Jürgen Roth Grundlagen der Algebra und elem. Zahlentheorie · Kapitel 3: Arithmetische Strukturen in kleinen Welten • 3. 9 Restklassen modulo 4 Zahlen mit gleichem Rest Die umsortierte

Kapitel 3: Arithmetische Strukturen in kleinen Welten • 3.1Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Grundlagen der Algebra und elem. ZahlentheorieModul 4b: Grundlagen der Mathematik C

Jürgen Roth


Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie

0 Was ist Algebra bzw. Zahlentheorie?

1 Muster und Strukturen

2 Strukturen geometrischer Symmetrien

3 Arithmetische Strukturen in kleinen Welten

4 Permutationen (Vertauschungen)


Kapitel 3: Arithm. Strukturen in kleinen WeltenGrundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie

Jürgen Roth


Kapitel 3: Arithmetische Strukturen in kleinen Welten

3.1 Rechnen mit Resten – Restklassenringe

3.2 Die Geographie der kleinen Welten – Null-teiler, invertierbare Elemente und Ringe

3.3 Zahlenwelten in höheren Dimensionen

• 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 5 6 7 8 92 0 2 4 6 8 0 2 4 6 83 0 3 6 9 2 5 8 1 4 74 0 4 8 2 6 0 4 8 2 65 0 5 0 5 0 5 0 5 0 56 0 6 2 8 4 0 6 2 8 47 0 7 4 1 8 5 2 9 6 38 0 8 6 4 2 0 8 6 4 29 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1



3.1 Rechnen mit Resten – Restklassenringe

• 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 170 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 0 12 0 2 4 6 0 2 4 6 0 2 4 6 0 2 4 6 0 23 0 3 6 1 4 7 2 5 0 3 6 1 4 7 2 5 0 34 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 45 0 5 2 7 4 1 6 3 0 5 2 7 4 1 6 3 0 56 0 6 4 2 0 6 4 2 0 6 4 2 0 6 4 2 0 67 0 7 6 5 4 3 2 1 0 7 6 5 4 3 2 1 0 78 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 09 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1

10 0 2 4 6 0 2 4 6 0 2 4 6 0 2 4 6 0 211 0 3 6 1 4 7 2 5 0 3 6 1 4 7 2 5 0 312 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 413 0 5 2 7 4 1 6 3 0 5 2 7 4 1 6 3 0 514 0 6 4 2 0 6 4 2 0 6 4 2 0 6 4 2 0 615 0 7 6 5 4 3 2 1 0 7 6 5 4 3 2 1 0 716 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 017 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1


Reste der Produkte von natürlichen Zahlen, bei der Division durch 8

Die Multiplikationstabelle hat neben der Spiegelachse auf der Diago-nalen von links oben nach rechts unten, die mit dem Kommutativge-setz 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 ⋅ 𝑎𝑎 zusammenhängt, noch weitere Symmetrien.Bei Division durch 8 haben die Produkte 3 ⋅ 4 = 12 und 4 ⋅ 5 = 20dieselben Reste. Man sagt dazu auch „12 und 20 sind identisch modulo 8.“ und schreibt 3 ⋅ 4 ≡ 4 ⋅ 5 mod 8 bzw. 12 ≡ 20 mod 8.Ebenso gilt z. B. auch:

3 ⋅ 3 ≡ 5 ⋅ 5 mod 8 2 ⋅ 5 ≡ 3 ⋅ 6 mod 81 ⋅ 6 ≡ 2 ⋅ 7 mod 8 2 ⋅ 3 ≡ 5 ⋅ 6 mod 8

Geschrieben als allg. Vermutung (vgl. die grünen Pfeile) ergibt sich:4 + 𝑎𝑎 ⋅ 4 − 𝑏𝑏 ≡ 4 + 𝑏𝑏 ⋅ 4 − 𝑎𝑎 mod 8

16 + 4 ⋅ 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎𝑏𝑏 ≡ 16 − 4 ⋅ 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎𝑏𝑏 mod 84 ⋅ 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 ≡ −4 ⋅ 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 mod 88 ⋅ 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 ≡ 0 mod 8

Symmetrien in der Multiplikationstabelle bei Division durch 8

• 0 1 2 3 4 5 6 70 0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 5 6 72 0 2 4 6 0 2 4 63 0 3 6 1 4 7 2 54 0 4 0 4 0 4 0 45 0 5 2 7 4 1 6 36 0 6 4 2 0 6 4 27 0 7 6 5 4 3 2 1


Reste der Produkte von natürlichen Zahlen, bei der Division durch 8

In der Multiplikationstabelle wiederholt sich die quadratische Struktur: Beim Teilen durch 10 wiederholen sich die Ergebnisse alle 10Zahlen, beim Teilen durch 8 alle 8 Zahlen usw. Zahlen, die sich um ein Vielfaches von 8 unterscheiden, sind modulo 8 gleichwertig.Ob man also den Rest von 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 beim Teilen durch 8 betrachtet oder alternativ z. B. mit 𝑎𝑎′ = 𝑎𝑎 + 16 und 𝑏𝑏′ = 𝑏𝑏 + 32 arbeitet, das Ergebnis bleibt dasselbe, also gilt:

𝑎𝑎′ ⋅ 𝑏𝑏′ ≡ 𝑎𝑎 + 16 ⋅ 𝑏𝑏 + 32 ≡ 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 + 32𝑎𝑎 + 16𝑏𝑏 + 512≡ 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 + 8 ⋅ 4𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 + 64 ≡ 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 mod 8.

Für den Rest beim Teilen eines Produktes 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 durch 8 spielt die Größe der beiden Zahlen 𝑎𝑎 und 𝑏𝑏 keine entscheidende Rolle. Das Produkt hat immer einen Rest, der nur vom Rest von 𝑎𝑎 und 𝑏𝑏selbst abhängt. Ob beispielsweise 𝑎𝑎 oder 𝑏𝑏 = 1, 9, 17, 25, … sind, alle diese Zahlen führen zu demselben Ergebnis.

Symmetrien in der Multiplikationstabelle bei Division durch 8

• 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 160 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 02 0 2 4 6 0 2 4 6 0 2 4 6 0 2 4 6 03 0 3 6 1 4 7 2 5 0 3 6 1 4 7 2 5 04 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 05 0 5 2 7 4 1 6 3 0 5 2 7 4 1 6 3 06 0 6 4 2 0 6 4 2 0 6 4 2 0 6 4 2 07 0 7 6 5 4 3 2 1 0 7 6 5 4 3 2 1 08 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 09 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 0

10 0 2 4 6 0 2 4 6 0 2 4 6 0 2 4 6 011 0 3 6 1 4 7 2 5 0 3 6 1 4 7 2 5 012 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 013 0 5 2 7 4 1 6 3 0 5 2 7 4 1 6 3 014 0 6 4 2 0 6 4 2 0 6 4 2 0 6 4 2 015 0 7 6 5 4 3 2 1 0 7 6 5 4 3 2 1 016 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0


Restklassen modulo 4

Zeilen und Spalten so anordnet, dass Zahlen mit gleichem Rest nebeneinander stehen:

0 ≡ 4 ≡ 8 mod 41 ≡ 5 ≡ 9 mod 4

2 ≡ 6 ≡ 10 mod 43 ≡ 7 ≡ 11 mod 4

• 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 32 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 23 0 3 2 1 0 3 2 1 0 3 2 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 05 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 36 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 27 0 3 2 1 0 3 2 1 0 3 2 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 09 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3

10 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 211 0 3 2 1 0 3 2 1 0 3 2 1

• 0 4 8 1 5 9 2 6 10 3 7 110 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 04 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 08 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 35 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 39 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 32 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 26 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 2

10 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 23 0 0 0 3 3 3 2 2 2 1 1 17 0 0 0 3 3 3 2 2 2 1 1 1

11 0 0 0 3 3 3 2 2 2 1 1 1

Umsortieren



Zahlen mit gleichem RestDie umsortierte Tabelle zeigt grafisch, dass die Reste der Produkte nicht von den Zahlen, sondern nur von deren Zugehörigkeit zu einer ganzen Klasse von Zahlen mit gleichem Rest abhängen.Diese Klassen nennt man Restklassen. Sie fassen alle Zahlen zusammen, die sich nur „bis auf ein Vielfaches von 𝑛𝑛“ unterscheiden. Die Tabelle deutet an, dass es möglich ist, statt einzelner Zahlen ganze Klassen von Zahlen zu multiplizieren und dann wieder Klassen als Ergebnis zu erhalten.

• 0 4 8 1 5 9 2 6 10 3 7 110 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 04 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 08 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 35 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 39 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 32 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 26 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 2

10 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 23 0 0 0 3 3 3 2 2 2 1 1 17 0 0 0 3 3 3 2 2 2 1 1 1

11 0 0 0 3 3 3 2 2 2 1 1 1

0 0 0 0000

01

1

222

23

3

10 2 3

0

1

2

3



Formale Schreibweise für Restklassen modulo 4Teilt man die ganzen Zahlen ℤ ein nach den Resten,die sie bei Division durch 4 lassen, dann entstehenTeilmengen von ℤ, die sogenannten Restklassen,die man formal so aufschreiben kann:

4ℤ = 4𝑛𝑛|𝑛𝑛 ∈ ℤ = … ,−4, 0, 4, 8, …1 + 4ℤ = 1 + 4𝑛𝑛|𝑛𝑛 ∈ ℤ = … ,−3, 1, 5, 9, …2 + 4ℤ = 2 + 4𝑛𝑛|𝑛𝑛 ∈ ℤ = … ,−2, 2, 6, 10, …3 + 4ℤ = 3 + 4𝑛𝑛|𝑛𝑛 ∈ ℤ = … ,−1, 3, 7, 11, …

Die Assoziativität und die Kommutativität „erben“ dieTeilmengen von ihrer „Mutterstruktur“.Welche der Restklassen sind bzgl. der Addition bzw.der Multiplikation abgeschlossen?Wenn die Operationen aus der Menge herausführen:Gibt es dabei Regelmäßigkeiten?

• 0 4 8 1 5 9 2 6 10 3 7 110 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 04 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 08 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 35 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 39 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 32 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 26 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 2

10 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 23 0 0 0 3 3 3 2 2 2 1 1 17 0 0 0 3 3 3 2 2 2 1 1 1

11 0 0 0 3 3 3 2 2 2 1 1 1

0 0 0 0000

01

1

222

23

3

10 2 3

0

1

2

3



AdditionVon den vier Restklassen von ℤ modulo4 ist nur die Restklasse 4ℤ = 4𝑛𝑛|𝑛𝑛 ∈ ℤ = … ,−4, 0, 4, 8, …

bzgl. der Addition abgeschlossen. Das kann man wie folgt nachweisen:

4𝑛𝑛 + 4𝑚𝑚 = 4 ⋅ 𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 ∈ 4ℤDiese Tatsache lässt sich kurz auch wie folgt aufschreiben:

4ℤ + 4ℤ ⊆ 4ℤD. h., dass die Summe zweier beliebiger Elemente aus 4ℤ wieder in 4ℤ liegt.Bei anderen Mengen führt die Addition auf systematische Weise aus der Menge heraus, bei 1 + 4ℤ ergibt sich z. B.:

1 + 4𝑛𝑛 + 1 + 4𝑚𝑚 = 2 + 4 ⋅ (𝑛𝑛 + 𝑚𝑚)∈2+4ℤ

Das lässt sich kurz wie folgt schreiben:1 + 4ℤ + 1 + 4ℤ ⊆ 2 + 4ℤ

Bei 2 + 4ℤ findet man:2 + 4𝑛𝑛 + 2 + 4𝑚𝑚 = 4 + 4 ⋅ 𝑛𝑛 + 𝑚𝑚

= 4 ⋅ (1 + 𝑛𝑛 + 𝑚𝑚)∈4ℤ

Das lässt sich kurz wie folgt schreiben:2 + 4ℤ + 2 + 4ℤ ⊆ 4ℤ

Bei 3 + 4ℤ findet man:3 + 4𝑛𝑛 + 3 + 4𝑚𝑚 = 6 + 4 ⋅ 𝑛𝑛 + 𝑚𝑚

= 2 + 4 ⋅ (1 + 𝑛𝑛 + 𝑚𝑚)∈2+4ℤ

Also: 3 + 4ℤ + 3 + 4ℤ ⊆ 2 + 4ℤ



Addition (Fortsetzung)Die additive Struktur der ganzen Zahlen ℤ lässt sichüber Restklassen erschließen, die jeweils unendlichviele Zahlen identifiziert & in Klassen zusammenfasst.Wie rechts am Beispiel des Restes 4 dargestellt ergibtsich dann eine einfache Verknüpfungstabelle bzgl. +.Bei dieser gröberen Sichtweise bleibt nur noch eineMenge mit 4 Elementen übrig, nämlich die vier Rest-klassen 4ℤ = 0 + 4ℤ, 1 + 4ℤ, 2 + 4ℤ und 3 + 4ℤ.Diese Restklassen werden als vier neue Objekteaufgefasst und als Ganzes addiert. Eine kleine Welt?Die Verknüpfungstabelle kommt Ihnen sicher bekanntvor, sie hat dieselbe Struktur wie die der Verkettungvon Deckdrehungen des Quadrats. Es liegt die Ver-mutung nahe, dass 4ℤ, 1 + 4ℤ, 2 + 4ℤ, 3 + 4ℤ , +eine Gruppe ist. Können Sie das beweisen?

+ 0 4 8 1 5 9 2 6 10 3 7 110 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 34 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 38 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 31 1 1 1 2 2 2 3 3 3 0 0 05 1 1 1 2 2 2 3 3 3 0 0 09 1 1 1 2 2 2 3 3 3 0 0 02 2 2 2 3 3 3 0 0 0 1 1 16 2 2 2 3 3 3 0 0 0 1 1 1

10 2 2 2 3 3 3 0 0 0 1 1 13 3 3 3 0 0 0 1 1 1 2 2 27 3 3 3 0 0 0 1 1 1 2 2 2

11 3 3 3 0 0 0 1 1 1 2 2 2

0 1 2 3123

02

2

313

10

0

10 2 3

0

1

2

3

+



MultiplikationAuch bei der Multiplikation kann man mit ganzen Mengen rechnen, z. B.:

4ℤ ⋅ 4ℤ ⊆ 4ℤ1 + 4ℤ ⋅ 1 + 4ℤ ⊆ 1 + 4ℤ2 + 4ℤ ⋅ 3 + 4ℤ ⊆ 2 + 4ℤ

Auch das kann man jeweils wieder in folgender Weise nachweisen:

2 + 4𝑛𝑛 ⋅ 3 + 4𝑚𝑚 = 6 + 8𝑚𝑚 + 12𝑛𝑛 + 16𝑛𝑛𝑚𝑚= 2 + 4 ⋅ 1 + 2𝑚𝑚 + 3𝑛𝑛 + 4𝑛𝑛𝑚𝑚

∈2+4ℤ

Offensichtlich kann man auch bzgl. der Multiplikation ganze Restklassen als Objekte auffassen und mitein-ander multiplizieren.

• 0 4 8 1 5 9 2 6 10 3 7 110 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 04 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 08 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 35 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 39 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 32 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 26 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 2

10 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 23 0 0 0 3 3 3 2 2 2 1 1 17 0 0 0 3 3 3 2 2 2 1 1 1

11 0 0 0 3 3 3 2 2 2 1 1 1

0 0 0 0000

01

1

222

23

3

10 2 3

0

1

2

3

•



SchreibweisenHier kann es leicht zu Verwechslungen kommen, weildie 2 einerseits eine Zahl in ℤ und andererseits in derTabelle rechts die Restklasse aller Zahlen modulo 4mit Rest 2 bezeichnet.Während in ℤ gilt 2 ⋅ 2 = 4, müsste man für die Rest-klasse aller Zahlen modulo 4 mit Rest 2 schreiben:2 ⋅ 2 = 0. Letzteres wäre ein abkürzende Schreibwei-se für 2 + 4ℤ ⋅ 2 + 4ℤ ⊆ 0 + 4ℤ = 4ℤ.Um das zu vereinfachen gibt es für Restklassen auchfolgende Schreibweise:

𝑎𝑎 4 ≔ 𝑎𝑎 + 4ℤ = 𝑎𝑎 + 4𝑛𝑛|𝑛𝑛 ∈ ℤWährend 2 also eine Zahl in ℤ ist, bezeichnet 2 4 diezugehörige Restklasse modulo 4.Es gibt 4 Restklassen modulo 4, die zusammen dieMenge ℤ4 ∶= 0 4, 1 4, 2 4, 3 4 bilden.

• 0 4 8 1 5 9 2 6 10 3 7 110 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 04 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 08 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 35 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 39 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 32 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 26 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 2

10 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 23 0 0 0 3 3 3 2 2 2 1 1 17 0 0 0 3 3 3 2 2 2 1 1 1

11 0 0 0 3 3 3 2 2 2 1 1 1

0 0 0 0000

01

1

222

23

3

10 2 3

0

1

2

3

•



SprechweisenIn der Menge ℤ4 ∶= 0 4, 1 4, 2 4, 3 4 kann man z. B. das Element 3 4 wie folgt lesen:

Restklasse von 3 modulo 4.Alle Zahlen aus ℤ, die bei Division durch 4denselben Rest haben wie 3.Alle Zahlen aus ℤ, die sich von 3 nur durch ein Vielfaches von 4 unterscheiden.

BemerkungIn ℤ4 sind z. B. 5 4, 1 4 und −3 4 zwar unter-schiedlich geschrieben, bezeichnen aber jeweils dieselbe Menge. Es gilt also:

5 4 = 1 4 = −3 4 ≔ 1 + 4ℤIn modulo-Schreibweise sieht das so aus:

5 ≡ 1 ≡ −3 mod 4

• 0 4 8 1 5 9 2 6 10 3 7 110 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 04 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 08 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 35 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 39 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 32 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 26 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 2

10 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 23 0 0 0 3 3 3 2 2 2 1 1 17 0 0 0 3 3 3 2 2 2 1 1 1

11 0 0 0 3 3 3 2 2 2 1 1 1

0 0 0 0000

01

1

222

23

3

10 2 3

0

1

2

3

•


Kongruenzrelation

Definition 3.1.0: KongruenzrelationSeinen 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℤ, 𝑚𝑚 ∈ ℕ\{0} und 𝑟𝑟 ∈ ℕmit 0 ≤ 𝑟𝑟 < 𝑚𝑚.Wenn 𝑎𝑎 und 𝑏𝑏 bei Division durch 𝑚𝑚denselben Rest 𝑟𝑟 lassen, dann ist 𝒂𝒂kongruent 𝒃𝒃 modulo 𝒎𝒎.Man schreibt dann: 𝑎𝑎 ≡ 𝑏𝑏 mod 𝑚𝑚Hinweis: 𝑎𝑎 und 𝑏𝑏 lassen bei Division durch 𝑚𝑚 genau dann denselben Rest 𝑟𝑟, wenn es Zahlen 𝑝𝑝, 𝑞𝑞 ∈ ℤ gibt, für die gilt 𝑎𝑎 = 𝑝𝑝 ⋅ 𝑚𝑚 + 𝑟𝑟 und 𝑏𝑏 = 𝑞𝑞 ⋅ 𝑚𝑚 + 𝑟𝑟.

Beispiel27 ≡ −15 ≡ 33 ≡ −39 mod 6, weil:

27 = 4 ⋅ 6 + 3 −15 = (−3) ⋅ 6 + 333 = 5 ⋅ 6 + 3 −39 = (−7) ⋅ 6 + 3

Satz 3.1.1: KongruenzrelationSeinen 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℤ und 𝑚𝑚 ∈ ℕ\{0}.Es gilt 𝑎𝑎 ≡ 𝑏𝑏 mod 𝑚𝑚 genau dann, wenn

|𝑚𝑚 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 , also 𝑚𝑚 Teiler von 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 ist.

BeweisÜbungsaufgabe.

BemerkungMan hätte auch die Aussage des Satzes 3.1.1 zur Definition der Kongruenzrelation nutzen und dann damit die Aussage der Definition 3.1.0 beweisen können.


Restklassen von ℤ modulo 𝒏𝒏

Definition 3.1.1: Restklassen von ℤ modulo 𝒏𝒏

Die Menge der ganzen Zahlen ℤ lässt sich für ein gegebenes 𝑛𝑛 ∈ ℕ in disjunkte Klassen (also Mengen ohne gemeinsame Schnittmengen), sogenannte Restklassen, unterteilen:

ℤ = 𝑛𝑛ℤ ∪ 1 + 𝑛𝑛ℤ ∪⋯∪ 𝑛𝑛 − 1 + 𝑛𝑛ℤ

Diese Restklassen (es handelt sich um Mengen) kann man als neue Objekte 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ≔ 𝑎𝑎 + 𝑛𝑛ℤeines Zahlenraums auffassen:

ℤ𝑛𝑛 ≔ 0 𝑛𝑛, 1 𝑛𝑛, … , 𝑛𝑛 − 1 𝑛𝑛

Auf diesem Zahlenraum wird eine Addition und eine Multiplikation wie folgt definiert:

𝑎𝑎 𝑛𝑛 + 𝑏𝑏 𝑛𝑛 ≔ 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑛𝑛, d. h. 𝑎𝑎 + 𝑛𝑛ℤ + 𝑏𝑏 + 𝑛𝑛ℤ ≔ 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑛𝑛ℤ

𝑎𝑎 𝑛𝑛 ⋅ 𝑏𝑏 𝑛𝑛 ≔ 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 𝑛𝑛, d. h. 𝑎𝑎 + 𝑛𝑛ℤ ⋅ 𝑏𝑏 + 𝑛𝑛ℤ ≔ 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 + 𝑛𝑛ℤ

Damit entstehen Zahlenräume ℤ𝑛𝑛, die – wie bei den ganzen Zahlen ℤ – zwei Operationen erlauben, nämlich die Addition + und die Multiplikation ⋅ . Die zugehörige algebraische Struktur (ℤ𝑛𝑛 , +, ⋅) auf dem jeweiligen Zahlenraum ℤ𝑛𝑛 heißt Restklassenring.


Operationen wohldefiniert?

Sind die Addition und die Multiplikation in Definition 3.1.1 wohldefiniert?

Da die Summe 𝑎𝑎 𝑛𝑛 + 𝑏𝑏 𝑛𝑛 über die beiden Vertreter 𝑎𝑎 und 𝑏𝑏 definiert ist, könnte das Ergebnis 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑛𝑛 von der Wahl der Vertreter abhängen: Zum Beispiel könnte

2 𝑛𝑛 ⋅ 3 𝑛𝑛 = 2 ⋅ 3 𝑛𝑛 ≠ 6 𝑛𝑛 ⋅ 7 𝑛𝑛 = 6 ⋅ 7 𝑛𝑛

sein, obwohl 2 𝑛𝑛 = 6 𝑛𝑛 und 3 𝑛𝑛 = 7 𝑛𝑛jeweils identische Restklassen sind. Dass so etwas nicht passieren kann, bedeu-tet, dass die Operationen wohldefiniert sind.

Beweis der Wohldefiniertheit:Voraussetzung:

𝑥𝑥 ∈ 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ⇒ ∃𝑘𝑘∈ℤ 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 + 𝑛𝑛 ⋅ 𝑘𝑘𝑦𝑦 ∈ 𝑏𝑏 𝑛𝑛 ⇒ ∃𝑚𝑚∈ℤ 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏 + 𝑛𝑛 ⋅ 𝑚𝑚

Aus der Voraussetzung folgt:𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 + 𝑛𝑛 ⋅ 𝑘𝑘 + 𝑏𝑏 + 𝑛𝑛 ⋅ 𝑚𝑚

= 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑛𝑛 ⋅ 𝑘𝑘 + 𝑚𝑚 ∈ 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑛𝑛

𝑥𝑥 ⋅ 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 + 𝑛𝑛 ⋅ 𝑘𝑘 ⋅ 𝑏𝑏 + 𝑛𝑛 ⋅ 𝑚𝑚= 𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑛𝑛 ⋅ 𝑎𝑎𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 ⋅ 𝑏𝑏𝑘𝑘 + 𝑛𝑛2 ⋅ 𝑘𝑘𝑚𝑚= 𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑛𝑛 ⋅ 𝑎𝑎𝑚𝑚 + 𝑏𝑏𝑘𝑘 + 𝑛𝑛 ⋅ 𝑘𝑘𝑚𝑚 ∈ 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 𝑛𝑛

■

BemerkungNoch zu zeigen wäre, ob die neuen Operationen + und ⋅ auf Restklassen den bekannten Rechengesetzen (u.a. Assoziativität, Kommutativität und Distributivität) genügen.Dies ließe sich jeweils mit Hilfe der Definition überprüfen.



3.2 Die Geographie der kleinen Welten –Nullteiler, invertier-bare Elementeund Ringe

Abbildung aus Leuders, T. (2016). Erlebnis Algebra – zum aktiven Entdecken und selbständigen

Erarbeiten. Berlin: Springer Spektrum, S. 33


Zahlengerade aufrollen

BemerkungDie ganzen Zahlen stellt man sich häufig auf der Zahlengerade vor. Wenn man Elemente, die sich nur um Vielfache einer festen Zahl 𝑛𝑛unterscheiden, als identisch betrachten, bedeutet das, dass man diese idealerweise jeweils an derselben Stelle anträgt. Das gelingt am besten, wenn man die Zahlengerade zu einem Kreis aufrollt.

Abbildung aus Leuders, T. (2016). Erlebnis Algebra – zum aktiven Entdecken und selbständigen Erarbeiten. Berlin: Springer Spektrum, S. 33

https://www.geogebra.org/m/sqnjfvwv

https://www.geogebra.org/m/sqnjfvwv


Anschauliche Vorstellung zur Addition und Subtraktion

BemerkungOffensichtlich benötigt man in ℤ8 (und ganz allgemein in ℤ𝑛𝑛) keine negativen „Zahlen“.Selbst die additiven Inversen in ℤ8 (bzw. in ℤ𝑛𝑛) sind als positive „Zahlen“ schreibbar.

0 8

1 8

2 8

3 8

4 8

5 8

6 8

7 8

0 8

1 8

2 8

3 8

4 8

5 8

6 8

7 8

0 8

1 8

2 8

3 8

4 8

5 8

6 8

7 8

4 8 + 5 8 + 1 8 = 2 8 3 8 − 5 8 = 6 8 5 8 + 3 8 = 0 8


Rechnen in kleinen Welten

Beispielaufgaben4 8 + 5 8 + 1 8

= 4 + 5 + 1 8 = 10 8

= 1 ⋅ 8 + 2 8 = 2 8

3 8 − 6 8

= 3 + 1 ⋅ 8 8 − 6 8

= 11 − 6 8 = 5 8

5 8 ⋅ 7 8

= 5 ⋅ 7 8 = 35 8

= 4 ⋅ 8 + 3 8 = 3 8

4 8 ∶ 6 8

= 4 + 1 ⋅ 8 8 ∶ 6 8

= 12 ∶ 6 8 = 2 8

BemerkungenOffensichtlich benötigt man in ℤ8 (und allgemein in ℤ𝑛𝑛) keine „Brüche“ wie 4

6.

Die letzte Rechnung beinhaltet noch ein Problem, weil auch folgendes richtig ist:

4 8 ∶ 6 8

= 4 + 4 ⋅ 8 8 ∶ 6 8

= 36 ∶ 6 8 = 6 8

Die Division hat also nicht nur eine „ganzzahlige“ Lösung, sondern auch noch zwei verschiedenen Lösungen.Um das zu verstehen, müssen die Verknüpfungsstrukturen der Restklassen noch einmal analysiert werden.


Strukturen ℤ𝑛𝑛, + und ℤ𝑛𝑛,⋅ untersuchen

ErkundungSind die Strukturen ℤ𝑛𝑛, + und ℤ𝑛𝑛,⋅Gruppen?Um zu zeigen, dass eine Struktur 𝐺𝐺,∘ eineGruppe ist, muss man sie auf Abgeschlos-senheit, Assoziativität, Existenz eines neu-tralen Elements und Existenz inverser Ele-mente untersuchen, also nachprüfen, ob fol-gende Gruppenaxiome erfüllt sind (vgl. Defi-nition 2.1.2):

(G0) ∀𝑎𝑎,𝑏𝑏∈𝐺𝐺 𝑎𝑎 ∘ 𝑏𝑏 ∈ 𝐺𝐺(G1) ∀𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐∈𝐺𝐺 𝑎𝑎 ∘ 𝑏𝑏 ∘ 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 ∘ 𝑏𝑏 ∘ 𝑐𝑐(G2) ∃𝑒𝑒∈𝐺𝐺 ∀𝑎𝑎∈𝐺𝐺 𝑎𝑎 ∘ 𝑒𝑒 = 𝑒𝑒 ∘ 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎(G3) ∀𝑎𝑎∈𝐺𝐺 ∃𝑎𝑎−1∈𝐺𝐺 𝑎𝑎 ∘ 𝑎𝑎−1 = 𝑎𝑎−1 ∘ 𝑎𝑎 = 𝑒𝑒

BemerkungenDie Frage, ob sich zu jedem Element ein Inverses findet, ist gleichbedeutend, mit der Frage, ob man zu jeder Gleichung 𝑎𝑎 + 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏 bzw. 𝑎𝑎 ⋅ 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏 eine Lösung 𝑥𝑥findet.Dies liegt daran, dass die inversen Ele-mente zu 𝑎𝑎 jeweils die Gleichung lösen:

𝑎𝑎 + 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏 ⇒ 𝑥𝑥 = −𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑎𝑎 ⋅ 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏 ⇒ 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎−1 ⋅ 𝑏𝑏

Andererseits liefern die Gleichungen mit 𝑏𝑏 = 0 bzw. 𝑏𝑏 = 1 die inversen Elemente:

𝑎𝑎 + 𝑥𝑥 = 0 ⇒ 𝑥𝑥 = −𝑎𝑎 Inverses bzgl. +𝑎𝑎 ⋅ 𝑥𝑥 = 1 ⇒ 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎−1 Inverses bzgl. ⋅


Additionstafeln

Aus Tafeln ablesen0 𝑛𝑛 ist jeweils das neutrale

Element, weil gilt: ∀𝑎𝑎∈ℤ𝑛𝑛 0 𝑛𝑛 + 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 + 0 𝑛𝑛 = 𝑎𝑎.In jeder Zeile und Spalte kommt jedes Element von ℤ𝑛𝑛 genau einmal vor. Das heißt, dass die Gleichung 𝑎𝑎 + 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏 für alle 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℤ𝑛𝑛 genau eine Lösung besitzt.In jeder Zeile und Spalte befindet sich genau eine Null. Damit existiert zu jedem 𝑎𝑎 ∈ ℤ𝑛𝑛 genau ein inverses Element −𝑎𝑎, für das gilt: 𝑎𝑎 + −𝑎𝑎 = −𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 = 0 𝑛𝑛.ℤ𝑛𝑛, + ist kommutativ, denn alle Tafeln sind symmetrisch zur Hauptdiagonalen.

+ 𝟎𝟎 𝟔𝟔 𝟏𝟏 𝟔𝟔 𝟐𝟐 𝟔𝟔 𝟑𝟑 𝟔𝟔 𝟒𝟒 𝟔𝟔 𝟓𝟓 𝟔𝟔

𝟎𝟎 𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟔𝟔 𝟏𝟏 𝟔𝟔 𝟐𝟐 𝟔𝟔 𝟑𝟑 𝟔𝟔 𝟒𝟒 𝟔𝟔 𝟓𝟓 𝟔𝟔

𝟏𝟏 𝟔𝟔 𝟏𝟏 𝟔𝟔 𝟐𝟐 𝟔𝟔 𝟑𝟑 𝟔𝟔 𝟒𝟒 𝟔𝟔 𝟓𝟓 𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟔𝟔

𝟐𝟐 𝟔𝟔 𝟐𝟐 𝟔𝟔 𝟑𝟑 𝟔𝟔 𝟒𝟒 𝟔𝟔 𝟓𝟓 𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟔𝟔 𝟏𝟏 𝟔𝟔

𝟑𝟑 𝟔𝟔 𝟑𝟑 𝟔𝟔 𝟒𝟒 𝟔𝟔 𝟓𝟓 𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟔𝟔 𝟏𝟏 𝟔𝟔 𝟐𝟐 𝟔𝟔

𝟒𝟒 𝟔𝟔 𝟒𝟒 𝟔𝟔 𝟓𝟓 𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟔𝟔 𝟏𝟏 𝟔𝟔 𝟐𝟐 𝟔𝟔 𝟑𝟑 𝟔𝟔

𝟓𝟓 𝟔𝟔 𝟓𝟓 𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟔𝟔 𝟏𝟏 𝟔𝟔 𝟐𝟐 𝟔𝟔 𝟑𝟑 𝟔𝟔 𝟒𝟒 𝟔𝟔

(ℤ𝟔𝟔, +)+ 𝟎𝟎 𝟓𝟓 𝟏𝟏 𝟓𝟓 𝟐𝟐 𝟓𝟓 𝟑𝟑 𝟓𝟓 𝟒𝟒 𝟓𝟓

𝟎𝟎 𝟓𝟓 𝟎𝟎 𝟓𝟓 𝟏𝟏 𝟓𝟓 𝟐𝟐 𝟓𝟓 𝟑𝟑 𝟓𝟓 𝟒𝟒 𝟓𝟓

𝟏𝟏 𝟓𝟓 𝟏𝟏 𝟓𝟓 𝟐𝟐 𝟓𝟓 𝟑𝟑 𝟓𝟓 𝟒𝟒 𝟓𝟓 𝟎𝟎 𝟓𝟓

𝟐𝟐 𝟓𝟓 𝟐𝟐 𝟓𝟓 𝟑𝟑 𝟓𝟓 𝟒𝟒 𝟓𝟓 𝟎𝟎 𝟓𝟓 𝟏𝟏 𝟓𝟓

𝟑𝟑 𝟓𝟓 𝟑𝟑 𝟓𝟓 𝟒𝟒 𝟓𝟓 𝟎𝟎 𝟓𝟓 𝟏𝟏 𝟓𝟓 𝟐𝟐 𝟓𝟓

𝟒𝟒 𝟓𝟓 𝟒𝟒 𝟓𝟓 𝟎𝟎 𝟓𝟓 𝟏𝟏 𝟓𝟓 𝟐𝟐 𝟓𝟓 𝟑𝟑 𝟓𝟓

(ℤ𝟓𝟓, +)+ 𝟎𝟎 𝟒𝟒 𝟏𝟏 𝟒𝟒 𝟐𝟐 𝟒𝟒 𝟑𝟑 𝟒𝟒

𝟎𝟎 𝟒𝟒 𝟎𝟎 𝟒𝟒 𝟏𝟏 𝟒𝟒 𝟐𝟐 𝟒𝟒 𝟑𝟑 𝟒𝟒

𝟏𝟏 𝟒𝟒 𝟏𝟏 𝟒𝟒 𝟐𝟐 𝟒𝟒 𝟑𝟑 𝟒𝟒 𝟎𝟎 𝟒𝟒

𝟐𝟐 𝟒𝟒 𝟐𝟐 𝟒𝟒 𝟑𝟑 𝟒𝟒 𝟎𝟎 𝟒𝟒 𝟏𝟏 𝟒𝟒

𝟑𝟑 𝟒𝟒 𝟑𝟑 𝟒𝟒 𝟎𝟎 𝟒𝟒 𝟏𝟏 𝟒𝟒 𝟐𝟐 𝟒𝟒

(ℤ𝟒𝟒, +)+ 𝟎𝟎 𝟑𝟑 𝟏𝟏 𝟑𝟑 𝟐𝟐 𝟑𝟑

𝟎𝟎 𝟑𝟑 𝟎𝟎 𝟑𝟑 𝟏𝟏 𝟑𝟑 𝟐𝟐 𝟑𝟑

𝟏𝟏 𝟑𝟑 𝟏𝟏 𝟑𝟑 𝟐𝟐 𝟑𝟑 𝟎𝟎 𝟑𝟑

𝟐𝟐 𝟑𝟑 𝟐𝟐 𝟑𝟑 𝟎𝟎 𝟑𝟑 𝟏𝟏 𝟑𝟑

(ℤ𝟑𝟑, +)

+ 𝟎𝟎 𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟐𝟐

𝟎𝟎 𝟐𝟐 𝟎𝟎 𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟐𝟐

𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟎𝟎 𝟐𝟐

(ℤ𝟐𝟐, +)

Satz 3.2.1:∀𝑛𝑛∈ℕ ℤ𝑛𝑛, + ist eine kommutative Gruppe.


Multiplikationstafeln

Inverses Element zu 0 𝑛𝑛Offensichtlich gibt es zu 0 𝑛𝑛 jeweils kein inverses Element in ℤ𝑛𝑛,⋅ , das also multipliziert mit 0 𝑛𝑛 das neutrale Element, hier 1 𝑛𝑛, liefern würde: 0 𝑛𝑛 ⋅ 𝑥𝑥 = 1 𝑛𝑛Man sieht das daran, dass die 0 𝑛𝑛-Zeilen bzw. 0 𝑛𝑛-Spalten jeweils keine 1 𝑛𝑛 enthal-ten. 0 𝑛𝑛 ist in allen ℤ𝑛𝑛,⋅ ein Nullelement, für das gilt: ∀𝑎𝑎∈ℤ𝑛𝑛 0 𝑛𝑛 ⋅ 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 ⋅ 0 𝑛𝑛 = 0 𝑛𝑛

Wenn man möchte das ℤ𝑛𝑛,⋅ die Chance hat eine Gruppe zu werden, muss man die erste Zeile und Spalte der Tafel streichen.

� 𝟎𝟎 𝟔𝟔 𝟏𝟏 𝟔𝟔 𝟐𝟐 𝟔𝟔 𝟑𝟑 𝟔𝟔 𝟒𝟒 𝟔𝟔 𝟓𝟓 𝟔𝟔

𝟎𝟎 𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟔𝟔

𝟏𝟏 𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟔𝟔 𝟏𝟏 𝟔𝟔 𝟐𝟐 𝟔𝟔 𝟑𝟑 𝟔𝟔 𝟒𝟒 𝟔𝟔 𝟓𝟓 𝟔𝟔

𝟐𝟐 𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟔𝟔 𝟐𝟐 𝟔𝟔 𝟒𝟒 𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟔𝟔 𝟐𝟐 𝟔𝟔 𝟒𝟒 𝟔𝟔

𝟑𝟑 𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟔𝟔 𝟑𝟑 𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟔𝟔 𝟑𝟑 𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟔𝟔 𝟑𝟑 𝟔𝟔

𝟒𝟒 𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟔𝟔 𝟒𝟒 𝟔𝟔 𝟐𝟐 𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟔𝟔 𝟒𝟒 𝟔𝟔 𝟐𝟐 𝟔𝟔

𝟓𝟓 𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟔𝟔 𝟓𝟓 𝟔𝟔 𝟒𝟒 𝟔𝟔 𝟑𝟑 𝟔𝟔 𝟐𝟐 𝟔𝟔 𝟏𝟏 𝟔𝟔

(ℤ𝟔𝟔,�)

� 𝟎𝟎 𝟓𝟓 𝟏𝟏 𝟓𝟓 𝟐𝟐 𝟓𝟓 𝟑𝟑 𝟓𝟓 𝟒𝟒 𝟓𝟓

𝟎𝟎 𝟓𝟓 𝟎𝟎 𝟓𝟓 𝟎𝟎 𝟓𝟓 𝟎𝟎 𝟓𝟓 𝟎𝟎 𝟓𝟓 𝟎𝟎 𝟓𝟓

𝟏𝟏 𝟓𝟓 𝟎𝟎 𝟓𝟓 𝟏𝟏 𝟓𝟓 𝟐𝟐 𝟓𝟓 𝟑𝟑 𝟓𝟓 𝟒𝟒 𝟓𝟓

𝟐𝟐 𝟓𝟓 𝟎𝟎 𝟓𝟓 𝟐𝟐 𝟓𝟓 𝟒𝟒 𝟓𝟓 𝟏𝟏 𝟓𝟓 𝟑𝟑 𝟓𝟓

𝟑𝟑 𝟓𝟓 𝟎𝟎 𝟓𝟓 𝟑𝟑 𝟓𝟓 𝟏𝟏 𝟓𝟓 𝟒𝟒 𝟓𝟓 𝟐𝟐 𝟓𝟓

𝟒𝟒 𝟓𝟓 𝟎𝟎 𝟓𝟓 𝟒𝟒 𝟓𝟓 𝟑𝟑 𝟓𝟓 𝟐𝟐 𝟓𝟓 𝟏𝟏 𝟓𝟓

(ℤ𝟓𝟓,�)

� 𝟎𝟎 𝟒𝟒 𝟏𝟏 𝟒𝟒 𝟐𝟐 𝟒𝟒 𝟑𝟑 𝟒𝟒

𝟎𝟎 𝟒𝟒 𝟎𝟎 𝟒𝟒 𝟎𝟎 𝟒𝟒 𝟎𝟎 𝟒𝟒 𝟎𝟎 𝟒𝟒

𝟏𝟏 𝟒𝟒 𝟎𝟎 𝟒𝟒 𝟏𝟏 𝟒𝟒 𝟐𝟐 𝟒𝟒 𝟑𝟑 𝟒𝟒

𝟐𝟐 𝟒𝟒 𝟎𝟎 𝟒𝟒 𝟐𝟐 𝟒𝟒 𝟎𝟎 𝟒𝟒 𝟐𝟐 𝟒𝟒

𝟑𝟑 𝟒𝟒 𝟎𝟎 𝟒𝟒 𝟑𝟑 𝟒𝟒 𝟐𝟐 𝟒𝟒 𝟏𝟏 𝟒𝟒

(ℤ𝟒𝟒,�)

� 𝟎𝟎 𝟑𝟑 𝟏𝟏 𝟑𝟑 𝟐𝟐 𝟑𝟑

𝟎𝟎 𝟑𝟑 𝟎𝟎 𝟑𝟑 𝟎𝟎 𝟑𝟑 𝟎𝟎 𝟑𝟑

𝟏𝟏 𝟑𝟑 𝟎𝟎 𝟑𝟑 𝟏𝟏 𝟑𝟑 𝟐𝟐 𝟑𝟑

𝟐𝟐 𝟑𝟑 𝟎𝟎 𝟑𝟑 𝟐𝟐 𝟑𝟑 𝟏𝟏 𝟑𝟑

(ℤ𝟑𝟑,�)

� 𝟎𝟎 𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟐𝟐

𝟎𝟎 𝟐𝟐 𝟎𝟎 𝟐𝟐 𝟎𝟎 𝟐𝟐

𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟎𝟎 𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟐𝟐

(ℤ𝟐𝟐,�)


Multiplikationstafeln

� 𝟏𝟏 𝟔𝟔 𝟐𝟐 𝟔𝟔 𝟑𝟑 𝟔𝟔 𝟒𝟒 𝟔𝟔 𝟓𝟓 𝟔𝟔

𝟏𝟏 𝟔𝟔 𝟏𝟏 𝟔𝟔 𝟐𝟐 𝟔𝟔 𝟑𝟑 𝟔𝟔 𝟒𝟒 𝟔𝟔 𝟓𝟓 𝟔𝟔

𝟐𝟐 𝟔𝟔 𝟐𝟐 𝟔𝟔 𝟒𝟒 𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟔𝟔 𝟐𝟐 𝟔𝟔 𝟒𝟒 𝟔𝟔

𝟑𝟑 𝟔𝟔 𝟑𝟑 𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟔𝟔 𝟑𝟑 𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟔𝟔 𝟑𝟑 𝟔𝟔

𝟒𝟒 𝟔𝟔 𝟒𝟒 𝟔𝟔 𝟐𝟐 𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟔𝟔 𝟒𝟒 𝟔𝟔 𝟐𝟐 𝟔𝟔

𝟓𝟓 𝟔𝟔 𝟓𝟓 𝟔𝟔 𝟒𝟒 𝟔𝟔 𝟑𝟑 𝟔𝟔 𝟐𝟐 𝟔𝟔 𝟏𝟏 𝟔𝟔

ℤ𝟔𝟔 ∖ 𝟎𝟎 𝟔𝟔 ,⋅� 𝟏𝟏 𝟓𝟓 𝟐𝟐 𝟓𝟓 𝟑𝟑 𝟓𝟓 𝟒𝟒 𝟓𝟓

𝟏𝟏 𝟓𝟓 𝟏𝟏 𝟓𝟓 𝟐𝟐 𝟓𝟓 𝟑𝟑 𝟓𝟓 𝟒𝟒 𝟓𝟓

𝟐𝟐 𝟓𝟓 𝟐𝟐 𝟓𝟓 𝟒𝟒 𝟓𝟓 𝟏𝟏 𝟓𝟓 𝟑𝟑 𝟓𝟓

𝟑𝟑 𝟓𝟓 𝟑𝟑 𝟓𝟓 𝟏𝟏 𝟓𝟓 𝟒𝟒 𝟓𝟓 𝟐𝟐 𝟓𝟓

𝟒𝟒 𝟓𝟓 𝟒𝟒 𝟓𝟓 𝟑𝟑 𝟓𝟓 𝟐𝟐 𝟓𝟓 𝟏𝟏 𝟓𝟓

ℤ𝟓𝟓 ∖ 𝟎𝟎 𝟓𝟓 ,⋅� 𝟏𝟏 𝟒𝟒 𝟐𝟐 𝟒𝟒 𝟑𝟑 𝟒𝟒

𝟏𝟏 𝟒𝟒 𝟏𝟏 𝟒𝟒 𝟐𝟐 𝟒𝟒 𝟑𝟑 𝟒𝟒

𝟐𝟐 𝟒𝟒 𝟐𝟐 𝟒𝟒 𝟎𝟎 𝟒𝟒 𝟐𝟐 𝟒𝟒

𝟑𝟑 𝟒𝟒 𝟑𝟑 𝟒𝟒 𝟐𝟐 𝟒𝟒 𝟏𝟏 𝟒𝟒

� 𝟏𝟏 𝟑𝟑 𝟐𝟐 𝟑𝟑

𝟏𝟏 𝟑𝟑 𝟏𝟏 𝟑𝟑 𝟐𝟐 𝟑𝟑

𝟐𝟐 𝟑𝟑 𝟐𝟐 𝟑𝟑 𝟏𝟏 𝟑𝟑

� 𝟏𝟏 𝟐𝟐

𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟐𝟐

ℤ𝟒𝟒 ∖ 𝟎𝟎 𝟒𝟒 ,⋅ℤ𝟑𝟑 ∖ 𝟎𝟎 𝟑𝟑 ,⋅ℤ𝟐𝟐 ∖ 𝟎𝟎 𝟐𝟐 ,⋅

ℤ𝟒𝟒 ∖ 𝟎𝟎 𝟒𝟒 ,⋅ ist keine Gruppe, da sie bzgl. der Multi-plikation nicht ab-geschlossen ist:2 4 ⋅ 2 4 = 0 40 4 ∉ ℤ4 ∖ 0 4

Darüber hinaus gibt es zu 2 4 kein inverses Element.

ℤ𝟔𝟔 ∖ 𝟎𝟎 𝟔𝟔 ,⋅ ist keine Grup-pe, da sie bzgl. der Multipli-kation nicht abgeschlossen ist: 2 6 ⋅ 3 6 = 0 6 und 0 6 ∉ ℤ6 ∖ 0 6 .

Darüber hinaus haben 2 6, 3 6 und 4 6 keine Inverse.

Wenn ein Element kein Inverses hat, dann haben Gleichungen wie 4 6 ⋅ 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏manchmal mehrere und manchmal keine Lösung:4 6 ⋅ 𝑥𝑥 = 2 6 hat zwei Lö-

sungen 𝑥𝑥 = 2 6 und 𝑥𝑥 = 5 6.4 6 ⋅ 𝑥𝑥 = 3 6 hat keine

Lösung.


Eigenschaften von ℤ𝑛𝑛, +,⋅

Behauptungℤ𝑛𝑛,⋅ ist assoziativ.∀ 𝑎𝑎 𝑛𝑛, 𝑏𝑏 𝑛𝑛, 𝑐𝑐 𝑛𝑛∈ℤ𝑛𝑛

𝑎𝑎 𝑛𝑛 ⋅ 𝑏𝑏 𝑛𝑛 ⋅ 𝑐𝑐 𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ⋅ 𝑏𝑏 𝑛𝑛 ⋅ 𝑐𝑐 𝑛𝑛

Beweis𝑎𝑎 𝑛𝑛 , 𝑏𝑏 𝑛𝑛, 𝑐𝑐 𝑛𝑛 ∈ ℤ𝑛𝑛𝑎𝑎 𝑛𝑛 ⋅ 𝑏𝑏 𝑛𝑛 ⋅ 𝑐𝑐 𝑛𝑛

= 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 ⋅ 𝑐𝑐 𝑛𝑛

⏞=Assoziativität in ℤ

𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 ⋅ 𝑐𝑐 𝑛𝑛

= 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ⋅ 𝑏𝑏 𝑛𝑛 ⋅ 𝑐𝑐 𝑛𝑛

■

BehauptungIn ℤ𝑛𝑛, +,⋅ gelten Distributivitäten.

∀ 𝑎𝑎 𝑛𝑛, 𝑏𝑏 𝑛𝑛, 𝑐𝑐 𝑛𝑛∈ℤ𝑛𝑛

𝑎𝑎 𝑛𝑛 ⋅ 𝑏𝑏 𝑛𝑛 + 𝑐𝑐 𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ⋅ 𝑏𝑏 𝑛𝑛 + 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ⋅ 𝑐𝑐 𝑛𝑛

und∀ 𝑎𝑎 𝑛𝑛, 𝑏𝑏 𝑛𝑛, 𝑐𝑐 𝑛𝑛∈ℤ𝑛𝑛

𝑎𝑎 𝑛𝑛 + 𝑏𝑏 𝑛𝑛 ⋅ 𝑐𝑐 𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ⋅ 𝑐𝑐 𝑛𝑛 + 𝑏𝑏 𝑛𝑛 ⋅ 𝑐𝑐 𝑛𝑛

BeweisÜbungsaufgaben

BemerkungWegen der gezeigten Eigenschaften heißt ℤ𝑛𝑛, +,⋅ auch Ring.


Ring und Nullteiler

Definition 3.2.1: RingEine Menge 𝑅𝑅 zusammen mit einer Addition + und einer Multiplikation ⋅heißt Ring 𝑹𝑹, +,⋅ , wenn folgende Eigenschaften gelten:

(R1) 𝑅𝑅, + ist eine kommutative Gruppe.(R2) 𝑅𝑅 ist bzgl. der Multiplikation

abgeschlossen∀𝑎𝑎,𝑏𝑏∈𝑅𝑅 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 ∈ 𝑅𝑅

und assoziativ∀𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐∈𝑅𝑅 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 ⋅ 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 ⋅ 𝑐𝑐.

(R3) Es gelten folgende Distributivitäten:∀𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐∈𝑅𝑅 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 ⋅ 𝑐𝑐∀𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐∈𝑅𝑅 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ⋅ 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 ⋅ 𝑐𝑐 + 𝑏𝑏 ⋅ 𝑐𝑐

Definition 3.2.2: Nullteiler𝑅𝑅, +,⋅ ist ein Ring und 0 ist das neutrale

Element der Addition in diesem Ring.Wenn für zwei Elemente 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ 𝑅𝑅 gilt 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 = 0 sowie 𝑎𝑎 ≠ 0 und 𝑏𝑏 ≠ 0, dann heißen 𝑎𝑎 und 𝑏𝑏 Nullteiler.

BemerkungenIn den ganzen Zahlen ℤ gibt es keine Nullteiler, denn aus 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 = 0 folgt dort, 𝑎𝑎 = 0 oder 𝑏𝑏 = 0. In ℤ6 gibt es aber Nullteiler, nämlich 2 6, 3 6 und 4 6. Es gilt nämlich unter

anderem: 2 6 ⋅ 3 6 = 0 63 6 ⋅ 4 6 = 0 6


Welche Elemente muss man aus ℤ𝑛𝑛 entfernen, damit die Restmenge bzgl. ⋅ eine Gruppe ist?

In ℤ5,⋅ gibt es keine Nullteiler. ℤ5 ∖ 0 5 ,⋅ ist eine Gruppe ℤ5 ∖ 0 5 = 1 5, 2 5, 3 5, 4 5 . Das Phänomen scheint immer dann aufzutreten, wenn der Modul Element der Primzahlen ℙ ist.

Satz 3.2.2: ∀𝑝𝑝∈ℙ ℤ𝑝𝑝 ∖ 0 𝑝𝑝 ,⋅ ist eine Gruppe.

Wenn der Modul 𝑛𝑛 keine Primzahl ist, also weitere Teiler außer 1 und 𝑛𝑛 besitzt, dann ent-stehen Nullteiler (z. B. 2 6, 3 6 und 4 6 in ℤ6).

Satz 3.2.3: Wenn eine Zahl 𝑚𝑚 mit 0 < 𝑚𝑚 < 𝑛𝑛einen gemeinsamen Teiler mit 𝑛𝑛besitzt ggT 𝑚𝑚,𝑛𝑛 > 1 , dann ist 𝑚𝑚 𝑛𝑛 ein Nullteiler in ℤ𝑛𝑛.

In ℤ6,⋅ gibt es die Nullteiler 2 6, 3 6 und 4 6. ℤ6 ∖ 0 6, 2 6, 3 6, 4 6 ,⋅ ist eine Gruppe.

Satz 3.2.4: Wenn man aus ℤ𝑛𝑛 die 0 𝑛𝑛 und alle Nullteiler entfernt, bleiben nur invertier-bare Elemente übrig. Die so entstehen-de Restmenge ist zusammen mit der Multiplikation ⋅ eine Gruppe.

Satz 3.2.5: Das Produkt 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 von invertierbaren Elementen 𝑎𝑎 und 𝑏𝑏 ist selbst invertier-bar und es gilt: 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 −1 = 𝑏𝑏−1 ⋅ 𝑎𝑎−1

Beweis (durch Nachrechnen):𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 ⋅ 𝑏𝑏−1 ⋅ 𝑎𝑎−1

⏞=Assoziativität

𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 ⋅ 𝑏𝑏−1=1

⋅ 𝑎𝑎−1

= 𝑎𝑎 ⋅ 𝑎𝑎−1 = 1= 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 ⋅ 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 −1 ■

� 𝟏𝟏 𝟔𝟔 𝟓𝟓 𝟔𝟔

𝟏𝟏 𝟔𝟔 𝟏𝟏 𝟔𝟔 𝟓𝟓 𝟔𝟔

𝟓𝟓 𝟔𝟔 𝟓𝟓 𝟔𝟔 𝟏𝟏 𝟔𝟔


Beweis zu Satz 3.2.3

BemerkungenNullteiler wie z.B. 4 6 in 𝑍𝑍6 ∖ 0 6 entstehen dann, wenn die Vielfachen einer Zahl (also z.B. 1 6 ⋅ 4 6, 2 6 ⋅ 4 6, 3 6 ⋅ 4 6, 4 6 ⋅ 4 6,5 6 ⋅ 4 6, siehe die 4 6-er-Spalte in ℤ6) nicht

lauter verschiedene Ergebnisse (hier die 1 6bis 5 6 in beliebiger Reihenfolge) produzie-ren, sondern schon früher die 0 6 erzeugen.Das liegt dann daran, dass 4 einen Teiler mit 6 gemeinsam hat (nämlich die 2) und daher nicht erst bei 6 ⋅ 4, sondern schon bei 3 ⋅ 4 =12 ein Vielfaches von 6 produziert. Ähnliches passiert auch bei 2 6 und 3 6, weil auch sie gemeinsame Teiler mit 6 haben. Für die 5 6 sieht es anders aus: 1 6 ⋅ 5 6,2 6 ⋅ 5 6, 3 6 ⋅ 5 6, 4 6 ⋅ 5 6, 5 6 ⋅ 5 6,

produzieren alle verschiedene Elemente aus ℤ6 ∖ { 0 6}.

Beweis zu Satz 3.2.3Sei 𝑚𝑚 𝑛𝑛 ∈ ℤ𝑛𝑛 ∖ 0 𝑛𝑛 .Wenn 𝑚𝑚 und 𝑛𝑛 einen gemeinsamen Teiler 𝑘𝑘 > 1 haben, also gilt

𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 ⋅ 𝑘𝑘 mit 𝑎𝑎 < 𝑛𝑛 und𝑚𝑚 = 𝑏𝑏 ⋅ 𝑘𝑘 mit 𝑏𝑏 < 𝑚𝑚,

dann ist 𝑚𝑚 ⋅ 𝑎𝑎 ein Vielfaches von 𝑛𝑛 und es gilt:𝑚𝑚 ⋅ 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 ⋅ 𝑘𝑘 ⋅ 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 ⋅ 𝑎𝑎 ⋅ 𝑘𝑘 = 𝑏𝑏 ⋅ 𝑛𝑛⇒ 𝑚𝑚 ⋅ 𝑎𝑎 ∈ 𝑛𝑛ℤ⇔ 𝑚𝑚 𝑛𝑛 ⋅ 𝑎𝑎 𝑛𝑛 = 0 𝑛𝑛

Wenn 𝑚𝑚 und 𝑛𝑛 also nicht teilerfremd sind, d.h. ggT 𝑛𝑛,𝑚𝑚 > 1, ist 𝑚𝑚 𝑛𝑛 ein Nullteiler in ℤ𝑛𝑛,⋅ .

■

Bemerkung𝑛𝑛ℤ = 𝑛𝑛𝑥𝑥 𝑥𝑥 ∈ ℤ = … ,𝑛𝑛 ⋅ −1 ,𝑛𝑛 ⋅ 0,𝑛𝑛 ⋅ 1, …ist die Menge aller Vielfachen von 𝑛𝑛.


Vielfache von Restklassen

Sind alle Elemente 𝑚𝑚 𝑛𝑛 für die 𝑚𝑚 und 𝑛𝑛 teiler-fremd sind ggT 𝑛𝑛,𝑚𝑚 = 1 invertierbar in ℤ𝑛𝑛?

Das kann man z. B. an den Vielfachen von 2 8und von 3 8 in ℤ8 betrachten

https://www.geogebra.org/m/suwxygz2

https://www.geogebra.org/m/suwxygz2


Beweis zu Satz 3.2.4

Zu zeigen ist:Wenn ggT 𝑛𝑛,𝑚𝑚 = 1, dann kommt unter den Produkten 0 𝑛𝑛 ⋅ 𝑚𝑚 𝑛𝑛 bis 𝑛𝑛 − 1 𝑛𝑛 ⋅ 𝑚𝑚 𝑛𝑛 jedes Ergebnis 0 𝑛𝑛 bis 𝑛𝑛 − 1 𝑛𝑛 genau einmal vor.

BeweisAngenommen, zwei Produkte wären gleich: 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ⋅ 𝑚𝑚 𝑛𝑛 = 𝑦𝑦 𝑛𝑛 ⋅ 𝑚𝑚 𝑛𝑛

⇒ 𝑥𝑥 𝑛𝑛 − 𝑦𝑦 𝑛𝑛 ⋅ 𝑚𝑚 𝑛𝑛 = 0 𝑛𝑛

⇒ 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 ⋅ 𝑚𝑚 𝑛𝑛 = 0 𝑛𝑛

⇒ 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 ⋅ 𝑚𝑚 ist Vielfaches von 𝑛𝑛⇒ Da 𝑛𝑛 und 𝑚𝑚 nach Voraussetzung

keine gemeinsamen Teiler haben, muss 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 bereits ein Vielfaches von 𝑛𝑛 sein.

⇒ 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 𝑛𝑛 = 0 𝑛𝑛

⇒ 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 𝑦𝑦 𝑛𝑛 ■

BemerkungDamit ist Satz 3.2.4 weitgehend begründet.Eben wurde gezeigt, dass alle Elemente mit ggT(𝑛𝑛,𝑚𝑚) = 1 invertierbar und alle anderen Nullteiler sind. Assoziativität oder Kommutativität werden durch das Entfernen von Elementen nicht beeinflusst. Allerdings könnte die Multiplikation aufgrund der Entfernung einiger Elemente nicht mehr abgeschlossen sein: Möglicherweise wird ein Element 𝑎𝑎 entfernt, welches als Ergebnis der Multiplikation 𝑏𝑏 ⋅ 𝑐𝑐 von zwei verbliebenen Elementen herauskommt.Das kann aber nicht passieren, weil das Pro-dukt 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 von zwei invertierbaren Elementen 𝑎𝑎 und 𝑏𝑏 immer invertierbar ist.


Invertierbare Elemente in ℤ𝑛𝑛

Definition 3.2.3: Teilmenge der invertier-baren Elemente in ℤ𝒏𝒏

Die Teilmenge ℤ𝑛𝑛∗ der invertierbaren Elemente in ℤ𝑛𝑛 bildet eine multiplikative Gruppe, die mit ℤ𝑛𝑛∗ ,⋅ bezeichnet wird.ℤ𝑛𝑛∗ besteht aus allen Elementen 𝑚𝑚 𝑛𝑛 mit 𝑚𝑚 < 𝑛𝑛 für die 𝑚𝑚 und 𝑛𝑛 teilerfremd sind:ℤ𝑛𝑛∗ ≔ 𝑎𝑎 ∈ ℤ𝑛𝑛 𝑎𝑎 invertierbar

= 𝑚𝑚 𝑛𝑛|m < n ∧ ggT 𝑚𝑚,𝑛𝑛 = 1

BemerkungDie Konstruktion, aus einer Menge 𝐺𝐺 mit assoziativer Verknüpfung durch Entnahme aller nicht invertierbaren Elemente eine Gruppe 𝐺𝐺∗ zu erzeugen, ist universell anwendbar und nicht auf die ℤ𝑛𝑛 beschränkt. Man findet das Sternsymbol auch an anderer Stelle, z. B. für ℚ∗ ≔ ℚ ∖ 0 , denn auch hier wurden alle nicht invertierbaren Elemente entfernt.



3.3 Zahlenwelten in höheren Dimensionen

Abbildung aus Leuders, T. (2016). Erlebnis Algebra – zum aktiven Entdecken und selbständigen

Erarbeiten. Berlin: Springer Spektrum, S. 59

Conways Spiel des Lebens


„Game of Life“ – John Conway 1970

Spielkonzept „Spiel des Lebens“Eine lebende Zelle wird durch 1 markiert, eine tote durch 0. Leben ist also ein Zustand in ℤ2.Auch die Zeit ist keine kontinuierliche Größe, sondern verläuft in diskreten Schritten 𝑡𝑡 = 0, 1, 2, … ist also ein Element von ℤ.Ob eine Zelle zur Zeit 𝑡𝑡 + 1 lebt, entscheidet sich nach der Zahl ihrer Nachbarn zum Zeitpunkt 𝑡𝑡:

Eine Zelle mit drei lebenden Nachbarn wird geboren.Um am Leben zu bleiben, braucht es zwei oder drei lebende Nachbarn.Mit weniger oder mehr lebenden Nachbarn stirbt eine Zelle.

Die Zellen leben nicht im dreidimensionalen und kontinuierlichen ℝ3, sondern auf dem diskreten Koordinatengitter ℤ2 ≔ ℤ × ℤ = 𝑚𝑚,𝑛𝑛 |𝑚𝑚,𝑛𝑛 ∈ ℤ .Anregungen für mögliche „Lebewesen“ findet man unter „Conways Spiel des Lebens“.Dort werden auch Vorschläge für alternative Regeln gemacht, z.B. die 1357-Regel: Zellen mit einer ungeraden Zahl an Nachbarn leben, die anderen sterben.Stellen Sie die Regel im Programm ein und versuchen Sie herauszufinden, warum diese Welt auch den Namen „Kopierwelt“ trägt.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Conways_Spiel_des_Lebens https://www.geogebra.org/m/yhkn7kru

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Das „Spielfeld“ beim „Spiel des Lebens“Wenn Mathematiker Welten wie diese theoretisch erforschen, haben sie keine Probleme damit, dass diese unendlich groß sind – mit der Unendlichkeit der ganzen Zahlen sind sie ja schließlich aufgewachsen. Wenn aber ein Computer die Welt simulieren soll, muss man damit leben, dass er nur endlich viel Speicherplatz besitzt. Es liegt deshalb nahe, die Welt abzuschneiden. An Rand werden aber, mangels vorhandener Nachbarn, die Regeln gestört. Eine Lösung des Problems besteht darin, die Welt an den Rändern zusammenzukleben:

Neben der Randzelle geht die Welt am gegenüberliegenden Ende weiter.

Im Bild auf Folie 3.33 ist der rechte Nach-bar der Spalte [11] wieder die Spalte [0].Wenn ein Objekt über den oberen Rand hinausgeht, kommt es von unten wieder.

Wie kann man sich eine solche Welt vorstellen? Das Zusammenrollen der Zahlengeraden von ℤ zum „Zahlenkreis“ ℤ𝑛𝑛konnte man sich vorstellen (vgl. Folie 3.19).Nun muss ein „zweidimensionaler Zahlenkreis“ konstruiert werden:

ℤ12 × ℤ8 ≔ 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 |𝑎𝑎 ∈ ℤ12, 𝑏𝑏 ∈ ℤ8Ein Punkt auf dem endlichen Gitter hat dann z. B. die Koordinaten 5 12, 1 8 .Einen Punkt mit den Koordinaten 12 12, 1 8ist identifiziert mit dem Punkt 0 12, 1 8 .

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Conways_Spiel_des_Lebens https://www.geogebra.org/m/rdwnqufp

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Abbildung aus Leuders, T. (2016). Erlebnis Algebra – zum aktiven Entdecken und selbständigen Erarbeiten. Berlin: Springer Spektrum, S. 60

ℤ6 × ℤ8

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Das „Spielfeld“ beim „Spiel des Lebens“Wenn man sich analog zum Zahlen-kreis ℤ𝑛𝑛 die zweidimensionale „Rest-klassenwelt“ ℤ𝑚𝑚 × ℤ𝑛𝑛 vorstellen möchte, so kann man auf das Bild eines Torus zurückgreifen. Beim ersten Biegevorgang entsteht ein Schlauch, den man sich noch mit einem Blatt Papier realisiert denken kann. Danach werden die beiden Enden des Schlauches zu einem „Schwimmring“ verklebt.Damit wurden zwei Dimensionen zu Kreisen gebogen, in denen das Restklassenkonzept auch zweidimensional funktioniert.


Torus



Produktgruppen und Zahlenringe

Definition 3.3.1: ProduktgruppeZu zwei Gruppen (𝐺𝐺,∘) und (𝐻𝐻,∘) kann man eine Produktgruppe 𝐺𝐺 × 𝐻𝐻, ∘ mit elementweiser Verknüpfung von Paaren bilden:

𝐺𝐺 × 𝐻𝐻 ≔ 𝑔𝑔, ℎ |𝑔𝑔 ∈ 𝐺𝐺, ℎ ∈ 𝐻𝐻𝑔𝑔1, ℎ1 ∘ 𝑔𝑔2, ℎ2 ≔ 𝑔𝑔1 ∘ 𝑔𝑔2, ℎ1 ∘ ℎ2

Die Operationen können in jedem Faktor verschieden sein.Die Definition kann auf mehr als zwei Faktoren erweitert werden.Bei 𝑛𝑛 gleichen Faktoren schreibt man auch:

𝐺𝐺𝑛𝑛 ≔ 𝐺𝐺 × ⋯× 𝐺𝐺𝑛𝑛 Faktoren

Definition 3.3.2: ZahlenringeDurch Produktbildung mit ℤ und ℤ𝑛𝑛 erhält man unendliche Zahlengitter

ℤ𝑛𝑛 ≔ ℤ × ⋯× ℤ𝑛𝑛 Faktoren

und endliche Restklassengitter, z. B.ℤ𝑘𝑘 × ℤ𝑙𝑙 × ℤ𝑚𝑚 oder ℤ𝑘𝑘 𝑛𝑛 ≔ ℤ𝑘𝑘 × ⋯× ℤ𝑘𝑘

𝑛𝑛 Faktoren

In diesen Mengen addiert und multipliziert man komponentenweise:

𝑎𝑎, 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐,𝑑𝑑 ≔ (𝑎𝑎 + 𝑐𝑐, 𝑏𝑏 + 𝑑𝑑)𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ⋅ 𝑐𝑐,𝑑𝑑 ≔ (𝑎𝑎 ⋅ 𝑐𝑐, 𝑏𝑏 ⋅ 𝑑𝑑)

Beide Operationen sind assoziativ und kom-mutativ. Die Addition führt zu einer Gruppe, die Multiplikation hat ein neutrales Element.Man nennt diese Strukturen Zahlenringe.


ℤ × ℤ, +,⋅ und ℤ5 × ℤ3, +,⋅

Untersuchung von ℤ × ℤ, +,⋅Neutrales Element der Addition: (0,0)

∀ 𝑎𝑎,𝑏𝑏 ∈ℤ×ℤ 0,0 + 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 = 0 + 𝑎𝑎, 0 + 𝑏𝑏= (𝑎𝑎, 𝑏𝑏)

Inverse Elemente der Addition:− 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 = (−𝑎𝑎,−𝑏𝑏) ist additives Inverses Element zu 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℤ × ℤ.𝑎𝑎, 𝑏𝑏 + −𝑎𝑎,−𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 + −𝑎𝑎 ,𝑏𝑏 + −𝑏𝑏

= (0,0)

Neutrales Element der Multiplikation: (1,1)∀ 𝑎𝑎,𝑏𝑏 ∈ℤ×ℤ 1,1 ⋅ 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 = 1 ⋅ 𝑎𝑎, 1 ⋅ 𝑏𝑏

= (𝑎𝑎, 𝑏𝑏)

Untersuchung von ℤ5 × ℤ3, +,⋅Neutrales Element der Addition: ( 0 5, 0 3)

∀ 𝑎𝑎 5, 𝑏𝑏 3 ∈ℤ5×ℤ3 0 5, 0 3 + 𝑎𝑎 5, 𝑏𝑏 3

= 0 5 + 𝑎𝑎 5, 0 3 + 𝑏𝑏 3

= 0 + 𝑎𝑎 5, 0 + 𝑏𝑏 3 = 𝑎𝑎 5, 𝑏𝑏 3

Inverse Elemente der Addition:− 𝑎𝑎 5, 𝑏𝑏 3 = (− 𝑎𝑎 5,− 𝑏𝑏 3) ist additives Inverses Element zu 𝑎𝑎 5, 𝑏𝑏 3 ∈ ℤ5 × ℤ3.𝑎𝑎 5, 𝑏𝑏 3 + − 𝑎𝑎 5,− 𝑏𝑏 3

= 𝑎𝑎 5 + (− 𝑎𝑎 5), 𝑏𝑏 3 + (− 𝑏𝑏 3)= 𝑎𝑎 + (−𝑎𝑎) 5, 𝑏𝑏 + (−𝑏𝑏) 3 = 0 5, 0 3

Neutrales Element der Multiplikation: ( 1 5, 1 3)∀ 𝑎𝑎 5, 𝑏𝑏 3 ∈ℤ5×ℤ3 1 5, 1 3 ⋅ 𝑎𝑎 5, 𝑏𝑏 3

= 1 5 ⋅ 𝑎𝑎 5, 1 3 ⋅ 𝑏𝑏 3

= 1 ⋅ 𝑎𝑎 5, 1 ⋅ 𝑏𝑏 3 = 𝑎𝑎 5, 𝑏𝑏 3


ℤ × ℤ, +,⋅ und ℤ5 × ℤ3, +,⋅

Untersuchung von ℤ × ℤ, +,⋅Inverse der Multiplikation:

In ℤ × ℤ, +,⋅ gibt es keine Inverse bzgl. der Multiplikation.

Nullteiler:Bei „mehrdimensionalen Zahlen“ sind Nullteiler unvermeidbar, da z. B. gilt:0, 2 ⋅ 4, 0 = 0 ⋅ 4, 2 ⋅ 0 = 0, 0

Untersuchung von ℤ5 × ℤ3, +,⋅Inverse der Multiplikation:

Es gilt z. B.4 5, 2 3 ⋅ 4 5, 2 3

= 4 5 ⋅ 4 5, 2 3 ⋅ 2 3 = 16 5, 4 3

= 3 ⋅ 5 + 1 5, 1 ⋅ 3 + 1 3 = 1 5, 1 3

Folglich ist 4 5, 2 3−1 = 4 5, 2 3

Nullteiler:Bei „mehrdimensionalen Zahlen“ sind Nullteiler unvermeidbar, da z. B. gilt:

0 5, 2 3 ⋅ 4 5, 0 3 = 0 ⋅ 4 5, 2 ⋅ 0 3

= 0 5, 0 3


ℤ × ℤ, +,⋅ und ℤ5 × ℤ3, +,⋅

Untersuchung von ℤ × ℤ, +,⋅Additive Gruppe ℤ × ℤ, + erzeugen:

Es liegt nahe es mit einem Element für jede Dimension zu versuchen:

ℤ × ℤ = 1, 0 , (0, 1)Hier wird deutlich, dass es nicht reicht, die erzeugenden Elemente nur miteinander zu verknüpfen, hier also zu addieren. Auf diese Weise würde man keine Inversen (z. B. das zu 1, 0 additiv inverse Element −1, 0 ) erhalten. Das ist der Grund, warum in Definition 2.2.2 auf Folie 2.37 explizit gefordert wird, das man auch alle Inversen bilden muss.

Untersuchung von ℤ5 × ℤ3, +,⋅Additive Gruppe ℤ5 × ℤ3, + erzeugen:

Es liegt nahe es mit einem Element für jede Dimension zu versuchen:ℤ5 × ℤ3 = 1 5, 0 3 , ( 0 5, 1 3)

Es geht hier aber sogar mit nur einem erzeugenden Element:ℤ5 × ℤ3 = 1 5, 1 3

Durch fortgesetzte Addition lässt sichleicht nachweisen, dass so alle 15 Elemente der additiven Gruppe ℤ5 × ℤ3 erzeugt werden.

0 5, 0 3 0 5, 1 3 0 5, 2 3

1 5, 0 3 1 5, 1 3 1 5, 2 3

2 5, 0 3 2 5, 1 3 2 5, 2 3

3 5, 0 3 3 5, 1 3 3 5, 2 3

4 5, 0 3 4 5, 1 3 4 5, 2 3


ℤ3 × ℤ3, + und ℤ6 × ℤ3, +

Untersuchung von ℤ3 × ℤ3, +Ist ℤ3 × ℤ3 = 1 3, 1 3 richtig?

Untersuchung von ℤ6 × ℤ3, +Ist ℤ6 × ℤ3 = 1 6, 1 3 richtig?

0 3, 0 3 0 3, 1 3 0 3, 2 3

1 3, 0 3 1 3, 1 3 1 3, 2 3

2 3, 0 3 2 3, 1 3 2 3, 2 3

0 6, 0 3 0 6, 1 3 0 6, 2 3

1 6, 0 3 1 6, 1 3 1 5, 2 3

2 6, 0 3 2 6, 1 3 2 6, 2 3

3 6, 0 3 3 6, 1 3 3 6, 2 3

4 6, 0 3 4 6, 1 3 4 6, 2 3

5 6, 0 3 5 6, 1 3 5 6, 2 3

Nein! Nein!


ℤ6 × ℤ4, +

Untersuchung von ℤ6 × ℤ4, +Ist ℤ6 × ℤ4 = 1 6, 1 4 richtig?Nein!

Insgesamt ergibt sich:ℤ𝑚𝑚 × ℤ𝑛𝑛 = 1 𝑚𝑚, 1 𝑛𝑛

⇔ 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑚𝑚,𝑛𝑛 = 1

0 6, 0 4 0 6, 1 4 0 6, 2 4

1 6, 0 4 1 6, 1 4 1 5, 2 4

2 6, 0 4 2 6, 1 4 2 6, 2 4

3 6, 0 4 3 6, 1 4 3 6, 2 4

4 6, 0 4 4 6, 1 4 4 6, 2 4

5 6, 0 4 5 6, 1 4 5 6, 2 4

0 6, 3 4

1 5, 3 4

2 6, 3 4

3 6, 3 4

4 6, 3 4

5 6, 3 4


Hinweise zur Klausur

Documents

Jürgen Roth Grundlagen der Algebra und elem. Zahlentheorie · Kapitel 3: Arithmetische Strukturen in kleinen Welten • 3. 9 Restklassen modulo 4 Zahlen mit gleichem Rest Die umsortierte