20
1 Kinetische Theorie der Gase

Kinetische Theorie der Gase - Universität Rostockweb.physik.uni-rostock.de/cluster/lehre/P4LA1/WS20xx/WS...3 Ideales Gas Gase haben im Gegensatz zu Festkörpern und Flüssigkeiten

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  • 1

    Kinetische Theorie der Gase

  • 2

    Unterscheidung

    Kinetische Energie eines Objektes ist eine organisierte Form von Energie.

    Alle Moleküle des betrachteten Systems bewegen sich in die gleiche Richtung oder drehen um die gleiche

    Achse (Arbeit)

    Kinetische Energie der Bestandteile eines Objektes sind nicht organisiert und willkürlich

    verteilt (Temperatur)

    Makroskopische Energie eines Körpers als ganzes

    Mikroskopische Energie der Bestandteile eines Objektes

  • 3

    Ideales Gas

    Gase haben im Gegensatz zu Festkörpern und Flüssigkeiten keinen festen Gleichgewichtsabstand zwischen den Atomen.

    Das Volumen eines Gases Vi deshalb nicht wohl definiert

    Gesucht Zustandsgleichung für ein Gas, das einen Zusammenhang liefert zwischen Druck, Volumen und Temperatur des Systems.

    Ein Gas bei geringem Druck und geringer Wechselwirkung der Atome untereinander nennt man ideales Gas

    Cool Hot

    Je länger die Pfeile, desto größer ist die Geschwindigkeit der Moleküle

    nRTPV =Ideales Gasgesetz

    Zusammenhang zwischen Druck, Volumen und Temperatur

  • 4

    Zustandsgleichung idealer Gasedoppelt

    Zusammenhang zwischen Temperatur, Druck und Volumen

    nRTPV =

    Masse des Gases bleibt konstant

    beweglicher Stempel

    Experimentelle Befunde- Bei konstanter Temperatur ist das Volumen umgekehrt proportional zum Volumen (Gesetz von Boyle)

    - Bei konstantem Druck ist das Volumen proportional zur Temperatur des Gaes (gesetz von Charles und Gay-Lussanc)

    Ideales Gasgesetz

    teGaskonstan eunversiell:

    0

    R

    RconstnTPV

    KT

    ==

    [ ] ⎥⎦⎤

    ⎢⎣⎡

    ⋅=⎥⎦

    ⎤⎢⎣⎡

    ⋅=⎥⎦

    ⎤⎢⎣⎡

    ⋅⋅=⎥⎦

    ⎤⎢⎣⎡=

    KmolJ

    KmolNm

    Km²molNm³

    nTPVR

    Dimensionsbetrachtung

    gleiches Verhalten für alle Gase

    KmolJ314.8⋅

    =R

    Einsetzen in die Gleichung liefert, dass ein Mol Gas bei 0 °C ein Volumen von 22.4 g einnimmt

  • 5

    Avogadrozahl

    DefinitionEin Mol ist die Anzahl von Atomen, die sich in 12 g Kohlenstoff befinden

    Einheit SI eineist Mol Das

    mol1106.02

    hlAvogadroza

    23⋅=AN

    Wieviele Atome sind in einem Mol eines Stoffes enthalten? Anzahl mol in einem Probenvolumen

    MA

    pr

    M

    pr

    pr

    MAM

    M

    M

    A

    pr

    mNM

    MM

    n

    MmNM

    Mm

    NN

    n

    ==

    =⇒

    ==

    :Probeder Masse

    :Molekülen von Mol eines Masse :Moleküls eines Masse

    nstanteAvogadrokoProbein Atome Anzahl

    Wasserstoffatom HMasse 1 amu

    1g/ molHeliumatom He

    Masse 4 amu4g/ mol

    Sauerstoffmolekül O2Masse 32 amu

    32 g/ mol

  • 6

    Ein Mol Fussbälle

    Wie hoch türmt sich ein Mol Fussbälle auf der Erdoberfläche

  • 7

    Ideales Gas

    nRTpV =Gasesidealen des Gesetz

    KJ1038.1

    mol106.02Kmol

    J31.8

    onstanteBoltzmannk Definition

    23

    1-23

    −⋅=

    ⋅⋅==

    B

    AB

    B

    k

    NRk

    k

    KmolJ31.8

    teGaskonstan Definition

    ⋅=R

    R

    ( )

    TNkpV

    NknR

    NkNNnR

    NNn

    B

    B

    ABA

    A

    =⇓

    =

    ⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛=

    =

    da

    definiert über die Anzahl der Moleküle

    definiert über n die Anzahl mol

    Avogadrokonstnte

    [ ]

    Reale Gase verhalten sich bei niedrigem Druck annähernd wie ein ideales Gas

    [ ] ⎥⎦⎤

    ⎢⎣⎡

    ⋅=⎥⎦

    ⎤⎢⎣⎡

    ⋅=

    ⎥⎦⎤

    ⎢⎣⎡

    ⋅⋅=⎥⎦

    ⎤⎢⎣⎡=

    KmolJ

    KmolNm

    Km²molNm³

    R

    nTPVR

    Anzahl der Moleküle

    Dimensionsbetrachtung

  • 8

    Isotherme ZustandsänderungIdeales Gas

    unter der RandbedingungTemperatur wird konstant gehalten

    fi VV →Betrachteter Prozess

    1Isotherme

    1ltnisseDruckverhä

    Vp

    VnRTp

    =

    [ ]

    i

    fisotherm

    baba

    VVisotherm

    V

    Visotherm

    V

    Visotherm

    V

    Visotherm

    VV

    nRTW

    VnRTWVdVnRTW

    dVV

    nRTW

    pdVW

    i

    f

    i

    f

    i

    f

    i

    ln

    ln

    Arbeit cheerforderli die Berechne

    lnlnln

    2

    =

    =

    =

    =

    =

    =−

    Arbeit beim isothermerExpansion/ Kompression

  • 9

    Abhängigkeit von der ZustandsvariablenDruck oder Volumen bleibt konstant

    0

    ln

    ArbeitcheerforderlidieBerechne

    01ln

    =⇓

    =

    =

    =

    =

    =

    = ∫

    constV

    i

    fconstV

    V

    VconstV

    W

    VV

    nRTW

    dVV

    nRTW fi

    Volumen wird konstant gehalten

    ( )

    VpW

    VVpW

    pdVW

    constV

    ifconstV

    V

    VconstVf

    i

    Δ=⇓

    −=⇓

    =

    =

    =

    = ∫Arbeit cheerforderli die BerechneDruck wird konstant gehalten

    isobare Zustandsänderung

    isochore Zustandsänderung

  • 10

    Zustandsänderungen

    verschiedene Möglichkeiten, eine Zustandsänderung herbeizuführen

    1 adiabatischer Prozess (ΔQ=0)

    2 isochorer Prozess (ΔV=0)

    3 isobarer Prozess (Δp=0)

    4 isothermer Prozess (ΔT=0)

  • 11

    Expansion von eines Gases

    Ausgangsparameter12 Liter Behälter mit Sauerstoff bei 20 °C und 15 atm

    Endparameter8.5 Liter Behälter Sauerstoff bei 35 °C

    Annahme ideales Gasiii nRTVp = fff nRTVp =

    fi

    ifif

    if

    if

    i

    f

    VTVT

    pp

    TVVT

    pp

    constn

    =

    =

    =

    ( )( )

    ( )( )( )( )

    atm 22.3l 8.5K 293l 12.0K 308atm 15

    K35273K20273

    =

    =

    +=+=

    f

    f

    f

    i

    p

    p

    TT

    anders sieht es mit der Temperatur aus. Hier ist der Unterschied zum absoluten Temperaturnullpunkt entscheidend

    Die Angaben in Liter brauchen nicht unbedingt in m³ umgerechnet werden, da nur Quotient betrachtet wird

    Anzahl der Moleküle ändert sich nicht

  • 12

    Kompression eines Gasesisotherm

    Endparameter1 mol Sauerstoff im 12 Liter Behälter bei 35 °C

    Anfangsparameter1 mol Sauerstoff im 8.5 Liter Behälter bei 35 °C

    Berechne die Arbeit, die das Gas leisten muss

    Temperatur konstant, dh. isotherme Expansion

    ( ) ( )

    J 874l 8.5l 12lnK 305

    KmolJ8.31mol 1

    ln

    =

    ⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛

    ⋅=

    =

    W

    W

    VV

    nRTWi

    f

    Für eine anschliessende Kompression ist Arbeit am System zu leistenW=-874 J

  • 13

    Moleküle im Kasten

    VersuchsbedingungGasmenge von n mol in einem Behälter

    Behälterwände haben eine Temperatur T

    FragestellungWie hängen der in dem Behälter vorherrschen

    Druck und die Geschwindigkeit der Gasmoleküle zusammen

    Moleküle stoßen elastisch und nur mir Wand aber nichtuntereinander. Durch die Stöße wird ein Druck aufgebaut.

    ( ) ( )x

    xxx

    v2

    v2vv

    mp

    mmmpWandx

    Molekülx

    −=−−=Δkeine Änderung in

    Richtung der y-Komponente der

    Bewegung

    Impulsübertrag auf die Wand

    Impulsübertrag auf das Molekül

    Newtonsche Dynamik bei elastischem Stoß

    Bemerkungin diesem Fall ist p der Impuls und nicht der Druck

    xvm−

    xvm

  • 14

    Moleküle im Kasten

    FragestellungWie hängen der in dem Behälter vorherrschen

    Druck und die Geschwindigkeit der Gasmoleküle zusammen

    Zeitabstand zwischen zwei Stößen mit derselben Wand

    Druck ist Kraft auf Fläche (dxd)

    Mittlere Rate mit dem Impuls übertragen wird

    Newtonalle Impulse auf die Wand

    (Fläche d²) addieren

    xv2dt =Δ

    dtpdF

    dm

    dm

    txx

    rr=

    ==ΔΔ 2

    x

    x v

    v2

    v2p

    ( )2,2 2,2 1,3

    2

    2,

    22,

    21,

    2

    v...vv

    v...

    vv

    Nxxx

    Nxxx

    x

    dmp

    dd

    md

    md

    m

    p

    dFp

    +++=

    +++=

    =Es gibt N Beiträge zum

    Impuls aufgrund der Anzahl der Moleküle in der Box

  • 15

    Moleküle im Kasten

    FragestellungWie hängen der in dem Behälter vorherrschen

    Druck und die Geschwindigkeit der Gasmoleküle zusammen

    ( )

    2

    M Masse molare

    23

    2,

    22,

    21,3

    v

    v

    v...vv

    avg

    mNM

    avgA

    nNN

    Nxxx

    VnMp

    dmnNp

    dmp

    A

    A

    =

    =

    +++=

    =

    =

    Anstatt zu summieren. Ersetzen des Impulses der einzelnen Teilchen durch

    den mittleren Impuls aller Teilchen

    Anzahl der Moleküle ist Anzahl mol x Avogadrozahl

    Vd =3

    2

    2,

    22,

    21,

    2

    vv

    Definition

    v...vvv

    avgrms

    Nxxxavg

    =

    +++=

    Moleküle bewegen sich in beliebige Richtungen

    2avg

    22x

    2z

    2y

    2x

    2

    v3

    v31v

    vvvv

    VnMp =

    =⇒

    ++=

    root-mean-squareGeschwindigkeit

    mittleres Quadrat derGeschwindigkeit

  • 16

    Moleküle im Kasten

    FragestellungWie hängen der in dem Behälter vorherrschen

    Druck und die Geschwindigkeit der Gasmoleküle zusammen

    MRT

    nMpV

    VnMp

    rms

    rms

    nRTpV

    rms

    3v

    3v

    v3

    2

    =

    =

    =

    =

    mittlere Geschwindigkeit von Moleküle bei einer bestimmten Temperatur

    Temperatur im Kern der Sonne 15 Millionen Kelvin

    )h

    km101.5( 224vv

    300KK1015

    vv

    vv

    6aturRaumtemper

    Sonneder Kern

    6

    aturRaumtemper

    Sonneder Kern

    aturRaumtemper

    Sonneder Kern

    aturRaumtemper

    Sonneder Kern

    ⋅⇒=

    ⋅=

    =

    rms

    rms

    rms

    rms

    rms

    rms

    TT

    Stoßgeschwindigkeit zu gering um Kernreaktionen zu ermöglichen

  • 17

    Schallgeschwindigkeit

    BemerkenswertMittlere Geschwindigkeit der Atome der Luft

    höher als die Schallgeschwindigkeit von 330 m/s

    Noch zu klärenWarum breitet sich ein Duft dann nicht schneller aus?

  • 18

    Kinetische EnergieTranslation

    Translationsenergie

    TkKE

    NRTKE

    MRTmKE

    mKE

    Bavg

    NRk

    Aavg

    mMN

    avg

    MRT

    rmsavg

    AB

    A

    rms

    23

    321

    321

    v21

    3v

    2

    2

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    Mittlere kinetische Energie eines idealen Gases

    unabhängig von Art des Gases Durch Temperaturmessung an einem idealen Gas bestimmt man mittlere kinetische Energie des Moleküleschwerer Gase bewegen sich gleicher Temperatur langsamer

  • 19

    Mittlere freie Weglänge

    Verschiedene Arten, die mittlere freie Weglänge zu ermitteln

    Moleküle mit einem bestimmten

    Durchmesser d stoßen

    Moleküle hat den doppelten Durchmesser 2d und stößt mit

    Punktteilchen

    Moleküle mit Durchmesser d fliegt für eine bestimmte Zeit t mit Geschwindigkeit v durch ein

    Volumen ohne einen Stoß zu machen

  • 20

    Mittlere freie Weglänge λmfp

    Alle Moleküle bewegen sich entlang gerader Bahnen mit einer mittleren Geschwindigkeit , bis sie elastisch mit anderen Molekülen stoßen

    mfp: mean free path

    λmfp ist die mittlere Entfernung die ein Molekül zurücklegt, bevor es mit einem anderen Molekül stößt

    Vermutung 1λmfp skaliert invers mit Anzahl Moleküle im Volumen

    NV

    VN

    mfp =⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛≈

    −1

    λ

    Vermutung 2λmfp skaliert invers mit Durchmesser der Moleküle

    ²1dmfp

    ≈λ

    ²1

    21

    dNV

    mfp πλ =mittlere freie Weglänge eines

    Moleküls in einem idealen GasTypische Werte

    Meereshöhe 0.1 μmHöhe 100 km: 16 cmHöhe 300 km: 20 kmexaktes Ergebnis

    UnterscheidungIdeales GasZustandsgleichung idealer Gase�doppelt�Zusammenhang zwischen Temperatur, Druck und VolumenAvogadrozahlEin Mol FussbälleIdeales GasIsotherme Zustandsänderung�Ideales GasAbhängigkeit von der Zustandsvariablen�Druck oder Volumen bleibt konstantZustandsänderungenExpansion von eines GasesKompression eines Gases�isothermMoleküle im KastenMoleküle im KastenMoleküle im KastenMoleküle im KastenSchallgeschwindigkeitKinetische Energie�TranslationMittlere freie WeglängeMittlere freie Weglänge lmfp