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TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Ausgabe: 06. Februar 2017 www.ibn.ch Auflage 6 Kapitel 4 Mechanik Verfasser: Hans-Rudolf Niederberger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 8772 Nidfurn 055 - 654 12 87 Ausgabe: November 2011

Kapitel 4 Mechanik · 2017. 12. 4. · 4.5 Die Reibung 4.5.1 Haftreibung 4.5.2 nischen, chemischen, thermischen und strah-Gleitreibung 4.5.3 Haftzahl, Gleitreibungszahl und Rollreibungszahl

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TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN

Ausgabe: 06. Februar 2017 www.ibn.ch

Auflage 6

Kapitel 4

Mechanik

Verfasser: Hans-Rudolf Niederberger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 8772 Nidfurn

055 - 654 12 87

Ausgabe: November 2011

Page 2: Kapitel 4 Mechanik · 2017. 12. 4. · 4.5 Die Reibung 4.5.1 Haftreibung 4.5.2 nischen, chemischen, thermischen und strah-Gleitreibung 4.5.3 Haftzahl, Gleitreibungszahl und Rollreibungszahl

TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN 4 MECHANIK

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Inhaltsverzeichnis

4 MECHANIK

4.1 Grundlagen 4.1.1 Vorwort 4.1.2 Basisgrössen 4.1.3 Zusammenhang elektrischer, mechanischer und

Wärmearbeit 4.1.4 Masse, Volumen und Dichte 4.1.5 Massvorsätze

4.2 Bewegungslehre 4.2.1 Gleichförmige geradlinige Bewegung 4.2.2 Kreisförmige Bewegung 4.2.3 Beschleunigung 4.2.4 Horizontaler und schiefer Wurf 4.2.5 Der freie Fall

4.3 Kräfteberechnung 4.3.1 Kräftedarstellung 4.3.2 Gewichtskraft 4.3.3 Kräfteaddition 4.3.4 Teilkräfte senkrecht zueinander 4.3.5 Teilkräfte nicht senkrecht zueinander 4.3.6 Federkraft 4.3.7 Beschleunigungskraft 4.3.8 Spezielle Kräfte

4.4 Drehmoment und Seilrollen 4.4.1 Drehmoment 4.4.2 Seilrollen 4.4.3 Drehmoment auf gleicher Welle 4.4.4 Drehmoment auf ungleicher Welle

4.5 Die Reibung 4.5.1 Haftreibung 4.5.2 Gleitreibung 4.5.3 Haftzahl, Gleitreibungszahl und Rollreibungszahl 4.5.4 Reibung auf schiefer Ebene

4.6 Druck 4.6.1 Auflagedruck 4.6.2 Hydraulischer oder Stempelddruck 4.6.3 Auftriebskraft 4.6.4 Hydrostatischer Druck oder Gewichtsdruck

4.7 Mechanische Arbeit 4.7.1 Horizontale Bewegung 4.7.2 Vertikale Bewegung 4.7.3 Kinetische Energie

4.8 Die mechanische Leistung 4.8.1 Mechanische Leistung Horizontalbewegung 4.8.2 Mechanische Leistung Wasserturbine 4.8.3 Mechanische Leistung aus Drehmoment und Drehzahl

4.9 Wirkungsgrad

BiVo Probleme umfassend bearbeiten Verstehen und anwenden Erinnern TD Technische Dokumentation BET Bearbeitungstechnik 2.1 Werkstoffe 2.1.2 Mechanische Eigenschaften

- Verhalten bei Krafteinwirkung: Festigkeiten, Härte, Sprödigkeit, Elastizität, Plastizität

- Dichte - Eignung für technologische Verfahren: (For-

men, Fügen, Vergüten, Veredeln)

2.3 Einsatz der Werkzeuge und Arbeitsgeräte 2.3.5 Berechnungsaufgaben

- Drehzahl - Umfangsgeschwindigkeiten - Drehmoment

TG Technologische Grundlagen 3.5 Erweiterte Fachtechnik 3.5.1 Internationales Einheitensystem

- Internationales Einheitensystem (SI) - Übersicht über die Basisgrössen und -

Einheiten - Abgeleitete Einheiten von Grössen der Fach-

gebiete (Beispiele) - Definitionen elektrischer Grössen und Einhei-

ten - Massvorsätze von Einheiten

3.5.2 Nichtelektrische Systeme

- Übersicht über technische Energiewand-lungssysteme (Teilsysteme)

- Erzeugungsarten: Erneuerbare und nichter-neuerbare Energie

- Zusammenwirken mit dem elektrotechnischen System, Energiefluss, Energieäquivalenz, Bedeutung der Energieformen

3.5.2 Berechnungsaufgaben

- Energie, Leistung, Wirkungsgrad bei mecha-nischen, chemischen, thermischen und strah-lenden Vorgängen

3.5.3 Mechanische Vorgänge

- Erzeugung und Nutzung mechanischer Kräfte und Körperbewegungen; Erdfeld

- Energieübertragung durch mechanische Kraftleitung (Kraftübertragung), Körperbewe-gung (Erklärungen z.B. anhand vergleichba-rer Darstellung: elektrotechnisch - mecha-nisch-technisches System

3.5.3 Mechanische Grössen (Berechnungsaufga-

ben)

- Geschwindigkeit gleichförmiger, geradliniger und kreisender Bewegungen

- Beschleunigung, Erdbeschleunigung - Kraft (Wechselwirkung), Reibungskraft und

Drehmoment - Druck bei festen, flüssigen und gasförmigen

Stoffen EST Elektrische Systemtechnik KOM Kommunikationstechnik

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TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 3 4 MECHANIK

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4 Mechanik

Wissen das nicht jeden Tag zunimmt, wird täglich abnehmen.

Chinesisches Sprichwort

4.1 Grundlagen 4.1.1 Vorwort

Die allgemeine Aufgabe der Physik besteht darin, Erkenntnisse über Naturvorgänge festhal-ten, zu erweitern, in Gesetze zu fassen und damit Grundlagen für die technische Anwendung zu schaffen. Den theoretischen Teil, „die Geistesarbeit“, nennt man: Physikalische Forschung

Der immerwährende Versuch, die neuen Erkenntnisse der Physik im täglichen Leben auszu-nutzen, nennt man:

Technische Entwicklung

Die Physik kann in folgende Gebiete unterteilt werden:

Gebiet der physikalischen Forschung

Gebiet der technischen Anwendung

Mechanik Statik Strassen, Brücken, Schiffe, Kinetik Maschienen, Fahrzeuge, Kinematik Apparate, Gebäude Akustik Nachrichtentechnik

Telefonie Telekommunikation

Physik Elektrizitäts- lehre

Industrie, Gewerbe, Landwirtschaft Maschienen Apparate Medizin Computer

Wärmelehre Heizungstechnik Klimatechnik Wärmeapparatebau

Kernphysik Energieerzeugung Schiffsbau Waffen

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TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 4 4 MECHANIK VORWORT

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Die Mechanik und Elektrizitätslehre bildet einen Teil im Grossen naturwissen-schaftlichen Gebiet der Physik. Es ist von grösster Bedeutung, dass jeder Lernende die Lehre der Mechanik und Elektrizität in theoretischer und anwendungstechnischer Hinsicht möglichst zu verstehen versucht und weitere Kenntnisse sammelt in den übrigen Teilgebieten der Physik. Der Realist spürt: Man hat nie ausgelernt!

Sage es mir - ich vergesse es, Zeige es mir - ich erinnere mich,

Lass es mich tun - ich verstehe es.

(Chinesisches Sprichwort)

Wichtige Erkenntnisse: Die Neugier steht immer an erster Stelle eines Problems, das gelöst werden will. (Galileo Galilei)

Ich fühle mich nicht zu dem Glauben verpflichtet, dass derselbe Gott, der uns mit Sinnen, Vernunft und Verstand ausgestattet hat, von uns ver-langt, denselben nicht zu benutzen. (Galileo Galilei)

Wer die Geometrie begreift, vermag in dieser Welt alles zu verstehen. (Galileo Galilei)

Die Naturwissenschaft ohne Religion ist lahm, die Religion ohne Natur-wissenschaft ist blind. (Albert Einstein)

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TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 5 4 MECHANIK

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4.1.2 Basisgrössen

4.1.2.1 Definitionen der Basisgrössen Zum messen physikalischer Grössen legt man Einheiten zu grunde. Die physikalischen Ge-setze ermöglichen es, die Zahl dieser Einheiten, mit Hilfe der Beziehungen zwischen den Grössen, in engem Rahmen zu halten. Deshalb befassen wir uns vorerst mit den sogenann-ten

Basis- bzw. Grundgrössen

SI-Einheiten

(Das internationale Einheitensystem) Im SI-Einheitensystem werden mit sieben Basisgrössen alle Gebiete der Physik abgedeckt.

Basisgrösse

Länge Formelzeichen

l Einheit

[[[[m]]]]=Meter

Definition

Basisgrösse

Masse Formelzeichen

m Einheit

[[[[kg]]]]= Kilogramm

Definition

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TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 6 4 MECHANIK 1 GRUNDLAGEN 1 BASISGRÖSSEN 1 DEFINITION DER BASISGRÖSSEN

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Basisgrösse

Zeit Formelzeichen

t Einheit

[[[[s]=Sekunden

Definition

Basisgrösse

Strom Formelzeichen

I Einheit

[[[[A]=Ampére

Definition

Basisgrösse

Temperatur Formelzeichen

T Einheit

[[[[K]=Kelvin

Definition

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TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 7 4 MECHANIK 1 GRUNDLAGEN 1 BASISGRÖSSEN 1 DEFINITION DER BASISGRÖSSEN

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Basisgrösse

Stoffmenge Formelzeichen

ρ Einheit

[[[[mol]=Molare Masse

Definition

Basisgrösse

Lichtdstärke Formelzeichen

I Einheit

[[[[cd]=Candela

Definition

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4.1.2.2 Abgeänderte Basis-Einheiten Ausser den unter den Basisgrössen aufgeführten Einheiten sind auch weitere - verkleinerte oder vergrösserte - Einheiten gesetzlich erlaubt.

Längen [[[[m]]]] µµµµm, mm, cm, dm, km

Zeit [[[[s]]]] ms, min., Std=h, Tg=d, Jahr=a

Strom [[[[A]]]] µµµµA, mA, kA

Gewicht [[[[kg]]]] g, mg, t

Volumen [m3] [dm3], [cm3], [mm3]

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4.1.2.3 Übungen zu SI-Einheiten Alle weiteren Einheiten werden mittels physikalischen Gesetzen aus den äusserst präzis definierten SI-Basis-Einheiten abgeleitet.

Beispiele:

Für die Fläche gilt

blA ⋅=

][2m

l

b

Bild 04.03.01

l

b

Für die Geschwindigkeit gilt

t

sV =

s

m

tvs ⋅=

[h]

t

0

V[km/h]

1 2 3

4

8

12

16

20

Für die Arbeit gilt

Mechanische Arbeit

sFW ⋅=

][Nm

Bewebungs- kraft in [[[[N]]]]

1 2

Horizontale zeitabhängige Bewegung

MeterinsWeg

SekundenintZeit

m

NG FF =

RF F

Elektrische Arbeit

tPW ⋅=

][Ws

UV

kWh

I

U

kWh-Zähler

Die Gewichtskraft

gmF ⋅=

2s

kgm= ][N m F

Beschleunigung

t

Va

∆=

2s

m

1v

v∆

t∆

a2v

[s]

[m/s]

54320

t

v

1

1v

v

t

2v

0

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4.1.2.4 Übersicht über die wichtigsten SI Einheiten der Physik In der nachfolgenden Übersicht sind die lichttechnischen und elektromagneti-schen Einheiten nicht berücksichtigt.

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4.1.3 Zusammenhang elektrischer, mechanischer und Wärmearbeit

Mechanische

Arbeit

sFW ⋅=

Bewebungs- kraft in [[[[N]]]]

1 2

Horizontale zeitabhängige Bewegung

MeterinsWeg

SekundenintZeit

m

NG FF =

RF F

FB 4.7

Elektrische

Arbeit

tPW ⋅=

UV

kWh

I

U

kWh-Zähler

FB 7.7

Wärme Energie

ϑ∆⋅⋅= cmQ

R

HeizungW ärmeinhaltim W asser

Thermometer

FB 5.2

Mechanische Arbeit

Wärme Energie

Elektrische Arbeit

1 Nm 1 J 1 Ws

Bei den Übergängen zu den anderen Energie-formen treten meistens Verluste auf, welche bei der Umrechnung mit Wirkungsgraden be-rücksichtigt werden müssen. Umrechnung Energie bzw. Arbeit

Mechani-sche

Arbeit

Wärme Energie

Elektrische Arbeit

][Nm ][ J ][Ws ][Wh ][kWh

1 1 1

3600 3600 3600 1

3´600´000 3´600´000

3´600´000 1´000 1

Wichtige Einheiten bzw. Vorsatzzei-chen für die Dar-stellung der Ener-gie sind:

Kilo k 310

Mega M 610

Giga G 910

W Mechanische Arbeit ][Nm

F Kraft [ ]N

s Weg ][m

W Elektrische Energie Elektrische Arbeit ][Ws

P Elektrische Leistung ][W

t Zeit ][s

Q Wärmeenergie ][J

m Masse ][kg

c Wärmekapazität

°Ckg

kJ

ϑ∆ Temperatur- differenz ][ C°

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4.1.4 Masse, Volumen und Dichte Die Masse ist eine Grundgröße der Physik. Ihre SI-Einheit ist das Kilogramm. Sie ist zum einen Ursa-che der Gravitation („schwere Masse“), zum anderen ein Maß für die Trägheit eines Körpers, das heißt seinen Widerstand gegenüber Änderun-gen seines Bewegungszustands („träge Masse“).

ρ⋅= Vm

Masse

Volumen

Dichte

In Sèvres (Vorort von Paris) wird das Ur-kilo und der Urmeter aufbewahrt. Die verschiedenen Körperformen für die Bestimmung der Volumen finden Sie unter dem Kapitel der Mathematik:

m Masse ][kg

V Volumen ][3dm

ρ Dichte ]/[3dmkg

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TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 13 4 MECHANIK 1 GRUNDLAGEN

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4.1.5 Massvorsätze

4.1.5.1 Vorsatzzeichen Zur Vereinfachung der Schreibweise werden folgende Vielfache und Bruchteile von Dekaden verwendet.

Vorsatz Vorsatz-zeichen

Zehner-potenz

Vorsatz Vorsatz-zeichen

Zehner-potenz

Tera Dezi Giga Zenti Mega Milli Kilo Mikro

Hekto Nano Deka Piko

Femto

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TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 14 4 MECHANIK 1 GRUNDLAGEN 4 MASSVORSÄTZE

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4.1.5.2 Griechisches Alphabet Das griechische Alphabet umfasst 24 Buchstaben.

Grossbuch-staben

Kleinbuch-staben

Translite- ration

Name

1. Α α a Alpha 2. Β β b Beta 3. Γ γ g Gamma 4. ∆ δ d Delta 5. Ε ε e Epsilon 6. Ζ ζ z Zeta 7. Η η ë (gespr. Ä) Eta 8. Θ ϑ th Theta 9. Ι ι i Iota 10. Κ κ k Kappa 11. Λ λ l Lambda 12. Μ µ m My 13. Ν ν n Ny 14. Ξ ξ x Xi 15. Ο ο o Omikron 16. Π π p Pi 17. Ρ ρ r Rho 18. Σ σ s Sigma 19. Τ τ t Tau 20. Υ υ y (gespr. ü) Ypsilon 21. φ ϕ ph (gespr. f) Phi 22. Χ χ ch Chi 23. Ψ ψ ps Psi 24. Ω ω õ Omega

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4.2 Bewegungslehre 4.2.1 Gleichförmige geradlinige Bewegung 4.2.1.1 Theorie Gleichförmige geradlinige Bewegung Auftrag Stellen Sie in die zwei nachfolgenden Grafiken den Bewegungsverlauf grafisch dar und die halten Sie die wichtigsten Erkenntnisse in Stichworten und die for-malistischen Beziehungen fest.

0

1 2

Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm

Wichtige Erkenntnisse

Geschwindigkeit konstant

Beteiligte physikalische

Größen sind Zeit, Weg und

Geschwindigkeit

0 Weg-Zeit-Diagramm

Formalistische Beziehungen

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TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 16 4 MECHANIK 2 BEWEGUNGSLEHRE

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4.2.2 Kreisförmige Bewegung 4.2.2.1 Berechnungen der Kreisbewegung

Wenn ein Rad auf dem Boden abrollt, so legt ein Punkt auf dem Radumfang den gleichen Weg zurück wie das Fahrzeug bei seiner Vorwärtsbewegung. Somit ist die Umfangsgeschwindigkeit v des

Rades gleich gross wie die Geschwindigkeit v des Fahrzeuges.

Die Kreisbewegung eines Massepunktes heißt gleichförmig,

wenn der Betrag (v) seiner Bahngeschwindigkeit konstant

ist.

Die Zeit, die der Massepunkt für einen Umlauf auf der

Kreisbahn braucht, wird Umlaufdauer (T) genannt.

Hat der Kreis den Radius r, gilt für die Geschwindigkeit der Kreisbewegung

T Periodendauer ][s

rfT

rv ⋅⋅⋅=

⋅⋅= π

π2

2

Die Winkelgeschwindigkeit ω

Winkelgeschwindigkeit

Die Winkelgeschwindigkeit gibt an, welchen Winkel (im Bogenmaß) der Fahrstrahl in einer

Sekunde zurücklegt.

Der Ausdruck 2 2⋅ ⋅ = ⋅π πf T/ fasst man oft zu einer neuen Größe

ϖ π= ⋅ ⋅2 f zusammen.

Der Punkt P legt bei jeder Umdrehung den Kreisum-fang π⋅= dU zurück. Bei N Umdrehungen ergibt sich eine Strecke von Nd ⋅⋅π . Der zurückgelegte Weg dividiert durch die dafür benötigte Zeit nennt man Um-fangsgeschwindigkeit.

ndt

Ndv ⋅⋅=

⋅⋅= π

π

Tf

1= n

t

Nf ==

v Umfangsgeschwindigkeit ]/[ sm

d Kreisdurchmesser ][m

N Anzahl Umdrehungen ][−

t Zeit ][s

f Frequenz ][Hz = ][1−s

n Drehzahl ][1−s , ][min

1−

Kreisförmige Bewegungen kommen in unserem Umfeld überall vor. Auf Jahrmärkten und in Ver-gnügungsparks ebenso wie beim Sport (Diskus- oder Hammerwurf) und im Verkehr (Radfahren,

Autofahren). Bei der Arbeit (Bohren, Schleifen und Fräsen). Viele technische Anwendungen basieren auf Kreisbewegungen (Motoren, Getriebe, GPS-

Satelliten auf der Erdumlaufbahn.

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4.2.2.2 Kreisbewegung der Netzspannung Kreisfrequenzdarstellung anhand der Netzfrequenz von f=50 Hz!

t [ms]

α [°]

Berechnungen

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4.2.3 Beschleunigung 4.2.3.1 Theorie zur Beschleunigung

0

Gleichmäßige beschleunigte und

bremsende Bewegung

Beteiligte physikalische Größen

Zeit, Weg, Geschwindigkeit und

Kraft

Merke Bei der gleichförmig und beschleunigten oder verzögerten Bewegung ändert die Geschwindigkeit fort-während, nämlich proportional zur Zeit. Unter Beschleunigung bzw. Verzögerung wird die Geschwin-digkeitsänderung pro Zeiteinheit verstanden.

0

Aufgabe In den nachfolgenden Grafiken sind die Achsen richtig zu beschriften mit Formelzeichen und Einhei-ten. Die entsprechende Grafik für den Bewegungsablauf ist einzutragen und mit einem kurzen Satz zu beschreiben.

0

Beschleunigung-Zeit-Diagramm

0

Weg-Zeit-Diagramm

0

Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm

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TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 19 4 MECHANIK 2 BEWEGUNGSLEHRE 3 BESCHLEUNIGUNG

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Beispiel 1 Ist ein Körper bereits in Bewegung, so kann durch eine Krafteinwirkung die Geschwindigkeit verzögert oder verkleinert werden. Berechnung des Bremsweges:

0

V

t

Die Zeit beim Bremsen soll durch avt /= ersetzt werden:

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TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 20 4 MECHANIK 2 BEWEGUNGSLEHRE 3 BESCHLEUNIGUNG

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Beispiel 2 Ein Körper hat eine Geschwindigkeit von 20 m/s und erfährt ab diesem Zeitpunkt eine Beschleuni-gung von 2 m/s2 . Nach welcher Strecke ist die Geschwindigkeit des Körpers verdoppelt?

0

V

t

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TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 21 4 MECHANIK 2 BEWEGUNGSLEHRE 3 BESCHLEUNIGUNG

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Beispiel 3 Ein Auto fährt mit einer Geschwindigkeit von

hkm /150 und beginnt ab diesem Zeitpunkt zu bremsen mit 3 m/s2 . Nach welcher Zeit ist die Geschwindigkeit des Autos bei der Hälfte angelangt? Mit welcher Kraft wird der Autofahrer in die Gurten gedrückt.

0

V

t

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4.2.4 Horizontaler und schiefer Wurf

0

V

t

Wurfbewegung bzw. beschleunigte

Bewegung

Beteiligte physikalische Größen

Zeit, Weg, Geschwindigkeit und Kraft

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4.2.5 Der freie Fall

4.2.5.1 Theorie zum freien Fall Die Fallbeschleunigung ist gleichförmig beschleunigt und unabhängig vom Ge-wicht des Körpers. Im Vakuum fallen alle Körper gleich schnell und erfahren die gleiche Fallbe-schleunigung. (Bei unseren Betrachtungen werden wir den Luftwiderstand ver-nachlässigen). Die Fall- oder Erdbeschleunigung wird wie folgt bezeichnet:

„g“ kommt von

„Galileo Galilei“!

0

V

t

0

s

t

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TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 24 4 MECHANIK 2 BEWEGUNGSLEHRE 5 DER REIE FALL

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Aufgabe Eine Münze fällt aus einem Meter auf den Boden. Welche Geschwindigkeit hat die Münze beim aufprall auf den Boden. Dabei wird der Luftwider-stand vernachlässigt. Die Erdbeschleunigung wird mit 2

/81,9 sm angenommen.

0

V

t

Fallender Körper mit beschleunigter

Bewegung.

Beteiligte physikalische Größen

Zeit, Weg, Geschwindigkeit Kraft

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4.3 Kräfteberechnung Eine auf einen beweglichen Körper wirkende Kraft kann die-sen in Bewegung setzen; ist der Körper ober schon in Bewegung, so wird sie durch die Kraftwirkung verändert. Ist der Körper nicht beweglich, so wird er durch die Kraft verformt oder deformiert. Kräfte sind vektorielle Grössen. Sie lassen sich durch eine Pfeilstre-cke darstellen. Die Länge des Pfeiles entspricht dem Betrag der Kraft unter Berücksichtigung des Massstabes, die Pfeilspitze gibt die Rich-tung der Kraft auf der Wirkungslinie an. Die Kraft hat die Einheit Newton [N].

Isaac Newton (1643-1727)

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4.3.1 Kräftedarstellung

ar

Vektor

ar

Betrag

Im Koordinatensystem kann der Vek-tor bzw. seine Grösse mit dem Satz von Pythagoras berechnet werden. Der Winkel des Vektors kann mit Hilfe der Trigonometrie berechnet werden.

Der Voktor v

r

Kräfte sind Ursachen für die - Bewegungsänderung von Körpern - Verformung von Körpern

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4.3.2 Gewichtskraft

4.3.2.1 Theorie zur Gewichtskraft Jeder Körper besteht aus einem bestimmten Stoff (Material) und hat eine Masse. Diese kann z.B. durch eine He-belwaage bestimmt werden, d.h. durch Vergleich mit geeichten Gewichtssteinen. Der Wert der Masse ist ortsun-abhängig. Die Masseinheit der Masse ist das Kilogramm [kg]

Vm ⋅= ρ1 [ ]3

dm/kgρ

[ ]3dmV

Die Dichte eines Stoffes ist definiert als Masse pro Volumeneinheit (Frühere Bezeichnen:Spezifisches Gewicht) Hebelwaage bei Gleichgewicht

m m1 2

=

Die Gewichtskraft eines Körpers ist abhängig von seiner Masse und vom Ort. Sie entsteht durch die Anziehungskraft zweier oder mehrerer Körper. Auf der Erdoberfläche wirkt auf die Masse m = 1 kg eine durchschnittli-che Gewichtskraft (Anziehungskraft) von 9,18 N - oder anders ausge-drückt: Ein Körper mit der Masse 1 kg wiegt auf der Erde im Durschnitt 9,81N. Werte für g: - auf der Mondoberfläche 1,67 m/s2 - auf der Erdoberfläche 9,81 m/ s2

gmF ⋅=

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4.3.3 Kräfteaddition Greifen in einem Punkte mehrere Kräfte an, so kann die resultierende Kraft (Er-satzkraft) durch die vektorielle Addition grafisch oder rechnerisch bestimmt wer-den. (Sind die Kräfte nicht senkrecht zueinander, so ist für den Praktiker die gra-fische Lösung vorzuziehen.) Fin Körper ist im Gleichgewicht, wenn die Resultierende aller an ihm angreifen-den Kräfte gleich „Null“ ist. (Geschlossenes Kräftepolygon.) Teilkräfte auf gleicher Wirkungslinie und gleicher Richtung

Teilkräfte auf gleicher Wirkungslinie und entgegengesetzter Richtung

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4.3.4 Teilkräfte senkrecht zueinander Teilkräfte senkrecht zueinander

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4.3.5 Teilkräfte nicht senkrecht zueinander

4.3.5.1 Grafische Lösung Teilkräfte nicht senkrecht

4.3.5.2 Rechnerische Lösung Teilkräfte nicht senkrecht

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4.3.6 Federkraft Die Federkraft ist proportional zur Federdeformation. Dies ist das berühmte Hooksche Ge-setz: x = Federdeformation in [m] D = Federkonstante in [N/m] F = Federkraft in [N]

xDF ⋅=

Die Federkraft ist der Deformation entgegenge-richtet. Sie ist proportional zur Deformation. Als Proportionalitätsfaktor tritt die Federkonstante D auf. Sie ist um so grösser, je stärker die Fe-der ist.

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4.3.7 Beschleunigungskraft

Um einen Körper bewegen zu können also

ist immer eine der Beschleunigung entsprechende

notwendig.

Diese Kraft muss umso grösser sein, je grösser

ist und umso grösser die ist die der Körper

erreichen soll.

4.3.7.1 Betrachtungen für die vertikale Bewegung

Fällt ein Körper wie bei der Fallbeschleunigung betrachtet herab, so nimmt seine Geschwindigkeit in der Sekunde um 9,81 m/s zu. Die Kraft, die er nach dem Aufprall auf die Unterlage ausübt und die zum Aufheben des Körpers wieder notwendig ist resultiert aus:

Diese Gewichts-kraft berechnet sich wie folgt:

Die Masse eines Körpers ist ab-hängig von sei-nem Volumen und der Dichte:

zu beschleunigen

Kraft

die Masse des Körpers

Endgeschwindigkeit

F m a= ⋅ [ ]

kgm

sN

2

=

[ ]kgm

sN

2

=

F m gG = ⋅

m V= ⋅ ρ

[ ]dm kg

dmkg

3

3

=

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4.3.7.2 Betrachtungen für die horizontale Bewegung Fall 1 Zeichnen Sie in das V-t-Diagramm eine Grafik ein für einen Wagen, der doppelt so schwer und in der halben zeit auf 20m/s Geschwindigkeit be-schleunigt wird.

V [m/s]

t [ ° ] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0

5

10

15

20

m = 0,5t

Berechnungen

F m a= ⋅

Was ist zu tun, damit die neue Situation er-reicht werden kann?

Die beschleunigte Kraft muss vervierfacht werden:

a) Verdoppelt wegen der doppelten Masse!

b) Verdoppelt wegen der halbierten Zeit!

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TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 34 4 MECHANIK 3 KRAFTBERECHNUNG 7 BESCHLEUNIGUNGSKRAFT 2 BETRACHTUNGEN FÜR DIE HORIZONTALE BEWEGUNG

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Fall 2 Das nebenstehende Diagramm zeigt eine in der Geschwindigkeit gleichbleibende Be-wegung. (Also keine Beschleu-nigung) Frage: Heisst das auch, damit ist keine beschleuni-gende Kraft mehr not-wendig?

V [m/s]

t [ ° ] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0

5

10

15

20

Bemerkungen

Ein Körper, der sich mit gleichbleibender Geschwindigkeit

bewegt, muss wegen der Überwindung der Reibungs-, Luft-

widerstands- und der Steigungskräfte trotzdem durch eine

Kraft getrieben werden!

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4.3.8 Spezielle Kräfte

4.3.8.1 Adhäsionskraft

Wenn Körper sich enger berühren, so wirken dabei nicht nur Rauhigkeiten

der Oberfläche, sondern auch molekulare Anziehungskräfte der

verschiedenen Stoffe aufeinander.

Diese Anziehungskraft wird auch Adhäsion genannt.

Beispiele für diese Wirkung sind:

Öl, welches als Flüssigkeit die Reibung vermindert und als Schmiermittel wirkt. Wasser bleibt auf Glasscheibe. Kraft eines Leims und Klebstoffes. Strassenhaftung

4.3.8.2 Kohäsionskraft

Die Kohäsionskräfte werden auch mit der Oberflächenspannung

in Verbindung gebracht (Zusammenhangskraft).

Diese Kräfte bewirken eine Anziehung im gleichen Stoff. In Festen Stoffen

sind diese Kräfte am stärksten. In Flüssigkeiten schwächer und in Gasen sehr

gering.

Das Wasser läuft aus dem längeren Teil ab,

weil eine Kraft (die sogenannte Kohäsionskraft) dafür sorgt, dass das Wasser zusammen

bleibt. Die Wasserteilchen im längeren Teil zie-hen sozusagen das Wasser aus dem kürzeren

Teil hinterher.

Beispiele für diese Wirkung sind:

Büroklammer schwimmt auf Wasser. Wasserglas ist Randvoll. Gibt dem Wassertropf die typische Tropfenform. Wasser wird zusammengehalten. Eiswürfel im vollen Wasserglas. Insekt läuft auf dem Wasser.

Zusammenhalt von Wasser

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4.3.8.3 Berechnungen zum mechanischen Pendel

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4.3.8.4 Beweis der Erdrotation

Im Jahre 1851 konnte Léon Foucault (1819-68) im Pantheon in Paris zum ersten Mal den experimentellen Beweis für die Erdrotation erbrin-gen. Auch wenn die Erdrotation aus astronomischen Beobachtungen schon klar erschien, so fehlte doch bis dahin ein mechanischer wissenschaft-licher Beweis. Am Nord- bzw. Südpol (90° geogr. Breite) ist der Foucault-Effekt am stärksten - das Pendel schwenkt pro Tag um 360°.

Länge des Seils: 67 m Masse der Kugel: 28 kg

Berechnete Ablenkung in unserem Breitengrad:

°=°⋅°= 114724360 )(sin)/(α

Eigene Bemerkung:

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4.4 Drehmoment und Seilrollen

4.4.1 Drehmoment Versuch: In allen drei Situationen versucht man einen Hammer zu heben!

Situation 1

Situation 2 Situation 3

Gewichts- kraft F in [[[[N]]]]

Gegenkraft F in [[[[N]]]]

Gewichts- kraft F in [[[[N]]]]

Gegenkraft F in [[[[N]]]]

Gewichts- kraft F in [[[[N]]]]

Gegenkraft F in [[[[N]]]]

Beobachtung:

Hammer kann leicht Für das Heben des Der Hammer kann nicht

gehoben werden. Hammers ist schon eine mehr gehoben werden!

beträchtliche Kraft

notwendig.

Erklärung:

Die Masse bzw. deren Für das Anheben der Der Abstand des Kraft-

Gewichtskraft kann Masse ist eine grössere ansatzes zum Hammer

direkt mit der Gegenkraft Kraft notwendig durch ist zu gross.

gehoben werden. den Kraftabstand.

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Es wird sichtbar, dass bei gleichbleibender Gewichtskraft durch den grösser werdenden Hebelarm eine immer grössere Gegenkraft aufgewendet werden muss. Diese Abhängigkeit von Hebelarm und Kraft bezeichnet man als Drehmoment.

Drehmoment Hebelarm x Kraft=

Der „Hebelarm“ ist der senkrechte Ab-stand vom Drehpunkt zur Wirkungsli-nie der Kraft. Ist der Winkel nicht 90°, so muss der Hebelarm oder die Kraft grafisch oder rechnerisch entspre-chend zerlegt werden!

M F s= ⋅

[ ]Nm

Einseitiger Hebel

rFM ⋅=

Winkel zwischen Kraft und He-belarm

M F r= ⋅1 M F r= ⋅ ⋅sinα

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Doppelseitiger Hebel

Winkelhebel Bild 8.10.8

Träger Bild 8.10.7

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4.4.2 Seilrollen

4.4.2.1 Einfache Seilrolle

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4.4.2.2 Lose Seilrolle

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4.4.3 Drehmoment auf gleicher Welle

Hebel senkrecht

Merke

Kraft ( F ) und Hebelarm ( r ) bzw. Kraft und Ab-stand zum Drehpunkt ( M ) müssen immer ei-nen rechten Winkel auf-weisen.

Kraft, Drehmoment, Drehzahl und Geschwindigkeit auf der gleichen Welle

2F

1F

1r

2r1M

2M

2F

1F

1r

2r1M

2M

Motor-Welle

Seil-Trommel

Für

gilt

Kraftübersetzung

Geschwindigkeits-übersetzung

M Drehmoment, Mechanische Arbeit ][Nm

F Kraft [ ]N

r Radius ][m

v Geschwindigkeit ]/[ sm

n Drehzahl .]min/1[

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4.4.4 Drehmoment auf ungleicher Welle

Hebel senkrecht

Merke

Kraft ( F ) und Hebelarm ( r ) bzw. Kraft und Ab-stand zum Drehpunkt ( M ) müssen immer ei-nen rechten Winkel auf-weisen.

Mit Berücksichtigung des Wirkungsgrades

][Nm

Kraftübersetzung

Geschwindigkeits- Drehzahl- und Zahn-

radübersetzung

für

gilt

Drehzahlübersetzung

Zahnradübersetzung

2F

1F

1r

2r

1M

2M

21 vv =

2F

1F

1r

2r

1M

2M

Motor-Welle

Seil-Trommel

21 vv

M Drehmoment, Mechanische Arbeit ][Nm

F Kraft [ ]N

r Radius ][m

v Geschwindigkeit ]/[ sm

n Drehzahl .]min/1[

z Anzahl Zähne ][ −

ü Übersetzungs-

verhältnis ][ −

η Wirkungsgrad ][ −

2F

1F

1r

2r

1M

2M

2F

1F

1r

2r

1M

2M

Motor-Welle

Seil-Trommel

Geschwindigkeit Siehe 4.2.1

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4.5 Die Reibung

4.5.1 Haftreibung Eine Bewegung auf einer Fläche verursacht Reibung. Diese Reibung ist abhän-gig von der Beschaffenheit der Unterlage auf der die Bewegung erfolgt. Die Haftreibung bzw. die Haft-kraft ist jene Kraft, die aufge-wendet werden muss bis der Körper zu gleiten beginnt.

Die maximale Haftkraft berechnet sich wie folgt:

Merke Die Normalkraft FN ist die Kraft die Senkrecht zur Gleitfläche wirkt! In der hori-zontalen Ebene ist die Normalkraft gleich der Gewichtskraft.

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4.5.2 Gleitreibung Die Gleitreibung bzw. die Gleit-kraft ist jene Kraft, die aufge-wendet werden um den Körper zu bewegen.

Die Gleitreibung bzw. die Gleitkraft ist jene Kraft, die aufgewendet werden um den Körper zu bewegen. Die Gleitkraft berechnet sich wie folgt:

Merke Die Normalkraft FN ist die Kraft die Senkrecht zur Gleitfläche wirkt! In der hori-zontalen Ebene ist die Normalkraft gleich der Gewichtskraft.

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4.5.3 Haftzahl, Gleitreibungszahl und Rollreibungszahl

Stoffpaar

Haften

f h

Gleiten

f gl

Rollen

f R

Stahl Stahl 0,15 0,05 0,005

Eiche parallel zu den

Eiche Fasern

0,62

0,48

quer zu den Fasern 0,54 0,34

Holz Stein 0,7 0,3

Schlittschuh Eis 0,03 0,01

Gummi Strasse 0,65 0,3

Riemen Rad 0,7 0,3

Autoreifen Strasse trocken

0,65

0,5

0,004

nass 0,4 0,3

Glatteis 0,1 0,05

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Beispiel: „Auto“

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TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 49 4 MECHANIK 5 REIBUNG

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4.5.4 Reibung auf schiefer Ebene

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4.6 Druck

4.6.1 Auflagedruck Der Auflagedruck gibt das Druckverhältnis zwi-

schen zwei aufeinandergepressten festen Kör-pern an, daher wird auch von Pressung oder Flächenpressung gesprochen.

FA

4.6.2 Hydraulischer oder Stempelddruck

Er wird verursacht durch eine senk-recht wirkende Kraft auf die soge-nannte Stempel- oder Kolbenfläche einer Flüssigkeit oder eines Gases.

F

A1

A1

F1

F2

F

F

A

A

1

2

1

2

=

Bild 8.6.2 Archimedes (285 v. Chr.- 212 v. Chr.) zählt zu den bedeutesten Mathe-matikern der Menschheit. Er be-rechnete die Zahl π und bestimm-te den Flächeninhalt der Kugel. Wir verdanken ihm die Entde-ckung des Hebelgesetzes und die Erforschung des hydrostatischen Auftriebs. Er erfand den Fla-schenzug.

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4.6.3 Auftriebskraft a) Das Volumen eines Tischtenisballes soll bestimmt werden. b) Wie gross ist die Masse des verdrängten Wassers des Versuchsaufbaus? Versuchsaufbau

Skizze

a) Bestimmung Volumen Tischtenisball

b) Masse des Tischtenisballes mit Wasser-füllung

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4.6.4 Hydrostatischer Druck oder Gewichtsdruck Beim Schweredruck steht ein Gas oder eine Flüssigkeit unter dem Ein-fluss der Schwerkraft.

h1

h2

FG1

p A1A

1

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Beispiel 1

h1 FG1

p A1

Wie gross ist der Druck auf ein U-Boot, das sich 300 m unter der Meeresoberfläche befindet?

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4.7 Mechanische Arbeit

Wird ein Körper (Beispiele: Quader, Wagen) durch eine Kraft über einen bestimmten Weg bewegt, so bezeichnet man den dazu notwendigen physikalischen Aufwand als

„ARBEIT“

4.7.1 Horizontale Bewegung

Arbeit wird verrichtet, wenn

eine Kraft unter Überwindung

eines Widerstandes einen

Körper über eine Strecke bewegt

wird.

WegxKraftArbeitemechanisch =

sFW ⋅=

[ ]Nm [ ] [ ]WsNm 11 =

m Masse ][kg

g Fallbeschleunigung ]/[2sm

W mech. Arbeit ][Nm

F Kraft ][N

s Strecke ][m

h Hubhöhe ][m

Weitere Formen bzw. Namen für die mechanischen Arbeit:

Drehmoment

Beschleunigungsarbeit

Reibungsarbeit

Verformungsarbeit

Hubarbeit, Energie der Lage

4.7.2 Vertikale Bewegung

W F h= ⋅

hgmW ⋅⋅=

W F s= ⋅

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Beispiel: Ein Fahrzeug mit der Masse kgm 2000= wird in

s10 auf hkm /100 beschleunigt. Welche Arbeit und welche Leistung in kW und in PS muss das Fahrzeug aufweisen ?

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Beispiel: Ein Lift mit der Masse kgm 2000= wird in s10 auf eine Höhe von m8 gebracht. Welche Arbeit und welche Leistung in kW ist dafür notwendig?

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4.7.3 Kinetische Energie Berechnungsbeispiel zur kinetischen Energie. Die Daten können der Grafik entnommen werden. Die Angaben sind von den Lernenden an einer Exkursion gesamelt worden. Die „Potentielle“ Energie wird vollständig in „Kinetische“ Energie umgewandelt (ohne Verluste).

PK WW =

mh 73= v

tm 10=tst 5=

mh 73

tm 10st 5

Kinetische Energie

2

2vm

WK

⋅=

Potentielle Energie

hgmWP ⋅⋅=

Leistung zur Überwin-

dung der potentiellen Energie

t

WP P=

s

Nm

Geschwindigkeit aus

der Potentielle Energie

m

Wv P⋅

=2

hgv ⋅⋅= 2

Berechnung

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4.8 Die mechanische Leistung

4.8.1 Mechanische Leistung Horizontalbewegung

James Watt (1736-1819)

W F s= ⋅ Kraft Weg Arbeit Zeit Leistung F s W t P [ N ] [ m ] [ Nm ] [ s ] [ Nm/s ] Bewegung des Wagens

10 1 10 2 5

Doppelte Zeit bei der Bewegung des Wagens

10 1 10 4 2,5

Bemerkung

konstant konstant konstant doppelt halbe

Bemerkung

In allen drei Situationen gleiche Arbeit. Das Verhältnis zwischen

der Arbeit und der Zeit ist die Leistung.

LeistungArbeit

Zeit=

PW

t

F s

t= =

Nm

s

[ ]1 1Nm

sW

=

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4.8.2 Mechanische Leistung Wasserturbine

Generator

Tu rb ine

Generator

Tu rb ine

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Beispiel: Für ein Wasser-Kraftwerk mit einer Fallhöhe von 25 m und einem Volumenstrom von 40 m3 pro Se-kunde soll die aufgenommene Turbinen-Leistung aus der Grafik herausgelesen werden.

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Stauseen der Schweiz

Stausee Kanton Höhe

über Meer Inhalt

X 3610 m

Name der Talsperre Mauertyp

Höhe Staumauer

Lac des Dix Wallis 2365 401 Grande Dixence Gewichtsmauer 2365 Lac d'Émosson Wallis 1930 227 Émosson Bogenmauer 1930 Lac de la Gruyère Freiburg 677 220 Rossens Bogenmauer 677 Lac de Mauvoisin Wallis 1961 211 Mauvoisin Bogenmauer 1961 Lago di Lei I, Graubünden 1931 197 Valle di Lei Bogenmauer 1931 Lago di Livigno I, Graubünden 1805 165 Punt dal Gall Bogenmauer 1805 Wägitalersee Schwyz 900 150 Schräh Gewichtsmauer 900 Lac de Joux Waadt 1005 149 Natursee 1005 Lago di Poschiavo Graubünden 962 111 Natursee 962 Lago di Luzzone Tessin 1590 108 Luzzone Bogenmauer 1590 Lago di Vogorno Tessin 470 105 Contra Bogenmauer 470 Grimselsee Bern 1909 103 Seeuferegg Gewichtsmauer 1909 Mattmarksee Wallis 2197 101 Mattmark Erdschüttdamm 2197 Zervreilasee Graubünden 1862 101 Zervreila Bogenmauer 1862 Sihlsee Schwyz 889 97 Hühnermatt Erdschüttdamm 889 Limmerensee Glarus 1857 93 Limmern Bogenmauer 1857 Lac de Moiry Wallis 2249 78 Moiry Bogenmauer 2249 Göscheneralpsee Uri 1792 76 Göscheneralp Steinschüttdamm 1792 Albignasee Graubünden 2163 71 Albigna Gewichtsmauer 2163 Lai da Sontga Maria Graubünden 1908 67 Santa Maria Bogenmauer 1908 Schiffenensee Freiburg 532 66 Schiffenen Bogenmauer 532 Lungerersee Obwalden 688 65 Natursee 688 Lago del Sambuco Tessin 1461 63 Sambuco Bogenmauer 1461 Oberaarsee Bern 2303 61 Oberaar Gewichtsmauer 2303 Lai da Marmorera Graubünden 1680 60 Marmorera Erdschüttdamm 1680 Klöntalersee Glarus 848 56 Rhodannenberg Erdschüttdamm 848 Lago Ritom Tessin 1850 54 Piora Gewichtsmauer 1850 Lac de l'Hongrin Waadt 1255 53 Hongrin Bogenmauer 1255 Lac de Tseuzier Wallis 1777 51 Proz-Riond Erdschüttdamm 1777 Lai da Nalps Graubünden 1908 45 Nalps Bogenmauer 1908 Lai da Curnera Graubünden 1956 41 Curnera Bogenmauer 1956 Lac de Salanfe Wallis 1925 40 Salanfe Gewichtsmauer 1925 Gigerwaldsee St. Gallen 1335 36 Gigerwald Bogenmauer 1335 Lago del Narèt Tessin 2310 32 Naret Bogenmauer 2310 Lago dei Cavagnöö Tessin 2310 29 Cavagnoli Bogenmauer 2310 Räterichsbodensee Bern 1767 27 Räterichsboden Gewichtsmauer 1767 Lago di Lucendro Tessin 2134 25 Lucendro Pfeilerkopfmauer 2134 Wohlensee Bern 480 25 Mühleberg Gewichtsmauer 480 Lac de Moron Neuenburg, F 716 21 Châtelot Bogenmauer 716 Lac des Toules Wallis 1810 20 Les Toules Bogenmauer 1810 Lac de Cleuson Wallis 2186 20 Cleuson Gewichtsmauer 2186 Griessee Wallis 2386 19 Gries Gewichtsmauer 2386 Lago Bianco Graubünden 2234 19 Lago Biango Gewichtsmauer 2234 Sufnersee Graubünden 1401 18 Sufers Bogenmauer 1401 Davosersee Graubünden 1559 15 Natursee 1559 Gelmersee Bern 1850 14 Gelmer Gewichtsmauer 1850 Lac du Vieux Wallis 2205 14 Vieux-Émosson Bogenmauer 2205 Lac de Montsalvens Freiburg 801 13 Montsalvens Bogenmauer 801 Lago Tremorgio Tessin 1830 13 Natursee 1830 Arnensee Bern 1543 11 Arnensee Erdschüttdamm 1543 Engstlensee Bern 1850 11 Natursee 1850 Stausee Gibidum Wallis 1436 9 Gebidem Bogenmauer 1436 Bortelsee Wallis 2464 3.6 Bortelsee Erdschüttdamm 2464

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4.8.3 Mechanische Leistung aus Drehmoment und Drehzahl

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4.9 Wirkungsgrad

Generator

Tu rb ine

Generator

Tu rb ine