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1
Kinetische Theorie der Gase
2
Unterscheidung
Kinetische Energie eines Objektes ist eine organisierte Form von Energie.
Alle Moleküle des betrachteten Systems bewegen sich in die gleiche Richtung oder drehen um die gleiche
Achse (Arbeit)
Kinetische Energie der Bestandteile eines Objektes sind nicht organisiert und willkürlich
verteilt (Temperatur)
Makroskopische Energie eines Körpers als ganzes
Mikroskopische Energie der Bestandteile eines Objektes
3
Ideales Gas
Gase haben im Gegensatz zu Festkörpern und Flüssigkeiten keinen festen Gleichgewichtsabstand zwischen den Atomen.
Das Volumen eines Gases Vi deshalb nicht wohl definiert
Gesucht Zustandsgleichung für ein Gas, das einen Zusammenhang liefert zwischen Druck, Volumen und Temperatur des Systems.
Ein Gas bei geringem Druck und geringer Wechselwirkung der Atome untereinander nennt man ideales Gas
Cool Hot
Je länger die Pfeile, desto größer ist die Geschwindigkeit der Moleküle
nRTPV =Ideales Gasgesetz
Zusammenhang zwischen Druck, Volumen und Temperatur
4
Zustandsgleichung idealer Gasedoppelt
Zusammenhang zwischen Temperatur, Druck und Volumen
nRTPV =
Masse des Gases bleibt konstant
beweglicher Stempel
Experimentelle Befunde- Bei konstanter Temperatur ist das Volumen umgekehrt proportional zum Volumen (Gesetz von Boyle)
- Bei konstantem Druck ist das Volumen proportional zur Temperatur des Gaes (gesetz von Charles und Gay-Lussanc)
Ideales Gasgesetz
teGaskonstan eunversiell:
0
R
RconstnTPV
KT
==
↓
→
[ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⋅⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
KmolJ
KmolNm
Km²molNm³
nTPVR
Dimensionsbetrachtung
gleiches Verhalten für alle Gase
KmolJ314.8⋅
=R
Einsetzen in die Gleichung liefert, dass ein Mol Gas bei 0 °C ein Volumen von 22.4 g einnimmt
5
Avogadrozahl
DefinitionEin Mol ist die Anzahl von Atomen, die sich in 12 g Kohlenstoff befinden
Einheit SI eineist Mol Das
mol1106.02
hlAvogadroza
23⋅=AN
Wieviele Atome sind in einem Mol eines Stoffes enthalten? Anzahl mol in einem Probenvolumen
MA
pr
M
pr
pr
MAM
M
M
A
pr
mNM
MM
n
MmNM
Mm
NN
n
==
=⇒
==
:Probeder Masse
:Molekülen von Mol eines Masse :Moleküls eines Masse
nstanteAvogadrokoProbein Atome Anzahl
Wasserstoffatom HMasse 1 amu
1g/ molHeliumatom He
Masse 4 amu4g/ mol
Sauerstoffmolekül O2Masse 32 amu
32 g/ mol
6
Ein Mol Fussbälle
Wie hoch türmt sich ein Mol Fussbälle auf der Erdoberfläche
7
Ideales Gas
nRTpV =Gasesidealen des Gesetz
KJ1038.1
mol106.02Kmol
J31.8
onstanteBoltzmannk Definition
23
1-23
−⋅=
⋅⋅==
B
AB
B
k
NRk
k
KmolJ31.8
teGaskonstan Definition
⋅=R
R
( )
TNkpV
NknR
NkNNnR
NNn
B
B
ABA
A
=⇓
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⇓
=
da
definiert über die Anzahl der Moleküle
definiert über n die Anzahl mol
Avogadrokonstnte
[ ]
Reale Gase verhalten sich bei niedrigem Druck annähernd wie ein ideales Gas
[ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⋅=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⋅⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
KmolJ
KmolNm
Km²molNm³
R
nTPVR
Anzahl der Moleküle
Dimensionsbetrachtung
8
Isotherme ZustandsänderungIdeales Gas
unter der RandbedingungTemperatur wird konstant gehalten
fi VV →Betrachteter Prozess
1Isotherme
1ltnisseDruckverhä
Vp
VnRTp
≈
⇓
=
[ ]
i
fisotherm
baba
VVisotherm
V
Visotherm
V
Visotherm
V
Visotherm
VV
nRTW
VnRTWVdVnRTW
dVV
nRTW
pdVW
i
f
i
f
i
f
i
ln
ln
Arbeit cheerforderli die Berechne
lnlnln
2
=
⇓
=
=
=
=
=−
∫
∫
∫
Arbeit beim isothermerExpansion/ Kompression
9
Abhängigkeit von der ZustandsvariablenDruck oder Volumen bleibt konstant
0
ln
ArbeitcheerforderlidieBerechne
01ln
=⇓
=
=
=
=
=
= ∫
constV
i
fconstV
V
VconstV
W
VV
nRTW
dVV
nRTW fi
Volumen wird konstant gehalten
( )
VpW
VVpW
pdVW
constV
ifconstV
V
VconstVf
i
Δ=⇓
−=⇓
=
=
=
= ∫Arbeit cheerforderli die BerechneDruck wird konstant gehalten
isobare Zustandsänderung
isochore Zustandsänderung
10
Zustandsänderungen
verschiedene Möglichkeiten, eine Zustandsänderung herbeizuführen
1 adiabatischer Prozess (ΔQ=0)
2 isochorer Prozess (ΔV=0)
3 isobarer Prozess (Δp=0)
4 isothermer Prozess (ΔT=0)
11
Expansion von eines Gases
Ausgangsparameter12 Liter Behälter mit Sauerstoff bei 20 °C und 15 atm
Endparameter8.5 Liter Behälter Sauerstoff bei 35 °C
Annahme ideales Gasiii nRTVp = fff nRTVp =
fi
ifif
if
if
i
f
VTVT
pp
TVVT
pp
constn
=
⇓
=
⇓
=
( )( )
( )( )( )( )
atm 22.3l 8.5K 293l 12.0K 308atm 15
K35273K20273
=
=
⇓
+=+=
f
f
f
i
p
p
TT
anders sieht es mit der Temperatur aus. Hier ist der Unterschied zum absoluten Temperaturnullpunkt entscheidend
Die Angaben in Liter brauchen nicht unbedingt in m³ umgerechnet werden, da nur Quotient betrachtet wird
Anzahl der Moleküle ändert sich nicht
12
Kompression eines Gasesisotherm
Endparameter1 mol Sauerstoff im 12 Liter Behälter bei 35 °C
Anfangsparameter1 mol Sauerstoff im 8.5 Liter Behälter bei 35 °C
Berechne die Arbeit, die das Gas leisten muss
Temperatur konstant, dh. isotherme Expansion
( ) ( )
J 874l 8.5l 12lnK 305
KmolJ8.31mol 1
ln
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅=
=
W
W
VV
nRTWi
f
Für eine anschliessende Kompression ist Arbeit am System zu leistenW=-874 J
13
Moleküle im Kasten
VersuchsbedingungGasmenge von n mol in einem Behälter
Behälterwände haben eine Temperatur T
FragestellungWie hängen der in dem Behälter vorherrschen
Druck und die Geschwindigkeit der Gasmoleküle zusammen
Moleküle stoßen elastisch und nur mir Wand aber nichtuntereinander. Durch die Stöße wird ein Druck aufgebaut.
( ) ( )x
xxx
v2
v2vv
mp
mmmpWandx
Molekülx
=Δ
−=−−=Δkeine Änderung in
Richtung der y-Komponente der
Bewegung
Impulsübertrag auf die Wand
Impulsübertrag auf das Molekül
Newtonsche Dynamik bei elastischem Stoß
Bemerkungin diesem Fall ist p der Impuls und nicht der Druck
xvm−
xvm
14
Moleküle im Kasten
FragestellungWie hängen der in dem Behälter vorherrschen
Druck und die Geschwindigkeit der Gasmoleküle zusammen
Zeitabstand zwischen zwei Stößen mit derselben Wand
Druck ist Kraft auf Fläche (dxd)
Mittlere Rate mit dem Impuls übertragen wird
Newtonalle Impulse auf die Wand
(Fläche d²) addieren
xv2dt =Δ
dtpdF
dm
dm
txx
rr=
⇓
==ΔΔ 2
x
x v
v2
v2p
( )2,2 2,2 1,3
2
2,
22,
21,
2
v...vv
v...
vv
Nxxx
Nxxx
x
dmp
dd
md
md
m
p
dFp
+++=
+++=
=Es gibt N Beiträge zum
Impuls aufgrund der Anzahl der Moleküle in der Box
15
Moleküle im Kasten
FragestellungWie hängen der in dem Behälter vorherrschen
Druck und die Geschwindigkeit der Gasmoleküle zusammen
( )
2
M Masse molare
23
2,
22,
21,3
v
v
v...vv
avg
mNM
avgA
nNN
Nxxx
VnMp
dmnNp
dmp
A
A
=
⇓
=
⇓
+++=
=
=
Anstatt zu summieren. Ersetzen des Impulses der einzelnen Teilchen durch
den mittleren Impuls aller Teilchen
Anzahl der Moleküle ist Anzahl mol x Avogadrozahl
Vd =3
2
2,
22,
21,
2
vv
Definition
v...vvv
avgrms
Nxxxavg
=
+++=
Moleküle bewegen sich in beliebige Richtungen
2avg
22x
2z
2y
2x
2
v3
v31v
vvvv
VnMp =
⇓
=⇒
++=
root-mean-squareGeschwindigkeit
mittleres Quadrat derGeschwindigkeit
16
Moleküle im Kasten
FragestellungWie hängen der in dem Behälter vorherrschen
Druck und die Geschwindigkeit der Gasmoleküle zusammen
MRT
nMpV
VnMp
rms
rms
nRTpV
rms
3v
3v
v3
2
=
=
⇓
=
=
mittlere Geschwindigkeit von Moleküle bei einer bestimmten Temperatur
Temperatur im Kern der Sonne 15 Millionen Kelvin
)h
km101.5( 224vv
300KK1015
vv
vv
6aturRaumtemper
Sonneder Kern
6
aturRaumtemper
Sonneder Kern
aturRaumtemper
Sonneder Kern
aturRaumtemper
Sonneder Kern
⋅⇒=
⋅=
=
rms
rms
rms
rms
rms
rms
TT
Stoßgeschwindigkeit zu gering um Kernreaktionen zu ermöglichen
17
Schallgeschwindigkeit
BemerkenswertMittlere Geschwindigkeit der Atome der Luft
höher als die Schallgeschwindigkeit von 330 m/s
Noch zu klärenWarum breitet sich ein Duft dann nicht schneller aus?
18
Kinetische EnergieTranslation
Translationsenergie
TkKE
NRTKE
MRTmKE
mKE
Bavg
NRk
Aavg
mMN
avg
MRT
rmsavg
AB
A
rms
23
321
321
v21
3v
2
2
=
⇓
=
⇓
=
⇓
=
=
=
=
Mittlere kinetische Energie eines idealen Gases
unabhängig von Art des Gases Durch Temperaturmessung an einem idealen Gas bestimmt man mittlere kinetische Energie des Moleküleschwerer Gase bewegen sich gleicher Temperatur langsamer
19
Mittlere freie Weglänge
Verschiedene Arten, die mittlere freie Weglänge zu ermitteln
Moleküle mit einem bestimmten
Durchmesser d stoßen
Moleküle hat den doppelten Durchmesser 2d und stößt mit
Punktteilchen
Moleküle mit Durchmesser d fliegt für eine bestimmte Zeit t mit Geschwindigkeit v durch ein
Volumen ohne einen Stoß zu machen
20
Mittlere freie Weglänge λmfp
Alle Moleküle bewegen sich entlang gerader Bahnen mit einer mittleren Geschwindigkeit , bis sie elastisch mit anderen Molekülen stoßen
mfp: mean free path
λmfp ist die mittlere Entfernung die ein Molekül zurücklegt, bevor es mit einem anderen Molekül stößt
Vermutung 1λmfp skaliert invers mit Anzahl Moleküle im Volumen
NV
VN
mfp =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛≈
−1
λ
Vermutung 2λmfp skaliert invers mit Durchmesser der Moleküle
²1dmfp
≈λ
²1
21
dNV
mfp πλ =mittlere freie Weglänge eines
Moleküls in einem idealen GasTypische Werte
Meereshöhe 0.1 μmHöhe 100 km: 16 cmHöhe 300 km: 20 kmexaktes Ergebnis
UnterscheidungIdeales GasZustandsgleichung idealer Gase�doppelt�Zusammenhang zwischen Temperatur, Druck und VolumenAvogadrozahlEin Mol FussbälleIdeales GasIsotherme Zustandsänderung�Ideales GasAbhängigkeit von der Zustandsvariablen�Druck oder Volumen bleibt konstantZustandsänderungenExpansion von eines GasesKompression eines Gases�isothermMoleküle im KastenMoleküle im KastenMoleküle im KastenMoleküle im KastenSchallgeschwindigkeitKinetische Energie�TranslationMittlere freie WeglängeMittlere freie Weglänge lmfp