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Kapitel 8: Vektoren und Matrizen Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universit¨ at Koblenz-Landau Campus Koblenz Stefan Ruzika (KO) Kapitel 8: Vektoren und Matrizen 1 / 25

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Kapitel 8: Vektoren und Matrizen

Stefan Ruzika

Mathematisches InstitutUniversitat Koblenz-Landau

Campus Koblenz

Stefan Ruzika (KO) Kapitel 8: Vektoren und Matrizen 1 / 25

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Gliederung

1 Grundbegriffe

2 Abbildungen und elementare Funktionen

3 Folgen und Reihen

4 Grenzwerte bei Funktionen, Stetigkeit

5 Differentialrechnung

6 Integralrechnung

7 Wirtschaftstheoretische Anwendungen der Analysis

8 Vektoren und MatrizenVektorenMatrizenAnwendung: Optimierungsprobleme auf Graphen/Netzwerke

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Vektoren und Matrizen Vektoren

Vektoren

Definition 8.1Ein Element a ∈ Rn nennen wir einen Vektor der Lange n.

Wir schreiben a =

a1a2...an

∈ Rn (Spaltenvektor), wobei ai ∈ R (Skalar), i = 1, . . . , n.

Konvention: Vektoren sind bei uns Spaltenvektoren.Aus jedem Spaltenvektor kann durch TranspositionT ein Zeilenvektor erzeugtwerden, d. h.

zum Spaltenvektor a =

a1...an

ist aT = (a1, . . . , an) der zugehorige Zeilenvektor.

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Vektoren und Matrizen Vektoren

Ordnungsrelation

Definition 8.2Seien a, b ∈ Rn Vektoren. Es ist a = b, genau dann wenn ai = bi , i = 1 . . . n.Analog dazu sind auch die Ordnungsrelationen <,>,≤,≥, definiert.

Beispiel 8.3

Tafel

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Vektoren und Matrizen Vektoren

Addition und Skalare Multiplikation

Definition 8.4Seien a, b ∈ Rn, λ ∈ R.

a) Addition von Vektoren:

a + b :=

a1 + b1a2 + b2

...an + bn

∈ Rn

b) Skalare Multiplikation:

λ · a = λ ·

a1a2...an

=

λa1λa2

...λan

∈ Rn

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Vektoren und Matrizen Vektoren

Addition und Skalare Multiplikation

Beispiel 8.5

Tafel

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Vektoren und Matrizen Vektoren

Geometrische Darstellunga =

(21

)∈ R2, b =

(11

)∈ R2, c :=

(21

)+

(11

)∈ R2

−1 1 2 3

−1

1

2

3

a

bc

R2

0 R

R

Die geometrische Darstellung ist bis R3 (einfach) moglich.Stefan Ruzika (KO) Kapitel 8: Vektoren und Matrizen 7 / 25

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Vektoren und Matrizen Vektoren

Lineare Unabhangigkeit

Definition 8.6Seien a1, . . . , am ∈ Rn, λ1, . . . , λm ∈ R. Dann heißt

b := λ1a1 + · · ·+ λmam =m∑i=1

λi · ai ∈ Rn

Linearkombination von a1, . . . , am.

Beispiel 8.7

Tafel

Definition 8.8Seien a1, . . . , am ∈ Rn. Die Vektoren a1, . . . , am heißen linear unabhangig, wenn

ausm∑i=1

λi · ai = 0 folgt, dass λ1 = λ2 = · · · = λm = 0 sein muss.

Die Vektoren a1, . . . , am heißen linear abhangig, wenn sie nicht linear unabhangigsind.

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Vektoren und Matrizen Vektoren

Lineare Unabhangigkeit

Bemerkung 8.9

a) a1, . . . , am ∈ Rn heißen linear unabhangig, wenn die”triviale“

Linearkombination (mit λ1 = · · · = λm = 0) die einzige ist, die denNullvektor liefert.

b) a1, . . . , am ∈ Rn sind linear abhangig, wenn es Skalare λ1, . . . , λm ∈ R gibt,die nicht alle Null sind, mit

λ1a1 + · · ·+ λmam = 0 ∈ Rn.

Beispiel 8.10

Tafel

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Vektoren und Matrizen Vektoren

Lineare Unabhangigkeit

Satz 8.11

a) In Rn ist jede Menge von (n + 1) oder mehr Vektoren linear abhangig.

b) Analog: Jede linear unabhangige Menge von Vektoren im Rn hat hochstens nElemente.

c) Ein einzelner Vektor ist genau dann linear unabhangig, wenn er nicht derNullvektor ist.

d) Zwei Vektoren sind genau dann linear abhangig, wenn keiner ein skalaresVielfaches des anderen ist.

Beispiel 8.12

Tafel

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Vektoren und Matrizen Vektoren

Basis, Norm

Definition 8.13

a) Eine Menge von n linear unabhangigen Vektoren des Rn nennen wir Basisdes Vektorraums Rn.

b) Den Vektor

ei =

0...1...0

← i-te Position

nennen wir (den i-ten) Einheitsvektor.

c) Sei a ∈ Rn. Dann heißt

‖a‖ =√a21 + a22 + · · ·+ a2n

Norm des Vektors a.

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Vektoren und Matrizen Vektoren

Skalarprodukt

Beispiel 8.14

Tafel

Bemerkung

Die Norm eines Vektors kann man als seine Lange interpretieren.

Definition 8.15 (Skalarprodukt, inneres Produkt)

Seien a, b ∈ Rn Vektoren.

aT · b =(a1 a2 · · · an

b1...bn

:=n∑

i=1

ai · bi = a1b1 + . . .+ anbn︸ ︷︷ ︸∈R

Achtung: Das Skalarprodukt ist nicht zu verwechseln mit der skalarenMultiplikation aus Definition 8.4!

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Vektoren und Matrizen Vektoren

Skalarprodukt

Beispiel 8.16

Tafel

Beispiel 8.17

Tafel

Satz 8.18 (Eigenschaften des Skalarproduktes)

Seien a, b, c ∈ Rn.

a) aTb = bTa = (aTb)T (Kommutativgesetz)(aber Achtung: aTb 6= b · aT )

b) Distributivgesetze:

• (a+ b)T c = (aT + bT )c = aT c + bT c• aT (b + c) = aTb + aT c

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Vektoren und Matrizen Vektoren

Orthogonalitat

Definition 8.19

Zwei Vektoren stehen orthogonal (senkrecht), wenn ihr Skalarprodukt Null ist.

Beispiel 8.20

Tafel

Achtung: Ist das Skalarprodukt gleich Null, so gilt nicht wie bei der Multiplikationin R, dass dann mindestens einer der beiden Faktoren gleich Null ist.

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Vektoren und Matrizen Matrizen

Matrix

Definition 8.21Eine Matrix A ist eine rechteckige Anordnung reeller Zahlen der Form

A =

a11 · · · a1n. . .

... aij...

. . .

am1 · · · amn

︸ ︷︷ ︸

m×n−Matrix

= (aij)i=1,...,mj=1,...,n

mit aij ∈ R ∀i , j .

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Vektoren und Matrizen Matrizen

Matrix

Zwei m × n-Matrizen sind gleich, wenn sie in allen Eintragen ubereinstimmen,d. h. wenn aij = bij ∀i , j .Ist

A =

a11 a12 · · · a1n

a21. . .

......

. . ....

am1 · · · · · · amn

,

so nennen wir

AT =

a11 a21 · · · am1

a12. . .

......

. . ....

a1n · · · · · · amn

,

die zu A transponierte Matrix. Es ist dann AT eine n ×m-Matrix.

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Vektoren und Matrizen Matrizen

Eigenschaften

Definition 8.22

a) Eine m × n-Matrix heißt quadratisch, wenn m = n.

b) Bei einer quadratischen Matrix nennen wir die Elemente aii fur i = 1, . . . , ndie Hauptdiagonale der Matrix.

c) Die quadratische n × n-Matrix

En =

1 0 · · · · · · 0

0 1. . .

......

. . .. . .

. . ....

.... . . 1 0

0 · · · · · · 0 1

heißt Einheitsmatrix.

d) Eine Matrix A heißt symmetrisch, wenn A = AT .

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Vektoren und Matrizen Matrizen

Rechnen mit Matrizen

Beispiel 8.23

Tafel

Definition 8.24 (Rechenoperationen)

a) Seien A,B,C m × n-Matrizen.

A + B = C :⇔ aij + bij = cij ∀i , j

b) Seien A,C m × n-Matrizen, λ ∈ R.

λ · A = C :⇔ λ · aij = cij ∀i , j

c) Sei A eine l ×m-Matrix, B eine m × n-Matrix und C eine l × n-Matrix.

A · B = C :⇔ cij =m∑

k=1

aik · bkj ∀i , j

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Vektoren und Matrizen Matrizen

Rechnen mit Matrizen

Beispiel 8.25

Tafel

Satz 8.26 (Rechenregeln)

Seien A,B m × n-Matrizen, λ1, λ2, λ ∈ R. Dann gilt:

a) A + B = B + A

b) (A + B) + C = A + (B + C )

c) (A + B)T = AT + BT

d) λ · A = A · λe) λ1(λ2A) = (λ1λ2)A

f) (λ1 + λ2)A = λ1A + λ2A

g) λ(A + B) = λA + λB

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Vektoren und Matrizen Matrizen

Rechnen mit Matrizen

Beispiel 8.27

Tafel

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Vektoren und Matrizen Anwendung: Optimierungsprobleme auf Graphen/Netzwerke

Graph

Definition 8.28

Ein ungerichteter Graph G = (V ,E ) besteht aus einer Knotenmenge V undeiner Kantenmenge E , wobei jeder Kante e ∈ E zwei Knoten aus V zugeordnetwerden.

Beispiel 8.29

Tafel

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Vektoren und Matrizen Anwendung: Optimierungsprobleme auf Graphen/Netzwerke

Anwendungsbeispiel

Bemerkung

Viele praktische Probleme lassen sich mit Hilfe von Graphen modellieren, z. B. dasfolgende Problem:Gegeben seien:

n Orte V = {1, . . . , n}potentielle Verbindungen zwischen den Orten E ⊆ {1, . . . , n} × {1, . . . , n}Entfernungen zwischen den Orten Funktion c : E → R+

0 ”Distanzen“,

”Kosten“

Gesucht: kostengunstige Glasfaservernetzung der n Orte ”minimaler

spannender Baum“. Ein spannender Baum ist ein Teilgraph T , der keine Kreiseenthalt, zusammenhangend ist und alle Knoten miteinander verbindet.

Beispiel 8.30

Tafel

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Vektoren und Matrizen Anwendung: Optimierungsprobleme auf Graphen/Netzwerke

Anwendungsbeispiel

Algorithmus 8.31 (Algorithmus von Prim)

1 Wahle beliebigen Knoten als Startgraph T

2 Solange T noch nicht alle Knoten verbindet, tue:3 Wahle Kante e mit minimalen Kosten c(e), die einen noch nicht mit T

verbundenen Knoten v ∈ V mit T verbindet.

4 Fuge e und v zu T hinzu

Beispiel 8.32

Tafel

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Vektoren und Matrizen Anwendung: Optimierungsprobleme auf Graphen/Netzwerke

Reprasentation von Graphen

Frage: Wie konnen Graphen im Rechner reprasentiert werden?1. Moglichkeit:

Definition 8.33 (Adjazenzmatrix)

Sei G = (V ,E ) ein Graph. Sei V = {1, . . . , n}. Die |V | × |V |-Matrix A mit

aij :=

{1, wenn (i , j) ∈ V

0, sonst

heißt Adjazenzmatrix von G .

Beispiel 8.34

Tafel

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Vektoren und Matrizen Anwendung: Optimierungsprobleme auf Graphen/Netzwerke

Reprasentation von Graphen

2. Moglichkeit:

Definition 8.35 (Inzidenzmatrix)

Sei G = (V ,E ) ein Graph. Sei V = {v1, . . . , vn}, E = {e1, . . . , em}. Die|V | × |E |-Matrix A mit

aij :=

{1, falls vi ∈ ej

0, sonst

heißt Inzidenzmatrix von G .

Beispiel 8.36

Tafel

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