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Kapitel 8: Vektoren und Matrizen
Stefan Ruzika
Mathematisches InstitutUniversitat Koblenz-Landau
Campus Koblenz
Stefan Ruzika (KO) Kapitel 8: Vektoren und Matrizen 1 / 25
Gliederung
1 Grundbegriffe
2 Abbildungen und elementare Funktionen
3 Folgen und Reihen
4 Grenzwerte bei Funktionen, Stetigkeit
5 Differentialrechnung
6 Integralrechnung
7 Wirtschaftstheoretische Anwendungen der Analysis
8 Vektoren und MatrizenVektorenMatrizenAnwendung: Optimierungsprobleme auf Graphen/Netzwerke
Stefan Ruzika (KO) Kapitel 8: Vektoren und Matrizen 2 / 25
Vektoren und Matrizen Vektoren
Vektoren
Definition 8.1Ein Element a ∈ Rn nennen wir einen Vektor der Lange n.
Wir schreiben a =
a1a2...an
∈ Rn (Spaltenvektor), wobei ai ∈ R (Skalar), i = 1, . . . , n.
Konvention: Vektoren sind bei uns Spaltenvektoren.Aus jedem Spaltenvektor kann durch TranspositionT ein Zeilenvektor erzeugtwerden, d. h.
zum Spaltenvektor a =
a1...an
ist aT = (a1, . . . , an) der zugehorige Zeilenvektor.
Stefan Ruzika (KO) Kapitel 8: Vektoren und Matrizen 3 / 25
Vektoren und Matrizen Vektoren
Ordnungsrelation
Definition 8.2Seien a, b ∈ Rn Vektoren. Es ist a = b, genau dann wenn ai = bi , i = 1 . . . n.Analog dazu sind auch die Ordnungsrelationen <,>,≤,≥, definiert.
Beispiel 8.3
Tafel
Stefan Ruzika (KO) Kapitel 8: Vektoren und Matrizen 4 / 25
Vektoren und Matrizen Vektoren
Addition und Skalare Multiplikation
Definition 8.4Seien a, b ∈ Rn, λ ∈ R.
a) Addition von Vektoren:
a + b :=
a1 + b1a2 + b2
...an + bn
∈ Rn
b) Skalare Multiplikation:
λ · a = λ ·
a1a2...an
=
λa1λa2
...λan
∈ Rn
Stefan Ruzika (KO) Kapitel 8: Vektoren und Matrizen 5 / 25
Vektoren und Matrizen Vektoren
Addition und Skalare Multiplikation
Beispiel 8.5
Tafel
Stefan Ruzika (KO) Kapitel 8: Vektoren und Matrizen 6 / 25
Vektoren und Matrizen Vektoren
Geometrische Darstellunga =
(21
)∈ R2, b =
(11
)∈ R2, c :=
(21
)+
(11
)∈ R2
−1 1 2 3
−1
1
2
3
a
bc
R2
0 R
R
Die geometrische Darstellung ist bis R3 (einfach) moglich.Stefan Ruzika (KO) Kapitel 8: Vektoren und Matrizen 7 / 25
Vektoren und Matrizen Vektoren
Lineare Unabhangigkeit
Definition 8.6Seien a1, . . . , am ∈ Rn, λ1, . . . , λm ∈ R. Dann heißt
b := λ1a1 + · · ·+ λmam =m∑i=1
λi · ai ∈ Rn
Linearkombination von a1, . . . , am.
Beispiel 8.7
Tafel
Definition 8.8Seien a1, . . . , am ∈ Rn. Die Vektoren a1, . . . , am heißen linear unabhangig, wenn
ausm∑i=1
λi · ai = 0 folgt, dass λ1 = λ2 = · · · = λm = 0 sein muss.
Die Vektoren a1, . . . , am heißen linear abhangig, wenn sie nicht linear unabhangigsind.
Stefan Ruzika (KO) Kapitel 8: Vektoren und Matrizen 8 / 25
Vektoren und Matrizen Vektoren
Lineare Unabhangigkeit
Bemerkung 8.9
a) a1, . . . , am ∈ Rn heißen linear unabhangig, wenn die”triviale“
Linearkombination (mit λ1 = · · · = λm = 0) die einzige ist, die denNullvektor liefert.
b) a1, . . . , am ∈ Rn sind linear abhangig, wenn es Skalare λ1, . . . , λm ∈ R gibt,die nicht alle Null sind, mit
λ1a1 + · · ·+ λmam = 0 ∈ Rn.
Beispiel 8.10
Tafel
Stefan Ruzika (KO) Kapitel 8: Vektoren und Matrizen 9 / 25
Vektoren und Matrizen Vektoren
Lineare Unabhangigkeit
Satz 8.11
a) In Rn ist jede Menge von (n + 1) oder mehr Vektoren linear abhangig.
b) Analog: Jede linear unabhangige Menge von Vektoren im Rn hat hochstens nElemente.
c) Ein einzelner Vektor ist genau dann linear unabhangig, wenn er nicht derNullvektor ist.
d) Zwei Vektoren sind genau dann linear abhangig, wenn keiner ein skalaresVielfaches des anderen ist.
Beispiel 8.12
Tafel
Stefan Ruzika (KO) Kapitel 8: Vektoren und Matrizen 10 / 25
Vektoren und Matrizen Vektoren
Basis, Norm
Definition 8.13
a) Eine Menge von n linear unabhangigen Vektoren des Rn nennen wir Basisdes Vektorraums Rn.
b) Den Vektor
ei =
0...1...0
← i-te Position
nennen wir (den i-ten) Einheitsvektor.
c) Sei a ∈ Rn. Dann heißt
‖a‖ =√a21 + a22 + · · ·+ a2n
Norm des Vektors a.
Stefan Ruzika (KO) Kapitel 8: Vektoren und Matrizen 11 / 25
Vektoren und Matrizen Vektoren
Skalarprodukt
Beispiel 8.14
Tafel
Bemerkung
Die Norm eines Vektors kann man als seine Lange interpretieren.
Definition 8.15 (Skalarprodukt, inneres Produkt)
Seien a, b ∈ Rn Vektoren.
aT · b =(a1 a2 · · · an
)·
b1...bn
:=n∑
i=1
ai · bi = a1b1 + . . .+ anbn︸ ︷︷ ︸∈R
Achtung: Das Skalarprodukt ist nicht zu verwechseln mit der skalarenMultiplikation aus Definition 8.4!
Stefan Ruzika (KO) Kapitel 8: Vektoren und Matrizen 12 / 25
Vektoren und Matrizen Vektoren
Skalarprodukt
Beispiel 8.16
Tafel
Beispiel 8.17
Tafel
Satz 8.18 (Eigenschaften des Skalarproduktes)
Seien a, b, c ∈ Rn.
a) aTb = bTa = (aTb)T (Kommutativgesetz)(aber Achtung: aTb 6= b · aT )
b) Distributivgesetze:
• (a+ b)T c = (aT + bT )c = aT c + bT c• aT (b + c) = aTb + aT c
Stefan Ruzika (KO) Kapitel 8: Vektoren und Matrizen 13 / 25
Vektoren und Matrizen Vektoren
Orthogonalitat
Definition 8.19
Zwei Vektoren stehen orthogonal (senkrecht), wenn ihr Skalarprodukt Null ist.
Beispiel 8.20
Tafel
Achtung: Ist das Skalarprodukt gleich Null, so gilt nicht wie bei der Multiplikationin R, dass dann mindestens einer der beiden Faktoren gleich Null ist.
Stefan Ruzika (KO) Kapitel 8: Vektoren und Matrizen 14 / 25
Vektoren und Matrizen Matrizen
Matrix
Definition 8.21Eine Matrix A ist eine rechteckige Anordnung reeller Zahlen der Form
A =
a11 · · · a1n. . .
... aij...
. . .
am1 · · · amn
︸ ︷︷ ︸
m×n−Matrix
= (aij)i=1,...,mj=1,...,n
mit aij ∈ R ∀i , j .
Stefan Ruzika (KO) Kapitel 8: Vektoren und Matrizen 15 / 25
Vektoren und Matrizen Matrizen
Matrix
Zwei m × n-Matrizen sind gleich, wenn sie in allen Eintragen ubereinstimmen,d. h. wenn aij = bij ∀i , j .Ist
A =
a11 a12 · · · a1n
a21. . .
......
. . ....
am1 · · · · · · amn
,
so nennen wir
AT =
a11 a21 · · · am1
a12. . .
......
. . ....
a1n · · · · · · amn
,
die zu A transponierte Matrix. Es ist dann AT eine n ×m-Matrix.
Stefan Ruzika (KO) Kapitel 8: Vektoren und Matrizen 16 / 25
Vektoren und Matrizen Matrizen
Eigenschaften
Definition 8.22
a) Eine m × n-Matrix heißt quadratisch, wenn m = n.
b) Bei einer quadratischen Matrix nennen wir die Elemente aii fur i = 1, . . . , ndie Hauptdiagonale der Matrix.
c) Die quadratische n × n-Matrix
En =
1 0 · · · · · · 0
0 1. . .
......
. . .. . .
. . ....
.... . . 1 0
0 · · · · · · 0 1
heißt Einheitsmatrix.
d) Eine Matrix A heißt symmetrisch, wenn A = AT .
Stefan Ruzika (KO) Kapitel 8: Vektoren und Matrizen 17 / 25
Vektoren und Matrizen Matrizen
Rechnen mit Matrizen
Beispiel 8.23
Tafel
Definition 8.24 (Rechenoperationen)
a) Seien A,B,C m × n-Matrizen.
A + B = C :⇔ aij + bij = cij ∀i , j
b) Seien A,C m × n-Matrizen, λ ∈ R.
λ · A = C :⇔ λ · aij = cij ∀i , j
c) Sei A eine l ×m-Matrix, B eine m × n-Matrix und C eine l × n-Matrix.
A · B = C :⇔ cij =m∑
k=1
aik · bkj ∀i , j
Stefan Ruzika (KO) Kapitel 8: Vektoren und Matrizen 18 / 25
Vektoren und Matrizen Matrizen
Rechnen mit Matrizen
Beispiel 8.25
Tafel
Satz 8.26 (Rechenregeln)
Seien A,B m × n-Matrizen, λ1, λ2, λ ∈ R. Dann gilt:
a) A + B = B + A
b) (A + B) + C = A + (B + C )
c) (A + B)T = AT + BT
d) λ · A = A · λe) λ1(λ2A) = (λ1λ2)A
f) (λ1 + λ2)A = λ1A + λ2A
g) λ(A + B) = λA + λB
Stefan Ruzika (KO) Kapitel 8: Vektoren und Matrizen 19 / 25
Vektoren und Matrizen Matrizen
Rechnen mit Matrizen
Beispiel 8.27
Tafel
Stefan Ruzika (KO) Kapitel 8: Vektoren und Matrizen 20 / 25
Vektoren und Matrizen Anwendung: Optimierungsprobleme auf Graphen/Netzwerke
Graph
Definition 8.28
Ein ungerichteter Graph G = (V ,E ) besteht aus einer Knotenmenge V undeiner Kantenmenge E , wobei jeder Kante e ∈ E zwei Knoten aus V zugeordnetwerden.
Beispiel 8.29
Tafel
Stefan Ruzika (KO) Kapitel 8: Vektoren und Matrizen 21 / 25
Vektoren und Matrizen Anwendung: Optimierungsprobleme auf Graphen/Netzwerke
Anwendungsbeispiel
Bemerkung
Viele praktische Probleme lassen sich mit Hilfe von Graphen modellieren, z. B. dasfolgende Problem:Gegeben seien:
n Orte V = {1, . . . , n}potentielle Verbindungen zwischen den Orten E ⊆ {1, . . . , n} × {1, . . . , n}Entfernungen zwischen den Orten Funktion c : E → R+
0 ”Distanzen“,
”Kosten“
Gesucht: kostengunstige Glasfaservernetzung der n Orte ”minimaler
spannender Baum“. Ein spannender Baum ist ein Teilgraph T , der keine Kreiseenthalt, zusammenhangend ist und alle Knoten miteinander verbindet.
Beispiel 8.30
Tafel
Stefan Ruzika (KO) Kapitel 8: Vektoren und Matrizen 22 / 25
Vektoren und Matrizen Anwendung: Optimierungsprobleme auf Graphen/Netzwerke
Anwendungsbeispiel
Algorithmus 8.31 (Algorithmus von Prim)
1 Wahle beliebigen Knoten als Startgraph T
2 Solange T noch nicht alle Knoten verbindet, tue:3 Wahle Kante e mit minimalen Kosten c(e), die einen noch nicht mit T
verbundenen Knoten v ∈ V mit T verbindet.
4 Fuge e und v zu T hinzu
Beispiel 8.32
Tafel
Stefan Ruzika (KO) Kapitel 8: Vektoren und Matrizen 23 / 25
Vektoren und Matrizen Anwendung: Optimierungsprobleme auf Graphen/Netzwerke
Reprasentation von Graphen
Frage: Wie konnen Graphen im Rechner reprasentiert werden?1. Moglichkeit:
Definition 8.33 (Adjazenzmatrix)
Sei G = (V ,E ) ein Graph. Sei V = {1, . . . , n}. Die |V | × |V |-Matrix A mit
aij :=
{1, wenn (i , j) ∈ V
0, sonst
heißt Adjazenzmatrix von G .
Beispiel 8.34
Tafel
Stefan Ruzika (KO) Kapitel 8: Vektoren und Matrizen 24 / 25
Vektoren und Matrizen Anwendung: Optimierungsprobleme auf Graphen/Netzwerke
Reprasentation von Graphen
2. Moglichkeit:
Definition 8.35 (Inzidenzmatrix)
Sei G = (V ,E ) ein Graph. Sei V = {v1, . . . , vn}, E = {e1, . . . , em}. Die|V | × |E |-Matrix A mit
aij :=
{1, falls vi ∈ ej
0, sonst
heißt Inzidenzmatrix von G .
Beispiel 8.36
Tafel
Stefan Ruzika (KO) Kapitel 8: Vektoren und Matrizen 25 / 25