A. hgewsndte Methemetik 375

Aus diesem Satz konnen Abschatzungs satze hergeleitet werden, mit deren Hilfe man Konvergenzaussagen fur das Differenzenverfahren machen und Fehlerabschatzungen durchfuhren kann. Diese Satze sind auch auf die u. Misessche Grenzschichtdifferentialgleichung

init den Anfangs- und Randwerten U z = d U a - U l &

u(xo, y) = G ( y ) ; u(x, 0) = U*(x);

anwendbar. Bisher hat man infolge der Randsingularitdt fur y = 0 auf die Verwendung des Differenzenverfahrens verzichtet.

dnechrift: Rudolf Krewczyk, Kerlsruhe, Engesserstr. 6

lim u(x, y) = 0 ' y-a7

Integraloperatoren in der Theorie partieller Diff erentialgleichungen Von Erwin Kreyszig

Fur verschiedene Klassen elliptischer partieller Differentialgleichungen existieren Integral- operatoren, die komplex-analytische Funktionen in Losungen dieser Differentialgleichungen transformieren. Diese Tatsache ermoglicht es, die Theorie der Losungen partieller Differential- gleichungen auf funktionentheoretischer Grundlage aufzubauen. Unter Benutzung von Siitzen der Funktionentheorie gewinnt man auf diese Weise Ergebnisse uber die Natur und Verteilung der Singularitdten, das Wachstumsverhalten und andere grundlegende Eigenschaften der genann- ten Losungen. Die Theorie der Integraloperatoren wurde von S. B ergm a n begrundet. Einen Oberblick uber den gegenwlrtigen Stand der Entwicklung und zahlreiche Literaturhinweise findet man in [l]. Die Operatoren sind auch im Zusammenhang rnit praktischen Problemen, z. B. in der Theorie der kompressiblen Stromungen, von erheblicher Bedeutung, vgl. [2].

Ein wichtiges Problem ist die Auswahl gee igne te r Operatoren, d. h. solcher Operatoren, die moglichst viele grundlegende Eigenschaften der analytischen Funktionen invariant lassen oder in einfacher Weise transformieren, so daB man vermoge funktionentheoretischer Slitze auf das Verhalten der mittels eines Operators gewonnenen Losungen schlieoen kann. Einzelne Opera- toren dieser Art sind bekannt, aber von einer sys t em a t i s chen Klassifizierung praktisch brauch- barer Operatoren ist man zur Zeit noch weit entfernt. Weiterhin ist es im Zusammenhang mit praktischen Anwendungen von entscheidender Bedeutung, daI3 die Theorie der bisher eingefuhrten Operatoren in allen Einzelheiten entwickelt wird.

Der Obergang von Gleichungen in 2 unabhangigen Veranderlichen zu Gleichungen in 3 unabhangigen Veranderlichen bringt wesentliche Schwierigkeiten rnit sich, vgl. [I]. Wir betrach- ten

oder

wobei X = x, Z = (z + i y)/2, Z* = - (z - i y)/2 und H ( X , Z , Z * ) x y (x, y, z ) ist. Be- zeichnet f(u, [) eine analytische Funktion von

u = x + z 5 + zg-1 und [, so ist

yzz + yvv + yzr = 0

HZ, - HZZ* = 0

. . . . . . . . . . . . . . (1)

* (2)s . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . H ( X , z, Z ) = ---. f ( U , C) 4-1 d( * * (3) 2 n 1 I S CI =1

eine harmonische Funktion. Diese von W h i t t a k e r [3] herruhrende Darstellung laI3t sich zu einer systematischen Untersuchung harmonischer Funktionen benutzen. Fur f = Urn erhllt man im wesentlichen Kugelfunktionen. Durch die Wahl geeigneter Funktionen f kann man har- monische Funktionen rnit vorgegebenen algebraischen Singularitatenkurven konstruieren. Zum Beispiel gilt:

Es sei K ein gegebener Kreis. Dann lassen sich die Koeffizienten a, b, c in

f = I /@ + ( b + u) 5 + c 5 3 so bestimmen, daB (3) langs K singular und sonst uberall regular ist.

Weiterhin kann man die geometrischen Eigenschaften der Singularitatenkurven der Funk- tionen H , die rationalen Funktionen f entsprechen, rnit Hilfe der Methoden der algebraischen Geometrie in allgemeiner Weise untersuchen.

376 A. Angewandte Mathematik

Die /,, = P/(n - k)m (m, n ganz, m > 0)

entsprechenden harmonischen Funktionen H sind ltings der Ebene x = Re k unstetig. Sie lassen sich durch hypergeornetrische Funktionen darstellen. Auf diese Weise gewinnt man den Anschlul3 an bekannte spezielle Funktionen und karin aunerdern' die Fuchs-Frobeniussche Theorie der gewohnlichen linearen Differentialgleichungen irn Komplexen zur Untersuchung dieser Funk- tionen heranziehen. Diese wichtige Tatsache gilt ubrigens auch in] Zusammenhang mit anderen Integraloperatoren; vgl. [4], [5], [6]. Kompliziertere rationale und algebraische Funktionen 1 fiihren auf harrnonische Funktionen, die Singularitiitenkurven und langs endlich vieler Regel- flachen endliche Sprunge besitzen und sonst regultir sind.

LiGatur [I] S. B e r g m a n , Integral Operators in the Theory of Lineor Partial Differential Equations, Erg. Math.,

[2] H. v. Mises, Mathematical Theory of Comprossible Fluid Flow, 1958. [3] E. T. W h i t t a k e r , On the partial differential equations of mathematical physirs. Math. Ann. 67 (1903).

141 E. Kreysz ig , On a class of partial differential equations. J. rat. Mech. Analysis 4 (1968), S. 907-923. 151 E. Kreysz ig , On certain partial differential equations and their singularities. J. rat. Mech. Analysis 6

161 E. Kreysz ig , Relations between properties of solutions of partial differential equations and the coefficients

Ancchrift: T'rof. Dr. E. Kreyszig, z. Z. Aachen, Templerqraben 68

im Druck.

s. 333-355.

(1956), 8. 806-820.

of their power series development. J. Math. Mech. 6 (1967), 8. 361-382.

Uber Erwartungswerte und Varianzen von Ranggroflen in kleinen Stichproben

Von Otto Ludwig*)

Seien zl, . . . , .rn Ranggronen (order statistics) in Stichproben aus tiner kontinuierlichen Gesarntheit rnit existierender Varianz u2. Dann gilt die IJngleichung

1 - - 1 i - 1 n - j

Dies folgt nach der Schwarzschen Ungleichung

wobei p der Mittelwert und \(z) die Dichte der urspriinglichen Verteilung und nfi(z) diejenige der j-ten RanggroRe ist, also

[I a b d z ] ~ s J a* dz . J ba dz mit a = (x -- ,u) if<.>, b = [,jj(x) - ,~~(z)t)l / ir<.>,

n --- 1 ,~,(z) = n ( i - 1) a [ I - - ~ ( z ) j " - i ~ ( z y - 1 /(x) , ~ ( z ) = dt .

-. -00

Ein Spezialfall ist die folgende Ungleichung fur den Abstand zweier benachbarter RanggroBen : ~

I ~ -

1 . . .. . .- - -. . . (:.I:)(" . 7 l) E zi) < u n . ' .I/' (2 n 1) (2 n - 3) (q-' ein weiterer die von P l a c k e t t (1947), hergeleitete fur die Spannweite:

Diejenigen Verteilungen, fur die die Schranken erreicht werden, erhtilt man aus a = const - b . Es lassen sich viele weitere Ungleichungen und Gleichungen fur bestimmte Verteilungen fur kleine Stichproben finden. Fur Ausfuhrlicheres, besonders irri Hinblick auf die Anwendungen, vgl. ,,Biometrische Zeitschrift" 1, Heft 3 (1959). Anschrift: Dr. 0. Ludwig, Bad Neuheim, Kerckhoff-Inetitut

*) Statistiache Abteilung des W. G. Kerckhoff-Instituts dcr Max-Planck-Gesellechft.