Kapitel 7 Flächen und Volumen. Kapitel 7: Flächen und Volumen © Beutelspacher Juni 2005 Seite 2 Inhalt 7.1 Flächeninhalt, 7.2 Integral 7.3 Volumen 7.1

Kapitel 7Flächen und Volumen

Kapitel 7: Flächen und Volumen © BeutelspacherJuni 2005

Seite 2

Inhalt

7.1 Flächeninhalt,

7.2 Integral

7.3 Volumen


Seite 3

7.1 Flächeninhalt

Erinnerung:

1. Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b ist ab.

2. Man kann den Flächeninhalt jedes Dreiecks auf ein Rechteck zurückführen.

3. Man kann den Flächeninhalt jeder geradlinig begrenzten Figur auf den Flächeninhalt von Dreiecken zurückführen.

Problem: Krummlinig begrenzte Figuren, insbesondere der Kreis.


Seite 4

Definition. Das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises ist konstant, man bezeichnet es mit der Zahl .

(Das Verhältnis ist konstant, weil alle Kreise ähnlich sind.)

Anders ausgedrückt: ist der halbe Umfang des Einheitskreises.

7.1.1 Satz. Der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius r ist r2.

Beweis („Kuchenstückbeweis“). Wir zeigen, dass der Flächeninhalt des Kreises gleich dem halben Umfang mal dem Radius ist, also gleich r mal r.


Seite 5

Berechnung von nach Archimedes

Archimedes (287 – 212 v. Chr.) hat nach unten und nach oben abgeschätzt, indem er die Umfänge von einbeschriebenen und umbeschriebenen regulären n-Ecken bestimmt hat.

Wir betrachten den Einheitskreis. Sei pn der halbe Umfang eines einbeschriebenen und qn der halbe Umfang eines umbeschriebenen regulären n-Ecks. Dann ist pn < < qn.

Ausgangspunkt ist das reguläre Sechseck.

7.1.2 Satz. p6 = 3, q6 = 23 3,46.


Seite 6

Die rekursive Formel

7.1.3 Satz (Archimedes). q2n = 2pnqn / (pn + qn), p2n = pnq2n.

Damit konnte Archimedes die Umfänge der ein- und umbeschriebenen regulären n-Ecke mit n = 12, 24, 48, 96 bestimmen. Damit erhielt er

3 + 10/71 < < 3 + 1/7, d.h. 3,1408 < < 3,1428.

Ludolph van Ceulen (1540 – 1610) konnte pn und qn für n = 3260

abschätzen, und so auf 35 Stellen genau bestimmen.


Seite 7

Beweisvorbereitungen

Beweis. Seien A und C Ecken des einbeschriebenen n-Ecks, D und F Ecken des umbeschriebenen n-Ecks, und sei G eine Ecke des umbeschriebenen 2n-Ecks. Dann gelten:

.nqEF,

npBC,

n2pAC nnn

.2nq

nqEGEFFG,

2nqEGCG 2nn2n

.n

pECAE 2n

B

A

G

D

F

O E

C


Seite 8

Beweis

Die Dreiecke EFO und CFG sind ähnlich. Also ist OE:OF = CG:FG. Mit dem Strahlensatz folgt:

Also ist

Da die Dreiecke AEC und EGC ähnlich sind, folgt

also

./2nq/nq

/2nqFGCG

OFOE

OFOC

EFBC

/nq/np

qp

2nn

2n

n

n

n

n

.qpq2pq

nn

nn2n

,2pq

/np/2nq

ECEG

ACAE

/n2p/np

2pp

2n

2n

2n

2n

n

2n

n

2n

.qpp 2nn2n


Seite 9

7.2 Integrale

Ziel: Berechnung der Fläche „unter einer Kurve“, d.h. der Fläche zwischen Kurve und x-Achse. Diesen Flächeninhalt nennt man aus historischen Gründen „Integral“.

Methode: 1. Man führt das Integral von sehr allgemeinen Funktionen auf das Integral spezieller Funktionen („Treppenfunktionen“) zurück.

2. Um ein Integral konkret auszurechnen benützt man „Stammfunktionen“.

Die Idee dazu stammt von Berhard Riemann,1826 – 1866.


Seite 10

Treppenfunktionen

Definition. Eine Treppenfunktion erhält man folgendermaßen: Man teilt ein Intervall [a, b] durch verschiedene Zwischenwerte ein. D.h. man wählt zunächst Zahlen x0 = a < x1 < x2 < …< xn = b. Dann wählt man Zahlen y1, y2, …, xn und setzt fest:

Im Intervall [x0, x1) hat die Funktion den (konstanten) Wert y1,

im Intervall [x1, x2) hat die Funktion den (konstanten) Wert y2,

usw.


Seite 11

Integral einer Treppenfunktion

7.2.1 Satz. Sei f eine Funktion, die auf dem Intervall [a, b] den konstanten Wert y hat. Dann ist das Integral dieser Funktion gleich (b – a)y. Wir schreiben dafür

7.2.2 Satz. Sei f eine Treppenfunktion auf dem Intervall [a, b]. Dann ist ihr Integral gleich (x1 – x0)y1 + (x2 – x1)y2 + … + (xn – xn–1)yn. Wir

schreiben dafür

Beweis. Eine Treppenfunktion setzt sich aus konstanten Funktionen zusammen.

b

a

f(x)dx

b

a

f(x)dx


Seite 12

Idee des Riemann-Integrals

Gegeben ist eine beliebige Funktion f auf dem Intervall [a, b]. Man versucht, diese „von unten“ und „von oben“ durch Treppenfunktionen anzunähern.

Unterintegral: Man betrachtet alle Treppenfunktionen, die „unterhalb“ der Kurve liegen. (Das Integral dieser Treppenfunktionen ist als das – noch hypothetische – Integral der Funktion.)

Dann lässt man die Intervalllängen gegen 0 konvergieren.

Wenn dann die Integrale der Treppenfunktionen konvergieren, spricht man davon, dass das Unterintegral existiert.


Seite 13

Idee des Riemann-Integrals II

Entsprechend betrachtet man alle Treppenfunktionen, die „oberhalb“ der Kurve liegen. (Das Integral dieser Treppenfunktionen ist als das – noch hypothetische – Integral der Funktion.)

Dann lässt man die Intervalllängen gegen 0 konvergieren.

Wenn dann die Integrale der Treppenfunktionen konvergieren, spricht man davon, dass das Oberintegral existiert.

Definition. Eine Funktion f auf dem Intervall [a, b] ist integrierbar, falls Unterintegral und Oberintegral existieren und gleich sind. Man schreibt:

b

a

f(x)dx


Seite 14

Welche Funktionen sind integrierbar?

7.2.3 Satz. (a) Jede stetige Funktion ist integrierbar.

(b) Jede monotone Funktion ist integrierbar.

Bemerkungen: (a) Insbesondere sind alle Polynome integrierbar.

(b) Man kann die Stetigkeit auch abschwächen, indem man nur „stückweise stetig“ fordert, d.h. endlich viele Unstetigkeitsstellen zulässt.


Seite 15

Wie berechnet man Integrale konkret?

Definition. Sei f eine Funktion auf dem Intervall [a, b]. Eine Funktion F heißt Stammfunktion von f, falls F‘ = f ist.

Der folgende Satz zeigt die Bedeutung der Stammfunktion:

7.2.4 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Sei f eine Funktion auf dem Intervall [a, b], und sei F eine Stammfunktion von f. Dann gilt:

Bemerkung: Mit der Stammfunktion kann man ein Integral ganz einfach ausrechnen: Man bestimmt die Werte an den Stellen a und b und bildet die Differenz!

b

a

F(a).F(b)f(x)dx


Seite 16

Stammfunktionen

Einziges Problem: Welche Funktionen haben Stammfunktionen und wie sehen diese aus?

7.2.5 Satz. Jede stetige Funktion hat eine Stammfunktion.

Beispiele: Stammfunktion von x2 ist , Stammfunktion von x3 ist Stammfunktion von xn ist xn+1/(n+1)

Stammfunktion eines Polynoms

Stammfunktion von exp(x) ist exp(x)


Seite 17

7.3 Zylinder, Kegel, Kugel

7.3.1 Satz. Ein Zylinder mit Radius r und Höhe h hat- die Oberfläche 2r2 + 2rh = 2r(r+h)- und das Volumen r2h.

Beweis. Die Oberfläche besteht aus den Kreisscheiben unten und oben, sowie der „Mantelfläche“. Die Kreisscheiben haben jeweils den Flächeninhalt r2, zusammen also 2r2. Der Mantel ist ein Rechteck der Länge 2r und der Höhe h, also des Flächeninhalts 2rh.

Das Volumen errechnet sich als Grundfläche mal Höhe, also r2 mal h.


Seite 18

Der Kegel

7.3.2 Satz. Ein Kegel mit Radius r, Höhe h und Seitenlinie s hat- das Volumen (r2h)/3- die Oberfläche r2 + rs = r(r+s).

Beweis. Das Volumen einer Pyramide ist Grundfläche mal Höhe geteilt durch 3. Wenn man durch Pyramiden mit immer mehr Ecken den Kegel annähert, ergibt sich auch für das Volumen des Kegels „Grundfläche mal Höhe durch 3“, also r2 mal h geteilt durch 3.

Die Oberfläche setzt sich zusammen aus der Grundfläche (r2) und der Mantelfläche (rs, ohne Beweis).


Seite 19

Ein „halbvolles“ Sektglas

Ein kegelförmiges Sektglas wird bis zur halben Höhe gefüllt.

Frage: Welchen Anteil ist das im Vergleich zu einem voll gefüllten Sektglas?


Seite 20

Kugel

7.3.3 Satz. Für eine Kugel mit Radius r, Oberfläche O und Volumen V gilt V = 1/3rO.

Beweis. Man teilt die Kugeloberfläche irgendwie in kleine Dreiecke und Vierecke auf, z.B. durch Längen- und Breitenkreise. Jedes dieser Vielecke Oi verbindet man mit dem Mittelpunkt der Kugel und erhält

ein pyramindenähnliches Gebilde. Dieses hat die Höhe r.

Also ist sein Volumen etwa Grundfläche Oi mal r durch 3.

Diese Gebilde haben insgesamt das Volumen der Kugel. Also ist:

V = O1r/3 + O2r/3 + O3r/3 + … = (O1+O2+O3+…)r/3 + … = Or/3.


Seite 21

Kugeloberfläche

7.3.4 Satz. Die Oberfläche einer Kugel mit Radius r ist 4r2.

Beweis. Das Volumen der Kugel ist (was wir anschließend beweisen werden) gleich 4/3r3. Damit ergibt sich aus vorigem Satz:

O = 3V/r = 4r3/r = 4r2.


Seite 22

Kugelvolumen

7.3.5 Satz. Eine Kugel mit Radius r sei in einen Zylinder mit Radius r und Höhe 2r eingebettet.

Das Volumen der Kugel ist 2/3 des Zylinders.

Insbesondere ist das Kugelvolumen gleich 4/3r3.


Seite 23

Cavalierisches Prinzip

Um diesen Satz zu beweisen brauchen wir das Cavalierische Prinzip:

7.3.6 Satz (Cavalierisches Prinzip). Man legt zwei Körper zwischen zwei parallele Ebenen. Wenn jede weitere parallele Ebene beide Körper in Flächen schneidet, die den gleichen Flächeninhalt haben, dann haben die beiden Körper das gleiche Volumen.

Beispiel: Pyramiden mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe.

Bonaventura Cavalieri, 1591 – 1647, Bologna.


Seite 24

Beweis Kugelvolumen I

Wir lassen ein Quadrat ABCD mit Seitenlänge r um die Seite AB rotieren. Dies ergibt einen Zylinder mit Radius r

und Höhe r, also Volumen r3.

Die Diagonale BD umschließt bei der Rotation einen auf der Spitze stehenden

Kegel mit Grundfläche r2 und Höhe r, also Volumen 1/3r3.

Der Restkörper hat also das Volumen r3 – 1/3r3 = 2/3r3.

Der Kreisbogen AC bildet bei Rotation eine Halbkugel. Wir zeigen, dass das Volumen dieser Halbkugel gleich dem des Restkörpers ist.

h

h

r

RQP

DA

B C

M


Seite 25

Beweis Kugelvolumen II

Dazu benutzen wir das Cavalierische Prinzip.

Wir stellen uns eine Ebene vor, die den Abstand h zur Grundfläche hat. Diese schneidet die Halbkugel in einer Kreisscheibe und den Restkörper in einem Kreisring. Wir zeigen, dass beide den gleichen Flächeninhalt haben.

Die Kreisfläche hat den Radius MQ. Dessen Länge ist nach Pythagoras (r2 – h2). Also ist der Flächeninhalt (r2 – h2).

Der Kreisring ist die Differenz eines Kreises mit Radius r und eines Kreises mit Radius h. Also ist sein Flächeninhalt r2 – h2.

Documents

Kapitel 7 Flächen und Volumen. Kapitel 7: Flächen und Volumen © Beutelspacher Juni 2005 Seite 2 Inhalt 7.1 Flächeninhalt, 7.2 Integral 7.3 Volumen 7.1