Kinematik des Massenpunktes - Technische Mechanik II · PDF fileTechnische Mechanik II Kinematik des Massenpunktes Prof. Dr.-Ing. Ulrike Zwiers, M.Sc. Fachbereich Mechatronik und Maschinenbau

Technische Mechanik II

Kinematik des Massenpunktes

Prof. Dr.-Ing. Ulrike Zwiers, M.Sc.

Fachbereich Mechatronik und MaschinenbauHochschule Bochum

WS 2009/2010


Übersicht

1. Kinematik des Massenpunktes◦ Eindimensionale Punktbewegung

◦ Ebene Punktbewegung

- Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor

- Bewegung auf kreisförmiger Bahn

- Darstellung in Polarkoordinaten

◦ Räumliche Punktbewegung

- Frenet-Serret-Gleichungen

- Darstellung in Zylinderkoordinaten

2. Kinematik des starren Körpers

3. Kinetik des Massenpunktes

4. Kinetik des starren Körpers

5. Stossprobleme

Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 2/23


Eindimensionale Punktbewegung 1/10

Grundlegende Begriffe

Kinematik

Lehre von der geometrischen und analytischen Beschreibung derBewegungszustände von Körpern

Bewegung

Zeitliche Ortsänderung eines Körpers relativ zu einem Bezugssystem

Massenpunkt

Idealisierung eines realen Körpers, nach der die gesamte Masse desKörpers in einem Punkt vereinigt ist




Grundlegende Begriffe (Forts.)

Bahnkuve

Ortsraumkurve, entlang der sich ein Massenpunkt bzw. derSchwerpunkt eines Körpers bewegt

x

y

x

z





s-t-Diagramm

Grafische Darstellung des zurückgelegten Weges als Funktion derZeit: s = s(t)

t [s]

s [m]

∆t

∆s

∆t

∆s

Gleichförmige Bewegung

t [s]

s [m]

∆t

∆s

∆t

∆s

Ungleichförmige BewegungProf. Dr. U. Zwiers BTM2 5/23




∆s

∆t

t [s]

s [m]

Durchschnittsgeschwindigkeit

v =∆s

∆t

Augenblicksgeschwindigkeit

v(t0) = lim∆t→0

s(t0 + ∆t) − s0

∆t︸︷︷︸

=ds

dt

∣∣∣∣t=t0

Geschwindigkeit

Differentialquotient des Weges nach der Zeit: v =ds

dt





v-t-Diagramm

Grafische Darstellung der Geschwindigkeit eines bewegten Objektsals Funktion der Zeit: v = v(t)

t [s]

v[

ms

]

Gleichförmige Bewegung

t [s]

v[

ms

]

∆t

∆v

∆t

∆v

Gleichmäßig beschleunigteBewegung





∆v

∆t

t [s]

v[

ms

]

Durchschnittsbeschleunigung

a =∆v

∆t

Augenblicksbeschleunigung

a(t0) = lim∆t→0

v(t0 + ∆t) − v0

∆t︸︷︷︸

=dv

dt

∣∣∣∣t=t0

Beschleunigung

Differentialquotient der Geschwindigkeit nach der Zeit: a =dv

dt




Grundaufgaben

Grundaufgabe der geradlinigen Bewegung

Berechnung der zwei verbleibenden Größen, wenn eine der vierGrößen t, s, v, a als Funktion einer der anderen Größen gegeben ist

Definitionsgleichungen v =ds

dt, a =

dv

dt

Kombinationsmöglichkeiten t s v a

t – t(s) t(v) t(a)

s s(t) – s(v) s(a)

v v(t) v(s) – v(a)

a a(t) a(s) a(v) –

Es gibt insgesamt 12 Grundaufgaben!




Grundaufgaben (Forts.)

Fall I: Ort, Geschwindigkeit oder Beschleunigung als Funktionder Zeit: s(t), v(t) oder a(t)

s(t)

ddt

(·)v(t) =

dsdt

ddt

(·)a(t) =

dvdt

=d2sdt2

s(t)=s0+∫

v(t) dt

∫

(·)dtv(t)

ddt

(·)a(t) =

dvdt

s(t)=s0+∫

v(t) dt

∫

(·)dtv(t)=v0+

∫a(t) dt

∫

(·)dta(t)





Fall II: Geschwindigkeit als Funktion des Ortes: v(s)

t(s)=t0+∫

1v(s)

ds

∫

(·)dsv(s)

dds

(·) dsdt

a(s) =vdvds

Fall III: Beschleunigung als Funktion des Ortes: a(s)

t(s)=t0+∫

1v(s)

ds

∫

(·)dsv(s)=

√

v20+2

∫a(s) ds

∫

(·)dsa(s)





Fall IV: Beschleunigung als Funktion der Geschwindigkeit: a(v)

s(v)=s0+∫

v

a(v)dv

t(v)=t0+∫

1a(v)

dv

∫

(·)dv

∫ (·)dv

a(v)



Ebene Punktbewegung 1/9

Ortsvektor

Gewähltes Bezugssystem

Rechthändiges kartesisches Koordinatensystem (raumfest)

Darstellungsmöglichkeiten

~rp(t) = xp(t)~ex + yp(t)~ey

~rp(t) =

[xp(t)yp(t)

]

~rp

Bahnkurve

yp

xp x

y

~ey

~ex

Länge/ Betrag des Ortsvektors: rp = |~rp| =√

x2p + y2

p




Geschwindigkeitsvektor

Punktbewegung von j1 nach j2

Sehnenvektor:∆r =

[x2 − x1

y2 − y1

]

Geschwindigkeit

– mittlere: v =∆r

∆t=

x2 − x1

t2 − t1y2 − y1

t2 − t1

– aktuelle: v = lim∆t→0

∆r

∆t=

dr

dt=

dx

dtdy

dt

~r1

~r2

y2

x2

y1

x1

∆~r

∆s

12

x

y

~ey

~ex




Geschwindigkeitsvektor (Forts.)

Ortsvektor als Fkt. der Bogenlänge: r(t) = r(s(t))

⇒ v(t) =dr

dt=

dr

ds

ds

dt

? Bahn-geschwindigkeit

Grenzwert des Vektorbetrags: lim2→1

∣∣∣∣

∆r

∆s

∣∣∣∣=

∣∣∣∣

dr

ds

∣∣∣∣= 1

⇒ Tangenteneinheitsvektor: et =dr

ds

Der Geschwindigkeitsvektor liegt tangential zur Bahn und sein Betragist gleich dem Betrag der Bahngeschwindigkeit: v = v et




Beschleunigungsvektor

Komponenten-Schreibweise: a =dv

dt=

d2r

dt2=

d2x

dt2

d2y

dt2

Alternative Darstellung: a = vdet

dt+

dv

dtet

? Bahn-/ Tangential-beschleunigung

Tangentenvektor als Fkt. der Bogenlänge: et(t) = et(s(t))

⇒ vdet

dt= v2 det

ds




Beschleunigungsvektor (Forts.)

1

~et1

~et2

∆~et

∆ϕ

|∆et| ≈ 1 · ∆ϕ

|∆s| ≈ ′ · ∆ϕ

∆s12

x

y

~et1

O

∆ϕ

~et2

′

O′

Krümmungsradius

Bahnkurve

~ey

~ex

Grenzübergang: lim2→1

∣∣∣∣

∆et

∆s

∣∣∣∣=

∣∣∣∣

det

ds

∣∣∣∣=

1

Orientierung in Richtungder Bahnnormalen




Beschleunigungsvektor (Forts.)

Darstellung in kartesischen und natürlichen Koordinaten

x

y

P

~ay

~ax

~a

O

~ey

~ex x

y

P

~aO

~et~en ~at~an

a = ax + ay a = an + at =v2

en +

dv

dtet




Bewegung auf kreisförmiger Bahn

Bogenlänge (r = const) s(t) = rϕ(t)

Bahngeschwindigkeit v(t) = rϕ

Tangentialbeschleunigung at(t) = rϕ

Normalbeschleunigung an(t) =v2(t)

rx

y

O

ϕ

s~en

~et

~r

P

Winkelgeschwindigkeit: ω =dϕ

dt= ϕ

Winkelbeschleunigung: α =d2ϕ

dt2= ϕ




Bewegung auf kreisförmiger Bahn (Forts.)

x y

z

~r

~v

ϕ

~ω

Position r = r

[cos ϕ

sin ϕ

]

Geschwindigkeit v = rω

[− sinϕ

cos ϕ

]

Beschleunigung a = rα

[− sinϕ

cos ϕ

]

+ rω2

[− cos ϕ

− sinϕ

]

︸︷︷︸

et

︸︷︷︸

en

Winkelgeschwindigkeitsvektor

Vektor, dessen Betrag der Winkelgeschwindigkeit entsprichtund der parallel zur Drehachse und senkrecht zu Bahnebenegerichtet ist, so dass gilt: v = ω × r




Darstellung in Polarkoordinaten

Kartesische Koordinaten x, y

Polarkoordinaten r, ϕ

Basisvektoren er =

[cos ϕ

sin ϕ

]

eϕ =

[− sinϕ

cos ϕ

]

x

y

ϕ

~r

~er~eϕ

~vϕ

~vr

~aϕ

~ar

~v~a

Position r = r er

Geschwindigkeit v = r er + rϕeϕ

Beschleunigung a = (r − rϕ2)er + (rϕ + 2rϕ)eϕ



Räumliche Punktbewegung 1/2

Frenet-Serret-Gleichungen

Raumkurve mit natürlichem Koordinatensystem

Tangenteneinheitsvektor et =dr

ds

Normaleneinheitsvektor en =1

κ

det

ds

Binormaleneinheitsvektor eb = et × en

x y

z

~et

~en

~eb

~r

det

ds= κ en

den

ds= τ eb − κ et

deb

ds= −τ en

Krümmung κ =

∣∣∣∣

det

ds

∣∣∣∣

Torsion τ =

∣∣∣∣

deb

ds

∣∣∣∣



Räumliche Punktbewegung 2/2

Darstellung in Zylinderkoordinaten

Kartesische Koordinaten x, y, z

Zylinderkoordinaten ρ, ϕ, z

Basisvektoren eρ =

cos ϕ

sinϕ

0

, ez =

001

eϕ =

− sinϕ

cos ϕ

0

x

y

z

~ez

~eϕ

~eρ

ϕ

ρ

z

P

~r

Position r = ρ eρ + z ez

Geschwindigkeit v = ρ eρ + ρϕeϕ + z ez

Beschleunigung a = (ρ − ρϕ2)eρ + (ρϕ + 2ρϕ)eϕ + z ez


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