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Sinus, Kosinus, Tangens Fertige Unterrichtsstunden zur Trigonometrie Downloadauszug aus dem Originaltitel: Johanna Harnischfeger (Hg.), Heiner Juen (Hg.) Nach der Lernmethodik von Dr. Heinz Klippert Mathematik Strahlensätze Trigonometrie fe 9 / 10

Johanna Harnischfeger (Hg.), Heiner Juen (Hg.) Sinus ... · Sinus, Kosinus, Tangens Fertige Unterrichtsstunden zur Trigonometrie Downloadauszug aus dem Originaltitel: Johanna Harnischfeger

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Sinus, Kosinus, TangensFertige Unterrichtsstunden zur Trigonometrie

Downloadauszug aus dem Originaltitel:

Johanna Harnischfeger (Hg.), Heiner Juen (Hg.)

› Bedingungen für die Ähnlichkeit ebener Figuren erkennen und

anwenden

› Ähnliche Figuren identifizieren

› Seitenlängen vergrößerter und verkleinerter Flächen berechnen

› Ähnlichkeitsfaktor für maßstäbliche Konstruktionen benutzen

› Strahlensätze zur Lösung von Problemen nutzen

› Mathematische Argumentation entwickeln

› Auf andere sachgerecht eingehen

› Dreiecke zur Problemlösung skizzieren

› Winkel und Längen in rechtwinkligen Dreiecken mithilfe von

Sinus, Kosinus, Tangens berechnen

› Sinus- und Kosinussatz für beliebige Dreiecke nutzen

› Das eigene Können kritisch überprüfen

Mithilfe dieses Heftes trainieren Sie mit

Ihren Schülern folgende Kompetenzen:

Nach der Lernmethodik

von Dr. Heinz Klippert

Geeignet für die markierten

Klassenstufen und Schulformen:5 6 7 8 9 10

Hauptschule

✓ ✓

Realschule

✓ ✓

Differenzierende Schulformen

✓ ✓

Gymnasium

✓ ✓

ISBN 978-3-403-09163-9

www.klippert-medien.de

Mathematik› Strahlensätze

› Trigonometrie

Sekundarstufe 9 / 10

Kopiervorlagen

9 783403 09 1

639

09163_Mathematik_Strahlensätze_KV.indd 1

17.12.14 12:53

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Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im eigenen Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen schulweiten Einsatz und Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte (einschließlich, aber nicht beschränkt auf Kollegen), für die Veröffentlichung im Internet oder in (Schul-)Intranets oder einen weiteren kommerziellen Gebrauch. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages. Verstöße gegen diese Lizenzbedingungen werden strafrechtlich verfolgt.

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Trigonometrie

Klippert bei KlettZeitgemäß unterrichten

LS04

Zeit Lernaktivitäten Material Kompetenzen

1 PL 10’ S hören aktiv dem foliengestützten Lehrervortrag zur Definition von Sinus, Kosinus und Tangens zu

M1 – mathematikhaltigen Vortragverstehen/aktiv zuhören

– mathematische Sachverhalteschriftlich ausdrücken/visuali-sieren

– in angemessener Fachsprachekommunizieren

– mathematische Sachverhaltepräsentieren

2 EA 5’ S gestalten Spickzettel zum Lehrervortrag mit max. 20 Wör-tern sowie unbegrenzter Anzahl an Symbolen und Skizzen

M2.A1, Spickzettel

3 PA 10’ S erklären sich gegenseitig anhand ihres Spickzettels die wesentlichen Inhalte des Lehrervortrages

4 GA 15’ S stellen sich gegenseitig den Inhalt des Lehrervortrags vor und ergänzen sich; S gestalten ein gemeinsames Lernproto-koll auf Folie

Folien, Folienstifte, M2.A2

5 PL 10’ Präsentation des Lernprotokolls; Korrekturen und Ergänzungen vornehmen

Overhead-projektor

6 EA 5’ S übernehmen das Lernprotokoll ins eigene Schulheft

Lehrerdarbietung–Sinus,KosinusundTangens

ErläuterungenzurLernspirale

IndieserLernspirale lernen die S Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels als Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck kennen.

ZumAblaufimEinzelnen1. Arbeitsschritt: S hören dem foliengestütztenLehrervortrag aufmerksam zu, fertigen allerdingskeine Notizen an. Das aktive und konzentrierteZuhören und Aufnehmen neuer Informationen sollsomit trainiert werden.2. Arbeitsschritt: Erst nach dem Vortrag notieren Saus ihrer Erinnerung heraus wichtige Informationenmit Wörtern, Symbolen und Zeichnungen auf demSpickzettel.3. Arbeitsschritt: Mit dem Sitznachbarn werden dieInhalte geklärt und ergänzt, um Verständnisfehlerzu minimieren.

4. Arbeitsschritt: Nach zweimaligem gegenseitigenErklären des Lehrervortages gestalten die S eineansprechende Folie, die alle wichtigen Informati-onen des Lehrervortrags enthält.5. Arbeitsschritt: Zwei oder drei ausgeloste Grup-pen präsentieren die Inhalte ihrer Folien. ImAnschluss können die Gruppen notierte Fehler aufihrer Folie korrigieren.6. Arbeitsschritt: Nach der Überprüfung der Folien-notizen gestalten die S ein eigenes Lernprotokollim Schulheft. Hier können sie zusätzliche Erklä-rungen und Ergänzungen vornehmen, die den indi-viduellen Verständnisprozess unterstützen.

Notizen:

Merkposten

Die S können auch statt der Partnerarbeit den Inhalt des Lehrervortrags in einem Doppelkreis erklären. Erfahrungs-gemäß finden die S diese Methode abwechslungsreich.

1

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Trigonometrie LS04.M1

Folienvorschlag:Sinus,KosinusundTangens

Ihrwisstbereits: Rechtwinklige Dreiecke, die in einem weiteren außer dem rechten Winkel übereinstimmen, stimmen in allen drei Winkeln überein. Solche Dreiecke sind ähnlich zuein-ander.

Sinus:In ähnlichenrechtwinkligenDreieckenABC (c = 90°) hat der Quotient

a

_ c = Länge der Gegenkathete von a

  ______________________ Länge der Hypotenuse (a Þ 90°) denselben Wert.

Egal, wie groß das Dreieck ist!

Diesen Wert nennt man Sinusvona. Man schreibt sin a =a_c.

Dieser Wert hängt nur von der Größe des Winkels a ab.

Entsprechendes gilt auch für den zweiten spitzen Winkel b:

sin b = b

__ c = Länge der Ankathete von b

   ___________________ Länge der Hypotenuse (b Þ 90°)

Kosinus:In ähnlichenrechtwinkligenDreieckenABC (c = 90°) hat der Quotient

b

__ c = Länge der Ankathete von a

   ___________________ Länge der Hypotenuse (a Þ 90°) denselben Wert.

Egal, wie groß das Dreieck ist!

Diesen Wert nennt man Kosinusvona. Man schreibt cos a=b__c.

Dieser Wert hängt nur von der Größe des Winkels a ab.

Entsprechendes gilt auch für den zweiten spitzen Winkel b:

cos b =a_c =

Länge der Ankathete von b   ___________________ Länge der Hypotenuse (b Þ 90°)

Tangens:In ähnlichenrechtwinkligenDreieckenABC (c = 90°) hat der Quotient

a

__ b = Länge der Gegenkathete von a

   ______________________ Länge der Ankathete von a    (a Þ 90°) denselben Wert.

Egal, wie groß das Dreieck ist!

Diesen Wert nennt man Tangensvona. Man schreibt tan a =a__b.

Dieser Wert hängt nur von der Größe des Winkels a ab.

Entsprechendes gilt auch für den zweiten spitzen Winkel b:

tan b =b__a=

Gegenkathete von b  _______________ Ankathete von b    (b Þ 90°)

aA c

C

Bb

b a

aA c

C

Bb

b a

aA c

C

Bb

b a

2

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TrigonometrieLS04.M2

04 Sinus,KosinusundTangens

A1

Formuliere die wichtigsten Informationen aus dem Lehrervortrag auf einem Spickzettel. Verwende maximal 20 Wörter. Zeichnungen und Symbole darfst du beliebig viele verwenden.

A2

Gestaltet in eurer Gruppe ein Lernprotokoll auf der bereitliegenden Folie. Beachtet folgende Richtlinien:

– Die Folie besitzt eine Überschrift, die zum Vortrag passt.

– Vermeidet fachliche Fehler.

– Die Schriftgröße und alle verwendeten Farben sind zum Projizieren geeignet.

– Beachtet die korrekte Rechtschreibung.

– Alle Skizzen sind deutlich zu erkennen sowie vollständig und richtig beschriftet.

– Alle schriftlichen Informationen sollen so kurz wie möglich, dennoch richtig undvollständig sein.

Spickzettel:

3

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Trigonometrie

Klippert bei KlettZeitgemäß unterrichten

LS05

Zeit Lernaktivitäten Material Kompetenzen

1 PL 10’ S nennen alle trigonometrischen Beziehungen (Sinus, Kosinus und Tangens) zu der vorgegeben rechtwinkligen Dreiecks-skizze einer Karteikarte (Karteikartenvorlage Rückseite);Anschließend wird die Karteikartenvorderseite aufgedeckt und der Arbeitsauftrag erläutert: Gestaltung von mindestens 3 Karteikarten zu den trigonometrischen Beziehungen

M1 (auf Folie) – mathematische Sachverhalteschriftlich darstellen

– mit vertrauten Formelnumgehen

– kommunizieren: Fachspracheadressatengerecht verwenden

– aktiv zuhören und auf Äuße-rungen von anderen eingehen

– visualisieren: Karteikartensachangemessen gestalten

– mit Fehlern konstruktivumgehen

2 EA 15’ S gestalten Karteikarten zu den Sinus-, Kosinus und Tangens-verhältnissen in rechtwinkligen Dreiecken

Karteikarten

3 PA 10’ Die Karteikartengestaltung wird verglichen, ggf. korrigiert

4 PA 10’ Anwendungen der Sinus-, Kosinus-, Tangensverhältnisse im Doppelkreis

5 PL 5’ Fragen und Probleme werden gemeinsam geklärt

Sinus,KosinusundTangensanwenden

ErläuterungenzurLernspirale

IndieserLernspirale geben die S Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels jeweils als Seitenver-hältnis eines rechtwinkligen Dreiecks an.

ZumAblaufimEinzelnen1. Arbeitsschritt:Erste Sinus, Kosinus- und Tangens-beziehungen werden im Klassengespräch von ein-zelnen S erklärt. Zusätzlich sollten im Tafelbildrechtwinklige Dreiecke in verschiedenen Lagen dar-gestellt werden. Im Anschluss wird diese Folie alsMusterbeispiel für die Karteikartenbeschriftungherangezogen.2. Arbeitsschritt: Die S können ihrem Niveau ent-sprechend Aufgabenstellungen konzipieren. Somitwerden Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkelsnoch intensiver verankert.

3. Arbeitsschritt: Der Vergleich der erarbeitetenAufgabenstellungen auf den Karteikarten miteinem Partner ist notwendig, um Fehlerquellenauszuräumen.4. Arbeitsschritt: Sollte die Anzahl der S für denDoppelkreis ungerade sein, kann auch ein Trio (zweiS im Außenkreis sind einem S im Innenkreis zuge-ordnet) integriert werden. Je nach Übungsbedarfkann diese Phase durch mehrmaliges Wechseln ver-längert werden. Partner, die im Arbeitsschritt 3 ihreKarteikartengestaltung miteinander verglichenhaben, sollten entweder beide im Innen- oder beideim Außenkreis sitzen, damit sie nicht auf bekanntesAufgabenmaterial stoßen.5. Arbeitsschritt: Aufgetretene Probleme aus derPA-Phase im Doppelkreis können aufgegriffen undgemeinsam geklärt werden.

Notizen:

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TrigonometrieLS05.M1

BeispielfüreineKarteikarte:Vorderseite:

sin b = ___  = ___  cos c = ___  = ___  cos b = ___  = ___  tan c = ___  = ___

ist Hypotenuse; ist Ankathete von c

c_a= c__b=

Rückseite:

sin b = b__a cos c = b__

a cos b = c _a tan c = c __ b

a ist Hypotenuse; b ist Ankathete von c

c_a=cos b oder c_a = sin c; c__b= tan c

B

a

A

Cc

c

bb

B

a

A

Cc

c

bb

Finde Aufgaben zum Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels. Gestalte je eine Aufgabe (beschriftetes Dreieck mit zu ergänzenden Verhältnisgleichungen) auf einer Karteikarte. Auf der einen Seite formulierst du eine Aufgabe, die ein Mitschüler lösen soll. Auf der anderen Seite notierst du dieselbe Aufgabe nun mit vollständiger Lösung. Fertige nach diesem Muster mindestens drei Karteikarten an.

Seitenverhältnisse

"

5

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Trigonometrie

Klippert bei KlettZeitgemäß unterrichten

LS06

Zeit Lernaktivitäten Material Kompetenzen

1 PA 20’ S bearbeiten die Aufgaben M1.A1 und M1.A2 Sie lesen den Informationstext, finden zum dargestellten Winkel die Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte am Einheitskreis, zeichnen wei-tere Winkel ein, lesen die zugehörigen Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte ab und tragen diese in die Tabelle ein; In M1.A2 bestimmen sie anhand vorgegebener Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte die zugehörigen Winkelgrößen

M1.A1

M1.A2

– mathematisch argumentieren– mathematikhaltigen Texten

Informationen entnehmen– Informationen aus nicht

vertrauten Darstellungen(Einheitskreis) lesen und damitarbeiten

– Ergebnisse und Lösungswegebeschreiben, vergleichen undbegründen

– Ergebnisse und Lösungswegeverständlich darstellen

2 GA 10’ S stellen sich gegenseitig ihre Lösungsansätze vor und korrigieren ggf.

3 EA +

GA

12’ S bearbeiten die Aufgabe M1.A3: Sie begründen verschiedene Zusammenhänge am Einheitskreis;Begründungen und Antworten zu den Aufgaben werden berichtet und ergänzt

M1.A3

4 PA 10’ S bearbeiten Aufgabe M1.A4 und A5, in denen die Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte sowie die Winkelgrößen mithilfe des Taschenrechners bestimmt werden

M1.A4 bis A5

5 GA 8’ Lösungen werden verglichen und korrigiert

6 GA 15’ Vorbereitung eines Tafelvortrages zu drei Teilthemen aus den bearbeiteten Aufgaben M1.A1 bis A5.

M1.A6,M1.A1 bis A5

7 Pl 15’ Präsentation der drei Teilgebiete Tafel, Plakat mit Einheits-kreis

Sinus,KosinusundTangensamEinheitskreis

ErläuterungenzurLernspirale

IndieserLernspirale lernen die S Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte am Einheitskreis kennen. Die Berechnung der Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte mit dem Taschenrechner wird entdeckt und einge-übt.

ZumAblaufimEinzelnen1. Arbeitsschritt: In PA (vgl. Randbemerkung) wirdder Zusammenhang zwischen einer Winkelgrößeund den zugehörigen Sinus-, Kosinus- und Tangens-werten am Einheitskreis selbst entdeckt. Das Fin-den dieser Werte wird durch die gegebenen Sinus-,Kosinus- und Tangenswerte des 40° Winkels ermög-licht. Hinweis an die S: Das Einzeichnen der sechsWinkelgrößen in den Einheitskreis sollte zwischenden beiden Partnern aufgeteilt werden.2.Arbeitsschritt:In Vierergruppen werden Lösungender Aufgaben verglichen und Probleme geklärt.Gruppenbildung: Je vier S mit den Zahlen 1, 1, 2, 2 /3, 3, 4, 4 etc. gehen zusammen.3. Arbeitsschritt: In den Gruppen bearbeitet jeder Szwei Aufgaben zunächst in EA. Keine Aufgabe wirddoppelt bearbeitet. Anschließend werden die Ant-worten gegenseitig vorgetragen und ggf. ergänzt

und korrigiert. Jeder S trägt die Antworten aller Auf-gaben stichwortartig auf dem Arbeitsblatt ein. 4. Arbeitsschritt: Um unterschiedliche Taschenrech-ner zu berücksichtigen, erfolgt der Hinweis: Im Dis-play des TR muss DEG oder D stehen. Partnerfin-dung: Aus den alten Gruppen arbeiten nun die Smit den Zahlen 1 und 2 sowie 3 und 4 usw. in neuerPartnerschaft zusammen.5. Arbeitsschritt: In den bestehenden Gruppen ausArbeitsschritt 2 werden die Ergebnisse vergl ichenund der Umgang mit dem TR erläutert.6. Arbeitsschritt: Für die Vorbereitung der Präsen-tation werden neue Vierergruppen gebildet: Die Sgehen so zusammen, dass die Summe ihrer vierZahlen 30 (bzw. bei gerader Schülerzahl Klassen-stärke + 2) ergibt und jeweils zwei Summandengleich sind: 1 + 1 + 14 + 14; 2 + 2 + 13 + 13; etc. DieTeilgebiete werden doppelt bzw. dreifach ausge-teilt.7. Arbeitschritt: Für die Präsentation ist es hilfreich,wenn eine Skizze vom Einheitskreis auf einem Pla-kat an der Tafel hängt. Eine Gruppe pro Teilgebietpräsentiert per Losentscheid, die Parallelgruppenergänzen jeweils.

Merkposten

Tipp: Ggf. bietet sich hier auch der Bau einer trigonome-trischen Scheibe an.

Partnerbildung:

Die Schüleranzahl wird durch 2 dividiert. Bei einer Klassenstär-ke von 28 Schülern wird zweimal bis 14 gezählt, sodass immer zwei S dieselbe Zahl haben. Die S mit derselben Zahl gehen jeweils zusammen.

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TrigonometrieLS06.M1

06 SinusundCo.amEinheitskreis

Mithilfe des sogenanntenEinheitskreises(Radiusr=1) kannst du die Werte von Sinus, Kosinus und Tangens eines eingezeichneten Winkels näherungsweise ablesen. Das einge-zeichnete rechtwinklige Dreieck mit dem Winkel a = 40° hat die Hypotenusenlänge von 1 (üblicherweise nimmt man 1dm). Da am Einheitskreis die Hypotenusenlänge immer den Wert 1 hat, können die Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte eines Winkels a sehr leicht bestimmt werden.

A1

a) Überlege: Wo kannst du in den unten dargestellten rechtwinkligen Dreiecken ABC bzw. AB’C’mit a = 40° im Einheitskreis den Sinus- , den Kosinus- und den Tangenswert ablesen? Mar-kiere im Schaubild und beschrifte mit sin a , cos a und tan a. Begründe!

b) Zeichne rechtwinklige Dreiecke mit den in der Tabelle angegebenen Winkeln und der Hypotenusenlänge 1 dm in den Einheitskreis (1. Quadrant) ein.

Beachte:

An diesem Einheitskreis können die Tangenswerte nur ungefähr bis zu einem Winkel von 45° abgelesen werden.

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Trigonometrie LS06.M1

c) Lies die Kosinus-, Sinus- und Tangenswerte für die eingezeichneten Winkel aus dem Einheits-kreis ab und trage sie wie das aufgeführte Beispiel in die Tabelle ein (grau unterlegte Felder).

Winkela AbgeleseneKoordinaten-längenxa≈ …

TR

AbgeleseneKoordinaten-längenya≈ …

TR

AbgeleseneKoordinaten-längenta≈ …

TR

40° 0,77 0,64 0,84

15°

23°

67°Kann hier nicht

abgelesen werden

82°Kann hier nicht

abgelesen werden

A2

Bestimme durch Ablesen im ersten Quadranten des Einheitskreises die Winkel a, deren Sinus-, Kosinus- oder Tangenswerte angegeben sind. Runde auf eine Stelle hinter dem Komma.

A3

Notiere Antworten und Begründungen in kurzen Stichworten.

a) Was kann man über cos a sagen, wenn sicha immer mehr dem Wert 0° annähert?

Antwort:

b) Was kann man über sin a sagen, wenn sicha immer mehr dem Wert 90° annähert?

Antwort:

sina=0,3

a ≈

cosa=0,4

a ≈

tana=0,8

a ≈

sina=0,7

a ≈

Am Einheitskreis können anhand der Sinus-, Kosinus- oder Tangenswerte auch die zugehö-rigen Winkel abge-lesen werden.

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TrigonometrieLS06.M1

c) Was kann man über tan a sagen, wenn sicha immer mehr dem Wert 0° annähert?

Antwort:

d) Was kann man über cos a sagen, wenn sicha immer mehr dem Wert 90° annähert?

Antwort:

e) Begründe, warum für das rechtwinkligeDreieck ABC im Einheitskreis gilt:c=cos a (siehe Skizze am Rand!)

Begründung:

f) Für welche Winkelgrößen von a ergebensich keine Dreiecke mehr? (siehe Skizze!)

Antwort:

g) Kein Sinus- oder Kosinuswert ist größer als1. Begründe am Einheitskreis.

Begründung:

h) Begründe am Einheitskreis:(sin a)² + (cos a)² = 1

Begründung:

aA B

C

b

c

a

1

1

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Trigonometrie LS06.M1

A4

Mit einem Taschenrechner lassen sich die Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte eines Winkels durch einfache Tastenkombination bestimmen. a) Probiere die Beispiele aus der Tabelle mit deinem Taschenrechner aus. Mit den abgelesenen

Kosinus-, Sinus- und Tangenswerten aus dem Einheitskreis kannst du deine Eingabe über-prüfen.

b) Bestimme zu den Winkeln aus der Tabelle in A1 c) die Kosinus-, Sinus- und Tangenswerte mitdeinem Taschenrechner (in den Spalten TR) und vergleiche sie mit den abgelesenen Werten.

Beispiele Eingabe Tastenfolge Ausgabe

sin 40° 0,642 787 609…

cos 40°

tan 40°

A5

Mit einem Taschenrechner kannst du auch zu jedem Sinus-, Kosinus- und Tangenswert im Intervall von 0° ≤ a < 90° eindeutig den dazugehörigen Winkel bestimmen. Probiere die Beispiele aus der Tabelle mit deinem Taschenrechner aus. Vergleiche mit den Werten aus der Tabelle in A1 c). Runde auf eine Stelle hinter dem Komma genau.

Beispiele Eingabe Tastenfolge Ausgabe GerundeterWert

sin a = 0,642 79

cos a = 0,990 26

tan a = 1,376 38

A6

Bereitet in eurer Gruppe einen kleinen Tafelvortrag vor, indem ihr aus dem Aufgabenpool A1 bis A5 ein Teilgebiet herauszieht, um es den anderen Mitschülern verständlich zu präsentieren. Der Vortrag sollte sowohl die Aufgabenstellungen als auch die Lösungen der Aufgaben mit verständlichen Erklärungen beinhalten. Der Vortrag darf nicht länger als 5 Minuten dauern.

ZurAuswahlstehen:a) Teilthema1:A1undA2

Das Ablesen der Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte sowie umgekehrt der Winkelgrößen amEinheitskreis

b) Teilthema2:A3Verschiedenste Beziehungen am Einheitskreis.

c) Teilthema3:A4undA5Bestimmung der Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte und umgekehrt der Winkelgrößen mitdem Taschenrechner.

Am Einheitskreis können Sinus-, Kosinus- und Tangens-werte einfach abgelesen werden.

Die Tangenswerte lassen sich zusätzlich durch eine Division der Sinus- durch die Kosinus-werte ermitteln.

Beachte: (cos 90° ≈ 0)

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Trigonometrie

Klippert bei KlettZeitgemäß unterrichten

LS07

Zeit Lernaktivitäten Material Kompetenzen

1 PA 5’ S wiederholen Seitenverhältnisse und Winkelfunktionen zu Skizzen von rechtwinkligen Dreiecken

Schüler- Karteikarten aus LS 05

– vorgegebene Lösungswegeverstehen und erklären

– Fachsprache adressatengerechtverwenden

– Lösungswege verständlichdarstellen/visualisieren

– mit Formeln/Gleichungenumgehen

– Lösungswege verständlichpräsentieren

2 EA 10’ S lesen den Informationstext und vollziehen die Muster-lösung zur Berechnung der Seitenlängen und Winkelgrößen von Dreiecken nach

M1.A1

3 PA 5’ S erklären sich gegenseitig die einzelnen Schritte der Muster-lösung und klären offene Fragen

4 GA 15’ S erklären sich gegenseitig die einzelnen Schritte der Muster-lösung

5 PA 10’ S erarbeiten jeweils eine neue Musterlösung mit einer Skizze und Teilrechnungen.

M1.A2 (Kurzlö-sungen: M2)

6 GA 20’ S stellen sich gegenseitig ihre Musterlösungen vor; sie eini-gen sich auf eine Musterlösung, formulieren diese anschau-lich auf einem Plakat und üben eine Stafetten-Präsentation ein

Plakate, Marker

7 PL 10’ Stafettenpräsentationen zu den vier Musterlösungen; die präsentierende Gruppe wird ausgelost; die nicht ausgeloste Gruppe darf anschließend ergänzen

8 PA bel. S bearbeiten die Aufgaben M1.A3 bis A6 M1.A3 bis A6

9 GA 10’ S kontrollieren in ihrer Gruppe die Lösungen und Rechen-wege der bearbeiteten Aufgaben; klären aufgetretene Probleme

M2 (Kurz-lösungen)

10 PL 5’ Fragen und Probleme werden geklärt

Musterlösungenverstehenundanwenden

ErläuterungenzurLernspirale

IndieserLernspirale verstehen die S eine vorgege-bene Musterlösung und übertragen den Lösungs-weg auf andere Aufgaben.

ZumAblaufimEinzelnen1.Arbeitsschritt: Zum Einstieg wiederholen die S in PAdie Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck anhandihrer selbst gestalteten Karteikarten aus LS 05. 2.Arbeitsschritt: Das eigenständige Nachvollzieheneiner vorgegebenen Musterlösung in M1.A1 gibt dieVerantwortung an den Lernenden weiter, der sich inseinem eigenen Tempo Lösungswege erschließt.3. Arbeitsschritt: Verständnisprobleme werden inPA geklärt.4. Arbeitschritt: Beim wiederholten Erklären derRechenschritte schleifen sich Fachsprache und For-malien verstärkt ein.5. Arbeitsschritt: Für M1.A2 können die Aufgabenden Tandems per Los zugeteilt werden. Zu jeder

Aufgabe sind alternative Lösungen möglich, z. B. durch Verwendung des Winkelsummensatzes oder des Satzes des Pythagoras. 6. Arbeitsschritt: Gute Argumentationsmöglichkei-ten bieten sich bei der Darstellung verschiedenerRechenwege in der Vierergruppe an.7. Arbeitsschritt: Jede Aufgabe wird einmal präsen-tiert. Jeder präsentiert eine Teilrechnung.Je nach Klassengröße werden die einzelnen Auf-gaben an zwei oder mehrere Gruppen vergeben.8. Arbeitsschritt: Bearbeiten der Aufgaben M1.A3bis A6 in PA. Die Aufgabenauswahl kann aus zeit-lichen Gründen eingeschränkt werden.9. Arbeitsschritt: Die Schülerlösungen können nachinterner Gruppenkontrolle mit den ausliegendenLösungen (M2) verglichen werden.10. Arbeitsschritt: Verständnisprobleme, die in derGruppe nicht gelöst werden konnten, werden im PLgeklärt.

Merkposten

Die ausgelosten Partner- und Gruppen-zuordnungen bleiben während der gesam-ten Lernspirale erhalten.

Partnerfindung:rote Buben (Herz, Karo); schwarze Buben (Pik, Kreuz); rote Könige, etc. gehen zusammen.

Gruppenbildung:Alle Buben; alle Könige, alle Asse, etc. gehen in eine Gruppe.

Je nach Klassengröße werden die einzelnen Aufgaben an zwei oder mehrere Gruppen vergeben.

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Trigonometrie LS07.M1

07 BerechnungenamrechtwinkligenDreieck

A1

a) Einzelarbeit: Lies die Information und vollziehe die Beispielrechnung ganz gründlich nach.Markiere in der Beispielrechnung die Schritte, die du noch nicht ganz verstanden hast.

Information:Mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens lassen sich alle fehlenden Seitenlängen und Winkelgrößen in rechtwinkligen Dreiecken berechnen, wenn neben dem rechten Winkel gegeben sind:– Länge einer Kathete und die Größe eines spitzen Winkels oder– die Länge der Hypotenuse und die Größe eines spitzen Winkels oder– die Längen beider Katheten oder– die Länge der Hypotenuse und einer Kathete.Kennt man zwei Seitenlängen, hilft der Satz des Pythagoras weiter, kennt man zweiWinkelgrößen, der Winkelsummensatz im Dreieck.

Beispielrechnung(Musterlösung):gegeben: Länge einer Kathete und eine Winkelgröße: b = 7,8 cm; a = 36° (c = 90°)gesucht: die Länge der Kathete a; Länge der Hypotenuse c; Winkelgröße b

Fertige zunächst eine Skizze an:

Rechnung (ohne Maßeinheiten):

cos a = b_c

c = b ____ cos a   = 7,8 _____ cos 36°

c≈9,64cm

tan a = a __ b

a = b · tan a

a = 7,8 · tan 36°

a≈5,67cm

a + b = 90° (Winkelsummensatz im Dreieck)

b = 90° – a

b = 90° – 36°

b=54°

b) Partnerarbeit: Erklärt euch gegenseitig die einzelnen Schritte der Musterlösung,klärt hierbei die offenen Fragen

c) Gruppenarbeit: Erklärt euch gegenseitig die Musterlösung. Jedes Gruppenmitgliedübernimmt eine Teilrechnung. Ziel dieser Gruppenarbeit ist, dass jede Schülerin und jederSchüler in eurer Gruppe die Musterlösung verstanden hat und sie erklären kann.

Wenn du nicht mehr weißt, was der Winkelsum-mensatz im Dreieck ist, schlage nach oder informiere dich im Internet.

Die Ergebnisse für die Seitenlängen kannst du mit dem Satz des Pythagoras überprüfen.

Alle Dreiecksanga-ben beziehen sich auf diese Dreiecks-skizze.

A c

C

B

b a

aA

C

b

b a

c

12

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TrigonometrieLS07.M1

A2

Erarbeitet eine neue Musterlösung für einen der folgenden Aufgabentypen.

HypotenuseundWinkelGegeben: Hypotenusenlänge c = 10 cm und ein spitzer Winkel b = 48°

HypotenuseundKatheteGegeben: Hypotenusenlänge c = 11,6 cmund die Kathetenlänge a = 7,9 cm

KatheteundKatheteGegeben: Kathetenlänge a = 6,9 cm und die Kathetenlänge b = 8,4 cm

KatheteundWinkelGegeben: Kathetenlänge b = 7,4 cm und ein spitzer Winkel b = 63°

a) Partnerarbeit: Berechnet alle fehlenden Seiten und Winkel für die zugeloste Aufgabe. Notiertdie Aufgabenstellung mit einer Skizze und Teilrechnungen wie in der Beispielrechnung.

b) Gruppenarbeit: Erklärt euch gegenseitig eure Lösungen und korrigiert sie ggf. Gestaltetanschließend ein Plakat mit eurer Musterlösung. Beachtet folgende Kriterien:– Überschrift: „Berechnungen im rechtwinkligenDreieck“– Anschauliche und vollständig beschriftete Dreiecksskizze, in der gegebene und gesuchte

Größen farblich unterschiedlich hervorgehoben sind.– Geeignete Schriftgröße und leserliches Schriftbild; korrekte Rechtschreibung

Bereitet in der Gruppe einen Stafettenvortrag vor.

A3

Berechne zu den Dreiecken in der Randspalte die fehlenden Seitenlängen und Winkelgrößen. Runde das Ergebnis immer auf 1 Stelle nach dem Komma.

A4

Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit den Kathetenlängen a = 3,6 cm und b = 4,8 cm. a) Miss aus der Zeichnung die Hypotenusenlänge c.b) Berechne die Hypotenusenlänge c mit dem Satz des Pythagoras und vergleiche.c) Miss mit dem Geodreieck die Winkelgrößen für a und b in ganzen Grad aus.d) Berechne diese Winkelgrößen auf zwei Nachkommastellen gerundet.

A5

Berechne die fehlenden Seiten und Winkel. Zeichne zunächst eine Planfigur, in der gegebene und gesuchte Größen unterschiedlich gefärbt werden. Runde auf eine Nachkomma- stelle.

a) b) c) d) e) f)

a 10,4 dm 36,8 mm 72,0 m

b 8,8 cm 5,7 mm 6,3 km 49,5 m

c 14,3 dm 7,9 mm

a 26° 90° 19,2° 90°

b 90° 90°

c 90° 90° 51,4°

A6

Gegeben ist ein Rechteck mit den Seitenlängen a = 16 cm und b = 9 cm.a) Fertige eine Skizze an und berechne die Längen der Diagonalen.b) Berechne die Winkel zwischen den Diagonalen und den Seiten.c) Berechne die Winkel zwischen den Diagonalen.

A

C

14,9 cm

8,7 cm

B

A

C

11,3 cm

6,7 cm

B

A

C

9,5 cm

B54°

A

C

4,1 cm

B

28°

Rundet immer auf eine Nachkomma-stelle genau.

Erklärt euch gegen-seitig jeden Schritt!

13

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Trigonometrie LS07.M2

KurzlösungenzuA2undA3bisA6

ErgebnissezuA2gegeben: Hypotenuse und Winkel; gesucht: a = 42°; b ≈ 7,4 cm; a ≈ 6,7 cmgegeben: Hypotenuse und Kathete; gesucht: a ≈ 42,9°; b ≈ 47,1°; b ≈ 8,5 cm gegeben: Kathete und Kathete; gesucht: c ≈ 10,9 cm; a ≈ 39,4°; b ≈ 50,6°gegeben: Kathete und Winkel; gesucht: a = 27°; c ≈ 8,3 cm; a ≈ 3,8 cm

ErgebnissezuA3bisA6

A3gegeben: c = 90°; a = 8,7 cm; b = 14,9 cm gesucht: c ≈ 17,3 cm; a ≈ 30,3°; b ≈ 59,7°

gegeben: a = 90° ; a = 9,5 cm; b = 54 gesucht: c = 36°; c ≈ 7,7 cm; b ≈ 5,6 cm

gegeben: b = 90°; b = 11,3 cm; c = 6,7 cm gesucht: a ≈ 9,1 cm; a ≈ 53,6°; c ≈ 36,4°

gegeben: c = 90°; a = 28°; a = 4,1 cm gesucht: b = 62°; c ≈ 8,7 cm; b ≈ 7,7 cm

A4c² = 3,6² + 4,8²c = 6 cma ≈ 36,87°b ≈ 53,13°

A5(gerundete Werte)

a) b) c) d) e) f)

a 4,3cm 10,4 dm 9,7mm 4km 36,8 mm 72,0m

b 8,8 cm 9,8dm 5,7 mm 6,3 km 111,9mm 49,5 m

c 9,8cm 14,3 dm 7,9 mm 4,9km 105,7mm 52,3m

a 26° 46,7° 90° 38,6° 19,2° 90°

b 64° 43,3° 35,8° 90° 90° 43,4°

c 90° 90° 54,2° 51,4° 70,8° 46,6°

A6a) Die Diagonalen sind (auf eine Kommastelle gerundet) 18,4 cm lang.b) Die Winkelgrößen zwischen den Seiten und den Diagonalen betragen 29,4° und 60,6°.c) Die Winkelgrößen zwischen den beiden Diagonalen betragen 121,2° und 58,8° (gerundet).

"

A

C

b

b a

Bc

Leichte Abwei-chungen können durch Runden während der Rech-nung auftreten.

A B

CD

b a

c d

e

Skizze:

Trigonometrie LS07.M2

KurzlösungenzuA2undA3bisA6

ErgebnissezuA2gegeben: Hypotenuse und Winkel; gesucht: a = 42°; b ≈ 7,4 cm; a ≈ 6,7 cmgegeben: Hypotenuse und Kathete; gesucht: a ≈ 42,9°; b ≈ 47,1°; b ≈ 8,5 cm gegeben: Kathete und Kathete; gesucht: c ≈ 10,9 cm; a ≈ 39,4°; b ≈ 50,6°gegeben: Kathete und Winkel; gesucht: a = 27°; c ≈ 8,3 cm; a ≈ 3,8 cm

ErgebnissezuA3bisA6

A3gegeben: c = 90°; a = 8,7 cm; b = 14,9 cm gesucht: c ≈ 17,3 cm; a ≈ 30,3°; b ≈ 59,7°

gegeben: a = 90° ; a = 9,5 cm; b = 54 gesucht: c = 36°; c ≈ 7,7 cm; b ≈ 5,6 cm

gegeben: b = 90°; b = 11,3 cm; c = 6,7 cm gesucht: a ≈ 9,1 cm; a ≈ 53,6°; c ≈ 36,4°

gegeben: c = 90°; a = 28°; a = 4,1 cm gesucht: b = 62°; c ≈ 8,7 cm; b ≈ 7,7 cm

A4c² = 3,6² + 4,8²c = 6 cma ≈ 36,87°b ≈ 53,13°

A5(gerundete Werte)

a) b) c) d) e) f)

a 4,3cm 10,4 dm 9,7mm 4km 36,8 mm 72,0m

b 8,8 cm 9,8dm 5,7 mm 6,3 km 111,9mm 49,5 m

c 9,8cm 14,3 dm 7,9 mm 4,9km 105,7mm 52,3m

a 26° 46,7° 90° 38,6° 19,2° 90°

b 64° 43,3° 35,8° 90° 90° 43,4°

c 90° 90° 54,2° 51,4° 70,8° 46,6°

A6a) Die Diagonalen sind (auf eine Kommastelle gerundet) 18,4 cm lang.b) Die Winkelgrößen zwischen den Seiten und den Diagonalen betragen 29,4° und 60,6°.c) Die Winkelgrößen zwischen den beiden Diagonalen betragen 121,2° und 58,8° (gerundet).

"

A

C

b

b a

Bc

Leichte Abwei-chungen können durch Runden während der Rech-nung auftreten.

A B

CD

ba

cd

e

Skizze:

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Trigonometrie

Klippert bei KlettZeitgemäß unterrichten

LS08

Zeit Lernaktivitäten Material Kompetenzen

1 EA 10’ S lösen in EA je eine der geometrischen Aufgaben vom Arbeitsblatt

M1.A1 bis A6 – Probleme bearbeiten undgeeignete Strategien für dieLösung auswählen

– Lösungswege verständlichdarstellen und präsentieren

– Aufgaben entwickeln– entwickelte Aufgaben lösen

und bewerten– auf Kritik sachlich und ange-

messen reagieren

2 GA1 15’ In Stammgruppen werden die Lösungen der Aufgaben ver-glichen und auf einem Plakat notiert; jede Gruppe bereitet sich auf eine kurze Ergebnispräsentation vor

Plakate, Marker

3 GA2 20’ In einem Museumsrundgang werden die 6 Aufgaben, die Vorgehensweisen und Lösungen der Gruppen präsentiert; alle zuhörenden Mitglieder machen sich kurze Notizen zu den Vorgehensweisen

4 GA2 15’ Mixgruppen entwickeln selbstständig neue Aufgaben und ihre Lösungen; die S notieren die Aufgabenstellung auf je einem DIN-A4-Blatt

M1.A7, DIN-A4-Blätter

5 PA 20’ Die S einigen sich auf eine Aufgabe und lösen diese im Schul-heft; sie kontrollieren ihre Ergebnisse anhand der Lösungs-blätter; die Aufgabenstellungen werden hinsichtlich Verständ-lichkeit und Lösbarkeit bewertet

M1.A8

6 PL 10’ Aufgetretene Probleme werden geklärt; die einzelnen Grup-pen erhalten kurze Rückmeldungen über ihre Aufgabenstel-lungen

Anwendungsaufgabenlösenundpräsentieren

ErläuterungenzurLernspirale

IndieserLernspirale wenden die S ihr Wissen über Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken an.

ZumAblaufimEinzelnen1. Arbeitsschritt:In EA lösen die S jeweils eine aus-geloste oder zugewiesene geometrische Aufgabevom Arbeitsblatt.2. Arbeitsschritt: In Zufallsgruppen (Stammgrup-pen) mit gleichen Aufgaben werden die Ergebnisseund die Vorgehensweisen vorgestellt und ver-glichen. Die Aufgabenstellung mit einer anschau-lichen Skizze und der Lösung wird jeweils auf einemPlakat (Flipchartseite) visualisiert. Eine Präsenta-tion wird von allen Gruppenteilnehmern eingeübt.3. Arbeitsschritt: Die S bilden Mixgruppen. Anjedem Plakat erläutert der jeweilige Experte (Spezi-alist) die Aufgabe, ihre Lösung und die Vorgehens-weise zur Lösung der Aufgabe. Die zuhörendenGruppenmitglieder können Fragen stellen undnotieren sich nur den Lösungsweg, den die einzel-nen Gruppen dargestellt haben.

4. Arbeitschritt: In den Mixgruppen entwickeln dieS neue geometrische Aufgaben (eine pro Gruppe),die neben der Anwendung der trigonometrischenBeziehungen auch weitere geometrische Sätze undVerfahren einbeziehen. Die entwickelte Aufgabewird von allen Gruppenmitgliedern in EA gelöst undin der Gruppe verglichen. Die Aufgabenstellungwird auf einem DIN-A4-Blatt notiert, die Lösung aufeinem weiteren Blatt. Die Aufgabenstellungen allerGruppen werden mehrfach kopiert und als Lern-büfett auf einem Tisch oder Pult ausgelegt. Die erar-beiteten Lösungen liegen ebenfalls aus.5. Arbeitsschritt: Tandems wählen aus dem Lern-büfett Aufgaben aus und lösen diese. Nach derBearbeitung einer Aufgabe wird die Lösung anhandder Lösungsblätter verglichen und die Aufgabebewertet. Anschließend wird eine weitere Aufgabegelöst.6. Arbeitsschritt: Im Klassengespräch werden auf-getretene Probleme geklärt. Anschließend erhaltendie Gruppen eine Rückmeldung über ihre Aufga-benstellungen. Ggf. werden Korrekturen vorgenom-men.

Merkposten

Da die S jeweils nur eine ausgeloste Aufgabe des Aufga-benpools A1 bis A6 gelöst haben, können weitere Aufgaben als Hausaufgabe gestellt werden.

Ideen für die zu ent- wickelnden Aufgaben können aus den Plakaten der LS 01 (verschiedene Themenbereiche zu Dreiecken) und aus den präsentierten Aufgaben im Museumsrundgang entnommen werden. Daher sollten die Plakate präsent bleiben.

15

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Trigonometrie LS08.M1

08 AnwendungsaufgabenBei diesen Aufgaben werden früher behandelte Themengebiete wie der Winkelsummensatz im Dreieck, der Satz des Pythagoras, Flächenberechnung von Dreiecken, verschiedene Dreiecks-arten usw. aufgegriffen.

A1In einem Rechteck ist die Diagonale e = 24,8 cm und die Seite b = 5,4 cm lang.

a) Fertige eine Skizze mit allen gegebenen und ge-suchten Größen an.

b) Berechne die Winkel zwischen jeder Diagonalen undden Seiten a und b.

c) Berechne den Umfang und den Flächeninhalt der Figurd) Beschreibe, wie du vorgegangen bist.Vorgehensweisen:

A2In einer Raute sind ein Winkelpaar a = a´=136° und die Seitenlänge a = 5 cm gegeben.a) Fertige eine Skizze mit allen gegebenen und

gesuchten Größen an.b) Berechne das fehlende Innenwinkelpaar.c) Berechne die Längen der beiden Diagonalen.d) Beschreibe, wie du vorgegangen bist.Vorgehensweisen:

A3Ein Kegel hat einen Grundkreisradius von 4,2 cm. Die Länge der Mantellinie s beträgt 18,5 cm. a) Wie groß ist der Winkel

zwischen der Mantellinieund der Grundkreisfläche?

b) Berechne die Höhe.c) Beschreibe, wie du

vorgegangen bist.Vorgehensweisen:

A4Der Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks beträgt 35 cm². Seine Grundseite g ist 9,6 cm lang.

a) Fertige eine beschriftete Planskizze an.b) Berechne alle Seitenlängen.c) Berechne alle Winkelgrößen.d) Berechne die Höhe auf der Grundseite.e) Beschreibe, wie du vorgegangen bistVorgehensweisen:

A5Ein gleichschenkliges Trapez hat die Seiten a = 11,2 cm, b = d = 7 cm und die Winkel a = b = 52°. a) Fertige zunächst eine beschriftete Skizze an.b) Berechne alle fehlenden Winkelgrößen.c) Berechne die fehlende Seitenlänge.d) Berechne den Flächeninhalt.e) Beschreibe, wie du vorgegangen bist.Vorgehensweisen:

A6In einem Kreis mit dem Radius r = 4,4 cm wird ein Dreieck mithilfe zweier Radien und der Sehne s gebildet. Der Winkel a zwischen den beiden Radien beträgt 102°. M – Kreismittelpunktr – Radius; s – Sehnea – MittelpunktswinkelBerechne:a) die Länge der Sehne s,b) den Abstand der Sehne zum

Kreismittelpunkt undc) den Flächeninhalt des DreiecksVorgehensweisen:

a

s

ar

r

M

s

16

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TrigonometrieLS08.M1

A7

Entwickelt in eurer Gruppe eine neue Aufgabe, die folgende Bedingungen erfüllen soll:– Die Aufgabenstellung handelt von einer geometrischen Figur (Parallelogramm, Dreieck, Rechteck, Trapez,

Kreis, etc.)– Die Lösung erfolgt über trigonometrische Beziehungen (sin, cos, tan) und über mindestens einen weiteren

geometrischen Satz (z. B. Satz des Pythagoras, Winkelsummensatz im Dreieck, Strahlensätze, Kongruenz-satz, Satz des Thales etc.)

– Bearbeitet eure Aufgabe in Einzelarbeit und vergleicht dann eure Lösungen in der Gruppe.– Notiert eure Aufgabe nun verständlich und sauber auf einem DIN-A4-Blatt mit einem Titel.

Beachtet, dass eure Mitschülerinnen und Mitschüler die Aufgabe verstehen und lösen sollen.– Notiert den vollständigen Lösungsweg auf einem weiteren Blatt.

A8

Wählt in eurem Tandem eine Aufgabe der Mitschüler und Mitschülerinnen aus. Löst diese Aufgabe vollständig. Bewertet die Aufgabenstellung danach, ob sie lösbar und gut verständlich ist. Folgende Aufgaben haben wir gelöst:

Titel der Aufgabe Aufgabe ist lösbar/ nicht lösbar

Aufgabe ist ver-ständlich/nicht verständlich

Begründung zur Bewertung oder weiterer Kommentar zur Aufgabe

Unsere Aufgabe:

17

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Trigonometrie

Klippert bei KlettZeitgemäß unterrichten

LS09

Zeit Lernaktivitäten Material Kompetenzen

1 EA 10’ S erarbeiten Lösungsweg zur Berechnung einer Seitenlänge in einem allgemeinen Dreieck

M1, M2.A1

– Probleme mathematisch lösen– mathematisch modellieren– Argumentieren/Lösungswege

beschreiben und begründen– mit vertrauten Formeln

umgehen– Lösungswege verständlich

darstellen/visualisieren– präsentieren

2 PA 10’ In aufgabengleichen Partnerschaften werden die Lösungs-wege gegenseitig vorgestellt und Fragen geklärt

3 GA 20’ In aufgabengleichen Gruppen werden die Lösungswege gegenseitig vorgestellt und diskutiert; ggf. werden Ergeb-nisse und Lösungswege verbessert Die S einigen sich auf einen Lösungsweg, der auf Folie gestal-tet wird; der Folienvortrag wird von allen Gruppenmitgliedern eingeübt

Folien-vorlage zu jeder der drei Aufgaben

4 PL 15’ Die S stellen die ausgeloste Aufgabe vor und präsentieren ihre Lösungswege

Overhead-projektor

5 PL 10’ Gemeinsam werden Tipps/Strategien für die Lösungswege aller drei Aufgabentypen formuliert und auf das Arbeitsblatt übernommen

6 PA 15’ Anwendungsaufgaben werden mit ausgelostem Partner aus dem 2. Arbeitsschritt bearbeitet

LösungswegeimallgemeinenDreieckerarbeiten

ErläuterungenzurLernspirale

In dieser Lernspirale finden die S selbstständig einen Lösungsweg zur Berechnung von Seitenlän-gen in allgemeinen Dreiecken.

ZumAblaufimEinzelnen1. Arbeitsschritt: Anhand von Skizzen allgemeinerDreiecke mit einer gegebenen Seitenlänge undzwei Winkeln suchen die S Lösungswege für diejeweils gesuchte Seitenlänge. Der Hinweis, dassdiese Dreiecke über keine rechten Winkel verfügen,sollte vom L noch einmal deutlich angesprochenwerden. Der Tipp auf dem Arbeitsblatt („Um dieWinkelfunktionen in einem beliebigen Dreieckanwenden zu können, zeichne geschickt eine Höheein!“) soll den Problemlösungsprozess voranbrin-gen. Jeder S erhält eine der drei verschiedenenEinstiegsauf gaben. Die Arbeitsblätter werden zurPartner- und Gruppenfindung entsprechend auf derRückseite markiert (siehe Randspalte).2. Arbeitsschritt: Mit einem Partner, der die gleicheAufgabe bearbeitet hat, werden die Lösungsan-sätze ausgetauscht, diskutiert, ggf. korrigiert.

3. Arbeitschritt: In einer aufgabengleichen Vierer-gruppe werden alle Lösungswege vorgestellt undver glichen. Die S einigen sich auf einen Weg. Mit-hilfe einer Folie wird die Präsentation vorbereitet.Für jede Gruppe sollte eine mit der Aufgabenstel-lung a), b) oder c) vorbereitete Folie bereitliegen.4.Arbeitsschritt:Jeder der drei Aufgabentypen wirdmindestens einmal präsentiert. Da jeder Aufgaben-typ von zwei Gruppen bearbeitet wird, kann dieParallelgruppe ergänzen.5. Arbeitsschritt: Tipps bzw. Strategien, die für dieLösung aller drei Aufgabentypen relevant sind, wer-den gesammelt und in den nachfolgenden Auf-gaben angewendet.6. Arbeitsschritt: Anwendungsaufgaben werdenmit zugelostem Partner (a1 und a2) aus dem2. Arbeitsschritt bearbeitet.Hinweis zu den Aufgaben a), b), c): Von Aufgabe a)bis c) wachsendes Anspruchsniveau

Merkposten

Die Aufgaben a) bis c) werden auf der Rückseite zur Partner- und Gruppen-findung folgender-maßen markiert:

Aufgabe a) a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, (a9, a10)

Aufgabe b) b1, b2, b3, b4, …, b8, (b9, b10)

Aufgabe c) c1, c2, …, c8, (c9, c10)

Partnerfindung:

Je zwei S mit dersel-ben Aufgabe gehen zusammen.

(a1 und a2, a3 und a4 usw.)

Gruppenfindung:

Je vier S mit derselben Aufgabe, die vorher nicht als Partner zusammen gearbeitet haben, gehen in eine Gruppe. (a1, a3, a5 und a7 sowie a2, a4, a6 und a8 usw.)

Notizen:

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TrigonometrieLS09.M1

SeitenberechnungeninallgemeinenDreiecken

Aufgabea)Zwei Freunde segeln mit ihrem Segelboot vom Hafenstädtchen A zur Insel B. Nach 19 km melden sich die Segler mit einem Notruf bei der Rettungs- zentrale im Ort C. Dort ist ein Rettungsboot stationiert. Wie weit ist das Segelboot vom Ufer des Festlandes entfernt? Wie weit muss das Rettungsboot zum verunglückten Segelboot fahren? Beschrifte zunächst die Figur mit allen gegebenen Größen. Markiere die gesuchten Größen farbig. Löse dann die Aufgabe.

Aufgabeb)Zwischen den Orten A und B soll einegeradlinige Fährverbindung aufgenommen werden. Die Entfernung zwischen den Orten A und C beträgt 4,7 km, zwischen den OrtenB und C beträgt 6,5 km. Der Winkel c zwischen den Straßen, die vom Ort C zum Ort A und zum Ort B führen ist 73° groß. Beschrifte zunächst die Figur mit allen gegebenen Größen. Markiere die gesuchte Größe farbig. Löse dann die Aufgabe.

Aufgabec)Der Giebel eines Hauses bildet ein nicht rechtwinkliges Dreieck. Die Giebelseite (Breite) des Hauses beträgt 9,60 m, die kürzere Sparrenlänge 6,40 m. Der Bebauungsplan sieht eine Dachneigung von maximal 35° vor.Wird die Bauvorschrift mit dieser Dachkonstruktioneingehalten? Beschrifte zunächst die Figur mit allen gegebenen Größen. Markiere die gesuchten Größen farbig. Löse dann die Aufgabe.

ErgebnisseundSkizzen:a) h

b ≈ 18,4 km b) h

b ≈ 6,2 km c) h

c ≈ 3,7 m

a ≈ 24,4 km b1 ≈ 1,9 km c

1 ≈ 5,2 m

b2 ≈ 2,8 km c

2 ≈ 4,4 m

c ≈ 6,8 km a ≈ 40,1 ° (entspricht nicht der Bauvorschrift!)

"

"

"

Gehe zunächst von der maxi malen Win kel größe zwischen der Giebelbreite und kürzerem Sparren von 35° aus.

Beachte, dass beide Winkel größen zwischen Dach sparren und Gie belbreite nicht größer als je 35° betragen dürfen.

A

B

C

6,40 m

9,60 mGiebelseite

Dachsparren

Dachsparren

76°

49°

A B

C

a = ?

c = 19 km

b

hb = ?

b1

b2

aBA

C

c2

c1 35°

c = 9,60 m

b

a = 6,40 m

hc

A

49°

76°

B

C

A B

C

b = 4

,7 km a = 6,5 km

b1

b2

hb

c = ?

73°

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Trigonometrie LS09.M2

09 Lösungswegefinden

A1

Klebe die ausgeloste Aufgabe in das freie Feld und bearbeite die Bilderfolge so, dass die einzelnen Schritte zur Berechnung der gesuchten Seitenlänge sichtbar werden. Beachte, dass die Dreiecke nichtrechtwinklig sind und du daher die Winkelfunk-tionen nicht direkt anwenden kannst. Mit einigen Ergänzungen lässt sich dieses Problem aber leicht lösen.

1. Schritt:Beschrifte die Skizze vollständig mit allen Seitenlängen und Winkelgrößen.Markiere alle gegebenen Größen in einer Farbe, die gesuchte in eineranderen.

2. Schritt:Überlege den nächsten Rechenschritt. Notiere die zugehörige Formel, stellesie ggf. nach der gesuchten Größe um, berechne die gesuchte Größe undmarkiere sie farbig.

3. Schritt:Überlege den nächsten Rechenschritt. Notiere die zugehörige Formel, stellesie ggf. nach der gesuchten Größe um, berechne die gesuchte Größe undmarkiere sie farbig.

4. Schritt:Überlege den nächsten Rechenschritt. Notiere die zugehörige Formel, stellesie ggf. nach der gesuchten Größe um, berechne die gesuchte Größe undmarkiere sie farbig.

Tipps zur Berechnung einzelner Größen in allgemeinen Dreiecken:

Tipp:�Um die Winkel-funktionen in einem beliebigen Dreieck anwenden zu können, zeichne geschickt eine Höhe ein!

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Trigonometrie

Klippert bei KlettZeitgemäß unterrichten

LS10

Zeit Lernaktivitäten Material Kompetenzen

1 PA 10’ Die S sortieren die einzelnen Herleitungsschritte zum Sinus-satz in der richtigen Reihenfolge (legen die Schnipsel in das vorgefertigte Schema)

M1, M2.A1

– Probleme mathematisch lösen– Argumentieren/Lösungswege

beschreiben und begründen– Zusammenhänge erläutern– Überlegungen und Lösungs-

wege verständlich darstellenund präsentieren

– mit Formeln und Symbolenumgehen

– Fachsprache adressatengerechtverwenden

2 GA 10’ Die S vergleichen ihre festgelegte Reihenfolge der Herlei-tungsschritte zum Sinussatz und bereiten eine Präsentation vor

3 PL 10’ Die Reihenfolge der Herleitungsschritte zum Sinussatz wer-den von S mittels Folienstreifen am Projektor in die richtige Reihenfolge gebracht und erklärt; Unklarheiten werden geklärt

Overhead-projektor, Folien- streifen

4 EA 3’ Die ausgeschnittenen Herleitungsschritte zum Sinussatz werden auf das Arbeitsblatt geklebt

Klebstoff, M2.A1

5 PA 10’ Anhand einer zweiten Dreiecksskizze erarbeiten die S ein weiteres Seitenverhältnis zum Sinussatz

M2.A2

6 GA 10’ S vergleichen ihre Ergebnisse und bereiten einen kurzen Tafelvortrag vor

7 PL 5’ Zwei ausgeloste S präsentieren ihre Ergebnisse an der Tafel Tafel

8 PL 10’ In einem Klassengespräch werden die beiden Herleitungs-schritte zusammengeführt und zum Sinussatz ergänzt; S notieren den vollständigen Sinussatz auf dem Arbeitsblatt

Tafel, M2.A3

LösungsschrittezurHerleitungdesSinussatzessortieren

ErläuterungenzurLernspirale

IndieserLernspirale leiten die S den Sinussatz mit-hilfe vorgefertigter Lösungsschritte her.

ZumAblaufimEinzelnen1. Arbeitsschritt: Da die Herleitung des Sinussatzesfür die S schwierig ist, sind die einzelnen Schritteschon vorgegeben. In Nachbarschaftstandems dis-kutieren die S über die Anordnung der Schnipsel inder richtigen Reihenfolge. Die einzelnen Schrittesollen zunächst nur ausgelegt, aber noch nicht aufdas Arbeitsblatt geklebt werden.2. Arbeitsschritt: In ausgelosten Vierergruppen ver-gleichen die S ihre Reihenfolge und üben einen klei-nen Vortrag ein.3. Arbeitsschritt: Die einzelnen Herleitungsschritteund die zugehörige Dreiecksfigur liegen als Folien-streifen für die Schülerpräsentation vor. Ein ausge-loster S präsentiert anhand der Folienstreifen dieHerleitung des Sinussatzes.4. Arbeitsschritt: Nach der Ergebnispräsentationund der Korrektur werden die Papierschnipsel aufdas Arbeitsblatt geklebt.

5. Arbeitsschritt: An dem zweiten Seitenverhältnissollen die S überprüfen, ob sie die Herleitung selbst-ständig erarbeiten können. Zur gegenseitigenUnterstützung sollten die Tandems wie im 1. Arbeits-schritt zusammengehen. Zusätzlich können die Ssich an der bereits auf das Arbeitsblatt geklebtenHerleitung orientieren.6. Arbeitsschritt: In neuen Vierergruppen verglei-chen die S die Herleitung des Sinussatzes. Mit denerarbeiteten Ergebnissen üben sie einen kleinenTafelvortrag ein. Hierzu sollte das Tafelbild mit derDreiecksskizze vom Arbeitsblatt schon vorbereitetsein.7. Arbeitsschritt: Schülerpräsentationen zu zweithaben den Vorteil, dass ein Präsentator die Tafel-notizen vornehmen kann, während der andere denVortrag hält.8. Arbeitsschritt: In einem gemeinsamen Klassen-gespräch werden die Beziehungen

a ___ sin a   = b ___ sin b   = c ___ sin c zusammengeführt.

Die S notieren die erarbeiteten Ergebnisse auf dem Arbeitsblatt.

Merkposten

Wichtig:

Die Folienvorlage M1 sollte in 7 Teile geschnitten (Dreieck und 6 Einzel- gleichungen) und anschließend erst an die S verteilt werden, da sie bereits die Lösung zeigt.

Zusätzliches Material: Klebstoff und Scheren in ausreichender Anzahl

21

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Trigonometrie LS10.M1

FolienvorlageundSchnipsel

aBA

C

bc

b a

hc

sin a = h

c __ b

hc = sin a · b

sin a · b = sin b · a

b ____ sin b   = a ____ sin a 

sin b = h

c __a

hc = sin b · a

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TrigonometrieLS10.M2

10 DerSinussatz

In der vorherigen Lernspirale hast du gelernt, wie man in beliebigen Dreiecken geschickt alle fehlenden Seiten und Winkel berechnen kann. Dazu wählt man eine geeignete Höhe aus und berechnet beide Teildreiecke nacheinander. Du kannst dir viel Arbeit sparen, wenn du diese Berechnung verallgemeinerst und die bekannten Werte in die erhaltene Lösung einsetzt.

A1

Sortiert die Herleitungsschritte in der richtigen Reihenfolge. Die einzelnen Teilschritte erhaltet ihr von eurer Mathematiklehrerin bzw. eurem Mathematiklehrer. Betrachtet zunächst die beiden rechtwinkligen Teildreiecke getrennt.

aBA

C

b

hc

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Trigonometrie LS10.M2

A2

Ihr habt in der vorherigen Aufgabenstellung zwischen den Seitenlängen a und b sowie den Winkeln a und b über die Höhe h

c eine Beziehung hergestellt, mit deren Hilfe ihr diese Größen

schneller berechnen könnt. Erarbeitet nun eine weitere Beziehung mit den Seitenlängen a und c sowie den Winkeln a und c. Orientiert euch an der Skizze und an den bereits aufgeklebten Lösungsschritten aus A1.

A3

Sinussatz

a BA

C

c

hb

b

c

a

Beachte:

Betrachte zunächst die beiden Teildrei-ecke getrennt.

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Trigonometrie

Klippert bei KlettZeitgemäß unterrichten

LS11

Zeit Lernaktivitäten Material Kompetenzen

1 EA 10’ Die S erkennen, dass der Sinussatz nicht immer zur Lösung führt

M1.A1 – Argumentationen entwickeln– mathematischen Text ver-

stehen– vorbereiteten Lösungsweg

beschreiben und begründen– aktiv zuhören– Lösungswege verständlich

darstellen und präsentieren– mit Formeln umgehen

2 GA1 10’ In arbeitsgleichen Stammgruppen erarbeiten die S die Argumentationen zur Herleitung des Kosinussatzes

M2

3 GA2 Trio

15’ In Mixgruppen erklären die S sich gegenseitig die drei Varianten des Kosinussatzes; die S notieren die symbolische Schreibweise des Kosinussatzes auf dem Arbeitsblatt

M1.A2

4 GA1 15’ In den arbeitsgleichen Stammgruppen lösen die S zwei Bei-spielaufgaben und bereiten mit der Lösung einer zugelosten Beispielaufgabe eine Präsentation vor

M1.A3, DIN-A4-Blätter, Plakate

5 GA II Trio

20’ In einem Museumsrundgang werden in neuen Puzzlegruppen die Lösungen der 6 Beispielaufgaben präsentiert

6 PL 10’ Zwei ausgewählte Beispielaufgaben werden von je einem S präsentiert

Tafel

DerKosinussatz–Expertengesprächepräsentieren

ErläuterungenzurLernspirale

IndieserLernspirale vollziehen die S die Herleitung des Kosinussatzes nach und wenden den Satz an.

ZumAblaufimEinzelnen1.Arbeitsschritt:Die S erkennen, dass der Sinussatznicht weiterhilft, wenn zwei Seitenlängen und dieGröße des von diesen beiden Seiten eingeschlos-senen Winkels bekannt sind.2. Arbeitsschritt: In ausgelosten Vierergruppenerarbeiten die S die Herleitungsschritte zum Kosi-nussatz. Sie klären Fragen und üben einen kleinenVortrag ein.3. Arbeitsschritt: In neuen Mixgruppen mit je dreiTeilnehmer/-innen präsentiert jeder S sein Herlei-tungsbeispiel zum Kosinussatz. Alle drei Bezie-hungen des Kosinussatzes (ohne die einzelnen Her-leitungsschritte) werden von den S auf demArbeitsblatt notiert.4. Arbeitsschritt: In den Stammgruppen des2. Arbeitsschrittes werden zwei Beispielaufgaben

(je eine Aufgabe zu einer Seitenlänge und eine Auf-gabe zu einer Winkelgröße) gelöst. Jede Gruppe visualisiert nur eine der beiden Beispielaufgaben auf einem Plakat. 5. Arbeitsschritt: In neuen Mixgruppen (jede Bei-spielaufgabe wird durch einen S repräsentiert) wer-den die 6 Beispielaufgaben von je einem S in einemMuseumsrundgang vorgestellt. Die nicht präsentie-renden Teilnehmer hören so aktiv zu, dass sieanhand der Plakate alle Lösungen der Beispielauf-gaben im PL präsentieren können.6. Arbeitsschritt: Je eine Beispielaufgabe zurBerechnung einer Seitenlänge und zur Berechnungeiner Winkelgröße wird von einem ausgelosten Skleinschrittig vorgestellt. Die präsentierenden Shaben die vorzustellenden Aufgaben nicht in derGruppe gelöst. Allgemeine Probleme können in die-ser Phase geklärt werden.

Notizen:

Merkposten

Gruppenbildung: In jeder Stamm- gruppe numme rieren sich die S von 1 bis 4 durch.

ZurPräsentation:

Zu den Berechnungen jeder Seitenlänge (a, b und c) und jeder Winkelgröße (a, b und c) sollte je ein Plakatvon den S gestaltetwerden.

Die Zuordnung der einzelnen Aufgaben wird von der Lehrkraft je nach Leistungs-stand vorgenommen, da die Umformung des Kosinussatzes zu einer Winkelgröße ggf. Probleme bereiten könnte.

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Trigonometrie LS11.M1

11 DerKosinussatz

A1

In einem allgemeinen Dreieck ABC sind bekannt: a = 5 cm, b = 7 cm und c = 50°.a) Fertige eine Skizze des Dreiecks an und markiere die gegebenen Stücke farbig.b) Begründe, warum dir der Sinussatz bei der Lösung dieser Aufgabe nicht hilft.

A2

Erklärt euch gegenseitig eure Aufgabenstellung und versucht anschließend, euer Wissen zusammenzutragen. Kann man die verschiedenen Versionen des Kosinussatzes in einer Aussage zusammenfassen?

Skizze:

Kosinussatz

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TrigonometrieLS11.M1

A3

Berechnet die beiden zugelosten Aufgaben mithilfe des Kosinussatzes. Die Abbildungen sind nicht maßstabgerecht! Rundet auf eine Stelle nach dem Komma.

a) Berechnet die gesuchte Seitenlängea. Eigene Notizen im Museumsrundgang:

b) Berechnet die gesuchte Winkelgröße a. Eigene Notizen im Museumsrundgang:

c) Berechnet die gesuchte Seitenlängeb. Eigene Notizen im Museumsrundgang:

d) Berechnet die gesuchte Winkelgröße b. Eigene Notizen im Museumsrundgang:

e) Berechnet die gesuchte Seitenlängec. Eigene Notizen im Museumsrundgang:

f) Berechnet die gesuchte Winkelgröße c. Eigene Notizen im Museumsrundgang:

Beachte:

Zur Berechnung des Winkels muss zunächst der Kosinussatz nach dem gesuchten Winkel umgeformt werden.

cos a = b2 + c2 – a2________

2bc

AB

C

A

B

C

A B

C

A

BC

A

B

C

AB

Cc

51°

b

28°

a

43°a

c

7,5 cm

4,9 cm4,6 cm

10,9 cm 9,3 cm

8,4 cm

11,4 cm

4,8

cm

4,9 cm

6,5 cm

4,3

cm

b

7,1 cm

8,0 cm

6,9 cm

5,2 cm

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Trigonometrie LS11.M2

a) Mithilfe des Sinussatzes könnt ihr fehlende Seitenlängen und Winkelgrößen in allgemei-nen Dreiecken berechnen. Aber manchmal hilft der Sinussatz nicht weiter. In diesemDreieck seien z. B. die Seitenlängen b und c und die Größe des eingeschlossenen Winkels agegeben. Gesucht ist die Seitenlänge a.Vollzieht die Berechnungen so nach, dass ihr sie anderen erklären könnt.

1. b² = hc² + q² 2. a² = h

c² + p²

hc² = b² – q² h

c² = a² – p²

3. b² – q² = a² – p² | beide Gleichungen gleichgesetzt a² = b² – q² + p² | nach a² aufgelösta² = b² – q² + (c – q)² | für p = c – q eingesetzta² = b² – q² + c² – 2cq + q² | ausmultiplizierta² = b² + c² – 2cq | zusammengefassta² = b² + c² – 2bc · cos a | für q = b · cos a eingesetzta =

√______________

b² + c² – 2 bc · cos a 

Zur Berechnung der Seitenlänge a waren viele Schritte nötig. In Zukunft könnt ihr diese Berechnung wesentlich schneller durchführen, weil ihr euch die Schritte einmal allgemein überlegt habt. Damit könnt ihr den Kosinussatz immer benutzen.

b) Mithilfe des Sinussatzes könnt ihr fehlende Seitenlängen und Winkelgrößen in allgemei-nenDreiecken berechnen. Aber manchmal hilft der Sinussatz nicht weiter. In diesemDreieck seien z. B. die Seitenlängen a und b und die Größe des eingeschlossenen Winkels cgegeben. Gesucht ist die Seitenlänge c.

Vollzieht die Berechnungen so nach, dass ihr sie anderen erklären könnt.

1. c² = hb² + p² 2. a² = h

b² + q²

hb² = c² – p² h

b² = a² – q²

3. c² – p² = a² – q² | beide Gleichungen gleichgesetztc² = a² – q² + p² | nach c² aufgelöstc² = a² – q² + (b – q)² | für p = b – q eingesetztc² = a² – q² + b² – 2bq + q² | ausmultipliziertc² = a² + b² – 2bq | zusammengefasstc² = a² + b² – 2ab · cos c | für q = a · cos c eingesetztc =

√______________

a² + b² – 2ab · cos c  

Zur Berechnung der Seitenlänge c waren viele Schritte nötig. In Zukunft könnt ihr diese Berechnung wesentlich schneller durchführen, weil ihr euch die Schritte einmal allgemein überlegt habt. Damit könnt ihr den Kosinussatz immer benutzen.

aBA

C

bc

b ah

c

c

pq

BA

C

c

ab

cq

ph

b

HerleitungdesKosinussatzes

HerleitungdesKosinussatzes

"

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TrigonometrieLS11.M2

c) Mithilfe des Sinussatzes könnt ihr fehlende Seitelängen und Winkelgrößen in allgemei-nen Dreiecken berechnen. Aber manchmal hilft der Sinussatz nicht weiter. In diesemDreieck seien z. B. die Seitenlängen a und c und die Größe des eingeschlossenen Winkels bgegeben. Gesucht ist die Seitenlänge b.Vollzieht die Berechnungen so nach, dass ihr sie anderen erklären könnt.

1. c² = ha² + q² 2. b² = h

a² + p²

ha² = c² – q² h

a² = b² – p²

3. c² – q² = b² – p² | beide Gleichungen gleichgesetztb² = c² – q² + p² | nach b² aufgelöstb² = c² – q² + (a – q)² | für p = a – q eingesetztb² = c² – q² + a² – 2aq + q² | ausmultipliziertb² = c² + a² – 2aq | zusammengefasstb² = c² + a² – 2ac · cos b | für q = c · cos b eingesetztb =

√______________

a² + c² – 2ac · cos b  

Zur Berechnung der Seitenlänge b waren viele Schritte nötig. In Zukunft könnt ihr diese Berechnung wesentlich schneller durchführen, weil ihr euch die Schritte einmal allgemein überlegt habt. Damit könnt ihr den Kosinussatz immer benutzen.

BA

C

c

ab

b

qha

p

HerleitungdesKosinussatzes

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Lösungen

LS06.M1

A1

a) Da das eingezeichnete rechtwinklige Dreieck ABC mit dem Winkel a = 40° die Hypotenusen-länge 1 besitzt, kann die Länge der Ankathete (Kosinuswert) von a an der x-Achse, die Längeder Gegenkathete (Sinuswert) von a an der y-Achse direkt abgelesen werden.

cos a = Länge der Ankathete

________________ Länge der Hypotenuse , sin a = Länge der Gegenkathete

__________________ Länge der Hypotenuse

Beim eingezeichneten rechtwinkligen Dreieck AB´C´ mit dem Winkel a = 40° ist die Länge der Ankathete = 1. Somit kann die der Tangenswert an der Länge der Tangente t direkt abgelesen werden.

tan a = Länge der Gegenkathete

____________________ Länge der Ankathete

c) nur berechnete Sinus- und Kosinuswerte (auch A4)

Winkela AbgeleseneKoordinaten-längenxa≈ cosa

TRAbgeleseneKoordi-natenlängenya≈ sina

TRAbgeleseneKoordinaten-längenta≈ tana

TR

40° 0,77 0,77 0,64 0,64 0,84 0,84

15° abgelesene Werte 0,97 abgelesene Werte 0,26 abgelesene Werte 0,27

8° sollten annähernd 0,99 sollten annähernd 0,14 sollten annähernd den 0,14

23° den berechneten 0,92 den berechneten 0,39 berechneten entsprechen 0,42

67° entsprechen 0,39 entsprechen 0,92 nicht ablesbar 2,36

82° 0,14 0,99 nicht ablesbar 7,12

A2

sin a = 0,3 cos a = 0,4 tan a = 0,8 sin a = 0,7

abgelesen a ≈ 17° abgelesen a ≈ 66° abgelesen a ≈ 39° abgelesen a ≈ 44°

A3

a) cos a nähert sich dem Wert 1, wenn sich a immer mehr dem Wert 0° annähert.b) sin a nähert sich dem Wert 1, wenn sich a immer mehr dem Wert 90° annähert.c) tan a nähert sich dem Wert 0, wenn sich a immer mehr dem Wert 0° annähert.d) cos a nähert sich dem Wert 0, wenn sich a immer mehr dem Wert 90° annähert.e) cos a = c __ b = c _ 1 = c (Hypotenusenlänge b ist im Einheitskreis 1)

f) für die Winkelgrößen a = 0° und a = 90° ergeben sich keine Dreiecke mehr.g) beide Katheten im rechtwinkligen Dreieck sind laut Definition kleiner als die Hypotenuse.

Im Einheitskreis hat die Hypotenuse den Wert 1. Somit kann kein Sinus- oder Kosinuswertgrößer 1 sein.

h) Im rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse c gilt laut dem Satz des Pythagorasa² + b² = c². Am Einheitskreis ist c = 1; a = cos a und b = sin a.Somit gilt: a² + b² = (sin a)² + (cos a)² = 1² = 1

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Lösungen

LS06.M1

A4

a)

Beispiele Eingabe Tastenfolge Ausgabe

sin 40° 40 sin 0,642787609

cos 40° 40 cos 0,766044443

tan 40° 40 tan 0,839099631

b) siehe Lösung zu LS06.M1 A1 c)

A5

Beispiele Eingabe Tastenfolge Ausgabe GerundeterWert

sin a = 0,64279 0,64279 2nd sin 40,00017878 ≈ 40°

cos a = 0,99026 0,99026 2nd cos 8,003321112 ≈ 8°

tan a = 1,37638 1,37638 2nd tan 53,99996198 ≈ 54°

LS08.M1

A1 b) die Winkel zwischen den Seiten und den Diagonalen betragen ungefähr 77,4° und 12,6°.c) a ≈ 24,4 cm; der Umfang beträgt ungefähr 59,2 cm und der Flächeninhalt circa 130,7 cm².

A2 b) b = b´= 44°c) Die Diagonalen sind ungefähr 3,7 und 9,3 cm lang.

A3 b) Der Winkel zwischen der Mantellinie und der Grundkreisfläche beträgt ungefähr 76,9°.c) Die Höhe des Kegels beträgt ungefähr 18 cm.

A4 b) Die beiden Schenkel sind jeweils ungefähr 8,7 cm lang.c) Der Winkel zwischen dem Dreiecksschenkel und der Grundseite beträgt ungefähr 56,6°;

der Winkel zwischen den Schenkeln beträgt etwa 66,7°.d) Die Höhe beträgt ungefähr 7,3 cm.

A5 b) Die beiden Winkelgrößen c = d betragen jeweils 128°.(Winkelsumme im Viereck beträgt 360°)

c) Die Seitenlänge c beträgt ungefähr 2,6 cm.d) Die Höhe ist ungefähr 5,5 cm lang; der Flächeninhalt beträgt ungefähr 38 cm².

A6 a) Die Sehne s ist ungefähr 6,8 cm lang.b) Der Abstand der Sehne zum Kreismittelpunkt beträgt ungefähr 2,8 cm.c) Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt 9,52 cm² (mit gerundeten Werten berechnet).

Leichte Abwei-chungen können durch Runden während der Rech-nung entstehen.

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Lösungen

LS11.M1

A1 a) Der Sinussatz hilft in diesem Dreieck mit zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkelnicht weiter, weil die Bedingungen für den Sinussatz – zwei Seiten und ein gegenüber-liegender Winkel sind bekannt oder zwei Winkel mit einer gegenüberliegenden Seitesind bekannt – nicht gegeben sind.

A3 a) a ≈ 4,7 cm; b) a ≈ 62,2°; c) b ≈ 3,16 cm;d) b ≈ 22,1°; e) c = 8,8 cm; f) c ≈ 104,2°

LS13.M1

A1 c) Die tatsächliche Fluggeschwindigkeit beträgt ungefähr 597 km/h.(Anwendung des Kosinussatzes)

d) Die tatsächliche Flugrichtung weicht 4,35° vom ursprünglichen Ost-Kurs ab.Der tatsächliche Kurs beträgt 94,35°.

BA

C

ab

c

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Autoren: Johanna Harnischfeger (Hg.), Heiner Juen (Hg.), Hildegard Gonzalez-Casin, Grit Gottschalk, Heike Hofmann, Sigrid Hohmeyer, Christa Juen- Kretschmer, Marion Rieder, Kerstin Wachtendorf, Christine Strehle Covergestaltung: Norbert Funk Umschlagfoto: Thomas Weccard Illustrationen: Steffen Jähde

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Dieser Download ist ein Auszug aus dem OriginaltitelMathematik/Strahlensätze/Trigonometrie

Individuelle Förderung bei gleichzeitiger Lehrerentlastung

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