Upload
rikert-ader
View
106
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Kapitel 4
Folgen und Reihen
Kapitel 4
Folgen und Reihen
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 2
InhaltInhalt
4.1 Konvergenzkriterien für Folgen
4.2 Reihen
4.3 Achilles und die Schildkröte
4.1 Konvergenzkriterien für Folgen
4.2 Reihen
4.3 Achilles und die Schildkröte
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 3
4.1 Konvergenzkriterien für Folgen4.1 Konvergenzkriterien für Folgen
Wiederholung (vgl. Abschnitt 3.3):
Die Folge (an) konvergiert gegen eine reelle Zahl a (ihren
Grenzwert), wenn es für jede reelle Zahl > 0 eine Nummer N gibt, so dass für alle Folgenglieder an mit n N die Ungleichung
an–a < gilt.
Wir schreiben lim (an) = a. („Limes“).
Anders gesagt: Die Folge (an) konvergiert gegen den Grenzwert a,
wenn für jedes (noch so kleine) > 0 ab einer gewissen Nummer N
alle Folgenglieder höchsten den Abstand von a haben.
Beispiele: (1/n)nN, (n/(n+1)nN, (1/2n)nN, (50.000 /n)nN, (23)nN, ...
Wiederholung (vgl. Abschnitt 3.3):
Die Folge (an) konvergiert gegen eine reelle Zahl a (ihren
Grenzwert), wenn es für jede reelle Zahl > 0 eine Nummer N gibt, so dass für alle Folgenglieder an mit n N die Ungleichung
an–a < gilt.
Wir schreiben lim (an) = a. („Limes“).
Anders gesagt: Die Folge (an) konvergiert gegen den Grenzwert a,
wenn für jedes (noch so kleine) > 0 ab einer gewissen Nummer N
alle Folgenglieder höchsten den Abstand von a haben.
Beispiele: (1/n)nN, (n/(n+1)nN, (1/2n)nN, (50.000 /n)nN, (23)nN, ...
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 4
Ziele und BeobachtungenZiele und Beobachtungen
Ziele: 1. Erkennen, ob eine Folge konvergent ist.
2. Insbesondere: Wie kann man aus einer oder zwei konvergenten
Folgen weitere konvergente Folgen machen?
Wir beginnen mit zwei einfachen Beobachtungen:
1. Sei (an) eine Folge. Dann gilt:
(an) konvergiert gegen a (an – a) konvergiert gegen 0.
(Man nennt eine Folge, die gegen 0 konvergiert eine Nullfolge.)
2. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
(Sei = 1. Dann sind ab einem N alle Folgenglieder durch a1
beschränkt. Aber auch die endlich vielen vorigen Folgenglieder sind
beschränkt.)
Ziele: 1. Erkennen, ob eine Folge konvergent ist.
2. Insbesondere: Wie kann man aus einer oder zwei konvergenten
Folgen weitere konvergente Folgen machen?
Wir beginnen mit zwei einfachen Beobachtungen:
1. Sei (an) eine Folge. Dann gilt:
(an) konvergiert gegen a (an – a) konvergiert gegen 0.
(Man nennt eine Folge, die gegen 0 konvergiert eine Nullfolge.)
2. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
(Sei = 1. Dann sind ab einem N alle Folgenglieder durch a1
beschränkt. Aber auch die endlich vielen vorigen Folgenglieder sind
beschränkt.)
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 5
Multiplikation einer Folge mit einer reellen ZahlMultiplikation einer Folge mit einer reellen Zahl
4.1.1 Satz. Sei (an) eine Folge, die gegen den Grenzwert a
konvergiert. Dann ist für jede reelle Zahl k die Folge (kan) eine
Folge, die gegen ka konvergiert.
Beispiele. (a) Die Folge (5/n)nN (= (5 1/n)nN) konvergiert gegen
50 = 0. (b) Die Folge (21n/(n+1))nN konvergiert gegen 211 = 21.
(c) Insbesondere gilt: Wenn (an) eine Nullfolge ist, dann ist für jede
reelle Zahl k auch (kan) eine Nullfolge.
4.1.1 Satz. Sei (an) eine Folge, die gegen den Grenzwert a
konvergiert. Dann ist für jede reelle Zahl k die Folge (kan) eine
Folge, die gegen ka konvergiert.
Beispiele. (a) Die Folge (5/n)nN (= (5 1/n)nN) konvergiert gegen
50 = 0. (b) Die Folge (21n/(n+1))nN konvergiert gegen 211 = 21.
(c) Insbesondere gilt: Wenn (an) eine Nullfolge ist, dann ist für jede
reelle Zahl k auch (kan) eine Nullfolge.
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 6
BeweistrickBeweistrick
Beweis. Wir müssen zeigen, dass die Folge (kan) gegen den
Grenzwert ka konvergiert. Nach Definition müssen wir also zeigen:
Für alle > 0 gibt es eine Nummer N, so dass für alle Folgenglieder an mit n N die Ungleichung kan–ka < gilt.
Sei also > 0 beliebig. Wir führen die Konvergenz der Folge (kan)
auf die Konvergenz der Folge (an) zurück.
Wir nehmen an, dass k positiv ist. (k negativ: ÜA.)
Kleiner Trick: Wir verwenden die Definition der Konvergenz von (an) nicht mit , sondern mit der Zahl * = /k. (Es wird sich gleich
zeigen dass dies ein guter Trick ist!)
Beweis. Wir müssen zeigen, dass die Folge (kan) gegen den
Grenzwert ka konvergiert. Nach Definition müssen wir also zeigen:
Für alle > 0 gibt es eine Nummer N, so dass für alle Folgenglieder an mit n N die Ungleichung kan–ka < gilt.
Sei also > 0 beliebig. Wir führen die Konvergenz der Folge (kan)
auf die Konvergenz der Folge (an) zurück.
Wir nehmen an, dass k positiv ist. (k negativ: ÜA.)
Kleiner Trick: Wir verwenden die Definition der Konvergenz von (an) nicht mit , sondern mit der Zahl * = /k. (Es wird sich gleich
zeigen dass dies ein guter Trick ist!)
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 7
BeweisdurchführungBeweisdurchführung
Da (an) konvergiert, gibt es eine Nummer N, so dass für alle
Folgenglieder an mit n N die Ungleichung an–a < * = /k gilt.
Nun schalten wir auf die Folge (kan) um. Von dieser wollen wir
zeigen, dass sie gegen die Zahl ka konvergiert. Dazu müssen wir
zeigen, dass die Folgenglieder ab einer gewissen Nummer näher als
an ka liegen. Als diese Nummer können wir das gerade
gefundene N wählen! Denn für alle Folgenglieder kan mit n N gilt
kan–ka = kan–a < k* = k/k = .
Das bedeutet, dass die Folge (kan) gegen ka konvergiert.
Da (an) konvergiert, gibt es eine Nummer N, so dass für alle
Folgenglieder an mit n N die Ungleichung an–a < * = /k gilt.
Nun schalten wir auf die Folge (kan) um. Von dieser wollen wir
zeigen, dass sie gegen die Zahl ka konvergiert. Dazu müssen wir
zeigen, dass die Folgenglieder ab einer gewissen Nummer näher als
an ka liegen. Als diese Nummer können wir das gerade
gefundene N wählen! Denn für alle Folgenglieder kan mit n N gilt
kan–ka = kan–a < k* = k/k = .
Das bedeutet, dass die Folge (kan) gegen ka konvergiert.
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 8
VarianteVariante
Ganz ähnlich kann man folgenden Satz beweisen:
4.1.2 Satz. Sei (an) eine Nullfolge und (bn) eine beschränkte Folge.
Dann ist auch (anbn) eine Nullfolge.
Beweis. Da (bn) beschränkt ist, gibt es eine positive reelle Zahl k
mit -k < bn < k für alle n N.
Sei > 0 beliebig. Trick: * = /k. Da (an) eine Nullfolge ist, gibt es
ein N mit an = an–0 < für alle n N. Daraus folgt
an bn–0 = an bn < k an < k * = .
Also konvergiert an bn gegen 0.
Ganz ähnlich kann man folgenden Satz beweisen:
4.1.2 Satz. Sei (an) eine Nullfolge und (bn) eine beschränkte Folge.
Dann ist auch (anbn) eine Nullfolge.
Beweis. Da (bn) beschränkt ist, gibt es eine positive reelle Zahl k
mit -k < bn < k für alle n N.
Sei > 0 beliebig. Trick: * = /k. Da (an) eine Nullfolge ist, gibt es
ein N mit an = an–0 < für alle n N. Daraus folgt
an bn–0 = an bn < k an < k * = .
Also konvergiert an bn gegen 0.
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 9
SummensatzSummensatz
4.1.3 Summensatz. Sei (an) eine Folge, die gegen den Grenzwert
a und sei (bn) eine Folge, die gegen den Grenzwert b konvergiert.
Wir definieren eine neue Folge (cn) durch cn = an + bn. Dann
konvergiert auch (cn), und zwar gegen den Grenzwert c = a+b.
Beispiele: (a) Die Folge ((n2+n)/n3) konvergiert gegen 0.
Denn (1/n) und (1/n2) konvergieren gegen 0,
und es ist (n2+n)/n3 = 1/n + 1/n2.
(b) Die Folge ((n+k)/n) konvergiert für jedes feste k gegen 1.
Denn (n/n) konvergiert gegen 1, und nach 4.1.1 konvergiert die
Folge (k/n) gegen 0.
(c) Die Summe zweier Nullfolgen ist eine Nullfolge.
4.1.3 Summensatz. Sei (an) eine Folge, die gegen den Grenzwert
a und sei (bn) eine Folge, die gegen den Grenzwert b konvergiert.
Wir definieren eine neue Folge (cn) durch cn = an + bn. Dann
konvergiert auch (cn), und zwar gegen den Grenzwert c = a+b.
Beispiele: (a) Die Folge ((n2+n)/n3) konvergiert gegen 0.
Denn (1/n) und (1/n2) konvergieren gegen 0,
und es ist (n2+n)/n3 = 1/n + 1/n2.
(b) Die Folge ((n+k)/n) konvergiert für jedes feste k gegen 1.
Denn (n/n) konvergiert gegen 1, und nach 4.1.1 konvergiert die
Folge (k/n) gegen 0.
(c) Die Summe zweier Nullfolgen ist eine Nullfolge.
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 10
BeweisBeweis
Beweis. Sei > 0 beliebig. Wir führen die Konvergenz von (cn) auf
die Konvergenz von (an) und (bn) zurück.
Kleiner Trick: Wir verwenden die Konvergenz von (an) und (bn) mit
* = /2.
Dann gibt es Nummern N und M, so dass für alle Folgenglieder an
mit n N die Ungleichung an–a <
und
für alle Folgenglieder bn mit n M die Ungleichung bn–b <
gilt.
Beweis. Sei > 0 beliebig. Wir führen die Konvergenz von (cn) auf
die Konvergenz von (an) und (bn) zurück.
Kleiner Trick: Wir verwenden die Konvergenz von (an) und (bn) mit
* = /2.
Dann gibt es Nummern N und M, so dass für alle Folgenglieder an
mit n N die Ungleichung an–a <
und
für alle Folgenglieder bn mit n M die Ungleichung bn–b <
gilt.
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 11
BeweisabschlussBeweisabschluss
Sei N die größte der beiden Zahlen M und N. Dann gilt für alle Folgenglieder cn = an + bn mit n > N folgende Ungleichung:
cn–c = an+bn – (a+b) an–a + bn–b < 2* = 2/2 = .
Also konvergiert nach Definition die Folge (cn) gegen c.
Folgerung aus dem Summensatz: Sei (an) eine Folge, die gegen
den Grenzwert a konvergiert. Dann konvergiert die Folge (an+b)
gegen den Grenzwert a+b.
Denn wir addieren zu (an) die konstante Folge (b, b, b, ...); da diese
gegen b konvergiert, folgt die Behauptung.
Sei N die größte der beiden Zahlen M und N. Dann gilt für alle Folgenglieder cn = an + bn mit n > N folgende Ungleichung:
cn–c = an+bn – (a+b) an–a + bn–b < 2* = 2/2 = .
Also konvergiert nach Definition die Folge (cn) gegen c.
Folgerung aus dem Summensatz: Sei (an) eine Folge, die gegen
den Grenzwert a konvergiert. Dann konvergiert die Folge (an+b)
gegen den Grenzwert a+b.
Denn wir addieren zu (an) die konstante Folge (b, b, b, ...); da diese
gegen b konvergiert, folgt die Behauptung.
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 12
ProduktsatzProduktsatz
4.1.3 Produktsatz. Sei (an) eine Folge, die gegen den Grenzwert a
und (bn) eine Folge, die gegen den Grenzwert b konvergiert.
Wir definieren eine neue Folge (cn) durch cn = an bn.
Dann konvergiert auch (cn), und zwar gegen den Grenzwert c =
ab.
Beispiel. Die Folge cn = (5n+1)(n+1)/n2 konvergiert gegen 5, denn wir
können cn schreiben als cn = anbn mit an = (5n+1)/n (konvergiert
gegen 5) und bn = (n+1)/n (konvergiert gegen 1).
4.1.3 Produktsatz. Sei (an) eine Folge, die gegen den Grenzwert a
und (bn) eine Folge, die gegen den Grenzwert b konvergiert.
Wir definieren eine neue Folge (cn) durch cn = an bn.
Dann konvergiert auch (cn), und zwar gegen den Grenzwert c =
ab.
Beispiel. Die Folge cn = (5n+1)(n+1)/n2 konvergiert gegen 5, denn wir
können cn schreiben als cn = anbn mit an = (5n+1)/n (konvergiert
gegen 5) und bn = (n+1)/n (konvergiert gegen 1).
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 13
BeweisBeweis
Beweis. Wir zeigen, dass die Folge (an bn–ab) eine Nullfolge ist.
Dazu schreiben wir
an bn–ab = (an –a)bn + (bn–b)a.
Da (an –a) eine Nullfolge ist und bn beschränkt ist, ist nach 4.1.2
auch (an –a)bn eine Nullfolge.
Da (bn –b) eine Nullfolge ist, ist auch (bn–b)a eine Nullfolge.
Also sind beide Summanden Nullfolgen. Daher folgt mit dem Summensatz, dass auch (an bn–ab) eine Nullfolge ist.
Beweis. Wir zeigen, dass die Folge (an bn–ab) eine Nullfolge ist.
Dazu schreiben wir
an bn–ab = (an –a)bn + (bn–b)a.
Da (an –a) eine Nullfolge ist und bn beschränkt ist, ist nach 4.1.2
auch (an –a)bn eine Nullfolge.
Da (bn –b) eine Nullfolge ist, ist auch (bn–b)a eine Nullfolge.
Also sind beide Summanden Nullfolgen. Daher folgt mit dem Summensatz, dass auch (an bn–ab) eine Nullfolge ist.
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 14
QuotientensatzQuotientensatz
4.1.4 Quotientensatz. Sei (an) eine Folge, die gegen den
Grenzwert a und (bn) eine Folge aus von Null verschiedenen
Gliedern, die gegen den Grenzwert b 0 konvergiert. Wir definieren eine neue Folge (cn) durch cn = an / bn. Dann konvergiert
auch (cn), und zwar gegen den Grenzwert c = a/b.
Beispiel. Wir betrachten die Folge (4n2+15n)/(n2+1)).
Diese kann man schreiben als ((4 + 15/n)/(1 + 1/n2)).
Zähler: Da (15/n) gegen 0 konvergiert, konvergiert (4 + 15/n)
gegen 4. Nenner: Da (1/n2) gegen 0 konvergiert, konvergiert
(1+1/n2) gegen 1.
Also konvergiert die betrachtete Folge gegen 4.
4.1.4 Quotientensatz. Sei (an) eine Folge, die gegen den
Grenzwert a und (bn) eine Folge aus von Null verschiedenen
Gliedern, die gegen den Grenzwert b 0 konvergiert. Wir definieren eine neue Folge (cn) durch cn = an / bn. Dann konvergiert
auch (cn), und zwar gegen den Grenzwert c = a/b.
Beispiel. Wir betrachten die Folge (4n2+15n)/(n2+1)).
Diese kann man schreiben als ((4 + 15/n)/(1 + 1/n2)).
Zähler: Da (15/n) gegen 0 konvergiert, konvergiert (4 + 15/n)
gegen 4. Nenner: Da (1/n2) gegen 0 konvergiert, konvergiert
(1+1/n2) gegen 1.
Also konvergiert die betrachtete Folge gegen 4.
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 15
VergleichssatzVergleichssatz
4.1.5 Satz. Sei (an) eine Folge, die gegen den Grenzwert a
konvergiert, und sei (bn) eine Folge, die gegen den Grenzwert b
konvergiert. Wenn an bn ist (für alle n), dann gilt auch a b.
Bemerkung. Aus an < bn für alle n folgt nicht a < b.
Dazu betrachten wir die Folge (an) = (0)nN und (bn) = 1/n.
Dann ist an < bn für alle n, aber es gilt a = b (= 0).
Beweis. Angenommen, es wäre a > b. Setze = (a–b)/2.
Dann gibt es eine Zahl N, so dass für alle n N gilt:
bn–b < , an–a < .
Dann wäre aber an > bn für alle n N: Widerspruch!
4.1.5 Satz. Sei (an) eine Folge, die gegen den Grenzwert a
konvergiert, und sei (bn) eine Folge, die gegen den Grenzwert b
konvergiert. Wenn an bn ist (für alle n), dann gilt auch a b.
Bemerkung. Aus an < bn für alle n folgt nicht a < b.
Dazu betrachten wir die Folge (an) = (0)nN und (bn) = 1/n.
Dann ist an < bn für alle n, aber es gilt a = b (= 0).
Beweis. Angenommen, es wäre a > b. Setze = (a–b)/2.
Dann gibt es eine Zahl N, so dass für alle n N gilt:
bn–b < , an–a < .
Dann wäre aber an > bn für alle n N: Widerspruch!
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 16
Beschränkte FolgenBeschränkte Folgen
Definition. Eine Folge (an) heißt beschränkt, wenn es eine positive
reelle Zahl k gibt, so dass für alle Folgenglieder an gilt: an k.
Beispiele: Die Folgen (1/n) und (1, –1, 1, –1, 1, ...) sind beschränkt.
In beiden Fällen kann man k = 1 wählen.
4.1.6 Satz. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Mit anderen Worten: Jede unbeschränkte Folge ist nicht konvergent.
Beweis. Wir wählen ein beliebiges > 0. Dann haben ab einem N
alle Folgenglieder höchstens den Abstand zum Grenzwert a.
Also ist die Folge durch a0 + a1 + ... + aN–1 + a + beschränkt.
Definition. Eine Folge (an) heißt beschränkt, wenn es eine positive
reelle Zahl k gibt, so dass für alle Folgenglieder an gilt: an k.
Beispiele: Die Folgen (1/n) und (1, –1, 1, –1, 1, ...) sind beschränkt.
In beiden Fällen kann man k = 1 wählen.
4.1.6 Satz. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Mit anderen Worten: Jede unbeschränkte Folge ist nicht konvergent.
Beweis. Wir wählen ein beliebiges > 0. Dann haben ab einem N
alle Folgenglieder höchstens den Abstand zum Grenzwert a.
Also ist die Folge durch a0 + a1 + ... + aN–1 + a + beschränkt.
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 17
Monotone FolgenMonotone Folgen
Definition. Eine Folge (an) heißt monoton steigend, falls a1 a2
a3 ... gilt; sie heißt monoton fallend, falls a1 a2 a3 ...
gilt. Sie heißt monoton, falls sie monoton steigend oder fallend ist.
Beispiele. (a) Die Folge (n) ist monoton steigend, die Folge (1/n)
monoton fallend.
(b) Die Folge ((–1)n/n) ist keine monotone Folge.
Definition. Eine Folge (an) heißt monoton steigend, falls a1 a2
a3 ... gilt; sie heißt monoton fallend, falls a1 a2 a3 ...
gilt. Sie heißt monoton, falls sie monoton steigend oder fallend ist.
Beispiele. (a) Die Folge (n) ist monoton steigend, die Folge (1/n)
monoton fallend.
(b) Die Folge ((–1)n/n) ist keine monotone Folge.
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 18
Satz über monotone FolgenSatz über monotone Folgen
4.1.7 Satz. Jede monotone beschränkte Folge hat einen Grenzwert.
Bemerkung. Man kann die Konvergenz einer Folge feststellen, ohne
den Grenzwert kennen zu müssen. Im Gegenteil: Diesen Satz kann
man dazu verwenden, reelle Zahlen zu definieren!
Beweis. Wir zeigen, dass jede beschränkte, monoton steigende
Folge einen Grenzwert besitzt. Methode: Supremumsprinzip.
Wir betrachten dazu die Menge der Folgenglieder:
M = {an n = 1, 2, 3, ...}.
Da (an) nach oben beschränkt ist, ist auch M nach oben
beschränkt. Also gibt es ein Supremum a = sup(M).
4.1.7 Satz. Jede monotone beschränkte Folge hat einen Grenzwert.
Bemerkung. Man kann die Konvergenz einer Folge feststellen, ohne
den Grenzwert kennen zu müssen. Im Gegenteil: Diesen Satz kann
man dazu verwenden, reelle Zahlen zu definieren!
Beweis. Wir zeigen, dass jede beschränkte, monoton steigende
Folge einen Grenzwert besitzt. Methode: Supremumsprinzip.
Wir betrachten dazu die Menge der Folgenglieder:
M = {an n = 1, 2, 3, ...}.
Da (an) nach oben beschränkt ist, ist auch M nach oben
beschränkt. Also gibt es ein Supremum a = sup(M).
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 19
BeweisBeweis
Behauptung: a ist der Grenzwert der Folge (an).
Sei dazu > 0 beliebig. Da a das Supremum von M ist, ist a– keine obere Schranke von M. Daher gibt es ein aN mit aN > a–.
Da (an) monoton steigend ist, gilt dann an > a– für alle n N.
Da a das Supremum von M ist, gilt natürlich an a. Also liegen
ab der Nummer N alle Folgenglieder zwischen a– und a.
Daher konvergiert (an) gegen a.
Behauptung: a ist der Grenzwert der Folge (an).
Sei dazu > 0 beliebig. Da a das Supremum von M ist, ist a– keine obere Schranke von M. Daher gibt es ein aN mit aN > a–.
Da (an) monoton steigend ist, gilt dann an > a– für alle n N.
Da a das Supremum von M ist, gilt natürlich an a. Also liegen
ab der Nummer N alle Folgenglieder zwischen a– und a.
Daher konvergiert (an) gegen a.
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 20
QuadratwurzelnQuadratwurzeln
4.1.8 Satz (Existenz der Quadratwurzel).
Sei a eine beliebige positive reelle Zahl.
Dann gibt es eine positive reelle Zahl b mit b2 = a.
Wir schreiben b = a.
Kurz: Jede positive reelle Zahl hat eine Quadratwurzel!
Beweis. Wir definieren eine Folge (an), die gegen b konvergiert:
a0 ist eine beliebige positive reelle Zahl. Die weiteren Folgenglieder
werden rekursiv definiert durch
an+1 = (an + a/an)/2.
4.1.8 Satz (Existenz der Quadratwurzel).
Sei a eine beliebige positive reelle Zahl.
Dann gibt es eine positive reelle Zahl b mit b2 = a.
Wir schreiben b = a.
Kurz: Jede positive reelle Zahl hat eine Quadratwurzel!
Beweis. Wir definieren eine Folge (an), die gegen b konvergiert:
a0 ist eine beliebige positive reelle Zahl. Die weiteren Folgenglieder
werden rekursiv definiert durch
an+1 = (an + a/an)/2.
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 21
BeweisBeweis
Beispiel: Sei a = 0. Wenn wir a0 = 10 wählen, ergeben sich als
Folgenglieder 10; 5; 2,5; 1,25; ...
Die Folge (an) hat die folgenden Eigenschaften:
1. Alle Folgenglieder sind positiv.
2. a an2 für n 1.
Denn es gilt
an2 – a = (an–1 + a/an–1)2/4 – a = (an–1
2 + 2a + a2/an–12)/4 – a =
= (an–12 – 2a + a2/an–1
2)/4 = (an–1 – a/an–1)2/4 0.
Beispiel: Sei a = 0. Wenn wir a0 = 10 wählen, ergeben sich als
Folgenglieder 10; 5; 2,5; 1,25; ...
Die Folge (an) hat die folgenden Eigenschaften:
1. Alle Folgenglieder sind positiv.
2. a an2 für n 1.
Denn es gilt
an2 – a = (an–1 + a/an–1)2/4 – a = (an–1
2 + 2a + a2/an–12)/4 – a =
= (an–12 – 2a + a2/an–1
2)/4 = (an–1 – a/an–1)2/4 0.
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 22
BeweisabschlussBeweisabschluss
3. an+1 an für n 1.
Denn aus der definierenden Gleichung folgt mit der Eigenschaft 2:
an+1 = (an + a/an)/2 (an + an2/an)/2 = an.
Also ist (an) eine monoton fallende, nach unten (wg. 1.) durch 0
beschränkte Folge. Daher hat sie einen nichtnegativen Grenzwert b.
Behauptung: b2 = a. Das folgt so:
b = lim an+1 = lim (an + a/an)/2 = (lim an + a/(lim an))/2 = (b + a/b)/2.
Zusammen: b = (b + a/b)/2, und daraus ergibt sich a = b2.
3. an+1 an für n 1.
Denn aus der definierenden Gleichung folgt mit der Eigenschaft 2:
an+1 = (an + a/an)/2 (an + an2/an)/2 = an.
Also ist (an) eine monoton fallende, nach unten (wg. 1.) durch 0
beschränkte Folge. Daher hat sie einen nichtnegativen Grenzwert b.
Behauptung: b2 = a. Das folgt so:
b = lim an+1 = lim (an + a/an)/2 = (lim an + a/(lim an))/2 = (b + a/b)/2.
Zusammen: b = (b + a/b)/2, und daraus ergibt sich a = b2.
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 23
3.2 Reihen3.2 Reihen
Frage: Sei (ak) eine Folge.
Was ist a1+a2+a3+... ?. Ist dies eine endliche Zahl oder ...?
Wir stellen uns vor, dass man bei a1+a2+a3+... alle (unendlich vielen!)
Glieder der Folge aufsummiert. Das kann natürlich kein Mensch
machen, denn fertig wird man damit nie.
Definition. Diese unendliche Summe nennt man eine Reihe und
schreibt dafür
a1+a2+a3+... = .
Achtung! Das ist zunächst nur ein Symbol, nur eine Schreibweise für a1+a2+a3+... ; dieses Symbol „bedeutet“ (zunächst!) nichts anderes.
Frage: Sei (ak) eine Folge.
Was ist a1+a2+a3+... ?. Ist dies eine endliche Zahl oder ...?
Wir stellen uns vor, dass man bei a1+a2+a3+... alle (unendlich vielen!)
Glieder der Folge aufsummiert. Das kann natürlich kein Mensch
machen, denn fertig wird man damit nie.
Definition. Diese unendliche Summe nennt man eine Reihe und
schreibt dafür
a1+a2+a3+... = .
Achtung! Das ist zunächst nur ein Symbol, nur eine Schreibweise für a1+a2+a3+... ; dieses Symbol „bedeutet“ (zunächst!) nichts anderes.
1kka
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 24
BeispieleBeispiele
Geometrische Reihe:
1+1/2+1/4+1/8+1/16+... =
oder allgemeiner
1 + q + q2 + q3 + ... =
Harmonische Reihe:
1+1/2+1/3+1/4+... =
Geometrische Reihe:
1+1/2+1/4+1/8+1/16+... =
oder allgemeiner
1 + q + q2 + q3 + ... =
Harmonische Reihe:
1+1/2+1/3+1/4+... =
0k
k1/2
0k
kq
0k
1/k
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 25
PartialsummenPartialsummen
Sei (ak) eine Folge. Wir beobachten den Summationsprozess in
jedem Schritt. Dazu betrachten wir die Partialsummen (Teilsummen) sn betrachten:
s1 = a1,
s2 = a1 + a2,
s3 = a1 + a2 + a3,
...sn = a1 + a2 + a3 + ... + an,
...
Vorstellung: Die Partialsummen nähern sich dem „Wert“ von
immer mehr. Genauer:
Sei (ak) eine Folge. Wir beobachten den Summationsprozess in
jedem Schritt. Dazu betrachten wir die Partialsummen (Teilsummen) sn betrachten:
s1 = a1,
s2 = a1 + a2,
s3 = a1 + a2 + a3,
...sn = a1 + a2 + a3 + ... + an,
...
Vorstellung: Die Partialsummen nähern sich dem „Wert“ von
immer mehr. Genauer:
1kka
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 26
Konvergenz einer ReiheKonvergenz einer Reihe
Definition. Die Reihe konvergiert, falls die Folge (sn) der Partialsummen konvergiert.
Wenn eine Reihe nicht konvergiert, sagt man, dass sie divergiert.
Wenn die Reihe konvergiert, schreibt man auch
für den Grenzwert der Folge der Partialsummen und nennt
den Wert der Reihe.
Achtung: In diesem Fall hat das Symbol zwei Bedeutungen!
Definition. Die Reihe konvergiert, falls die Folge (sn) der Partialsummen konvergiert.
Wenn eine Reihe nicht konvergiert, sagt man, dass sie divergiert.
Wenn die Reihe konvergiert, schreibt man auch
für den Grenzwert der Folge der Partialsummen und nennt
den Wert der Reihe.
Achtung: In diesem Fall hat das Symbol zwei Bedeutungen!
1kka
1kka
1kka
1kka
1kka
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 27
Die geometrische ReiheDie geometrische Reihe
Eine der wichtigsten konvergenten Reihen ist die geometrische
Reihe.
4.2.1 Satz. Sei q eine reelle Zahl mit –1 < q < 1. Dann konvergiert
die Reihe (geometrische Reihe) gegen den Grenzwert
1/(1– q).
Zum Beispiel konvergiert die Reihe 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... gegen
die Zahl 2 (q = 1/2).
Eine der wichtigsten konvergenten Reihen ist die geometrische
Reihe.
4.2.1 Satz. Sei q eine reelle Zahl mit –1 < q < 1. Dann konvergiert
die Reihe (geometrische Reihe) gegen den Grenzwert
1/(1– q).
Zum Beispiel konvergiert die Reihe 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... gegen
die Zahl 2 (q = 1/2).
0k
kq
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 28
BeweisBeweis
Beweis. Wir betrachten die Partialsumme
sn = 1 + q + q2 + q3 + ... + qn
und erinnern uns (Übungsaufgabe), dass gilt
sn = 1 + q + q2 + q3 + ... + qn = (1–qn+1)/(1–q).
Wir müssen also die Folge (sn) = ((1–qn+1)/(1–q)) untersuchen.
Behauptung: Für jede reelle Zahl q mit –1 < q < 1 konvergiert
diese Folge gegen 1/(1–q) .
Dies folgt so: Wir betrachten nur den Fall q > 0. Sei > 0 beliebig.
Wegen q < 1 existiert eine Nummer N mit qN+1 < .
Beweis. Wir betrachten die Partialsumme
sn = 1 + q + q2 + q3 + ... + qn
und erinnern uns (Übungsaufgabe), dass gilt
sn = 1 + q + q2 + q3 + ... + qn = (1–qn+1)/(1–q).
Wir müssen also die Folge (sn) = ((1–qn+1)/(1–q)) untersuchen.
Behauptung: Für jede reelle Zahl q mit –1 < q < 1 konvergiert
diese Folge gegen 1/(1–q) .
Dies folgt so: Wir betrachten nur den Fall q > 0. Sei > 0 beliebig.
Wegen q < 1 existiert eine Nummer N mit qN+1 < .
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 29
BeweisabschlussBeweisabschluss
Daraus folgt
1/(1–q) – (1– qn+1)/(1–q) = (1 – (1– qn+1)) / (1–q) = qn+1 / (1–q)
qN+1 / (1–q) < qN+1 <
für alle n N. Also ist tatsächlich 1/(1–q) der Grenzwert der Folge
der Partialsummen.
Nach Definition konvergiert also die geometrische Reihe
gegen den Grenzwert 1/(1–q).
Daraus folgt
1/(1–q) – (1– qn+1)/(1–q) = (1 – (1– qn+1)) / (1–q) = qn+1 / (1–q)
qN+1 / (1–q) < qN+1 <
für alle n N. Also ist tatsächlich 1/(1–q) der Grenzwert der Folge
der Partialsummen.
Nach Definition konvergiert also die geometrische Reihe
gegen den Grenzwert 1/(1–q).
0k
kq
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 30
Alternativer BeweisAlternativer Beweis
Die Folge (sn) = ((1–qn+1)/(1–q)) der Partialsummen konvergiert
gegen 1 / (1 – q).
Denn: Für – 1 < q < 1 ist (qn+1) eine Nullfolge.
Also konvergiert (1–qn+1) gegen 1,
und somit ((1–qn+1)/(1–q)) gegen 1 / (1 – q).
Die Folge (sn) = ((1–qn+1)/(1–q)) der Partialsummen konvergiert
gegen 1 / (1 – q).
Denn: Für – 1 < q < 1 ist (qn+1) eine Nullfolge.
Also konvergiert (1–qn+1) gegen 1,
und somit ((1–qn+1)/(1–q)) gegen 1 / (1 – q).
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 31
BeispielBeispiel
Behauptung: Die Reihe konvergiert.
Beweis. Wir berechnen die Partialsummen sn. Es gilt
sn = 1/12 + 1/23 + 1/34 + ... + 1/n(n+1) = n/(n+1)
(Induktion!).
Da die Folge der Partialsummen gegen 1 konvergiert, konvergiert
nach Definition auch die Reihe gegen 1.
Behauptung: Die Reihe konvergiert.
Beweis. Wir berechnen die Partialsummen sn. Es gilt
sn = 1/12 + 1/23 + 1/34 + ... + 1/n(n+1) = n/(n+1)
(Induktion!).
Da die Folge der Partialsummen gegen 1 konvergiert, konvergiert
nach Definition auch die Reihe gegen 1.
1k
1)1/k(k
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 32
Die harmonische ReiheDie harmonische Reihe
4.2.2 Satz. Die Reihe divergiert.
Bemerkung: Die harmonische Reihe wurde von Gottfried Wilhelm
Leibniz (1646 - 1716) untersucht.
Beweis. Wir zeigen, dass die Folge der Partialsummen
unbeschränkt ist. Dann kann diese Folge nach 4.1.6 nicht
konvergieren. Also muss sie divergieren
Dazu fassen wir jeweils genügend viele Glieder zusammen, so dass
deren Summe mindestens ½ ist. Damit ergibt sich dann, dass die
Partialsummen nicht beschränkt sein können.
4.2.2 Satz. Die Reihe divergiert.
Bemerkung: Die harmonische Reihe wurde von Gottfried Wilhelm
Leibniz (1646 - 1716) untersucht.
Beweis. Wir zeigen, dass die Folge der Partialsummen
unbeschränkt ist. Dann kann diese Folge nach 4.1.6 nicht
konvergieren. Also muss sie divergieren
Dazu fassen wir jeweils genügend viele Glieder zusammen, so dass
deren Summe mindestens ½ ist. Damit ergibt sich dann, dass die
Partialsummen nicht beschränkt sein können.
1k
1/k
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 33
BeweisBeweis
Die erste Summe ist das erste Folgenglied, also 1/2.
Die zweite Summe besteht aus den zwei nächsten Folgengliedern,
also 1/3 +1/4. Wir schätzen diese Summe ab:
1/3 +1/4 > 1/4+1/4 = 1/2. Also ist dieser Teil größer als 1/2.
Die dritte Summe besteht aus den vier nächsten Folgengliedern,
also 1/5+1/6+1/7+1/8. Es gilt: 1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/8+1/8+1/8+1/8 =
1/2. Also ist auch dieser Teil größer als 1/2.
Allgemein gehen wir bei der i-ten Summe bis 1/2i. Wir erhalten 2i–1
Summanden, die alle größer oder gleich 1/2i sind. Also können wir
diesen Teil durch 2i–1 1/2i = 1/2 abschätzen.
Die erste Summe ist das erste Folgenglied, also 1/2.
Die zweite Summe besteht aus den zwei nächsten Folgengliedern,
also 1/3 +1/4. Wir schätzen diese Summe ab:
1/3 +1/4 > 1/4+1/4 = 1/2. Also ist dieser Teil größer als 1/2.
Die dritte Summe besteht aus den vier nächsten Folgengliedern,
also 1/5+1/6+1/7+1/8. Es gilt: 1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/8+1/8+1/8+1/8 =
1/2. Also ist auch dieser Teil größer als 1/2.
Allgemein gehen wir bei der i-ten Summe bis 1/2i. Wir erhalten 2i–1
Summanden, die alle größer oder gleich 1/2i sind. Also können wir
diesen Teil durch 2i–1 1/2i = 1/2 abschätzen.
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 34
BeweisabschlussBeweisabschluss
Damit erhalten wir eine Abschätzung der harmonischen Reihe nach
unten durch > 1/2 + 1/2 + 1/2 + ....
Da die Summe rechts alle Schranken überschreitet, divergiert die
harmonische Reihe.
Damit erhalten wir eine Abschätzung der harmonischen Reihe nach
unten durch > 1/2 + 1/2 + 1/2 + ....
Da die Summe rechts alle Schranken überschreitet, divergiert die
harmonische Reihe.
1k
1/k
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 35
Welche Folgen führen zu konvergenten Reihen?Welche Folgen führen zu konvergenten Reihen?
4.2.3 Satz. Wenn die Reihe konvergiert, dann konvergiert die Folge (ai) gegen 0, sie ist also eine Nullfolge.
Bemerkung: Auch von diesem Satz ist die Umkehrung wichtig: Wenn die Folge (ai) nicht gegen 0 konvergiert (d.h. entweder überhaupt
nicht konvergiert oder, wenn sie konvergiert, dann nicht gegen 0
konvergiert), dann divergiert die Reihe.
Beweis. Wir wenden die Verdichtungseigenschaft (3.3.1) auf die
Folge der Partialsummen an.
Sei > 0 beliebig. Wir müssen zeigen, dass von einer gewissen Stelle N an alle an betragsmäßig keiner als sind.
4.2.3 Satz. Wenn die Reihe konvergiert, dann konvergiert die Folge (ai) gegen 0, sie ist also eine Nullfolge.
Bemerkung: Auch von diesem Satz ist die Umkehrung wichtig: Wenn die Folge (ai) nicht gegen 0 konvergiert (d.h. entweder überhaupt
nicht konvergiert oder, wenn sie konvergiert, dann nicht gegen 0
konvergiert), dann divergiert die Reihe.
Beweis. Wir wenden die Verdichtungseigenschaft (3.3.1) auf die
Folge der Partialsummen an.
Sei > 0 beliebig. Wir müssen zeigen, dass von einer gewissen Stelle N an alle an betragsmäßig keiner als sind.
1kka
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 36
BeweisBeweis
Nach 3.3.1 gibt es eine Nummer N, so dass für alle m, n N die
Ungleichung
sm–sn <
gilt. Insbesondere gilt für alle n N die Ungleichung
sn+1–sn < .
Da sn+1–sn = a1+a2+...+an+an+1 – (a1+a2+...+an) = an+1 ist, bedeutet
obige Ungleichung nichts anderes als an+1 < für alle n N.
Das bedeutet, dass die Folge (an) eine Nullfolge ist.
Nach 3.3.1 gibt es eine Nummer N, so dass für alle m, n N die
Ungleichung
sm–sn <
gilt. Insbesondere gilt für alle n N die Ungleichung
sn+1–sn < .
Da sn+1–sn = a1+a2+...+an+an+1 – (a1+a2+...+an) = an+1 ist, bedeutet
obige Ungleichung nichts anderes als an+1 < für alle n N.
Das bedeutet, dass die Folge (an) eine Nullfolge ist.
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 37
KonvergenzkriterienKonvergenzkriterien
Idee: Man möchte die Konvergenz der Reihe nicht nur an der Folge
der Partialsummen ablesen können, sondern an den Folgengliedern ak selbst.
Dafür gibt es zahlreiche Konvergenzkriterien, die Bedingungen
angeben, unter denen Folgen konvergieren.
Majorantenkriterium, Quotientenkriterium, Wurzelkriterium usw.
Achtung! Das sind „wenn-dann“-Aussagen, keine „genau-dann-
wenn-Aussagen“!
Idee: Man möchte die Konvergenz der Reihe nicht nur an der Folge
der Partialsummen ablesen können, sondern an den Folgengliedern ak selbst.
Dafür gibt es zahlreiche Konvergenzkriterien, die Bedingungen
angeben, unter denen Folgen konvergieren.
Majorantenkriterium, Quotientenkriterium, Wurzelkriterium usw.
Achtung! Das sind „wenn-dann“-Aussagen, keine „genau-dann-
wenn-Aussagen“!
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 38
MajorantenkriteriumMajorantenkriterium
4.2.4 Satz. Sei eine Reihe, und sei eine konvergente Reihe mit positiven Gliedern ci. Wenn ai ci für alle
i gilt, dann konvergiert auch die Reihe .
Bemerkung: Die Bedeutung dieser wichtigen Kriteriums liegt darin,
dass man die Konvergenz einer Reihe auf die Konvergenz einer
anderen Reihe zurückführt.
Außerdem hat man eine große Freiheit, die Reihe zu wählen:
Man braucht nur irgendeine konvergente Reihe aus positiven
Gliedern zu finden, die majorisiert.
Beweis. Übungsaufgabe.
4.2.4 Satz. Sei eine Reihe, und sei eine konvergente Reihe mit positiven Gliedern ci. Wenn ai ci für alle
i gilt, dann konvergiert auch die Reihe .
Bemerkung: Die Bedeutung dieser wichtigen Kriteriums liegt darin,
dass man die Konvergenz einer Reihe auf die Konvergenz einer
anderen Reihe zurückführt.
Außerdem hat man eine große Freiheit, die Reihe zu wählen:
Man braucht nur irgendeine konvergente Reihe aus positiven
Gliedern zu finden, die majorisiert.
Beweis. Übungsaufgabe.
0kka
0kkc
0kka
0kkc
0kka
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 39
BeispielBeispiel
Behauptung: Die Reihe konvergiert.
Beweis. Wir wissen, dass die Reihe konvergiert.
Also konvergiert auch .
Da 1/k2 < 2/k(k+1) ist, ergibt sich mit dem Majorantenkriterium die
Behauptung.
Bemerkung: Das Majorantenkriterium sagt nicht, was der Grenzwert
ist!
Behauptung: Die Reihe konvergiert.
Beweis. Wir wissen, dass die Reihe konvergiert.
Also konvergiert auch .
Da 1/k2 < 2/k(k+1) ist, ergibt sich mit dem Majorantenkriterium die
Behauptung.
Bemerkung: Das Majorantenkriterium sagt nicht, was der Grenzwert
ist!
1k
21/k
1k
1)1/k(k
1k
1)2/k(k
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 40
QuotientenkriteriumQuotientenkriterium
4.2.5 Satz. Sei eine Reihe, deren Glieder alle verschieden von
Null sind. Wenn es eine Zahl q mit 0 < q < 1 gibt, so dass
ai+1/ai q für alle i
gilt, dann konvergiert die Reihe.
Beweis. Zunächst zeigt man durch Induktion: Für alle k 1 gilt ak+1
a1qk.
Also ist die Reihe = a1 eine Majorante von .
Da q < 1 ist, konvergiert die Reihe a1 nach 4.2.1.
Nach dem Majorantenkriterium ergibt sich die Behauptung.
4.2.5 Satz. Sei eine Reihe, deren Glieder alle verschieden von
Null sind. Wenn es eine Zahl q mit 0 < q < 1 gibt, so dass
ai+1/ai q für alle i
gilt, dann konvergiert die Reihe.
Beweis. Zunächst zeigt man durch Induktion: Für alle k 1 gilt ak+1
a1qk.
Also ist die Reihe = a1 eine Majorante von .
Da q < 1 ist, konvergiert die Reihe a1 nach 4.2.1.
Nach dem Majorantenkriterium ergibt sich die Behauptung.
0kka
1k
kqa1
1k
kq
1kka
1k
kq
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 41
BeispielBeispiel
Behauptung: Die Reihe konvergiert.
Beweis. Sei ak = k2/2k. Dann gilt für k 3:
ak+1 / ak = (k+1)22k/ 2k+1k2 = 1/2 ((k+1)/k)2 =
= 1/2 (1 + 1/k)2 1/2 (1 + 1/3)2 = 1/2 16/9 = 8/9 .
Wir setzen q = 8/9 (< 1) und wenden das Quotientenkriterium an.
Dieses sagt, dass die Reihe gegen einen Grenzwert s
konvergiert.
Dann konvergiert aber die Reihe gegen den Grenzwert s + a0 + a1+ a2.
Behauptung: Die Reihe konvergiert.
Beweis. Sei ak = k2/2k. Dann gilt für k 3:
ak+1 / ak = (k+1)22k/ 2k+1k2 = 1/2 ((k+1)/k)2 =
= 1/2 (1 + 1/k)2 1/2 (1 + 1/3)2 = 1/2 16/9 = 8/9 .
Wir setzen q = 8/9 (< 1) und wenden das Quotientenkriterium an.
Dieses sagt, dass die Reihe gegen einen Grenzwert s
konvergiert.
Dann konvergiert aber die Reihe gegen den Grenzwert s + a0 + a1+ a2.
0k
k2/2k
3k
k2/2k
0k
k2/2k
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 42
Das WurzelkriteriumDas Wurzelkriterium
4.2.6 Satz. Sei eine Reihe, deren Glieder alle größer als
Null sind. Wenn es eine Zahl q mit 0 < q < 1 gibt, so dass
für alle k
gilt, dann konvergiert die Reihe.
4.2.6 Satz. Sei eine Reihe, deren Glieder alle größer als
Null sind. Wenn es eine Zahl q mit 0 < q < 1 gibt, so dass
für alle k
gilt, dann konvergiert die Reihe.
k 0
ka
kka q
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 43
4.3 Achilles und die Schildkröte4.3 Achilles und die Schildkröte
Die Geschichte stammt von Zenon von Elea (ca. 495 - 430 v. Chr.).
Zenon stellte alles in Frage. Gerade hatten die griechischen
Mathematiker entdeckt, wie man durch reines Nachdenken
Erkenntnisse erzielen kann, da machte Zenon unwiderleglich klar,
dass man durch Nachdenken Ergebnisse erhalten kann, die ganz
offenbar nicht stimmen. Zum Beispiel:
Bei einem der sportlichen Wettkämpfe der Griechen geht auch
Achilles, der schnellste aller Läufer, an den Start. Aber ausgerechnet
eine Schildkröte will den Kampf mit Achilles aufzunehmen. Zenon
schildert, wie Achilles und die Schildkröte schon vorab das Rennen
gedanklich durchspielen – mit einem überraschenden Ergebnis:
Die Geschichte stammt von Zenon von Elea (ca. 495 - 430 v. Chr.).
Zenon stellte alles in Frage. Gerade hatten die griechischen
Mathematiker entdeckt, wie man durch reines Nachdenken
Erkenntnisse erzielen kann, da machte Zenon unwiderleglich klar,
dass man durch Nachdenken Ergebnisse erhalten kann, die ganz
offenbar nicht stimmen. Zum Beispiel:
Bei einem der sportlichen Wettkämpfe der Griechen geht auch
Achilles, der schnellste aller Läufer, an den Start. Aber ausgerechnet
eine Schildkröte will den Kampf mit Achilles aufzunehmen. Zenon
schildert, wie Achilles und die Schildkröte schon vorab das Rennen
gedanklich durchspielen – mit einem überraschenden Ergebnis:
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 44
Achilles und die Schildkröte IIAchilles und die Schildkröte II
Zunächst bittet die Schildkröte darum, ihr einen kleinen Vorsprung
zu gewähren, vielleicht 100 Fuß. Achilles meint natürlich, dass er
diesen Vorsprung in Nullkommanichts aufgeholt hat. Darauf wendet
die Schildkröte ein, „dein Problem besteht darin, dass du diese
Strecke eben nicht in Nullkommanichts schaffst, sondern auch dafür
eine gewisse Zeit brauchst. Und in dieser Zeit bin ich ein Stück
vorangekommen. 10 Fuß.“
Achilles ist der Meinung, dass er auch diese Strecke sofort gelaufen
sei. „Nicht sofort“, entgegnete die Schildkröte, „sondern auch dafür
brauchst du Zeit; und in dieser Zeit bin ich wieder ein Stückchen
vorangekommen: 1 Fuß.“
Zunächst bittet die Schildkröte darum, ihr einen kleinen Vorsprung
zu gewähren, vielleicht 100 Fuß. Achilles meint natürlich, dass er
diesen Vorsprung in Nullkommanichts aufgeholt hat. Darauf wendet
die Schildkröte ein, „dein Problem besteht darin, dass du diese
Strecke eben nicht in Nullkommanichts schaffst, sondern auch dafür
eine gewisse Zeit brauchst. Und in dieser Zeit bin ich ein Stück
vorangekommen. 10 Fuß.“
Achilles ist der Meinung, dass er auch diese Strecke sofort gelaufen
sei. „Nicht sofort“, entgegnete die Schildkröte, „sondern auch dafür
brauchst du Zeit; und in dieser Zeit bin ich wieder ein Stückchen
vorangekommen: 1 Fuß.“
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 45
Achilles und die Schildkröte IIIAchilles und die Schildkröte III
Achilles findet, das sei aber nun eine lächerliche Strecke, nicht der
Rede wert. Die Schildkröte widerspricht abermals: „Auch dafür
brauchst du eine gewisse Zeit. Und in dieser Zeit bin ich wieder ein
kleines Stückchen weiter. Zwar nur ein zehntel Fuß, aber immerhin.“
So könnten die beiden weiterreden. Sie überlegen jeweils bis zum
vorigen Standort der Schildkröte; wenn Achill dort angelangt ist, ist
diese ein Zehntel der Strecke weiter. Also kann Achill die Schildkröte
nie einholen! Absurd!
Achilles findet, das sei aber nun eine lächerliche Strecke, nicht der
Rede wert. Die Schildkröte widerspricht abermals: „Auch dafür
brauchst du eine gewisse Zeit. Und in dieser Zeit bin ich wieder ein
kleines Stückchen weiter. Zwar nur ein zehntel Fuß, aber immerhin.“
So könnten die beiden weiterreden. Sie überlegen jeweils bis zum
vorigen Standort der Schildkröte; wenn Achill dort angelangt ist, ist
diese ein Zehntel der Strecke weiter. Also kann Achill die Schildkröte
nie einholen! Absurd!
Kapitel 3: Folgen und Reihen
© BeutelspacherJuni 2005
Seite 46
Achilles und die Schildkröte: Was ist los?Achilles und die Schildkröte: Was ist los?
Die Paradoxie löst sich auf, wenn man beachtet, dass die einzelnen
Strecken immer kleiner werden, also Achilles dafür auch immer
weniger Zeit braucht. In Wirklichkeit konstruiert die Schildkröte
genau den Punkt, an dem sie überholt wird: 111,111... Fuß. Wenn
Achilles diese Marke überschritten hat, hat er sie überholt.
Ein wunderschönes Beispiel dafür, wie scharfes Denken uns
verunsichert und uns damit zwingt, den Dingen noch mehr auf den
Grund zu gehen.
Die Paradoxie löst sich auf, wenn man beachtet, dass die einzelnen
Strecken immer kleiner werden, also Achilles dafür auch immer
weniger Zeit braucht. In Wirklichkeit konstruiert die Schildkröte
genau den Punkt, an dem sie überholt wird: 111,111... Fuß. Wenn
Achilles diese Marke überschritten hat, hat er sie überholt.
Ein wunderschönes Beispiel dafür, wie scharfes Denken uns
verunsichert und uns damit zwingt, den Dingen noch mehr auf den
Grund zu gehen.