Upload
susanne-schieber
View
102
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Irreduzibilität
Andreas Flesch
Irreduzibilität 2
Motivation
• i. A. beliebig viele Darstellungen derselben Gruppe
• Erhöhung der Dimension des Darstellungsraums => immer größere Darstellungsmatrizen
• zurückführbar auf endliche Zahl von „Grunddarstellungen“?
Irreduzibilität 3
• endliche Gruppe: alle Darstellungen können aus endlicher Zahl „unterschiedlicher irreduzibler“ Darstellungen gewonnen werden
Irreduzibilität 4
Definition
• L invarianter Vektorraum bezüglich Darstellung von G:
GGLrGTLr aa
)(
• T reduzibel: es existiert Teilraum L1 (L10, L1L) und orthogonales Komplement L2 von L, so dass beide invariant unter T sind
Irreduzibilität 5
• wichtig: L2 auch invariant
• andere Lehrbücher: Reduzibilität Vollreduzibilität
• T irreduzibel: es existiert kein solcher Unterraum
Irreduzibilität 6
unitäre Darstellungen
• alle T(Ga) unitär: Invarianz von L1 => Invarianz von L2
• Beweis: ei: Basis von L1, ej: Basis von L2
2
11
)(
0)(,0,)(
0,)(0,)(
LeGT
eGTeeeGT
eeGTeeGT
ja
jaijia
jiajia
Irreduzibilität 7
• Bem.: Darstellungen in der Physik in der Regel unitär (im Folgenden vorausgesetzt)
Irreduzibilität 8
Folgerungen
• Zerlegung von L in invariante und irreduzible Unterräume (nicht eindeutig):
q
qLL
• T(q)(Ga):irreduzible Darstellung von G in Lq
• Achtung: Summe von Operatoren aus verschiedenen Räumen
)(...)()()( )()2()1(a
naaa GTGTGTGT
Irreduzibilität 9
• Darstellungsmatrizen bez. „sortierter“ Basen der Unterräume Lq (Blockdiagonalform):
000
00
0)(0
00)(
)()2(
)1(
a
a
a
GT
GT
GT
)(...)()()( )()2()1(a
naaa GTGTGTGT
• T(q)(Ga) (dim(Lq) dim(Lq))-Matrix
Irreduzibilität 10
• Blockstruktur wird in der Regel erst nach Basiswechsel (Unterräume Lq) erreicht
• Verfahren, invarianten Unterraum zu erzeugen, liefert schließlich auch irreduzible Darstellungen
• Darstellung von Vektoren (Zerlegung in „irreduzible“ Komponenten):
n
qq Lrrr
,
1
Irreduzibilität 11
Beispiel (Gruppe D3)
• R1/2: Rotation in x-y-Ebene um 120° bzw. 240°
Irreduzibilität 12
• eine mögliche Darstellung (L=R3):
100
02
1
4
3
04
3
2
1
)( 1RT
100
02
1
4
3
04
3
2
1
)( 2RT
100
010
001
)( 3RT
100
02
1
4
3
04
3
2
1
)( 4RT
100
02
1
4
3
04
3
2
1
)( 5RT
100
010
001
)( ERT
Irreduzibilität 13
• Darstellung ist reduzibel
• invariante orthogonale Unterräume V1 (x,y) und V2 (z) bilden mit den entsprechenden Teilmatrizen zwei- bzw. eindimensionale Darstellungen von D3
• Darstellung in V2 offensichtlich irreduzibel
• V1 auch irreduzibel, da es keine , gibt, so dass
yxyx eeeeee
**,** 21 Basis von V1 und
312212112 0))(,()())(,()( DReRTeRTeRTeRT aaaaa
(einfacheres Nachweisverfahren folgt später)
Irreduzibilität 14
Äquivalente Darstellungen
• Eigenschaften von Darstellungen folgen aus den irreduziblen Darstellungen
• es existieren unendlich viele irreduzible Darstellungen (vgl. Basiswechsel)
Irreduzibilität 15
• T(Ga) Darstellung von G in L, A Abbildung von L nach L‘ (gleiche Dimension)
1)()( AGATGT aa
• T‘(Ga) Darstellung von G in L‘
• T‘ und T heißen äquivalent
• Beweis: z.B. Elliot & Dawber
• äquivalente Darstellungen bilden eine Klasse
• Maschke‘s Theorem: Jede Klasse äquivalenter Darstellungen für endliche Gruppen beinhaltet unitäre Darstellungen
Irreduzibilität 16
• Beweis: z.B. Elliot & Dawber
• Bem.: gilt häufig auch für physikalisch relevante unendliche Gruppen
• daher Beschränkung auf unitäre Darstellungen
• ist T(Ga) Matrix der Darstellung bezüglich Basis ei und eine neue Basis ei‘ gegeben durch
,ii eAe
Irreduzibilität 17
AGTA a )(1
dann ist T(Ga) bezüglich der neuen Basis gegeben durch:
(äquivalente Matrixdarstellung)
Achtung: Unterschied zu oben, da dort neuer Operator, während hier gleicher Operator bezüglich neuer Basis!
•Eigenschaften wie die Eigenwerte der Darstellungsmatrizen sind für alle Elemente einer Klasse gleich.
Irreduzibilität 18
nicht äquivalente irreduzible Darstellungen
• T, T‘ sind nicht äquivalent, falls es keinen Operator A gibt, so dass gilt:
aaa GAGATGT 1)()(
• äquivalente Darstellungen werden identifiziert (geeignete Basis => Matrizen identisch), daher
)(TmT
Irreduzibilität 19
läuft über nicht äquivalente irreduzible Darstellungen
• m: Häufigkeit
Orthogonalitätsrelationen für irreduzible Darstellungen
Irreduzibilität 21
Motivation
• bisher: Reduktion auf die Analyse nicht äquivalenter irreduzibler Darstellungen
• für diese gelten wichtige Orthogonalitätsrelationen
• entscheidend für charakteristische Eigenschaften von Symmetrien (in der Physik)
Irreduzibilität 22
Schur‘s erstes Lemma
• T(Ga) irreduzible Darstellung von G in L, A Operator in L, Konstante, 1 Einheitsoperator
1*)()( AGGGATAGT aaa
• Wenn A für alle Ga mit T(Ga) kommutiert, ist A ein Vielfaches des Einheitsoperators!
Irreduzibilität 23
Schur‘s zweites Lemma
• T(1)(Ga), T(2)(Ga) seien irreduzible Darstellungen von G in L1 (Dimension s1) bzw. L2 (Dimension s2), A Operator, der Vektoren aus L2 nach L1 transformiert. Dann gilt, falls T(1) und T(2) nicht äquivalent sind:
0)()( )2()1( AGGGATAGT aaa
• Beweise: z.B. Elliot & Dawber
Irreduzibilität 24
Orthogonalitätsrelationen
• betrachte im Folgenden nur identische oder nicht äquivalente irreduzible Darstellungen
• dann zusammenfassende Darstellung der Lemmata möglich
• T()(Ga), T()(Ga) irreduzible Darstellungen von G in L bzw. L, A Operator, der die Vor. der Lemmata erfüllt:
Irreduzibilität 25
,1A wobei
,0 falls T(), T() nicht äquivalent
,1 falls T()=T()
Wähle ),()( 1)()( bbb
GXTGTA
wobei X beliebiger Operator, der Vektoren aus L nach L abbildet.
Irreduzibilität 26
Dann gilt:
),(
)()()(
)())(()(
)()()()(
)()()()(
)(
)(1)()(
)(1)()(
)(1)(1)()(
1)()()()(
a
acc
c
abab
ba
aabb
ba
bb
baa
GAT
GTGTXGT
GTGGXTGGT
GTGTGXTGGT
GXTGTGTAGT
da Gc=GaGb für festes a ganz G durchläuft, wenn Gb ganz G durchläuft
Irreduzibilität 27
Einsetzen in die Lemmata:
g
a
s
m
s
kijijamjkmaik AGTXGT
1 1 1
1)()( )()(
Wähle mqkpkmX
g
aijaqjaip GTGT
1
1)()( )()(
Bestimmung von :
Falls i=j und = gilt, folgt nach Summation über i:
s
i
g
aaqiaip sGTGT
1 1
1)()( )()(
Irreduzibilität 28
g
aijqpaqjaip
qp
g
aqpqp
s
gGTGT
s
g
sgET
1
1)()(
1
)(
)()(
)(
Falls T() unitär ist, folgt:
,)()(1
)()(ijqp
g
aajqaip s
gGTGT
da
Irreduzibilität 29
)))((())(())(()( )()(1)(1)( taaaa GTGTGTGT
• rechte Seite 0 für =,i=j,q=p
• dann:
pis
gGT
g
aaip ,)(
1
2)(
• Mittelwert über die Gruppe: Division durch die Anzahl g der Gruppenelemente
Irreduzibilität 30
• Orthogonalität:
pqijqjpi
gip
ippi
s
gxx
GT
GT
x
),,(),,(
)(
1)(
),,(
*
)(
)(
• gilt nur für irreduzible Darstellungen ( => Test auf Irreduzibilität)
Irreduzibilität 31
• Folgerung: irreduzible Darstellungen von Abelschen Gruppen sind eindimensional
• Beweis: T()(Ga) sei irreduzible Darstellung einer Abelschen Gruppe G, dann gilt:
1)(
,)()()()()()(
)()()()(
aa
baabba
GT
GGGGTGTGTGT
(Schur)
T()(Ga) ist diagonal für alle Ga und somit reduzierbar (Widerspruch!), es sei denn, T()(Ga) hat Dimension 1
Irreduzibilität 32
• Beispiel (D3) (g=6):
T(1): 154321 RRRRRE s1=1
T(2): 1;1 54321 RRRRRE s2=1
T(3):
10
01E
2
1
4
34
3
2
1
1R
2
1
4
34
3
2
1
2R
10
013R
2
1
4
34
3
2
1
4R
2
1
4
34
3
2
1
5R s3=2
D3 hat drei verschiedene irreduzible Darstellungen!
Irreduzibilität 33
• Nun gilt z.B.:
6
1
2)3( ,32
6)]([
aaip piGT
piGTGTa
aaip ,0)()(6
1
)2()3(
0)()(6
1
)2()1( a
aa GTGT
6
1
2)2( 61
6)]([
aaGT
Irreduzibilität 34
Eigenschaften von Darstellungen
• durch Basiswechsel können unendlich viele Darstellungen einer Gruppe erzeugt werden („Ähnlichkeitstransformation“)
• gesucht: von solchen Transformationen unabhängige Eigenschaften
• es existieren diverse solche Eigenschaften (z.B. Eigenwerte der Matrizen)
Irreduzibilität 35
• in der Regel genügt es eine zu betrachten
• besonders nützlich:
Die Spur der Matrix T(Ga) (Summe der Eigenwerte, Summe der Diagonalelemente in beliebiger Basis) (Ga) ist invariant unter Ähnlichkeitstransformationen. Die Menge
GGG aa |)(
heißt Charakter der Darstellung.
Irreduzibilität 36
• Beweis:
kj jaajjkjajk
kjikiajkij
iaiia
aa
s
iaiia
GGTAAGT
AGTAGTG
AGATGT
GTG
,
1
,,
1
1
1
)()())((
)()()(
)()(
)()(
• ebenso haben alle Elemente der gleichen Klasse Cp den gleichen Charakter p
Irreduzibilität 37
• Beweis: Seien Ga, Gb in der gleichen Klasse. Dann gilt Ga=GmGbGm
-1. Dann folgt für beliebige Darstellung T von G:
)()(
)()(
)()()(
)()()(
,
1
1
,,
1
bj
bjj
kjmmkjbjk
mkji
kibjkmij
i imbmiiaiia
GGT
GGTGT
GTGTGT
GGGTGTG
Irreduzibilität 38
Orthogonalität:
pqp
qp
p
n
ppp
c
g
gc
)(*)(
*)(
1
)(
Weiterhin:
2asg
Irreduzibilität 39
Kriterium für Irreduzibilität:
p
pp gc2
lirreduzibe
Irreduzibilität 40
Quellen
• J.P. Elliot, P.G. Dawber, Symmetry in physics, Volume 1, Principles and simple applications, MacMillan, London, 1979
• E. Stiefel, A. Fässler, Gruppentheoretische Methoden und ihre Anwendung, Teubner, Stuttgart, 1979