Integrierter Kurs im SS 2018 Fakultät Physik Technische ... · Vorlesung Physik II SS 2018 S. Khan/T. Weis 1 Integrierter Kurs im SS 2018

Vorlesung Physik II SS 2018 S. Khan/T. Weis

1

Integrierter Kurs im SS 2018

Prof. Dr. Götz Uhrig

(Theoretische Festkörperphysik)

heute : Prof. Dr. Thomas Weis

(Experimentelle Beschleunigerphysik)

6. Juni 2018

Fakultät Physik

Technische Universität Dortmund


2

tItI

tUtU

cos)(

,cos)(

0

0

Wiederholung 5.2 Wechselstrom

Impedanzen

Anwendungen

Wechselspannungen und Wechselströme

haben die Form

Dabei sind und Startphasen bezüg-

lich t = 0. 2pf ist die Kreisfrequenz

der Wechselgröße, f seine Frequenz. Wir

wollen jedoch in komplexen Größen

rechnen, z.B. für die Spannung U(t)

0

0

( ) Re ( ) Re( exp

cos

U t U t U i t

U t

und in gleicher Weise für I(t).

Der Quotient der komplexen Größen

für Spannung und Strom definiert

dann einen komplexen Widerstand

ImpedanzU

ZI

Die Impedanz enthält neben der Infor-

mation über die Amplitudenverhältnisse

von U und I auch Informationen über

eine zeitliche Phasenverschiebung

zwischen U und I.


3

cos sin

exp

Z R iX Z i

Z i

Damit kann man das ohmsche Gesetz

in der verallgemeinerten Form schreiben

( ) ( )

( ) cos sin ( )

U t Z I t

U t Z i I t

Der komplexe Widerstand bzw. die

Impedanz hat einen Real- und

Imaginärteil

1i

Re Z

Im Z

Z

2 2

2 2

Re( ) Im( )Z Z Z

R X

Im( )tan

Re( )

Z X

Z R

und weiter gilt

und für die Phasenverschiebung

zwischen Strom und Spannung


4

220( ) ( ) ( ) cos ( )

UP t U t I t t

R

U(t)

I(t)

R

0

0

(reelle Größe)R

UZ R

I

Damit wird auch die elektrische

Leistung P reell

2

p

2

3p

2

5p

T

P(t)

t

für = 0 stellt sich P(t) wie folgt dar

Die Leistung schwankt über die Peri-

odendauer T. Der zeitliche Mittelwert

ergibt sich wie folgt

220

0 0

4220

0

1( ) cos

4cos

TT

T

UP P t dt tdt

T TR

Utdt

TR

Impedanzen

• Ohmscher Widerstand R

Offenbar sind hier U(t) und I(t)

zeitlich in Phase


5

2

00 0

1 1

2 2

UP U I

R

Diese Leistung ist eine Wirkleistung,

erwärmt also den Widerstand R. Man

definiert daher eine „effektive

Spannung“ und „effektiven Strom“,

Ausführen der Integration führt auf

0 0eff eff,

2 2

U IU I

die an einem ohmschen Widerstand

dieselbe mittlere Leistung bewirken

wie eine gleichgroße Gleichspannung.

Beispiel:

Das normale Stromnetz hat eine effek-

)(!V 325V23022 eff0 UU

tive Spannung von Ueff = 230 V. Die

Spitzenspannung ist gegeben durch

Experiment:

U(t)

I(t)

U0

I(t) Gleich-

spannung

Lampe

Lampe

Wechsel-

spannung


6

Experiment: Effektive Spannung

Lampen

Gleich- spannung

Wechsel- spannung

Netz- geräte

Gleich- spannung

Wechsel- spannung

Die baugleichen Lampen werden

auf gleiche Helligkeit eingestellt


7

Komplexe Darstellung im Zeiger-

diagramm:

Im

Re

U

I

Beide Zeiger rotieren mit Kreis- oder

Winkelfrequenz . Strom und Spannung

sind in Phase !

• Impedanz eines Kondensators C

U(t)

I(t)

C

Es gilt ( ) ( ) /U t Q t C

und weiter 1( ) ( )U t I t

C

Mit 0 expU U i t

folgt sofort

dI C U i C U

dt


8

Die Impedanz ist also imaginär. Man bezeichnet

sie auch als kapazitiven Blindwiderstand.

Beim Kondensator läuft der Strom der Spannung

um 90° voraus.

t

U(t)

I(t)

und für die Impedanz eines

Kondensators damit

1C

U iZ

I i C C

Im

Re

U

I


9

Experiment: RC-Kreis

Sinusgenerator

Widerstände Kondensator

Spannung Strom

Beim Kondensator läuft der Strom

der Spannung voraus


10

Die mittlere Leistung am Kondensa-

tor ist gegeben durch

0 0

2

0

0

0

1 1( ) ( ) ( )

cos sin 0

T T

T

P P t dt U t I t dtT T

U Ct tdt

T

Am Kondensator wird also im Mittel

keine elektrische Leistung umgesetzt.

Ein idealer Kondensator wird im Ge-

gensatz zum ohmschen Widerstand nicht

erwärmt. Bei der Aufladung des

Kondensators (Feldenergie) wird

elektrische Arbeit vom Netzteil ver-

richtet. Bei der Entladung wird diese an

das Netzteil zurückgeführt.

U(t)

I(t)

L

Für die Summe aller Teilspannungen

gilt zunächst ( )( ) 0

dI tU t L

dt

Stichworte: Blind- oder Scheinleistung

• Impedanz einer Induktivität L

und damit komplex

U LI


11

t

U(t)

I(t)

Bei der Spule läuft der Strom der Spannung

um 90° nach.

Wegen der 90° Phasenverschiebung

zwischen Strom und Spannung gilt auch

hier 0P

Mit 0 expI I i t

folgt dann U LI i LI

und weiter

L

UZ i L

I

Im

Re

U

I


12

Experiment: RL-Kreis Sinusgenerator

Widerstände Spule

Spannung Strom

Bei der Spule läuft der Strom

der Spannung nach


13

2

p

2

p

0

L

R

C

Phase als Funktion der Frequenz

Mit den drei Schaltelementen R, L, C

lassen sich im Prinzip alle beliebig kom-

plexen Schaltungen aufbauen. Jede Schal-

tung lässt sich mit diesen 3 Elementen

andererseits auch simulieren.

Re Z

Im Z

Z

Zusammenfassung: Betrag der Impedanz als Funktion

der Kreisfrequenz

Z

R

CZ

1C LZ L


14

U0 sint

L

R

Beispiel: RL-Kreis

Der Gesamtwiderstand ist

RL LZ R iX R i L

Der Betrag des Widerstandes ist

222

RL LRZ

und die Phase

tanL

R

RLZ

R

2

p

Widerstand

Phase

0

RL

RL

90tan

.)2

00tan

0.)1

LZ

RZ


15

Der Transformator

Wollen an dieser Stelle den idealen

Transformator mit sekundärseitiger

Belastung berechnen. Auf der Pri-

märseite wird genau so viel Leistung

aufgenommen, wie sekundärseitig

an eine ohmsche Last abgegeben

wird.

Frage: Woher weiß die Primärseite,

dass sekundärseitig Leistung abgeru-

fen wird?

A=const.

B

U1

U2

I1

I2 n1

n2

R

Primärspule Sekundärspule

Eisenjoch

Primärseite: 1 1 0U n

Sekundärseite: 2 2 2U n R I

Der Fluss durchsetzt beide Spulen !!

Da alles Wechselgrößen sind, schreiben wir

komplex:

0

1 1 2 2

exp

und

i t i

U i n U i n


16

a) Leerlauf 2 0 I R

dann trägt I2 nicht zum Fluss bei und es gilt

1 1 1 1 10 1 10U n i n L I i L I

Hier ist I10 der primärseitige Leerlaufstrom

und L1 die Induktivität der Primärspule.

Die Phasenverhältnisse entnehmen wir dem

Zeigerdiagramm.

Primärstrom und magnetischer Fluss sind in

Phase. Die Primärspannung läuft dem Fluss

um p/2 voraus. Die Sekundärspannung läuft

dem Fluss um p/2 nach.

Die mittlere Leistungsaufnahme primärsei-

tig verschwindet im Leerlauffall,

Im

Re

1U

10I

2U

10 0P

da sekundärseitig keine Leistung

nachgefragt wird.

b) Belastung 2 0 I

Sekundärseitig wird nun Leistung

nachgefragt (ohmsche Verluste in R)


17

Hier gilt 2

2 in Phase !U

IR

Der sekundärseitige Strom I2 erzeugt je-

doch einen zusätzlichen magnetischen

Fluss in der Sekundärspule in Phase mit I2.

2 2 2Z L I

Dieser Zusatzfluss ist natürlich auch pri-

märseitig vorhanden. Der Gesamtfluss

darf sich aber nicht ändern, da er an die

Primärspannung gebunden ist mit

1 1U n i

Daher muss primärseitig ein Zusatzstrom

fließen, dessen Fluss gerade den Zusatz-

fluss - hervorgerufen durch I2 - kompensiert,

also 1 2Z Z

Im Zeigerdiagramm:

Re

Im

1U

10I

2U2Z

2I

1ZI1Z 1I


18

Der Primärstrom ist damit die vekto-

rielle Summe aus Leerlaufstrom und

Zusatzstrom

1 10 1ZI I I

Zwischen Primärstrom und Primär-

spannung beträgt die Phasenver-

schiebung nun nicht mehr p/2, son-

dern . Auf der Primärseite wird

nun eine mittlere Leistung verschie-

den von Null aufgenommen und

verlustlos an die Sekundärseite

weitergereicht.

1 2 0P P

Sieb- und Filterschaltungen

Übertragungsverhalten eines passiven

Vierpols

4-Pol 1U2U

Definieren Übertragungsfunktion

g() 2

1

( ) komplexe FunktionU

gU

( )g Amplituden Übertragungsfunktion

g() beinhaltet aber auch Phasenbezie-

hung zwischen Eingangs- und Ausgangs-

spannung.

Die Frequenzinhalte eines Zeitsignals

U(t) werden also unterschiedlich über-

tragen. Bei komplexen Abschlussimpedanzen

ist die Argumentation ähnlich.


19 T

U(t)

t

Frage: Was sind die Frequenzinhalte beliebiger Zeitfunktionen ?

Fourieranalyse / Fouriersynthese Antwort: Ein periodisches Zeitsignal (Periodendauer T) kann durch eine

unendliche Summe von Zeitsignalen jeweils einer Frequenz beliebig gut

approximiert werden (diskretes Frequenz-Spektrum).

0

1

( ) cos2

k k k

k

aU t a t

mit der Grundharmonischen

1 1

22 f

T

p p

1k k und den höheren Harmonischen

Für nichtperiodische Zeitfunktionen

geht die Summe in ein Integral über.

Das Frequenzspektrum ist dann konti-

nuierlich ! mehr in PHYSIK III

z.B.


20

Beispiel 1: U(t)

Dreieck-Spannung


21

)sin(4

)(1 ttUp

Fourier-

synthese


22

223

)3sin()sin(

4)(

tttU

p

Fourier-

synthese


23

2235

)5sin(

3

)3sin()sin(

4)(

ttttU

p

Fourier-

synthese


24

Beispiel 2: U(t)

Rechteck-Spannung


25

)sin(4

)(1 ttUp

Fourier-

synthese


26

5

)5sin(

3

)3sin()sin(

4)(3

ttttU

p

Fourier-

synthese


27

9

)9sin(

7

)7sin(

5

)5sin(

3

)3sin()sin(

4)(5

ttttttU

p

Fourier-

synthese


28

Die Frequenzinhalte der Zeitfunktion

können durch Filterschaltungen unter-

schiedlich übertragen werden.

Ideale Filterkurven: 2( )g

0

1

0

1

0

1

0

1

g

g

gu go

gu go

Hochpass

Bandpass

Tiefpass

Bandsperre

Definition der Grenzfrequenzen: 2 1( )

2g

g

Absenkung der übertragenen Leistung

(Quadrat der Amplitude) auf 50% !

Umsetzung in der Praxis:

Grundlage der Realisierung ist der

Spannungsteiler mit komplexen

Widerständen, allgemein

1Z

2Z1 1U U 2 2U U

1I 2I


29

für das unbelastete Netzwerk (I2 = 0)

gilt

2 22 1

1 2 1 2

( )Z Z

U U gZ Z Z Z

Tiefpass

Realisierung 1: RL-Tiefpass

R

L

2

1

( )

1

Li

R RgR i L L

R

2

2 2 2

2 2

1 1( )

1 1g

gL

R

mit g

RL

Für das Quadrat gilt dann:

2( )g

1

g

keine Stufenfunktion, die

Amplitudenübertragungsfunktion

ändert sich nur langsam mit .


30

Realisierung 2: RC-Tiefpass

2 2 2

/ 1( )

/ 1

i C i RCg

R i C R C

R

C

Für das Quadrat gilt dann wieder:

2

22 2 2

2

1 1( )

11

g

gR C

mit 1

gRC

Die Filter- und Phasenkurve ist

identisch zu der des RL-Tiefpasses

Man kann sich auch die Phasendrehung

des Ausgangssignals gegenüber dem Ein-

gangssignal anschauen:

Im ( )tan

Re ( )

g L

g R

2

p

Grenzwerte:

2

00p


31

R

L

2

1

( )

1

Li

i L RgR i L L

R

Hochpass

Realisierung 1: RL-Hochpass

2

2 2

2 2 2

1 1( )

1 1g

gR

L

mit g

RL

Realisierung 2: RC-Hochpass

RC

2

11

( )1

1

iR RCgiR

CRC

2

2

2 2 2 2

1 1( )

11 1

g

g

R C

mit 1g RC


32

Experiment: RC-Hoch- und Tiefpassfilter

Wobbel- generator

Hochpass

Tiefpass

Widerstand

R

Kondensator

C


33

Auch hier sind beide Realisierungs-

möglichkeiten identisch.

Die Amplitudenübertragungs-

funktion nimmt jetzt in der Umge-

bung der Grenzfrequenz zu hohen

Frequenzen hin zu (Hochpass).

Die hier vorgestellten Filter sind ein-

stufig und deshalb sehr unscharf in

ihrem Filterverhalten. Die

Trennschärfe ist sehr schlecht!

Durch Hintereinanderschalten der

Filter kann die Trennschärfe deutlich

gesteigert werden.

......

1U 2U

1 2 n

2

1

( ) ( ) n

ges

Ug g

U

Diese mehrstufigen Filter können weiter

optimiert werden und sind sehr trenn-

scharf.

Vorlesung

ELEKTRONIK


34

Der elektrische RLC-Schwingkreis

Wir betrachten eine Reihenschaltung von

Wechselspannungsquelle und R, L und C

Bauelementen

R CL

Der Schwingkreis soll mit einer Wechsel-

spannung der Frequenz E angeregt

werden. 0( ) ( ) exp EU t U t U i t

Wir setzen wieder in technischer Notation

an und schreiben mit komplexen Größen

0

0

exp

exp

R C L E

E

U U U U i t

QRI LI U i t

C

Wir leiten einmal nach der Zeit ab

und stellen um

0

1expE

E

iRI I I U i t

L LC L

Dies ist die inhomogene DGL des

getriebenen harmonischen Oszil-

lators aus der Mechanik !

Wir ersetzen

2

0

2 Dämpfungskonstante

1 Eigenfrequenz

RL

LC

und erhalten in Analogie zur Mechanik

2

0 02 expEE

iI I I U i t

L


35

Die Lösung der DGL kennen wir und

damit auch das Verhalten des Systems.

Nach der Einschwingzeit sind die Lö-

sungen der homogenen DGL abge-

klungen und das System schwingt nur

noch mit der Frequenz E der von

außen einwirkenden Wechselspannung.

Die Amplitude des Stroms I im RLC-

Reihenkreis ist gegeben durch

0

22 2 2 2

0 E E4

EUI

L

Dies ist der Amplitudenverlauf des

Stroms als Funktion der anregenden

Frequenz

E

Amplitude

E

Phase

Dämpfung klein

Dämpfung mittel Dämpfung groß

Dämpfung klein

Dämpfung mittel

Dämpfung groß


36

2 2

0 E

E

tan2

2

0 2

0

1

Die größte Stromamplitude wird im

Resonanzfall erreicht mit der Frequenz

also bei kleiner Dämpfung in der Nähe der

Eigenfrequenz des Systems. Die Phasen-

verschiebung zwischen anregender

Spannung und Strom folgt zu:

Die Eigenfrequenz des Systems bei

kleiner Dämpfung ist also gegeben

durch 0

1 LC

also durch die kapazitiven und induk-

tiven Anteile der Impedanz.

Beim RLC-Kreis pendelt die Energie

des Systems in der Periodendauer T

zwischen elektrischer Feldenergie im

Kondensator C und magnetischer

Feldenergie in der Spule L hin und

her. L und C übernehmen damit die

Rolle der Masse m als Träger der

kinetischen Energie und der Feder-

konstante k als Träger der potentiel-

len Energie beim mechanischen Os-

zillator. 0 k

m

Der ohmsche Anteil R ist selbstver-

ständlich für die Dämpfung verant-

wortlich.


37

hohe Güte

kleine Güte

2

2

E 0

Güte eines Schwingkreises

Resonanz

2Q

maxI

max / 2I


38

Experiment: Gekoppelte Schwingkreise

1. Schwing-

kreis

2. Schwing-

kreis

Generator Oszillograf nur ein

Kreis

2 Kreise

gekoppelt


39

L L

C1 C0 C0

Im

I1 I2

m m

0

1

C 0

1

C1

1

C

Bei der Kopplung zweier RLC-Schwing-

kreise existieren also zwei Eigenlösungen

in voller Analogie zur Mechanik.

mechanisches Analogon:

Der Strom durch C1 ist gegeben durch

21m III

Aus der Maschenregel folgt daher

1 1 1 210

2 2 2 110

1 10

1 10

I i LI I Ii C i C

I i LI I Ii C i C

Daraus folgt mit der Matrix

0 1 1

1 0 1

1 1 1

1 1 1

i Li C i C i C

i Li C i C i C

M (1) Kopplungskondensator C1


40

02

1

I

IM

Dieses homogene Gleichungssystem

hat nur eine nichttriviale Lösung,

wenn .0det M

2

0 1 1

2

1 0 1

1 1 1

01 1 1

LC LC LC

LC LC LC

Multipliziert man (1) mit i

L

, er-

hält man

Daraus folgt

0111

2

1

2

2

10

2

CLLCLC

Auflösen nach liefert

110

2 111

LCLCLC

Damit erhält man die beiden

Eigenfrequenzen

10

2

0

2 21,

1

LCLCLC

Die Eigenlösungen sind

2

1

1

2

1

1

11

111:

11

111:

I

I

LC

I

I

LC

Gleichtakt

I1 = I2

Gegentakt

I1 = -I2

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