N. AFQSTOLATOS und U. KULISCH, Integrabilitat und Integration uberbestinirnter Systeme . . . 261

Z 9 M M 47 (1987) Heft 4, Seite 261-268

Integrabilitat und Integration uberbestimmter Systeme partieller Diff erentialgleichungen

Von N. APOSTOLATOS und U. KULISCH*)

Friihere Arbeiten ([l], [a], [3]) der Verfasser beschaftigten sich bereits mit der Integration uberbestiinmter Systeme partieller Dif ferentialgleichungen. Darin wurden jedoch nur solche Probleme behandelt, bei denen ein Teil der Qleichungen quasilinear ist. In der vorliegenden Arbeit werden allgemein Systeme partieller Dif ferentialgleichungen untersucht, bei denen die Anzahl der Cleichungen groper ist als die Anzahl der gesuchten Funktionen. Im ersten Teil wird die Frage der Existenz von Liisungen solcher Systeme sowie die ihrer vollstandigen Integrabilitat behandelt. Der zweite Teil bringt zwei Methoden zur Integration voll- standig integrabler Systerne mittels gewohnlicher Dif ferentialgleichungen. Eine Fortsetzung der vorliegenden Arbeit beschaftigt sich mit e inigrn Anwendungen der Integrabiiitats- und Integrationstheorie auf die Be- handlung von Anfangszuertproblemen bei partiellen Dif ferzntialgleichungen.

In previous papers ([l], [a], 131) the integration of overdetermined systems of partial diff. equs. has already been discussed by the authors under the assumption that some of the equations are quasilinear. The present paper investigates general systems of partial differential equations with more equations than unknown functions. The first part deals with the existence of solutions and with complete integrability. In the second part two methods are given whereby the integration of completely integrable systems i s reduced to that of ordinary differential equations. In a subsquent paper the theory will be applied to initial value problems of partial differential equations.

B CBOHX IIpefibIfiyrrlHX pa6o~ax ([ 11, [ a ] , [3]) aBTOpbI 3aHHMaJIHCb HHTerpHpOBaHHeM IIepeO- IIpeAeJIeHHbIX CHCTeM nH@@epeHyHaJIbHbIX YpaBHeHHB B YaCTHbIX IIPOH3BOAHbIX. OfiHaKO B 3THX pa6o~ax paCCMaTpHBaJIHCb TOJIbKO np06JIeMb1, B KOTOPbIX HeHOTOpaH YaCTb YpaBHeHHfi 6b1na llpe~CTaBJleHa HBa3HJIHHeaHbIMH YpaBHeHYRMH. B HaCTOHUJea pa6ol.e PaCCMaTpHBaIOTCH 061u~e CHCTeMLd nH@@epeHI(HaJIbHbIX YpaBHeHHB B YaCTHbIX llPOH3BOnHbIX, B KOTOPbIX YHCJIO YpaB- HeHHB 6onbrue YHCJIa HCHOMbIX @ Y H K I @ % . B nepBOfi WiCTH paCCMaTpHBaeTCH BOIIPOC CylUeCTBO- BaHIIR peIIIeHHfi nOnO6HbIX CIICTeM, a TaK)Ke ROIIpOC HX IIOJIHOB HHTWPElpYeMOCTH. BTopaR YaCTb H3JIaI'aeT RBa MeTOna HHTerpHpOBaHHH nOJIHOCTbIO HHTerpHpYeMbIX CHCTeM IIOCpefiCTBOM 06bIHHOBeHHbIX fiH@@epeHUHaJIbHbIX YpaBHeHHB. B IlpOnOJIECeHHH HaCTOHWeB pa6o~b1 6ynyT PaCCMaTpHBaTbCH HeHOTOpbIe IlpHJIOmeHHH TeOpHH HHTerpHpyeMOCTII H IIHTerpHpOBaHHH IE 3anaYaM C HaYaJlbHbIMI43HaYeHMHMII IIO AH@@epeHuHaJIbHbIM YpaBHeHIIRM B YaCTHbIX npOII3BOn- HbIX.

I. Integrabilitatstheorie uberbestimmter Systeme 1. Uberbestimmte Systeme in kanonischer Form

Wir bctrachten zunachst spezielle iiberbestimmte Systeme partieller Differentialgleichungen in expliziter Form:

fur n gesuchte Funktionen f"(xp) (i = l(1) n) von r unabhangigen Variablen (/I = l(1) r). --

Hochgestellte kleine lateinische Indizes laufen stets von 1( 1) n, hochgestellte kleine griechische Indizes von l(1) r. - Auf der rechten Seite von (1.1) konnen als Argumente alle partiellen Ab- leitungen auftreten bis zur Ordnung ins in x@. D. h. es ist

r

i = l = O(1) mo fur /3 = l(1) r und stets p = 2 ei . (1.2)

Die Funktionen @~lrs.. .n, seien von der Klasse C1 in einem Gebiete G des (r + N)-dimensionalen

Raumes ihrer Variablen. Dabei ist N = n 17 (mf + 1). Auf der linken Seite von (1.1) ist die

partielle Ableitung nach genau einer der unabhangigen Variablen xx von der Ordnung q" = mx + 1, wahrend alle anderen qa, 1 = l(1) r , 2 =+ 1c den Bereich bis ma durchlaufen, so daB gilt

I

j = 1

T

qx= inx + 1, qA = 0(1) rnj. fur I + x, 1 = l(1) r und q = Z: 48. ' = 1

(1.3)

Dies gilt fur alle ~t = l(1) r .

*) Institut fur Angewandte Mathematik der Technischen Hochschule Munchen (Direktor 0. Prof. Dr. J. HEINHOLD).

19

262 N. AFOSTOLATOS und U. KULISCH, Integrabilitiit und Integration iiberbeatimmter Systeme . . .

Def in i t i on 1. Das System (1.1) mit den Bedingungen (1.2) und (1.3) bezeichnen wir als die kanonische Form eines iiberbestimmten Systems partieller Differentialgleichungen oder kurz als kanonisches System.

D e f i n i t io n 2. Ein kanonisches System heiBt vollstandig integrabel, wenn es zu jedem Punkte (gp, & @ a . . , eT) aus G mindestens eine Losung fk(x@) aus CN* gibt, welche die Anfangsbe- dingungen

r

i=l erfiillt. Dabei ist N* = xm' + 2.

Wir beweisen zunachst den

S a t z : Jedes kanonische System ist entweder van erster Ordnung oder es ist einem kanonischen System erster Ordnung aquiualent.

Zum Beweis substituieren wir

(1.7) ist ein kanonisches System erster Ordnung. Das Anfangswertproblem (1.6), (1.7) ist dem Anfangswertproblem ( l . l ) , (1.4) aquivalent.

+ l). . . e, sind von der Klasse C1(G). Unter dieser Voraussetzung gilt der E x i s t e n z - u n d E i n d e u t i g k e i t s s a t z f u r k a n o n i s c h e Sy- s t e m e e r s t e r Ordnung :

Die in (1.7) auftretenden Funktionen F$ e a . . .

Zst F$ez...(ea+l)...er E C1(G) SO ist das System (1.7) dann und nur dann uollstandig inte- grabel und besitzt dariiber hinaus zu jedem Anfangswertsystem (1.6) genau eine Losung, wenn in G die Integrabilitatsbedingungen

Einen Beweis dieses Satzes findet man in [4], Anhang 11, 2, S. 176. Ohne Beschrankung der Allgemeinheit konnen wir annehmen, daB a < f l . Dann folgt aus (1.5) und (1.7)

N. APOSTOLATOS und U. KULISCH, Integrabilitat und lntegration iiberbestimmter Systeme . . . 263 -~

Daraus ergibt sich, daR fur ea < ma und es < ins die Bedingungen (1.8) immer erfullt sind. Die restlichen Bedingungen (1.8) liefern den

Ex i s t enz - und E i n d e u t i g k e i t s s a t z f u r kanon i sche Sys t eme von hohe re r a l s e r s t e r Ordnung : Das kanonische Syslem (1.4) ist dann und nur dann uollstandig integrabel und besitzt dariiber hinaus zu jedem Anfangswertsystem (1 .1) genau eine Losung, wenn die Integrabilitatsbedingungen

. ( r n B + l ) . . falls pa < ma und QP = ms ,

= O(1) mA, A = 1(1) F , 01 = 1(1) r , fl = 1(1) r , cy < p , erfiillt sind.

Wir betrachten dazu ein Beispiel: Gegeben sei das System partieller Differentialgleichungen

mit den Anfangsbedingungen

Setzen wir z = 21, y = 5 2 , z = 23 . so ist m1 + 1 = 2, m2 + 1 = 1, m3 + 1 = 1. Die Laufbereiche der In- dizes ei, i = 1(1)3, sind demnach: el = 0(1)1, @ = 0, e3 = 0. Damit iiberzeugt man sichleicht, daB das System von kanonischer Form ist. Um es in ein System erster Ordnung zu transformieren, substituieren wir

fooo: = f (x9 Y 9 2) 7 t ,oo: = t&, Y , %) . Damit lautet das iiquivalente kanonische System erster Ordnung :

aJooo - 2 z f o o o , at000 = ax / loo f -~ - foe0 - 2 t1oo 9 __ - at000 -=

az aY

mit den Anfangsbedingungen

Dieses System erfiillt die Integrabilititsbedingungen, ist also vollstiindig integrabel, was man leicht nachpriift tOOO(~0~ %? 20) = fooo > flOfl(XO* Yo3 20) = f l f l0 *

2. Beweis des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes fur gewohnliche Differentialgleichungen im Komplexen

Wir betrachten das System gewohnlicher Differentialgleichungen zwischen komplexen Variablen

(1.10)

mit den Anfangsbedingungen wk(zo) = gk. Die f k seien analytisch bezuglich aller Argumente. Wir zeigen, daR das Problem genau eine analytische Losung wk(z) besitzt.

Zunachst sieht man ein, da13 jede Losung wk(z) des Problems notwendig eine analytische Funktionvon z ist. Dies folgt aus der Existenz einer stetigen ersten Ableitung nach z , welche auf Grund der Differentialgleichung gesichert ist.

Wir konnen damit das System (1.10) in Real- und Imaginarteil zerlegen; denn jede Losung des Problems erfullt die CAUCHY-RIEMANNSchen Differentialgleichungen

a u k a u k a u k auk

ax ay ’ ay ax - -_- - - _ -__ ~

und folglich auch die Gleichung

19*

264 N. APOSTOLATOS und U. KULISCH, Integrabilitat und Integration iiberbestimmter Systeme . . .

Damit zerfallt das System (1 .lo) in ein aquivalentes kanonisches System erster Ordnung:

- -_______- -~ ____

(1.11)

mit den Anfangsbedingungen uk(x0, yo) = iik, uk(xo, yo) = 2k.

genau eine Losung, wenn die Integrabilitatsbedingungen Das System (1.1 1) ist vollstandig integrabel und besitzt zu jedem Anfangswertsystem

erfiillt sind. Diese Beziehungen lassen sich umordnen zu

und sind, da die in eckigen Klammern stehenden Ausdrucke wegen der Analytizitat von fk(z , wf) bezuglich z und wf identisch verschwinden, erfiillt.

3. Transformation allgemeiner iiberbestimmter Systeme partieller Differentialgleichungen in kanonische Form

Es seien ms, f i = l(1) r, beliebig vorgegebene, nichtnegative ganze Zahlen. Ferner seien QB, f i = l(1) r, endliche Teilmengen der nichtnegativen ganzen Zahlen und Q eine Teilmenge des kartesischen Produktes Q1 x Q 2 x . - . x Q' von der Eigenschaft, da13 fur jedes Element (ql, 42, . . . , qr) E Q fur mindestens ein i qi 2 mi + 1 ist.

Wir betrachten das uberbestimmte System partieller Differentialgleichungen

(1.12)

r

T B = 1 fur die Funktionen f i = fi(xB), i = l(1) R , wobei @ = O(1) mp, f i = l(1) r, e = es und

(ql, q2, . . . , qr) E Q, q = q@ und T = l(1) I ist. Es sei I > n. B = 1

Die Anzahl der im System (1.12) auftretenden gesuchten Funktionen fk(xb) und deren partielle Ableitungen bezeichnen wir mit N. Wir fordern von dem System (1.12), da0 die Funk- tionen @T der Klassel) CN angehoren in einem Gebiete G des (r + N)-dimensionalen Raumes ihrer Variablen und fur jedes T = l(1) 1 bzw. fur jedes j E l(1) n mindestens ein x E l(1) n und ein ( q i , q:, . . . , q:) E Q bzw. mindestens ein T , E l(1) I existieren, so da13 in G

+ o ________ a @T(z', y$ ep. . . cry z$ q* . . . q.1 f o bzw, a @yl*(xfl, y$ ez.. . er. z$ p . . .p)

aygo.. . o a";: 9; . . . 4;

ist. Es sei G* die Projektion von G in den Raum der Variablen (xp, y$el...e.), @ = O(1) rns . D e f i n i t i o n : Ein uberbestimmtes System der Form (1.12) heil3t vollstandig integrabel,

wenn es zu jedem Punkte (go, / o $ e ~ . , . e r ) aus G* mindestens eine Losung f k = fk(xB) von der Klasse C"-+ .m + gibt, welche die Anfangsbedingungen

(1.13)

l ) Siehe FuSnote 2).

N. APOSTOLATOS und U. KULISCR, Integrabilitiit und Integration iiberbest,immter Systeme . . . 265

erfiillt. Dabei ist m die Ordnung der hochsten im System (1.12) auftretenden Ableitung

m = max [ max i p p , i m p ] . (q ' ,q* , ...,p') E Q p=1 p=1

Wir untersuchen jetzt die Frage nach der vollstandigen Integrabilitat des Systems (1.12). Wir zeiger- :hst, daB das System (1.12) einem iiberbestimmten System partieller Differential- gleichungen G aquivalent ist, fur welches die Anzahl I' der Gleichungen groBer oder gleich ist der Anzahl A' der partiellen Ableitungen von fk(xp), welche in C5 aber nicht in (1.13) auftreten.

Durch wiederholte totale Differentiation von (1.12) nach xp erhalt man

(1.14)

7

wobei pp = O(1) M , so daB stets

gekehrt.

deren partiellen Ableitungen und 1M die Anzahl der Gleichungen (1.12), (1.14). Dann ist

pp = p , p = l(1) M , und M eine naturliche Zahl ist. 8-1

Offensichtlich ist jede Losung des Systems (1.12) auch Losung von (1.12), (1.14) und um-

Es sei nun N M die Anzahl der in (1.12) und (1.14) auftretenden Funktionen fL(d) und

Es gilt der

Sa tz : Es existiert immer ein M 2 0 so, dap

(1.15) I M Z N M - N N " = : AM I

gi l t , wobei N* die Anzahl der in (1.13) vorgegebenen Anfangswerte bedeutet (N* = n 17 (mp +- 1)). p=1

Beweis: Es geniigt zu zeigen, daB ein M , existiert, so daB

ist fur p > M , und 1 > n. Da nach Voraussetzung 1 2 n + 1 ist, gilt nnpr nner "IS

Es ist

d. h. fiir jedes E > 0 existiert ein M(E) so, daB fiir alle p > M(E)

ist. Daraus folgt fur E = l / n und jedes ,u > M,: = M ( l / n )

Da die linke Seite stets eine ganze Zahl darstellt, ist sie 2 1, womit obiger Satz bewiesen ist. Wir setzen nun voraus, daB in (1.14) M so gewahlt2) ist, daB (1.15) und M 2 max {mp}

gelten. Dann ist die Anzahl 1~ der Gleichungen von (1.12) und (1.14) groBer oder gleich der B

2) Wir setzen N: = M

266 N. APOSTOLATW und U. KULISCH, Integrabilitat und Integration iiberbestimmter Systeme . . .

Anzahl AM der partiellen Ableitungen der Funktionen fk(zb)), welche in (1.12) und (1.14), aber nicht in (1.13) auftreten. Wir nehmen nun an, daI3 sich das System (1.12) und (1.14) eindeutig nach den partiellen Ableitungen von f'(d), welche in (1.12) und (1.14), aber nicht in (1.13) auf- treten, auflosen 1aBt. Dann erhalten wir

(1.16)

Aus der Herleitung des Systems (1.16) folgt sofort, daB jede Losung von (1.12) auch dem System (1.16) geniigt und umgekehrt. Da M 2 max (m@} ist, enthalt das System (1.16) sicher das kanonische System B

(1.17)

r I

q" = in" + 1 , qA = 0(1) m a , A = l(1) r , A+ k und q = 2 q B , e = 2 Q B , x = l(1)r.

Daraus folgt unmittelbar der

S a t z : Das System (1.12) ist dann und nur dann vollstiindin iniegrabel und bpsitzt dariiberhinaus zu jedem Anfangswerisystem (1.13) genau eine Losung, wenn sich jede Gleichring von (1.16), welche nicht in (1.17) auftritt, durch entsprechende Differentiation einer Gleichung des Systems (1.17) erhalten lapt und das kanonische System (1.17) vollstiindig integrabel ist.

p = 1 p = 1

Wir betrachten dazu ein

Beispiel: Gegeben sei das Differentialgleichungssystem

(1.18)

Jede Losung f = f (z, y, z ) sei von der Klasse C4 in einem Gebiete CT des Raumes der (x, y, z). Wir zeigen, da13 das System (1.18) zii jedem Anfangswertsystem

(1.19)

pl = 0, 1; $ = 0; p3 = 0, genau eine Losung besitzt. Das zum System (1.18) gehorige System (1.16) lautet:

(1.21)

Nach dem Beispiel (1.9) ist das System (1.20) ein kanonisches System, welches zu den Anfangswerten (1.19) genau eine Losung besitzt. Man erkennt sofort, da13 sich alle Gleichungen (1.21) durch Differentiation ent- sprechender Gleichungen aus (1.20) gewinnen lassen. Nach unserem Satz ist demnach das System (1.18) zu jedem Anfangswertsystem (1.19) eindeutig losbar.

11. Integration iiberbestimmter Systeme

1. Integration durch Systeme gewohnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung

Es sei x@(t) eine aus endlich vielen stetig differenzierbaren Kurvenbogen zusammengesetzte e a . , , ev(zo) (vgl. dazu (1.5)) genugen langs d ( t ) dem System gewohn- Kurve. Die Funktionen

licher Differentialgleichungen erster Ordnung :

i = l(1) n , = 0(1) ma, A = l(1) r ,

wobei die F ~ I ~ : . . . ( ~ ~ + l ) . . .@, die in (1.7) definierten GroBen darstellen. Um das System (2.1) integrieren zu konnen, brauchen wir die Anfangswerte

(2.2) fi1 e e . . . p(x'(0)) -

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Zur Berechnung dieser GroBen unterscheiden wir zwei Falle : a) Geht die Kurve d ( t ) durch den Punkt %B, in dem die Anfangswerte (1.4) bzw. (1.6) vor-

gegeben sind, so 1aBt sich durch eine Parametersubstitution immer erreichen, da13 gp = x@(O) wird. Die Anfangswerte (2.2) stimmen dann mit den vorge- gebenen GroBen f$e . . . . e . (%f i ) = = filez,,.er iiberein.

b) Geht die Kurve xB(t) nicht durch den Punkt kp, so wahlen wir eine Hilfskurve ?B,(z) mit der Eigenschaft xg(0) = i s , welche die Kurve x@(t) im Punkte xp(0) = x$(z0) schneidet (Bild). Nach a) 1aBt sich das Problem langs der Kurve zB,(z) integrieren. Es liefert die Werte f$,x...Qr(xB,(z)). Fur z = to sind dies wegen xB,(zo) = xfi(0) die zur Integration langs der Kurve xp(t) erforderlichen Anfangswerte (2.2). 1st die Kurve xp(t) aus mehreren Kurvenbogen zusammen- gesetzt, so spielt das vor einer ,,Ecke" gelegene Kurvenstuck die Rolle einer Hilfskurve fur die Integration des Problems langs des nach der Ecke gelegenen Kurvenbogens.

0 . @= Xf(0) 5%)

&o, -&*) x z"d 2. Integration durch n gewiihnliche Differentialgleichungen ( N / n ) -ter Ordnung

Es sei jetzt xfl(t) eine aus endlich vielen (N/n)-ma1 stetig differenzierbaren Kurvenbogen zusammengesetzte Kurve. Setzen wir Uk(f ) : = f k ( z p ( f ) ) , so erhalten wir durch Differentiation nach t folgende Beziehungen:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

In diesen Beziehungen 1aBt sich vermoge der Differentialgleichungen (4.1) jede partielle Ableitung

___~ a y k

($xl)f' (axz)@ . . . ( a X y ' in der mindestens einer der qa > mA, A = l(1) r, ist, ausdrucken durch die unabhiingigen Variablen und die Ableitungen

Denken wir uns dies ausgefiihrt, so erhalten wir Beziehungen der folgenden Gestalt:

(2.3)

und

(2.4)

Setzen wir nun voraus, dal3 sich die Gleichungen (2.3) eindeutig nach den N GroWen

auflosen lassen3), so erhalten wir diese in folgender Form

. . ~-

3, Diese Voraussetzung kann Beschrankungen fur die Kurven zS(t) mit sich bringen. In [2] werden fur die Integration spezieller uberbestimmter Systeme diese Voraussetzungen konkret angegeben.

268 N. APOSTOLATOS und U. KULISCH, Integrabilitiit und Integration uberbestimmter Systeme . . ,

SetZen wir nun (2.5) in (2.4) ein, so erhalten wir ein System von n gewohnlichen Differential- gleichungen (N/n)-ter Ordnung zur Berechnung der gesuchten Funktionen Ui(t) = f i (d( t ) ) :

Um sie integrieren zu konnen, brauchen wir die Anfangswerte

(2.7) (8) N Uk(O), n /A = O(1)- - 1 .

Zur Berechnung dieser GroIJen unterscheiden wir wieder zwei Falle : a) Die Kurve d ( t ) gehe durch den Punkt und es sei d ( 0 ) = 2. Unter Berucksichtigung

von (1.4) erhalt man aus (2.3) unmittelbar die gesuchten Anfangswerte (2.7). b) Die Kurve d ( t ) gehe nicht durch den Punkt 3. Wir wahlen dann eine Hilfskurve

sB,(z) E CNIn mit der Eigenschaft xB,(O) = is, welche die Kurve d ( t ) im Punkte sB,(zo) = rP(0) schneidet (siehe Bild). Nach a) 1aIJt sich das Problem langs der Kurve xB,(z) integrieren. Dies liefert die Werte

(f - 1)

(2.8) u:(4 9 U%(Z), * * * 2 u: (4 - Setzen wir diese fur t = zo in die langs der Kurve zB,(z) gebildeten Beziehungen (2.5) ein, so er- halten wir wegen z$(zo) = d ( 0 ) die partiellen Ableitungen von f*(d) im Punkte d(0 ) :

(;- 1)

eL = O(1) mL , il = I(1) r . . . , ",B (to), u~(G,), - - - ui ( t o )

Setzen wir diese GroIJen in (2.3) ein, so erhalten wir die zur Integration des Systems (2.6) erfor- derlichen Anfangswerte (2.7).

Wir haben damit zwei Methoden zur Integration vollstandig integrabler Systeme der Form (1.12), (1.13) durch Anfangswertprobleme bei gewohnlichen Differentialgleichungen besprochen. Diese konnen sowohl von analogen wit: von digitalen Rechenanlagen nach bekannten Methoden numerisch gelost werden. Welches der beiden im letzten Abschnitt besprochenen Integrations- verfahren bei einem konkreten Problem vorzuziehen ist, mu13 von Fall zu Fall entschieden werden.

Die erste Methode zeichnet sich durch geringere Voraussetzungen an die Kurve xP(t) sowie dadurch aus, daIJ die Anfangswerte im Punkte d ( 0 ) leichter zu ermitteln sind. Demgegenuber weist die zweite Methode den Vorteil auf, da13 sich durch Wahl geeigneter Kurven xP(t) vielfach besonders einfache Differentialgleichungen (2.6) zur Berechnung der Funktionswerte Uk(t) = f k (d ( t ) ) erzielen lassen, wodurch sich das numerische Integrationsproblem haufig auoerordent- lich vereinfacht.

Literaturverzeichnis 1 N. APOSTOLATOS, Verallgemeinerung funktionentheoretischer Verfahren fur Analogrechner auf allgemeinere

Funktionentheorien, Computing 1, Fasc. 1 (1966). 2 U. KULISCH, Uber die Riickfuhrung uberbestimmter Systeme von partiellen Differentialgleichungen auf

gewohnliche Differentialgleichungen und deren Behandlung mit einem elektronischen Analogrechner, ZAMM 44, Heft 3 (1964).

3 U. KULISCH, o b e r Methoden zur Integration uberbestimmter Systeme partieller Differentialgleichungen mit einem elektronischen Analogrechner sowie uber Anwendungen dieser Methoden auf die Behandlung von Anfangswertproblemen, Annales de 1' Accociation internationale pour le Calcul analogique, Actes-Proceedings 1965.

4 D. LAUGWITZ, Differentialgeometrie, Stuttgart 1960, B. G. Teubner Verlagsgesellschaft.

Manuskripteingang: 4.5. 1966

Anschrift: Dr. N. APOSTOLATOS, Prof. Dr. U. KCLISCH, Technische Hochschule - Rechenzentrum, 75 Karlsruhe