Kerr Lösung Kindermann Sebastian...Die Kerr-Lösung Gedehnte Zeit und gekrümmter Raum An der Universität Regensburg Ein Seminarvortrag von: Kindermann Sebastian E-Mail: sebastian-ferdinand.kindermann@stud.uni-regensburg.deVorbemerkung

Die Kerr-Lösung

Gedehnte Zeit und gekrümmter Raum

An der Universität Regensburg

Ein Seminarvortrag von: Kindermann Sebastian

E-Mail: [email protected]

Betreuer: Dr. Gebhardt/ Dr. Bali

Vorbemerkung

Im Rahmen dieser Arbeit soll die Lösung der Einstein-Gleichung für rotierende astronomische Objekte,

welche von Roy Kerr im Jahre 1963 berechnet und somit nach ihm benannt wurde, beleuchtet und im

Rahmen des Spezialfalls eines schwarzen Lochs näher diskutiert werden. Hierbei treten Effekte auf,

welche von der Schwarzschild-Lösung, aufgrund der Rotation, wesentlich abweichen, wie der Frame-

Dragging- oder Lense Thiring-Effekt in der Ergospähre, die geschlossenen zeitartigen Kurven und die

damit zusammenhängenden Zeitreisen im Inneren des Cauchy-Horizonts oder die Ringsingularität.

Einige davon sind letztlich eher mathematischer Natur und konnten, aufgrund der Unbeobachtbarkeit

des Bereichs innerhalb dem Schwarzschildradius, experimentell nicht bestätigt werden.

Die Arbeit gibt lediglich einen kurzen Einblick in die Mathematik der allgemeinen Relativitätstheorie

und die Thematik der rotierenden schwarzen Löcher. Für eine detailliertere Betrachtung ist die

Zuhilfenahme geeigneter Fachbücher unerlässlich. Es wird versucht die jeweiligen Effekte zu

motivieren und erst im Anschluss mit der Riemannschen Geometrie herzuleiten. Aus diesem Grund ist

ein Grundverständnis der höheren Mathematik nicht zwingend notwendig, aber hilfreich.

Im Folgenden werden kurz die „benötigten“ Vorkenntnisse umrissen:

- Kenntnisse über die Grundgleichungen/ Grundbegriffe der ART

o Feldgleichung

o Bewegungsgleichung

o Riemannskalare/ Riemanninvarianz

o Weltlinien

o Schwarzschildlösung

o Schwarzschildradius

o Etc.

- Kenntnisse über die Analysis auf Mannigfaltigkeiten

o Definition der Mannigfaltikeit

o Kartenwechsel (allg. Koordinatentransformationen)

o Tangentialraum/ Tangentialbündel

o Vektorfelder

o Lie-Ableitung

o Riemannsche Mannigfaltigkeiten

o Etc.

Wie oben bemerkt sind die mathematischen Kenntnisse nicht erforderlich, aber für ein tieferes

Verständnis der Materie unabdingbar. Für eine Einführung in den Komplex der Mannigfaltigkeit siehe

das Buch von John. M. Lee „Introduction to smooth manifolds“.

Inhalt 1. Mathematische Konzepte in der Physik .............................................................................................. 4

2. Überblick: Schwarze Löcher ................................................................................................................ 6

2.1 Charakterisierungen schwarzer Löcher ......................................................................................... 6

2.2 Übersicht der verschiedenen Lösungen ........................................................................................ 6

3. Die Kerr-Metrik .................................................................................................................................... 8

3.1 Diskussion der Kerr-Lösung der Einstein’schen Feldgleichung ..................................................... 8

3.2 Von Horizonten und Singularitäten ............................................................................................. 10

3.3 Die Boyer-Lindquist-Blöcke ......................................................................................................... 11

4. Effekte der Kerr-Raumzeit ................................................................................................................. 14

4.1 Der Frame-dragging-Effekt .......................................................................................................... 14

4.2 ISCO ............................................................................................................................................. 15

4.3 Penrose-Prozess und irreduzible Masse ...................................................................................... 17

4.4. Carter-Zeitmaschiene ................................................................................................................. 18

5. Schlussbemerkung ............................................................................................................................. 19

A. Anhang Mannigfaltigkeiten ............................................................................................................... 20

B. Anhang Riemannsche Geometrie...................................................................................................... 23

C. Anhang Bilder .................................................................................................................................... 25

Endnoten ............................................................................................................................................... 26

Literaturverzeichnis: .............................................................................................................................. 27

1. Mathematische Konzepte in der Physik

In den Anhängen A und B werden die wichtigsten Resultate der Mathematik kurz erarbeitet. Doch der

im Anhang sehr formalen Arbeitsweise wollen wir hier nicht folgen. Der zentrale Aspekt dieses Kapitels

ist die Erarbeitung wichtiger Aussagen der Physik als Solches. Im Folgenden verwenden wir deshalb die

typischen Notationen der theoretischen Physik (wie z.B. �� für den metrischen Tensor, etc.). In den

beiden Anhängen werden einige mathematischen Konstrukte definiert, um die wesentlichen

Aussagen, wie das Killingfeld, erarbeiten zu können. Nun werden wir sehen, welche Konsequenzen sich

aus den Resultaten der Anhänge A und B ergeben können.

1.1 Proposition

Für die geodätische Kurve gilt:

�� − 12 �� = 0

Beweis:

Ausgehend von der Bewegungsgleichung können wir folgende Beziehung herleiten:

�� + �²��² = 0

�� 12 �� + �� − �� + �� ²��²� � = 0

�12 �� + �� − �� + �� ²��²� � = 0

�� − 12 �� + �� ²��²� = 0

�� + �� ²��²� − 12 �� = 0

�� − 12 �� = 0

Mit dem nun folgenden Satz erkennen wir die Bedeutsamkeit der Existenz von Killingfeldern, denn

diese implizieren Symmetrien der Raum-Zeit und führen somit zu Erhaltungsgrößen [Raj01].

Um dies zu zeigen, starten wir mit dem Wirkungsfunktional und versuchen, dieses geeignet

umzuformen.

� = 12 ��

Führt man nun eine infinitesimale Transformation � → � + #$ mit einem Vektorfeld $ durch, so

ergibt sich die Variation der Wirkung zu:

%� = 12 �� &$�� + ��$� �� + �� $� �' = 12 �� &$�� + ��$�� + ��$�� '

= 12 �� ℒ)��

Ist also V ein Killingfeld, so verschwindet die Variation der Wirkung und wir erhalten eine Symmetrie

der Raum-Zeit. Nun ist es von Interesse, von welcher Gestallt die Erhaltungsgröße zur gefundenen

Symmetrie ist. Dazu betrachten wir **+ [��$�� ].

�� &��$�� ' = $ �� &�� .' + ��$�� /�� .

Mit der in 1.1 hergeleiteten Beziehung folgt:

= $ 12 �� /�� . + ��/$0�� .�� / = 12 �ℒ$��/.�� /�� .

Da $ ein Killingfeld ist folgt also: �� &��$�� ' = 0

2. Überblick: Schwarze Löcher

2.1 Charakterisierungen schwarzer Löcher

Die schwarzen Löcher sind eines der größten Mysterien unserer Zeit. Wir wissen zwar um deren

Existenz, haben aber bei weiten nicht die nötigen Mittel, um eine vernünftige Theorie für die Raum-

Zeit unterhalb des Ereignishorizontes zu beschreiben. Ein weiteres Problem stellt die Unmöglichkeit

einer Messung dar, da selbst Licht dem Ereignishorizont nicht „entkommen“ kann. Sollten wir eine

mathematisch vernünftige Lösung finden, so ist ein experimenteller Test dennoch mit unseren

derzeitigen Messmethoden undenkbar. Eine vermeintliche Lösung wäre die experimentelle

Bestätigung nackter Singularitäten, welche zwar mathematisch berechnet werden können, wie wir

später sehen werden, aber dennoch aller Wahrscheinlichkeit in unserem Universum nicht auftreten-

diese Annahme ist besser unter dem Begriff „kosmische Zensur“ bekannt. Es verbleibt also die Frage,

ob und wie sich die zu beobachtenden schwarzen Löcher klassifizieren lassen. Hierzu wurde im Jahre

1965 von Wheeler eine Vermutung geäußert – das No-Hair-Theorem.

No-Hair-Theorem [Fli01]:

„Alle möglichen Strukturen (Inhomogenität, Multipolmomente, etc.) werden durch den Kollaps

eingeebnet; konkret werden die höheren Multipolmomente der Massenverteilung durch

Gravitationsstrahlung eliminiert. Der entstehende Zustand ist dann bis auf die Größen M, L und Q

von der Vorgeschichte völlig unabhängig. Die Größen M, L und Q bestimmen die Metrik im

Außenraum.“

Folgt man dieser Annahme, so existieren lediglich vier verschiedenen Möglichkeiten um den

Außenraum eines schwarzen Loches mit der Masse M zu beschreiben. Diese vier verschiedenen

Lösungen wurden bereits gefunden und gelten gleichwohl für andere astronomische Objekte:

1 = 0 1 ≠ 0

3 = 0 Schwarzschild Kerr

3 ≠ 0 Reissner-

Nordström

Kerr-Newman

Für ein reales schwarzes Loch ist die Kerr-Metrik bzw. die Kerr-Newman-Metrik von größerer

Bedeutung, als die von Schwarzschild oder Reissner und Nordström gefundenen Lösungen, da für

astronomische Objekte in der Regel ein Drehimpuls vorhanden ist. In Kapitel 3 werden wir die Kerr-

Metrik näher beleuchten und einige damit verbundene Effekte diskutieren. Wir setzen unser

Einheitensystem durch 4 = 5 = 1 fest.

2.2 Übersicht der verschiedenen Lösungen

Für die vier unterschiedlichen Lösungen sind wie oben bereits erwähnt die Linienelemente bestens

bekannt.

2.2.1 Schwarzschild-Lösung

�67 = 81 − 9:9 ; �<7 − 11 − 9:9 �97 − 9²��=7 + 6>?7=�@7�

2.2.2 Reissner-Nordström-Lösung

�67 = 1 − 9:9 + 3²9²� �<7 − 1 − 9:9 + 3²9²�AB �97 − 9²��=7 + 6>?7=�@7�

Für 3 = 0 geht diese Lösung in die Schwarzschild-Lösung über.

2.2.3 Kerr-Lösung

�67 = �1 − 2C9/7 � �<7 − /7∆AB�97 − /7�=7 + 4CF9/A76>?7=�<�@− 6>?7=[97 + F7 + 2C9/A7F76>?7=]�@²

mit

/7 ≔ 97 + F²5H6²=

∆≔ 97 − 2C9 + F²

Die Lösung geht für F = 0 ebenfalls in die Schwarzschild-Lösung über.

2.2.4 Kerr-Newman-Lösung

�67 = �1 − 2C9/7 � �<7 − /7∆AB�97 − /7�=7 + 4CF9/A76>?7=�<�@− 6>?7=[97 + F7 + 2C9/A7F76>?7=]�@²

mit

/7 ≔ 97 + F75H67= + 3²

∆≔ 97 − 2C9 + F²

Für 3 = 0 ergibt sich offenbar die Kerr-Metrik.

3. Die Kerr-Metrik

3.1 Diskussion der Kerr-Lösung der Einstein’schen Feldgleichung

Wie in 2.2.3 gegeben sieht die Kerr-Lösung in Boyer-Lindquist-Koordinaten, wie folgt aus:

�67 = �1 − 2C9/7 � �<7 − /7∆AB�97 − /7�=7 + 4CF9/A76>?7=�<�@− 6>?7=[97 + F7 + 2C9/A7F76>?7=]�@²

Diese Lösung enthält zwei freie Parameter C und F, welche wir nun näher beleuchten wollen.

Setzt man F = 0, so erhalten wir die Schwarzschild-Lösung zurück, aus diesem Grund schreiben wir C = IJK² = L dieselben Eigenschaften wie in der Schwarzschildlösung zu. Wir können nun bereits

erahnen, dass der Parameter F in Verbindung mit der Rotation stehen muss, da dies der wesentliche

Unterschied zwischen Schwarzschild- und Kerr-Metrik ist. Um dies nun näher einzusehen (vgl. [Goe01])

entwickeln wir den metrischen Tensor in MN und

O²N² , so erhalten wir

� = �1 − 2C9 � �<7 + 4F C9 6>?7=�<�@ − �1 + 2C9 � �97 − 97��=7 + 6>?7=�@7� + P�C²9² , CF²9³ �

Wir betrachten im Folgenden das Gravitationsfeld im Außenraum einer langsam rotierenden Kugel in

linearer Näherung, dafür erhalten wir unter Berücksichtigung von

�� = S� + ℎ��

Wobei

ℎ��<, �U� = −2 �V�′ [X� − 12 S�X �� ]NYZ|�U − �′\\\U|)

Ist. Mehr dazu kann dem Buch von Goenner [Goe02] entnommen werden.

Wenn wir von einer idealen Flüssigkeit mit Dichte / und verschwindendem Druck, z.B. einer

Staubmaterie ausgehen, so können wir einige Vereinfachungen vornehmen, welche uns schnell zum

gewünschten Ergebnis führen wird. Der Energie-Impuls-Tensor vereinfacht sich in diesem Fall massiv

zu

X� = /]]�

Da die auftretenden Geschwindigkeiten als klein angenommen wurden, reicht es Terme der Ordnung ~_ zu betrachten. Wir nähern nun den Energie-Impuls-Tensor weiter und verwenden das gewonnene

Ergebnis, um ℎ� zu beschreiben (vgl. [Goe02]). Für die Geschwindigkeit bei einer starren Rotation gilt _U = �U × a\\U und wir bekommen mit einer Taylorentwicklung von ℎ� um �′\\\U = 0

ℎb� = −4 c ad#��d �³�′ �e�f�U − �e\\\Uf /��e\\\U�

)d,�

Die Taylorentwicklung ergibt mir 9 ≔ |�U| ℎb� = −4 c ad#��d g19 �V�e /��e\\\U��e�

)+ 19³ �U �V�e �′\\\U/��e\\\U��e�

)hd,�

Der erste Teil dieses Ergebnisses ist proportional zum Gesamtimpuls der Kugel, da

i� = �V�e/��e\\\U�_�)= c ad#��d g19 �V�e /��e\\\U��e�

)hd,�

Wir setzen o.B.d.A. i� = 0, da wir nicht voraussetzen müssen, dass sich die Kugel translatorisch

bewegt.

Das zweite Integral können wir nun mit dem Trägheitstensor vergleichen. Für eine Kugel sind alle drei

Hauptträgheitsmomente identisch und es gilt

�V�e�e��ed/��e\\\U� = 12)j%�d

Nun führen wir mit 1\U ≔ ja\\U noch den Drehimpuls ein und verlassen die Rechnung mit dem Ergebnis:

ℎb� = − 29V [�U × 1\U]� Schließlich erhalten wir für die Metrik

� = �<7�1 + 2@kYlZmn� − �1 − 2@kYlZmn��97 + 97�o7� + 4 |1\U|9 �<�@6>?²=

Durch Vergleich mit der Kerr-Lösung sehen wir nun sofort, dass wir mit der Annahme über a richtig

lagen. Der sogenannte Kerr-Parameter kann mit dem durch die Masse gewichteten Drehimpuls

identifiziert werden.

F = |1\U|L

Betrachten wir die Kerr-Lösung genauer, so erkennen wir, dass die der metrische Tensor zwei

Singularitäten bei /7 = 0 und ∆= 0 auftreten. Ein weiteres besonderes Gebiet wird durch die

Bedingung �bb = 0 gekennzeichnet [Goe03]. Diese Forderung können wie folgt umgeformt werden

(siehe [Abb01]).

/7 = 0 ⇒ 9 = 0 ∧ = = r2

∆= 0 ⇒ 9±t = C ± uC7 − F²

�bb = 0 ⇒ 9±v = C ± uC7 − F²5H6²=

Im Folgenden werden wir die Bedeutung der einzelnen Lösungen diskutieren.

3.2 Von Horizonten und Singularitäten

Der Begriff der Singularität ist ein problematisches Konzept, welches einige Zeit diskutiert wurde.

Lassen Sie uns dieses Problem etwas motivieren.

Als Singularität bezeichnen wir Punkte der Raum-Zeit, in welchen diese nicht mehr differenzierbar ist.

Es wird nun oft zwischen Koordinatensingularitäten, solche die durch Kartenwechsel geglättet werden

können, und „echten“ Singularitäten, welche in allen Koordinatensystemen der allgemeinen

Relativitätstheorie auftreten, unterschieden. Hierzu wird oft das Kretschmannskalar betrachtet und

über dessen Singularitäten, die des Raumes bestimmt. Diese Folgerung erweist sich nicht immer als

sinnvoll, was das nächste Lemma zeigen wird.

3.2.1 Lemma

Sei � eine Singularität von wxy�wxy�, so ist dies auch eine Singularität der Raum-Zeit.

Beweis:

Da wxy�wxy� ein Riemannskalar ist, ist sein Wert in allen Koordinatensystem gleich.

3.2.3 Bemerkung

Im günstigsten Fall, würde nun auch die Rückrichtung gelten. Leider ist dem im Allgemeinen nicht so.

Es existieren Singularitäten der Raum-Zeit, für welche alle Skalare einen endlichen Wert annehmen.

Betrachtet man z.B. die sogenannte „conical singularity“, bei ihr werden alle Skalare endlich, die Raum-

Zeit selbst ist jedoch nicht glatt. Die Raum-Zeit selbst ist mit einem Kegel zu vergleichen, bei welchem

die Spitze die Singularität darstellt. Insbesondere können keine Koordinaten gewählt werden, sodass

die Singularität lediglich einen Punkt der Mannigfaltigkeit darstellt[Wik01].

Aus diesem Grund ist das Kretschmannskalar nicht immer ein gutes Maß für die Untersuchung von

Singularitäten. Wir identifizieren zwar die Singularitäten von wxy�wxy� als solche der Raum-Zeit,

können aber nicht auf alle Vorhandenen schließen. Eine Alternative wurde von Penrose und Hawking

geboten, welche unter einer Singularität Punkte der Raum-Zeit beschrieben, bei welchen eine Geodäte

in endlicher Eigenzeit endet. Dies soll uns im weiteren Verlauf nicht bekümmern, da es den Rahmen

der Arbeit sprengen würde.

3.2.3 Die Ringsingularität

Nach Lemma 3.2.1 können wir von den Polen von wxy�wxy� auf Singularitäten der Kerr-Raum-Zeit

schließen. Für unsere Metrik ergibt sich [Hen01]

wxy�wxy� = 8�97 + F75H67=�{ [6C²�9{ − 15F79~5H67= + 15F~975H6~= − F{5H6{=]

Somit erhalten wir für /7 = 0 ⇒ 9 = 0 ∧ = = �7 eine Singularität der Raum-Zeit.

Obwohl sich die Singularität ebenfalls bei 9 = 0 befindet, lässt die Zusatzbedingung = = �7 nun

erahnen, dass sie wesensverschieden von der Singularität der Schwarzschild-Metrik sein muss. Um dies

einzusehen, sollten die Originalkoordinaten von Kerr �<, �, �, �� betrachtet werden, hier ergibt sich

eine etwas andere Bedingung für die Singularität �7 + �7 = F7 ∧ � = 0. Hierbei sieht man eindeutig,

dass es sich nicht nur um einen singulären Punkt der Raum-Zeit, sondern um einen unendlich dünnen

Ring mit dem Radius F in der Äquatorebene handelt.

Ferner kann man zeigen, dass die anderen Gebiete der Mannigfaltigkeit, welche ich 3.1 beschrieben

wurden, keine Singularitäten darstellen [Goe04].

3.2.4 Der Cauchy-Horizont und der Ereignishorizont

Für F < C existieren zwei voneinander getrennte Horizonte.

∆= 0 ⇒ 9±t = C ± uC7 − F²

Dabei kann man zeigen, dass der äußere der beiden Horizonte den eigentlichen Ereignishorizont bildet

und bei ihm eine unendliche Rotverschiebung auftritt. Der innere Horizont wird in der Regel als

Cauchy-Horizont bezeichnet. Passiert ein Beobachter diesen Bereich, so läuft vor ihm die Geschichte

des Universums in Zeitraffer ab, da es hier zu einer unendlichen Blauverschiebung kommt. Dies führt

natürlich zu einem jähen Ende jedes Beobachters, welcher durch einen unendlich blauverschobenen

Lichtblitz getroffen wird. Da dieser Horizont vom Ereignishorizont verdeckt wird, ist er physikalisch

nicht von Bedeutung, des Weiteren ist davon auszugehen, dass Quanteneffekte alle mathematisch

bestimmen „seltsame“ Effekte unterdrücken. Wir werden allerdings bei der Diskussion der

Zeitmaschine in Kapitel 4 nochmals auf den Cauchy-Horizont zurückkommen[Mue01].

3.2.5 Die Ergospähre und der Frame-dragging-Effekt

Das Verschwinden der 00-Komponente des metrischen Tensors definiert die statische Grenze des

Schwarzen Loches. Diese definiert den Rand des Raumzeit-Gebietes, in welchem sich ein Beobachter

in Ruhe befinden kann. Gerade dieses „mitrotieren“ wollen wir etwas besser beleuchten und am Ende

einen mathematischen Beweis für diesen Effekt betrachten. Dies wird in Kapitel 4 näher motiviert

[Goe05].

3.3 Die Boyer-Lindquist-Blöcke

Der Kerr-Parameter F kann verschiedene Werte annehmen, davon abhängig ist die Existenz der

Horizonte, welche wir in 3.2 diskutiert haben [Rei01].

3.3.1 Definition

1. Fall: 0 < F < C dies bezeichne den langsam-rotierenden Kerr-Fall.

2. Fall: F = C dies bezeichne den extremen Kerr-Fall.

3. Fall: C < F dies bezeichne den schnell-rotierenden Kerr-Fall.

3.3.2 Bemerkung

Vor allem Fall 3 verursacht einige Probleme, da hierfür ∆= 0 keine reellen Nullstellen mehr existieren.

Etwas präziser ausgedrückt würde hier eine nackte Singularität auftreten, welche aber der Annahme

der kosmischen Zensur nach Hawking verboten wäre. Im Folgenden interessieren wir uns nur für den

langsamen Kerr-Fall.

Bisher haben wir den Definitionsbereich der Metrik völlig außer Acht gelassen, dies sollten wir nun

schleunigst nachholen. Da die Kerr-Lösung bei 9 = 0 keine Singularität aufweist, solange = ≠ �7 ist,

können wir 9 ∈ ℝ voraussetzen. Eine geometrische Interpretation von 9 ist hier (ohne geeignete

Normierung siehe [Rei02]) nicht zwangsläufig sinnvoll. Somit spannen 9 und < den ℝ² auf. Für die

beiden Winkelkoordinaten =, @ erhalten wir die Mannigfaltigkeit �², sodass wir für die gesamte

Mannigfaltigkeit die Produktmannigfaltigkeit mit der induzierten Produkttopologie L ≔ ℝ² ×�²betrachten können. Nun versagen unsere gewählten Koordinaten leider an einigen Stellen, sodass

wir dieses Gebiet wieder einschränken müssen:

(i) Die Koordinaten versagen bei ∆= 0, was gerade die Horizonte � definiert.

(ii) Ein weiteres Versagen tritt bei /7 = 0, also bei der Ringsingularität � auf, welche gerade dem

Äquator der �² bei 9 = 0 entspricht.

(iii) Und als Letztes sei angemerkt, dass unsere gewählten Koordinaten ebenfalls für 6>?= = 0 ein

Problem aufweisen. Im ℝ³ würde dies gerade der z-Achse entsprechen, da wir allerdings nun zulassen,

dass 9 ∈ ℝ gilt existieren zwei solcher Achsen, auf denen die Metrik für alle Zeiten < nicht definiert ist

(Bezeichne A dabei dieses Gebiet). Da 6>?= = 0 gerade für den Nordpol N und den Südpol S gilt,

ergeben sich die beiden Achsen zu ℝ² × � und ℝ² × �. Man kann jedoch zeigen, dass die Koordinaten

über A hinaus erweitert werden können.

Insgesamt sind die Koordinaten also maximal auf ℝ7 × �7/�� ∪ Σ� erweiterbar. Wir interessieren uns

also für die Zusammenhangskomponenten dieser maximalen Erweiterung, welche durch die Horizonte

getrennt werden[Rei02].

3.3.3 Definition

Im Folgenden bezeichnen wir die Zusammenhangskomponenten von ℝ7 × �7/Σ als die Boyer-

Lindquist-Blöcke j, jj und jjj.

Sei nun F < C (es liegt also der langsam-rotierende Kerr-Fall vor):

j ≔ �� ∈ L|9 > 9�t} ; jj ≔ �� ∈ L|9At < 9 < 9�t} ; jjj ≔ �� ∈ L|9 < 9At}

3.3.4 Bemerkung

Im extremen Kerr-Fall existiert nur ein einziger Horizont und somit lediglich zwei

Zusammenhangskomponenten von L. Wohingegen der schnell rotierende Kerr-Fall keinen Horizont

(nackte Singularität!) aufweist und somit die Kerr-Raumzeit bereits maximal erweitert ist.

In den anderen beiden Fällen lässt sich die Kerr-Lösung über die Zusammenhangskomponenten

erweitern, was zur maximalen Erweiterung der Metrik führt.

3.3.5 Lemma

i, Die Felder �Z und �� sind Killing-Felder der Kerr-Raumzeit

ii, �� ist auf j und jj raumartig

iii, �Z ist auf jj zeitartig und für 9 < 0 sowie 9 > 2C zeitartig

Beweis:

i, Verwende Theorem A.15 mit X� ≔ �� und �� ≔ �Z bzw. �� ≔ ��.

ii, Es gilt < ��, �� > = �ZZ = 897 + F7 + 7MNO�:�n�(�)�� ; 6>?7(θ) und somit �� raumartig auf j ∪ jj.

iii, Zeige zuerst �N ist raumartig auf j ∪ jjj und zeitartig auf jj.

Es gilt offensichtlich

< �N, �N > = �NN = /²Δ

und es gilt /7 > 0 auf allen Blöcken sowie Δ > 0 j ∪ jjj und Δ < 0 auf jj. Die Raumartigkeit von �Z folgt nun aus der Orthogonalität zu �N.

Um die Zeitartigkeit zu erkennen betrachte:

�ZZ = 1/7 (−9(9 − 2C) − F75H67(=))

3.3.6 Bemerkung

Der Bereich I wird als äußere Kerr-Raum-Zeit oder auch als astronomischer Block bezeichnet. Da für

9 > 2C das Feld �Z dort Zeitartig ist können wir hierauf eine kanonische Zukunftsrichtung durch �Z

definieren.

Durch „zusammenkleben“ von Block j und jj können wir diese Zeitorientierung auf jj übertragen.

Diese ist jedoch nicht mehr kanonisch, da Block jj keine triviale Zeitorientierung besitzt [Rei03].

4. Effekte der Kerr-Raumzeit

In diesem, letzten, Kapitel beschäftigen wir uns noch mit den Auswirkungen der Kerr-Raumzeit auf die

in ihr befindlichen Objekte.

4.1 Der Frame-dragging-Effekt

Wie in Kapitel 3 erwähnt diskutieren wir nun einen speziellen Bereich der Kerr-Raum-Zeit [Goe05]. Wir

betrachten einen Beobachter in der 9 = 5H?6<. und = = 5H?6<. Ebene, dieser habe die

Winkelgeschwindigket a = *�*Z (wir machen zuerst keine Annahmen darüber, dass diese verschieden

von Null sein muss). Seine Vierergeschwindigkeit muss nach wie vor zeitartig sein, es gilt also:

�bb + 2�bVa + �VVa7 > 0

Diese Ungleichung schränkt allerdings a nun auf den Bereich

aM�n < a < aMO�

mit

a�� = 2CF96>?²= ± (97 + F75H67=)√∆6>?=[(97 + F7)7 − ∆F76>?7=]

ein. Mit dieser Bedingung können wir die minimale Winkelgeschwindigkeit an der statischen Grenze

und am Ereignishorizont bestimmen und erhalten

aM�n�9±v� = 0

a�t ≔ aM�n�9±t� = aMO��9±t� = F2C9±t

Dies bedeutet also, dass in den Bereichen 9Av ≤ 9 ≤ 9At und 9�t ≤ 9 ≤ 9�v kein Beobachter existiert,

welcher gegenüber einem unendlich fernen Beobachter ruhen könnte. Die beiden Bereiche bezeichnet

man als Ergospähren ЄA und Є�.

Man kann dieses etwas mathematische Formulieren, was zu folgendem Lemma führt

4.1.1 Lemma:

Sei j ≔ �9 > 9�t} und ¢: j → ЄA ∪ Є� eine zukunftsgerichtete zeitartige Kurve, so gilt @ ₒ ¢ ist streng-

monoton wachsend.

Beweis:

Siehe [Rei04].

Dies zeigt ebenfalls, dass es für einen Beobachter innerhalb der Ergosphäre unmöglich ist zu ruhen, er

wird zwangsläufig mit der Kerr-Raumzeit mitgerissen. Am Ereignishorizont und am Cauchy-Horizont

selbst muss der Beobachter mit der Winkelgeschwindigkeit a�t rotieren.

4.2 ISCO

Als Zweites wollen wir uns mit dem letzten stabilen kreisförmigen Orbit, dem ISCO (engl. innermost

stable circular orbit), beschäftigen.

Um den ISCO bestimmen bzw. definieren zu können benötigen wir das effektive Potential der Kerr-

Raumzeit. Gehen wir zuerst von den Erhaltungsgrößen aus, welche wir bereits kennen [Wal01],

[Car01]:

Aus den Killingfeldern ¥ ≔ �Z und S� ≔ �� folgen nach 1.3.2 die Erhaltungsgrößen

¦ ≔ ��¥�� = −C§ �1 − 2L9/7 � �<

�� − 2C§LF9/7 6>?²(=) �@

��

1 ≔ ��S�� = 2C§LF9/7 6>?7(=) �<

�� − C§(97 + F7)7 − C§ΔF²6>?²(=)/7 6>?²(=) �@

��

wobei wir � ≔ C§ *�¨*+ anstelle von

*�¨*+ benutzt haben, wobei C§ die Restmasse des Teilchens darstellt.

Allerdings unterscheiden sich die beiden Erhaltungsgrößen lediglich um einen konstanten Faktor C

und somit führt dies ebenfalls zu einer Erhaltungsgröße. Bei den beiden Größen handelt es sich um die

Energie und den Drehimpuls des Objektes. Die normierten Größen ergeben sich dadurch zu # ≔ ©M§ und

ª ≔ «M§ , diese lassen sich als Energie und Drehimpuls pro Masseneinheit interpretieren.

Für eine Geodäte ist

¬ ≔ ��

stets eine Erhaltungsgröße. Für zeitartige Kurven gilt ¬ = 1 und für Lichtartige ¬ = 0.

Für äquatoriale Bahnen mit konstantem = = �7 und den drei Erhaltungsgrößen erhält man

schlussendlich:

12 9� 7 + $Y(9) = 0

mit dem effektiven Potential

$Y(9) = −¬ L9 + ª7

297 + 12 (¬ − #7)(1 + F7

97 − L9V (ª − F#)7)

Da wir uns für stabile Kreisbahnen interessieren müssen wir nach den Minima des effektiven Potentials

suchen. Diese entsprechen gerade den Nullstellen der ersten Ableitung mit positiver Krümmung, es

muss also gelten:

�$Y�9 = 0 �7$Y�9² > 0

Natürlich bilden auch die Nullstellen der ersten Ableitung mit negativer Krümmung Kreisbahnen,

jedoch sind diese labil, d.h. jede kleine Störung führt zu einer Bewegung nach 9 → 0 oder 9 → ∞.

Um die letzte stabile Kreisbahn zu bekommen fordern wir zusätzlich, dass die radiale Geschwindigkeit

verschwindet, sodass dies eine zusätzliche Bedingung an das effektive Potential stellt.

�9�� = 0 ⇒ $Y = 0

Die Nullstellen der ersten Ableitung unter oben genannter Bedingung ergeben sich zu

9�� = (1 − #7)F7 + ª² ± ¯�ª7 − F7(#7 − 1)�7 − 12(ª − F#)7L²2L

4.2.1 Definition

Wir definieren den letzten stabilen, kreisförmigen Orbit oder auch ISCO als den stabilen Orbit, für

welchen 9M�n = 9MO� gilt.

Um der Definition zu genügen muss die Diskriminante �ª7 − F7(#7 − 1)�7 − 12(ª − F#)7L7 = 0

verschwinden. Dies stellt eine Bedingung an den Drehimpuls des Objektes.

Aus dem so bestimmten Drehimpuls und $Y = 0 lässt sich nun auch # bestimmen. Dadurch erhalten

wir

9°v±² = L[3 + ´7 ∓ [(3 − ´B)(3 + ´B + 2´7)]B7] wobei

´B ≔ 1 + 1 − F²L²�

BV [81 + FL;

BV + 81 − FL;

BV]

´7 ≔ 3F²L² + ´B7�

B7

Im Kerr-Fall existieren zwei verschiedene Lösungen für den ISCO, da es davon abhängig ist, ob das

Objekt in Richtung oder gegen die Richtung des Schwarzen Loches rotiert [Geb01].

4.2.2 Bemerkung

Im extremen Kerr-Fall F = C erhalten wir [Geb02]:

i, Falls das Objekt gegen die Richtung des Schwarzen Loches rotiert

9°v±² = 9C ª°v±² = − 223√3 C #°v±² = 5

3√3

ii, Falls das Objekt in Richtung des Schwarzen Loches rotiert

9°v±² = C ª°v±² = 2√3 C #°v±² = 1

√3

4.2.3 Bemerkung

Für den extremen Kerr-Fall ergibt sich die maximale Energieabstrahlung zu

#��n*·n¸ = 1 − #°v±² = 1 − 1√3 ≈ 0.42

Dieses Ergebnis bedeutet, dass ca. 42% der in der Masse befindlichen Energie beim Einfangen des

Objektes in den ISCO frei wird. Ein realistischer Wert liegt natürlich etwas unter dem idealisierten Wert

(ca. 30-35%) [Ton01].

4.3 Penrose-Prozess und irreduzible Masse

Wie in 4.2 begründet ist die Energie ¦ ≔ ��¥�� eine Erhaltungsgröße längs einer geodätischen

Bahn. Außerhalb der Ergospähre ist ¦ positiv, da ¥� zeitartig ist. Teilen wir � in zwei Teile � =�(B) + �(7)

auf, so ergibt die Kontraktion mit dem Killingfeld ¦ = ¦(B) + ¦(7) (vgl. [Abb02]).

Da ¥� innerhalb der Ergosphäre raumartig wird, kann die Energie auch negativ werden. Kann man nun

einen Prozess so arrangieren, dass ein Teilen mit � in �(B) + �(7) zerfällt, sodass ¦(B) < 0 innerhalb

der Ergospähre gilt und der Teil mit �(7) einer Weltlinie aus der Ergosphäre folgt, so gilt

¦(7) > ¦

Es konnte also Energie aus dem Schwarzen Loch extrahiert werden [Wal02].

Penrose zeigt in seiner Arbeit, dass ein solcher Prozess geeignet arrangiert werden kann, aus welchem

Grund dieses Vorgehen oft als Penrose-Prozess bezeichnet wird. Weiter kann man zeigen, dass das

verbleibende Teilchen mit �(B), welches den Horizont passiert einen Drehimpuls entgegengesetzt

zum Schwarzen Loch besitzt. Insgesamt reduziert sich also der Drehimpuls des Schwarzen Loches.

Mit den Definitionen von 1, ¦ und Ωt ≔ O(N»¼)²�O² erhalten wir folgenden Zusammenhang

1 < ¦Ωt

und da ¦(B) < 0 gilt nun auch 1(B) < 0, fällt nun das Objekt mit 1(B) und ¦(B) in das Schwarze Loch, so

wird dessen Masse L und Drehimpuls ½ ≔ LF reduziert und es gilt:

%L = ¦(B)

%½ = 1(B)

Also folgt %½ < ¾I¿¼ was wir nun mit etwas Algebra zu folgendem Ausdruck umformen können

%L�NN > 0

Wobei

L�NN7 ≔ 12 [L7 + u(L~ − ½7)]

⇒ L7 = L�NN7 + 14

½²L�NN² ≥ L�NN²

Wir sehen also, dass die Masse des Schwarzen Loches eine untere Schranke besitzt und lediglich die

Energie L − L�NN kann vom Schwarzen Loch extrahiert werden. Wird diese Energie abgeführt, so

konvergiert der Drehimpuls des Schwarzen Loches gegen 0, weshalb wir die Größe L − L�NN als

Rotationsenergie interpretieren können [Wal03].

4.4. Carter-Zeitmaschiene

4.4.1 Definition

(1) Eine riemannsche Mannigfaltigkeit heißt chronologisch, wenn es keine geschlossenen zeitartigen

Kurven in ihr gibt.

(2) Eine riemannsche Mannigfaltigkeit heißt kausal, wenn es keine geschlossenen nicht-raumartigen

Kurven in ihr gibt.

4.4.2 Lemma

Die Boyer-Lindquist-Blöcke j und jj sind kausal.

Beweis: siehe [Rei05]

4.4.3 Bemerkung

Lemma 4.4.2 kann leider nicht auf den Bereich III ausgedehnt werden. Betrachten wir dazu die

Koordinatenabbildung @. Die Integralkurven des Vektorfeldes �� sind bis auf den Achsen, wo �� = 0

gilt, geschlossene Kurven, welche um die Rotationsachse kreisen. Es ist das Vektorfeld �� auf I und II

zwar raumartig, allerdings existiert in III ein Bereich nahe der Singularität, sodass �� zeitartig wird. Dies

liefert nun ein Problem mit der Kausalität.

Wir definieren durch das in diesem Block zeitartige Vektorfeld $ ≔ (97 + F7)�Z + F�� eine

Zukunftsrichtung auf jjj [Rei06].

4.4.4 Theorem

Der Block jjj ist bösartig, das heißt, dass es für je zwei Ereignisse � und Á in jjj eine zeitartige,

zukunftsgerichtete Kurve (in jjj) gibt, welche von � nach Á führt.

Beweis: siehe [Rei07]

4.4.5 Definition

Der Bereich X ≔ �� < 0} in Block jjj wird als Carter Zeitmaschine definiert.

4.4.6 Bemerkung

Theorem 4.4.4 impliziert natürlich auch, dass es eine vergangenheitsgerichtete Kurve von Á nach �

gibt.

4.4.7 Bemerkung

Es kann die Zeitmaschine T von jedem beliebigen Punkt in jjj aus erreicht werden (sowohl zukunfts-

als auch vergangenheitsgerichtet). Dies wird für den Beweis von 4.4.4 benötigt, was den Begriff der

Zeitmaschine erklärt.

Zum Ende versuchen wir nun noch den Bereich der Zeitmaschine einzugrenzen. Eine Eingrenzung

liefert folgendes Lemma:

4.4.8 Lemma

Die Zeitmaschine X liegt in der Region – CF��C, F} < 9 < 0.

Beweis: siehe [Rei06].

5. Schlussbemerkung

Wir haben nun einiges über die Symmetrien und Erhaltungsgrößen der allgemeinen

Relativitätstheorie, die Kategorisierung von Schwarzen Löchern, die Lösung von Roy Kerr der

einsteinschen Feldgleichung und deren Auswirkungen auf die Raumzeit kennengelernt.

Als Physiker müssen wir natürlich einsehen, dass nicht jedes mathematisch korrekte Ergebnis auch

eine Entsprechung in unserem Universum findet. So ist es unwahrscheinlich, dass nackte Singularitäten

existieren oder, dass innerhalb des Ereignishorizonts wirklich eine derart starke Verdichtung der

Materie entsteht, sodass das Objekt eine Nullmenge des Raumes entspricht. Es ist davon auszugehen,

dass hier starke Quanteneffekte auftreten, welche wir zum heutigen Zeitpunkt nur erahnen bzw.

vermuten können. Nichts desto trotz regen diese Ergebnisse die Phantasie des Menschen an.

Wir haben aber auch gesehen, dass es einige Phänomene gibt, welche außerhalb des Horizonts

auftreten und somit an sich beobachtbar für uns sind.

A. Anhang Mannigfaltigkeiten

In diesem Abschnitt werden die wichtigsten mathematischen Begriffe und Sätze kurz aufgelistet. Für

ein tieferes Verständnis und genauere Definitionen der Begriffe siehe [Lee01].

A.1 Definition

Sei (L, Ã) ein topologischer Raum, wir bezeichnen L als topologische Mannigfaltigkeit der

Dimension n bzw. als n-Mannigfaltigkeit, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:

- L erfüllt die Hausdorff-Eigenschaft: Für je zwei Punkte �, Á ∈ L existieren offene Mengen

Ä, $ ∈ Ã mit � ∈ Ä , Á ∈ $ und Ä ∩ $ = ∅.

- L erfüllt das zweite Abzählbarkeitsaxiom: Es exist. Eine abzählbare Basis der Topologie

- L ist lokal euklidisch: Für jeden Punkt � ∈ L existiert eine Umgebung, welche homöomorph

zu einer offenen Teilmenge des ℝn ist.

A.2 Defintion

Ein Paar (Ä, @ ) , mit der in 1.1.1 beschriebene Umgebung Ä und dem Homöomorphismus @ der

lokalen Euklidizität bezeichnet man als Karte von L. Oft wird @ auch als lokale Koordinate von L

bezeichnet.

Eine Menge von Karten, welche die Mannigfaltigkeit überdecken bezeichnet man als Atlas.

Seien weiter (Ä, @ ) und (Ä, Ç ) zwei Karten der Mannigfaltigkeit mit Ä ∩ $ ≠ ∅, so definieren wir den

Kartenwechsel Çₒ@AB: @(Ä ∩ $) → Ç(Ä ∩ $). Zwei solche Karten werden als glatt kompatibel

bezeichnet, wenn entweder Ä ∩ $ = ∅ oder Çₒ@AB ein Diffeomorphismus ist.

A.3 Definition

Ein Atlas heißt glatter Atlas, wenn all seine Karten glatt kompatibel miteinander sind.

Ein glatter Atlas der Mannigfaltigkeit heißt maximal, sofern er keinen strikt größeren Atlas enthält.

Sei (L, È) eine topologische n-Mannigfaltigkeit und A ein maximaler Atlas, so bezeichnen wir A als

glatte Struktur und M als glatte n-Mannigfaltigkeit.

A.4 Definition

Sei �: ÉÊ(L) → ℝ eine lineare Abbildung, diese bezeichnen wir als Derivation, falls für alle � ∈ L und

Ë, � ∈ ÉÊ(L) gilt:

�(Ë�) = Ë(�)�� + �(�)�Ë

Die Menge aller Derivationen im Punkt � ∈ L bildet einen Vektorraum, diesen bezeichnen wir als

Tangentialraum XÌL an die Mannigfaltigkeit im Punkt � ∈ L. Ein Element von XÌL wird als

Tangentialvektor definiert.

In diesem Zusammenhang definiert man XL ≔ ∐ XÌLÌ∈I die disjunkte Vereinigung aller

Tangentialräume als das Tangentialbündel.

A.5 Lemma

Für jede glatte n-Mannigfaltigkeit L besitzt XL eine kanonische Topologie und glatte Struktur, womit

XL zu einer 2n-Mannigfaltigkeit wird, sodass die Abbildung r: XL → L, r(�, �) = � glatt ist.

Beweis: siehe [Lee02].

A.6 Definition

Sei L eine glatte Mannigfaltigkeit, ein Vektorfeld auf L ist ein Schnitt auf XL. Etwas präziser gesagt

ist ein Vektorfeld Î: L → XL eine stetige Abbildung, sodass für jedes � ∈ L, Î(�) =: ÎÌ ∈ XÌL gilt.

Die Menge der Vektorfelder auf L bezeichnen wir mit Ï(L).

A.7 Bemerkung

In analoger Weise definieren wir den Kotangentialraum (XÌL)∗, sowie das Kotangentialbündel XL∗.

A.8 Definition

Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit und ½ ⊆ ℝ. Eine glatte Kurve auf M ist eine glatte Abbildung Ò: ½ →L. Falls Ò eine glatte Kurve ist, so wird für <b ∈ ½ über

Òe(<b) = Ò∗��< |ZÓ ∈ XÔ�ZÓ�L

ein Tangentialvektor an Ò definiert. Sofern 0 ∈ ½, so heißt Ò�0� ∈ L der Startpunkt von Ò.

A.9 Definition

Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit und V ein glattes Vektorfeld auf M. Eine Integralkurve von V ist eine

glatte Kurve Ò: ½ → L auf einem offenen Intervall ½ ⊆ ℝ, sodass

Òe�<� = $Ô�Z� für alle < ∈ ½

A.10 Definition

Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit. Wir definieren einen globalen Fluss als glatte Abbildung

=: ℝ × L → L

mit folgenden Eigenschaften:

=�<, =�6, �� = =�6 + <, ��

=�0, �� = �

Weiter sei Õ ⊆ ℝ × L offen, so bezeichnen wir D als Fluss Domäne, falls für alle � ∈ L die Menge ÕÌ ≔ � < ∈ ℝ ∶ �<, �� ∈ Õ} ein offenes Intervall mit 0 ist. Ein Fluss auf M ist somit als glatte Abbildung

=: Õ → L

Welche ebenso die oben genannten Eigenschaften erfüllt. Sei = ein Fluss, so definieren wir =Z�� ≔=�Ì��<� ≔ =�<, ��. Der infinitesimale Generator von = ist $Ì ≔ =�Ì�×�0�.

A.11 Bemerkung

Ein globaler Fluss, sowie ein Fluss definiert eine Linksoperation auf M.

A.12 Theorem

Sei V ein glattes Vektorfeld auf einer glatten Mannigfaltigkeit M, so existiert ein eindeutiger maximaler

Fluss, dessen infinitesimaler Generator V ist.

Beweis: Siehe [Lee03].

A.13 Definition

Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit, $, Ø zwei glatte Vektorfelder auf M und sei weiter = der durch

1.1.12 implizierte Fluss von $, so definieren wir die Lie-Ableitung von Ø in Richtung V als Vektor am

Punkt �:

(ℒ)Ø)Ì = ��< |ZÙb� =AZ�∗Ø�Ú�Ì� = limZ→b

� =AZ�∗Ø�Ú�Ì� − ØÌ<

Sei weiter Ë: L → ℝ eine Funktion, dann bildet $Ë eine weitere Funktion, welche wir an ØÌ ankoppeln

können, sodass ØÌ�$Ë� mit � ∈ L eine reelle Zahl ergibt, sowie andersrum. Wir definieren die Lie-

Klammer durch folgende Beziehung

[$, Ø]ÌË ≔ $Ì�ØË� − ØÌ�$Ë�

A.14 Bemerkung/Definition

Das Konzept der Lie-Ableitung lässt sich auf Tensorfelder verallgemeinern, in diesem Fall ergibt sich

die Definition für ein Tensorfeld X und ein Vektorfeld � mit Fluss = zu:

�ℒÞX�Ì ≔ ��< |ZÙb� =Z�∗X�Ú�Ì�

A.15 Theorem

Seien Ø, $, � Vektorfelder auf M, Ë eine reellwertige Funktion und X ein (0,2)-Tensorfeld auf M, so

gilt:

ℒ)Ø = [$, Ø]

ℒÞX�$, Ø� = �X�$, Ø� − X�[�, $], Ø� − X�$, [�, Ø]�

ℒ)Ë = $�Ë

�ℒ)Ø� = $��Ø + Ø��$�

�ℒÞX�� = ��X� + X�� + X��

Wobei �� die kanonische Basis des Tangentialraums darstellt.

Beweis:

siehe [Lee04] und [Rei08].

B. Anhang Riemannsche Geometrie

B.1 Definition

Sei L eine glatte Mannigfaltigkeit, so definieren wir eine Funktion �, sodass diese jedem Punkt von

� ∈ L eine symmetrische und positiv-definite Bilinearform (ein Skalarprodukt) zuordnet, welche

differenzierbar von � ∈ L abhängt:

�: L → XL∗ ⊗ XL∗

�Ì: XÌL ⊗ XÌL → ℝ

Die differenzierbare Abhängigkeit bzgl. � ∈ L kann wie folgt verstanden werden:

Seien �, Î Vektorfelder auf L, so ist � → �Ì(�Ì, ÎÌ) differenzierbar.

Die Funktion � wird als metrischer Tensor und L als riemannsche Mannigfaltigkeit bezeichnet.

B.2 Bemerkung

Der in der Physik auftretende metrische Tensor ��(�) innerhalb des Linienelements �67 ist die

Basisdarstellung von � bzgl. Der kanonischen Basis �� ⊗ �� des Kotangentialraums an einem Punkt

� der Mannigfaltigkeit. Es gilt also: ��(�) = (��)� �� ⊗ ��. B.3 Definition

Sei (L, �) eine riemannsche Mannigfaltigkeit und � ein Vektorfeld auf M, so heißt � ein Killingfeld

oder Killingsches Vektorfeld, falls ℒÞ� = 0.

B.4 Definition

Sei r: ¦ → L ein Vektorraumbündel (siehe [Rei09]) über eine glatte Mannigfaltigkeit M und bezeichne

�(L; ¦) die Menge der Schnitte von M auf E.

Eine ℝ −bilineare Abbildung:

∇: Ï(L) × �(L; ¦) → �(L; ¦)

(�, 6) → ∇(�, 6) = : ∇Þ6

Heißt Covariante Ableitung auf E, falls für alle � ∈ χ(M), 6 ∈ �(L; ¦) und @ ∈ #(L) gilt:

∇�Þ6 = @∇Þ6

∇Þ@6 = �@6 + @∇Þ6

Ist r: XL → L so heißt ∇ auch ein Zusammenhang auf L.

B.5 Definition

Sei (L, <; >) eine riemannsche Mannigfaltigkeit, �, Î, ´ Vektorfelder ein Zusammenhang ∇ mit:

2⟨∇ÞÎ, ´⟩ = �⟨Î, ´⟩ + Î⟨´, �⟩ − ´⟨�, Î⟩ − ⟨�, [Y, Z]⟩ + ⟨Y, [Z, X]⟩ + ⟨Z, [X, Y]⟩

heißt Levi-Civita-Zusammenhang.

B.6 Theorem

Sei � ein Killingfeld und Î, ´ Vektorfelder so gilt

�(∇é�, ´) + �(Î, ∇ê�) = 0

Dies ergibt die sogenannte Killinggleichung:

∇�� + ∇�� = 0

Beweis:

siehe [Wal04]

C. Anhang Bilder

[Abb01]

Matt Visser, Kerr Spacetime: A brief introduction, University of Wellington, 2008, S. 24

[Abb02]

Sean M. Carroll, Lecture Notes Generals Relativity, University of California, 1997, S. 214

Endnoten [Car01]: Sean M. Carroll, Lecture Notes Generals Relativity, University of California, 1997, S. 212ff.

[Fli01]: Torsten Fließbach, Allgemeine Relativitätstheorie, 6. Auflage, Springer Verlag, S. 289

[Goe01]: Hubert Goenner, Einf. In die spez. und allg. Relativitätsth., Berlin Akd. Verlag, 1996, S. 303

[Goe02]: Hubert Goenner, Einf. In die spez. und allg. Relativitätsth., Berlin Akd. Verlag, 1996, S. 305ff.

[Goe03]: Hubert Goenner, Einf. In die spez. und allg. Relativitätsth., Berlin Akd. Verlag, 1996, S. 379f.

[Goe04]: Hubert Goenner, Einf. In die spez. und allg. Relativitätsth., Berlin Akd. Verlag, 1996, S. 379f.

[Goe05]: Hubert Goenner, Einf. In die spez. und allg. Relativitätsth., Berlin Akd. Verlag, 1996, S. 380ff.

[Geb01]: Wolfgang Gebhardt, Lecture Notes, S. 50ff.

[Geb02]: Wolfgang Gebhardt, Lecture Notes, S. 53ff.

[Hen01]: R.C. Henry, Kretschmannsc. for a Kerr-Newman Black Hole, Astrophysical Journal, 1999, S. 6

[Lee01]: John M. Lee, Introduction to smooth manifolds, University of Washington, 2000

[Lee02]: John M. Lee, Introduction to smooth manifolds, University of Washington, 2000, S. 57

[Lee03]: John M. Lee, Introduction to smooth manifolds, University of Washington, 2000, S. 314

[Lee04]: John M. Lee, Introduction to smooth manifolds, University of Washington, 2000, S. 329ff.

[Mue01]: Alexander Müller, Lexikon der Astrophysik, 2007, S. 100

[Raj01]: S.G. Rajeev, Lecture Notes, Lecture 18, S. 1ff

[Rei01]: Maren Reimold, Zulassungsarbeit zum Staatsex., Eberhard-Karls-Univ. Tübingen, S.73ff.

[Rei02]: Maren Reimold, Zulassungsarbeit zum Staatsex., Eberhard-Karls-Univ. Tübingen, S.75ff.

[Rei03]: Maren Reimold, Zulassungsarbeit zum Staatsex., Eberhard-Karls-Univ. Tübingen, S. 78f.







[Ton01]: Stijn J. van Tongeren, Rotating Black Holes, 2009, S. 12ff.

[Wal01]: Robert M. Wald, General Relativity, Univ. of Chicago Press, 1984, S. 320ff.



[Wal04]: Robert M. Wald, General Relativity, Univ. of Chicago Press, 1984, S. 442

[Wik01]: Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_singularity#Conical, 25.11.15

Literaturverzeichnis:

Sean M. Carroll, Lecture Notes Generals Relativity, University of California, 1997

Torsten Fließbach, Allgemeine Relativitätstheorie, 6. Auflage, Springer Verlag

Hubert Goenner, Einf. In die spez. und allg. Relativitätsth., Berlin Akd. Verlag

R.C. Henry, Kretschmannsc. for a Kerr-Newman Black Hole, Astrophysical Journal, 1999

John M. Lee, Introduction to smooth manifolds, University of Washington, 2000

Alexander Müller, Lexikon der Astrophysik, 2007

Maren Reimold, Zulassungsarbeit zum Staatsex., Eberhard-Karls-Univ. Tübingen

Stijn J. van Tongeren, Rotating Black Holes, 2009

Robert M. Wald, General Relativity, Univ. of Chicago Press, 1984

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Kerr Lösung Kindermann Sebastian...Die Kerr-Lösung Gedehnte Zeit und gekrümmter Raum An der Universität Regensburg Ein Seminarvortrag von: Kindermann Sebastian E-Mail: sebastian-ferdinand.kindermann@stud.uni-regensburg.deVorbemerkung