Kapitel 3: Ganze Zahlen ℤ • 3.1Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen

Didaktik der ZahlbereichserweiterungenModul 5: Fachdidaktische Bereiche

Jürgen Roth

Kapitel 3: Ganze Zahlen ℤ • 3.2Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen

Didaktik der Zahlbereichserweiterungen

1 Ziele und Inhalte

2 Natürliche Zahlen ℕ

3 Ganze Zahlen ℤ

4 Rationale Zahlen ℚ

5 Reelle Zahlen ℝ

6 Komplexe Zahlen ℂ

Kapitel 3: Ganze Zahlen ℤ • 3.3Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen

Kapitel 3: Ganze Zahlen ℤDidaktik der Zahlbereichserweiterungen

Kapitel 3: Ganze Zahlen ℤ • 3.4Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen

Einige Problembereiche

Hürde 1: Gegensätzliches Deuten der alten (positiven) Zahlen

Hürde 2: Neue Beziehungen zwischen den alten Zahlen entdecken

Hürde 3: Entwickeln geänderter Vorstellungen von Ordnung, Addition und Subtraktion

Malle (2007). Die Entstehung negativer Zahlen – Der Weg vom ersten Kennenlernen bis zu eigenständigen Denkobjekten. Mathematik lehren 142, S. 52-57

Malle (1989). Die Entstehung negativer Zahlen als eigene Denkgegenstände. Mathematik lehren 35, S. 14-17

Hürde 4: Sinngebung neuer Schreibweise

Hürde 5: Definitorischen Charakter der Rechenoperationen erkennen

Kapitel 3: Ganze Zahlen ℤ • 3.5Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen

Einige ProblembereicheMalle (2007). Die Entstehung negativer Zahlen – Der Weg vom ersten Kennenlernen bis zu eigenständigen Denkobjekten. Mathematik lehren 142, S. 52-57

Malle (1989). Die Entstehung negativer Zahlen als eigene Denkgegenstände. Mathematik lehren 35, S. 14-17

Hürde 1 Hürde 2

Hürde 3Herr Roth hat sein Konto überzogen und hat nun 50 € Schulden. Er zahlt 30 € ein. Wie hoch ist der neue Kontostand?

50 − 30 = 20

Kapitel 3: Ganze Zahlen ℤ • 3.6Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen

Kälte- und Wärmesteine Katalin Retterath: Vorstellungsübung

Jürgen Kreitner: GeoGebra-Datei

Kapitel 3: Ganze Zahlen ℤ • 3.7Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen

Addition von ganzen ZahlenBarzel, Eschweiler, Malle (2007). Lernwerkstatt Negative Zahlen. Mathe-Welt 142

www.realmath.de/Neues/Klasse6/ganzezahlen/ggbaddganzzahl.html

Kapitel 3: Ganze Zahlen ℤ • 3.8Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen

ZahlenblickRezat (2012): Rechnen mit ganzen Zahlen – Den Zahlenblick für Addition und Subtraktion schulen. Mathematik lehren 171, S. 23

Hürde 4

Kapitel 3: Ganze Zahlen ℤ • 3.9Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen

−𝟑𝟑

Warum ist Minus mal Minus plus?

3 · 2 = 6

3 · 1 = 3

3 · 0 = 0

3 · (–1) =

3 · (–2) =

2 · 5 = 10

1 · 5 = 5

0 · 5 = 0

(–1) · 5 =

(–2) · 5 =

(–3) · 2 = –6

(–3) · 1 = –3

(–3) · 0 = 0

(–3) · (–1) = ?

−𝟏𝟏

−𝟏𝟏

−𝟏𝟏

−𝟏𝟏

−𝟑𝟑

−𝟑𝟑

−𝟑𝟑

+𝟑𝟑−𝟏𝟏

−𝟏𝟏

−𝟏𝟏

+𝟑𝟑

+𝟑𝟑

Andere Begründung:Multiplikation als fortgesetzte Addition3·(–2) = (–2) + (–2) + (–2)

3 Sinnvolle Festlegung

Andere Begründung:Permanenzprinzip: DasKommutativgesetz soll weiterhin gelten.

−𝟓𝟓−𝟏𝟏

−𝟏𝟏

−𝟏𝟏

−𝟏𝟏

−𝟓𝟓

−𝟓𝟓

−𝟓𝟓

DG (!)

–3

–6

–5

–10

!

| + 10𝟓𝟓 + −𝟑𝟑 � −𝟐𝟐 = 𝟓𝟓 � −𝟐𝟐 + −𝟑𝟑 � −𝟐𝟐

2 ⋅ −2 = −10 + −3 ⋅ (−2)6 = −3 ⋅ (−2)

Anderer Zugang über das Permanenzprinzip:Das Distributivgesetz soll weiter gültig sein!

Kapitel 3: Ganze Zahlen ℤ • 3.10Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen

Negative Zahlen in der 𝟏𝟏 + 𝟏𝟏-TafelRezat (2014): Das Permanenzprinzip erfahren. Mathematik lehren 183, S. 11-14

10

4. Welche Aufgaben habendas gleiche Ergebnis?Beschreibe und begründe!

3. Wo stehen Aufgaben mit hohem Ergebnis? Wo stehen Aufgaben mit niedrigem Ergebnis?

2. Trage auch die Ergebnisse der Aufgaben in die jeweiligen Felder ein! Achte auch hier auf Muster und setze diese jeweils fort!

1. Vervollständige die Tafel, indem du zunächst alle Aufgaben in die jeweiligen Felder einträgst! Setze dazu die Muster fort, die du in den einzelnen Reihen erkennenkannst!

Kapitel 3: Ganze Zahlen ℤ • 3.11Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen

Negative Zahlen in der 𝟏𝟏 ⋅ 𝟏𝟏-TafelRezat (2014): Das Permanenzprinzip erfahren. Mathematik lehren 183, S. 11-14

1. Vervollständige die Tafel, indem du zunächst alle Aufgaben in die jeweiligen Felder einträgst! Setze dazu die Muster fort, die du in den einzelnen Reihen erkennenkannst!

3. Wo stehen Aufgaben mit hohem Ergebnis? Wo stehen Aufgaben mit niedrigem Ergebnis?

2. Trage auch die Ergebnisse der Aufgaben in die jeweiligen Felder ein! Achte auch hier auf Muster und setze diese jeweils fort!

4. Welche Aufgaben habendas gleiche Ergebnis?Beschreibe und begründe!

Kapitel 3: Ganze Zahlen ℤ • 3.12Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen

Formulierung von RegelnVollrath, Weigand (2009). Algebra in der Sekundarstufe. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag. S. 62

ja

ja

nein

nein

Addition Multiplikation

Beträge subtrahieren

Beträge addieren

Vorzeichen der Zahl mit

dem größeren Betrag davor

setzen

Gleiches Vorzeichen

davor setzen

GleicheVorzei-chen?

– davor setzen

+ davor setzen

GleicheVorzei-chen?

Beträge multiplizieren

Kapitel 3: Ganze Zahlen ℤ • 3.13Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen

Gutschein/Schuldschein-SpielViet (1983). Ein Spiel für die Unterrichtseinheit „Ganze Zahlen“. In: Vollrath (Hrsg.): Zahlbereiche. Stuttgart: Klett