Kapitel 8 Aktive RC-Filter - home.zhaw.chkunr/ASV/scripts/ASV FS2008_RCfilter_2008.pdf · Nachfolgende Fig. 8-2 bis 8-4 zeigen je eine Schaltung für Tiefpass, Hochpass und Bandpass

ZHAW, ASV, FS2008 8-1

Kapitel 8 Aktive RC-Filter

Inhaltsverzeichnis

8.1 Einführung.................................................................................................................2 8.2 Filterfunktionen 1. und 2. Ordnung ............................................................................3

8.2.1 Filter erster Ordnung:..................................................................................3 8.2.2. MLF Filter zweiter Ordnung........................................................................4

8.2.3 Filterdimensionierung MLF ...................................................................................10 8.3 Filterschaltungen nach Sallen&Key .........................................................................12

8.3.1 Filterdimensionierung Sallen&Key............................................................15 8.4 Das Universal Aktiv Filter (UAF) ..............................................................................18

8.4.1 UAF- Eigenschaften..................................................................................19 8.4.2 Biquad Filter..............................................................................................20 8.4.3 Andere Biquad-Filterschaltungen ..............................................................21 8.4.4Tow-Thomas Feedforward Biquad .............................................................21

8.5 Literaturangaben .....................................................................................................23 Anhang A1: Berechnung der Übertragungsfunktion .....................................................24 Anhang A2: Praktische Design Tipps: ...........................................................................25 Anhang A3: Hohe Unterdrückung bei S&K Filter ..........................................................26 Anhang A4: Praktische Design Tipps: ...........................................................................27 Anhang A5: UAF / Biquad Filter Block 8. Ordnung ........................................................28


8.1 Einführung Die Signale im Basisbandbereich von nachrichtentechnischen Geräten, Messgeräten, Sensoren und Aktoren müssen oft in ihrer Bandbreite exakt konditioniert werden. Zum Beispiel ist die Begrenzung des Rauschsignalpegels im Hinblick auf ein möglichst gutes Signal/Geräuschverhältnis wichtig, da dieses Verhältnis direkt die Bitfehlerrate einer Übertragung bestimmt. Auch Messsignale müssen oft von Nebensignalen „gereinigt“ werden, welche sonst den Messwert verfälschen würden. Störsignale können sogar so gross sein, dass sie in Verstärkern Verzerrungen herbeiführen und die eigentliche Verstärkung des Nutzsignals erst gar nicht erlauben.

Fig. 8-0: Blockschaltbild eines drahtlosen Telemetrie-Sensors (WLAN basiert) Beim Beispiel in Fig. 8-0 werden im obersten Messzweig Messsignale aus dem Rauschen herausgepflückt, bevor sie weiter verstärkt und digitalisiert werden können. Da auch für den A/D-Wandler das Abtasttheorem eingehalten werden muss, ist aller meistens ein gutes präzises Filter vor dem Wandler unabdingbar. Die meist gebräuchliche und sehr präzise Filtertechnik ist die aktive RC-Technik . Sie gibt dem Designer viel Freiheit und ist sehr Platz sparend. In SC-Technik kann sie auch integriert werden. RC-Filter nutzen die beliebten Op-Amp als aktive Elemente und die passiven Bauelemente R und C sind in genügend guter Toleranz und Werte-Abstufung erhältlich, ganz im Unterschied zu Induktivitäten. Der Einsatzbereich reicht von einigen Hz bis einige 10 MHz und Bandbreiten von 1% - 100% der Mittenfrequenz, was Güten von bis einige 100 entspricht.


8.2 Filterfunktionen 1. und 2. Ordnung Im letzten Kapitel wurden die Übertragungsfunktionen für verschiedene Filter hergeleitet und auf eine Serieschaltung von Blöcken erster und zweiter Ordnung zurückgeführt (Fig.8.1). Mit Hilfe der Tabellen für den Tiefpass können alle Koeffizienten der Übertragungsfunktion für die jeweilige Spezifikation berechnet werden. In diesem Kapitel werden nun die schaltungstechnische Realisation und die Dimensionierung der Schaltungen behandelt. Dabei wird jede Stufe entsprechend den Vorgabewerten ζi , ω0i (TP, HP), ζi’ , ω0i’ , ζi’’ , ω0i’’ (BP, BS) dimensioniert, welche aus den entnormierten und allenfalls transformierten Filtertabellenwerten stammen.

Fig. 8-1: Kettenschaltung von n/2 Filterstufen zweiter Ordnung zum Gesamtfilter Für ungerade Filterordnungen n wird zu der Kette noch eine Stufe 1. Ordnung benötigt.

8.2.1 Filter erster Ordnung:

Es werden nachfolgend lediglich aktive RC-Filter behandelt. In Figur 8-1a und 8-1b findet man je zwei Schaltungen für den Tiefpass und den Hochpass. Sie unterscheiden sich durch das Vorzeichen der Verstärkung. Der Pol liegt bei s = - ω0 in der s-Ebene. Die Übertragungsfunktion fällt mit 20 dB/Dekade oberhalb, bzw. unterhalb der Grenzfrequenz ω0. K0 entspricht jeweils der Stufenverstärkung im Durchlassbereich.

11

3

23

0

0

CsR1

R

RR

s1

K)s(T

+

+

=

ω+

=

12

1

2

0

0

CsR1

R

R

s1

K)s(T

+

−

=

ω+

−=

Fig. 8-1a: Schaltungsbeispiele für den Tiefpass 1. Ordnung


Die Kapazität C kann frei gewählt werden, vorzugsweise aber so, dass Widerstände erhalten werden, welche für den Op-Amp einen optimalen Betrieb gewährleisten (1 kΩ ...1 MΩ). Bei der Bemessung der Verstärkung als Teil einer gesamten Filterverstärkung ist darauf zu achten, dass der Op-Amp im linearen Arbeitsbereich bleibt.

11

11

3

23

0

0

0

CsR1

CsRR

RR

s1

sK

)s(T+

+

=

ω+

ω=

11

11

1

2

0

0

0

CsR1

CsRR

R

s1

sK

)s(T+

−

=

ω+

ω−

=

Fig. 8-1b: Schaltungsbeispiele für den Hochpass 1. Ordnung

8.2.2. MLF Filter zweiter Ordnung

Eine ganze Klasse von Filternschaltungen 2. Ordnung basiert auf passiven LCR Schaltungen. Diese Filter haben vor allem im Hochfrequenzbereich sehr grosse Bedeutung (siehe Kap.7). In der Elektronik sind aber Induktivitäten wegen ihrer Grösse, Kosten und Nichtidealitäten nur noch in wenigen Fällen zu finden, zum Beispiel wenn keine Stromversorgung vorhanden ist, wenn die Kapazitätswerte sehr gross würden und im Bereich EMV Schutz, wo sehr hohe Störspannungen die aktiven Bauteile zerstören würden. Wir beschränken uns auch hier auf aktive RC-Filter Schaltungen. Als erste Implementations-Form wird die Familie der so genannten Multiple-Loop Feedback (MLF) Filter betrachtet. Ihre Hauptvorteile: Stets stabil, Common-Mode freie Beschaltung und wenig sensitiv auf Bauteiltoleranzen. Ihre Hauptnachteile: grosse Spreizung der Bauteilwerte limitiert erreichbare Güten Nachfolgende Fig. 8-2 bis 8-4 zeigen je eine Schaltung für Tiefpass, Hochpass und Bandpass 2. Ordnung. Der Übersichtlichkeit zu Liebe wird in den Formeln auf die Indizes i und Striche der jeweiligen Stufenfolge verzichtet. Je nach Filterstandardwerk wird in der Normalform der Übertragungsfunktion 2. Grades mit dem Dämpfungsmass ζ gearbeitet oder mit der Polgüte (kurz Güte) Q.

Es gilt dann die Umrechnung: ζ

=2

1Q


Die Polgüte Q entspricht der vom Parallelschwingkreis her bekannten Güte Q. Kleine Q Werte – wenig selektiv, grosse Q-Werte - schmalbandige Wirkung. Q ∞ bedeutet Oszillation. MLF-Tiefpass

2

0

2

0

0

ss21

K)s(T

ω+

ω

ζ+

−=

221

2

0

3021

210

210

2

2

2

2

2RCC

1RK/RR

CC

CC)1K(CCR

ω==

ω

+−ζ±ζ=

Bedingung für reellen Wert von R2: 2

0

1

2 K1

C

C

ζ

+>

Fig. 8-2 Tiefpass 2. Ordnung Beim Tiefpass lassen sich die Werte von C1 und C2 frei wählen, solange R2 noch reell bleibt. Da für R2 zwei Lösungen möglich sind, wird diejenige mit dem besser an den ausgewählten Op-Amp angepassten Widerstandswert gewählt (1kΩ…1MΩ). Für die Reihenfolge und die Aussteuerung der einzelnen Stufen ist auf die in jeder Stufe innewohnende Polgüte Q = 1/2ζ zu achten. Die Übertragungsfunktion erbringt bei diesen Frequenzen u.U. markant grössere Signalpegel als das Gesamtfilter schlussendlich aufweist.

Fig. 8-2b: Chebishev 10. Ordnung: Teilfrequenzgänge 2. Ordnung mit Polgüten Q Fig. 8-2b zeigt ein extremes Beispiel mit einem Chebishev Tiefpass 10. Ordnung mit 3 dB


Welligkeit im Durchlassbereich. Die 5. Stufe hat eine Spannungsüberhöhung im Bereich der Grenzfrequenz von gut 30 dB. Es gilt gut zu überlegen, an welcher Stelle diese Stufe in der Schaltung auftreten soll, um keine Verzerrungen zu erzeugen. I.A. ist eine spätere Position in der Kette gut, da dann Signale im betreffenden Bereich schon vorgefiltert sind. Man kann auch die Verstärkungen der einzelnen Stufen ungleichmässig verteilen um allfällige Problem zu mildern. MLF-Hochpass

2

0

2

0

2

0

2

0s

s21

s

K)s(T

ω+

ω

ζ+

ω−=

322

2

0

1

3210

2210CCR

1R

)CCC(

2RC/CK

ω=

++ω

ζ==

Fig. 8-3: Hochpass 2. Ordnung Die Schaltung für den Hochpass hat dieselbe Struktur wie die des Tiefpasses, es sind aber alle Widerstände durch Kapazitäten ersetzt worden und umgekehrt (Dualität). Die Kapazitätswerte können beliebig vorgewählt werden. Etwas unschön ist, dass die Verstärkung K0 durch das Verhältnis zweier Kapazitäten bestimmt ist. Diese Elemente sind bekanntlich mit grösserer Toleranz behaftet als Widerstände. Für eine Integration ist allerdings das Verhältnis zweier Kapazitäten sehr genau einhaltbar. MLF-Bandpass Das aktive Bandpassfilter in Fig. 8-4 ist aus der Vielfalt von Möglichkeiten ausgesucht worden, weil es den Vorteil hat, dass die beiden Kapazitäten gleich gross vorgewählt werden können. Dies ist für den diskreten Aufbau von Vorteil, da Widerstände in feinerer Abstufung zur Verfügung stehen als Kondensatoren und meist nur wenige C-Werte mit geringer Toleranz verfügbar sind. Die Verstärkung K0 ist definiert als die Verstärkung bei der Resonanzfrequenz ω0 des 2- poligen Gliedes, also der Bandmitte der jeweiligen Stufe 2. Ordnung. Man muss nun aber für eine Kettenschaltung beim Bandpass oft eine vorgegebene Verstärkung in der Bandmitte des Gesamtfilters einhalten. Diese Verstärkung kann prinzipiell beliebig auf die einzelnen Glieder verteilt werden.


2

0

2

0

00

ss21

2s

K)s(T

ω+

ω

ζ+

ω

ζ

−=

)K21(CR

C

1R

CK2

1R

2

00

3

0

2

00

1ζ−ω

ζ=

ζω=

ζω= Vorgabe: C

Fig. 8-4: Bandpass 2. Ordnung, in Klammer die Abstimmempfehlung Dabei darf das Ausgangssignal jeder Stufe bei keiner Frequenz durch die Sättigung des Op-Amp verzerrt werden. Damit ein möglichst hohes Signal/Geräuschverhältnis resultiert (z.B. 96 dB vor einem 16 Bit A/D Wandler), ist es andrerseits erwünscht alle Glieder möglichst gut auszusteuern. In der Praxis wählt man daher für den ersten Verstärker in der Filterkette einen rauscharmen Op-Amp und verstärkt das Eingangssignal so weit als möglich. Die restlichen Stufen haben dann nur noch eine geringe Verstärkung. Das ist noch nicht die ganze Wahrheit. Aus dem Vergleich der mathematischen Übertragungsfunktion T(s) des Bandpasses (Kapitel 7) mit jener der Teilübertragung aus Fig. 8-4 ergibt sich aber eine Verstärkungskorrektur, da ω0i’

(‘’) der Teilstufen nicht gleich ω0 des Gesamtfilters ist. Aus einem Koeffizientenvergleich ergibt sich folgende Formel für die ein und zwei-gestrichenen Teilfilter:

'2

'v'K

i

0i

20

0i

i0ζ⋅

ω

ω=

''2

''v''K

i

0i

20

0i

i0ζ⋅

ω

ω=

''2

1''Q

'2

1'Q

i

i

i

iζ

=ζ

=

Erinnerung aus Kapitel 7: v0i ist die i-te Grenzfrequenz der äquivalenten Tiefpassstufe, ω0 die Mittenfrequenz des Gesamtfilters und ω0i’ ω0i’’ ζi’ ζi’’ die Mittenfrequenzen und Dämpfungsmasse der Teilstufen aus der Bandpasstransformation. Die Gesamtverstärkung wird nach Einhaltung dieser Skalierung genau 1. Um die in der Praxis spezifizierte Verstärkung Ktot zu erhalten muss folgende Verstärkung Kreal realisiert werden:

∏=N

i0i0totreal ''K'KKK

Die Reihenfolge der Glieder 2 bis 2n und die tatsächliche Verteilung der Verstärkung Kreal soll so gewählt werden, dass eine Übersteuerung verhindert werden kann. Dies hängt auch von der konkreten Signalkonstellation ab, welche es zu filtern gilt. Die Bandpass-Transformation liefert für die meisten Stufen kleine Werte für das Dämpfungsmass ζ, also fordert hohe Polgüten Q, um die geforderte Schmalbandigkeit zu erhalten. Fig. 8-5 zeigt illustrativ die Wirkung eines hohen Wertes von Q an der Teilstufe 2. Ordnung.


Fig. 8-5 Normierter Frequenzgang Bandpassstufe 2. Ordnung mit Güte 1 und 10 In der Praxis ist der Abgleich der einzelnen Bandpassstufen nicht ganz einfach. Am Besten wird anstelle von Q auf die Bandbreite der Teilstufe abgezielt. Man gleicht zuerst ω0 ab und sucht danach die beiden Frequenzen mit +45o und -45o Phasendrehung zu ω0. Die Differenz entspricht der 3 dB Bandbreite und es gilt ja für deren Berechnung:

ζ⋅⋅ω=ω= 2Q/B 00

Dass die Verstärkungen der Einzelstufen nicht direkt mit derjenigen des gesamten Bandpasses einhergehen, sondern durch das Dämpfungsmass mitbestimmt sind zeigt ein Beispiel eines Bandpasses mit 2n=4 und Q = ω0/B =1 in Fig. 8-6, zusammengesetzt aus den Teilfiltern A1 und A2. Ebenfalls eingetragen ist die Filterkurve eines Bandpass 4. Ordnung mit Q = 10.

Fig. 8-6 Vergleich Bandpass 4. Ordnung mit Q=1 und BP 4. Ordnung mit Q=10 Abschliessend soll eine Schaltung für eine Bandsperre betrachtet werden. Bandsperren brauchen ein Nullstellenpaar auf der jω-Achse, deren Erzeugung nicht so einfach ist.


Eine brauchbare aktive Schaltung basierend auf dem bekannten Doppel-T-Glied ist in Fig. 8-7 gezeichnet. Sie eignet sich nur für Bandsperren 2. Ordnung (Pollage = Nullstellenlage), kann also nicht in Kette mehrstufig eingesetzt werden. Die Schaltung ist nicht-invertierend und die Verstärkung leider nicht frei wählbar. Im Gegenteil, es muss die Verstärkung abgeglichen werden um gute Sperrwirkung zu erreichen und K0 darf auf keinen Fall den Wert 2 übersteigen, sonst wird die Schaltung instabil und zum Oszillator (Wien-Robinson-Oszillator). Für schmalbandige Filter geht ζ --> 0, so dass die Verstärkung sehr nahe an den Wert 2 kommen kann und die Bauteiltoleranzen mit zu berücksichtigen sind. Bandsperren höherer Ordnung basieren auf asymmetrischen überbrückten T-Gliedern. Die Berechnung ist sehr aufwendig und in Anbetracht der Genauigkeitsanforderungen an die Bauelemente zur Erhaltung der Stabilität nur mit Computer und Filterprogrammen berechenbar (z.B. Filter Wiz Pro, http://www.schematica.com/filter_wiz_files/FWPRO.htm ). Im Abschnitt Universal Aktiv Filter werden noch andere, bedingungslos stabile und einfach abzugleichende Implementationen vorgestellt.

2

0

2

0

2

0

2

0s

s21

s1

K)s(T

ω+

ω

ζ+

ω+

=

1

21

0

0

0R

RRK

1RC2K

+=

ω=ζ−=

Fig. 8-7: Bandsperre 2. Ordnung Fig. 8-8 stellt das Resultat dieser Stufe 2. Ordnung für verschiedene Polgüten dar, am Beispiel eines 50 Hz Netzbrumm - Unterdrückungsfilters

Fig. 8-8: Bandsperre 2. Ordnung (Notch Filter)


Dies sind längst nicht alle bekannten aktiven Filterschaltungen 2.Ordnung. Man kann aber für andere Schaltungen aus der Literatur immer selber die Übertragungsfunktion berechnen, auf die Normalform bringen und die Dimensionierungsformeln herleiten (siehe Anhang A1) . Filter 3. Ordnung mit nur einem Op-Amp findet man eher selten, noch höhere Ordnungen sind nicht mehr zweckmässig und schwierig abgleichbar.

8.2.3 Filterdimensionierung MLF Tiefpass Die Dimensionierungsformeln von Fig. 8-2 können auf 2 Arten sinnvoll umgesetzt werden: 1) Gleiche Widerstände: R1 = R2 = R3 = R und freie Wahl von C1 Nachteil: Ko ist dabei nicht wählbar: Ko = 1 C2 ist kein Standardwert 2) Standardkapazitäten: C1 frei wählen und C2 > C1(Ko+1)/ζ2 wählen Vorteil: Ko wählbar, Präzise C-Werte einsetzbar Generelle Eigenschaften des MLF TP: Benötigt nur einen Op-Amp pro Ordnung 2. Das Filter ist stets stabil. Komponentenspreizung (Wertebereich C und/oder R) ist gross und proportional Q2 Op-Amp Transitfrequenz fT muss proportional zu ωo * Ko * Q

2 gewählt werden. Der Abgleich von ωo und ζ ist i.A. nicht unabhängig voneinander möglich. Diese Tatsachen machen den praktischen Einsatz bis zu Güten Q < 10 sinnvoll. Hochpass Die Dimensionierungsformeln von Fig. 8-3 können auf 2 Arten sinnvoll umgesetzt werden: 1) Drei gleiche Kapazitäten: C1 = C2 = C3 = C und C frei wählen Vorteil: nur einen Standardwert für C Nachteil: Ko ist nicht frei wählbar, Ko = 1 2) Zwei gleiche Kapazitäten: C1 = C3 = C und C frei wählen Vorteil: Ko frei wählbar Nachteil: C2 nicht Standardwert Generelle Eigenschaften des MLF HP: Benötigt nur einen Op-Amp pro Ordnung 2. Das Filter ist stets stabil. Komponentenspreizung (Wertebereich C und/oder R) ist gross und proportional Q2 Op-Amp Transitfrequenz fT muss proportional zu ωmax * Ko * Q

2 gewählt werden. Der Abgleich von ωo und ζ ist i.A. nicht unabhängig voneinander möglich. Diese Tatsachen machen den praktischen Einsatz bis zu Güten Q < 10 sinnvoll.


Bandpass Bandpassstufen weisen höhere Polgüten auf als Tief- und Hochpass. Die Dimensionierungsformeln von Fig. 8-4 können deshalb nur auf eine Art sinnvoll umgesetzt werden, da bei Bandpässen der Genauigkeit der Bauelemente eine grössere Rolle zukommt: 1. Standardkapazitäten: C Wert frei wählen Vorteil: Ko zumeist wählbar, Präzise C-Werte aus der Reihe einsetzbar Bedingung für physikalisch realisierbare Widerstände: 1K2 2

0 <ζ⋅

Die Bedingung setzt eine obere Grenze für K0. Da oft hohen Güten Q=1/2ζ realisiert werden müssen, empfiehlt es sich Bauelemente mit geringer Toleranz (z.B. C 2 %, R 1%) einzusetzen.

Die Übertragungsfunktion lautet: T s

sCR R

R R

sCR R

R Rs

C R R R

R R

( ) = −+

++

++

2 3

1 3

1 3

1 3

2

2

1 2 3

1 3

12

Die Werte z.B. R1 und R3 können weit auseinander liegen, so dass sie nicht mehr im günstigen Bereich für Op-Amps liegen. In diesem Fall kann die Wahl gelockert werden: C1 ≠ C2 frei wählen Lösung mit geringerer Spreizung suchen. Note: C2 = Kapazität am inv. Input Op-Amp von Fig. 8-4.

.

31

321212

31

3121

31

322

RR

RRRCCs

RR

RR)CC(s1

RR

RRCs

)s(T

++

+

++

+−=

Generelle Eigenschaften des MLF BP: Benötigt nur einen Op-Amp pro Ordnung 2. Common-Mode freie Op-Amp Beschaltung. Das Filter ist stets stabil, wenn der Op-Amp selbst stabil (kompensiert) ist. Komponentenspreizung (Wertebereich R) ist gross und proportional Q2 Op-Amp Transitfrequenz fT muss proportional zu ωo * Ko * Q

2 gewählt werden. Diese Tatsachen machen den praktischen Einsatz bis zu Güten Q < 10 sinnvoll. Der Abgleich von ωo, Ko und B ist bis zu einem gewissen Grad unabhängig voneinander möglich (Klammern in Fig. 8-4).


8.3 Filterschaltungen nach Sallen&Key MLF Filterschaltungen haben den Nachteil, dass sie in der Regel Op-Amp mit Transitfrequenzen proportional zu Q2 benötigen und die Werte der Bauelemente stark gespreizt sind. Man sollte die Op-Amp Bandbreite auf die Verstärkung bei der Überhöhung im Frequenzgang bemessen, welche mit ca. einem Faktor 100 oder Q*10 Reserve versehen wird. Die Begründung ist mit Fig. 8-9 nur teilweise nachvollziehbar. Zu berücksichtigen ist eben auch noch die Sensitivität der gewählten Schaltung auf Abweichungen der Bauelementewerte. Durch Einstellung der Verstärkung des aktiven Elementes auf einen endlichen Wert und Anbringen der Filterkomponenten im Mitkopplungszweig ergeben sich alternative Filterschaltungen, welche nach ihren Entdeckern Sallen&Key benannt sind.

Fig. 8-9 Op-Amp Auswahl: GBP bzw. fT Anforderung Die Schaltungen sind nicht mehr Common Mode frei. Infolge der Mitkopplung ist eine höhere Güte einstellbar (Differenzterm im Nenner von T(s)), dafür ist der Stabilität dieser Filter aber besondere Aufmerksamkeit zu schenken. Die Sensitivität auf Bauteiltoleranzen ist zum Teil grösser als beim MLF. Dies macht den erhofften Vorteil auf weniger Op-Amp Bandbreite wieder zu Nichte. Die Spreizung der errechneten Schaltungswerte beim Sallen&Key ist deutlich geringer als beim MLF und erlaubt höhere Güten einzustellen. Im Folgenden sind die Übertragungsfunktionen berechnet. Das Schaltschema und die gängigsten Dimensionierungshinweise sind in kurzen Abschnitten zusammengefasst. Für gewünschte andere Randbedingungen zum Design ist jeweils auf die Übertragungsfunktion zurückzugreifen und die Formeln für ω0, ζ und das Stabilitätskriterium daraus zu ermitteln. Sallen&Key Filter eignen sich unter gewissen Einschränkungen bei der Dimensionierung bis zu Güten von 50. Die gewünschte Verstärkung muss oftmals mit einem nachfolgenden Verstärker erzielt werden, vor allem bei den Bandpassstufen.


S&K- Tiefpass:

Fig.8-9 Schema Sallen&Key Tiefpass 2. Ordnung

Transferfunktion: T(s) =K

1 + s(R C + R C + R C - R C K ) + s R R C C

0

2 2 1 2 1 1 1 1 02

1 2 1 2

stabil für: KCR>CR+CR+CR 011112122

Gain: R

R+R=K

4

340

S&K- Hochpass:

Fig. 8-9: Schema Sallen&Key Hochpass 2. Ordnung

Transferfunktion: T(s) =K s R C R C

1 + s(R C + R C + R C - R C K ) + s R R C C

02

1 1 2 2

2 2 1 2 1 1 2 2 02

1 2 1 2

⋅

stabil für: KCR>CR+CR+CR 022112122

Gain: R

R+R=K

4

340


S&K- Bandpass:

Fig. 8-11. Schema Sallen&Key Bandpass 2. Ordnung

Transferfunktion:

R/R+1

CCRRs+

R/R+1

k)-(1R

RRC+CR+CR+CR

s+1

R+R

RRCsk

=T(s)

21

21512

21

2

152252111

12

252

stabil für: kR

RCR>

R

RRC+CR+CR+CR

2

125

2

152252111

mit innerer Verstärkung R

R+R=k

4

34

Gain Bandmitte: k)-(1

R

RRC+CR+CR+CR

RCk=K

2

152252111

52

0

Achtung beim Bandpass k nicht verwechseln mit Bandmittenverstärkung K0 der Stufe. Der Spezialfall k = 2 ist relativ einfach dimensionierbar. Für k = 2 und Ko = 2 ist die Schaltung wenig kritisch in Bezug auf Stabilität. Allgemein empfiehlt es sich bei hohen Güten mit 1% Toleranz für die Bauelemente zu arbeiten. Da bei Kondensatoren die Auswahl an 1% Bauteilen i.A. sehr klein ist, werden wo immer möglich die C- Werte gewählt und gleich gross gemacht.


8.3.1 Filterdimensionierung Sallen&Key

Tiefpass siehe dazu Fig. 8-9 S&K Tiefpass. Erinnerung: Q = 1/2ζ. Ein erster Satz von Dimensionierungsformeln lautet: Wahl R3, C2, und die Randbedingung R1 gleich gross wie R2 zu machen.

)1K(R=R o43 − C4Q

)K-(1Q8-1+1=R=R

2o

o

2

21

ω

CR

1=C

221

2o

1

ω

Aus Stabilitätsgründen muss stets gelten: 2

o 1C >

(K - 1) C

2

In der Praxis bevorzugt sind davon die Spezialfälle: 1) Komponentengleichheit R1 = R2 = R, C1 = C2 = C (Wahl C) obige Gleichungen lauten dann: ωo = 1/RC Ko = 3 - 1/Q (nicht mehr wählbar!) Vorteil: Komponentenspreizung = 1, fT des Op-Amp prop. ωo * Ko * Q

2 Nachteil: Ko nicht frei wählbar, bei hohen Güten kommt Ko nahe an die Stabilitätsgrenze von 3 zu liegen -> Begrenzt auf Güten < 10.

2) Ko = 1, R3 = 0, d.h. einfache Drahtrückführung Vorteil: Schaltung immer stabil Nachteil: Komponentenspreizung proportional Q2, fT des Op-Amp prop. ωo * Q

2 Begrenzt auf Güten < 20 3) Ko = 2, R4 = R3, d.h. zwei identische Widerstände Vorteil: Komponentenspreizung meist klein, fT des Op-Amp prop. ωo * 2 * Q2 Stabilität wenig kritisch, geeignet für Güten bis 20 Nachteil: etwas empfindlicher auf Bauteiltoleranzen , verschiedene C-Werte Alternativer Satz mit der Wahl R3, C1 = C2 = C Vorteil: nur ein C- Wert notwendig und daher für präzise Filter mit hohen Anforderungen sinnvoll. Der Satz von Dimensionierungsformeln lautet:

1)-K(R=R o43 CQ2

)K-2(Q4-1+1=R

o

o2

2

ω

22

2o

1CR

1=R

ω

Aus Stabilitätsgründen muss stets gelten: ( )2R > R K1 0 2− und K0 ≥ 2 *

* Man kann zeigen, dass für physikalisch realisierbare Widerstände und sinnvolle Filter (Q ≥ 0.5) speziell gelten muss: K0 ≥ 2


In der Praxis bevorzugt sind davon die Spezialfälle: 1) Wahl R3, C1 = C2 = C und Ko = 2 ( R4 = R3)

Vorteil: Stabilität wenig kritisch mit 0.1% für R4,R3, nur ein C-Wert erforderlich und damit unempfindlicher auf Bauteiltoleranzen der Kapazitäten

Nachteil: Komponentenspreizung prop. Q2, fT des Op-Amp prop. ωo * 2 * Q2, geeignet für Güten bis 50 mit Bestückungstest R4 ≥ R3 2) Komponentengleichheit R1 = R2 = R, C1 = C2 = C (wie bereits weiter oben) obige Gleichungen lauten dann: ωo = 1/RC Ko = 3 - 1/Q (nicht mehr wählbar!) Vorteil: Komponentenspreizung = 1, fT des Op-Amp prop. ωo * Ko * Q

2 Nachteil: Ko nicht frei wählbar, bei hohen Güten kommt Ko nahe an die Stabilitätsgrenze von 3 zu liegen -> Begrenzt auf Güten < 10. Hochpass siehe dazu Fig. 8-10 S&K Hochpass. Erinnerung: Q = 1/2ζ. Ein möglicher Satz von Dimensionierungsformeln lautet: Wahl R3, C1 = C2 = C

)1K(R=R o43 − C4Q

)K-(1Q8-1+1=R

o

o2

1

ω

21

2o

2CR

1=R

ω

Aus Stabilitätsgründen muss stets gelten: 1

o 2R >

(K - 1) R

2

In der Praxis bevorzugt sind die Spezialfälle 1) Komponentengleichheit R1 = R2 = R, C1 = C2 = C obige Gleichungen lauten dann: ωo = 1/RC Ko = 3 - 1/Q (nicht mehr wählbar!) Vorteil: Komponentenspreizung = 1, fT des Op-Amp prop. ωmax * Ko * Q

2 Nachteil: Ko nicht frei wählbar, bei hohen Güten kommt Ko nahe an die Stabilitätsgrenze von 3 zu liegen -> Begrenzt auf Güten < 10. 2) Ko = 1, R3 = 0, d.h. einfache Drahtrückführung Vorteil: Schaltung immer stabil Nachteil: Komponentenspreizung prop. Q2, fT des Op-Amp prop. ωmax * Q

2 Begrenzt auf Güten < 20 3) Ko = 2, R4 = R3, d.h. zwei identische Widerstände Vorteil: Komponentenspreizung meist klein, fT des Op-Amp prop. ωmax * 2 * Q2 Nachteil: etwas empfindlicher auf Bauteiltoleranzen Geeignet für Güten bis 50


Bandpass siehe dazu Fig. 8-11 S&K Bandpass. Erinnerung: Q = 1/2ζ. Grundsätzlich ist die inneren Verstärkung k des Op-Amp, bestimmt durch R3 und R4, frei wählbar. Aber es gibt auch beim Bandpass bevorzugte Sätze von Dimensionierungsvorgaben. Für den Satz k = 1 ist die Schaltung immer stabil, die Komponentenspreizung hingegen proportional Q2, also nur für Güten bis 20 geeignet. Ein vorteilhafter Satz von Dimensionierungsformeln ergibt sich für k = 2 und die Wahl R3 = R4, C1 = C2 = C, (1% Toleranzen für hohe Güten notwendig)

2

1

5

1

0

1

52

1

2

0

2

1

1

5

00

1

R

R

R

R21:Bedingung

K

2

RR

21

R

R

Q2

K

R

R1

R

R

CK

Q2R

>⋅

+−+=

⋅

+=

ω=

K0 ist die Bandmittenverstärkung, Q die Güte und ωo die Bandmittenfrequenz der Stufe. Vorteil: Komponentenspreizung meist klein, max. proportional Q fT des Op-Amp prop. ωo * Ko * Q

2 Geeignet für Güten bis 50 Nachteil: empfindlicher auf Bauteiltoleranzen als MLF, kann durch Bauteiltoleranzen instabil werden. In der Praxis bevorzugt ist oft der Spezialfall mit festem Ko: Ein nachfolgender Verstärker bringt dann die notwendige Zusatzverstärkung auf.

Ko = 2 1

o2

1 12

25 2R =

Q

C R =R + R 1 + 8Q

4 QR = 2 R

ω

Vorteil: Berechnung simpel, Stabilität meist wenig kritisch. Geeignet bis Güten von 50 fT des Op-Amp prop. ωo * 2 * Q2 Nachteil: Gesamtverstärkung nicht frei wählbar Komponentenspreizung meist prop. Q Manche Quellen geben für das benötigte fT des Op-Amp auch 10 * K0 * fo * Q

2 oder 100 * K0 * f0 * Q an (z.B. das kostenlose Design Tool FilterPro von TI http://focus.ti.com/docs/toolsw/folders/print/filterpro.html ). Eine klare Aussage hängt von den tolerierbaren Abweichungen im Frequenzgang ab. Hier helfen letztlich nur genaue Spezifikation und Simulation mit realen OP-Amp Modellen.


Zudem empfiehlt sich eine Monte Carlo Simulation mit den Toleranzen der passiven Bauteile. 1% Klasse für R und 2% für C sind sicher aller meistens gut genug. Auf der Suche nach bedingungslos stabilen Filterschaltungen für hohe Güten, realisierbar mit Op-Amp Anforderungen welche nur proportional zu Q sind, wird eine weitere Realisationsart für Übertragungsfunktionen 2.Ordnung betrachtet.

8.4 Das Universal Aktiv Filter (UAF) Dem aufmerksamen Leser ist sicher im vorangegangen Kapitel 7 aufgegangen, dass sich die Übertragungsfunktionen des 2-poligen Tiefpasses, des 2-poligen Hochpasses und des 2- poligen Bandpasses nur durch einen multiplikativen Term s im Zähler unterscheiden. Nun weiss man aus der Theorie der Laplace Transformation, dass eine Multiplikation im Bildbereich mit s einer Differentiation im Zeitbereich entspricht. Wird also die Stossantwort des Tiefpasses differenziert, so erhalten wir die Stossantwort des Bandpasses und daraus durch weitere Differentiation diejenige des Hochpasses. Umgekehrt kann auch durch Integration der Stossantworten vom Hochpass über den Bandpass zum Tiefpass gefunden werden. Auf Basis dieser Tatsache lässt sich eine neue Schaltung entwerfen. Die Schaltung heisst im deutschen Sprachgebrauch Universal Aktiv Filter und mit englischem Fachausdruck State Variable Filter oder Two-Integrator-Loop. Man geht bei der Herleitung vom Hochpass 2. Ordnung aus (nicht in der Normalform):

ξ

ωω

⋅

⋅

2

1=Q

......

+Q

s+s

sK=(s)T

20

02

20

hp

K0 ist die Verstärkung bei hohen Frequenzen und der Gütefaktor Q = 1 / 2ξ. Diese Gleichung lässt sich nun umformen:

hp2

20

hp

0i0hp

i

hp

hp Vs

VsQ

1VKV

V

V=(s)T

.

⋅ω

−⋅ω

⋅−⋅=

Die Faktoren -(ω0/s) entsprechen je einem invertierenden Integrator. Durch gewichtetes Summieren der Integratorausgänge und der Eingangsspannung erhalten wir also den Hochpassausgang. Nach dem ersten Integrator ist aber offenbar auch ein Bandpassausgang verfügbar und nach dem zweiten Integrator ein Tiefpassausgang. Diese Herleitung ist als Signalflussgraph in Fig. 8-12 nochmals klar dokumentiert.

Wir erhalten für den Bandpass:

ωω

⋅

⋅ω⋅

20

02

00bp

+Q

s+s

sK-=(s)T

Man beachte, dass die Verstärkung in Bandmitte –K0*Q ist.

Analog erhält man für den Tiefpass:

ωω

⋅

ω⋅

20

02

200

lp

+Q

s+s

K=(s)T

Die Verstärkung bei DC beträgt K0.


Fig. 8-12: Herleitung des Two-Integrator-Loops bzw. des Universal Aktiv Filter Da diese Schaltung alle 3 Filterfunktionen gleichzeitig erfüllt heisst sie Universal Aktiv Filter. Für die Integratoren benutzt man die bekannte aktive invertierende Integratorschaltung mit RC = 1/ω0. Und für den gewichteten Summierer wählt man ebenfalls die bekannte invertierende Op-Amp Schaltung aus, an deren Eingänge wir die Ausgangssignale der Integratoren über Widerstände zurückführen. Die entstandene Schaltung ist in Fig. 8-13 gezeichnet und lässt sich mit Hilfe des Superpositionsprinzips und Koeffizientenvergleich rasch dimensionieren.

8.4.1 UAF- Eigenschaften

Die Verstärkung ist fest vorgegeben. Für gegebenes ω0 und Q ist also die Filterstufe bis auf K0 dimensionierbar:

Es lässt sich einfach zeigen, dass alle Universalfilter bedingungslos stabil sind (Q ist immer > 0.5), sowie dass ωo und Q unabhängig voneinander exakt einstellbar sind. Die Bauteilspreizung ist proportional zur Güte Q und die notwendige Transitfrequenz der Op-Amp ist erfreulicherweise auch nur proportional zu Q, ωo und K0. Dies sind insgesamt

RC = 1 / ω0 Rf / R1 = 1 R3 / R2 = 2⋅Q – 1 K0 = 2 - 1/Q


die Vorteile im Vergleich zu MLF und S&K Filterschaltungen, welche den Einsatz von 3 Op-Amp in Präzisionsanwendungen rechtfertigen.

Fig. 8-13: Das direkt implementierte Universal Aktiv Filter

8.4.2 Biquad Filter

Wie lässt sich nun aus dem Universalfilter eine Bandsperre bauen? Dazu untersucht man den Zähler der Übertragungsfunktion der Bandsperre und stellt fest, dass lediglich über eine weitere Summierstufe der Tiefpass und der Hochpassausgang addiert werden müssen. Durch die Wahl der Widerstände RH und RL können auch asymmetrische Notch Filter gebaut werden, wie sie für Bandsperren höherer Ordnung notwendig sind (Lit. Sedra). Da sich also dergestalt sowohl im Zähler wie Nenner eine Übertragungsfunktion 2. Ordnung bilden lässt, heisst die Schaltung auch Biquad. (siehe Fig. 8-14) Da das UAF wie das Biquad bedingungslos stabil ist, lassen sich ebenso hohe Güten implementieren. Durch Summieren des Hochpass-, Tiefpass und Bandpassausgangs (Fig.8-14) erhält man einen so genannten Allpass, ein Filter, dessen Amplitudengang konstant bleibt über die Frequenz und das lediglich einen frequenzabhängigen Phasengang aufweist.

Q

1

R

R

Qss

sR

Rs

K)s(TB

F

2

0

02

2

00

B

F2

=

ω+ω

+

ω+ω⋅−

−=

Fig. 8-14 Summenverstärker für Bandsperr- und Allpass-Funktionen


8.4.3 Andere Biquad-Filterschaltungen

Die Literatur bietet viele Varianten des Universalfilters an. Eine interessante Version, welche dem grossen Wunsch nach Common-Mode Freiheit entspricht (alle positiven Op-Amp Eingänge liegen auf Masse) ist die Tow-Thomas Implementation. Die Common Mode freie Beschaltung hat Vorteile bei der Einfachspeisung und bei der Verhinderung von kapazitiver Störsignalkopplung im Layout. In der Blockschaltung von Fig. 8-12 können wir den Summierer mit positiven und negativen Koeffizienten durch einen zusätzlichen Inverter ergänzen. Es ergibt sich das Blockbild von Fig. 8-15 a). Alle Koeffizienten am Summierer haben nun dasselbe positive Vorzeichen. Dadurch können wir den ersten Op-Amp von Fig. 8-13 sparen und die Summation an der virtuellen Masse des ersten Integrators durchführen. Die resultierende Schaltung ist in Fig. 8-15 b) aufgezeichnet. Es fällt auf, dass bei dieser Umwandlung die Hochpassfunktion verloren ging, dies der Preis für die single-ended Op-Amp Struktur.

Fig. 8-15: (a) Blockbild des Tow-Thomas Biquad. (b) die zugehörige Schaltung

8.4.4 Tow-Thomas Feed-Forward Biquad

Noch weiter raffiniert ist folgende Weiterentwicklung. Für den Hochpass und somit auch den Allpass und die Bandsperre kann anstelle eines vierten OpAmp ein einfaches Hinzuaddieren des Eingangssignals an den 3 Op-Amp- Eingängen verwendet werden. Dies bezeichnet man mit Feed-Forward (im Gegensatz zu feed-back). Für die Hochpassfunktion benötigen wir ein Element C1 zum ersten Op-Amp, für die Bandsperre einen Widerstand R2 an den zweiten Op-Amp und für den Allpass noch einen Widerstand R3 am Eingang des dritten Op-Amp. Diese einfache feed-forward Zuführung ist nur dank dem Umstand möglich, dass alle Op-


Amp- Eingänge virtuell auf Masse liegen. Die so modifizierte Schaltung ist in Fig. 8-16 neu gezeichnet. Berechnet man die Übertragungsfunktion der Schaltung vom Eingang zum ersten Op-Amp- Ausgang erneut, so ergibt sich wiederum nicht in Normalform ausgedrückt:

RC

1+

RCQ

1s+s

RRC

1+)

RR

r-

R

1(

C

1s+)

C

C(s

=V

V)s(T

22

2

22

31

12

i

0

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

Dieses Verhältnis zweier Polynome quadratischer Ordnung (daher der Name Biquad) lässt sich in jede Filterfunktion 2. Ordnung formen, indem man einen Koeffizientenvergleich mit der gewünschten Form durchführt. Dies wurde natürlich von Tow und Thomas längst gemacht und untenstehende Tabelle gibt die daraus resultierenden Dimensionierungsvorschriften.

Fig. 8-16: Der Tow Thomas biquad mit Feed-Forward Zweigen.

Tabelle : Dimensionierung der Schaltung von Fig. 8-16 Aus der Tabelle ist ersichtlich, dass C und r frei wählen sind. Je nach Filterfunktion entfallen gewisse Elemente (Ri = unendlich, Ci = 0). Beim Bandpass kann die Verstärkung positiv oder negativ sein. Die Bandsperre (engl. Notch) beispielsweise braucht die Kapazität C1, hingegen kein R1, R3.


8.5 Literaturangaben Active Low-Pass Filter Design, Application Report, Texas Instruments SLOA049A, October 2000. Verwendet Tabelle, welche auf den Ripple Cutoff ωp anstatt 3 dB Punkt bei ω0 des Gesamtfilters normiert ist (vgl. Skript Kap. 7) http://focus.ti.com/lit/an/sloa049b/sloa049b.pdf Circuit Board Layout Techniques, Application Report, Texas iNstruments, SLOA089, http://focus.ti.com/lit/ml/sloa089/sloa089.pdf Op Amp Application Handbook, Analog Devices, ISBN 10: 0-7506-7844-5, Elsevier - Newnes 2004 Download: http://www.analog.com/library/analogDialogue/archives/39-05/op_amp_applications_handbook.html Op Amps for Everyone, Ron Mancini, Texas Instruments, ISBN 10: 0-7506-7701-5, Elsevier - Newnes 2003 Microelectronic Circuits , Adel Sedra, Kenneth Smith, ISBN 10: 0-1951-1663-1, Oxford University Press, USA; 4 edition 1997 Halbleiter Schaltungstechnik (mit Nachrichtentechnik), U. Tietze, Ch. Schenk, ISBN 10: 3540428496, Springer Verlag 2002 Aktive Filter in RC-Technik und SC-Technik, Lutz von Wangenheim, ISBN-10: 3778518941 Hüthig 1991 Active Filters: Theory and Design, S. Pactitis, ISBN-10: 1420054767, CRC Press 2007 Active Filter Cookbook, Don Lancaster, ISBN 10: 0-7506-2986-X, Elsevier Newness, 1996/2007


Anhang A1: Berechnung der Übertragungsfunktion

7. Identifizieren der Filtertype am Zähler: Tiefpass 8. Ermitteln der Dimensionierungsgleichungen durch Vergleich mit der Normalform:

2

0

2

0

0

2

0

2

0

0

ss

Q

11

K

ss21

K)s(T

ω+

ω+

−=

ω+

ω

ζ+

−=

4. ζ und ω0 Werte kommen aus der Filtersynthese (entnormierte Tabellenwerte, Kap.7)

Rechenvorgang: 1. Beginne an einem Ende 2.Bezeichne Ströme und Spannungen mit den Bauelementen als Indizes 3.Zeichne Bezugsrichtungen im Schema ein 4.Setze fortwährend bereits berechnete Terme ein 5.Op-Amp Goldene Regeln: V+ -V - = 0 I + = I - = 0 6. Bilde am Ende T = v0/vi

Schnell-Check: Übertragungswert für f = 0 mit C = offen und f= ∝ mit C = kurz bestimmen


Anhang A2: Praktische Design Tipps: Single Supply Betrieb. Analyse: Überlagerungssatz verwenden für DC und AC !

a) Mehrstufiges MLF Tiefpassfilter. Wahl 1/CIN*RB unterhalb tiefster Nutzfrequenz

b) Mehrstufiges S&K Tiefpassfilter.

c) Beispiel Hochpass MLF und S&K


Anhang A3: Hohe Unterdrückung bei S&K Filter Auch die Ausgangsimpedanz eines OpAmp weicht vom Idealwert 0 mit zunehmender Frequenz ab. Vor allem beim Sallen&Key führt dies zu einem Wiederanstieg der Übertragungsfunktion ab einer gewissen Frequenz.

Reale Frequenzgänge von aktiven Filtern, Op-Amp TLV2772 mit GBP 5 MHz Abhilfe: Passives RC Glied am Ausgang gegen den 20 dB/Dek. Anstieg:

Modellierung: Idealer Op-Amp mit Seriewiderwiderstand Z0 zwischen idealem und realem Op-Amp Ausgang


Anhang A4: Praktische Design Tipps: Filter Layout mit Bedacht

Überlegte Platzierung der verschiedenen Bereiche: Analog – Digital, schnell – langsam

Wahl der richtigen C-Technologie, je nach Frequenzbereich


Anhang A5: UAF / Biquad Filter Block 8. Ordnung

Ausschnitt Käufliche Biquad Schaltung mit 4 Biquad-Böcken in einem Chip Nur externe Widerstände benötigt. http://www.linear.com

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Kapitel 8 Aktive RC-Filter - home.zhaw.chkunr/ASV/scripts/ASV FS2008_RCfilter_2008.pdf · Nachfolgende Fig. 8-2 bis 8-4 zeigen je eine Schaltung für Tiefpass, Hochpass und Bandpass