Jürgen Roth Didaktik der Zahlbereichserweiterungen · Jürgen Roth• Didaktik der Zahlbereichserweiterungen Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ• 4.2 Didaktik der Zahlbereichserweiterungen

Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.1Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen

Didaktik der ZahlbereichserweiterungenModul 5a: Fachdidaktische Bereiche

Jürgen Roth


Didaktik der Zahlbereichserweiterungen

1 Ziele und Inhalte

2 Natürliche Zahlen ℕ

3 Ganze Zahlen ℤ

4 Rationale Zahlen ℚ

5 Reelle Zahlen ℝ

6 Komplexe Zahlen ℂ


Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚDidaktik der Zahlbereichserweiterungen

Jürgen Roth Und merk dir ein für allemalden wichtigsten von allen Sprüchen:

Es liegt dir kein Geheimnis in der Zahl,allein ein großes in den Brüchen.

Goethe, Urfaust


Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ

4.0 Exkurs: Diagnostische Kompetenz

4.1 Grundvorstellungen zu Bruchzahlen

4.2 Probleme beim Verständnisvon Bruchzahlen

4.3 Grundvorstellungen zum Rechnen mit Bruchzahlen

4.4 Grundvorstellungen mit EXIs erarbeiten

4.5 Repräsentationen von Bruchzahlen

4.6 Erarbeitung von Rechenregeln(Bsp. „Bruch durch Bruch“)

4.7 Gemischte Zahlen und Dezimalbrüche



4.0 Exkurs:Diagnostische Kompetenz


Diagnostische Kompetenz

… ist „ein Bündel von Fähigkeiten, um den Kenntnisstand, die Lernfortschritte und die Leistungsprobleme

sowie die Schwierigkeiten verschiedener Lernaufgaben

im Unterricht fortlaufend beurteilen zu können,

sodass das didaktische Handeln auf diagnostischen Einsichten aufgebautwerden kann.“

Weinert (2000, S. 16)

Schüler-diagnose

Aufgaben-diagnose

Unterrichts-handeln

einzelner Schüler


Prozess des Diagnostizierens

Geeignete Daten sichten / selbst erheben

Förderrelevante Beobachtungen beschreiben

Beobachtungen differenziert deuten

Ursachen ergründen

Konsequenzen für Förderung ableiten

Beretz, von Aufschnaiter & Lengnink (2016). Bearbeitung diagnostischer Aufgaben durch Lehramtsstudierende. In Maurer [Hrsg.] Implementation fachdidaktischer Innovation im

Spiegel von Forschung und Praxis. Gesellschaft für Didaktik der Chemie und Physik Jahrestagung in Zürich 2016. Regensburg: Universität Regensburg 2017, S. 244-247


Videovignetten zur Analysevon Unterrichtsprozessen

Bartel & Roth (2017a)

http://vivian.uni-landau.de

Schülerebene

Arbeitsauftrag

Schüler-dokumente

Materialien

Lernumgebung: Thema und Ziele Metaebene

Schülerprofile

S2

S1 S4

S3

Zeitliche Einordnung

Diagnoseauftrag

http://vivian.uni-landau.de/



4.1 Grundvorstellungenzu Bruchzahlen


Kernpunkte des Grundvorstellungskonzepts

Grundvorstellungenrepräsentieren abstrakte Begriffe anschaulichverbinden abstrakte Mathematik und Anwendungen

Zwei Typen von GrundvorstellungenPrimäre Grundvorstellungen

Wurzeln in HandlungserfahrungenSekundäre Grundvorstellungen

werden mit mathematischen Darstellungsmitteln (Zahlen-strahl, Koordinatensystem, Graph, …) repräsentiert

vom Hofe & Hattermann (2014)


Ziele beim Ausbilden von Grundvorstellungen

• Anknüpfen an bekannte Sachzusammenhänge oder Handlungsvorstellungen

Erfassen der Bedeutung des Begriffs/Verfahrens

• Ermöglichen operativen Handelns auf der Vorstellungsebene

Aufbauen von mentalen Repräsentationen

• Erkennen der Struktur in Sachzusammenhängen• Modellieren des Phänomens mit

Hilfe der mathematischen Struktur Anwenden in neuen

Situationen

Vgl. vom Hofe, R. (2003): Grundbildung durch Grundvorstellungen. Mathematik lehren 118, S. 4-8


Bruchzahlbegriff:Stufen des Begriffsverständnisses

Intuitives BegriffsverständnisBegriff als PhänomenBeispiele kennen.

Inhaltliches BegriffsverständnisBegriff als Träger von EigenschaftenEigenschaften kennen

Integriertes BegriffsverständnisBegriff als Teil eines BegriffsnetzesBeziehungen von Eigenschaften untereinander und Beziehungen zu anderen Begriffen kennen

Formales BegriffsverständnisBegriff als Objekt zum Operieren Beispiel: Rechnen mit Bruchzahlen

Vollrath, H.-J. (1984). Methodik des Begriffslehrens im MU. Stuttgart: Ernst Klett Verlag, S. 215-217

Vollrath, H.-J. & Weigand, H.-G. (2007). Algebra in der Sekundarstufe. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 160-162

+ =

45


Grundvorstellungen zu BruchzahlenMalle, G. (2004). Grundvorstellungen zu Bruchzahlen. mathematik lehren 123, S. 4-8

Teil eines Ganzen34

(von 1)

Verhältnis34

= 3 ∶ 4 (3 zu 4)

Quasikardinalzahl34

= 3 Viertel

Relativer Anteil34

von …

Vergleichsoperator34

mal so viel wie …

Absoluter Anteil34

… … drei von vier

Eine Dreiviertel-torte

Resultat einer Division34

= 3 ∶ 4

2 Viertel+3 Viertel= 5 Viertel

Nur wenn nicht gerechnet wird!

Quasiordinalzahl14

… … jeder vierte

Vgl. Teil mehrerer Ganzer (Padberg)

𝟑𝟑𝟒𝟒


Teil vom GanzenPadberg, F. (2002). Didaktik der Bruchrechnung. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 41-50

Teil einesGanzen

Teil mehrererGanzer


Ausweitung des Standpunkts „Teil“ ⇔ „Ganzes“

Hefendehl-Hebeker, L. (1996). Brüche haben viele Gesichter. mathematik lehren 78, S. 20-16

64

Darstellen


Ausweitung des Standpunkts „Teil“ ⇔ „Ganzes“

∶ 4 ⋅ 6 ∶ 4· 6

64

Auflösen in Ketten von

Einzel-operatoren

Hefendehl-Hebeker, L. (1996). Brüche haben viele Gesichter. mathematik lehren 78, S. 20-16


Inneres TeilverhältnisDie roten Perlen verhalten sich zu den blauen Perlen wie 1 ∶ 3.

Äußeres TeilverhältnisJe eine von vier Perlen ist rot, je drei von vier Perlen sind blau.

Bruchzahlaspekte

1. Teil vom Ganzen

2. Maßzahl 12

ℎ, 34

𝑘𝑘𝑘𝑘, 14

𝑘𝑘𝑘𝑘

3. Operator

4. Verhältnis („inneres bzw. äußeres Teilverhältnis)

5. Quotient

6. Lösung linearer Gleichungen𝑛𝑛 ⋅ 𝑥𝑥 = 𝑘𝑘 mit 𝑛𝑛, 𝑘𝑘 ∈ ℕ

7. Skalenwerte

8. Quasikardinalität

Padberg (20094): Didaktik der Bruchrechnung. Spektrum Akademischer Verlag, S. 28-31


Brüche vergleichen

zählergleiche Brüche→ Größe der Teilenennergleiche Brüche→ Anzahl der gleichen Teilemit 1 vergleichen

mit 12

vergleichen

58

510

34

24

89

76

37

58



4.2 Probleme beimVerständnis von Bruchzahlen


„Brüche bei den Brüchen“

KardinationEine Zahl und eine Rechenaufgabe beantworten immer eine Frage nach „wie viele?”.

Eineindeutigkeit zwischen Zahl und ZahlzeichenJede Zahl hat genau eine Zahlbezeichnung.

Visuell: Folge von ZiffernAuditiv: Folge von Grundzahlwörtern (mit Stellenwertangabe)

Diskrete OrdnungJede Zahl hat einen Nachfolger und – außer der kleinsten Zahl – einen Vorgänger.Die Menge der Zahlen ist wie eine Kette mit Anfang, aber ohne Ende.

Prediger, S. (2004). Brüche bei den Brüchen – aufgreifen oder umschiffen? mathematik lehren 123, S. 10-13

Winter: Mehr Sinnstiftung, mehr Einsicht, mehr Leistungsfähigkeit im MU, dargestellt am Beispiel der Bruchrechnung


„Brüche bei den Brüchen“

RechnenJede Elementaroperation 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏, 𝑎𝑎 – 𝑏𝑏 (wenn 𝑎𝑎 ≥ 𝑏𝑏), 𝑎𝑎 · 𝑏𝑏 und 𝑎𝑎 ∶ 𝑏𝑏 (wenn 𝑏𝑏 Teiler von 𝑎𝑎) ist bei, in der Ziffernsprache gegebenen 𝑎𝑎 und 𝑏𝑏 unmittelbar durchführbar und liefert wieder eine Zahl in der üblichen Ziffernsprache.

Einschränkung der DivisionDie Division 𝑎𝑎 ∶ 𝑏𝑏 ist nicht immer restlos möglich.Wenn sie möglich und der Teiler ungleich 1 ist, dann ist das Ergebnis kleiner als die geteilte Zahl.

Multiplikation und OrdnungMultiplizieren als „starkes“ VermehrenMultipliziert man zwei Zahlen, die ungleich 0 oder 1 sind, so ist das Ergebnis größer als jede der beiden Zahlen.

Prediger, S. (2004). Brüche bei den Brüchen – aufgreifen oder umschiffen? mathematik lehren 123, S. 10-13


Multiplikative AnteilsbildungWartha, S., vom Hofe, R. (2005). Probleme bei Anwendungsaufgaben in der Bruchrechnung. mathematik lehren 128, S. 10-16

Lilly nimmt sich die Hälfte der dargestellten Tafel Schokolade. Davon isst sie 3

5auf. Wie viele

Stücke hat sie gegessen?

Welche Grundvorstellungen braucht man für die Lösung?


Multiplikative Anteilsbildung

Moritz: Also da muss man erst ausrechnen, wie viel die Hälfte ist. Das sind dann zehn solche viereckigen Dinger. Und dann muss man noch drei Fünftel von zehn irgendwie ausrechnen. Also wie viel drei Fünftel von zehn solchen Dingern ist.

Interviewer: Du kannst dir das jetzt gern alles auf-schreiben, was du so im Einzelnen rechnest. (Moritz schreibt und überlegt) Welchen Teil willst du ..., oder überlegst du gerade?

Moritz: Wie ich das jetzt, ... drei Fünftel von zehn solchen Dingern wissen soll. Weil es ist ja die Hälfte, ah, da kann man ja ein Halb schreiben. Nein. (Moritz überlegt)

Interviewer: Was heißt denn für dich das drei Fünftel von zehn Stück?

Moritz: Ich weiß nicht. Ich kann mir da nix drunter vorstellen.

Interviewer: Du versuchst das jetzt rechnerisch zu lösen ...

Moritz: Ja.

Interviewer: Kannst du das vielleicht mit dieser dargestellten Tafel Schokolade irgendwie graphisch lösen, zum Beispiel durch Wegstreichen ...

Moritz: Ich müsste halt dann wissen, wie viel ungefähr drei Fünftel ist ...

Wartha, S., vom Hofe, R. (2005). Probleme bei Anwendungsaufgaben in der Bruchrechnung. mathematik lehren 128, S. 10-16


Multiplikative Anteilsbildung

Sophia: ... ein Fünftel ist ja jetzt 0,2. Dann sindzwei Fünftel 0,4 und drei Fünftel, ehm,0,6. Und die Hälfte, also ein Halb, sinddann ...(überlegt)Also weil das ja das Ganze ist, ist esdann zwei Zweitel. Also ist es gleicheins. Und, ehm, ... das ist 0,5, also dieHälfte. Und dann noch 3,5 ...(meint offensichtlich den Bruch dreiFünftel)... das ist also 0,6 glaub ich. Und damuss man dann also, zehn ...(überlegt)... mmm.

Interviewer: Wieso jetzt geteilt durch null Kommasechs? Und nicht mal oder plus oderminus?

Sophia: Ja weil, dann wär's ja mehr und dasmuss ja immer weniger werden, weilsie isst ja nicht mehr, als Tafel da ist.



Ordnung und Dichtevon Bruchzahlen

BruchGibt es einen Bruch, der größer als 1

3und kleiner als 1

2ist?

GetränkepackungEinen Firma stellt Einwegverpackungen für Erfrischungs-getränke in zwei verschiedenen Größen her. Um das Angebot abzurunden soll eine weitere Verpackung angeboten werden. Das Volumen der neuen Packung soll größer sein als das der Dose und kleiner als das der Flasche.

12 𝑙𝑙

13 𝑙𝑙


Ordnung und Dichtevon Bruchzahlen

Kilian: Ich würd‘ erst mal nach einer Zwischenzahl suchen.

Interviewer: OK.

Kilian: Ein Eintel kann es nicht sein, weil das kleiner ist als 1

2und kleiner als 1

3ist.

Er muss größer als 13

sein und kleiner als 1

2.

Interviewer: Ob es überhaupt einen gibt ist da ja die Frage.

Kilian: Ach so … Nee.

Interviewer: Nicht. Warum nicht?

Kilian: Ich schau einfach unten auf die beiden Zahlen, 3 und 2 und dazwischen kenn‘ ich keine Zahl.

Florian: Nee, ich glaub nicht.

Interviewer: Warum nicht? Kannst du das versuchen zu erklären?

Florian: Ja 13

ist ja schon größer als 12.

Interviewer: Was bedeutet der Bruch 13?

Oder warum ist 13

größer als 12?

Florian: Nee, eigentlich ist es genauso groß.

Interviewer: Da wäre die Frage trotzdem, warum ist das genauso groß? Kannst du das irgendwie erklären? Was stellst du dir da drunter vor?

Florian: Das hier sind 3 Teile und das hier sind 2, aber es ist halt insgesamt gleichgroß.



Häufige Grundvorstellungsdefizite

Fehlende oder nur in Ansätzen vorhandene Vorstellungen zum Bruchzahlbegriff

Keine inhaltliche Vorstellung zur Addition von ungleichnamigen Brüchen

Nicht entwickelte Vorstellungen zurMultiplikation und Division von Bruchzahlen

Unreflektierte Übertragung von intuitiven Annahmen aus den natürlichen Zahlen auf die Bruchzahlen

Falsche Orientierung an Nenner oder Zähler beim Ordnen und Vergleichen von Brüchen


Gegenmaßnamen

Kontexte und GrundvorstellungenEinführung neuer Begriffe mit Kontexten verbinden, in denen die wichtigen Grundvorstellungen zum Tragen kommen.

Produktive ÜbungsphasenÜbersetzungsprozesse zwischen Grundvorstellungenfordern und fördern. Grundvorstellungen können sich ausbilden und stabilisieren.

BedeutungsänderungenBedeutungsänderungen bewusst machen bzw. von der Notwendigkeit einer Neubewertung alter Vorstellungen überzeugen (z. B. durch Aufgaben, die zum Nachdenken anregen; Kognitiver Konflikt )


Spiel zu GrundvorstellungenWartha, S., vom Hofe, R. (2005).

Mathematik lehren 128, S. 16



4.3 Grundvorstellungen zum Rechnen mitBruchzahlen


Erweitern und Kürzen von BrüchenMalle, G. (2004). Grundvorstellungen zu Bruchzahlen. mathematik lehren 123, S. 4-8

Padberg, Wartha (2017). Didaktik der Bruchrechnung. 5. Auflage, Berlin: Springer Spektrum, S. 43

Einteilung verfeinern

Einteilung vergröbern

23

46


Addition und Subtraktion von BruchzahlenMalle, G. (2004). Grundvorstellungen zu Bruchzahlen. mathematik lehren 123, S. 4-8

Addieren

Zusammenfügen,Hinzufügen

Vorwärtsbewegen,Vorwärtsschreiten

Wegnehmen

Rückwärtsbewegen,Rückwärtsschreiten

Subtrahieren

(Gegenständliche) Operation

Zahlenstrahl

+ =

Unterschied bestimmen


Grundvorstellungen zur Addition von Brüchen

𝟏𝟏𝟑𝟑

𝟏𝟏𝟒𝟒



𝟏𝟏𝟑𝟑

𝟏𝟏𝟒𝟒



𝟏𝟏𝟑𝟑

𝟏𝟏𝟒𝟒



𝟏𝟏𝟑𝟑

𝟏𝟏𝟒𝟒



𝟏𝟏𝟑𝟑

=𝟒𝟒

𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒

=𝟑𝟑

𝟏𝟏𝟏𝟏



𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏



𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏



𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏



𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏



𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏



𝟏𝟏𝟑𝟑

+𝟏𝟏𝟒𝟒

=𝟒𝟒

𝟏𝟏𝟏𝟏+

𝟑𝟑𝟏𝟏𝟏𝟏

=𝟕𝟕

𝟏𝟏𝟏𝟏

𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏



https://geogebra.org/m/tFaPj2mC

http://mathe-labor.de/mathematik-und-kunst-2015-variante-a-simulation-4/

http://mathe-labor.de/mathematik-und-kunst-2015-variante-a-simulation-4/

https://geogebra.org/m/tFaPj2mC


Grundvorstellungen zur Multiplikation von Brüchen

Malle, G. (2004). Grundvorstellungen zu Bruchzahlen. mathematik lehren 123, S. 4-8

Abgekürzte Addition

Von-Deutung

Quasikardinalzahl

Permanenzprinzip (Kommutativgesetz)

3 �45

= ? 3 �45

=45

+45

+45

= 4 Fünftel + 4 Fünftel + 4 Fünftel

= 12 Fünftel =125

Quasikardinalzahl

45

� 3 = ?45

� 3 = 3 �45

=125

oder45

� 3 =45

von 3

125

1.N

atür

liche

Zah

l m

al B

ruch

zahl

2. B

ruch

zahl

mal

na

türli

che

Zahl


Multiplikation von BruchzahlenVon-Deutung

Malle, G. (2004). Grundvorstellungen zu Bruchzahlen. mathematik lehren 123, S. 4-8

Von-Deutung

Aus Skizze ablesen:

23

�57

= ?23

�57

=23

von57

23

von57

=1021

Flächeninhaltsformel

𝐴𝐴Rechteck = 𝑙𝑙 � 𝑏𝑏 =23

�57

Übung: Bestimmen Sie genauso die Produkte 54

� 23

und 54

� 32.

3. B

ruch

zahl

mal

Bru

chza

hl

57

23

𝐴𝐴Ausgangsquadrat = 1


Vereinigung vieler Bruchrechenaspekte

Jede „Fliese“ hat die Seitenlängen 12

und 13

und ihre Fläche ist 16

der Gesamtfläche.

16

ist außerdem

die Hälfte von einem Drittelstreifen,

ein Drittel von einer Quadrathälfte,

das Ergebnis der formalen Rechnung 12

� 13.

Hefendehl-Hebeker, L. (1996): Brüche haben viele Gesichter. mathematik lehren 78, S. 20-22, 47-48

12

13

23


„Bruchgitter“

Bestimme die Fläche des Rechtecks mit

den Seitenlängen 43

und 32.

Erkläre dein Ergebnis an der Zeichnung und durch deine Rechnung.

Finde andere Rechtecke mit dem selben Flächeninhalt.

Usw.

Hefendehl-Hebeker, L. (1996). Brüche haben viele Gesichter. mathematik lehren 78, S. 20-22, 47-48


Division von Bruchzahlen

Maß kleiner als die zu messende Größe.

Beispiel: 34

∶ 14

Zugehörige Frage:Wie oft ist 1

4in 3

4enthalten?“

Maß größer als die zu messende Größe.

Beispiel: 14

∶ 34

Zugehörige Frage: Welcher Bruchteil von 3

4passt in 1

4?“

Malle (2004). Grundvorstellungen zu Bruchzahlen. mathematik lehren 123, S. 4-8

Teilen(Verteilen)

Messen(Aufteilen)

49

∶ 272

∶7

10


Division von BruchzahlenMessen

Maß kleiner als die zu messende Größe. „Wie oft passt 710

in 72?“

Beispiel: 𝟕𝟕𝟏𝟏

Liter Wein sollen in 𝟕𝟕𝟏𝟏𝟏𝟏

-Liter-Flaschen abgefüllt werden.Wie viele Flaschen können gefüllt werden?

1 2 372

∶7

10 = 𝟓𝟓

Dividierenals Messen

Verfeinerung der Einteilung

Bruchzahl als Quasikardinalzahl

Es können 5 Flaschengefüllt werden.

72

∶7

10 =7 � 𝟓𝟓2 � 𝟓𝟓

∶7

10=

3510

∶7

10 = 35 𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙 ∶ 7 𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙 = 5

72

∶7

10= ?

72

710


Division von BruchzahlenMessen

Maß größer als die zu messende Größe „Welcher Bruchteil von 2 passt in 49?“4

9∶ 2 = ?

1 2

49

∶ 2 =𝟏𝟏𝟗𝟗

49

2


Syntax Semantik PragmatikRegeln, Formeln

Formales VerständnisBedeutung, Sinn

Inhaltliches VerständnisAnwendung, GebrauchHandlungsverständnis

Dimensionen beim AufgabenlösenWinter, H. (2004). Ganze und zugleich gebrochene Zahlen. mathematik lehren 123, S. 14-18

2 ist mit 34

zu messen.2 ∶

34

=21

∶34

=21

⋅43

=2 ⋅ 41 ⋅ 3

=83

= 223

2 =84

84

∶34

= 8 ∶ 3 =83

= 4 ⋅23

∶ 4 · 4

2 ∶ 3 =23

2 ∶34

=83

2 Liter Milch sind in34

𝑙𝑙-Gefäße zu füllen.

2 volle Gefäße und ein 23-volles von je 3

4𝑙𝑙.

2𝑙𝑙



4.4 Grundvorstellungenmit EXIs erarbeiten


Exis?

Exis(Regelmäßiges) Sechseck A, (gleichschenkliges) Trapez B, Raute C, mittleres (gleichseitiges) Dreieck D,langes (stumpfwinklig-gleichschenkliges) Dreieck E, kleines (rechtwinkliges) Dreieck F, großes (gleichseitiges) Dreieck G, Rechteck H

LiteraturRoth, Jürgen: Eine geometrische Lernumgebung − Entwicklung von Verständnisgrundlagen für Bruchzahlen und das Rechnen mit Brüchen. In: Fritz-Stratmann, A.; Schmidt, S. (Hrsg.) (2009). Fördernder Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I − Rechenschwierigkeiten erkennen und überwinden, Weinheim: Beltz Verlag, S. 186-200Roth, Jürgen: Grundverständnis für Bruchzahlen aufbauen mit „EXI“ – Ein Anschauungsmittel auf der Basis eines regelmäßigen Sechsecks

http://www.juergen-roth.de/veroeffentlichungen/geometrische_lernumgebung_bruchzahlen/roth_geometrische_lernumgebung_bruchzahlen.pdf

A BC

DG

E

F H


Teil eines Ganzen

Exi-Typ A B C D E F G H

Anzahl der Teile

Bruchteil von A

A BC

D

G

E

F H


Teil eines Ganzen

http://www.juergen-roth.de/dynageo/brueche/exi.html

112

13

16

16

112 1

2

23

http://www.juergen-roth.de/dynageo/brueche/exi.html


Erweitern und Kürzen

ErweiternBruchstück und das Ganze feiner unterteilen (Verfeinern)

KürzenBruchstück und das Ganze gröber unterteilen (Vergröbern)

http://www.juergen-roth.de/dynageo/brueche/exi_2.html

Erweitern

Kürzen

13

1 ⋅ 23 ⋅ 2

=26

2 ⋅ 26 ⋅ 2

=4

12


=12

13

Addieren von BrüchenDazulegen


+ ?

=36

26 +

56


Dividieren von BrüchenMessen


=13

12

∶ 112

= 32

12

∶13

= ? Maß kleiner als die zu messende Größe. ⇒ „Wie oft passt 13

in 12

?“


Dividieren von BrüchenMessen


Maß größer als die zu messende Größe. ⇒ „Welcher Bruchteil von 12

passt in 13

?“

=12

13

∶ ? = 23

13

∶12

= ?



4.5 Repräsentationen von Bruchzahlen


0 3 5 6 8 9 10 13 15 161 2 4 7 11 12 148 8 8 8 8

0 31 2 42

8 8 8 8 8 8

0 3 5 6 81 2 4 74 4 4 4 4 4 4 4

8 8 8

2 2 2

8

2

0 1 21

8

1 1

4

8

0 1 2

Verfeinern ⇔ Vergröbern

0 3 5 6 8 9 10 13 15 161 2 4 7 11 12 148 8 8 8 8

0 31 2 42

8 8 8 8 8 8

0 3 5 6 81 2 4 74 4 4 4 4 4 4 4

8 8 8

2 2 2

8

2

0 1 21

8

1 1

4

8

0 1 2

Brüche Bruchzahl

0 1 2


Darstellung von Stammbrüchen

Koepsell (2004). Brüchen begegnen. Mathe-Welt 123

Färbe den angegebenen Teil der Streifen. Der gefärbte Teil liegt immer unten.


Darstellung von BruchzahlenHefendehl-Hebeker (1996): Brüche haben viele Gesichter. Mathematik lehren 78, S. 20-22, 47-48


Darstellung von Bruchzahlen

Koepsell (2004). Brüchen begegnen. Mathe-Welt 123

Vgl. zur Prozentrechnung folgenden Artikel:

Kristina Appell (2004). Prozentrechnen –Formel, Dreisatz, Brüche und Operatoren.Der Mathematikunterricht, Heft 6, S. 23-32


ProzentgummibandScholz (2002). Das Prozentgummiband. mathematik lehren 114, S. 69


Prozentrechnung

AufgabeEinen Hose kostet inklusive Mehrwertsteuer 87,00€. Wie hoch ist der Preis der Hose ohne Mehrwertsteuer?

Gegeben: 87,00 €

Gesucht: Grundwert

Dreisatz 87,00 € sind 119 %1 %

100 %

Operator 87,00 € ∶ 1,19

Verhältnis

Das ist der Prozentwert zum Prozentsatz 119 %.

≈ 73,11 €

⇒ 𝑥𝑥 =100119

� 87,00 € ≈ 73,11 €𝑥𝑥

100=

87,00 €119

: 119

� 100

: 119

� 1000,7311 € sind

73,11 € sind

100%

Grund-wert

Prozent-wert

Prozent-satzProzentstreifen


Darstellung von BruchzahlenKoepsell (2004): Brüchen begegnen. Mathe-Welt, Heft 123

Dieser Kreis ist in sieben Stücke aufgeteilt. Wie groß ist jedes Stück?


Darstellung von BruchzahlenKoepsell (2004): Brüchen begegnen. Mathe-Welt 123

Trage die Buchzahlen als farbige Längen auf den unterteilten Strecken ein. Suche dir jeweils geeignete Strecken aus.

Am Schluss werden alle Brüche auf den unteren Zahlenstrahl übertragen.

Die farbigen Strecken sollen nicht mehr auf dem Zahlenstrahl eingezeichnet werden.



a) Färbe von jeder Figur 18

. Mache es so genau wie möglich.

b) Färbe von jeder Figur 16

.


Darstellung von BruchzahlenKoepsell (2004): Brüchen begegnen. Mathe-Welt Heft 123

c) Färbe von jedem Quadrat 14

. Mache es jedes Mal anders!



Hier siehst du drei Reihen von Plättchen. Wie viele Plättchen jeder Farbe sind jeweils zu sehen? Kannst du eine Regel angeben, nach der die Plättchen jeweils angeordnet wurden?



14

der Plättchen sind gelb, 38

sind blau und 616

sind rot.



4.6 Erarbeitung von Rechenregeln (Beispiel: „Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert.“)

Vgl. für weitere Regelableitungen Padberg: Didaktik der Bruchrechnung


Regelableitung „Bruch durch Bruch“Messen

Wie oft ist 35

in 23

einhalten?

23

∶35

1

𝟑𝟑𝟓𝟓

𝟏𝟏𝟑𝟑



Wie oft ist 35

in 23

einhalten?

23

∶35

=2 � 53 � 5

∶3 � 33 � 5

1

𝟑𝟑𝟓𝟓

𝟏𝟏𝟑𝟑



Wie oft ist 35

in 23

einhalten?

1

23

∶35

=2 � 53 � 5

∶3 � 33 � 5 = 2 � 5 ∶ 3 � 3 =

2 � 53 � 3 =

23

�53

Messen &Verfeinern

Genutzte (Grund-) Vorstellungen

Quasikar-dinalzahl

Ergebnis einer Division

Rechenregel:Bruch mal Bruch

𝟑𝟑𝟓𝟓

𝟏𝟏𝟑𝟑


Regelableitung „Bruch durch Bruch“(Umkehr-)Operator

Lea denkt sich eine Zahl.

Sie multipliziert diese Zahl mit 57.

Als Ergebnis erhält sie 34.

Welche Zahl hat Lea sich gedacht?

34

∶57

=34

�75

𝑥𝑥 34

𝑥𝑥 34

�57 �

57

∶57

�75

∶ 5� 7

� 5∶ 7


Regelableitung „Bruch durch Bruch“Gleichungskette (Permanenzreihe)

Permanenzprinzip

32

∶ 100 =3

2 � 100

∶ 5 � 5

32

∶ 20 =3

2 � 20

32

∶ 4 =3

2 � 4

∶ 5 � 5

32

∶45 =

3 � 52 � 4

= ?

∶ 5 � 5

: 3 =

67

: 3

6 Siebtel ∶ 3

=27

= 2 Siebtel

3 =

: 3 =

=32

�54


415

⋅23

=4 ⋅ 2

15 ⋅ 3

Regelableitung „Bruch durch Bruch“Analogisieren

Loska/Hartmann

Analogisieren

Es muss geprüft werden, ob dieser Analogieschluss sinnvoll ist.

Division als Umkehrung der

Multiplikation.

Erweitern

Wie kann man vorgehen, wenn die Division nicht aufgeht?

415

∶23

=4 ∶ 2

15 ∶ 3=

25

57

=57

⋅23

∶23

=5 ⋅ 27 ⋅ 3

∶23

=5 ⋅ 2 ∶ 27 ⋅ 3 ∶ 3

=57

57

∶23

=5 ∶ 27 ∶ 3

=5 ⋅ 3 ⋅ 2 ∶ 27 ⋅ 2 ⋅ 3 ∶ 3

=5 ⋅ 37 ⋅ 2

=57

⋅32=

5 ⋅ (3 ⋅ 2) ∶ 27 ⋅ (3 ⋅ 2) ∶ 3

https://www.mentimeter.com/s/655227329d279ab452e3823da88a4766/c805b54cad9a


Schwierigkeiten bei der Division von Brüchen

Bruch durch Bruch (ungleichnamig)

Bruch durch Bruch (gleichnamig, spezieller Zähler)

natürliche Zahl durch natürliche Zahl

Bruch durch natürliche Zahl

natürliche Zahl durch Bruch

Anteil richtig gelöster Aufgaben je Typ

70 %

60 %

50 %

40 %

30 %

Ordnen Sie die Aufgabentypen den richtigen Lösungswahrscheinlichkeiten zu.


Schwierigkeiten bei der Division von Brüchen

Bruch durch Bruch (ungleichnamig)

Bruch durch Bruch (gleichnamig, spezieller Zähler)

natürliche Zahl durch natürliche ZahlBruch durch natürliche Zahlnatürliche Zahl durch Bruch

Anteil richtig gelöster Aufgaben je Typ

70 %

60 %

50 %

40 %

30 %


Problembereiche bei den gemeinen Brüchen

ProblemeAnschauliche BruchvorstellungenZusammenhang zwischen natürlichen Zahlen und Brüchen

Verbreitete FehlerrahmenAdditionsrahmen

𝑎𝑎𝑏𝑏

∘𝑐𝑐𝑏𝑏

=𝑎𝑎 ∘ 𝑐𝑐

𝑏𝑏Multiplikationsrahmen

𝑎𝑎𝑏𝑏

∘𝑐𝑐𝑑𝑑

=𝑎𝑎 ∘ 𝑐𝑐𝑏𝑏 ∘ 𝑑𝑑

𝑛𝑛 ∘𝑎𝑎𝑏𝑏

=𝑛𝑛 ∘ 𝑎𝑎

𝑏𝑏

ZusammenfassungDominanz der syntaktischen Ebene gegenüber der semantischen (inhaltlichen) Ebene

GegenmaßnahmenRegelableitung sorgfältig und spätRechenregeln und inhaltliche Bruchvorstellungen in Beziehung setzenMöglichst wenige und einprägsame Rechenregeln formulieren



4.7 Gemischte Zahlen und Dezimalbrüche


Gemischte Zahlen: Vorteile

Kurzschreibweise: 3 + 15

= 3 15

Wert einer Bruchzahl > 1kann besser erfasst werden

353

< 615

, denn 11 23

< 12 15

Leichtere Addition und Subtraktion von Bruchzahlen > 1

Addition:493

+ 375

= 24515

+ 11115

= 35615

16 13

+ 7 25

= 23 + 515

+ 615

= 23 1115

Subtraktion:353

− 215

= 11 23

− 4 15

= 7 715

Gemischte Zahlen können zur Einführung und Begründung der Rechenoperationen mit Dezimalbrüchen auf der Grundlage der gemeinen Brüche eingesetzt werden.

3,45 + 4,3 = 3 45100

+ 4 310

= 7 75100

= 7,75


Gemischte Zahlen: Nachteile

Bezeichnung „gemischte Zahl“ eigentlich falsch → besser: „gemischte Zahlzeichen“

Möglicher fehlerhafter Transfer in die Algebra:

𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐

= 𝑎𝑎 �𝑏𝑏𝑐𝑐

≠ 𝑎𝑎 +𝑏𝑏𝑐𝑐

Multiplikation und Division von gemischten Zahlen ist sehr fehleranfällig, wenn nicht vorher in echte Brüche umgewandelt wird.

Zusammenfassung• Vorteile überwiegen deutlich• gemischten Zahlen sollten im

Unterricht verwendet werden• Ergebnisse in gemischte

Zahlen umwandeln→ Abschätzen der Größenordnung der Zahl


Dezimalbrüche

7,257 kg

0,234

0,234 = 234 Tausendstel= 200 Tausendstel + 30 Tausendstel + 4 Tausendstel= 2 Zehntel + 3 Hundertstel + 4 Tausendstel

T H Z E z h t7 2 5 70 2 3 4

5 4 3 1 7 8 9

�10 �10 �10

∶10 ∶10 ∶10 ∶10 ∶10 ∶10

�10 �10 �10

= 7 kg 257 g = 7257

1000kg

=234

1000=

2001000

+30

1000+

41000 =

210

+3

100+

41000

z h t


Dezimalbrüche

Dezimalbruch

endlich(Beispiel: 𝟏𝟏, 𝟓𝟓)

periodisch

rein periodisch(Beispiel: 𝟏𝟏, �𝟑𝟑)

gemischt periodisch

(Beispiel: 𝟏𝟏, 𝟏𝟏�𝟔𝟔)


Periodische Dezimalbrüche ⟺ echte Brüche

Als echten Bruch schreiben!rein periodischer Dezimalbruch

𝑥𝑥 = 0, 1231000 � 𝑥𝑥 = 123, 123999 � 𝑥𝑥 = 123

𝑥𝑥 = 123999

gemischt periodischer Dezimalbruch

0,231

= 110

� 2, 31

= 110

� 2 3199

= 229990

= 110

� 2 + 3199

= 110

� 19899

+ 3199

= 110

� 22999

|−𝑥𝑥| ⋅ 1000

|∶ 999

= 110

� (10 � 0,231)


Anschauliche Bruchvorstellungen

Anteil richtiger Lösungen: 4 %

Anteil richtiger Lösungen: 50 %

0,740 ⋅ 1,49 ist ungefähr … Kreuze die richtige Antwort an:

710

1800

2

Rechne dann genauer!

14.04.18 Einwaage0,740kg

€/kg1,49

0,740 ⋅ 1,49 ist ungefähr … Kreuze die richtige Antwort an:

710

1800

2

Rechne dann genauer!

https://www.mentimeter.com/s/82633e44e30bd78677c1f30e99674c65/f03c32d0d5f1


𝟏𝟏, �𝟗𝟗 = 𝟏𝟏 ?><


𝟏𝟏, �𝟗𝟗 = 𝟏𝟏 ?

Wie groß ist der Abstand von 0, �9 zu 1 ?

19

= 1 ∶ 9 = 0,10

1

9−1

�119

= 0, �1 |⋅ 9

99

= 0, �1 ⋅ 9

1 = 0, �9

><


3�3

𝟏𝟏, �𝟗𝟗 = 𝟏𝟏 ?

13

= 1 ∶ 3 = 0,10

9−1

𝑥𝑥 = 0, �9 |⋅ 10

𝑥𝑥 =99

1 =13

+13

+13

= 0, �3 + 0, �3 + 0, �3

= 0, �9

10 ⋅ 𝑥𝑥 = 9, �9 |−𝑥𝑥

9 ⋅ 𝑥𝑥 = 9 |∶ 9

𝑥𝑥 = 1

><


𝟏𝟏, �𝟗𝟗 = 𝟏𝟏 ?

�𝑘𝑘=0

∞

𝑎𝑎 ⋅ 𝑞𝑞𝑘𝑘 =𝑎𝑎

1 − 𝑞𝑞für 𝑞𝑞 < 1

Setze 𝑞𝑞 =1

10und 𝑎𝑎 = 9

Geometrische Reihe

9, �9 = �𝑘𝑘=0

∞

9 ⋅1

10

𝑘𝑘

=9

1 − 110

=99

10= 10

9, �9 = 10 |−90, �9 = 1

><


SchokoladenaufgabeGrundvorstellungen

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Jürgen Roth Didaktik der Zahlbereichserweiterungen · Jürgen Roth• Didaktik der Zahlbereichserweiterungen Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ• 4.2 Didaktik der Zahlbereichserweiterungen