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Kapitel 9Fuzzy-Regelung
29. Juni 2005
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Plan
I Klarung der prinzipiellen Unterschiede zwischen derklassischen Regelungstechnik, und der Fuzzy-Regelung,
I Vorstellen von zwei intuitiv motivierte Methoden derFuzzy-Regelung,
I einzelnen Schritte des Entwurfs und Probleme, die bei Entwurfund Optimierung eines Fuzzy-Reglers auftreten konnen,
I Entwicklung eines Fuzzy-Reglers, dem eine saubere Semantikauf der Basis von Gleichheitsrelationen zugrundeliegt. Es stelltsich heraus, daß dadurch einer der intuitiv motiviertenFuzzy-Regler auf einer formalen Basis hergeleitet werden kann.
2(38)
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Allgemeiner Ansatz
I Methoden der Fuzzy-Regelung werden anhand eines sehrvereinfachten Modells einer Regelstrecke vorgestellt,
I Fuzzy-Regelung wird als Moglichkeit aufgefaßt, nichtlineareKennfeldregler zu definieren, wobei die nichtlineareUbertragungsfunktion definiert werden kann, ohne jedeneinzelnen Wert des Kennfeldes angeben zu mussen,
I Entwicklung entspricht einer Art wissenbasierter Interpolation.
3(38)
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Modell eines regelungstechnischen Problems
I gegeben: technisches System (z.B. Motor, Klimaanlage)
I wir schreiben ein gewunschtes Verhalten vor (z.B. bestimmteDrehzahl, Raumtemperatur)
I Ausgangsgroße: eine Große, die sich im Laufe der Zeitverandern kann, die auf einen vorgegebenen Sollwerteingestellt werden soll (Drehzahl, Raumtemperatur),
I Ausgangsgroße wird durch eine Stellgroße, die wir regulierenkonnen, beeinflußt ( Stromzufuhr, Gaspedal, Große derOffnung des Thermostatventils),
I Storgroßen, die ebenfalls einen Einfluß auf die Ausgangsgroßeausuben und sich im Zeitverlauf andern konnen (Beladung,Außentemperatur, Sonneneinstrahlung durch ein Fenster).
4(38)
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Meßwerte
I der aktuelle Stellwert wird auf der Basis der aktuellenMeßwerte fur die Ausgangsgroße ξ und fur die Anderung derAusgangsgroße M ξ = dξ
dt bestimmt,
I Wird die Ausgangsgroße in diskreten Zeittakten gemessen,setzt man M ξtn+1 = ξtn+1 − ξtn , so daß M ξ nicht zusatzlichgemessen werden muß.
5(38)
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Stabbalance-Problem
F
g
M
m
θ
F Kraft
M punktformige Masse
m punktformige Masse
g Erdbeschleunigung
θ Neigungswinkel
1
6(38)
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Meßgroßen und Stellgroße
Meßgroßen Winkel θ und Winkelgeschwindigkeit θ = dθdt ,
Ausgangsgroße Winkel relativ zur vertikalen Achse,
Stellgroße Kraft F .
Eine negative Winkelgeschwindigkeit entspricht einer Bewegungdes Stabes im Uhrzeigersinn.
7(38)
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Bezeichnungen
I i.A. wird nicht nur ξ und ξ gemessen, sondern auch hohereAbleitungen von ξ oder weitere Großen,
I aktuelle Stellgroße darf als weitere Meßgroße verwendetwerden,
I Meßgroßen bzw. Eingabegroßen ξ1, . . . , ξn mit Werten aus Xi
und eine”Stellgroße“ η mit Werten aus Y
I Losung der regelungstechnischen Aufgabe: Bestimmung einergeeigneten Kontrollfunktion
ϕ : X1 × . . .× Xn → Y mit: (x1, . . . , xn) 7→ y
x1, . . . , xn– Meßwerte, y– Stellwert
8(38)
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Fortsetzung– Stabbalance-Problem
X1 = [−90, 90] fur den Winkel (in Grad),X2 = [−45, 45] fur die Winkelgeschwindigkeit (in Grad proSekunde)Y = [−10, 10] fur die Kraft (in Newton)
I klassisch wird ϕ oft als Losung von Differentialgleichungenermittelt,
(M+m)sin2θ·l ·θ+m·l ·sinθ·cosθ·θ2−(m+M)·g ·sinθ = −F ·cosθ
F (t) muß so bestimmt werden, daß limt→∞{θ(t)} = 0 und θgeeigneten Verlauf hat.
I dazu muß die Gleichung ein gutes Modell der Realitat sein,d.h. man braucht physikalische Kenntnisse uber den Prozeß!
9(38)
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Alternative
I ein Mensch kann Fahrrad fahren, ohne uberhaupt zu wissen,was Differentialgleichungen sind,
I bei der klassischen regelungstechnischen Methode wird derProzeß modelliert,
I stattdessen soll das Verhalten eines Menschen, der diesenProzeß regeln kann, zu modelliert und zu simuliert werden.
I Das Aufstellen eines Modells fur das Verhalten einesmenschlichen
”Regelungsexperten “heißt kognitive Analyse
I der Experte formuliert sein Wissen in Form von linguistischenRegeln.
10(38)
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Fuzzy IF-THEN-Regeln
Wenn θ ungefahr Null und θ ebenfalls ungefahr Null ist,dann muß auch F ungefahr Null sein.
I Pramisse beschreibt eine Situation in Form einer (unscharfen)Spezifikation der Werte der Meßgroßen, Konklusion gibt einengeeigneten (unscharfen) Stellwert fur diese Situation,
I eine automatisierte Regelung erfordert aber, daß beigegebenen scharfen Werten fur die Meßgroßen ein geeigneterscharfer Wert fur die Stellgroße berechnet wird.
11(38)
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Architektur eines Fuzzy-Reglers
fuzzy fuzzy
Meß-
werte
nicht
fuzzy
nicht
fuzzy
Regler-
ausgabe
Wissens-
basis
Fuzzyfikations-
interface
Defuzzyfikations-
interface
Entscheidungs-
logik
geregeltes-
System
1
12(38)
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Komponenten eines Fuzzy-Reglers
I Fuzzifizierungs-Interface nimmt den Meßwert auf,transformiert ihn gegebenenfalls in einen geeignetenWertebereich (Skalierung), umwandeln des Meßwertes ineinen linguistischen Term oder eine Fuzzy-Menge,
I Wissensbasis beinhaltet zum einen Informationen uber dieWertebereiche der Meß- und Stellgroßen, eventuelleNormierungen und die zu den linguistischen Termenassoziierten Fuzzy-Mengen (Datenbasis), enthalt eine(Fuzzy-)Regelbasis,
I Entscheidungslogik aus den Meßgroßen werden mit Hilfe derWissensbasis Informationen uber die Stellgroße gewonnen,
I Defuzzifizierungs-Interface bestimmt aus den gewonnenenInformationen uber die Stellgroße einen scharfen Stellwert.
13(38)
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Partitionierung
I Experte formuliert sein Wissen in Form von linguistischenRegeln,
I linguistische Terme werden festgelegt: jede der MengenX1, . . . ,Xn und Y wird mit Hilfe von Fuzzy-Mengen
”partitioniert“,
I auf X1 definiert man p1 verschiedene Fuzzy-Mengen
µ(1)1 , . . . µ
(1)p1 ∈ F(X1) und assoziiert jede dieser Fuzzy-Mengen
mit einem linguistischen Term (negativ klein, negativ mittel,ungefahr Null)
14(38)
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Partitionierung auf R
Falls X1 = [a, b] ⊂ R,”im Inneren“oft Dreiecksfunktionen:
µx0,ε(x) = 1−min{ε · |x − x0|}
”am linken Rand“
µ(1)1 (x) =
{1, falls x ≤ x1;
1−min{ε · (x − x1), 1}, sonst.
”am rechten Rand“
µ(1)p1 (x) =
{1, falls xp1 ≤ x ;
1−min{ε · (xp1 − x), 1}, sonst.
15(38)
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Partitionierung
I linguistische Terme wie”ungefahr Null“,
”positiv klein“
konnen, bezogen auf die Meßgroße ξ1, durchaus etwas anderesbedeuten als fur die Meßgroße ξ2
I Dreiecksfunktionen werden vor allem deswegen verwendet,weil die innerhalb des Fuzzy- Reglers durchzufuhrendenBerechnungen bei stuckweise linearen Funktionen sehr einfachwerden
I haufig werden die Fuzzy-Mengen so gewahlt, daß sie derDisjunktheitsforderung
i 6= j ⇒ sup{min{µ(1)i (x), µ
(1)j (x)}} ≤ 0.5.
entsprechen.
I entsprechende Partitionierung µ1, . . . µp ∈ F(Y ) wird auchfur Y vorgenommen.
16(38)
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Partitionierung Stabbalance
-90 negativ mittel ungefahr Null positiv mittel 90
negativ groß negativ klein positiv klein positiv groß
1
0.5
1
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kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Partitionierung Stabbalance
I fur X1 wie Abbildung, Dreiecke haben eine Breite von 45 (einViertel des Grundbereichs),
I fur X2 (Winkelgeschwindigkeit) Tragermengen mit eine Breitevon 22.5,
I fur Y = [−10, 10] Tragermengen der Fuzzy-Mengen mit einerBreite von 5
Die Partitionierungen und zugohrigen linguistischen Terme bildendie Datenbasis
18(38)
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Regelbasis
I Regelbasis besteht aus k Kontrollregeln der Form
if ξ1 is Ai1,r and . . . and ξn is Ain,r then η is B | (r = 1, . . . , k).
I Ai1,r , . . . ,Ain,r und B sind linguistische Terme, die den
Fuzzy-Mengen µ(1)i1,r
, . . . µ(n)in,r
bzw. µir gemaß denPartitionierungen der Mengen X1, . . . ,Xn bzw. Y entsprechen
I Kontrollregeln werden beim Ansatze von Mamdani nicht alsImplikationen, sondern im Sinne einer stuckweise definiertenFunktion verstanden werden.
19(38)
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Regelbasis Stabbalance
θ
θ
ng nm nk uN pk pm pg
ng pk pgnm pmnk nm nk pkuN ng nm nk uN pk pm pgpk nk pk pmpm nmpg ng nk
if θ is ungefahr Null and θ is negativ mittelthen F is positiv mittel.
20(38)
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Entscheidungslogik
I zunachst wird jede Regel Rr einzeln ausgewertet,
if ξ1 is Ai1,r and . . . and ξn is Ain,r then η is B
I man bestimmt den Erfullungs- oder Akzeptanzgrad zu demdie Pramisse bei vorgegebenen Meßwert erfullt ist, furj = 1, . . . n berechnet man µ(j)(xj), d.h. wie gut xj demlingustischen Term von µ(j) entspricht
I da (x1, . . . , xn) die Terme Ai1,r , . . . Ain,r erfullen soll, mussen
die Werte µ(j)ij,r
(xj) konjunktiv verknupft werden,
αr := min{µ(1)i1,r
(x1) . . . µ(n)in,r
(xn)}
αr gibt den Erfullungsgrad der Regel Rr an.
21(38)
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Ausgabe
I als Ausgabe von Rr ergibt sich die Fuzzy-Menge vonStellwerten, die man durch
”Abschneiden“ der Fuzzy-Menge
µir der Regel Rr beim Grad αr
I zu jedem moglichen Stellwert y berechnen wir:
µoutput(Rr )x1...,xn (y) = min{µ(1)
i1,r(x1) . . . µ
(n)in,r
(xn), µir (y)}
I falls µ(1)i1,r
(x1) = . . . = µ(n)in,r
(xn) = 1, folgt
µoutput(Rr )x1...,xn (y) = µir (y),
falls fur ein j gilt µ(j)ij,r
(xj) = 0 dann folgt µoutput(Rr )x1...,xn (y) = 0.
22(38)
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Output-Stabbalance I
I Sei θ = 36◦, (θ) = −2.25◦ · s−1.
I Es gibt nur zwei Regeln, fur die der Wert αr nicht Null wird,namlich:
R1 if θ is positiv klein and ˙theta is ungefahr Null then Fis positiv klein, und
R2 if θ is positiv mittel and ˙theta is ungefahr Null thenF is positiv mittel.
23(38)
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Output-Stabbalance I
αr = 0.4 = min{0.4, 0.8} und wir erhalten:
µoutput(R1)36,−2.25 (y) =
25 · y , falls 0 ≤ y ≤ 1,
0.4, falls 1 ≤ y ≤ 4,
2− 25 · y falls 4 ≤ y ≤ 5,
0, sonst.
αr = 0.6 = min{0.6, 0.8} und wir erhalten:
µoutput(R2)36,−2.25 (y) =
25 · y − 1, falls 2.5 ≤ y ≤ 4,
0.6, falls 4 ≤ y ≤ 6,
3− 25 · y falls 6 ≤ y ≤ 7.5,
0, sonst.
24(38)
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Auswertung der Regel R1
22.5 36 450
positiv klein
Winkel θ
0.4
1
-11.5 -2.25 11.25
θ
ungefahr Null
Winkelgeschwindigkeit
0.4
1
0 2.5 5
positiv klein
Kraft F
0.4
1
Auswertung der Regel R2
4536 67.522.5
positiv klein
0.6
1
-11.5 -2.25 11.25
θ
ungefahr Null
1
2.5 5 7.5
F
positiv klein
0.4
1 1
1
25(38)
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Auswertung
I Fuzzy-Mengen, die aus der Auswertung der anderen Regelnkommen, brauchen nicht berucksichtigt zu werden,
I nachdem die Entscheidungslogik jede einzelne Regelausgewertet hat, mussen die Ergebnis-Fuzzy-Mengen mittelsMaximumbildung zu einer Fuzzy-Menge zusammengesetztwerden
I µx1...,xn(y) = maxr=1,...k{min{µ(1)i1,r
(x1) . . . µ(n)in,r
(xn), µir (y)}}I diese Fuzzy-Menge geht an das Defuzzyfizierungs-Interface.
26(38)
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Die Fuzzy-Menge µoutput36,−2.25
0.4
0.6
1
1 3.5 4 6 7.5
1
I Entscheidungslogik berechnet keinen scharfen Stellwert,sondern beschreibt den Stellwert nur in Form einerFuzzy-Menge
I Aufgabe des Defuzzifizierungs- Interface ist es, aus derFuzzy-Menge µoutput fur jedes x1, ..., xn einen scharfenStellwert y zu gewinnen:
”defuzzifizieren“ .
27(38)
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Max-Kriterium-Methode
I es wird ein beliebiger Wert y ∈ Y ausgewahlt, fur den dieFuzzy-Menge µoutput
x1,...,xn ihren maximalen Zugehorigkeitsgradannimmt, (im Beispiel y ∈ [4, 6])
I Vorteil: Methode ist auch anwendbar, wenn Y eine keineTeilmenge der reellen Zahlen ist,
I Nachteil: das Verhalten des Fuzzy-Reglers istnicht-deterministisch, kann sehr sprunghaft sein.
28(38)
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Mean-of-Maxima-Methode (MOM)
Y muß ein Intervall sein,
Max(µoutputx1...,xn
) = {y ∈ Y | ∀y ′ ∈ Y : µoutputx1...,xn
(y ′) ≤ µoutputx1...,xn
(y)}
muß nicht leer und (Borel-)meßbar sein.
η =1∣∣Max(µoutputx1...,xn)
∣∣ · ∑y∈Max(µoutput
x1...,xn )
y
η =1∫
y∈Max(µoutputx1...,xn ) dy
·∫
y∈Max(µoutputx1...,xn )
ydy
29(38)
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Beispiel
Fuzzy-Regler soll ein Modellauto so lenken, daß es Hindernissenautomatisch ausweicht. Ergebnis der Entscheidungslogik beiHindernis genau in Fahrtrichtung
1
Weiche nach links oder nach rechts aus
1
30(38)
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Mean-of-Maxima-Methode (MOM)
I nicht unbedingt η ∈ Max(µoutputx1...,xn),
I fuhrt (bei Dreiecksfunktionen auf Y ) zu einem unstetigemVerlauf der Stellgroße.
I oft wird Max(µoutputx1...,xn) durch die Fuzzy-Menge µir bestimmt,
bei der der Erfullungsgrad der Pramisse von Rr am großten ist,
I Max(µoutputx1...,xn) ist dann ein symmetrisches Intervall um den
Punkt yir , bei dem µir den Wert 1 hat,
I erreicht eine andere Regel Rs hohere Prioritat pendelt andertsich das Verhalten sprunghaft zu yis .
I ruckartige Anderungen in der Regelstrecke und starkeBelastung der Stelleinrichtung sind die Folge
31(38)
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Schwerpunktsmethode (Centre-of-Gravity-Methode, COG)
I Voraussetzungen wie bei MOM,
I η berechnet sich als Wert, der unter dem Schwerpunkt derdurch µoutput
x1...,xn und der y-Achse begrenzten Flache liegt,
η =1∫
y∈Y µoutputx1...,xn(y)dy
·∫
y∈Yy · ∈ µoutput
x1...,xn(y)dy
I Vorteil: fast immer ein relativ glattes Regelverhalten,
I Nachteile: Schwerpunktsbildung ist formal aus der Sicht derTheorie der Fuzzy-Mengen kaum zu rechtfertigen, ist sehraufwendig zu berechnen, Anomalien konnen trotzdemauftreten.
I heißt auch Centre-of-Area-Methode (COA)
32(38)
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Beispiel
Defuzzyfizierung fur Stabbalance mit Mittelwerts- undSchwerpunktmethode
0.4
0.6
1
1 3.5 4 6 7.5
COG MOM
1
33(38)
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Konvexe Fuzzy-Mengen
I Anomalie bei Defuzzyfizierung mit MOM oder CGA tritt beikonvexen Fuzzy-Mengen nicht auf,
I Konvexe Fuzzy-Mengen konnen als Reprasentation eineseinzelnen (unscharfen)Wertes oder Intervalls aufgefaßt werden,
I manchmal sind aber zwei gegensatzliche Kontrollaktionenplausibel,
I die Kontrollregeln beschreiben in diesem Fall einnicht-deterministisches Verhalten des Kontrollexperten, dersich zwischen zwei Alternativen (z.B. nach links oder nachrechts auszuweichen) entscheiden kann
34(38)
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Defuzzifizierung
(i) Umwandlung einer Fuzzy-Menge in scharfe Werte,
(ii) Auswahl einer Aktion unter mehreren Kontrollaktionen.
I falls die zu defuzzifizierende Fuzzy-Menge einen einzelnen(unscharfen) Stellwert reprasentiert, entfallt (ii),
I falls die Fuzzy-Menge aber eine Menge mit mehrerenElementen darstellt, mussen die Aufgaben (i) und (ii)durchgefuhrt werden, wobei die Reihenfolge beachtet werdenmuß,
35(38)
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Defuzzifizierung
I zuerst (ii): bestimmen eine (Teil-)Fuzzy-Menge aus µoutputx1...,xn ,
die nur ein Element wiedergibt und defuzzyfizieren diese (z.B.mit MOM oder COG),
I zuerst (i), wir erhalten eine mehrelementige Menge moglicherWerte und wahlen danach einen beliebigen Wert aus
I Ausweg: Kontrollregeln so formulieren, daß sie einendeterministischen Kontrollexperten modellieren,
I bessere Zuverlassigkeit und Vorhersagbarkeit,
I formal: bei der Spezifikation der Regeln werden keineRelationen R ∈ ((X1 × ...× Xn)× Y ) beschrieben, sondernsich auf eine Funktion ϕ : X1 × ...× Xn → Y
36(38)
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Der Unterschied
I ist eine Modifizierung des Ansatzes von Mamdani,
I die Mengen X1, . . . Xn fur die Meßgroßen werden wie beiMamdani durch Fuzzy-Mengen partitioniert,
I die moglichen Stellwerte Y werden nicht partitioniert,
I Regelbasis besteht aus k Kontrollregeln der Form
if ξ1 is Ai1,r and . . . and ξn is Ain,r then η = fr (ξ1 . . . ξn)
I f : X1 × ...× Xn → Y , meist linear: fr (x1, . . . , xn) =∑
a(r)i xi
η(ξ1 . . . ξn) =
∑i=1,.k αr · fr (ξ1 . . . ξn)∑
i=1,.k αr
37(38)
kognitiv versus klassisch Ansatz nach Mamdani Takagi und Sugeno
Tagaki-Sugeno
I die mit den Erfuullungsgraden der Pramissen gewichteteSumme der Ausgabewerte der einzelnen Regeln wird alsStellwert verwendet,
I eine Defuzzifizierung ist daher beim Sugeno-Regler nichtnotwendig.
38(38)