,j) матрица, транспонирование которой является бесконечно малым генератором этой цепочки: Qi,j ≥ 0 для всего i ≠ j и ∑iQi,j = 0 для всего j, Предположим, матрицаQнеприводимым. Есть один вектор u = (ui) такиекак Qu = 0 и ∑i ui = 1 (Sericola, 2013, стр. 152).

примечание nколичество людей в популяции, которая развивается в этой случайной среде. В окружающей средеi (1 ≤ i ≤ K), предположим, у нас есть линейный процесс рождения и смерти параметров nai для рождений и n bi для мертвых,с ai > 0 и bi > 0, Другими словами, каждый человек имеет на бесконечно малый интервал времениdt вероятность ai dt родитьнового человека и вероятность bi dt умереть

Предположим, что в то время t = 0 есть n0 лица (n0 ≥ 1) и что окружающая среда i0, лиpn,i(t) вероятность того, что n людив окружающей среде i в то время t, Итак, мы имеемpn,i(0) = 1 если (n, i) = (n0, i0) и pn,i(0) = 0в противном случае.Основное уравнение

для n ≥ 0 и 1 ≤ i ≤ K; срок вpn−1,i отсутствует для n = 0, Следуя (Лотка, 1939), давайте представим

R0 =∑K

i=1 ai ui

∑Ki=1 bi ui

.

Мы всегда будем предполагать, что R0 < 1: население почти наверняка исчезает (Когберн и Торрес, 1981; Бакаер и Эд-Дарраз,2014). Это докритический режим. когдаt → +∞у нас есть p0,i(t) → ui и pn,i(t) → 0 для всего n ≥ 1 и все i, Кроме того,скорость вымирания

существует и не зависит от n ≥ 1 или из i(Collet et al., 2013, раздел 4.5). Это также не зависит от начального условия(n0, i0),Проблема состоит в том, чтобы явно определить этот показатель.

Мы отмечаем R(⋅)действительная часть комплексного числа. Для любой матрицыMотметим σ(M) его спектр и s(M) = max{R(λ); λ ∈ σ(M)}его спектральная граница. Когда матрицаM имеет недиагональные коэффициенты, которыеявляются положительными или равными нулю, что всегда будет иметь место ниже, из теоремы Перрона и Фробениусаследует, что s(M) также является собственным значением M , Мы отмечаем A диагональная матрица diag[a1, … , aK], Мыотмечаем B = diag[b1, … , bK], Наконец, отметим разницуD = A − B = diag[d1, … , dK],

В разделе 2 мы используем результат (D'Souza and Hambly, 1997), касающийся ветвящихся процессов в случайной среде,чтобы показать, что

dpn,i

dt= ai(n − 1)pn−1,i + bi(n + 1)pn+1,i − (ai + bi)n pn,i +∑

j

Qi,jpn,j (1)

ω1 = limt→+∞

1

tlog pn,i(t) (2)

Мы также изучаем изменения функции α ↦ λ1(α) = s(Q + αD) и его производная λ′1(α), что позволяет выделить три случая:

тот, где m = maxi(ai − bi) ≤ 0 ;тот, где m > 0 и λ′

1(1) ≤ 0 ;тот, где m > 0 и λ′

1(1) > 0,

В первых двух случаях минимальный Λ из λ1(α) тем временем [0, 1] достигается в α = 1так что формула (3) показывает, что ω1 = s(Q + D),

В разделе 3 мы видим, что спектральная граница μN от усеченной матрицы до ранга Nглавного уравнения образуетвозрастающую последовательность. Затем мы рассчитываем численноμN в серии примеров. Мы отмечаем, в частности,медлительность, без сомнения, логарифмическую, с которойμN сходится к ω1 в третьем случае, упомянутом выше.

Из раздела 4 нас интересуют другие собственные значения и связанные с ними собственные векторы, для которых мыполучаем только очень частичные результаты. Сначала мы преобразуем проблему собственных значений

в особую дифференциальную систему типа Фукса (Methée, 1959)

для функции генератора

Покажем, что если собственный вектор (πn,i) уменьшается геометрически по отношению к nтогда собственное значение ωобязательно равно собственному значению матрицы Q + νD с ν полный ≥ 0, когдаm < 0 и ω = s(Q + νD)фактически строиманалитические решения системы (5) в окрестности x = 1, Отметим, что характеристическое уравнение фуксовой системы,полученное путем поиска решений, которые ведут себя как (1 − x)α в непосредственной близости от x = 1это

другими словами, ω собственное значение матрицы Q + αD, В третьем случае тот, где функцияλ1(α) достигает своегоминимума Λ в α∗ в пределах интервала ]0, 1[покажем, что если ω = s(Q + αD) и если развитие Gi(x) в непосредственнойблизости от x = 1 содержит логарифмический термин, поэтому обязательно α = α∗ и, следовательно, ω = Λ, Более того, втеории Фукса логарифмические члены появляются, когда характеристическое уравнение (7), и в частности ветвьω = s(Q + αD)неизвестно αимеет двойной корень. Из-за выпуклости функцииα ↦ s(Q + αD)это происходит только для ω = Λ,

В разделе 5 мы изучаем асимптотическое поведение напрямую, то есть для n большой, граничного собственного вектораπ = (πn,i) связано с ω1, Раздел 6 устанавливает соединение, когдаK = 2с дифференциальным уравнением Римана. В разделе 7нас интересует цепочка Маркова, последняя из которых относится к работе (Dekking, 1988) и (Geiger et al., 2003), средипрочих. Отметим, что порог между слабо и сильно докритическими режимами не совпадает с тем, гдеΛ перестать бытьстоящим s(Q + D),

Чтобы лучше определить нашу проблему в связи с какой-либо другой работой, отметим, что система (1) представляет собой«процесс квази-рождения и неоднородной смерти»; см. например (Sericola, 2013, p. 350) или (Latouche and Ramaswami, 1999,глава 12), в которых обсуждается стационарное распределение, но не скорость сходимости к нему. Кроме того, в постояннойсреде сai = a и bi = b > a для всего iу нас есть D = (a − b)Iгде Iявляется единичной матрицей; поэтомуs(Q + αD) = α(a − b) и формула (3) дает ω1 = a − b, что хорошо известно либо прямым расчетом (Hillion, 1986, глава V),либо как частный случай результатов Карлина и МакГрегора о процессах рождения и смерти, которые не обязательноявляются линейными (Collet et al., 2013, раздел 5.9.2). Мы также отмечаем, что обобщения этих последних результатов дляпроцессов, близких к рождению и смерти (Clayton, 2010) касаются только случаев, когда «спектр» является реальным, что, какправило, не имеет место в нашей модели. Наконец, модель (1) вмешивается как линеаризация некоторых нелинейныхпопуляционных моделей и, в частности, эпидемических моделей (Bacaër, 2016).

2 Формула для скорости исчезновения

2.1 Время дискретизации среды и перехода к пределу

Транспонирование матрицы M (или вектор) отмечается M T, лиδ > 0маленький шаг времени. Давайте дискредитироватьколебания окружающей среды во времени. МатрицаP = eQTδявляется матрицей цепи Маркова в дискретном времени.Обратите внимание, чтоPi,j> 0 для всего i и j поскольку матрица Qнеприводим. Окружающая среда остается

ω1 = Λdef= min

0≤α≤1s(Q + αD) . (3)

ω πn,i = ai(n − 1)πn−1,i + bi(n + 1)πn+1,i − (ai + bi)n πn,i +∑j

Qi,jπn,j , (4)

ω Gi(x) + (1 − x)(aix − bi)G′i(x) = ∑

j

Qi,jGj(x) (5)

Gi(x) = ∑n≥0

πn,i xn . (6)

det(Q + αD − ωI) = 0 ; (7)

заблокированной в государствеi на шаг времени δ затем перейти к состоянию j с вероятностью Pi,j, В отрезке времениδмывсегда предполагаем, что население следует линейному процессу рождения и смерти параметров nai и n bi если среданаходится в состоянии i, Таким образом, человек генерирует в среднемmi = e(ai−bi)δфизические лица; обратите внимание, что0 < mi < +∞, Поэтому мы находимся в контексте ветвящегося процесса в марковской среде. если(ξ0, ξ1, … , ξk−1) являетсяпродолжением k скрещенные среды, мы ставим θk = mξ0mξ1 …mξk−1 , дляα ∈ Rдавайте спросим

где E(⋅)обозначает надежду лиZk численность населения после k нет времени на обрезку δ, таким образом P(Zk > 0)вероятность того, что население не исчезнет. Следствие 1.8 из (D'Souza and Hambly, 1997) показывает, что

ли 1 = (1, … , 1) и Σ(α) матрица, заданная Σi,j(α) =Pi,jmαj , Другими словами,Σ(α) = P diag[mα

1 , … ,mαK], В нашем случае

ожидание продуктаθαk = mαξ0mα

ξ1…mα

ξk−1 рассчитывается явно:

ли ρ(Σ(α)) спектральный радиус положительной матрицы Σ(α), Из (8) и (10) следует, что Φ(α) = log ρ(Σ(α)), Это такжеаналитическая функцияα на R поскольку ρ(Σ(α)) простое собственное значение положительной матрицы Σ(α),Следовательно, предел (9) равенmin{ρ(Σ(α)); 0 ≤ α ≤ 1}, Скорость вымиранияω в непрерывном времени, следовательно,

ω =1

δlog min

0≤α≤1ρ(Σ(α)) = min

0≤α≤1log([ρ(Σ(α))]1/δ

).

Давайте возьмем, в частности, δ = 1/h с h ≥ 1который является целым числом. то [ρ(Σ(α))]1/δ= ρ(Σ(α)h), золото

Σ(α)h =[eQT/h eαD/h]h

⟶h→∞

eQT+αD

согласно формуле Ли. Спектральный радиус является непрерывной функцией, мы имеем

ρ(Σ(α)h) ⟶h→∞

ρ(eQT+αD) = es(QT+αD) .

в качестве s(QT + αD) = s(Q + αD)мы заключаем, что

ω⟶δ→0

  min0≤α≤1

s(Q + αD) .

Наконец, предложение 4.12 (Collet et al., 2013) обеспечивает равенство скоростей исчезновения, определенных с помощью (2)или с вероятностью не исчезновения, как в левой части уравнения (9). Таким образом, мы нашли формулу для скоростиисчезновения в непрерывном времени.

2.2 Изучение функции α ↦ s(Q + αD)

Давай спросим сейчас

Предложение 1 . еслиm ≤ 0тогда Λ = λ1(1), еслиm > 0 и λ′1(1) ≤ 0то у нас тоже есть Λ = λ1(1), еслиm > 0 и λ′

1(1) > 0тоесть уникальный α∗ ∈]0, 1[ такие как Λ = λ1(α∗),

Демонстрация . еслиv = (vi) это вектор, отметим: v ≥ 0 если vi ≥ 0 для всего i ; v > 0 если v ≥ 0 и v ≠ 0 ; v ≫ 0 если vi > 0 для всего i, Мы используем одинаковые обозначения для матриц.

Давайте вернемся к рассуждению раздела 9 (Bacaër, 2016), но с R0 < 1 и не R0 > 1, Как матрицаQ неприводим и матрица Dдиагональ, матрица Q + αD также неснижаемо для всего α, таким образом λ1(α) простое собственное значение матрицы Q + αD, лиw1(α) ≫ 0 единственный реальный собственный вектор матрицы Q + αD связано с собственным значением λ1(α) такие как ⟨1T,w1(α)⟩ = 1где 1 = (1, … , 1) и ⟨⋅, ⋅⟩обозначает обычное скалярное произведение вещественных векторов.Мы знаем чтоλ1(α) также является простым собственным значением транспонированной матрицы QT + αD, примечаниеv1(α) ≫ 0 единственный соответствующий действительный собственный вектор такой, что ⟨v1(α),w1(α)⟩ = 1, Из простойтеоремы о возмущении собственных значений мы знаем, что функцияλ1(α) дифференцируемо и

Особенно для α = 0у нас есть λ1(0) = s(Q) = 0, w1(0) = u, v1(0) =1T и λ′

1(0) = ⟨1T,Du⟩ = ∑Ki=1(ai − bi)ui < 0 поскольку

R0 < 1,

Φ(α) = limk→∞

1

klogE(θαk ) , (8)

limk→∞

P(Zk > 0)1/k = exp( inf0≤α≤1

Φ(α)) . (9)

E(θαk ) = (0  …  0 mαi0  0  …  0) (Σ(α))

k−11

T. (10)

λ1(α) = s(Q + αD), Λ = min0≤α≤1

λ1(α), m = max1≤i≤K

(ai − bi) = maxi

di . (11)

λ′1(α) = ⟨v1(α),Dw1(α)⟩ . (12)

если m ≤ 0, функция α ↦ λ1(α) уменьшается с D ≤ 0, Теперь рассмотрим случай, когдаm > 0, Помни чтоλ′1(0) < 0,

Функцияα ↦ λ1(α)выпуклый (Cohen, 1981). поэтомуα ↦ λ′1(α)это возрастающая функция. Кроме того, когдаα → +∞у нас

есть λ1(α) ∼ αm → +∞, Функцияα ↦ λ1(α)в этом случае является строго выпуклым, поскольку не является аффинным(Nussbaum, 1986). Так что есть уникальныйα∗ > 0 такие как λ′

1(α∗) = 0,

Итак, есть три случая:

если m ≤ 0тогда Λ = λ1(1),если m > 0 и λ′

1(1) ≤ 0тогда α∗ ≥ 1 и α ↦ λ1(α) уменьшается в течение интервала [0, 1]так что у нас еще есть Λ = λ1(1),если m > 0 и λ′

1(1) > 0тогда α∗ ∈]0, 1[ и Λ = λ1(α∗),

2.3 Случай двух сред

Предположим, что K = 2, позволятьQi,i = −qi для i = 1, 2так

Q = ( ), u1 =q2

q1 + q2, u2 =

q1

q1 + q2.

Характеристическое уравнение det(Q + αD − ωI) = 0 пишет

ω2 − (−q1 + αd1 − q2 + αd2)ω + (−q1 + αd1)(−q2 + αd2) − q1q2 = 0 .

Это отношения между ω и α описывает гиперболу в плоскости (ω,α), Это также может быть написано

Кроме того, λ1(α) = s(Q + αD) таков, что

2λ1(α) = −q1 − q2 + α(d1 + d2) + √[α(d1 − d2) + q2 − q1]2 + 4q1q2

и

2λ′1(1) = d1 + d2 +

(d1 − d2)(d1 − d2 + q2 − q1)

√(d1 − d2 + q2 − q1)2 + 4q1q2

.

если m ≤ 0или если m > 0 и λ′1(1) ≤ 0у нас есть Λ = λ1(1), еслиm > 0 и λ′

1(1) > 0мы должны иметь d1d2 < 0, Предположимв этом случае, например, чтоd1 > 0 и d2 < 0, Отменив дискриминант (13), мы после небольшого вычисления находим

Обратите внимание, что Λ = 0 и α∗ = 0 когда q1d2 + q2d1 = 0то есть когда R0 = 1,

3 Усеченная матрица

позволять p = (p0,1, … , p0,K, … , pn,1, … , pn,K, …)T, Мастер уравнение написано dp

dt= Mpгде Mявляется бесконечной

матрицей. Давайте разрезать матрицуM и давайте спросим

M(N)= = ( )

с S = A + B, лиμN = s(U (N)),

Предложение 2 . Для всехN ≥ 1у нас есть μN < μN+1 < 0, Продолжение(μN) следовательно, имеет предел, когда N → +∞а именно ω1,

Демонстрация . Матрица Метцлера - это матрица, в которой все коэффициенты вне диагонали≥ 0, МатрицаU (N) являетсянеприводимой матрицей Метцлера, так как Q неприводим, ai > 0 и bi > 0 для всего i, Поэтому мы можем использоватьследствия из теоремы Перрона и Фробениуса о спектральной границе матриц Метцлера; см. например (Нкаге Нкамба, 2012,теорема 30). лиe = (1, … , 1)T, то

−q1 q2

q1 −q2

α2 − α( ω + q1

d1+

ω + q2

d2) +

(ω + q1)(ω + q2) − q1q2

d1d2= 0. (13)

Λ = −(√−q1d2 − √q2d1)

2

d1 − d2, α∗ =

12[ Λ + q1

d1+

Λ + q2

d2]. (14)

⎛⎜⎝Q B 0 0 ⋯ 00 Q − S 2B 0 ⋯ 00 A Q − 2S 3B 00 0 2A Q − 3S 0

⋮ ⋮ ⋱ ⋱0 0 0 0 Q − NS

⎞⎟⎠ Q ∗

0 U (N)

(U (N))Te = (−b1, … , −bK, 0, … , 0, −Na1, … , −NaK) < 0 = 0 ⋅ e.

в качестве e ≫ 0мы выводим, что s((U (N))T) < 0, золотоs(U (N)) = s((U (N))T), поэтомуμN = s(U (N)) < 0,

Спектральный терминал μN матрицы U (N) является собственным значением, и есть собственный вектор W(N)≫ 0 связано.таким образомU (N)

W(N)= μN W

(N), векторW(N) состоит из N размер блоков K : W(N)= (W(N)1 , … ,W(N)

N ), Рассмотрим векторW = (W(N), 0) чей 0 тоже большой K, то

U(N+1)

W = = .

в качестве NAW(N)N ≫ 0мы видим, что U (N+1)

W > μNW, в качествеW > 0мы выводим, что μN+1 > μN ,

В качестве числовых значений возьмем

то u1 = u2 = 0,5, Давайте изменимa1например от 2 до 5; этот верхний предел соответствуетR0 = 1, Для небольших значенийNобычно до N =103мы можем использовать программное обеспечение, такое как Scilab, чтобы определить полный спектрматрицы U (N), В противном случае мы можем определить наименьшее собственное значение−U (N)и соответствующийсобственный вектор итерационным методом мощности, приложенной к обратной матрице. Каждый используеттрехдиагональную блочную структуру для инверсии на каждой итерации (Artalejo et al., 2013). С этим алгоритмом мы можемпойти так далеко, какN =106 без особых проблем

Рисунок 1 показывает в соответствии с a1 спектральный терминал μN матрицы U (N) для Nфиксированный, но большой;итерационный алгоритм останавливается, когда две последовательные оценкиμN отличаются меньше чем 10−4, На рисункетакже показаны пунктирными линиями и в соответствии сa1 число Λ дается формулой (3), которая λ1(1) когда λ′

1(1) ≤ 0 икоторый задается формулой (14), когда λ′

1(1) > 0, Отметим, чтоλ′1(1) < 0 когда a1 < a∗

1 и λ′1(1) > 0 когда a1 > a∗

1с a∗1 ≃ 3,2829

, Соглашение междуΛ и предел (μN ) кажется вероятным. Однако конвергенция чрезвычайно медленная, возможно,логарифмическая, когдаR0 приближается к 1, особенно когда a1 > a∗

1,

Рисунок 1. Пунктирная линия: Λ определяется формулой (3) как функция a1, Сплошные линии с точками: μN для N =103, 104, 105 и 106 (снизу вверх).

4 Собственные векторы и другие собственные значения

Теперь нас интересует предел, когда N → ∞ собственного вектора, связанного с μN а также к другим собственнымзначениям и векторам. В связи с этим мы получим только очень частичные результаты.

4.1 Фуксова система

примечание K = {1, 2, … , K}, N = {0, 1, 2, …}, C множество комплексных чисел и ′ производная по переменной x,

⎛⎜⎝ ⋮U

(N) 0(N + 1)B

⋯ 0 NA Q − (N + 1)S

⎞⎟⎠⎛⎜⎝W(N)

0

⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝ μN W(N)

NAW(N)N

⎞⎟⎠q1 = q2 = 1, a2 = 1, b1 = b2 = 3 . (15)

Предложение 3 . еслиω ∈ C и (πn,i) ∈CN×K проверить (4) и есть ли у производящего ряда (6) радиус сходимости ≥ Rтогда Gi(x) системное решение (5) для x ∈ C, |x| < R и 1 ≤ i ≤ K,

Демонстрация . Обратите внимание, чтоG′i(x) = ∑n≥1 n πn,i xn−1 для |x| < R, Как и в классическом случае с постоянной

средой (Hillion, 1986), мы умножаем (4) наxn и мы подводим итоги по всем n ≥ 0, который дает

ω Gi(x) = ai x2 G′i(x) + bi G

′i(x) − (ai + bi)x G

′i(x) +∑

j

Qi,jGj(x).

Это эквивалентно (5).

Примечания.

Отметим, что (5) является проблемой собственных значений для сингулярной дифференциальной системы. Эта системаотносится к типу Фукса, еслиai ≠ bi для всего i(Methée, 1959). Система уникальна вx = 1 и в x = bi/ai для 1 ≤ i ≤ K,Обратите внимание, чтоbi/ai < 1 если ai > bi, Мы также можем написать систему в виде

Пример скалярного дифференциального уравнения типа Фукса 2-го порядка появился в исследовании квадратичныхпроцессов рождения и смерти в постоянной среде (Picard, 1965).

4.2 Собственные значения возможны, когда радиус сходимости > 1

Предложение 4 . еслиω ∈ C и π = (πn,i) ∈CN×K проверить (4) с π ≠ 0, если порождающий ряд (6) имеет радиус сходимости,строго превышающий 1, то существует целое число ν ≥ 0 такие как ω либо собственное значение матрицы Q + νD,

Демонстрация . Давайте рассуждать абсурдом. Предположим, что для всегоν ≥ 0, ω не является собственным значением Q + νD, ФункцииGi(x) аналитические в диске |x| < R с R > 1, Мы делаем тендерxк 1 в (5). Мы получаем это

ω Gi(1) = ∑j

Qi,j Gj(1) .

золото ω не является собственным значением Q, поэтому Gi(1) = 0 для всего i,

Позвольте быть целым ν ≥ 1, По индукции предположим, что мы показали, чтоG(ν−1)i (1) = 0, Мы дрейфуемν раз уравнение

(5) относительно x и мы применяем формулу Лейбница к произведению (1 − x)(aix − bi) и из G′i(x), Мы получаем это

ω G(ν)i (x) +

ν

∑k=0

(ν

k)[(1 − x)(aix − bi)](k)G

(ν−k+1)i (x) = ∑

j

Qi,j G(ν)j (x) ,

где (νk)обозначает коэффициент бинома. Как полином(1 − x)(aix − bi) имеет степень 2 в x, только условия с 0 ≤ k ≤ 2

ненулевые в сумме слева:

Мы делаем тендер x к 1, и мы находим с гипотезой повторения, что

ωG(ν)i (1) − ν(ai − bi)G

(ν)i (1) = ∑

j

Qi,jG(ν)j (1) .

золото ω не является собственным значением матрицы Q + νD, поэтомуG(ν)i (1) = 0 для всего i,

Итак, мы показали, что G(ν)i (1) = 0 для всего i и для всех ν ≥ 0, Так как функцияGi(x) является аналитическим, мы имеем

Gi(x) = 0 в непосредственной близости от x = 1и даже Gi(x) = 0 по всему диску |x| < Rпо принципу аналитическогорасширения. поэтомуπn,i = G

(n)i (0)/n! = 0 для всего n ≥ 0 и 1 ≤ i ≤ K, Это противоречит гипотезеπ ≠ 0,

Примечания.

Собственные значения матриц Q + νDне обязательно все реальны, так что система (5) не является ни теорией Вейля иКодаиры (Dieudonné, 2003), ни изучением (Clayton, 2010) некоторых процессов, близких к рождению и смерть. Этисобственные значения все же реальны, когдаK = 2 потому что тогда собственное значение s(Q + νD) очень реально;следовательно, другое собственное значение также является действительным.В непосредственной близости от x = 1, система (16) может быть записана

G′i(x) =

1

ai − bi

[ 1

x − 1−

1

x − bi

ai

][ωGi(x) −∑j

Qi,jGj(x)]. (16)

ω Gi(ν)(x) + (1 − x)(aix − bi)G

(ν+1)i (x)

+ ν[ai(1 − 2x) + bi]G(ν)i (x) − aiν(ν − 1)G

(ν−1)i (x) = ∑

j

Qi,j G(ν)j (x) .

G′i(x) =

1

ai − bi

[ 1

x − 1+∑

n≥0

(x − 1)n

( bi

ai− 1)n+1

][ωGi(x) −∑j

Qi,jGj(x)].

ли G(x) вектор (Gi(x)), Таким образом, система имеет видG′(x) = Ω(x)G(x) с Ω(x) = Ω−1

x−1+∑∞

n=0 Ωn(x − 1)n и Ω−1 = D−1(ωI − Q), Если радиус сходимости рядаGi(x) является > 1тогда Gi(x) является аналитическим вокрестности x = 1, Таким образом, вышеуказанная система имеет аналитическое решение в окрестностиx = 1,Согласно (Gantmacher, 1966, p. 155), существует целое числоν ≥ 0 такие как ν либо собственное значение Ω−1, Так чтоесть векторw ≠ 0 такие как D−1(ωI − Q)w = νw, поэтомуωw = (Q + νD)w и ω собственное значение Q + νD, Это то,что было продемонстрировано элементарно в предложении 4.

Пример. Возьмите числовые значения (15) с a1 = 2,5, В этом случае мы имеемm < 0, для N = 1000, первые двадцатьсобственных значений матрицы M(N) примерно приведены в следующей таблице:

Теперь собственные значения Q 0 и −2те из Q + D находятся −1 и −3,5те из Q + 2D находятся −1,6972244 и −5,3027756теиз Q + 3D находятся −2,2877855 и −7,2122145те из Q + 4D находятся −2,8377223 и −9,1622777и т. д. Они найдены втаблице выше. В целом, казалось бы, что собственные значенияM(N) сходятся, когда N → +∞ к собственным значениямматриц Q + νD для ν = 0, 1, 2 … Спектральный терминал μN сходится к s(Q + D), Помните, что здесьs(Q + D) = Λпоскольку m < 0,

4.3 Случай, когда ai < bi для всего i

предполагать m < 0, Давайте формально искать решение рядомx = 1 системы (5) вида

Мы получаем

ω∞

∑n=0

cn,i(1 − x)n − (aix − bi)∞

∑n=0

n cn,i(1 − x)n = ∑j

Qi,j

∞

∑n=0

cn,j(1 − x)n.

Принимая во внимание, что aix − bi = ai − bi − ai(1 − x)мы определяем термины в (1 − x)n и мы получаем

[ω − (ai − bi)n]cn,i + ai(n − 1)cn−1,i = ∑j

Qi,jcn,j

для всего n ≥ 0условия в cn−1,i отсутствовать, когда n = 0, Позируетcn = (cn,1, … , cn,K)поэтому мы видим, что (17) являетсярешением (5), если

Первый тип решения получается путем выбора ω среди собственных значений Q и c0соответствующий собственный вектор.Соотношение (18) позволяет рассчитатьcn для n ≥ 1при условии, что матрица Q + nD − ωI всегда обратим.

Второй тип решения получается путем выбора c0 = c1 = ⋯ = cν−1 = 0 с ν ≥ 1, ω собственное значение Q + νD и cν

связанный собственный вектор. Затем мы рассчитываемcn для n ≥ ν + 1 с уравнением (18), при условии, что матрица Q + nD − ωI всегда обратим.

Давайте возьмем, в частности, ω = s(Q + νD) с ν ≥ 0который является целым. в качествеai < bi для всего iу нас есть D < 0, Кроме того,Q + νDнеприводим. Так что для всегоn > νу нас есть s(Q + nD) < s(Q + νD) = ω, поэтомуs(Q + nD − ωI) < 0матрица Q + nD − ωI является обратимой матрицей Мецлера и (Q + nD − ωI)−1 ≪ 0, У нас естьcn = [Q + nD − ωI]−1(n − 1)Acn−1 для всего n ≥ 1, когдаn → +∞мы заметили, что [Q + nD − ωI]−1(n − 1)A → D−1A

поэтому cn,i/cn−1,i → ai/(ai − bi), Ряд (17) сходится для|1 − x| < | bi

ai− 1|, Серия (17) для1 ≤ i ≤ K все сходятся для

|1 − x| < mini | bi

ai− 1|,

4.4 Радиус сходимости, равный 1

В двух предыдущих выпусках мы говорили о собственных значениях матриц Q + νD для ν полный ≥ 0, Однако (Bacaër иEd-Darraz, 2014) уже выделили пример, гдеR0 < 1 но где собственное значение s(Q + D) матрицы Q + D строгоположительно: просто возьмите q1 = q2 = 1, a1 = 2,7, a2 = 0,8, b1 = b2 = 2 (обратите внимание, что a1 > b1). Наша начальнаяпроблема не может иметь положительного собственного значения. В частности, мы заключаем, что порождающий рядGi(x)не всегда имеют радиус сходимости > 1, Следующее предложение связывает поведениеGi(x) близко к x = 1 с параметром α,

0 −1 −1,6972244 −2 −2,2877855−2,8377223 −3,3689563 −3,5 −3,8902278 −4,4056104−4,9172375 −5,3027756 −5,426328 −5,933627 −6,4396149−6,9446154 −7,2122145 −7,448851 −7,9524836 −8,4556214.

∞

∑n=0

cn,i(1 − x)n . (17)

[Q − ωI]c0 = 0 , [Q + nD − ωI]cn = (n − 1)Acn−1 , n ≥ 1. (18)

Предложение 5 . еслиω ∈ C и π = (πn,i) ∈CN×K проверить (4) с π ≠ 0, если порождающий ряд (6) имеет радиус сходимости,равный 1, если существует действительное число α > 0целое число J ≥ 0 и функции gi,j(x) аналитика на диске в центре x = 1 такие как Gi(x) = (1 − x)α ∑J

j=0[log(1 − x)]jgi,j(x) через интервал (1 − ε, 1) с ε > 0, если вектор (gi,J(1)) не ноль, то

ω собственное значение матрицы Q + αD,

Демонстрация . У нас есть

золото Gi(x) проверить уравнение (5) для |x| < 1, Разделить на(1 − x)α[log(1 − x)]J мы находим, что

Делая тендер x к 1, мы получаем

ωgi,J(1) − α(ai − bi)gi,J(1) = ∑j

Qi,jgj,J(1) .

поэтому ω собственное значение матрицы Q + αD,

Примечание. Форма функцииGi(x) в предложении 5, который объединяет степенную функцию и логарифмическийполином, можно ожидать от решения системы Фукса в окрестности особенности (Gantmacher, 1966, p. 159).

4.5 Случай, когда m > 0 и λ′1(1) > 0

Предложение 6 . Предположим, чтоm > 0 и это λ′1(1) > 0, лиα∗ ∈]0, 1[ такие как Λ = λ1(α∗), лиα > 0 и ω = s(Q + αD),

еслиω и π = (πn,i) ∈CN×K проверьте (4), если связанный генерирующий ряд Gi(x) имеют радиус сходимости, равный 1, и еслиGi(x) может быть написано на интервале (1 − ε, 1) с ε > 0 в форме

Gi(x) =J

∑j=0

∞

∑n=0

gi,j,n[log(1 − x)]j(1 − x)n+α

с J ≥ 1 и вектор (gi,J,0)1≤i≤K что не ноль, то α = α∗ и ω = Λ,

Демонстрация . В самом деле,

G′i(x) = −

J

∑j=0

∞

∑n=0

gi,j,n[j + (n + α) log(1 − x)][log(1 − x)]j−1(1 − x)n+α−1 .

Помни что aix − bi = ai − bi − ai(1 − x), в качествеGi(x) решение (5) на диске |x| < 1у нас есть

Условия в (1 − x)α[log(1 − x)]J и те, в (1 − x)α[log(1 − x)]J−1 каждый должен отменить:

G′i(x) =(1 − x)α

J

∑j=0

[log(1 − x)]jg′

i,j(x)

+ (1 − x)α−1J

∑j=0

{−α[log(1 − x)]j− j[log(1 − x)]j−1}gi,j(x) .

ωJ

∑j=0

[log(1 − x)]j−Jgi,j(x) + (1 − x)(aix − bi)

J

∑j=0

[log(1 − x)]j−Jg′

i,j(x)

+ (aix − bi)J

∑j=0

{−α[log(1 − x)]j−J− j[log(1 − x)]j−1−J}gi,j(x)

= ∑j

Qi,j

J

∑h=0

[log(1 − x)]h−Jgj,h(x) .

ω

J

∑j=0

∞

∑n=0

gi,j,n[log(1 − x)]j(1 − x)n+α

− (ai − bi)J

∑j=0

∞

∑n=0

gi,j,n[j + (n + α) log(1 − x)][log(1 − x)]j−1(1 − x)n+α

+ ai

J

∑j=0

∞

∑n=0

gi,j,n[j + (n + α) log(1 − x)][log(1 − x)]j−1(1 − x)n+α+1

=K

∑k=1

Qi,k

J

∑j=0

∞

∑n=0

gk,j,n[log(1 − x)]j(1 − x)n+α .

ли γj вектор (gi,j,0)1≤i≤K, Итак, мы имеем

(Q + αD − ωI)γJ = 0 , (Q + αD − ωI)γJ−1 + JDγJ = 0 .

в качестве ω = s(Q + αD) и γJ ≠ 0первое уравнение показывает, что γJ является собственным вектором матрицы Q + αD

связано с собственным значением s(Q + αD), С помощью обозначений раздела 2.2 мы получаем, что существует постояннаяκ ≠ 0 в качестве γJ = κ w1(α), Кроме того, мы видим, что второе уравнение принимает вид

Матрица [Q + αD − λ1(α)I] имеет одномерное ядро во главе с w1(α), Тем не менее с обозначениями раздела 2.2,транспонированная матрица[QT + αD − λ1(α)I] имеет одномерное ядро во главе с v1(α), Делая точечное произведение (19) сv1(α)мы видим, что ⟨v1(α), Dw1(α)⟩ = 0, Это эквивалентно согласно (12)λ′

1(α) = 0, в качествеm > 0 и λ′1(1) > 0это означает,

что α = α∗, поэтомуω = Λ,

5 Асимптотическое поведение собственных векторов

5.1 Случай, когда m < 0

Теперь давайте изучим поведение для n большой чистый вектор (πn,i) связано с собственным значением ω1, Давайтенепосредственно попробуем решение (4) такое, что дляn → +∞,

πn,i = Πn( ki

nβ+

hi

nβ+1+ ⋯).

для n отлично у нас есть (n + 1)−δ = n−δ(1 + 1/n)−δ ≃ n−δ(1 − δ/n) ≃ n−δ − δ n−δ−1 и (n − 1)−δ ≃ n−δ + δ n−δ−1, поэтому

для nбольшой. Мы видим, что условия заказаΠn/nβ−1 в (4) дать

0 = −(ai + bi)ki + bi ki Π + ai ki/Π .

таким образом (Π − 1)(bi − ai/Π)ki = 0 для всего i, еслиa1/b1 = maxi ai/biмы берем Π = a1/b1, k1 ≠ 0 и ki = 0 если i ≠ 1,позволятьqi = −Qi,i, Условия заказаΠn/nβ в (4)

Таким образом, ω1 k1 = (b1 − a1)(β − 1)k1 − q1 k1 и 0 = (a1 − b1)(bi/b1 − ai/a1)hi + Qi,1k1 если i ≠ 1, Мы выводим, что

В качестве альтернативы, мы могли бы изучить систему (5) в окрестности x = b1/a1 : это предположило бы, что G1(x) ∼ (x − b1/a1)(ω1+q1)/(b1−a1), Помните, что для собственного значенияω1мы можем выбрать соответствующийсобственный вектор так, чтобы πn,i > 0 для n ≥ 1; особая точка всей серииGi(x) поэтому ближайший к 0 в комплекснойплоскости находится на оси x > 0согласно теореме Прингсхайма (Queffélec and Zuily, 2013, p. 54). Согласно (Flajolet andSedgewick, 2009), мы бы тогда имелиπn,1 ∼ (a1/b1)n/n1+(ω1+q1)/(b1−a1) для n → +∞с точностью до мультипликативнойконстанты. Это то, что мы нашли.

Числовой пример. Давайте вернемся к нашему численному примеру (15) сa1 = 2,5, На рисунке 2 показано асимптотическоеповедение собственного вектора, связанного с собственным значениемμN матрицы M(N) для N = 1000, Здесь мы имеемΛ = −1, Итак, мы имеемβ = 1 и k1/h2 = 0,3, Эта цифра, кажется, подтверждает полученные асимптотические результаты,поскольку краевой эффект близок кn = N ,

ωgi,J,0 − α(ai − bi)gi,J,0 = ∑k

Qi,k gk,J,0 ,

ωgi,J−1,0 − (ai − bi)[Jgi,J,0 + αgi,J−1,0] = ∑k

Qi,kgk,J−1,0 .

[Q + αD − λ1(α)I]γJ−1 + Jκ Dw1(α) = 0 . (19)

n πn,i ≃ Πn( ki

nβ−1+

hi

nβ+ ⋯),

(n ± 1)πn±1,i ≃ Πn±1( ki

nβ−1±

(1 − β)ki

nβ+

hi

nβ+ ⋯),

ω1 ki = (biΠ + ai/Π − ai − bi)hi + (ai/Π − biΠ)(β − 1)ki +∑j

Qi,jkj . (20)

β = 1 +ω1 + q1

b1 − a1, hi =

Qi,1

(b1 − a1)(bi/b1 − ai/a1)k1 si i ≠ 1. (21)

Рисунок 2. Случай, когда a1 = 2,5, Мы отслеживаемnβ(b/a1)nπn,1 (сплошная линия) и nβ+1(b/a1)nπn,2 k1/h2

(пунктирная линия) в зависимости от n, Используем усеченную матрицу M(N) с N = 1000,

5.2 Случаи, когда m > 0

Мы подозреваем, что πn,i ≃ ki/nβ или что πn,i ≃ ki(logn)/nβ, В обоих случаях доминирующие члены в (4) дают

Другими словами, ω собственное значение матрицы Q + (β − 1)D, Действительно, если мы ищем решение видаπn,i ≃ ki/nβ

мы как в (20) с Π = 1, Что касается случая, когда

πn,i ≃ (logn)[ ki

nβ+

hi

nβ+1+ ⋯],

мы видим, что

что снова приводит к уравнению (22). Это говорит о том, чтоβ = 1 + α∗ если λ′1(1) > 1 и β = 2 если λ′

1(1) ≤ 0, В обоихслучаях радиус схожденияGi(x) будет равен 1.

6 Вернемся к конкретному случаю, когда K = 2

Мы можем рассмотреть дифференциальное уравнение второго порядка, G1(x) а не дифференциальная система первогопорядка для G1(x) и G2(x), Мы получаем

Разделить на (1 − x)2(a1x − b1)(a2x − b2) и разлагая на рациональные элементы рациональную дробь на фактор dG1

dx мыполучаем

ωki = (β − 1)(ai − bi)ki +∑j

Qi,jkj . (22)

(n ± 1)πn±1,i ≃ (logn ±1

n)[ ki

(n ± 1)β−1+

hi

(n ± 1)β] + ⋯

≃ (logn)[ ki

nβ−1+

hi ± (1 − β)ki

nβ] + ⋯ ,

(1 − x)2(a1x − b1)(a2x − b2)d2G1

dx2

+ (1 − x){[ω + q1 + a1(1 − 2x) + b1](a2x − b2) + (ω + q2)(a1x − b1)} dG1

dx

+ [(ω + q1)(ω + q2) − q1q2]G1 = 0 .

0 =d2G1

dx2+ [

1 − ω+q1

a1−b1− ω+q2

a2−b2

x − 1+

1 + ω+q1

a1−b1

x − b1

a1

+

ω+q2

a2−b2

x − b2

a2

] dG1

dx

+ [ (ω + q1)(ω + q2) − q1q2

(a1 − b1)(a2 − b2)

(1 − b1

a1)(1 − b2

a2)

x − 1] G1

(x − 1)(x − b1

a1)(x − b2

a2)

.

Предположим, числа b1/a1, b2/a2и 1 все разные. Распознаем дифференциальное уравнение вида

то есть дифференциальное уравнение Римана (Розо, 1997, стр. 229) с тремя особыми точками x0 = 1, x1 = b1/a1 и x2 = b2/a2,чьи экспоненты из Фукса являются соответственно

(k0, k′0) = (α+,α−), (k1, k′

1) = (0, −ω + q1

d1), (k2, k′

2) = (0, 1 −ω + q2

d2),

с α+ и α−решения (13). Поэтому множество решений можно записать с помощью римановых обозначений

G1(x) = P .

Согласно (Розо, 1997, стр. 229), можно написать

G1(x) =( x − 1

x − b1

a1

)α+

P .

позволять

A = α+, B = α+ −ω + q1

d1, C = 1 + α+ − α−.

Вернемся к случаю гипергеометрического дифференциального уравнения, поставив

y =x − 1

x − b1

a1

 

b2

a2− b1

a1

b2

a2− 1

,

что означает равенство (y, 0; ∞, 1) = (x, 1; b1/a1, b2/a2)между ангармоническими отношениями. таким образом

G1(x) =( x − 1

x − b1

a1

)α+

P .

Помните, что гипергеометрическая функция определена для |z| < 1 по

F(α,β; γ; z) = ∑n≥0

(α)n(β)n(γ)n

zn

n!

с обозначениями (α)n = α(α + 1) … (α + n − 1), когдаx около 1, переменная y находится в окрестности 0. Согласно теориидифференциального гипергеометрического уравнения, есть постоянные κ1 и κ2 такие как

до тех пор, пока C ≠ 1то есть α− ≠ α+, Решения с экспонентомα+ в x = 1 соответствовать κ2 = 0 :

Дело m < 0, Предположим, например, чтоa2/b2 < a1/b1 < 1, Вы должны принятьα+ = 1 для собственной функции,связанной с собственным значением ω1 = s(Q + D)и κ1 так что G1(0) = 1, то α− = ω1+q1

d1+ ω1+q2

d2− 1из (13). позволять

d2G1

dx2+ [

1 − k0 − k′0

x − x0+

1 − k1 − k′1

x − x1+

1 − k2 − k′2

x − x2] dG1

dx

+ [k0k

′0(x0 − x1)(x0 − x2)

x − x0+

k1k′1(x1 − x2)(x1 − x0)

x − x1

+k2k

′2(x2 − x1)(x2 − x0)

x − x2] G1

(x − x0)(x − x1)(x − x2)= 0,

⎧⎪⎨⎪⎩ 1 b1

a1

b2

a2

α+ 0 0 x

α− − ω+q1

d11 − ω+q2

d2

⎫⎪⎬⎪⎭⎧⎪⎨⎪⎩ 1 b1

a1

b2

a2

0 α+ 0 x

α− − α+ α+ − ω+q1

d11 − ω+q2

d2

⎫⎪⎬⎪⎭⎧⎪⎨⎪⎩ 0 ∞ 10 A 0 y

1 − C B C − A − B

⎫⎪⎬⎪⎭G1(x) =( x − 1

x − b1

a1

)α+

[κ1F(A,B; C; y)

+ κ2 y1−C F(A − C + 1,B − C + 1; 2 − C; y)],

G1(x) = κ1(x − 1

x − b1

a1

)α+

F(A,B; C; y). (23)

ξ =

b2

a2− 2 b1

a1+ b1b2

a1a2

2 b2

a2− b1

a1− 1

,

что является значением x для чего y = −1, У нас есть1 < ξ < b1/a1, Тем временем0 < x < ξмы замечаем, что переменная yуменьшается на ( a1

b1

b2

a2− 1)/( b2

a2− 1)от 0 до 1, до −1, Тем временемξ < x < b1/a1, выражение (23) должно быть заменено на

которое является выражением (18) из § 182 (Иордания, 1896), в котором аргумент yy−1 растет на 1

2 на 1.

Давайте вернемся к нашему численному примеру (15) с a1 = 2,5, На рисунке 3 показаны производящие функцииG1(x) и G2(x) построенный с собственным вектором, связанным с собственным значением μN матрицы M(N) где N = 4000состандартизацией G1(0) = 1, Мы используем метод Хорнера для оценки порождающих рядов. Мы сравниваем их с формулами(23) и (24). Здесь мы имеемξ ≃ 1,105, Коэффициент мультипликативной нормализации был выбран таким образом, чтобыфункции, полученные двумя методами, были наложены друг на друга.

Рисунок 3. Корпус a1 = 2,5, Генерация функцийG1(x) (сплошная линия) и G2(x) (пунктирная линия) нанесены всоответствии с x и рассчитывается с использованием матрицы M(N) с N = 4000, Формулы (23) и (24) дляG1(x)представлены маленькими кружками и квадратами.

Дело m > 0 и λ′1(1) ≤ 0, Предположим, например, чтоa1/b1 > 1 > a2/b2, У нас сейчас0 < b1/a1 < ξ < 1, Выражение (23)

больше не подходит, потому чтоy расходится в x = b1/a1 < 1, Тем временем0 < x < ξмы видим, что y−1 уменьшается начисло в интервале ]0, 1[ в −1, Возьмем на этом интервале выражение (32) из § 182 из (Джордан, 1896 г.),

с α+ = 1, ω1 = s(Q + D) и κ1 так что G1(0) = 1, Тем не менее, в течение интервалаξ < x < 1мы возьмем выражение (34) тогоже § 182 (Джордан, 1896), в котором аргумент (1 − y)−1 растет на 1

2 до 1:

Давайте вернемся к нашему численному примеру (15) с a1 = 3,2, На рисунке 4 показаны формулы (25) и (26). Кажется, онихорошо совпадают с производящей функцией, построенной с собственным вектором, связанным с собственным значениемμN

G1(x) = κ1(x − 1

x − b1

a1

)α+

(1 − y)−A F(A, C− B; C;y

y − 1)

= κ1(x − 1

x − b2

a2

 

b2

a2− 1

b1

a1− 1

)α+

F(A, C− B; C;y

y − 1), (24)

G1(x) = κ1(x − 1

x − b1

a1

)α+

y−A F(A,A+ 1 − C;A+ 1 − B; y−1)

= κ1(b2

a2− 1

b2

a2− b1

a1

)α+

F(A,A+ 1 − C;A+ 1 − B; y−1), (25)

G1(x) = κ1(x − 1

x − b1

a1

)α+

y−A(1 − 1/y)−A F(A, C− B;A+ 1 − B; (1 − y)−1)

= κ1(x − 1

x − b2

a2

 

b2

a2− 1

1 − b1

a1

)α+

F(A, C− B;A+ 1 − B; (1 − y)−1). (26)

усеченной матрицы M(N), Здесь мы имеем ξ ≃ 0,97,

Рисунок 4. Случай, когда a1 = 3,2, Сравнение формул (25) [маленькие круги] и (26) [маленькие квадраты] дляG1(x) с производящей функцией собственного вектора, связанного с собственным значением μN усеченнойматрицы M(N) (сплошная линия) с N =104,

Дело m > 0 и λ′1(1) > 0, Выражения (25) и (26) могут быть недействительными даже при принятииα+ = α− = α∗и что они

должны быть заменены выражениями, содержащими логарифмический термин. если a1 = 3,5у нас есть Λ = −0,2 и α∗ = 0,6согласно формулам (14). Нам не удалось получить внушительную цифру в этом случае.

7 Марковская цепь в комплекте

Помните, что для процесса подключения Zn (n = 0, 1, …подкритически в случайной среде с одинаково распределенныминезависимыми средами, мы имеем

где f(x)обозначает производящую функцию (Dekking, 1988; Geiger et al., 2003). лиμминимум в правой части (27). Точноизвестно, что в «слабо докритическом» случае, когдаE(f ′(1) log f ′(1)) > 0у нас есть P(Zn > 0) ∼ c n−3/2μn когда n → ∞ дляпостоянного c > 0, В «очень докритическом» случае, когдаE(f ′(1) log f ′(1)) < 0у нас есть μ = E(f ′(1)) и P(Zn > 0) ∼ c μn

когда n → ∞ для постоянного c > 0, Помните, что процесс является докритическим, когдаE(log f ′(1)) < 0,

Давайте вернемся к нашему непрерывному процессу рождения и смерти. Мы ограничиваемся, чтобы упростить частныйслучай двух сред:K = 2, позволять

ϕi,t(x) =bi(1 − x)e(ai−bi)t + aix − bi

ai(1 − x)e(ai−bi)t + aix − bi.

если ai ≠ biэто действительно порождающая функция числа особей через некоторое время t начиная с человека в моментвремени 0 в среде i(Hillion, 1986). В любом случае,ϕ′

i,t(1) = e(ai−bi)t = edi t, Начиная со среды 1, среда через некоторое времяпереходит в состояние 2t1, а затем переключается обратно в состояние 1 через некоторое время t2, Соответствующиеплотности вероятностиq1e

−q1t1 и q2e−q2t2 , Затем рассмотрим включенную цепь Маркова Zn (n = 0, 1, …) смотрит только на

смену времени 0 и время t1 + t2; давайте назовем это поколением. Производящая функцияf(x) = ϕ2,t2(ϕ1,t1(x)), В частности,f ′(1) = ed1t1+d2t2 , Этот процесс ветвления является докритическим. Действительно, у нас есть

поскольку R0 < 1, Процесс подключения является очень докритическим, когда

В этом случае мы имеем

limn→∞

[P(Zn > 0)]1/n= min0≤α≤1

E(f ′(1)α) , (27)

E(log f ′(1)) = ∫∞

0∫

∞

0q1e

−q1t1q2e−q2t2 [d1t1 + d2t2]dt1 dt2 =

d1

q1+

d2

q2< 0

E(f ′(1) log f ′(1)) = ∫∞

0

∫∞

0

q1e−q1t1q2e

−q2t2ed1t1ed2t2 [d1t1 + d2t2]dt1 dt2

=q1q2

(q1 − d1)(q2 − d2)[ d1

q1 − d1+

d2

q2 − d2] < 0 . (28)

Обратите внимание, что если d1 < 0 и d2 < 0, то процесс сильно докритический. В слабо докритическом случае имеем

и небольшой расчет показывает, что

μ = −4

q1

d1

q2

d2

( q1

d1− q2

d2)

2.

Обратите внимание, что это число < 1 если и только если R0 < 1,

Для нашего числового примера формула (28) показывает, что включенная цепь Маркова является сильно докритической,когда a1 < 3,4, Любопытно, что этот порог отличается от того, что разделяет случаиΛ = s(Q + D) и Λ = s(Q + α∗D) с 0 < α∗ < 1для линейного процесса рождения и смерти. Этот последний порог был≃ 3,2829 из раздела 3. Однако скорость, скоторой включенная цепь Маркова сходится к вымиранию, имеет мало общего со скоростью, с которой непрерывный процессвремени делает то же самое.

8 Заключение

Много вопросов еще предстоит выяснить относительно поведения собственных значений и собственных векторов. Средивозможных обобщений можно подумать, что если коэффициентыai, bi и Qi,j являются функциями Tпериод времени tтогда ω1

будет равно min{f(Q(⋅) + αD(⋅));  0 ≤ α ≤ 1}где f(⋅) обозначает доминирующий показатель Флоке и заменяет спектральнуюграницу.

спасибо

Мы благодарим Винсента Бансая, Анну Дюваль и Бруно Сериколу за их комментарии и предложения.

ссылки

Artalejo JR,  Economou A,  Lopez– Herrero MJ (2013) Stochastic epidemic models with random environment : quasi– stationarity,  extinction and final size. J Math Biol 67 :  799– 831

Bacaër N,  Ed– Darraz A (2014) On linear birth– and– death processes in a random environment.J Math Biol 69 :  73– 90

Bacaër N (2016) Le modele stochastique SIS pour une epidemie dans un environnement aleatoire.J Math Biol 73 :  847– 866Clayton A (2010) Quasi– birth– and– death processes and matrix– valued orthogonal polynomials.SIAM J Matrix Anal Appl 31 :  2239– 2260Cogburn R,  Torrez WC (1981) Birth and death processes with random environments in continuous time.JAppl Probab 18 :  19– 30Cohen JE (1981) Convexity of the dominant eigenvalue of an essentially nonnegative matrix.Proc Amer Math Soc 81 :  657– 658

Collet P,  Martínez S,  San Martín J  (2013) Quasi– stationary distributions. Springer,  BerlinD′Souza JC,  Hambly BM (1997) On the survival probability of a branching process in a random environment.Adv Appl Prob 29 :  38– 55Dekking FM (1988) On the survival probability of a branching process in a finite state i. i. d.  environment.Stoch Proc Appl 27 :  151– 157

Dieudonne J (2003) Élements d′analyse,  tome 8. Jacques Gabay,  ParisFlajolet Ph,  Sedgewick R (2009) Analytic combinatorics. Cambridge University PressGantmacher FR (1966) Theorie des matrices,  tome 2. Dunod,  ParisGeiger J,  Kersting G,  Vatutin VA (2003)Theoremes limites pour des processus de branchement sous– critiques en environnement aleatoire.Ann I H Poincare– Pr 39 :  593– 620Hillion A (1986) Les theories mathematiques des populations. Presses Universitaires de France,  Paris

Jordan C (1896) Cours d′analyse de l′École polytechnique,  tome 3. Gauthier– Villars,  ParisLatouche G,  Ramaswami V (1999) Introduction to matrix analytic methods in stochastic modeling. SIAM,  PhiladelphieLotka AJ (1939) Theorie analytique des associations biologiques,  2e partie. Hermann,  ParisMethee PD (1959) Systemes diff erentiels du type de Fuchs en theorie des distributions.Comment Math Helv 33 :  38– 46Nkague Nkamba L (2012)Robustesse des seuils en epidemiologie et stabilite asymptotique d′un modele a infectivite et susceptibilite diff erentielle.

μ = E(f ′(1)) = ∫∞

0∫

∞

0q1e

−q1t1q2e−q2t2ed1t1ed2t2dt1 dt2 =

q1q2

(q1 − d1)(q2 − d2).

E(f ′(1)α) =q1q2

[q1 − αd1][q2 − αd2]

These,  Universite de LorraineNussbaum RD (1986) Convexity and log convexity for the spectral radius. Linear Algebra Appl 73 :  59– 122Picard Ph (1965) Sur les modeles stochastiques logistiques en demographie. Ann I H Poincare B 2 :  151– 172Queff elec H,  Zuily C (2013) Analyse pour l′agregation,  4e edition. Dunod,  Paris

Roseau M (1997) Équations diff erentielles. In  :  Dictionnaire des mathematiques  − algebre,  analyse,  geometrie.Encyclopaedia Universalis et Albin Michel,  Paris,  p.  222– 244Sericola B (2013) Cha ι nes de Markov  −  theorie,  algorithmes et applications. Lavoisier,  Paris