Kapitel 14— Lineare Gleichungssysteme · Deﬁnition 14.1 (Lineares Gleichungssystem – LGS) Ein (reelles) lineares Gleichungssystem (LGS) mit n Variablen x1,x2,...,xn und m Gleichungen

Kapitel 14— Lineare Gleichungssysteme


Mathematischer Vorkurs – TU Dortmund Seite 183 / 246


Definition 14.1 (Lineares Gleichungssystem – LGS)

Ein (reelles) lineares Gleichungssystem (LGS) mit n Variablenx1, x2, . . . , xn und m Gleichungen hat folgende Gestalt

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2

...am1x1 + a

m2x2 + . . .+ amn

xn

= bm

mit aij

, bj

2 fur 1 i n und 1 j m.Die a

ij

nennen wir die Koeffizienten des LGS und die bj

nennen wirdie rechte Seite des LGS.Das LGS heißt homogen, wenn die rechte Seite verschwindet.



Kurzschreibweise: Statt der Form in 14.1 benutzen wir auch die etwaskompaktere Schreibweise

0

B

B

B

@

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

am1 a

m2 . . . amn

�

�

�

�

�

�

�

�

�

b1b2...bm

1

C

C

C

A

oder noch kompakter (A|b)

mit A :=

0

B

B

B

@

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

am1 a

m2 . . . amn

1

C

C

C

A

und b :=

0

B

B

B

@

b1b2...bm

1

C

C

C

A

.



Definition 14.1 [cont.]

Die Losungsmenge des LGS (A|b) bezeichnen wir mit

L(A, b) :=�

(x1, . . . , xn) 2 n | (x1, . . . , xn) lost (A|b)

Satz 14.2 (Gauß-Operationen)

Die folgenden Operationen verandern die Losungsmenge eines LGS nicht:

1. Multiplizieren einer Zeile mit einer Zahl a 6= 0.

2. Vertauschen von Zeilen.

3. Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.

4. Vertauschen von Spalten

Achtung: Wenn man Punkt 4. anwendet, muss man sich merken, welcheVariable zu welcher Spalte gehort!



Satz 14.3 (Gauß-Algorithmus)

Es sei (A|b) ein lineares Gleichungssystem, dann kann man durch geeigneteGauß-Operationen erreichen, dass das LGS die folgende Form bekommt:

j

1

#

j

2

# · · ·

j

k

#

j

k+1

# · · ·

j

n

#0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

@

1 0 · · · 0 ⇤ · · · ⇤0 1 · · · 0 ⇤ · · · ⇤...

.... . .

......

0 0 · · · 1 ⇤ · · · ⇤0 0 · · · 0 0 · · · 0

......

......

0 0 · · · 0 0 · · · 0

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

c1c2...ck

ck+1...cm

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A

Dabei gibt j`

an, dass diese Spalte zur j`

-ten Variablen gehort.



Praktische Durchfuhrung des Gauß-Algorithmus:

Step1 Wir versuchen durch 3.(Tausch von Zeilen), 4.(Tausch von Spalten)und 1.(Skalierung einer Zeile) eine “1” in die obere linke Ecke zubekommen.(Ist dies nicht moglich, dann endet der Algorithmus, denn dieKoe�zienten, mit denen man diesen Schritt gestartet hat, sind alleNull.)

Step2 Durch Anwenden von 2.(Addition von Zeilen) erzeugen wir Nullenunterhalb und oberhalb dieser “1”.

Step3 Wir beginnen nun wieder mit Step1. Allerdings wenden wir ihn aufdas kleinere System an, das wir durch Loschen der ersten Spalte understen Zeile erhalten.



Definition 14.4 (Rang eines LGS)

Es sei (A|b) ein LGS. Die Zahl k aus der Endgestalt des Gauß-Algorithmusnennt man den Rang des LGS.

Satz 14.5

Es sei (A|b) ein LGS vom Rang k. Der Gauß-Algorithmus liefert diefolgenden Falle fur die Losungsmenge L(A, b):

1 Ist mindestens eine der Zahlen ck+1, . . . , cm ungleich Null, so ist

L(A, b) = ;.2 Im Fall k = n = m ist das System eindeutig losbar und es gilt

L(A, b) = {(x1, . . . , xn) |xj1 = c1, xj2 = c2, . . . , xjn = c

n

}.3 Fur k < n und c

k+1 = . . . = cm

= 0 ist, konnen die n � k Variablenxjk+1 , . . . , xjn als freie Parameter gewahlt werden. Damit sind die

Werte xj1 , . . . , xjk fur jede Wahl der Parameter eindeutig bestimmt.

Man sagt: Die Losungsmenge L(A, b) ist (n � k)-dimensional.



Beispiel : Wir losen das LGS

2x1+ 6x2+ 2x4 = 10

x1+ 3x2+ x3+ 2x4 = 7

3x1+ 9x2+ 4x3 = 16

3x1+ 9x2+ x3+ x4 = 17

oder0

B

B

@

2 6 0 2 10

1 3 1 2 7

3 9 4 0 16

3 9 1 1 17

1

C

C

A



1.) Vertausche Z1 und Z2.

0

B

B

B

B

@

x1 x2 x3 x41 3 1 2 7

2 6 0 2 10

3 9 4 0 16

3 9 1 1 17

1

C

C

C

C

A

2.) Addiere (�2)⇥ Z1 zu Z2, dann (�3)⇥ Z1 zu Z3 und (�3)⇥ Z1 zu Z4.

0

B

B

B

B

@

x1 x2 x3 x41 3 1 2 7

0 0 �2 �2 �4

0 0 1 �6 �5

0 0 �2 �2 �4

1

C

C

C

C

A



3.) Vertausche S2 und S4.

0

B

B

B

B

@

x1 x4 x3 x21 2 1 3 7

0 �2 �2 0 �4

0 �6 1 0 �5

0 �2 �2 0 �4

1

C

C

C

C

A

4.) Addiere Z2 zu Z1, dann (�3)⇥ Z2 zu Z3 und (�1)⇥ Z2 zu Z3. Dannmultipliziere Z2 mit �1

2 .

0

B

B

B

B

@

x1 x4 x3 x21 0 �1 3 3

0 1 1 0 2

0 0 7 0 7

0 0 0 0 0

1

C

C

C

C

A



5.) Multipliziere Z3 mit 17 , addiere (�1)⇥ Z3 zu Z2, dann Z3 zu Z1.

0

B

B

B

B

@

x1 x4 x3 x21 0 0 3 4

0 1 0 0 1

0 0 1 0 1

0 0 0 0 0

1

C

C

C

C

A

Dies ist nun die Endform des Gauß-Algorithmus, aus dem wir die Losungablesen.

Der Rang des LGS ist k = 3 und als freien Parameter wahlen wir x2.



Wir schreiben die Gleichungen noch einmal aus:

x1 + 3x2 = 4

x4 = 1

x3 = 1

,

und es gilt

L(A, b) =�

(x1, x2, x3, x4) 2 4 |x1 = 4 � 3x2, x3 = 1, x4 = 1

Setzen wir x2 = t fur den Parameter, so schreiben wir auch

L(A, b) =

8

>

>

<

>

>

:

0

B

B

@

x1x2x3x4

1

C

C

A

=

0

B

B

@

4

0

1

1

1

C

C

A

+ t

0

B

B

@

�3

1

0

0

1

C

C

A

�

�

�

�

�

�

�

�

t 2

9

>

>

=

>

>

;


Kapitel 15— Vektoren




In Kapitel 1 haben wir das Kreuzprodukt von Mengen eingefuhrt. Undzwar sind fur eine Menge M die Elemente aus Mn

:= M ⇥ . . . ⇥ M| {z }

n-mal

genau

die n-Tupel (m1,m2, . . . ,mn

) mit mj

2 M . (vgl. Definition 1.5). Dasnutzen wir aus und definieren:

Definition 15.1 (Vektoren im Zahlenraum)

Ein Vektor (im Zahlenraum) mit n Komponenten ist ein n-Tupel reellerZahlen, also ein Element aus n. Wir schreiben die Komponenten einesVektors in eine Spalte:

~v =

0

B

B

B

@

v1v2...vn

1

C

C

C

A

(Manchmal benutzen wir die platzsparendeSchreibweise ~v = (v1, v2, . . . , vn)

T , wobei das T

andeutet, dass wir eigentlich einen Spaltenvektormeinen).



Mit Vektoren kann man auch rechnen:

Definition 15.2 (Rechnen mit Vektoren)

Man kann zwei Vektoren ~v =

0

B

@

v1...vn

1

C

A

und ~w =

0

B

@

w1...wn

1

C

A

miteinander

addieren, gemaß ~v + ~w =

0

B

@

v1 + w1...

vn

+ wn

1

C

A

.

Man kann einen Vektor ~v =

0

B

@

v1...vn

1

C

A

und eine reelle Zahl ↵ 2

miteinander multiplizieren, gemaß ↵ · ~v =

0

B

@

↵v1...

↵vn

1

C

A

.



Wir beschranken uns in der kommenden Betrachtung auf 2 (obwohl allesauch im Hoherdimensionalen richtig bleibt).

Bemerkung 15.3 (Vektoren und Geometrie)

Wir identifizieren einen Vektor ~a =

�

a1a2

�

mit dem Pfeil�!OA, der den

Ursprung O der Ebene mit den Punkt A = (a1, a2) verbindet. Sei ~b einweiterer Vektor mit zugehorigem Punkt B = (b1, b2) und ↵ 2 .

Die Addition ~a+

~b entspricht dem Pfeil�!OC, wobei der Punkt C wie

folgt konstruiert wird:

Verschiebe den Pfeil�!OB so, dass sein Anfang in A liegt. Dann zeigt

das Ende dieses verschobenen Pfeils auf den Punkt C.





Bemerkung 15.3 [cont.]

Die Multiplikation ↵~a entspricht dem Pfeil�!OD, wobei der Punkt D

wie folgt konstruiert wird:

Ist ↵ � 0, so entspricht die Richtung des Pfeils�!OD der von

�!OA und

die Lange des Pfeils�!OD ist gegeben durch die Lange des Pfeils

�!OA

multipliziert mit ↵. Ist ↵ < 0 so kehrt sich die Richtung um, aber dieLange ist die gleiche wie im ersten Fall.



Satz 15.3 (Rechenregeln fur Vektoren)

Es seien ~u,~v und ~w Vektoren und ↵ und � seien reelle Zahlen, dann gilt:

1. ~v + ~w = ~w + ~v.

2. ~u+ (~v + ~w) = (~u+ ~v) + ~w.

3. Es gibt einen Nullvektor ~0 mit ~v +~

0 =

~0 + ~v = ~v.

4. Zu ~v gibt es einen Vektor �~v mit ~v + (�~v) = ~0.

5. ↵ · (� · ~v) = (↵�) · ~v.6. 1 · ~v = ~v.

7. (↵+ �) · ~v = ↵ · ~v + � · ~v.8. ↵ · (~v + ~w) = ↵ · ~v + ↵ · ~w

Bemerkung zu 3.: ... namlich ~0 := (0, 0, . . . , 0)T .

Bemerkung zu 4.: ... namlich �~v := (�1) · ~v = (�v1, . . . ,�vn

)

T .



Das Ergebnis aus Satz 15.3 verallgemeinern wir nun und definieren:

Definition 15.4 (Vektorraum)

Ein (reeller) Vektorraum ist eine Menge V 6= ; mit einer Addition undeiner Multiplikation mit reellen Zahlen (skalare Multiplikation), diedie Eigenschaften 1. bis 8. aus dem vorigen Satz 15.3 haben.



Satz 15.5 (Beispiele fur Vektorraumen)

1 n ist ein Vektorraum.

2 Es sei M eine Menge und Abb(M, ) die Menge aller Abbildungenvon M nach . Durch geeignete (namlich punktweise) Addition undskalare Multiplikation wird Abb(M, ) zu einem Vektorraum.

3 Es bezeichnen

[x] die Menge der Polynome mit Grad kleiner odergleich n. Dann ist dies mit geeigneter Addition und skalarerMultiplikation ein Vektorraum.

Bemerkung: Wegenn

[x] ⇢ Abb( , ) ist 3. ein Unterbeispiel von 2.

Da man Vektoren im n als Abbildungen von {1, . . . , n} nachinterpretieren kann, ist auch 1. ein Unterbeispiel von 2.



Definition 15.5 (Linearkombination)

Es seien ~v1, . . . ,~vn Elemente des Vektorraums V . Eine Summe der Form

↵1~v1 + ↵2~v2 + . . .+ ↵n

~vn

heißt Linearkombination und die Zahlen ↵j

2 heißenKoeffizienten der Linearkombination.

Beispiele: 1. Es ist 3x5 + 4x3 + 12x eine Linearkombination der“Vektoren” x5, x3, x 2 5[x] mit den Koe�zienten 3, 4 und 12.

2. Der Vektor

6

4

2

!

2 3 ist eine Linearkombination der Vektoren

1

0

0

!

,

0

1

0

!

und

0

0

1

!

mit Koe�zienten 6, 4 und 2



Definition 15.6 (Lineare Abhangigkeit)

Die Vektoren ~v1, . . . ,~vn des Vektorraums V heißen linear abhangig,wenn es Zahlen ↵1, . . . ,↵n

2 gibt, die nicht alle Null sind, so dass aberdie Linearkombination ↵1~v1 + ↵2~v2 + . . .+ ↵

n

~vn

=

~0 ist.

Sie heißen linear unabhangig, wenn sie nicht linear abhangig sind.

Folgerung 15.7

Die Vektoren ~v1, . . .~vn sind genau dann linear unabhangig, wenn dieGleichung

↵1~v1 + ↵2~v2 + . . .+ ↵n

~vn

=

~0

(als Gleichung fur die Zahlen ↵1, . . . ,↵n

) nur die Losung↵1 = . . . = ↵

n

= 0 hat.



Beispiele:

1. Die Vektoren ~u =

0

@

1

2

3

1

A ,~v =

0

@

2

7

5

1

A , ~w =

0

@

1

0

3

1

A 2 3 sind linear

abhangig, denn es gilt 4~u+ (�1)~v + (�2)~w = 0.

2. Die Vektoren ~v =

✓

1

2

◆

, ~w =

✓

2

1

◆

2 2 sind linear unabhangig, denn

↵~v + � ~w =

~0 ist gleichbedeutend mit dem LGS

⇢

↵+ 2� = 0

2↵+ � = 0

�

und dies hat die eindeutige Losung ↵ = � = 0 (vgl. Kapitel 18).

3. Die “Vektoren” 2x3 + 6 und 3x3 + 9 in 3[x] sind linear abhangigund die “Vektoren” x3 und x2 in 3[x] sind linear unabhangig.



Bemerkung 15.8

1 ~v 2 V ist genau dann linear abhangig, wenn ~v = 0.

2 Die lineare Abhangigkeit zweier Vektoren ~v, ~w 2 3 istgleichbedeutend mit jeweilsa) ~v und ~w liegen auf einer Geraden durch den Nullpunkt, undb) je einer der Vektoren ist ein Vielfaches des anderen.

3 Die lineare Abhangigkeit dreier Vektoren ~u,~v, ~w 2 3 istgleichbedeutend mit jeweilsa) ~u, ~v und ~w liegen in einer Ebene durch den Nullpunkt, undb) mindestens einer der Vektoren ist eine Linearkombination deranderen beiden.



Weitere wichtige Begri↵e und Bemerkungen 15.9

1. Der Spann der Vektoren ~v1, . . . ,~vk

2 V ist die Menge allerLinearkombinationen dieser Vektoren. (Das ist auch fur eine beliebigeMenge von Vektoren erklart).

2. Der Spann erfullt die Punkte 1.-8. die einen Vektorraum definieren, istalso selber einer (vgl. Definition 15.4 und Satz 15.3).

3. Lasst sich jedes Element von V eindeutig(!) als Linearkombination derVektoren ~v1, . . . ,~v

k

2 V darstellen, dann nennt man�

~v1, . . . ,~vk

eine Basis von V .

4. Die Elemente einer Basis sind linear unabhangig.



Speziell fur das Rechnen im n heißt das

5. n Vektoren des n sind genau dann linear unabhangig, wenn sie eineBasis bilden.

6. Die Standardbasis des n besteht aus den kanonischenEinheitsvektoren

~e1 =

0

B

B

B

B

B

B

B

@

1

0

0

...0

0

1

C

C

C

C

C

C

C

A

,~e2 =

0

B

B

B

B

B

B

B

@

0

1

0

...0

0

1

C

C

C

C

C

C

C

A

, . . . ,~en

=

0

B

B

B

B

B

B

B

@

0

0

0

...0

1

1

C

C

C

C

C

C

C

A

.


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