Kapitel 4

Nutzenmaximierung und Konsumentenauswahl

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Nutzenmaximierung und Konsumentenauswahl

• Definition der Budgetmenge und der Budgetbeschränkung.– Die Menge der möglichen Alternativen

• Darstellung der optimalen Konsumentenauswahl:Graphisch.– Nutzenmaximierung unter Budgetbeschränkung

• Mathematische Lösung: Lagrangemethode.– Zur Bestimmung der optimalen Konsumentenauswahl

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BudgetmengeDie Budgetmenge: Gibt alle Warenkörbe an, die ein

Konsument gegeben seine Budgetbeschränkungerreichen kann.

Das Budget hängt vom Einkommen (M) des Konsumentenund von den Preisen (p) ab. Es ist gegeben durch allex=(x1, x2, …,xn) für die gilt:

n nnxpM

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Budgetmenge• Graphische Darstellung• Die Budgetmenge ist das

Dreieck unter derBudgetbeschränkung:

• Umgeschrieben als:

ypxpM yx

xpp

pMy

y

x

y

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BudgetmengeEine Erhöhung des Einkommens:• Die Budgetgerade wird nach außen verschoben. Die

Steigung bleibt gleich.

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BudgetmengeEine Veränderung der Preise:• Die Budgetgerade rotiert um die Achsenabschnitte.

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Nutzenmaximierung• Optimale Konsumentenauswahl:

• Die Wahlvariablen des Konsumenten sind x und y.• Monotonie („Mehr ist besser“) impliziert, dass die

Nebenbedingung immer bindet, d.h. der Konsumentgibt sein gesamtes Einkommen M aus.

ypxpM u.d.N. y) U(x, yx Max

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NutzenmaximierungGraphische Lösung:

• Die MRS ist gleichdem Preisverhältnis.

• Der Trade-off desKonsumentenzwischen den Güternfindet zum gleichenVerhältnis statt wieder des Marktes (beiinneren Lösungen).

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Nutzenmaximierung• Mathematische Lösung 1: Substitutionsmethode• Löse die Budgetrestriktion nach x oder y auf und substituiere in

U(x,y).

• Dann löse das ein-Variablen Problem:

• Bedingung erster Ordnung für x (nach Produkt- und Kettenregel)

xMyy

x

y pp

p

)pp

p,(

y

x

y

xMxUMaxx

y

x,

y

x

pp0

pp

yUxU

MRSyU

xU

yx

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Nutzenmaximierung• Mathematische Lösung 2: Lagrangemethode• Definiere eine zusätzliche Variable λ: der Lagrange Multiplikator.

Bilde die Lagrange Funktion L(x,y;λ) durch Addition von λ mal derBudgetrestriktion.

• Bilde die Bedingungen erster Ordnung bezüglich x,y und λ:

• Kombiniere die erste und zweite BeO zu:

)pp(),();,( yx yxMyxUyxL

0pp;0p;0p yxyx

yxML

yU

yL

xU

xL

y

xyx p

pMRS ,

10

NutzenmaximierungAnwendung des Lagrange Ansatzes am Beispiel der

allgemeinen Cobb-Douglas Nutzenfunktion:

U(x,y) = xy mit α,β>0.• Der Lagrange:

ℒ = xy + (M - pxx - pyy)• Die BeOs:

ℒ/x = x-1y - px = 0ℒ/y = xy-1 - py = 0ℒ/ = M - pxx - pyy = 0

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Nutzenmaximierung

• Die BeOs implizieren: y/x = px/py

• Daher: pyy = (/)pxx

• Durch Substitution in die Budgetbedingung:

M = pxx + (/)pxx = (( + ) /)pxx

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Nutzenmaximierung

• Auflösen nach x ergibt

• Auflösen nach y ergibtxp

x M

*

ypy M

*

• Das Individuum wird Prozent seines Einkommens fürGut x und Prozent für Gut y ausgeben.

• Beispiel für diese Präferenzen: Ein Autofahrer, derimmer für 50 Euro tankt, unabhängig vom Benzinpreis.13

NutzenmaximierungBedingungen zweiter Ordnung:

• Die obige Tangentialbedingung istnur notwendig, i.e. sie muss keinMaximum darstellen.

• Die Bedingung zweiter Ordnunggarantiert, dass die Lösung einMaximum ist.

• Indifferenzkurven, die lokal konvexsind (Punkte A und C)

• Indifferenzkurven, die lokal konkavsind (Punkt B)

• C ist das globale Maximum.

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NutzenmaximierungZur Rolle der Konvexität:• Wenn Präferenzen überall

konvex sind gibt es eineeindeutige Lösung für dieBedingung erster Ordnung, dieein Maximum an Nutzen(Minimum an Ausgaben beigegebenem Nutzen) impliziert.

• Konvexität macht also aus derTangentialbedingung auch einehinreichende Bedingung für eineindeutiges globales Maximum.

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NutzenmaximierungBeispielJohn‘s Präferenzen für Hamburger h und Soda s sind gegeben

durch die quasi-konkave Nutzenfunktion:

Frage: Soda kostet 1 Euro und ein Hamburger 3 Euro. John hat einEinkommen von 6 Euro. Wie wird er es ausgeben?

Antwort: Die Budgetbedingung ist:

Gleichsetzen von MRS und Preisverhältnis wie in Graphik:

Lösung:

shshU ),(

16

NutzenmaximierungSubstitutionsmethode:• Löse die Budgetbedingung für s:

• Substituiere in John‘s Nutzenfunktion:

• BeO:

• Substituiere in Gleichung für s:

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NutzenmaximierungLagrangemethode:• Die Lagrangefunktion:

• BeOs:

• Daraus folgt:

• Lösung:

18

NutzenmaximierungTest:

und

136

111**

hx p

hhierp

x MM

316

111**

sy p

shierp

y MM

19

Mehr als zwei GüterLagrangemethode mit mehr als zwei Gütern:

Die BeOs sind:

Ein System von n+1 Gleichungen in n+1 Unbekannten.

)xp(),...();,...( nn11 n

nn MxxUxxL

0

0

n

nn

nnn

xpML

pxU

xL

20

Mehr als zwei GüterBeispiel:

• Lagrange:

• BeOs:

• Einsetzen in Budgetbedingung:

• Lösung:

30,5,2,1),,( MpppundxyzzyxU zyx

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Nutzenmaximierung• Randlösungen: Individuen können im Optimum auch nur

ein Gut konsumieren. Dann ist ihre Indifferenzkurve nichttangential zur Budgetbedingung.

x

y U2U1 U3

A

Nutzen wird im Punkt A maximiert

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BeO nutzlos, wenn…

Vollkommene Komplementärgüter:

• Bedingung erster Ordnung istnicht wohl-definiert.

• Für eine Lösung gilt immerax=by

• Gleiches gilt, wenn Indifferenz-kurven Knicke aufweisen.

byaxyxU ,min),(

23

BeO nutzlos, wenn…Vollkommene Substitutionsgüter: Fall 1:

• Lineare Indifferenzkurven.

• Der optimale Konsum findet sichdurch Vergleich von a/b und px/py.

byaxyxU ),(

24

BeO nutzlos, wenn…Fall 2: Fall 3: Indifferenz

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BeO nutzlos, wenn …• Randlösungen

• BeO haben keine Lösungmit positiven Mengen.

• Lösung muss am Randliegen: y=0

0 ybeippMRS

y

x

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BeO nutzlos, wenn…Nicht-konvexe Präferenzen:• Lösung des Lagrange

Ansatzes ist (x1,y1)

• Optimale Lösung ist am Rand bei

ypMy

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Ausgabenminimierung• Das Problem der Ausgabenminimierung („Expenditure

minimization“) ist das duale Problem zurNutzenmaximierung: „Verteile das Einkommen, umeinen vorgegebenen Nutzenlevel bei minimalenAusgaben zu erreichen.“

• Das Ziel und die Restriktion werden also vertauscht.

28

Ausgabenminimierung

Ausgabenlevel E2 ist gerade groß genug, um U1 zu erreichen

x

y

U1

Ausgabenlevel E1 ist zu gering, um U1 zu erreichen

Ausgabenlevel E3 erlaubt U1 ist aber nicht die Ausgaben-minimierende Lösung

A

Punkt A ist die Lösung des dualen Problems.

29

Ausgabenminimierung• Das Problem des Individuums ist es, x1,x2,…,xn so zu wählen,

dass Ausgaben (expenditures) = E = p1x1 + p2x2 +…+ pnxnunter der Nebenbedingung Nutzen = Ū = U(x1,x2,…,xn)minimiert werden.

• Die optimalen Mengen von x1,x2,…,xn hängen von den Preisenund dem vorgegebenen Nutzenlevel ab.

• Die Ausgabenfunktion gibt diese minimalen Ausgaben fürdiese optimalen Mengen an: E(p1,p2,…,pn,U).

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Ausgabenminimierung• Die Ausgabenfunktion und die indirekte Nutzenfunktion

sind Inversen. Beide hängen von den Preisen ab, habenaber unterschiedliche Nebenbedingungen

• Die indirekte Nutzenfunktion für den zwei-Güter Cobb-Douglas Fall ist

• Wenn z.B. α=β=1/2 reduziert sich die Funktion zu

yx

yx

pM

pM

yxyxUppV

)()(),( )M,,( ****

yxyxyx pp

Mp

Mp

MppV22

2

)M,,(21

21

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Ausgabenminimierung• Wenn wir die Rollen von Nutzen und Einkommen (Ausgaben)

vertauschen, finden wir die Ausgabenfunktion als

Eigenschaften der Ausgabenfunktion:

• Homogenität vom Grad Eins: Die Verdopplung aller Preise wird denWert der erforderlichen Ausgaben ebenfalls verdoppeln.

• Nicht-fallend in Preisen: E/pi 0 für jedes Gut i.• Konkav in Preisen.

UppppE yxyx 2 )U,,(

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Kapitel 4 Konzepte• Die Budgetmenge• Die Budgetbedingung• Nutzenmaximierung• Substutitionsmethode• Lagrange Multiplikator

Methode• Der Lagrange Multiplikator

• Cobb-Douglas Nutzen• Vollkommene

Komplemente• Vollkommene Substitute• Randlösungen• Ausgabenminimierung• Die Ausgabenfunktion

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