3.1Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie

Didaktik der GeometrieModul 5: Fachdidaktische Bereiche

Jürgen Roth

3.2Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie

Inhalt

Didaktik der Geometrie

1 Ziele und Inhalte

2 Begriffsbildung

3 Konstruieren

4 Argumentieren und Beweisen

5 Problemlösen

6 Entdeckendes Lernen

3.3Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie

Kapitel 3: KonstruierenDidaktik der Geometrie

3.4Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie

Inhalt

Kapitel 3: Konstruieren

3.1 Was bedeutet „Konstruieren“?

3.2 Konstruktionsaufgaben

3.3 Konstruktionsbeschreibung

3.4 Konstruieren mit einem dynamischen Geometrie-System (DGS)

3.5Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie

3.1 Was bedeutet Konstruieren?Kapitel 3: Konstruieren

3.6Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie

Konstruieren?!

Praktische Bedeutung räumliches Vorstellungs-vermögenArchitekturMaschinenbau…

theoretische BedeutungKonstruktionsprobleme haben wesentliche Fortschritte in der Geometrie initiiertKonstruieren kann des Verständnis von Begriffen, … unterstützen

3.7Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie

Konstruieren?!

Konstruieren im engeren Sinn

Zeichnen nach bestimmten Regeln

Zeichenschritte werden nur mit jeweils zugelassenen Zeichengeräten ausgeführt (z. B. Zirkel und Lineal)

Zeichengeräte werden nur zum Ausführen bestimmter Grundfunktionen benutzt(z. B. Lineal nur zum Verbinden zweier vorhandener Punkte)

Beschränkung auf Zirkel und Lineal historisch begründet

Auch eine Beschränkung auf andere Werkzeuge wäre denkbar

http://www-madin.math.uni-wuppertal.de/madin/weigandh/didaktik_geometrie/konstruieren/zul/theorie/andere.html

3.8Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie

Konstruieren?!

Es gibt viele mit Zirkel und Lineal nicht lösbare Konstruktionsprobleme.

Quadratur des KreisesWinkeldreiteilungregelmäßiges 7-Eck

Erweiterung der erlaubten WerkzeugeWinkel- und Längenmessskalen(gegebene Größen als Maße angeben)Geodreieck als Modulsammlung

http://realmath.de/Neues/Klasse6/winkel/winkelmessen2.html

„Grundfunktionen“Schwierigkeiten im Umgang

3.9Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie

Konstruieren?!

„Reines“ Konstruierenz. B. nur mit Zirkel und Lineal als Werkzeug

Modulares KonstruierenBereits durchgeführte Konstruktionen können als Bausteine (Module) in an-deren Konstruktion verwendet werden. Dynamische Geometrie-Systeme (DGS):Als Makros bzw. Werkzeuge gespeicherte Konstruktionen (Module) können in anderen Konstruktionen verwendet werden.Elemente des Euklid: Konstruktions-beschreibungen verweisen auf bereits gelöste Konstruktionsaufgaben → Verwendung von Modulen

https://www.geogebra.org/geometry

3.10Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie

Konstruieren?!

Konstruktion → ProzessOft wird zu viel Wert auf die fertige Zeichnung gelegt.

Konstruktionsbeschreibung (Konstruktionsplan)Erklärung (Verbalisierung) des Prozesses.

Schritte des KonstruktionsprozessesVergleichbar mit den Schritten beim Auflösen einer Gleichung, die am Rand notiert werden: 2𝑥𝑥 + 4 = 8 | ∶ 2Die sequenziell notierte Lösung einer Gleichung ist auch ohne die Randbemerkung nachvollziehbar.Der fertigen Konstruktion sieht man ihren Ablauf nicht an.Die Konstruktionsbeschreibung ist insbesondere auch für das Nachvollziehen und das Verständnis einer Konstruktion hilfreich und notwendig.

3.11Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie

Beispiele für grundlegende Konstruktionen

KonstruierenWinkel an Halbgerade antragenBildpunkt bei einer AchsenspiegelungSymmetrieachse zu zwei PunktenParallele zu einer Geraden

HalbierenStreckeWinkel

Lotvon einem Punkt (außerhalb einer Geraden) auf eine Gerade fällenin einem Geradenpunkt auf einer Geraden errichten

Kreise am DreieckUmkreisInkreis

3.12Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie

3.2 KonstruktionsaufgabenKapitel 3: Konstruieren

3.13Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie

Grundkonstruktionen

Grundkonstruktionen sindEindeutig (Zu jeder Anfangs- gibt es genau eine Zielkonfiguration.) und in einem Schritt durchführbar (mit dem zugelassenen Zeichengerät)

Grundkonstruktionen mit Zirkel und LinealZu zwei verschiedenen gegebenen Punkten

die Verbindungsgerade zeichnen,eine Halbgerade zeichnen, die in einem derPunkte beginnt und durch den anderen verläuft,eine Strecke zeichnen, die in einem der Punktebeginnt und im anderen endet,einen Kreis zeichnen dessen Mittelpunkt einer der Punkte ist und der durch den anderen Punkt verläuft.

3.14Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie

Konstruktionsaufgaben

Aufgabe: Von einer Ausgangs- zu einer Zielkonfiguration kommen.Konfiguration: Menge geometrischer Objekte + System von BedingungenZu einer Anfangskonfiguration kann es keine, genau eine(eindeutig lösbar) oder mehrere Zielkonfigurationen gibt.

Finden der LösungPlanfigur, heuristische Strategien

DarstellungKonstruktionsbeschreibungKonstruktion

RichtigkeitZeigen, dass jeder Konstruktionsschritt durchführbar ist.

https://www.geogebra.org/m/yZmynFqz

3.15Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie

Durchführen von Konstruktionsaufgaben

Analyse – Finden der KonstruktionPlanfigurWelche Teile sind in welcher Reihenfolge konstruierbar?Evtl. Hilfslinien einzeichnen bzw. zunächst TeilkonstruktionenEs entsteht ein Lösungsplan der die Begründungfür die Durchführbarkeit der Konstruktion enthält.

Ausführung – Darstellen der KonstruktionKonstruktionsbeschreibungKonstruktionszeichnungBegründung der Richtigkeit

DeterminationDiskussion der Anzahl der Lösungen (evtl. unter verschiedenen Bedingungen für die Ausgangsgrößen)

heuristische Phase

algorithmische Phase

analytischePhase

3.16Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie

Didaktische Funktionen von Konstruktionsaufgaben

Einführen neuer BegriffeKonstruiere ein Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel zueinander sind.→ Parallelogramm

Entdecken von Sätzen und ihren BeweisenKonstruiere zu einem gegebenen Dreieck einen Kreis durch die drei Eckpunkte.→ Satz:

In jeden Dreieck schneiden sich die drei Mittelsenkrechten in einem Punkt.

Thematisieren anschaulich evidenter SätzeKonstruiere ein Dreieck aus den Seitenlängen𝑎𝑎 = 1 cm, 𝑏𝑏 = 3 cm und 𝑐𝑐 = 5 cm.→ Dreiecksungleichung

https://www.geogebra.org/m/yZmynFqz

3.17Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie

3.3 KonstruktionsbeschreibungKapitel 3: Konstruieren

3.18Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie

Konstruktionsbeschreibung

Verbalisieren als übergreifendes Lernzielsprachliche Korrektheit und Verwendung der Fachsprachekorrekte Reihenfolge von Argumentationsschrittensinnvolle Schrittweite von ArgumentationsschrittenVollständigkeit der Angaben

Typische Fehler bei Konstruktionsbeschreibungen„Erlebnisbericht“

„Zunächst nehme ich den Zirkel zur Hand. Dann steche ich im Punkt A ein …“

Fehlende Konstruktionsparameterz. B. Kreise ohne Angabe von Mittelpunkt und/oder Radius

Es werden keine Module verwendet!z. B. werden bei der Inkreiskonstruktion nicht die Winkel-halbierenden angegeben, sondern wie man sie konstruiert

3.19Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie

Konstruktionsbeschreibung

https://www.geogebra.org/m/xu4BFgpa

3.20Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie

Konstruktionsbeschreibung mit GeoGebra

Gegeben:Dreieck ∆ABC

Gesucht:Inkreis von ∆ABC

Konstruktionsbeschreibung:Winkelhalbierende 𝐵𝐵,𝐴𝐴,𝐶𝐶 =∶ 𝑑𝑑Winkelhalbierende 𝐶𝐶,𝐵𝐵,𝐴𝐴 =∶ 𝑒𝑒schneide 𝑑𝑑, 𝑒𝑒 =∶ 𝐷𝐷Senkrechte 𝐷𝐷, 𝑐𝑐 =∶ 𝑓𝑓schneide 𝑓𝑓, 𝑐𝑐 =∶ 𝐸𝐸Kreis 𝐷𝐷, Strecke 𝐷𝐷,𝐸𝐸 =∶ 𝑔𝑔Der Kreis 𝑔𝑔 ist der gesuchte Inkreis.

https://www.geogebra.org/m/qFVuPqbq

3.21Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie

Konstruktionsbeschreibung im Heft

Gegeben:Dreieck ∆ABC

Gesucht:Inkreis von ∆ABC

Konstruktionsbeschreibung:(1) 𝐷𝐷 ist der Schnittpunkt

der Winkelhalbierenden von ∠𝐵𝐵𝐴𝐴𝐶𝐶 mitder Winkelhalbierenden von ∠𝐶𝐶𝐵𝐵𝐴𝐴.

(2) 𝐸𝐸 ist der Schnittpunkt des von 𝐷𝐷 auf 𝑐𝑐 gefällten Lotes fmit der Dreiecksseite 𝑐𝑐.

(3) Der Inkreis 𝑘𝑘 𝐷𝐷, 𝐷𝐷𝐸𝐸 ist der Kreis um 𝐷𝐷 mit der Strecke [𝐷𝐷𝐸𝐸] als Radius.

https://www.geogebra.org/m/qFVuPqbq

3.22Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie

3.4 Konstruieren mit einem dynami-schen Geometrie-System (DGS)

Kapitel 3: Konstruieren

3.23Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie

Vorteile des Konstruierens mit einem DGS

ZugmodusErstellte Konstruktionen können variiert werden.Jede DGS-Konfiguration umfasst eine ganze Klasse von Figuren die so konstruiert werden können. („zugfest“)

OrtslinienfunktionBei der Variation von Konstruktionen können Ortslinien von Punkten erstellt werden.

MakrosMakros erlauben ein modulares Konstruieren, also das Zurückgreifen auf bereits erstellte Konstruktionen

AußerdemKonstruktionen können schneller, sauberer und präziser erstellt, leichter korrigiert und Messungen genauer durchgeführt werden.

http://www.juergen-roth.de/dynageo/ellipse/Ellipse.html • https://www.geogebra.org/m/uJB7dY8u

3.24Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie

KonstruktionsaufgabeBeispiel 1

AufgabeKonstruieren Sie zum spitzwinkligen Dreieck 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 ein Quadrat 𝐷𝐷𝐸𝐸𝐷𝐷𝐷𝐷 mit 𝐷𝐷,𝐸𝐸∈[𝐴𝐴𝐵𝐵], 𝐷𝐷∈[𝐵𝐵𝐶𝐶] und 𝐷𝐷∈[𝐴𝐴𝐶𝐶].

HinweisNutzen Sie die (𝑛𝑛 − 1)-Strategie.

https://www.geogebra.org/m/CKPpUnUr

3.25Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie

KonstruktionsaufgabeBeispiel 2

https://www.geogebra.org/m/WBMHuKW5 • https://www.geogebra.org/m/x82N6kk2

3.26Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie

KonstruktionsaufgabeBeispiel 2

Konstruktionsbeschreibung

1. 𝐴𝐴 und 𝐵𝐵 sind die Endpunkte der Strecke [𝐴𝐴𝐵𝐵] mit |𝐴𝐴𝐵𝐵| = 𝑐𝑐.

2. 𝐸𝐸 ist Schnittpunkt

a) der Parallelen zu 𝐴𝐴𝐵𝐵 im Abstand ℎ𝑐𝑐2

mit

b) dem Kreis 𝑘𝑘 𝐴𝐴, 𝑠𝑠𝑎𝑎 .

3. C ist Schnittpunkta) der Parallelen zu 𝐴𝐴𝐵𝐵 im Abstand ℎ𝑐𝑐 mitb) der Halbgeraden [𝐵𝐵𝐸𝐸.

http://www.juergen-roth.de/dynageo/konstruktion/index.html

https://www.geogebra.org/m/WBMHuKW5 • https://www.geogebra.org/m/x82N6kk2

(2 Möglichkeiten)(2 Möglichkeiten)