Preprint Nr. 379

James Gregory und „Konvergenz“ — auf den Spuren zu seinem Algorithmus

Horst Hischer

Saarbrücken 2016

Fachrichtung 6.1 – Mathematik Preprint No. 379 Universität des Saarlandes submitted: May 19, 2016

James Gregory und „Konvergenz“ — auf den Spuren zu seinem Algorithmus

Horst Hischer

Saarland University Department of Mathematics

P.O. Box 15 11 50 66041 Saarbrücken

Germany hischer@math.uni-sb.de

Edited by

FR 6.1 — Mathematik

Universität des Saarlandes

Postfach 15 11 50

66041 Saarbrücken

Germany

Fax: + 49 681 302 4443 e-Mail: preprint@math.uni-sb.de WWW: http://www.math.uni-sb.de/

„Vera circuli et hyperbolae quadra-tura“, Quadratur-verfahren Flächeninhalts-berechnungen

Folge ein- und umbeschriebener regelmäßiger Polygone Eckenanzahlverdoppelung

„in einer für Kreis, Ellipse und Hyperbel gemeinschaftlichen Beweisführung“

Flächeninhalte

Kreisumfang

Approximation des Kreisflächeninhalts

Sektor

Ellipsensektor HyperbelsektorKreis-

flächeninhalts

Sektor eines Kreises

flächeninhalt

umfangs

A B ,C D2AB

A BC D AB

,E F ,C D

„harmonisch-geometrisches Mittel“

A B ,C D

C AB 2BC

B CD

GO 2HOGGH n

2

sin costngsin

2 tng

A nB nC nD n

,E F ,C D

11 1

1

2, ,n n

n n n nn n

a ba a b b

a b

,n na b ( 1)n

nb na 1na

0a OGH

0b OGJH

1 0 0a a b OGLH

1 01

1 0

2a bb

a bOGMNH

Flächen-inhalte multipliziert

Größenverhältnisse Proportionen

BIP zunächstA

Mittelpunkt ABP

BP BF PF F

AF BIP I BI PI

KreissegmentEllipsensegment

Satz 1: Ich behaupte, dass das Trapez BAPI die mittlere Proportionale aus dem Trapez BAPF und dem Dreieck BAP ist.

Punkte LängenFlächeninhalte BAPI Flächeninhalt

Viereck

Beweis

rekonstruiert

Kreissegments Ellipsen-segment

in den Beweisen mathematisch positiv

AF AFBAPF BAPF

BAPI BAP BAPF

Rekonstruktion von Gregorys Beweis von Satz 1 für ein Kreissegment: APFB

AQB APQ FBQ FQP AFBAPF AIB API

AFB APFB

AIB APIBAQB APB

AFB AIB AQBAF AI AQ

: : : :AFB AIB AQB AF AI AQ

APFB APIBAPB AF AI AQ

AQ

: : : :APFB APIB APB AF AI AQ

AB AI2AQ AF AI

: :AQ AI AI AF

: : : :APFB APIB APB AF AI AQ

: :APFB APIB AF AI : :APIB APB AI AQ

: :AQ AI AI AF

: : : :APIB APB AI AQ AF AI APFB APIB

: :APIB APB APFB APIB

APIB : :APFB APIB APIB APB

Wir

Beweisverallgemeinerung für einen Ellipsenabschnitt:APFB

BQ QP'B 'P 'AF

Anmerkungen:

Q FA AI

2AQ AF AI : :AF AI AI AQ

Satz 2: Ich behaupte, dass die Summe der beiden Trapeze APFB und APIB sich zum Doppelten des Trapezes APIB genauso verhält wie das Trapez APFB zum Polygon APLDB .

APIBAPB PAB

umbe-schriebene Polygonsegment APLDB

PAI IAB

Eckenan-zahlverdoppelung n

2n

( ) : (2 ) :APFB APIB APIB APFB APLDB

APLDB

2 APIB APFBAPLDB

APIB APFB

APLDB APIB APFB

Rekonstruktion von Gregorys Beweis von Satz 2 (vgl. Abb. 8): FDI FIL AFB APF AIDB APLI

12

APLI APLDB ALI APL : :ALF ALI AF AI

: :AF AI APFB APIB : :APFB APIB ALF ALI

( ) :APFB APIB APIB

:APF ALI ( ) : :APFB APIB APIB APF ALI

( ) : : :

: :

( ) : ( ) : :

APFB APIB APIB APFB APIB APIB APIB

ALF ALI ALI ALI

ALF ALI ALI ALF APL ALI APF ALI

wir

:APIB APIB

ALI

( ) : (2 ) : (2 ) (2 ) : (4 )

( ) : (2 ( )) :

APFB APIB APIB APF ALI APF ALI

APF AFB APL ALI APFB ABIP

harmo-nisch-geometrisches Mittel

Satz 3: Ich behaupte, dass die Summe aus dem Dreieck BAP und dem Trapez APIB sich zum Trapez APIB genauso verhält wie das Doppelte des Trapezes APIB zum Polygon APLDB .

( ) : (2 ) :BAP APIB APIB APIB APLDB

22 APIB

APLDBBAP APIB

APLDB umbeschriebenen 2neinbeschriebenen n

einbeschriebenen 2n

nba b e u

,n ne u

2n n ne e u

22

22

2 nn

n n

eu

e e

22

2

2 n nn

n n

e uu

e u

wir

Beweis von Satz 3: 2

2 2

2 2

2 2n n n

n n n n

e u e

e u e e2 2 3 2

2 2 2 2 2 2 2 2

3 22 2 2

(2 )( ) 2 ( ) 2 2 2 2

2 2

n n n n n n n n n n n n n n n

n n n n n n n

e u e e e e u e e u e u e e u

e e u e e u e

2nene nu

2nunu ne 2ne

2nu nu2ne 2nu

2nu 2neZwischenergebnis

,n ne u 2n n ne e u2

2 22

2 2

2 2n n nn

n n n n

e u eu

e u e e

EO

4n

: :APLDB APOIEB APOIEB APIB2APIB AIB 2APLDB AIDB

2APOIEB AIEB

2 4 4 2: :n n n nu e e e 4 2 2n n ne e u

4n2n Vermutung

4n4 2

44 2

2 n nn

n n

e uu

e u

4nu

Satz 5: Ich behaupte, dass die Summe des Trapezes APIB und des Polygons APOIEB sich zum Polygon APOIEB genauso verhält wie das Doppelte des Polygons APOIEB zum Polygon APNKGCB .

Satz 4: Ich behaupte, dass das Polygon APOIEB die mittlere Proportionale zwischen dem Polygon APLDB und dem Trapez APIB ist.

, , ,C G K N

4n

( ) : (2 ) :APIB APOIEB APOIEB APOIEB APNKGCB .

22 APOIEB

APNKGCBAPIB APOIEB

24

42 4

2 nn

n n

eu

e e

4n2n 2n

2n

Satz 6: Ich behaupte, dass die Differenz aus dem Dreieck APB und dem Trapez APFB größer ist als die doppelte Differenz aus dem Trapez APIB und dem Polygon APLDB .

APB APFB 2 ( )APFB APB APLDB APIB

,n ne u

12 2 2

( )n n n nu e u e

,n ne ulim limn ne u

Die Folge der Flächeninhalte der dem Kreissegment einbeschriebenen Polygon-segmente konvergiert gegen die Folge der Flächeninhalte der dem Kreissegment umbeschriebenen Polygonsegmente

« Series polygonorum convergens, cujus terminatio est circulus ».

Konvergenzkriterium für Intervallschachtelungen

babylonische Ungleichungskette

0 ( , ) ( , ) ( , )x y x H x y G x y A x y y

,x y ( , )H x y ( , )G x y( , )A x y ,x y

Beweis von Satz 6: n

2 2n n n ne e u u 22 2

2

2( , )n n

n n nn n

e uu H e u

e u

2

22 2 2 2 2 20 ( , ) ( , )

2 2n n

n n n nn n n n n n n n

e e

u e u eu e H e u e A e u e

Kreis-flächeninhalt

harmo-nisch-geometrisches Mittel Kreisumfangsberechnung

n n = 3n = 4 n = 6

n 2nKantenlänge

n

ns nt

Umfang nS ein nT um

n n nS n s n nT n t n ns t n

n nS T

n = 4Ähnlichkeitsbeziehungen

2

21 1 12 2 2

n n

n n n

s t

t t t2

2 212

n n

n n

s s

s t

22 2

12n n ns s t 2

n nn

n n

s tt

s t

n nS n s n nT n t

2 2n n nS S T 22 n n

nn n

S TT

S T

2 2( , )n n nS G S T 2 ( , )n n nT H S T

Polygonumfänge

2n n ne e u2

2 22

2 2

2 2n n nn

n n n n

e u eu

e u e e

2n2n

2n2nn

4n

n

klassische Demonstration

22

22 4

2 4

nn n

n

ss s

s2 2

2

2 4n

nn

tt

t

2ns

2nsn 0

24 ns0 2

ns4 24 2ns 2 0ns

2ns

15410numfangs 2 r

flächeninhalts 2r

n nS n s n nT n t 1r

1 12 2

lim limn nS T

Flächeninhalt

,n ne u

Viertelkreis1r 4 ne 4 nu

lim 4 lim 4n ne u

0 2kn n 0n k

„Vera Circuli Et Hyperbolæ Quadratura“

„James Gregorys frühe Schriften zur Infinitesimalrechnung“

„Geometria“

„dem Leser das Eindringen in seine Gedankengänge nicht gerade leicht macht“

„Vera Circuli Et Hyperbolæ Quadratura“„Theorie der konvergenten Doppelfolgen und deren Anwendung auf den Sektor ei-nes Mittelpunktkegelschnitts“

0 1 2 2 1 0a a a b b b

„nach Konstruktion strebt n nb a gegen Null“

„GREGORY die allgemeine Theorie konvergenter Doppelfolgen“

10

1

d log10xx

20 20,a b

„Satz von Gregorius a Sancto Vincentio“

Satz von Gregorius

:s c d:p c b

a d a b b d c d c b s p

The Origins of the Infinitesimal C

A History of MathematicsVorlesungen über Geschichte der Mathematik

Vorlesungen über Geschichte der Mathematik

On James Gregory’s Vera Quadratura

Die Elemente. Buch I – XIII

Opus geometricum quadraturae CirculiVera Circuli Et Hyperbolæ Quadratura

Vera Circuli Et Hyperbolæ Quadratura, Cui Accedit Geometria Pars Universalis In-seruiens quantitatum Curvarum transmutationi & mensuræ

Grundbegriffe der Analysis. Genese und Beispiele aus didaktischer Sicht

Materialien zum AnalysisunterrichtDer Mathematik-

unterricht

CentaurusArchimedes, Huygens, Lambert, Lengendre. Vier Abhandlungen über

die Kreismessung, mit einer Übersicht über die Geschichte des Problemes von der Quadratur des Zirkels, von den ältesten Zeiten bis auf unsere Tage versehen

James Gregorys frühe Schriften zur Infinitesimalrechnung

James Gregory Tercentenary Memorial Volume