Kinetische Theorie für schwach wechselwirkende Elektronen ... · Es bleibt jedoch das Anderson-Modell zu lösen, wofür numerische Verfahren nötig sind. Mittlerweile existieren

Universität Augsburg

Zentrum für Elektronische Korrelationen und Magnetismus

Lehrstuhl für Theoretische Physik III

Kinetische Theorie

für schwach wechselwirkende Elektronen

im Nichtgleichgewicht

von Michael Stark

Dissertation

zur

Erlangung des akademischen Grades

eines

Doktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.)

Augsburg, Juli 2013

Erstgutachter: Prof. Dr. Dieter Vollhardt

Zweitgutachter: Prof. Dr. Ulrich Eckern

Tag der mündlichen Prüfung: 11.10.2013

Inhaltsverzeichnis

I. Grundlagen 1

1. Einleitung 3

1.1. Einführende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. Historisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2. Motivation der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Problemstellung der Arbeit und Konventionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Leitfaden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Ensembles und Thermalisierung 13

2.1. Formalismus der Statistischen Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1. Reine und gemischte Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.2. Statistische Entropie als Maß der Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.3. Generalisierte Gibbs-Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2. Integrable Systeme und nicht integrable Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. Approximation der Präthermalisierungsdynamik 23

3.1. Fast integrable Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2. Unitäre Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.1. Transformation des Eigensystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.2. Dynamik von Observablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.3. Präthermalisierungdynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3. Statistische Beschreibung des Präthermalisierungsplateau . . . . . . . . . . . . . . . 30

II. Dynamik in schwach wechselwirkenden Systemen 33

4. Grundlagen der kinetischen Theorie 35

5. Präthermalisierung 41

6. Thermalisierung 45

6.1. Diskussion des Dichteoperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.2. Volle kinetische Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.3. Quanten-Boltzmann-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.4. Erhaltungsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.5. Bestimmung der Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

III. Resultate für das Hubbard-Modell 57

7. Das Hubbard-Modell in unendlichen Dimensionen 59

7.1. Einführung in das Hubbard-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.2. Fermionen in unendlichen Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.3. Berechnung einiger Observablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8. Präthermalisierung im Hubbard-Modell 67

8.1. Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8.2. Resultate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

9. Thermalisierung im Hubbard-Modell 73

9.1. Volle kinetische Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

9.1.1. Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

9.1.2. Probleme der numerischen Implementierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

9.1.3. Verbesserungen: Additionstheorem und Vektorsinus . . . . . . . . . . . . . . 76

9.1.4. Konstruktion der Dispersion aus der Zustandsdichte . . . . . . . . . . . . . . 78

9.1.5. Resultate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

9.2. Resultate der Quanten-Boltzmann-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

9.2.1. Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

9.2.2. Vergleich zwischen QBG und voller kinetischer Gleichung . . . . . . . . . . 85

9.2.3. Temperatur des Endzustandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

9.2.4. Relaxationszeit der Thermalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

10.Zusammenfassung und Ausblick 93

A. Appendix 97

A.1. Symmetrisierung der kinetischen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

A.2. Spinsymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

A.3. Abbildung auf das Hubbard-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Literaturverzeichnis 103

Teil I.

Grundlagen

1. Einleitung

1.1. Einführende Bemerkungen

1.1.1. Historisches

Vor der Entwicklung der Quantenmechanik in den 1920er Jahren konnten die elektronischen

und thermischen Eigenschaften der Festkörper nicht zufriedenstellend erklärt werden. Es

existierten zwar klassische Modelle, wie das Drude-Modell [1], deren Ergebnisse standen

jedoch zum Teil im Widerspruch zu experimentellen Beobachtungen. Auch konnte keine

Aussage gemacht werden, ob ein Material ein Metall oder Isolator ist. Eine Verbesserung

stellt die quantenmechanische Betrachtung von Elektronen in einem periodischen Potential

dar. Diese führt zu einer Modifikation der parabolischen Energiedispersion freier Elektronen

und zur Entstehung von erlaubten Energiebereichen für die Elektronen, den sogenannten

Bändern. Dadurch konnte zwar das Verhalten einiger Materialien als Metall oder Isolator

verstanden werden. Doch einige Materialien zeigten im Experiment keine elektrische Leitfä-

higkeit, obwohl diese nach dem Bändermodell vorhanden sein sollte. Sir Nevill F. Mott konnte

zeigen, dass die Wechselwirkung der Elektronen untereinander zu einer starken Lokalisation

führen kann, die die elektrische Leitfähigkeit verhindert [2, 3]. Diese Klasse von Isolatoren

unterscheidet sich aufgrund ihrer Entstehungsweise von den Band-Isolatoren und wurde

nach dem britischen Physiker als Mott-Isolator benannt.

Das Verhalten eines quantenmechanischen Systems ist durch die Schrödinger-Gleichung

[4]

iħh∂

∂ t|ψ⟩=H |ψ⟩ (1.1)

bestimmt. Die Charakteristik eines Systems ist in dessen Hamilton-Operator H enthalten, der

das Verhalten der Wellenfunktion |ψ⟩ bestimmt. Die Lösung dieser Gleichung ist für wechsel-

wirkende Elektronen aufgrund ihres komplizierten Hamilton-Operators H analytisch sowie

numerisch nicht möglich bzw. nur mit sehr großem Aufwand möglich. Daher bedient sich

die theoretische Physik vereinfachter Modelle. Das wohl einfachste Modell wechselwirkender

Elektronen im Festkörper ist das Hubbard-Modell [5–7],

H =∑

i jσ

t i jσc †iσc jσ+U

∑

i

n i↑n i↓ (1.2)

3

1 Einleitung

in dem sich die Elektronen nur durch eine rein lokale Wechselwirkung U gegenseitig beein-

flussen. Der erste Term beschreibt das Hüpfen der Elektronen zwischen den Gitterplätzen i

und j . Dessen Stärke ist durch den Parameter t i jσ bestimmt. Obwohl das Modell eine starke

Vereinfachung des vollständigen Problems darstellt, lässt sich bereits ein Mott-Metall-Isolator

Übergang beobachten. Jedoch ist eine Lösung selbst dieses Modells nicht exakt analytisch

möglich. Lediglich das eindimensionale Hubbard-Modell ist mit Hilfe des Bethe-Ansatzes

analytisch lösbar [8, 9]. In den anderen Fällen muss auf Näherungsmethoden zurückgegriffen

werden.

Eine sehr erfolgreiche Methode in diesem Zusammenhang ist die DMFT (engl. Dynami-

cal Mean Field Theory, dt. Dynamische Molekularfeld-Theorie) [10–15]. In dieser wird die

Gitterstruktur des Festkörpers auf einen einzelnen Gitterplatz reduziert. Der Einfluss der

umliegenden Gitterplätze wird durch ein Elektronenbad imitiert. Zwischen dem Bad und dem

Gitterplatz kann ein Elektronenaustausch stattfinden. Im Gegensatz zu statischen Molekular-

feldtheorien besitzt die DMFT eine frequenzabhängige Selbstenergie, wodurch dynamische

Korrelationseffekte beschrieben werden können. Mathematisch gesehen wird in DMFT das

vollständige Gittermodell auf ein Anderson-Störstellen-Modell abgebildet. Diese Abbildung

ist in unendlichen Dimensionen sogar exakt. Es bleibt jedoch das Anderson-Modell zu lösen,

wofür numerische Verfahren nötig sind. Mittlerweile existieren dazu verschiedene numeri-

sche Verfahren wie Exakte Diagonalisierung, die numerische Renormalisierungsgruppe oder

Quanten-Monte-Carlo-Simulationen [16–18].

Gegenstand des vorliegenden Werks sind Systeme im Nichtgleichgewicht, d.h. die Evolution

von Quantensystemen unter einem zeitabhängigen Hamilton-Operator H (t ). Das Interesse an

derartigen Systemen wurde in den letzten Jahren durch Experimente mit ultrakalten Atomen

ausgelöst. In diesen wird durch drei sich überlagernde stehende Laserwellen ein periodi-

sches Potential erzeugt. Die darin befindlichen Atome koppeln aufgrund ihres elektrischen

Dipolmoments an die Laserwellen und erfahren dieses periodische Potential. Ein Tunneln

zwischen den Schwingungsbäuchen ist möglich und kann über die Laserintensität eingestellt

werden. Die Wechselwirkung ist ebenfalls experimentell kontrollierbar. Dies geschieht mit Hil-

fe von Feshbach-Resonanzen [19], die es erlauben über ein externes Magnetfeld die s-Wellen

Streulänge und somit die effektive Wechselwirkung zwischen zwei Atomen einzustellen 1.

Dadurch ist eine experimentelle Kontrolle beider Parameter t i jσ und U des Hubbard-Modells

möglich. Die Systeme können zudem gut von der Umgebung isoliert werden und stellen

daher eine nahezu ideale Realisierung des Hubbard-Modells dar.

So konnte in diesen Experimenten ein Phasenübergang eines Bose-Einstein-Kon- den-

sats zwischen superfluider- und Mott-Isolator-Phase beobachtet werden. Für bestimmte

Parameter konnten Oszillationen des Interferenzmusters des Quantengases beobachtet wer-

den [22, 23]. Die Umsetzung eines Fermi-Hubbard-Modells und Realisierung eines Mott-

1 Eine interessante Alternative, die Hubbard-Wechselwirkung U zu beeinflussen, findet sich in [20, 21]. In diesertheoretischen Arbeit wird gezeigt, dass man U durch elektrische Wechselfelder oder elektrische Pulse verändernkann.

4

1.1 Einführende Bemerkungen

Isolators gelang ebenfalls [24–26]. Somit konnten erstmals ein Bose- und ein Fermi-Hubbard-

Modell nahezu ideal realisiert werden. Insbesondere konnte studiert werden, wie die Quan-

tensysteme auf eine Änderung ihrer Parameter reagieren. Eine derartige Änderung führt dazu,

dass das System sich zunächst außerhalb des thermischen Gleichgewichts befindet und die

Bildung eines neuen Gleichgewichtszustands beobachtet werden kann. Interessant in diesem

Zusammenhang ist nun die Frage, wie die Relaxation zu diesem neuen Gleichgewichtszustand

erfolgt und ob dieser Zustand ein thermisches Gleichgewicht darstellt. In Experimenten konn-

te sowohl die Bildung von nicht thermischen [27], als auch von thermischen Gleichgewichten

beobachtet werden [28, 29].

Von diesen Experimenten angetrieben, wurde vergangene Dekade die DMFT für Nicht-

gleichgewichtssysteme entwickelt [30–34]. Auch hier bildet die DMFT das vollständige Modell

auf einem einzigen Gitterplatz ab. Jedoch treten nun zweizeitige Green-Funktionen G (t , t ′)

auf, deren Zeitargumente sich auf der Keldysh-Kontur [35, 36] befinden. Die gewöhnliche

Zeitordnung wird durch die Ordnung der Zeiten auf der Kontur ersetzt. Diese Technik erlaubt

auch im Nichtgleichgewicht eine Anwendung von Wick’s Theorem und somit eine diagram-

matische Störungstheorie zu formulieren. Im Bezug auf die Frage der Thermalisierung konnte

hiermit die Relaxation des Hubbard-Modells zu einem thermischen Wert und die Relaxation

des Falicov-Kimball-Modells zu einem nicht thermischen Zustand festgestellt werden [37, 38].

Neben der DMFT wurden Systeme im Nichtgleichgewicht auch mit anderen numerischen

Methoden untersucht [39–43], jedoch entstanden auch Arbeiten mit einem analytischen

Zugang [44–48].

1.1.2. Motivation der Arbeit

Für diese Arbeit vom größtem Interesse sind die theoretischen Arbeiten über das Hubbard-

Modell im Nichtgleichgewicht. Möckel und Kehrein untersuchten das Verhalten eines Fermi-

Gases nach dem plötzlichen Einschalten einer schwachen Wechselwirkung [49, 50]. Es wurde

beobachtet, dass die Relaxation in den thermischen Zustand nicht unmittelbar erfolgt, son-

dern zunächst ein nicht thermischer, jedoch stationärer Zustand eingenommen wird. Dieses

Verhalten tritt auch in feldtheoretischen Beschreibungen des frühen Universums auf und

wird Präthermalisierung genannt [51]. Der nicht thermische Zustand wird als präthermischer

Zustand bezeichnet. In ihrem störungstheoretischen Zugang konnten Möckel und Kehrein

die Evolution der Impulsverteilung bis zu diesem präthermischen Zustand studieren. Es

wurde eine Reduktion der Diskontinuität gegenüber der ursprünglichen Impulsverteilung

beobachtet. Jedoch ist diese Abnahme relativ schwach, sodass der Sprung die Prätherma-

lisierungsdynamik überdauert. (siehe Abb. 1.1). Dies ist ein klarer Hinweis auf einen nicht

thermischen Zustand. Dagegen konnte gezeigt werden, dass kinetische Energie und Wechsel-

wirkungsenergie im präthermischen Zustand bereits ihren thermischen Wert besitzen [50].

Die Präthermalisierung ist besonders bei kleinen U ’s dadurch erkennbar, dass die Transienten

5

1 Einleitung

conditions of the system of equations (4) at B � 1.Integrating back to B � 0 gives the time evolved creationoperator in the original basis, and it is straightforward toevaluate the time-dependent momentum distribution func-tion with respect to the initial Fermi gas state [20].

Nonequilibrium momentum distribution function.—Onefinds the following time-dependent additional term to thedistribution nk of the free Fermi gas in O�U2�:

�NNEQk �t� � NNEQ

k �t� � nk

� �4U2Z 1�1

dEsin2��k�E�t2 �

��k � E�2Jk�E; n�: (5)

The phase space factor Jk�E; n� resembles the quasiparticlecollision integral of a quantum Boltzmann equation:

Jk�E; n� �Xp0q0p

�p0�q0

p�k ��p0��q0�p�E

�nknpn�p0n�q0 � n

�k n�p np0nq0 :

For computational convenience we use the limit of infinitedimensions, specifically a Gaussian density of states�� exp��=t�2=2=

��2�p

t [15]. In the sequel �F �� 0� denotes the density of states at the Fermi level.Results from a numerical evaluation of the above schemefor three time steps are presented in Fig. 2.

Equilibrium momentum distribution function.—Equations (4) can also be used to evaluate the equilibriumdistribution function, which will later be important forcomparison. In fact, the asymptotic value hkF �B � 1� atthe Fermi energy is directly related to the quasiparticleresidue (Z factor), ZEQU � �hkF �B � 1�

2 [19]. It is easyto solve (4) analytically at the Fermi energy for zerotemperature in O�U2�, and one finds for momenta k infini-tesimally above or below the Fermi surface

�NEQUk � �U2

Z 1�1

dEJk�E; n�

��k � E�2 (6)

consistent with a conventional perturbative evaluation.Short-time correlation buildup.—The numerical evalu-

ation of the momentum distribution function depicted inFig. 2 shows the initial buildup of a correlated state fromthe Fermi gas. For times 0< t & ��1

F U�2 one observes afast reduction of the Fermi surface discontinuity and 1=toscillations in the momentum distribution function. Thisshort-time regime can be understood as the formation ofquasiparticles from the free electrons of the initial non-interacting Fermi gas.

Intermediate quasi–steady regime.—For times t of or-der ��1

F U�2 the sinusoidal time dependence in (5) gener-ates an increasing localization in energy space, whicheventually becomes a � function (Fermi’s golden rule).There are no further changes in the momentum distributionfunction for times t * ��1

F U�2 in the present order of thecalculation. For momenta k infinitesimally above or belowthe Fermi surface one then finds from (5):

�NNEQk �t! 1� � �4U2

Z 1�1

dE1

2

Jk�E; n�

��k � E�2� 2�NEQU

k

(7)

since sin2 in (5) yields a factor 1=2 in the long-time limit.In the quasi–steady state the momentum distribution func-tion is therefore that of a zero temperature Fermi liquid.However, from (7) one deduces that its Z factor is smallerthan in equilibrium, 1� ZNEQ � 2�1� ZEQU�. This factor2 implies a quasiparticle distribution function in the vicin-ity of the Fermi surface in the quasi–steady state equal tothe equilibrium distribution function of the physical elec-trons, NQP:NEQ

k � NEQUk , as opposed to its equilibrium

distribution, NQP:EQUk � ��kF � k�.

Remarkably, Cazalilla’s findings [8] for the interactionquench in the Luttinger model mirror these features: thecritical exponent describing the asymptotic behavior of theelectronic Green’s function differs from the equilibriumresult. As Cazalilla points out this corresponds to a non-equilibrium distribution for the bosonic modes after bo-sonization. A main difference between the Luttinger liquidand the Fermi-liquid cases follows from the integrability ofthe Luttinger liquid with an infinite number of conservationlaws, which make this regime stable for t! 1. For theFermi liquid, on the other hand, on shell interactions leadto thermalization, as we will see next.

Thermalization.—The previous flow equation calcula-tion of the real time dynamics contains all contributions tothe time evolution for times smaller than ��3

F U�4. For thelong-time dynamics one generally expects a quantumBoltzmann equation (QBE) to be a valid description [21]

@NQPk �t�@t

� ��FU2Jk�E � �k; NQP�t��: (8)

Here the quasiparticle momentum distribution function

FIG. 2. (a)–(d) Time evolution of NNEQ�� plotted around theFermi energy for �FU � 0:6. A fast reduction of the disconti-nuity and 1=t oscillations can be observed. The arrow in(d) indicates the size of the quasiparticle residue in the quasi–steady regime. In (e) the universal curves for �Nk � Nk � nkare given for both equilibrium and for the nonequilibrium quasi–steady state in the weak-coupling limit.

PRL 100, 175702 (2008) P H Y S I C A L R E V I E W L E T T E R S week ending2 MAY 2008

175702-3

Abbildung 1.1.: Momentaufnahmen der Impulsverteilung im Hubbard-Modell beim bzw. nach demEinschalten der Wechselwirkung. Aufnahme (a) vor dem Einschalten der Wechsel-wirkung ist ein Fermi-Gas mit T = 0. Durch das Einschalten der Wechselwirkungreduziert sich der Sprung an der Fermi-Kante, verschwindet aber nicht (b)-(d). In (e)ist die Änderung der Impulsverteilung des präthermischen Zustands gegenüber derVerteilung aus (a) zu sehen. Abgedruckt aus [49].

für eine gewisse Zeit konstant sind, bevor der Übergang zum thermischen Zustand einsetzt.

Dies führt zur Bildung eines sogenannten Präthermalisierungsplateau, das beispielsweise in

Abb. 1.2(a) erkennbar ist.

Eine korrekte Beschreibung der Dynamik bis zum thermischen Zustand wird durch eine

Quanten-Boltzmann-Gleichung erwartet. Deren einzige stationäre Lösung ist die Fermi-

Verteilung, für deren Temperatur ein Zusammenhang T ∝U vermutet wird. Während die

Präthermalisierung auf einer Zeitskala t ≈ 1/U 2 stattfindet, wird Thermalisierung auf einer

Zeitskala t ≈ 1/U 4 für wahrscheinlich gehalten.

Die Resultate aus [49] konnten mit DMFT im Nichtgleichgewicht verifiziert werden [34, 38].

Im Gegensatz zu [49] konnte in diesen Arbeiten das Modell auch für große Wechselwirkungen

U simuliert werden. Je nach Größe von U wurden unterschiedliche Relaxationsverhalten

festgestellt (siehe Abb. 1.2). So findet man für große U ’s eine Oszillation der Impulsverteilung

mit Periode 2π/U vor. Für U = 3.3 lässt sich eine rasche Relaxation zum thermischen Zustand

feststellen, dagegen kann man für U < 3.3 ein ausgeprägtes Präthermalisierungsplateau beob-

achten. Für U ≤ 1 ist eine gute Übereinstimmung mit den Ergebnissen aus [49] zu beobachten.

So zeigen die DMFT-Daten ebenfalls eine Präthermalisierung der Doppelbesetzung und lie-

fern quantitativ ebenso übereinstimmende Werte (Abb. 1.3(b)). Auch die Entwicklung der

Diskontinuität in der Impulsverteilung wird durch die DMFT-Resultate quantitativ bestätigt

(Abb. 1.3(a)). Interessanterweise ist in diesen Ergebnissen bereits eine weitere Reduktion

des Sprungs zu sehen, was ein Anzeichen für die Relaxation zum thermischen Wert ist. Wie

erwähnt geschieht diese Relaxation vermutlich auf einer Zeitskala t ≈ 1/U 4. Daraus ergeben

sich für U < 1 sehr lange Zeiten, die sowohl mit der Methode aus [49], als auch in DMFT

6

1.1 Einführende Bemerkungen

at the location of the Fermi surface for finite times after aninteraction quench.50 Because a discontinuity in the momen-tum distribution of a Fermi liquid in thermal equilibrium canexist only at zero temperature, while on the other hand, aquenched system is always excited with respect to theground state, the existence of a finite jump �n�t� clearlyindicates that the system is not yet fully thermalized. Thesize of the discontinuity is thus well suited to characterizethe relaxation after the quench.

In the weak-coupling regime �Fig. 4�a��, n�� , t� rapidlyevolves toward a distribution �t�2 in Fig. 4�a��, which is notyet thermalized, but changes only slowly in time. This emer-gence of long-lived nonthermal states is an example ofprethermalization,22 which is observed in a wide range ofclassical and quantum systems.23 As shown by Moeckel andKehrein,22 the nonthermal state remains stable for all timeswithin second-order unitary perturbation theory in U /V, i.e.,higher-order corrections become effective only on the long

time scale V3 /U4. In the limit of infinite dimensions theirweak-coupling result for the transient behavior toward theprethermalization plateau has the form

npert��,t� = n�� − 4U2F��,t� , �71�

F��,t� = −�

�

dEsin2�E − ��t/2

�E − ��2 J��E� , �72�

J��E� = d�1� d�2� d�1��1� + �2� − �1 − E�

��1��2��1��n��n��1��1 − n��1��1 − n��2��

− �1 − n��1 − n��1��n��1��n��2�� . �73�

For a half-filled band and a symmetric density of states,��=��−��, we obtain

F��,t� = −sgn��

2

0

t

ds�t − s�Re�R�s�3eis�� , �74�

where R�s�=�d��−��eis�. This yields �n�t� and alsod�t� by using the energy conservation after the quench,

�npert�t� = 1 − 4U20

t

ds�t − s�Re�R�s�3� , �75�

dpert�t� =1

4− 2U

0

t

ds Im�R�s�4� . �76�

Numerical evaluations of these functions are plotted andcompared to our DMFT results in Fig. 5 for the semiellipticdensity of states �24� with V=1. Regarding the transient be-havior and the prethermalization plateau we find very goodagreement for U�1. Interestingly the prethermalization pla-teau of �n�t� is almost correctly predicted by the weak-coupling results even for U�2. For larger times, the systemrelaxes further toward the thermal value.

In the strong-coupling regime �Fig. 4�c��, the relaxation isdominated by damped collapse and revival oscillations ofapproximate periodicity 2� /U. The decay of these oscilla-tions is not fully accessible within CTQMC due to the dy-namical sign problem. However, our results show that n�� , t�oscillates around a nonthermal distribution �Fig. 6�c��. Thisbehavior is similar to what was found for the double occu-pation d�t�,20 i.e., a decay on the time scale 1 /V to oscilla-tions around a nonthermal value which does not change onmuch longer time scales.

The interaction quench to U=3.3V is characterized by arapid thermalization of the momentum distribution �Figs.4�b� and 6�b��, without signatures of either collapse and re-vival oscillations or a prethermalization plateau in n�� , t�.Numerically we cannot detect a finite width of the crossoverregime between the weak- and strong-coupling behavior,which indicates that there is a single point U=Udyn�3.2Vwhich marks a dynamical transition in the Hubbard model.20

A further investigation of this phenomenon and its relation tothe Mott transition in equilibrium will require a systematicanalysis of interaction quenches which start from a wide

0

0.5

1

n(ε,t)

a) U=2

1 2 3 4 5

-2-1

01

2ε

t

n(ε,t)

0

0.5

1

n(ε,t)

b) U=3.3

1 2 3 4 5

-2-1

01

2ε

t

n(ε,t)

0

0.5

1

n(ε,t)

c) U=5

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-2-1

01

2ε

t

n(ε,t)

FIG. 4. �Color online� Momentum distribution n�� , t� after aninteraction quench in the Hubbard model from the noninteractingground state to interaction U=2 �a�, U=3.3 �b�, and U=5 �c�.

INTERACTION QUENCH IN THE HUBBARD MODEL:… PHYSICAL REVIEW B 81, 115131 �2010�

115131-11




npert��,t� = n�� − 4U2F��,t� , �71�

F��,t� = −�

�


�E − ��2 J��E� , �72�

J��E� = d�1� d�2� d�1��1� + �2� − �1 − E�

��1��2��1��n��n��1��1 − n��1��1 − n��2��

− �1 − n��1 − n��1��n��1��n��2�� . �73�


F��,t� = −sgn��

2

0

t

ds�t − s�Re�R�s�3eis�� , �74�


�npert�t� = 1 − 4U20

t

ds�t − s�Re�R�s�3� , �75�

dpert�t� =1

4− 2U

0

t

ds Im�R�s�4� . �76�





0

0.5

1

n(ε,t)

a) U=2

1 2 3 4 5

-2-1

01

2ε

t

n(ε,t)

0

0.5

1

n(ε,t)

b) U=3.3

1 2 3 4 5

-2-1

01

2ε

t

n(ε,t)

0

0.5

1

n(ε,t)

c) U=5

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-2-1

01

2ε

t

n(ε,t)



115131-11




npert��,t� = n�� − 4U2F��,t� , �71�

F��,t� = −�

�


�E − ��2 J��E� , �72�

J��E� = d�1� d�2� d�1��1� + �2� − �1 − E�

��1��2��1��n��n��1��1 − n��1��1 − n��2��

− �1 − n��1 − n��1��n��1��n��2�� . �73�


F��,t� = −sgn��

2

0

t

ds�t − s�Re�R�s�3eis�� , �74�


�npert�t� = 1 − 4U20

t

ds�t − s�Re�R�s�3� , �75�

dpert�t� =1

4− 2U

0

t

ds Im�R�s�4� . �76�





0

0.5

1

n(ε,t)

a) U=2

1 2 3 4 5

-2-1

01

2ε

t

n(ε,t)

0

0.5

1

n(ε,t)

b) U=3.3

1 2 3 4 5

-2-1

01

2ε

t

n(ε,t)

0

0.5

1

n(ε,t)

c) U=5

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-2-1

01

2ε

t

n(ε,t)



115131-11

Abbildung 1.2.: Evolution der Impulsverteilungen für verschiedene Werte von U im Hubbard-Modell.Zu sehen sind die unterschiedlichen Verhaltensweisen in der Relaxation. (a) KleineU zeigen ein ausgeprägtes Präthermalisierungsplateau. Dagegen tritt für U = 3.3(b) direkte Thermalisierung ein und (c) zeigt Oszillationen der Impulsverteilung.Abgedruckt aus [34].

nicht zu erreichen sind. An diesem Punkt setzt diese Arbeit an. Ziel dieser ist es, einen semi-

analytischen Zugang für die Zeitentwicklung schwach wechselwirkender Quantensysteme bis

zum thermischen Zustand zu entwerfen. Die Theorie sollte neben der korrekten thermischen

Impulsverteilung des Endzustandes die bisherigen Erkenntnisse enthalten und das in [49]

entworfene Szenario bestätigen. Wir wiederholen die einzelnen Punkte dieses Szenarios:

(i) Die Dynamik von präthermischem zu thermischem Zustand wird durch eine Quanten-

Boltzmann-Gleichung beschrieben. Die präthermischen Werte dienen dieser als An-

fangsbedingungen.

(ii) Der finale Zustand ist eine Fermi-Verteilung mit T ∝U .

(iii) Die Thermalisierung erfolgt auf einer Zeitskala proportional zu 1/U 4.

(iv) Die Relaxation von kinetischer Energie und Wechselwirkungsenergie ist im präthermi-

schen Zustand bereits abgeschlossen.

Dafür wird eine kinetische Theorie entwickelt, die das Verhalten auf allen Zeitskalen wieder-

gibt und damit sowohl den präthermischen als auch den thermischen Zustand beschreibt. Für

welche Systeme wir diese Theorie entwickeln, wollen wir im Folgenden näher spezifizieren.

7

1 Einleitung

range of initial states other than the noninteracting groundstate. This is left to a future publication. In the following weturn to a different question and investigate to what extent therapid thermalization close to U=Udyn, the oscillations at U�Udyn, and the prethermalization at UUdyn show up invarious dynamical quantities of the Hubbard model.

C. Spectral function

Important information about a correlated system out ofequilibrium cannot only be obtained from thermodynamicquantities, but also from the dynamical response of the sys-tem to certain external perturbations, which can be computedfrom various real-time correlation functions. In the followingsection, we discuss the time evolution of the local Green’sfunction G��t , t��G�t , t�� in the paramagnetic phase of theHubbard model after a quench from the noninteractingground state to finite interaction U. For this purpose, weintroduce the partial Fourier transform

GR,��,t� = dsei�sGR,�t + s,t� �77�

of the retarded and lesser Green’s function, and the spectralfunction A�� , t�=−�1 /��Im GR��+ i0, t�. The spectrum

turns out to be a useful representation of the nonequilibriumGreen’s function, although it lacks a direct relation to the“distribution function” G�� , t� and thus does not have thesame significance as in the equilibrium case. �In equilibrium,one has G��=2�iA��f��.�

Before discussing the results, we have to mention a tech-nicality, which arises from the restriction of the Monte Carlosimulations to relatively small times t tmax. In practice, theintegration range in Eq. �77� must be cut off at smax� tmax− t, leading to artificial oscillations at frequency 1 /smax. Toreduce this effect in a controlled way we introduce an addi-tional Gaussian factor exp�−s2�� in the integral �77�. Theresulting expression amounts to a convolution of the trueFourier transform �tmax=�� with the kernel

k��;�,smax� =1

2�

−smax

smax

ds exp�i�s − s2�� . �78�

A suitable choice of the parameter � can in some cases sup-press the oscillations without washing out important spectralfeatures, and a comparison with a known equilibrium spec-trum is always possible without loss of information afterconvolution of the latter with the same kernel.

In Fig. 7, we plot GR�t+s , t� and A�� , t� for a quench tointeraction U=3. The spectrum A�� , t� differs from the ini-tial semielliptic density of states for all times t�0, becausethe choice of the Fourier transform in Eq. �77� implies thatthe initial equilibrium Green’s function does not enter thedefinition of A�� , t� for t�0. Note that this would be differ-

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5

∆n(t

)

t

a)

U=0.5U=1U=1.5U=2U=2.5

0.09

0.13

0.17

0.21

0.25

0 1 2 3 4 5

d(t)

t

b)U=0.5U=1U=1.5

U=2U=2.5

FIG. 5. �Color online� Approach of the prethermalized state atweak-coupling and subsequent relaxation toward the thermal state.�a� Discontinuity at the Fermi surface. �b� Double occupation. Solidlines: weak-coupling results �Eqs. �75� and �76��.

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n(ε,

t)

a) U=2

t = 3.0t = 4.0

Teff = 0.31

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n(ε,

t)

b) U=3.3

t = 1.575Teff = 0.84

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

n(ε,

t)ε

c) U=5

t = 2.175t = 2.925

Teff = 2.0

FIG. 6. �Color online� Comparison of the momentum distribu-tion n�� , t� for fixed time t after the quench �symbols� to the mo-mentum distribution in thermal equilibrium at the effective tem-perature Teff �cf. Eq. �70�� solid lines�. Interaction parameters areU=2 �a�, U=3.3 �b�, and U=5 �c�.

ECKSTEIN, KOLLAR, AND WERNER PHYSICAL REVIEW B 81, 115131 �2010�

115131-12

range of initial states other than the noninteracting groundstate. This is left to a future publication. In the following weturn to a different question and investigate to what extent therapid thermalization close to U=Udyn, the oscillations at U�Udyn, and the prethermalization at UUdyn show up invarious dynamical quantities of the Hubbard model.

C. Spectral function

Important information about a correlated system out ofequilibrium cannot only be obtained from thermodynamicquantities, but also from the dynamical response of the sys-tem to certain external perturbations, which can be computedfrom various real-time correlation functions. In the followingsection, we discuss the time evolution of the local Green’sfunction G��t , t��G�t , t�� in the paramagnetic phase of theHubbard model after a quench from the noninteractingground state to finite interaction U. For this purpose, weintroduce the partial Fourier transform

GR,��,t� = dsei�sGR,�t + s,t� �77�

of the retarded and lesser Green’s function, and the spectralfunction A�� , t�=−�1 /��Im GR��+ i0, t�. The spectrum

turns out to be a useful representation of the nonequilibriumGreen’s function, although it lacks a direct relation to the“distribution function” G�� , t� and thus does not have thesame significance as in the equilibrium case. �In equilibrium,one has G��=2�iA��f��.�

Before discussing the results, we have to mention a tech-nicality, which arises from the restriction of the Monte Carlosimulations to relatively small times t tmax. In practice, theintegration range in Eq. �77� must be cut off at smax� tmax− t, leading to artificial oscillations at frequency 1 /smax. Toreduce this effect in a controlled way we introduce an addi-tional Gaussian factor exp�−s2�� in the integral �77�. Theresulting expression amounts to a convolution of the trueFourier transform �tmax=�� with the kernel

k��;�,smax� =1

2�

−smax

smax

ds exp�i�s − s2�� . �78�

A suitable choice of the parameter � can in some cases sup-press the oscillations without washing out important spectralfeatures, and a comparison with a known equilibrium spec-trum is always possible without loss of information afterconvolution of the latter with the same kernel.

In Fig. 7, we plot GR�t+s , t� and A�� , t� for a quench tointeraction U=3. The spectrum A�� , t� differs from the ini-tial semielliptic density of states for all times t�0, becausethe choice of the Fourier transform in Eq. �77� implies thatthe initial equilibrium Green’s function does not enter thedefinition of A�� , t� for t�0. Note that this would be differ-

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5

∆n(t

)

t

a)

U=0.5U=1U=1.5U=2U=2.5

0.09

0.13

0.17

0.21

0.25

0 1 2 3 4 5

d(t)

t

b)U=0.5U=1U=1.5

U=2U=2.5

FIG. 5. �Color online� Approach of the prethermalized state atweak-coupling and subsequent relaxation toward the thermal state.�a� Discontinuity at the Fermi surface. �b� Double occupation. Solidlines: weak-coupling results �Eqs. �75� and �76��.

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n(ε,

t)

a) U=2

t = 3.0t = 4.0

Teff = 0.31

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n(ε,

t)

b) U=3.3

t = 1.575Teff = 0.84

0.2

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1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

n(ε,

t)

ε

c) U=5

t = 2.175t = 2.925

Teff = 2.0

FIG. 6. �Color online� Comparison of the momentum distribu-tion n�� , t� for fixed time t after the quench �symbols� to the mo-mentum distribution in thermal equilibrium at the effective tem-perature Teff �cf. Eq. �70�� solid lines�. Interaction parameters areU=2 �a�, U=3.3 �b�, and U=5 �c�.

ECKSTEIN, KOLLAR, AND WERNER PHYSICAL REVIEW B 81, 115131 �2010�

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Abbildung 1.3.: (a) Zeitentwicklung des Sprungs an der Fermi-Kante. Die durchgehenden Liniensind die störungstheoretischen Resultate aus [49], die Punkte die Ergebnisse derDMFT-Rechnungen aus [38]. Die einsetzende weitere Reduktion des Sprungs istin den DMFT-Daten sehr schön zu sehen.(b) Vergleich der Resultate für die Dop-pelbesetzung. Diese hat bereits ihren thermischen Wert erreicht und bleibt auchüber die Präthermalisierungsdynamik hinaus konstant. Für U ≤ 1 lässt sich einehervorragende Übereinstimmung feststellen. Abgedruckt aus [38].

1.2. Problemstellung der Arbeit und Konventionen

In dieser Arbeit werden Systeme untersucht, die einer instantanen Parameteränderung aus-

gesetzt werden. Solche Änderungen werden als Quenches nach dem englischen Wort für

Abschreckung bezeichnet. Wir betrachten Systeme, die durch den Hamilton-Operator

H =H0+Θ(t )g H1, |g | � 1 (1.3)

beschrieben werden. Dabei sei

H0 =L∑

α=1

εαnα (1.4)

ein nicht wechselwirkendes Fermi-Gas auf L-Gitterplätzen und

H1 =∑

αβγδ

Vαβγδc †αc †βcγcδ (1.5)

eine beliebige Zweikörper-Wechselwirkung, deren Stärke g klein sei. Wie an (1.3) zu sehen ist,

erfolgt die Parameteränderung in unserem Fall durch das Einschalten der Wechselwirkung g

zum Zeitpunkt t = 0. Dies wird durch die Stufenfunktion Θ(t ) ausgedrückt. Die Koeffizienten

in H1 besitzen folgende Symmetrien:

Vαβγδ =−Vβαγδ =Vβαδγ

V ∗αβγδ =Vδγβα . (1.6)

8

1.2 Problemstellung der Arbeit und Konventionen

Die Operatoren

c †α, cα (1.7)

die üblichen fermionischen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren. Sie erzeugen bzw.

vernichten ein Elektron im Zustand α und erfüllen die fermionische Antikommutatorrelation

[c †α, cβ ]+ =δαβ . (1.8)

Zudem tritt in H0 der Besetzungszahloperator

nα = c †αcα (1.9)

auf, der die Elektronenanzahl im Niveau α bestimmt. Die εα sind die Energien dieser Niveaus.

Die Koeffizienten Vαβγδ bestimmen die Art der Wechselwirkung, z.B. ob diese lokal ist.

Ferner sei das System isoliert, d.h. für t ≥ 0 findet kein Energie- oder Teilchenaustausch

mit einer Umgebung statt. Die Energie des Systems ist daher erhalten und kann aus diesem

Grund über

E = Tr ⟨ψ(0)|H |ψ(0)⟩ (1.10)

berechnet werden. Zusätzlich beschränken wir uns in dieser Arbeit auf Systeme, deren An-

fangszustand ein Fermi-Gas mit Temperatur T = 0 ist, d.h. die Zustände sind genau bis zur

Fermi-Kante kF gefüllt und der Anfangszustand besitzt die Form

|ψ(0)⟩=∏

k<kF

c †k↑c

†k↓|0⟩ . (1.11)

Für die Berechnungen bedeutet dies, dass ein Eigenzustand von H0 vorliegt, d.h. insbesondere

�

|ψ(0)⟩⟨ψ(0)|, H0�

= 0 . (1.12)

Durch das Einschalten von H1 befindet sich das System nicht mehr in einem Eigenzu-

stand von H . Dadurch ist das System nicht mehr stationär und es findet eine nicht-triviale

Zeitentwicklung statt. Die zentrale Aufgabe wird nun sein, die Evolution der elektronischen

Besetzungen

⟨nk(t )⟩ (1.13)

in solchen Systemen zu beschreiben. Dabei steht insbesondere im Fokus, ob das System einen

thermischen Zustand erreicht. Die Ergebnisse dieser Arbeit werden für das Hubbard-Modell

in unendlichen Dimensionen

d =∞ (1.14)

9

1 Einleitung

mit semi-elliptischer Zustandsdichte (Bandbreite V = 1)

D(ε) =

p

4−ε2

2π(1.15)

und halber Füllung vorgestellt.

Konventionen

Wir definieren

nν (t ) = ⟨nν (t )⟩= Tr nνρ(t ) (1.16)

und bitten um Beachtung, dass Besetzungen mit einem Zeitargument als Erwartungswerte

aufzufassen sind. Dagegen sind Besetzungen ohne Zeitargument Operatoren. Die in die-

ser Arbeit verwendeten Operatoren sind ausschließlich im Schrödinger-Bild, so dass eine

Verwechslung ausgeschlossen ist. Wir fügen dem noch die Definition

nν (t ) = 1−nν (t ) (1.17)

hinzu.

Ferner setzen wir die physikalischen Konstanten

ħh = 1, kB = 1 (1.18)

und weisen daraufhin, dass die Spuroperation alle nachfolgenden Elemente einbezieht:

Tr A BC = Tr (A BC ) (1.19)

Das Langzeitmittel einer Größe A sei definiert durch:

⟨A⟩∞ = limt→∞

∫ t

0

dt ′A(t ′)

t. (1.20)

Außerdem verwenden wir die angelsächsische Schreibweise für Dezimalzahlen, beispiels-

weise1

2= 0.5 , (1.21)

und verzichten auf die im Deutschen üblichen Tausender-Trennzeichen.

Verwendete Abkürzungen:

• GGE=Generalisiertes Gibbs-Ensemble

• ALZ=Approximation der lokalen Zeit

• QBG=Quanten-Boltzmann-Gleichung.

10

1.3 Leitfaden

1.3. Leitfaden

Um die im vorherigen Abschnitt beschriebenen Fragen zu klären, bedarf es etwas Vorarbeit.

So werden wir in Kapitel 2 zunächst eine Einführung in die Statistische Physik geben, mit dem

Ziel, ein generalisiertes Gibbs-Ensemble(GGE) – eine Verallgemeinerung der kanonischen

Ensembles – herzuleiten. Anschließend werden wir integrable bzw. nicht integrable Systeme

vorstellen.

Kapitel 3 stellt auf Basis einer unitären Störungsrechnung eine Methode vor die Kurzzeit-

dynamik von Systemen der Art (1.3) zu beschreiben. Abschließend wird für die behandelten

Systeme ein GGE hergeleitet.

Im Hauptteil der Arbeit wird ausgehend von der Schrödinger-Gleichung eine kinetische

Theorie für schwach wechselwirkende Systeme entwickelt. In einem ersten Schritt können

wir zeigen, dass diese die in Kapitel 3 vorgestellte Theorie als Grenzfall enthält.

In Kapitel 6 wird dann eine Gleichung hergeleitet, die sowohl die Kurz- als auch die Lang-

zeitdynamik beschreibt. Da insbesondere das Langzeitverhalten von Interesse ist, wird auf

Basis einer Näherung eine Boltzmann-Gleichung entwickelt, dieses ökonomisch zu bestim-

men. Für diese Boltzmann-Gleichung werden anschließend einige Eigenschaften gezeigt.

Schließlich stellen wir eine Methode vor, die Temperatur des Systems zu berechnen.

Im Ergebnisteil der Arbeit werden wir zunächst das Hubbard-Modell in unendlichen Di-

mensionen vorstellen. Für dieses Modell werden in Kapitel 8 die Ergebnisse der kinetischen

Theorie mit denen der Störungsrechnung aus Kapitel 3 verglichen.

Anschließend präsentieren wir die vollständige Zeitentwicklung des Hubbard-Modells.

Diese Resultate stellen wir anschließend den Resultaten der Quanten-Boltzmann-Gleichung

gegenüber und analysieren das Relaxationsverhalten.

In Kapitel 10 findet sich eine Zusammenfassung der Arbeit, sowie mögliche Ideen diese

fortzusetzen.

11

2. Ensembles und Thermalisierung

In diesem Kapitel geben wir eine kurze Einführung in den Formalismus der Statistischen

Physik. Das Vorgehen basiert auf [52] und entwickelt die Statistik von einer mikroskopi-

schen Ebene aus. Die zentrale Größe der Statistik, die Entropie, stellen wir als ein Maß

für die fehlende Information über ein physikalisches System vor. Die Maximierung dieser

Größe führt auf generalisierte Gibbs-Ensembles, die die kanonischen Ensembles als Spezi-

alfall enthalten. Bekannte Informationen über ein System, wie beispielsweise die Energie,

gehen als Nebenbedingungen in die Maximierung ein. Schließlich stellen wir integrable

und nicht integrable Systeme vor, gefolgt von einer Diskussion über deren Relaxationsver-

halten und Möglichkeiten diese Systeme statistisch zu beschreiben.

2.1. Formalismus der Statistischen Physik

2.1.1. Reine und gemischte Zustände

In der Quantenmechanik werden physikalische Systeme durch einen Vektor im Hilbert-Raum

|ψ⟩, einem sogenannten Mikrozustand, beschrieben. Im Gegensatz zur phänomenologischen

Thermodynamik wird die Statistische Physik von dieser Ebene ausgehend, entwickelt. Die

Beschreibung eines Systems durch einen Mikrozustand |ψ⟩ setzt eine perfekte Kenntnis und

Präparation des Systems voraus. Im Allgemeinen besitzt man jedoch nur die Information um

Aussagen über den Makrozustand des Systems zu machen. Ein Makrozustand besteht aus

mehreren Mikrozuständen, die mit einem bestimmten Gewicht wn beitragen,

|ψ⟩makro =∑

n

wn |ψn ⟩ , (2.1)

mit∑

n wn = 1. Ein Makrozustand ist also eine Mischung aus Mikrozuständen, daher sind

auch die Bezeichnungen „reiner“ und „gemischter Zustand“ gebräuchlich. Die experimentell

zugänglichen Größen sind die Erwartungswerte von Observablen A. In einem reinen Zustand

sind diese durch

⟨A⟩= ⟨ψ|A |ψ⟩ (2.2)

13

2 Ensembles und Thermalisierung

gegeben. Der Erwartungswert in einem Makrozustand ist nun die gewichtete Summe der

Erwartungswerte der beitragenden Mikrozustände

⟨A⟩=∑

n

wn ⟨ψn |A |ψn ⟩ . (2.3)

Führt man nun den Dichteoperator (oder auch statistischer Operator)

ρ =∑

n

wn |ψn ⟩⟨ψn | (2.4)

ein, lässt sich (2.3) als

⟨A⟩= TrρA (2.5)

schreiben. Der Dichteoperator enthält die gesamte über den Makrozustand bekannte Infor-

mation. Damit hat man nun einen Formalismus gewonnen, der einerseits die intrinsische

Wahrscheinlichkeit der Quantenmechanik und andererseits die Wahrscheinlichkeit aufgrund

der unzureichenden Kenntnis über das Systems vereinbart. Ferner sind reine Zustände als Spe-

zialfall ρ = |ψ⟩⟨ψ| in (2.4) enthalten. Des Weiteren lassen sich aus (2.4) einige Eigenschaften

ableiten:

(i) ρ =ρ†

(ii) Trρ = 1

(iii) ⟨ψ|ρ|ψ⟩ ≥ 0 .

Die Beweise dieser Eigenschaften finden sich z.B. in [52]. Wichtig sind die Konsequenzen

dieser Eigenschaften. So folgt aus der Hermitezität (i), die Diagonalisierbarkeit von ρ mit

reellen Eigenwerten:

ρ =∑

m

|m ⟩pm ⟨m | . (2.6)

Aus ii) und iii) resultieren die positiven Eigenwerte, pm ≥ 0, sowie die Normierung∑

m pm = 1.

Diese Eigenschaften erlauben es die Eigenwerte pm als Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten

eines Zustands |m ⟩ zu betrachten. Der Dichteoperator erlaubt noch eine mathematische

Unterscheidung zwischen purem und reinem Zustand: Liegt ein reiner Zustand vor, ist ρ ein

Projektor, d.h. ρ = ρ2, folglich Trρ2 = 1. Für einen gemischten Zustand gilt dagegen stets

Trρ2 < 1.

2.1.2. Statistische Entropie als Maß der Information

Für gewöhnlich ist die Kenntnis über ein physikalisches System nicht exakt. Das würde be-

deuten, man habe die genaue Information über den Zustandsvektorψ eines Systems. Jedoch

besitzt man in den meisten Fällen lediglich Auskunft über die Wahrscheinlichkeitsverteilung

14

2.1 Formalismus der Statistischen Physik

der beitragenden Mikrozustände. Die Idee der Statistik besteht darin eine Beschreibung zu

entwickeln, die nur die bekannte Information über ein Systems einfließen lässt, und ansons-

ten das System völlig unbestimmt lässt. Dadurch werden unberechtigte Annahmen über das

System vermieden. Um diese Beschreibung zu entwickeln, benötigt man eine Größe, die

fehlende Information zu quantifizieren. In der Statistischen Physik ordnet man daher jeder

Wahrscheinlichkeitsverteilung wn die statistische Entropie

S(w1, ..., wN ) (2.7)

zu. Diese Quantität sollte natürlich gewisse Eigenschaften erfüllen, die für ein Maß der

fehlenden Information sinnvoll erscheinen. Dies sind u.a.

(i) Maximum

Treten sämtliche Zustände N mit derselben Wahrscheinlichkeit auf, d.h. wn = 1/N , soll-

te die Größe ein Maximum annehmen, da wir in diesem Fall am wenigsten Information

über das System besitzen.

(ii) Minimum

Liegt dagegen ein Zustand sicher vor, gibt es keine Unbestimmtheit, d.h es sollte

S(0, ..., 1, ...0) = 0 (2.8)

gelten.

(iii) Extensivität

Die Entropie S sollte mit der Größe des Systems skalieren. Umso mehr Mikrozustände

auftreten, desto mehr Information fehlt über das System.

(iv) Additivität

Wir betrachten zwei Ereignisse A und B . A kennzeichnet das Eintreten eines Ereignis in

1, ..., m , B ein Ereignis in wm+1...wN . Die Ereignisse treten mit der Wahrscheinlichkeit

qA =w1+ ...+wm bzw. qB =wm+1, ..., wN ein. Für S fordern wir in diesem Fall

S(w1, ..., wm ,wm+1, ..., wN )

=S�

qA ,qB�

+qAS

�

w1

qA, ...,

wm

qA

�

+qBS

�

w1

qm+1, ...,

wN

qB

�

. (2.9)

Der erste Term beschreibt die Unbestimmtheit zwischen den Ereignissen A und B . Die

beiden folgenden Terme die Unbestimmtheit der Ereignisse innerhalb von A und B .

Die Entropie sollte so beschaffen sein, dass sich diese Unbestimmtheiten addieren.

15


Wir postulieren nun für die statistische Entropie den folgenden Ausdruck:

S(w1, ..., wN ) =−kN∑

n=1

wn ln wn (2.10)

mit einer noch zu bestimmenden Konstante k . Im Falle einer Gleichverteilung wn = 1/N

ergibt sich

S

�

1

N, ...,

1

N

�

= k ln N . (2.11)

Es kann gezeigt werden, dass dies das Maximum von S darstellt. Damit ist (i) verifiziert,

(ii) kann durch simples Einsetzen bestätigt werden. Da jeder Summand in (2.10) positiv

beiträgt, gilt S(w1, ..., wN+1)≥S(w1, ..., wN ) und somit (iii). Aus der Funktionalgleichung des

Logarithmus ln(u v ) = ln(u )+ ln(v ) folgt im Wesentlichen die Additivität (iv).

Die Entropie eines Quantenzustands ist mit dessen Dichteoperator verknüpft. Betrachtet

werde ein Zustand dessen Dichteoperator ρ =∑

n |n⟩pn ⟨n | sei. Die zu messende Observable

habe die Form A =∑

n |n⟩a n ⟨n |, d.h. A kommutiert mitρ. Daraus erhält man den Erwartungs-

wert von A:

⟨A⟩= TrρA =∑

n

pn a n . (2.12)

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert a n gemessen wird, ist also pn . Folglich lässt sich die

Verteilung pn als Wahrscheinlichkeitsverteilung auffassen. Dieser ordnen wir die Entropie

des Quantenzustands

S =−k∑

n

pn ln pn , (2.13)

zu. Dies ist die sogenannte „von-Neumann-Entropie“ [53]. Im Falle einer Messung, deren Ob-

servable nicht mit dem Dichteoperator kommutiert, tritt eine Reduktion des Dichteoperators

ein, die in diesem Falle beachtet werden muss (siehe [52]).

2.1.3. Generalisierte Gibbs-Ensembles

Wie findet man nun den Dichteoperator der einen vorliegenden Makrozustand beschreibt?

Zunächst steht hier die Überlegung, keine unbegründeten Annahmen über die Beschaffenheit

eines Systems zu treffen und nur die tatsächlich vorhandene Information zu verwenden. Ist

über das System nichts bekannt, sollten daher alle möglichen Zustände gleich wahrscheinlich

sein. Jedoch besitzt man oft exakte Kenntnis über makroskopische Größen des Systems wie

Teilchenzahl, Dichte oder Energie. Diese führen zu einer Einschränkung des Hilbert-Raums,

da Zustände, die nicht mit diesen Größen verträglich sind, nicht in den Dichteoperator

eingehen sollten. Ferner können Erwartungswerte einiger Observablen beispielsweise durch

Messungen am System, bekannt sein. Für eine möglichst genaue Beschreibung sollte diese

Information in den Dichteoperator einfließen, d.h. der Dichteoperator sollte für diese Größen

16

2.1 Formalismus der Statistischen Physik

die bekannten Erwartungswerte reproduzieren und

TrρA i = ⟨A⟩i (2.14)

erfüllen. Ansonsten sollten in die Wahl von ρ keine weiteren Annahmen einfließen und

das System so unbestimmt wie möglich bleiben. Da die Entropie diese Unbestimmtheit

des Systems misst, sollte der korrekte Dichteoperator die Entropie – unter Beachtung von

(2.14) – maximieren [54, 55]. Mathematisch bedeutet dies, ein Maximum der Entropie mit

(2.14) als Nebenbedingungen zu finden. Für jede Bedingung benötigen wir einen Lagrange-

Multiplikator λi . Zusätzlich erfordert die Normierung

Trρ = 1 (2.15)

einen weiteren Multiplikator λ0. Demzufolge ist der stationäre Wert von

S−∑

i

λi (TrρA i −⟨A⟩i )−λ0(Trρ−1) (2.16)

gesucht. Variation von ρ liefert

Tr

lnρ+1+∑

i

λi A i +λ0

!

δρ = 0 . (2.17)

Diese Gleichung wird durch die Wahl von ρ zu

ρ = e−∑

i λi A i−λ0−1 (2.18)

gelöst. Die Lagrange-Multiplikatoren λi sind durch (2.14) festgelegt. Der Teil, der der Normie-

rung geschuldet ist, wird üblicherweise als Zustandssumme Z = e λ0+1 bezeichnet. Wie aus

(2.15) sofort folgt, ist

Z = Tr e−∑

i λi A i . (2.19)

Damit wird (2.17) zu

ρ =1

Ze−

∑

i λi A i . (2.20)

Dies ist die allgemeine Form eines Dichteoperators im Gleichgewicht, der die Relationen

(2.14) erfüllt. Üblicherweise wird er als „generalisiertes Gibbs-Ensemble“ (GGE) oder als

„Boltzmann-Gibbs-Verteilung“ bezeichnet. Dieses Ensemble ist eine Verallgemeinerung der

kanonischen Ensembles, die durch eine spezielle Wahl der Bedingungen (2.14) aus (2.20)

hergeleitet werden können:

(i) Kanonisches Ensemble

Über das System sei nun bei fester Teilchenzahl lediglich die Energie im Mittel bekannt,

17


d.h. die einzige Information, die wir besitzen ist

⟨E ⟩= TrρH . (2.21)

Der zu H zugehörige Lagrange-Multiplikator wird üblicherweise als β 2 bezeichnet.

Damit erhalten wir aus (2.20) das kanonische Ensemble

ρK =1

Ze−βH (2.22)

mit der kanonischen Zustandssumme Z = Tr e−βH .

(ii) Großkanonisches Ensemble

Ist die Teilchenzahl lediglich im Mittel bekannt, kommt zu (2.21) noch eine weitere

Bedingung hinzu

⟨N ⟩= TrρN . (2.23)

Damit liefert uns (2.20) das großkanonische Ensemble

ρGK =1

Ze−βH−µN (2.24)

mit Z = Tr e−βH−µN .

(iii) Mikrokanonisches Ensemble

Der mikrokanonische Fall ergibt sich, wenn die Energie E des Systems exakt bekannt

ist. Dadurch wird der Hilbert-Raum eingeschränkt auf Zustände deren Energie En in

einem kleinen Intervall∆E um E liegen:

|E −En |<∆E . (2.25)

Die Zustände innerhalb dieses Energiebereiches unterliegen keinen weiteren Anforde-

rungen und sollten daher alle gleich wahrscheinlich sein. Mit der Normierung (2.15)

erhält man aus (2.20) das mikrokanonische Ensemble

ρMK =Z∑

n=1

|n⟩1

Z⟨n | . (2.26)

Die Zustandssumme Z enthält nun lediglich Zustände für deren Energie (2.25) gültig

ist.

2 Für β = 1kBT

benötigt man den Anschluss an die Thermodynamik.

18

2.2 Integrable Systeme und nicht integrable Systeme

2.2. Integrable Systeme und nicht integrable Systeme

Der Begriff eines integrablen Systems ist in der klassischen Mechanik klar definiert. So spricht

man von einem integrablen System, wenn dessen Hamilton-Funktion nur von den Impulsen

abhängt

H =H (p) . (2.27)

Aus den kanonischen Gleichungen folgt in diesem Fall für die einzelnen Komponenten dieser

Impulsed

dtpk =−

∂H

∂ qk= 0 . (2.28)

Sämtliche Impulse des Systems sind folglich Erhaltungsgrößen. Der statistische Operator die-

ser Systeme sollte diese Erhaltung nicht verletzen. Daher sind die Bedingungen pk = const. als

Einschränkungen im Sinne von (2.14) zu sehen. Daher ist zu erwarten, dass integrable System

nicht durch eines der kanonischen Ensembles repräsentiert werden können. Jedoch könn-

te die Möglichkeit bestehen, ein GGE zu konstruieren, mit dem (2.28) weiterhin Gültigkeit

behält.

In der Quantenmechanik gestaltet sich die Definition eines integrablen Systems ungleich

schwieriger. Die Ursache hierfür ist, dass in jedem quantenmechanischen System die Anzahl

der Erhaltungsgrößen der Dimension N des Hilbert-Raum, gleicht. Beispielsweise kann jedes

System mit einem Hamilton-Operator beschrieben werden, der aus den Projektoren auf die

Eigenzustände besteht

H =N∑

n=1

En |ψn ⟩⟨ψn | . (2.29)

Diese Eigenzustände sind aufgrund von

�

H , |ψn ⟩⟨ψn |�

= 0 (2.30)

Erhaltungsgrößen des Systems. Diese Verallgemeinerung der Definition der klassischen Me-

chanik ist daher nicht sinnvoll. Tatsächlich gibt es keine konkrete Definition wie im klassi-

schen Fall und es existiert eine Vielzahl unterschiedlicher Definitionen [56].

Eine besonders starke Integrabilität liegt vor, wenn ein System durch einen effektiven

Hamilton-Operator der Form

H =L∑

α=1

εαIα (2.31)

beschrieben werden kann. Die Iα sind Erhaltungsgrößen des Systems und kommutieren

untereinander

[H ,Iα] = 0�

Iα,Iβ�

= 0 . (2.32)

Falls die Anzahl L der Erhaltungsgrößen im Bereich der Systemgröße liegt, ist das System

19


integrabel. Darin besteht der wesentliche Unterschied zu (2.29). Dort entspricht die Anzahl

der Erhaltungsgrößen der Dimension N des Hilbert-Raums. Ein Beispiel für ein integrables

System im obigen Sinne sind freie Fermionen in einem Modell mit L Gitterplätzen. Der

Hamilton-Operator dieses System lautet

H =L∑

k=1

εk n k . (2.33)

wobei die n k die Besetzungen der Impulseigenzustände sind. Die Erhaltungsgrößen stellen

an den Dichteoperator Einschränkungen im Sinne von (2.14), daher liefern die kanonischen

Ensembles i.A. keine adäquate Beschreibung dieser Systeme. Die Konstruktion eines GGE, das

die Erhaltung derIα gewährleistet, könnte jedoch eine statistische Beschreibung ermöglichen.

Die ersten Arbeiten hierzu entstanden Ende der 60er und behandelten das XY-Modell [57, 58].

Erst im Jahre 2006 wurde die Fragestellung erneut aufgegriffen [59, 60]. Hier wurde für 1D-

Hardcore Bosonen ein GGE konstruiert, dessen Erwartungswerte mit den numerischen Wer-

ten übereinstimmten. Neben Folgearbeiten zu 1D-Hardcore Bosonen [61–63]wurden auch

1D-Fermionen untersucht [64]. Darüber hinaus wurde auch für eine Vielzahl anderer Modelle

mit einem GGE beschrieben [65, 66], darunter das Falicov-Kimball-Modell [33, 37, 67], das

1/r -Hubbard-Modell [68–70] oder das Luttinger-Modell [71, 72]. Eine allgemeingültige und

modellübergreifende Aussage über die Validität von GGE’s existiert bis heute nicht. Tenden-

ziell können relativ einfache Observable, d.h. Observable, die nur gering von Korrelationen

⟨IαIβ ⟩, ⟨IαIβIγ⟩ der Erhaltungsgrößen abhängen, mittels eines GGE beschrieben werden.

In komplizierteren Fällen müssten diese Korrelationen ebenfalls in die Konstruktion des GGE

einfließen.

Nicht integrable Systeme dagegen besitzen nur eine geringe Anzahl an Erhaltungsgrößen.

Daher existieren keine zusätzlichen Einschränkungen, die in der Konstruktion des Dichte-

operators beachtet werden müssen. Aufgrund dessen wird für nicht integrable Systeme eine

adäquate statistische Beschreibung durch die kanonischen Ensembles erwartet. Systeme, die

sich kanonisch verhalten, befinden sich im thermischen Gleichgewicht. Relaxiert ein System

ins thermische Gleichgewicht, bezeichnet man diesen Prozess daher als Thermalisierung. In

diesem Sinne thermalisieren nicht integrable Systeme. In diesem Zusammenhang müssen

die folgenden zwei Punkte diskutiert werden:

(i) Die Zeitentwicklung eines isolierten Quantensystems ist durch (1.1) gegeben. Betrachtet

man einen Hamilton-Operator wie (1.3), so entwickelt sich ein Zustand gemäß

|ψ(t )⟩= e−i Ht |ψ(0)⟩ , (2.34)

d.h. der Zustandsvektor ψ(t ) wird aufgrund der Oszillationen im Hilbert-Raum nie

einen stationären Wert erreichen. Aus diesem Grund kann ein Zustand niemals therma-

20

2.2 Integrable Systeme und nicht integrable Systeme

lisieren.

(ii) Die Zeitentwicklung eines isolierten Quantensystems ist außerdem unitär, insbesondere

ist die Größe Tr [ρ(t )2] unter unitärer Zeitentwicklungen erhalten, d.h ein reiner Zustand

bleibt ein reiner Zustand. Thermische Zustände sind gemischte Zustände, folglich kann

ein reiner Zustand nicht thermalisieren.

Dennoch lässt sich in einigen Systemen Thermalisierung beobachten. Doch wie lässt sich das

mit (i) und (ii) vereinbaren? Dazu betrachte man den Erwartungswert einer Observable:

⟨A(t )⟩= ⟨ψ(t )|A |ψ(t )⟩=∑

n ,m

C ∗nCm ei(En−Em )t ⟨ψn |A |ψm ⟩ . (2.35)

mit den Projektionen Cn = ⟨ψ(0)|ψn ⟩ auf die Eigenzustände von H . Bildet man das Langzeit-

mittel dieser Größe

limt→∞

∫ t

0

dt ′⟨A(t ′)⟩

t=∑

α

|Cn |2⟨ψn |A |ψn ⟩ . (2.36)

treten die Oszillationen nicht mehr auf. Folglich kann der Erwartungswert einer Observable

trotz (i) einen stationären Wert erreichen. Da die Erwartungswerte von Observablen die

einzigen experimentell zugänglichen Größen sind, würde dies für Thermalisierung genügen.

Ebenso lässt sich der vermeintliche Widerspruch durch Punkt (ii) auflösen. Zwar wird

der Dichteoperator unter der unitären Zeitentwicklung nie exakt in einen der kanonischen

Ensembles übergehen, jedoch ist es trotzdem vorstellbar, dass die Erwartungswerte von

Observablen thermalisieren. Beispielsweise wäre denkbar, dass die Unterschiede der Dich-

teoperatoren für die Erwartungswerte keine Relevanz besitzen. Die genauen Mechanismen

der Thermalisierung sind Gegenstand aktueller Forschung und durch verschiedene Ansätze

erklärbar [73–78]. Einer dieser möglichen Mechanismen ist die eigenstate thermalization

hypothesis (ETH) [79–82]. Tritt Thermalisierung ein, sollte der Erwartungswert (2.36) dem

mikrokanonischen Erwartungswert gleichen, d.h.

∑

n

|Cn |2⟨ψn |A |ψn ⟩= ⟨A⟩MK(E ) =1

Z

|E−En |<∆E∑

n

⟨ψn |A |ψn ⟩ . (2.37)

Es tragen in der Summe nur diejenigen Eigenzustände |ψn ⟩ bei, deren Energie En in einem

kleinen Fenster ∆E um die Energie E des isolierten Systems liegt. Die Zustandssumme Z

gibt die Anzahl dieser Zustände an. Eine universale Gültigkeit von (2.37) überrascht zunächst,

da die linke Seite über die Koeffizienten Cn vom Anfangszustand abhängt, die rechte Seite

dagegen vom Anfangszustand unabhängig ist. Man könnte nun die Universalität von (2.37)

aufgeben und argumentieren, dass die physikalisch interessanten Anfangszustände gerade

diejenigen sind, die (2.37) erfüllen. Die ETH jedoch verletzt die Universalität nicht und be-

sagt dass für Eigenzustände mit ähnlicher Energie die Erwartungswerte ⟨ψn |A |ψn ⟩ nahezu

21


konstant sind. In diesem Falle ist

⟨ψn |A |ψn ⟩= ⟨A⟩MK(En ) . (2.38)

Die Gewichtung mit den Koeffizienten Cα wird damit irrelevant, wodurch der Bezug zum

Anfangszustand aufgelöst wird. Für die ETH existiert kein Beweis im mathematischen Sinne,

jedoch wurde sie in numerischen Simulationen [79] gut bestätigt.

22

3. Approximation der

Präthermalisierungsdynamik

Die in dieser Arbeit betrachteten Systeme sind integrable Systeme, deren Integrabilität

durch eine schwache Wechselwirkung lediglich leicht verletzt wird. Die schwache Wech-

selwirkung erlaubt einen störungstheoretischen Zugang, der die Präthermalisierungsdy-

namik korrekt beschreibt. Dessen Langzeitmittel gleicht zudem einem ebenfalls in Stö-

rungstheorie behandeltem GGE für den präthermischen Zustand. In diesem Kapitel stel-

len wir die zugrundeliegende unitäre Transformation vor und untersuchen mit Hilfe die-

ser das transiente Verhalten der Observablen. Schließlich zeigen wir, wie die Besetzungen

des präthermischen Zustands mit Hilfe eines GGE berechnet werden können. Der Inhalt

dieses Kapitels ist aus [83] entnommen.

3.1. Fast integrable Systeme

In Kapitel 1.2 wurden die in dieser Arbeit untersuchten schwach wechselwirkenden Systeme

vorgestellt. Diese werden durch den Hamilton-Operator

H =H0+Θ(t )g H1, |g | � 1 (3.1)

mit

H0 =L∑

α=1

εαnα (3.2)

und

H1 =∑

αβγδ

Vαβγδc †αc †βcγcδ (3.3)

beschrieben. In Hinblick auf unsere Klassifikation aus dem vorhergehenden Kapitel ist H0 als

integrabler Hamilton-Operator erkennbar. Die Erhaltungsgrößen in (3.2) sind die Besetzun-

gen der Gitterplätze

Iα = nα , (3.4)

die auch untereinander kommutieren. Die zum Zeitpunkt t = 0 eingeschaltete Zweikörper-

Wechselwirkung zerstört die Integrabilität des Systems [81]. Da dieser Teil des Hamilton-

Operators wegen |g | � 1 nur sehr klein ist, bleibt das System in der Nähe des integrablen

23

3 Approximation der Präthermalisierungsdynamik

Punktes. Die Integrabilität wird lediglich leicht verletzt und in diesem Sinne werden wir fortan

derartige Systeme als fast integrable Systeme bezeichnen. In der Relaxation fast integrabler

Systeme finden sich Spuren sowohl integrabler als auch nicht integrabler Systeme. Zunächst

präthermalisieren fast integrable Systeme, d.h ein nicht thermischer stationärer Zustand

wird eingenommen. Darin spiegelt sich die Integrabilität wider, während sich das nicht inte-

grable Verhalten in der anschließenden Relaxation zum thermischen Wert bemerkbar macht.

Präthermalisierung wurde neben dem fermionischen Hubbard-Modell auch in bosonischen

Systemen [84] beobachtet. Man beachte, dass eine allgemeine Aussage über die Präthermali-

sierung von Systemen jedoch nicht möglich ist. Es existieren mehrere Ansätze, die zeitliche

Entwicklung fast integrabler Systeme bis zum präthermischen Wert zu untersuchen. Neben

numerischen Simulationen mit DMFT [34, 38] analysierten Möckel und Kehrein das Hubbard-

Modell mit Hilfe von Fluss-Gleichungen [49, 50]. Eine in [83] eingeführte Störungstheorie

liefert zu den Fluss-Gleichungen äquivalente Resultate. Diese Störungstheorie stellen wir im

Folgenden vor.

3.2. Unitäre Störungstheorie

Der integrable Hamilton-Operator H0 besitze die Eigenzuständen und Eigenenergien En =∑

εαnα.

H0|n⟩= En|n⟩ . (3.5)

Dieses Eigensystem sei exakt bekannt. Ferner seien die Eigenenergien nicht entartet. Der

nicht integrable Teil des Hamilton-Operators H ist H1 und wird als Störung behandelt. Diese

Störung durch eine unitäre Transformation S ausgedrückt. Die Transformation lässt sich in

einer Potenzreihe entwickeln

S = g S1+1

2g 2S2+O (g 3) , (3.6)

bei deren Entwicklung wir uns auf die 2. Ordnung beschränken. Wir fordern die Beschaffenheit

von S derart, dass�

e SHe−S ,Iα�

= 0 . (3.7)

Um zu verstehen, was diese Forderung bedeutet, wälze man die Transformation auf die

Erhaltungsgrößen Iα ab. Für eine Entwicklung bis O (g 2)wie in (3.6) führt dies auf

�

H , eIα�

=O (g 3) . (3.8)

mit den transformierten Erhaltungsgrößen

eIα = e SIαe−S . (3.9)

24

3.2 Unitäre Störungstheorie

Diese sind nun nicht mehr exakt erhalten, sondern nur noch bis O (g 2). Daher werden die

fIα auch als approximative Erhaltungsgrößen bezeichnet. Durch diesen Verzicht der exakten

Erhaltung der Größen Iα, liegt nun kein integrables System mehr vor. Es unterscheidet sich

jedoch nach wie vor von einem nicht integrablen System, da die approximativen Erhaltungs-

größen der Einschränkung (3.8) unterliegen.

3.2.1. Transformation des Eigensystems

Die Transformation S muss nun auf den Hamilton-Operator

H =H0+ g H1 (3.10)

angewendet werden. Nach Ordnen der Terme nach Potenzen von g erhalten wir

e SHe−S =H0+ g (H1+[S1, H0])

+ g 2

�

1

2[S2, H0]+ [S1, H1]+

1

2[S1, [S1, H0]]

�

+O (g 3) . (3.11)

Wir wählen nun als Basis die Eigenzustände |n⟩ von H0. Die Darstellung in dieser Basis ergibt

sich zu

e SHe−S =H0+ g H (1)diag+ g 2H (2)

diag+O (g3) , (3.12)

mit

H (i )diag =

∑

n

|n⟩E (i )n ⟨n| (3.13)

und

E (1)n = ⟨n|H1|n⟩, E (2)n =∑

m 6=n

|⟨m|H1|n⟩|2

(En−Em). (3.14)

Die Forderung (3.7) liefert uns die Darstellung der Transformation S in dieser Basis

⟨n|S1|m⟩=

(

⟨m|H1|n⟩(En−Em)

fallsn 6=m0 fallsn=m

⟨n|S2|m⟩=

⟨m|[S1,H1+H (1)diag]|n⟩(En−Em)

fallsn 6=m0 fallsn=m

. (3.15)

Wir transformieren nun (3.12) zurück und erhalten dadurch eine Darstellung von H in der

neuen Basis

H =L∑

α=1

εα eIα+∑

en

|en⟩�

g E (1)n + g 2E (2)n�

⟨en|+O (g 3) (3.16)

25


mit |en⟩= e−S |n⟩. Dies sind die Eigenzustände von H

H |en⟩= eEn|en⟩ (3.17)

mit den in Störungstheorie berechneten Energien

eEn = En+ g E (1)n + g 2E (2)n +O (g3) . (3.18)

Wir geben H noch in der Darstellung der approximativen Erhaltungsgrößen an:

H =L∑

α=1

eεα eIα . (3.19)

3.2.2. Dynamik von Observablen

Die Überlegungen des vorhergehenden Abschnitts dienen als Fundament für die nun folgen-

de Berechnung der Zeitentwicklung einer Observable A in fast integrablen Systemen. Der

Herleitung liegen die Annahmen zugrunde, dass A mit den Erhaltungsgrößen kommutiere

[Iα, A] = 0 , (3.20)

und das zu Beginn ein Eigenzustand von H0 vorliege

|ψ(0)⟩= |n⟩ . (3.21)

Für die Zeitentwicklung der Observable A gilt

⟨A⟩t = ⟨n|e i Ht Ae−i Ht |n⟩ . (3.22)

Da ein möglicher Anfangswert ⟨A⟩0 später einfach hinzu addiert werden kann, setzen wir

⟨A⟩0 = 0. Eine Transformation mit S führt zusammen mit (3.12) auf

⟨A⟩t = ⟨n|e−S e i Hdiagt e SAe−S e−i Hdiagt e S |n⟩ (3.23)

= ⟨n|e−S e S(t )Ae−S(t )e S |n⟩ , (3.24)

wobei S(t ) = e i Hdiagt Se−i Hdiagt . Bei letzter Gleichheit wurde verwendet, dass [Hdiag, A] = 0, was

durch (3.20) gewährleistet ist. Wir entwickeln wieder in Potenzen von g

e S(t )Ae−S(t ) = A +[S(t ), A]+1

2[S(t ), [S(t ), A]]+O (g 3) , (3.25)

26


und setzen diese Entwicklung in (3.24) ein. Wir erhalten nachdem wir nach Potenzen von g

ordnen, schließlich:

⟨A⟩t = ⟨n|A +[S(t )−S, A]−1

2[S, [2S(t )−S, A]]+

1

2[S(t ), [S(t ), A]]|n⟩+O (g 3) . (3.26)

Da A |n⟩ = 0 verschwinden die Terme 0. und 1. Ordnung in g . Nach der Auswertung der

Kommutatoren in den Termen 2. Ordnung erhält man

⟨A⟩t = ⟨n|S(t )AS(t )−SAS(t )−S(t )AS+SAS|n⟩+O (g 3) . (3.27)

Weil |n⟩ Eigenzustand von Hdiag ist und A mit Hdiag kommutiert, kompensieren sich die

Exponentialfunktionen in ersten Term obiger Gleichung. Folglich vereinfacht sich dieser

⟨n|S(t )AS(t )|n⟩= ⟨n|SAS|n⟩ (3.28)

und dadurch erhalten wir in (3.27)

⟨A⟩t =−2⟨n|SAS|n⟩+2Re⟨n|SAS(t )|n⟩+O (g 3) . (3.29)

Durch Einschieben einer Basis∑

m |m⟩⟨m|= 1 und unter Verwendung von (3.15) berechnet

man

⟨A⟩t = g 2∑

m 6=n

⟨n|H1|m⟩|2

En−Em⟨m|A |m⟩

�

2−2Re e−i (En−Em)t�

+O (g 3) . (3.30)

Dies lässt sich mit Hilfe der trigonometrischen Identität (1− cosx ) = 2 sin2(x/2)weiter verein-

fachen zu

⟨A⟩t = 4g 2

∞∫

−∞

dω J (ω)sin2(ωt /2)

ω2+O (g 3) , (3.31)

mit

J (ω) =∑

m 6=n

⟨n|H1|m⟩|2⟨m|A |m⟩δ(ω− (En−Em)) (3.32)

= ⟨n|H1Aδ(ω− (H0−⟨H0⟩))H1|n⟩ . (3.33)

Da das konkrete Modell lediglich in das zeitunabhängige J (w ) eingeht, lässt sich das Lang-

zeitmittel modellübergreifend angeben zu

limt→∞

∫ t

0

dt ′⟨A⟩t ′

t= 2g 2

∞∫

−∞

dω J (ω)+O (g 3) . (3.34)

Gleichung (3.34) gibt den Wert der Observable A im präthermischen Zustand an [83].

27


3.2.3. Präthermalisierungdynamik

Wir konkretisieren unser Vorgehen im Folgenden weiter und werten (3.31) für die Observable

A = nν (t )−nν (0) (3.35)

aus 3 Dies ist die Änderung der Besetzung eines Levels ν gegenüber seinem Wert im Anfangs-

zustand. Wir verwenden für H1 eine Zweikörper-Wechselwirkung (3.3) und setzen in (3.33)

ein

J (ω) =∑

αβγδα′β ′γ′δ′

Vα′β ′γ′δ′Vαβγδ⟨n|c †α′c

†β ′cγ′cδ′(nν (t )−nν (0))δ(ω− (H0−En))c †

αc †βcγcδ|n⟩ . (3.36)

Der Operator H0 wirkt in obiger Gleichung auf den Zustand c †αc †βcγcδ|n⟩. Dessen Energie wird

sich von der Energie En um die von c †αc †β erzeugten bzw. von cγcδ vernichteten Einteilchen-

energien unterscheiden. Aus diesem Grund gilt:

H0−En = εα+εβ −εγ−εδ . (3.37)

Ferner ist im Anfangszustandn das Level ν entweder besetzt (nν (0) = 1) oder nicht besetzt

(nν (0) = 0). In beiden Fällen erhält man nur dann einen Beitrag wenn nν (t )−nν (0) 6= 0. Daraus,

sowie aus der Orthogonalität der Zustände, ergeben sich Bedingungen an die Indizes der

Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren:

• nν (0) = 0, d.h. es gibt nur einen Beitrag wenn nν = 1. Daher muss das Level ν von

c †αc †βcγcδ erzeugt und wegen der Orthogonalität der Zustände von c †

α′c†β ′cγ′cδ′ wieder

vernichtet werden. Folglich erhält man einen Faktor

(1−δδν )(1−δγν )[δβν (1−δαν )+δαν (1−δβν )]

×[δδ′ν (1−δγ′ν )+δγ′ν (1−δδ′ν )](1−δβ ′ν )(1−δα′ν ) .

• nν (0) = 1, d.h. es gibt nur einen Beitrag wenn nν = 0. Analoge Überlegungen wie im

ersten Fall führen auf einen Faktor

(1−δαν )(1−δβν )[δγν (1−δδν )+δδν (1−δγν )]

×[δα′ν (1−δβ ′ν )+δβ ′ν (1−δα′ν )](1−δγ′ν )(1−δδ′ν ) .

3 Entgegen der üblichen Konvention ist hier nν (t ) ein Operator. Um dies zu verdeutlichen verwenden wir hierausnahmsweise ein Hütchen auf dem Operator.

28


Damit erhält man aus (3.36) unter Verwendung der Symmetrie der Koeffizienten (1.6)

J (ω) = 4∑

αβγβ ′γ′δ′

(6=ν )

Vνβ ′γ′δ′Vαβγν�

nν (0)δ(εν +ε′β −ε′γ−ε

′δ−ω)⟨n|c

†αc †βcγc

†β ′cγ′cδ′ |n⟩

− (1−nν (0))δ(εα+εβ −εγ−εν −ω)⟨n|c †β ′cγ′cδ′c

†αc †βcγ|n⟩

�

. (3.38)

Die beiden fermionischen Erwartungswerte können nun mit Wick’s Theorem in Produkte der

Besetzungen des Anfangszustandes zerlegt werden. Dadurch bekommt J (ω) die Form

J (ω) =∑

αβγ

8|Vαβγν |2δ(εα+εβ −εγ−εν −ω)

× [nα(0)nβ (0)nγ(0)nν (0)+nα(0)nβ (0)nγ(0)nν (0)]

−nν (0)∑

α

16|vνα|2δ(εα−εν −ω)nα(0)

+nν (0)∑

α

16|vνα|2δ(εβ −εν −ω)nα(0) (3.39)

mit

vαν =∑

β

Vαββνnβ (0) . (3.40)

Setzt man dies in (3.31) ein, bekommt man als finales Resultat für die Zeitentwicklung der

Besetzungen bis zum präthermischen Zustand 4:

nν (t ) = nν (0)+32g 2∑

αβγ

′|Vαβγν |2

sin2((εα+εβ −εγ−εν )t /2)(εα+εβ −εγ−εν )2

× [nα(0)nβ (0)nγ(0)nν (0)+nα(0)nβ (0)nγ(0)nν (0)]

+64g 2∑

α

′|vνα|2

sin2((εα−εν )t /2)(εα−εν )2

[nν (0)nα(0)−nν (0)nα(0)] . (3.41)

Hier und im Folgendem verwenden wir die Notation∑′

. Der Apostroph am Summenzeichen

zeigt die Summation ohne die Beiträge mit εα+εβ −εγ−εν = 0 bzw. εα−εν = 0 an. Um nun

fortzufahren, ist es nötig, auf ein konkretes Modell einzugehen. Die Parameter des Modells

gehen dann in die Koeffizienten Vαβγδ bzw. vαβ ein. Im späteren Verlauf dieser Arbeit werden

wir (3.41) für das Hubbard-Modell auswerten.

4 In (3.39) und (3.41) wurden Schreibfehler in [83] korrigiert

29


3.3. Statistische Beschreibung des

Präthermalisierungsplateau

Die Besetzungen des Präthermalisierungsplateau lassen sich auch als Erwartungswerte eines

GGE berechnen. Die Idee für dessen Konstruktion ist es, die approximativen Erhaltungsgrößen

(3.9) als Einschränkungen für den Dichteoperator im Sinne von (2.14) zu verwenden. Die

Erhaltungsgrößen in H0 sind die Besetzungen nα. Aus (3.9) erhalten wir die approximativen

Erhaltungsgrößen

enα = e Snαe−S .. (3.42)

Die Transformation lässt sich in O (g ) entwickeln

enα = nα+�

g S1, nα�

+O (g 2)

= nα+�

c †α [S1, cα]+h.c.

�

+O (g 2) . (3.43)

Zur weiteren Evaluation benötigt man die Kommutatoren

[S1, cα] =�

S1, c †α

�†. (3.44)

Zunächst stellt man diese in der Eigenbasis von H0 dar

⟨n|�

g S1, cα�

|m⟩=∑

p

⟨n|g S1|p⟩⟨p|cα|m⟩− ⟨n|cα|p⟩⟨p|g S1|m⟩ . (3.45)

Dies erlaubt uns, (3.15) zu verwenden und führt auf

⟨n|�

g S1, cα�

|m⟩=∑

αβγδ

g Vαβγδ∑

p6=n

⟨n|c †αc †βcγcδ

En−Ep|p⟩⟨p|cα|m⟩− ⟨n|cα|p⟩⟨p|

c †αc †βcγcδ

En−Ep|m⟩ (3.46)

Die Energien der Zustände |n⟩ und |m⟩ können sich nur um die zu den Operatoren c †αc †βcγcδ

zugehörigen Energien unterscheiden

En−Ep = εα+εβ −εγ−εδ . (3.47)

Setzt man dies in (3.46) ein, lässt sich die p-Summation ausführen und man gelangt wieder

zu einer basisunabhängigen Darstellung

�

g S1, cα�

=∑

αβγδ

′ g Vαβγδh

c †αc †βcγcδ, cα

i

εα+εβ −εγ−εδ. (3.48)

30

3.3 Statistische Beschreibung des Präthermalisierungsplateau

Als nächster Schritt muss der Kommutator ausgewertet werden. Dazu benötigen wir die

beiden Relationen

[A B ,C ] = A [B ,C ]+ [A,C ]B (3.49)

und

[A B ,C ] = A [B ,C ]+− [A,C ]+ B . (3.50)

Der Kommutator in (3.48) lässt sich nun mit (3.49) umwandeln in

h

c †αc †βcγcδ, cα

i

=h

c †αc †β , cα

i

cγcδ+ c †αc †β

�

cγcδ, cα�

. (3.51)

Der zweite Summand verschwindet und der Erste lässt sich mit (3.50) berechnen zu

h

c †αc †β , cα

i

= c †αδβα− c †

βδαα . (3.52)

Eingesetzt in (3.48) erhält man unter Verwendung der Symmetrie der Koeffizienten Vαβγδ in α

und β schließlich

�

g S1, cα�

=−2∑

βγδ

′ g Vαβγδc †βcγcδ

εα+εβ −εγ−εδ. (3.53)

Dieses Ergebnis lässt sich nun in (3.43) verwenden und liefert uns damit einen Ausdruck für

die approximativen Erhaltungsgrößen in O (g 2):

enα = nα−2g∑

βγδ

′ Vαβγδc †αc †βcγcδ

εα+εβ −εγ−εδ+h.c. . (3.54)

Diese Größe verwenden wir im GGE für das Präthermalisierungsplateau. Dazu setze man

A i = enα im allgemeinen Ausdruck (2.20) für das GGE:

ρeG =

1

ZeG

e−∑

λα enα . (3.55)

Die Lagrange-Multiplikatoren λα sind durch die Anfangswerte über

⟨enα⟩ eG = ⟨enα⟩0 (3.56)

festgelegt. Der Erwartungswert der Besetzungen des Präthermalisierungsplateaus berechnen

sich mit dem GGE zu

⟨nα⟩ eG =Tr nαe−

∑

λα enα

Tr e−∑

λα enα. (3.57)

Es kann gezeigt werden [83], dass dieser Erwartungswert mit (3.34) übereinstimmt. Damit ist

das GGE (3.55) als eine geeignete statistische Beschreibung für das Präthermalisierungspla-

teau verifiziert.

31

Teil II.

Dynamik in schwach wechselwirkenden

Systemen

4. Grundlagen der kinetischen Theorie

Ausgehend von der Schrödinger-Gleichung entwickeln wir einen Ausdruck für die Dyna-

mik der Besetzungennν(t). Diese ohne Näherungen gewonnene Gleichung gilt für Hamil-

ton-Operatoren der Form (1.3) und beinhaltet den exakten Dichteoperatorρ(t). Sie bildet

daher das gemeinsame Fundament der in den Folgekapiteln durchgeführten Approxima-

tionen für den statistischen Operator. In die Herleitung in diesem Kapitel fließen Ideen

aus [85–88] ein.

Grundsätzlich unterscheidet man auch im Nichtgleichgewicht zwischen offenen und ge-

schlossenen Systemen. Offene Systeme koppeln an eine dissipative Umgebung und werden

häufig mittels Mastergleichungen für den reduzierten statistischen Operator ρ behandelt.

Die Dynamik, der in dieser Arbeit behandelten geschlossenen Systeme wird dagegen allein

durch den zeitabhängigen Hamilton-Operator H (t ) des Quantensystems bestimmt. Formal

entwickelt sich das System gemäß der Schrödinger-Gleichung [4]

i∂

∂ t|ψ(t )⟩=H (t )|ψ(t )⟩ . (4.1)

Aus der Definition des Dichteoperators (2.4) lässt sich dessen zeitliche Ableitung gewinnen

d

dtρ(t ) =

∑

n

wn

�

|ψn (t )⟩⟨ψn (t )|+ |ψn (t )⟩⟨ψn (t )|�

. (4.2)

Einsetzen der Schrödinger-Gleichung bzw. der adjungierten Schrödinger-Gleichung führt auf

die von-Neumann-Gleichungd

dtρ(t ) =−i

�

H ,ρ(t )�

. (4.3)

Das Ziel der kinetischen Theorie ist es, die Dynamik der Besetzungen vorauszusagen. Wir

betrachten daher den Erwartungswert (2.5) für den Operator nν und leiten diesen Ausdruck

abd

dtnν (t ) = Tr nν ρ(t ) . (4.4)

Unter Verwendung von (4.3) und der zyklischen Invarianz der Spur ergibt sich

id

dtnν (t ) = Tr [nν , H ]ρ(t ) . (4.5)

35

4 Grundlagen der kinetischen Theorie

Wir konkretisieren nun den Hamilton-Operator und verwenden (1.3). Die Gleichung, die wir

daraus erhalten

id

dtnν (t ) = Tr

�

nν , H0+ g H1�

ρ(t ) , (4.6)

vereinfacht sich aufgrund von [nν , H0] = 0. In den verbleibenden Kommutator setzt man die

konkrete Gestalt (1.5) von H1 ein und gewinnt damit

id

dtnν (t ) = g

∑

αβγδ

VαβγδTrh

nν , c †αc †βcγcδ

i

ρ(t )︸︷︷︸

Rαβγδ(t )

. (4.7)

Wir evaluieren nun die Zeitentwicklung für Rαβγδ(t ) und verwenden erneut (4.5). Der in (4.7)

auftretende Kommutator kann zu

h

nν , c †αc †βcγcδ

i

= (δαν +δβν −δγν −δδν )c †αc †βcγcδ , (4.8)

ausgewertet werden und macht es zweckmäßig, die Koeffizienten V ναβγδ =Vαβγδ(δαν +δβν −

δγν −δδν ) einzuführen. Man erhält schließlich

id

dtRαβγδ(t ) =V ν

αβγδTrh

c †αc †βcγcδ, H0+ g H1

i

ρ(t ) . (4.9)

Der Kommutator mit H0 ist auf (4.8) zurückzuführen, sodass wir

id

dtRαβγδ(t ) =−V ν

αβγδ∆εαβγδTr c †αc †βcγcδρ(t )

+V ναβγδTr

h

c †αc †βcγcδ, g H1

i

ρ(t ) (4.10)

erhalten. Wir haben hier die Energiedifferenz

∆εαβγδ = εα+εβ −εγ−εδ (4.11)

eingeführt. Gleichung (4.10) lässt sich nun als inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung

verstehen

id

dtRαβγδ(t ) =−∆εαβγδRαβγδ(t )+Uαβγδ(t ) , (4.12)

mit

Uαβγδ(t ) =V ναβγδTr

h

c †αc †βcγcδ, g H1

i

ρ(t ) . (4.13)

Die Lösung der homogenen Gleichung ist durch Rαβγδ(t ) = e−i∆εαβγδt Rαβγδ(0) gegeben. Um

die inhomogene Gleichung zu lösen, wird das Verfahren der Variation der Konstanten ver-

wendet. Dabei wird angenommen, die Konstante Rαβγδ(0) sei zeitabhängig. Damit ergibt sich

36

zusammen mit (4.12) als gesamte Lösung

Rαβγδ(t ) = e i∆εαβγδt

Rαβγδ(0)− i

∫ t

s

ds e i∆εαβγδsUαβγδ(s )

!

. (4.14)

Benötigt wird nun noch der Anfangswert von Rαβγδ(0), der durch (4.7) gegeben ist und unter

der Verwendung der zyklischen Invarianz der Spur durch

Rαβγδ(0) =VαβγδTr�

ρ(0), nν�

c †αc †βcγcδ (4.15)

dargestellt wird. Falls der Anfangszustand ein freies Fermi-Gas ist, verschwindet der Kommu-

tator mit nν , folglich gilt Rαβγδ(0) = 0. Durch Einsetzen von (4.14) in (4.7) gewinnt man den

Ausdruckd

dtnν (t ) =−g 2

∫ t

s

ds∑

αβγδ

V ναβγδe i∆εαβγδ(t−s )Tr

h

c †αc †βcγcδ, H1

i

ρ(t ) (4.16)

für die Zeitentwicklung von nν (t ). Nun muss der darin vorkommende Kommutator berechnet

werden. Durch sukzessives Anwenden von (3.49) erhält man

h

c †αc †βcγcδ, c †

α′c†β ′cγ′cδ′

i

= c †αc †β

h

cγcδ, c †α′c

†β ′

i

cγ′cδ′ − c †α′c

†β ′

h

cγ′cδ′ , c †αc †β

i

cγcδ (4.17)

Die Kommutatoren der Formh

c †i c †

j , ck c l

i

(4.18)

lassen sich nun mit (3.49) und (3.50) auf

h

c †i c †

j , ck c l

i

= c †i c lδk j − c †

i ckδl j + c l c †jδk i − ck c †

jδl i (4.19)

zurückführen. Dies setzen wir in (4.16) ein. Mit Hilfe der Symmetrien (1.6) vereinfacht sich

die Gleichung zu

d

dtnν (t ) =2g 2

∫ t

s

ds∑

αβγδβ ′γ′δ′

VαβγδVδβ ′γ′δ′(∆ναβγδe i∆εαβγδ(t−s )

−∆νδβ ′γ′δ′ei∆εα′β ′γ′δ′ (t−s ))Tr

h

c †αc †β

h

c †β ′ , cγ

i

cγ′cδ′i

ρ(t ). (4.20)

Der zweite Summand ist das konjugiert Komplexe des ersten Summanden, so dass wir (4.20)

zusammenfassen können zu

d

dtnν (t ) = 4g 2Re

∫ t

s

ds∑

αβγδβ ′γ′δ′

V ναβγδVδβ ′γ′δ′e

i∆εαβγδ(t−s )Trh

c †αc †β

h

c †β ′ , cγ

i

cγ′cδ′i

ρ(t ). (4.21)

37

4 Grundlagen der kinetischen Theorie

Diese Gleichung stellt die gemeinsame Basis aller im Rahmen der kinetischen Theorie vorge-

stellten Gleichungen dar. Man beachte, dass (4.21) exakt ist und den vollen zeitabhängigen

statistischen Operator enthält. Die Kenntnis dieser Größe setzt die vollständige Lösung des

System voraus. Da dies jedoch nicht ohne Weiteres möglich ist, werden für den Dichteopera-

tor Approximationen nötig sein. Diese Näherungen werden darüber entscheiden, welcher

Abschnitt der Zeitentwicklungen durch die Gleichungen beschrieben wird. Allen Ansätzen

gemeinsam ist die Verwendung eines effektiven statistischen Operators, der Diagonalgestalt

in den Eigenzuständen von H0 besitzt:

ρ(t )−→ρeff(t ) =∑

n

|n⟩ρnn (t )⟨n | . (4.22)

Eine Rechtfertigung dieser Wahl findet sich in Kapitel 6.1. Durch (4.22) ist die Anwendbarkeit

von Wick’s-Theorem [89] gewährleistet. Durch dieses können die fermionischen Erwartungs-

werte,

⟨c †αc †β

h

c †β ′ , cγ

i

cγ′cδ′⟩ρ(t ) = Trh

c †αc †β

h

c †β ′ , cγ

i

cγ′cδ′i

ρ(t ) (4.23)

wie sie in (4.21) vorkommen auf Erwartungswerte der Einteilchenbesetzungen nν zurückge-

führt werden. Eine mögliche Darstellung des Theorems ist [90]

⟨c †1...c †

n c1...cn ⟩ρ(t ) =∑

P

(−1)P ⟨c †1cP1⟩ρ(t )...⟨c †

n cPn ⟩ρ(t ) . (4.24)

Die rechte Seite ist die Summe aller möglichen Permutationen der Indizes 1, .., n , deren Anzahl

durch n ! gegeben ist. Daher werden in (4.24) 3!-Terme auftreten. Um (4.24) anzuwenden,

muss der zu berechnende Erwartungswert in Normalordnung vorliegen:

Trh

c †αc †β

h

c †β ′ , cγ

i

cγ′cδ′i

ρ(t ) = Trh

δβ ′γc†αc †βcγ′cδ′ −2c †

αc †βc †β ′cγcγ′cδ′

i

ρ(t ) (4.25)

Die rechte Seite ist mit (4.24) auswertbar und führt auf5

Trh

δβ ′γc†αc †βcγ′cδ′ −2c †

αc †βc †β ′cγcγ′cδ′

i

ρ(t ) =

=(⟨c †αcδ′⟩⟨c †

βcγ′⟩− ⟨c †αcγ′⟩⟨c †

βcδ′⟩)δβ ′γ

−2⟨c †β ′cγ⟩

�

⟨c †βcγ′⟩⟨c †

δcδ′⟩− ⟨c †αcγ′⟩⟨c †

βcδ′⟩�

+2⟨c †β ′cγ′⟩

�

⟨c †βcγ⟩⟨c †

αcδ′⟩− ⟨c †βcδ′⟩⟨c †

αcγ⟩�

−2⟨c †β ′cδ′⟩

�

⟨c †βcγ⟩⟨c †

αcγ′⟩− ⟨c †βcγ′⟩⟨c †

αcγ⟩�

(4.26)

Die Erwartungswerte in (4.26) sind bzgl. ρ(t ) zu bilden, d.h. ⟨⟩ → ⟨⟩ρ(t ). Aus Gründen der

Übersichtlichkeit wurde allerdings der Index nicht explizit angegeben. Damit ist die Basis der

kinetischen Theorie geschaffen. Das weitere Vorgehen benötigt eine explizite Berechnung der

5 Die Anwendung des Wick-Theorem kann auch mit einem Mathematica-Paket durchgeführt werden, siehe [91]

38

fermionischen Erwartungswerte. Dies verlangt jedoch nach einer konkreten Wahl für ρ(t ).

39

5. Präthermalisierung

Wir wenden den im vorhergehenden Kapitel eingeführten Formalismus an und evolvieren

damit das System aus dem Anfangszustand heraus. Wir verwenden dessen Dichteoperator

und nehmen ferner an, dass dieser konstant sei. Als Resultat können wir (3.41) reprodu-

zieren, d.h. die Dynamik bis zum Präthermalisierungsplateau kann als Spezialfall aus der

kinetischen Theorie gewonnen werden.

Im Anfangszustand besitzt das System den Dichteoperator des nicht wechselwirkenden

Fermi-Gases

|ψ(0)⟩⟨ψ(0)| :=ρ0 . (5.1)

Wir nehmen im Folgenden an, das System werde für alle Zeiten durch diesen Dichteoperator

beschrieben

ρeff(t ) =ρ0 (5.2)

und werten damit (4.26) aus. Dies führt auf die Besetzungen im Anfangszustand

⟨c †αcβ ⟩ρ0 = nα(0)δαβ . (5.3)

Die rechte Seite von (4.21) besitzt dadurch bis auf den Exponentialfaktor keine Zeitabhän-

gigkeit mehr. Da nur die Besetzungen des Anfangszustandes eingehen, besteht keine Rück-

kopplung des evolvierenden Systems auf nν (t ). Aufgrund der nur kleinen Wechselwirkung ist

jedoch zu erwarten, dass (5.2) zumindest auf kurzen Zeiten eine adäquate Beschreibung des

Systems liefert. Verwenden wir nun (5.3) in der Wick-Zerlegung (4.26) und setzen in (4.21)

ein, erhält mand

dtnν (t ) = T 1

ν (t )+T 2ν (t ) (5.4)

mit den Funktionen

T 1ν (t ) =−8g 2

∫ t

0

ds∑

αβγδ

|Vαβγδ|2(δαν +δβν −δγν −δδν )cos∆εαβγδ(t − s )

×�

nα(0)nβ (0)+2nα(0)nβ (0)nγ(0)�

(5.5)

41

5 Präthermalisierung

und

T 2ν (t ) =−32g 2

∫ t

0

ds∑

αδ

|vαδ(0)|2(δαν −δδν )cos ((εα−εδ)(t − s ))nα(0) . (5.6)

Da die Exponentialfunktion nach der Wick-Zerlegung die einzige verbleibende imaginäre

Größe ist, konnten wir

Re e i∆ε(t−s ) = cos∆ε(t − s ) (5.7)

in (5.5) und (5.6) verwenden. Ferner wurden in T 2ν (t ) die Koeffizienten

vαβ (t ) =∑

γ

Vαγγβnγ(t ) (5.8)

benutzt. Wie wir später sehen werden, liefert T 2ν (t ) in Modellen mit Impulserhaltung kei-

nen Beitrag. Für die weitere Evaluation werden in T 1ν (t ) und T 2

ν (t ) die Summen über den

Kronecker-Symbolen ausgeführt. Aufgrund der hohen Symmetrie der Funktionen in den

Summenindizes α,β ,γ lassen sich die entstehenden Terme weiter zusammenfassen und man

erhält schließlich

T 1ν (t ) =−16g 2

∫ t

0

ds∑

βγδ

|Vνβγδ|2 cos∆ενβγδ(t − s )

×�

nν (0)nβ (0)nγ(0)nδ(0)−nν (0)nβ (0)nγ(0)nδ(0)�

(5.9)

und

T 2ν (t ) =−32g 2

∫ t

0

ds∑

α

|vνα(0)|2 cos (εν −εα)(t − s )

× [nν (0)nα(0)−nν (0)nα(0)] . (5.10)

Eine ausführliche Rechnung (5.5)→(5.9) und (5.6)→(5.10) findet sich im Anhang A.1. Man

nehme zur Kenntnis, dass sich die Anzahl der Summationen um Eins reduziert hat, wodurch

der numerische Rechenaufwand verringert wird. Des Weiteren befindet sich die einzige

verbleibende Zeitabhängigkeit im Kosinus. Daher lässt sich die Integration

∫ t

0

ds cos∆ε(t − s ) =sin∆εt

∆ε. (5.11)

ausführen und in (5.9) bzw. (5.10) verwenden.∆ε steht hier und in (5.13) stellvertretend für

die in (5.9) bzw. (5.10) auftretenden Energiedifferenzen. Anschließend lässt sich aus (5.4)

42

durch erneute Integration

nν (t )−nν (0) =

∫ t

0

dt ′T 1ν (t

′)+

∫ t

0

dt ′T 2ν (t

′) , (5.12)

ein Ausdruck für die Besetzung nν (t ) gewinnen. Die Integrationen der rechten Seite bestehen

lediglich aus∫ t

0

dt ′sin∆εt

∆ε=

1− cos∆ε∆ε2

. (5.13)

Wir verwenden noch die trigonometrische Identität 1− cosx = 2 sin2(x/2) und erhalten

nν (t ) = nν (0)+T 1ν (t )+T 2

ν (t ) (5.14)

mit

T 1ν (t ) =−32g 2

∑

βγδ

′|Vνβγδ|2

sin2(∆ενβγδ)t /2∆ε2

νβγδ

×�

nν (0)nβ (0)nγ(0)nδ(0)−nν (0)nβ (0)nγ(0)nδ(0)�

(5.15)

und

T 2ν (t ) =−64g 2

∑

α

′|vνα(0)|2

sin2(εν −εα)t /2(εν −εα)2

[nν (0)nα(0)−nν (0)nα(0)] . (5.16)

Der obige Ausdruck stimmt mit dem Resultat (3.41) aus Kapitel 3 überein. Dieses diente zur

Beschreibung der transienten Dynamik bis zur Präthermalisierung. Unsere kinetische Theorie

reproduziert für den Spezialfall (5.2) diese Ergebnisse. Wir können dies als nachträgliche

Rechtfertigung für die Annahme (5.2) betrachten.

43

6. Thermalisierung

In diesem Kapitel entwickeln wir den Formalismus aus Kapitel 4 weiter, mit dem Ziel, die

zeitliche Dynamik bis zur Thermalisierung zu beschreiben. Wir verwenden dazu einen

zeitabhängigen und komplexeren Dichteoperator, und rechtfertigen dessen Wahl. Mit die-

sem statistischen Operator führen die Gleichungen aus Kapitel 4 auf eine sehr aufwändig

zu lösende Integro-Differentialgleichung. Da für die Thermalisierung das Langzeitverhal-

ten des Systems entscheidend ist, stellen wir eine Näherungsmethode für große Zeiten

vor. Diese führt auf eine wesentlich einfacher zu lösende Quanten-Boltzmann-Gleichung.

Daran anschließend zeigen wir die Erhaltung der Teilchenzahl sowie die Erhaltung der ki-

netischen Energie. Die Erhaltung Letzterer erlaubt uns, die Temperatur des Systems mit

der Wechselwirkungsstärke g in Verbindung zu setzen.

6.1. Diskussion des Dichteoperators

Für eine Beschreibung der Thermalisierung ist die exakte Gleichung (4.21) erneut unser Aus-

gangspunkt. Abermals ist es nötig, das darin vorkommende ρ(t ) durch eine Approximation

zu ersetzen. Wie bereits gezeigt, führt die Ersetzung

ρeff(t ) =ρ0 (6.1)

auf dieselben Resultate wie in [49, 83] und liefert somit eine korrekte Beschreibung der Dyna-

mik bis zum Präthermalisierungsplateau. Insbesondere ermöglichte die Approximation (6.1)

aufgrund ihrer Gestalt die Anwendung von Wick’s Theorem. Jedoch ist (6.1) nicht geeignet,

um das Verhalten des Systems über die Präthermalisierung hinaus zu beschreiben. Neben

den bereits genannten Argumenten spricht der mit der Wahl von ρ0 einhergehende starke

Bezug zum Anfangszustand dagegen. Dies spiegelt sich durch das Auftreten der Besetzungen

nν (0) in (5.15) wider. Um die Dynamik des Systems zum thermischen Zustand zu beschreiben,

sollte hingegen keinerlei Relation zum Anfangszustand bestehen. Um Thermalisierung zu

erhalten, werden wir daher unsere Wahl verbessern müssen.

Wir werden im Folgenden einen Dichteoperator der Form

ρ(t ) =1

Ze−

∑

αλα(t )nα (6.2)

45

6 Thermalisierung

annehmen. Zwar ist (6.2) ebenfalls von der Gestalt (4.22), allerdings besitzt diese nun zeitab-

hängige Koeffizienten, wodurch eine Rückkopplung der Dynamik auf den Dichteoperator

ermöglicht wird. Somit stellt (6.2) gegenüber (6.1) eine Verbesserung dar. Dadurch ist die

verwendete Approximation für die Kurzzeitdynamik gerechtfertigt.

Für den Übergang vom präthermischen zum thermischen Zustand wird (6.2) wie im Fol-

genden begründet. Wie in Kapitel 3.3 gezeigt wurde, können die Erwartungswerte für die

Besetzungen nν im Präthermalisierungsplateau durch das GGE berechnet werden:

enν = Tr nνρ eG . (6.3)

Aus diesem Grund ist die Ersetzung

ρeff(t ) =ρ eG (6.4)

für den stationären, präthermischen Zustand angemessen. An diesen anschließend setzt die

Thermalisierungsdynamik ein. Nach deren Abschluss kann das System durch ein thermisches

Ensemble charakterisiert werden. Demzufolge ist der statistische Operator durch

ρth =1

Ze−βH (3.19)=

1

Ze−β

∑

α eεα enα (6.5)

gegeben. Ein Vergleich der Gestalt von GGE (3.55) und thermischem Ensemble (6.5) zeigt,

dass mit dem präthermischen Zustand der Dichteoperator des Systems im Hinblick auf die

Besetzungen enα bereits die korrekte Form erreicht hat. Wir nehmen nun an, dass diese Form

während der Thermalisierung Bestand hat, und sich lediglich die Gewichtung der Beset-

zungen von λα→ β eεα ändert. Somit besitzt der Dichteoperator zwischen präthermischen

Zustand und thermischen Zustand die Gestalt

ρeff(t ) =1

Ze−

∑

αλα(t )Ýnα . (6.6)

Nach (3.43) besitzen die approximativen Erhaltungsgrößen die Form

enα = nα+O (g ) (6.7)

und damit wird (6.6) zu

ρeff(t ) =1

Ze−

∑

αλα(t )nα +O (g ) . (6.8)

Damit ist die Approximation (6.2) begründet. Deren Geltungsbereich wird lediglich für |g | � 1

gegeben sein. Zum einen berücksichtigt man die approximativen Erhaltungsgrößen in (6.7)

nur in niedrigster Ordnung. Zum anderen werden Korrelationen der enα durch das GGE nicht

beachtet. Durch den Erfolg der Beschreibung des Präthermalisierungsplateaus durch das

GGE ist deren Einfluss jedoch als sehr gering einzuschätzen.

46

6.2 Volle kinetische Gleichung

6.2. Volle kinetische Gleichung

Nachdem wir im vorangehenden Abschnitt die Wahl eines statistischen Operators der Form

ρeff(t )−→ρ eG (6.9)

begründet haben, möchten wir nachfolgend die kinetische Theorie aus Kapitel 4 damit

weiter auswerten. Aufgrund der Gestalt von (6.9) ist die Anwendung von Wick’s Theorem von

Neuem möglich. Fermionische Erwartungswerte bzgl. des Dichteoperators (6.9) liefern im

nun vorliegenden Fall zeitabhängige Besetzungen

⟨c †αcβ ⟩ρ(t ) = nα(t )δαβ . (6.10)

Wir verwenden nun (6.10) in (4.26) und setzen dies in (4.21) ein. Dadurch stellt sich die

kinetische Gleichung durchd

dtnν (t ) = T 1

ν (t )+T 2ν (t ) (6.11)

dar, mit den Funktionen

T 1ν (t ) =−8g 2

∫ t

0

ds∑

αβγδ


×�

nα(s )nβ (s )+2nα(s )nβ (s )nγ(s )�

(6.12)

und

T 2ν (t ) =−32g 2

∫ t

0

ds∑

αδ

|vαδ(s )|2(δαν −δδν )cos ((εα−εδ)(t − s ))nα(s ) . (6.13)

Auch diese Funktionen lassen sich weiter symmetrisieren und zudem die Summen über den

Kronecker-δ’s ausführen. Eine detaillierte Rechnung findet sich im Anhang A.1. Man erhält

T 1ν (t ) =−16g 2

∫ t

0

ds∑

βγδ

|Vνβγδ|2 cos∆ενβγδ(t − s )

×�

nν (s )nβ (s )nγ(s )nδ(s )−nν (s )nβ (s )nγ(s )nδ(s )�

(6.14)

und

T 2ν (t ) =−32g 2

∫ t

0

ds∑

α

|vνα(s )|2 cos (εν −εα)(t − s )

× [nν (s )nα(s )−nν (s )nα(s )] . (6.15)

47

6 Thermalisierung

Im Gegensatz zu (5.9) und (5.10) sind die Besetzungen auf der rechten Seite der Gleichun-

gen zeitabhängig. Daher kann die Zeitintegration nicht ausgeführt werden, wodurch eine

Integro-Differentialgleichung zu lösen bleibt. Allerdings kann diese in eine Integralgleichung

überführt werden [92]. Dazu betrachte man Gleichung (6.11), die die funktionale Form

d

dtnν =

∫ t

0

ds∑

βγδ

cos(cνβγδ(t − s ))Kνβγδ(s ) (6.16)

besitzt. Wir integrieren nun beide Seiten nach t und erhalten

nν (R)−nν (0) =

∫ R

0

dt

∫ t

0

ds∑

βγδ


Die Integrationen lassen sich nun vertauschen. Dabei muss beachtet werden, dass die zeitli-

chen Relationen 0≤ s ≤ t ≤R weiter Bestand haben. Die Vertauschung führt auf

nν (R)−nν (0) =

∫ R

0

ds

∫ R

s

dt∑

βγδ


mit dem Erfolg jetzt die t -Integration ausführen zu können

nν (R) = nν (0)+

∫ R

0

ds∑

βγδ

′ sin cνβγδ(R − s )cνβγδ

Kνβγδ(s ) . (6.19)

Damit haben wir (6.11) in die Form

nν (t ) = nν (0)+T 1ν (t )+T 2

ν (t ) (6.20)

mit

T 1ν (t ) =−16g 2

∫ t

0

ds∑

βγδ

′|Vνβγδ|2

sin∆ενβγδ(t − s )∆ενβγδ

×�


(6.21)

und

T 2ν (t ) =−32g 2

∫ t

0

ds∑

α

′|vνα(s )|2

sin (εν −εα)(t − s )εν −εα

× [nν (s )nα(s )−nν (s )nα(s )] (6.22)

überführt. Dadurch liegt keine Integro-Differentialgleichung mehr vor, sondern lediglich eine

Integralgleichung. Genauer ist (6.19) eine nichtlineare Volterra-Integralglei-chung zweiter

48

6.3 Quanten-Boltzmann-Gleichung

Art [92–94]. Eine Lösung dieser Art von Gleichungen ist nur numerisch möglich und sehr

aufwändig. Einen geeigneten Algorithmus werden wir in Kapitel 9 vorstellen.

6.3. Quanten-Boltzmann-Gleichung

Das Ziel dieses Kapitels ist die Beschreibung der Thermalisierungsdynamik. Da diese im

Wesentlichen durch das Langzeitverhalten des Systems bestimmt ist, lässt sich für die zuvor

hergeleitete Volterra-Gleichung (6.20) eine Näherung durchführen. Dadurch wird man eine

erheblich einfacher zu lösende Gleichung erhalten. Zwar wird diese nicht das Verhalten

unmittelbar nach dem Einschalten der Wechselwirkung beschreiben. Man beachte jedoch,

dass für diesen Zeitbereich die in Kapitel 5 dargestellte Approximation existiert. Die im

Folgenden durchgeführte Approximation der lokalen Zeit (ALZ) wurde in [86] vorgestellt.

Diese Näherung führt eine mit der Wechselwirkung g skalierte Zeit

τ= t g 2 (6.23)

ein und betrachtet den Limes g → 0, d.h. t →∞. Um diese Approximation durchzuführen, ist

es zweckmäßig, die Funktionen

β1(E ,ν , s ) = 16∑

βγδ

|Vνβγδ|2δ(E −∆ενβγδ)

×�


(6.24)

und

β2(E ,ν , s ) = 32∑

α

|vνα(s )|2δ(E − (εν −εα)) (nν (s )nα(s )−nν (s )nα(s )) (6.25)

einzuführen. Damit kann (6.11) in folgender Form geschrieben werden:

−1

g 2

d

dtn v (t ) =

∫ ∞

−∞

dE

∫ t

0

ds cos E (t − s )(β1(E , v, s )+β2(E , v, s )) . (6.26)

Man beachte, dass β1,2(E ,ν , s ) symmetrisch bzgl. der Energie sind, die sich folglich gemäß

der Vorschrift

eβ1,2(t ,ν , s ) =

∫ ∞

−∞

dE β1,2(E ,ν , s )cos(E t ) . (6.27)

Fourier-transformieren. Um das Langzeitverhalten von (6.26) zu studieren, führt man die

skalierte Zeit

τ= t g 2 (6.28)

49

6 Thermalisierung

ein und untersucht den Grenzfall g → 0. Ferner wird angenommen, dass die Limiten

limg→0

nν (τ/g 2) =Nν (τ) (6.29)

limg→0β1,2(E ,ν ,τ/g 2) = B1,2(E , v,τ) (6.30)

existieren und (6.26) in diesem Limes weiterhin Gültigkeit besitzt. Wir erhalten daraufhin

−d

dτNv (τ) = lim

g→0

∫ ∞

−∞

dE

∫ τ

0

dσ

g 2cos

�

Eτ−σ

g 2

�

(B1(E , v,σ)+ B2(E , v,σ)) , (6.31)

mitσ= s g 2. Eine Vertauschung von Zeit- und Energieintegration und gefolgt von der Ausfüh-

rung Letzterer führt mit (6.27) auf

−d

dτNv (τ) = lim

g→0

∫ τ

0

dσ

g 2( eB1((τ−σ)/g 2, v,σ)+ eB2((τ−σ)/g 2, v,σ)) . (6.32)

Eine Substitution der Integrationsvariablen zu u = (τ−σ)/g 2 ergibt

−d

dτNv (τ) = lim

g→0

∫ τ/g 2

0

g 2du

g 2( eB1(u , v,τ− g 2u )+ eB2(u , v,τ− g 2u )) , (6.33)

und ermöglicht, nun auf der rechten Seite den Grenzwert auszuführen

−d

dτNv (τ) = 16

∫ ∞

0

du ( eB1(u , v,τ)+ eB2(u , v,τ)) . (6.34)

Da der Integrand in der Integrationsvariable u symmetrisch ist, ermöglicht dies den Übergang∫∞

0→ 1/2

∫∞

−∞, wodurch eB1,2 wieder rücktransformiert werden können. Das finale Ergebnis

lautet dann

−d

dτNv (τ) =π (B1(0, v,τ)+ B2(0, v,τ)) . (6.35)

bzw. setzt man (6.24) und (6.25) ein und verzichtet auf die Schreibweise Nν (t ) für den Grenz-

wert

d

dτnν (τ) =

−16π∑

βγδ

|Vνβγδ|2δ(∆ενβγδ)�

nν (τ)nβ (τ)nγ(τ)nδ(τ)−nν (τ)nβ (τ)nγ(τ)nδ(τ)�

−32π∑

α

|vνα(τ)|2δ(εν −εα) (nν (τ)nα(τ)−nν (τ)nα(τ)) . (6.36)

Diese Gleichung werden wir im Folgenden als Quanten-Boltzmann-Gleichung (QBG) bezeich-

nen. Vergleicht man obige Gleichung mit (6.11) erkennt man drei Effekte, die die ALZ bewirkt.

Zum Einen tragen aufgrund der δ - Funktionen nun nur Besetzungen bei, deren zugehörige

50

6.4 Erhaltungsgrößen

Energien εν ,εβ ,εγ,εδ in Summe erhalten sind. Ferner gibt es keine Zeitintegration mehr, die

die Gleichung von allen Besetzungen früherer Zeitpunkte abhängig machte. In (6.36) treten

nur noch Besetzungen des gegenwärtigen Zeitpunkts auf. In diesem Sinne ist (6.36) „lokal

in der Zeit“. Bezüglich der mathematischen Klassifizierung liegt nun lediglich eine nichtli-

neare Differentialgleichung 1. Ordnung vor, deren Lösung deutlich einfacher als (6.19) ist.

Ferner werden durch die Zeitskalierung Prozesse O (g 2) zu Zeiten τ< 0 verschoben. Dadurch

befindet sich das Präthermalisierungsplateau bei τ= 0 und die Propagation von Gleichung

(6.36) bei τ= 0+ erfolgt daher aus dem präthermischen Zustand heraus. Als Anfangswerte

von (6.36) dienen daher die Werte des Präthermalisierungsplateaus.

Abschließend setzen wir in (6.36) die Fermi-Funktion

nν = f ν =1

e βεν +1(6.37)

ein und erhalten damit

d

dτf ν (τ) =−16π

∑

βγδ

|Vνβγδ|2δ(∆ενβγδ) f ν fβ f γ fδ(e β (εγ+εδ)− e β (εν+εβ ))

−32π∑

α

|vνα(τ)|2δ(εν −εα) f ν fα(e βεα − e βεν ) .

Da die δ-Funktionen der ALZ die in den Exponentialfunktionen auftretenden Energien gleich-

setzt, folgtd

dτf ν (τ) = 0 . (6.38)

Gleichung (6.36) besitzt somit die Fermi-Funktion als stationäre Lösung.

6.4. Erhaltungsgrößen

Die QBG besitzt noch weitere Eigenschaften. So erhält die Gleichung sowohl Teilchenzahl als

auch die kinetische Energie.

Die Teilchenzahlerhaltung lässt sich sogar für die Volterra-Gleichung (6.20) zeigen. Diese

Gleichung besitzt die Struktur

d

dtnν =

∑

αβγδ

(δαv +δβv −δγv −δδv )Cαβγδ

+∑

αβ

(δαν −δβν )Dαβ (6.39)

mit den Koeffizienten

Cαβγδ =−8g 2

∫ t

0

ds |Vαβγδ|2 cos∆εαβγδ(t − s )�

nαnβ −2nαnβnγ�

(6.40)

51

6 Thermalisierung

und

Dαβ =−32g 2

∫ t

0

ds |vαδ|2 cos((εα−εδ)(t − s ))nα . (6.41)

Die Veränderung der Gesamtteilchenzahl ist durch

∑

ν

d

dt⟨nν ⟩=

∑

νβγδ

Cνβγδ+∑

ανγδ

Cανγδ−∑

αβνδ

Cαβνδ−∑

αβγν

Cαβγν

+∑

νδ

Dνδ−∑

αν

Dαν (6.42)

gegeben. Die Summenindizes in (6.42) können beliebig umbenannt werden, so dass sich die

Koeffizienten C und D jeweils zu 0 summieren. Damit folgt die Teilchenzahlerhaltung:

∑

ν

d

dt⟨nν ⟩= 0 . (6.43)

Aufgrund des vorliegenden isolierten Systems ist diese Erhaltung physikalisch sinnvoll. Sie ist

eine Folge davon, dass der wechselwirkende Teil H1 des Hamilton-Opera-tors zwar die Beset-

zungen untereinander verändert, aber keine Teilchen erzeugt oder vernichtet. Mathematisch

zeigt sich das durch die aus dem Kommutator

[nν , H1] = (δαν +δβν −δγν −δδν )Vαβγδc †αc †βcγcδ (6.44)

entstehende Summe von Kronecker-δ’s. Diese Summe ist letztendlich für die Erhaltung in

(6.42) verantwortlich. Die Gewährleistung von (6.43) stellt zudem eine Kontrolle der Numerik

dar.

Auf ähnliche Art und Weise lässt sich die Erhaltung der kinetischen Energie demonstrieren.

Die Zeitableitung der kinetischen Energie

d

dtEkin =

∑

k

ενd

dtnν = 0 (6.45)

beinhaltet die Zeitableitung der nν ′s , für die wir (6.39) verwenden. Dies führt auf eine Struktur

der kinetischen Energie der Form

d

dtEkin =

∑

ν

εν∑

αβγδ

(δαν +δβν −δγν −δδν )Cαβγδ

+∑

ν

εν∑

αβ

(δαν −δβν )Dαβ . (6.46)

mit den Koeffizienten

Cαβγδ =−16π|Vαβγδ|2δ(∆εαβγδ)�


(6.47)

52

6.5 Bestimmung der Temperatur

und

Dαβ =−32π|vαδ|2δ(εα−εδ)nα . (6.48)

Durch Vertauschen der Summen und Ausführen der ν-Summe erhält man

d

dtEkin =

∑

αβγδ

(εα+εβ −εγ−εδ)Cαβγδ

+∑

αβ

(εα−εβ )Dαβ (6.49)

Die δ-Funktionen der ALZ sorgen dafür, dass sich die Energien zu Null summieren. Dadurch

folgt aus (6.49)d

dtEkin = 0 . (6.50)

Man nehme zur Kenntnis, dass die Erhaltung der kinetischen Energie nur in der ALZ gilt. Diese

beschreibt die Zeitentwicklung des Systems vom präthermischen Zustand zum thermischen

Zustand. Nach [49]und [34] ändern sich Wechselwirkungsenergie und kinetische Energie nach

der Präthermalisierung nicht mehr. Da wir ein isoliertes System betrachten, folgt aus (6.50)

ebenso die Erhaltung der Wechselwirkungsenergie. Damit wird Punkt (iv) aus 1.1.2 verifiziert.

Zwischen dem Einschalten der Wechselwirkung und Präthermalisierungsplateau variiert die

kinetische Energie durchaus. Daher ist deren Erhaltung durch die Volterra-Gleichung (6.20)

nicht erwünscht und somit im Einklang mit der Notwendigkeit der ALZ.

6.5. Bestimmung der Temperatur

Die Erhaltung der kinetischen Energie ermöglicht es, eine Vorhersage für die Temperatur

des Endzustands zu gewinnen. Der stationäre Endzustand der QBG ist eine Fermi-Funktion,

deren Temperatur der Energie entsprechen sollte, die beim Einschalten der Wechselwirkung

dem System zugeführt wird. Eine Möglichkeit, diese Temperatur zu bestimmen, möchten wir

im Folgenden erläutern.

Da ein isoliertes System betrachtet wird, ist die Gesamtenergie für t ≥ 0 erhalten. Daher

kann diese durch den Erwartungswert ⟨H⟩t=0 berechnet werden. Zu diesem Zeitpunkt liegt

der Grundzustand eines Fermi-Gases mit halber Füllung vor. Die Energie kann deshalb mit

E tot = ⟨H⟩t=0 = 2

∫ EF

−∞

dεD(ε)ε+Eww(0) . (6.51)

berechnet werden. Der erste Term ist die kinetische Energie eines Fermi-Gases im Grundzu-

stand, während der zweite Term die Wechselwirkungsenergie zu t = 0 darstellt. Die Erhaltung

der Gesamtenergie ist gültig für beliebige Zeitpunkte, so auch zwischen präthermischen und

53

6 Thermalisierung

thermischen Zustand. Folglich gilt:

E prekin +E pre

ww = E thkin+E th

ww (6.52)

E prex und E th

x kennzeichnen kinetische Energie und Wechselwirkungsenergie im präthermi-

schen bzw. thermischen Zustand. Mit Hilfe der skalierten Zeit τ (siehe (6.23)) können diese

durch

E prex = Ex (τ= 0+) (6.53)

E thx = Ex (τ=∞) (6.54)

definiert werden. Aufgrund der Erhaltung der kinetischen Energie innerhalb dieser Zeitpunkte

ist eine noch stärkere Aussage möglich

E prekin = E th

kin (6.55)

E preww = E th

ww . (6.56)

Wie in Kapitel 6.3 gesehen, ist die stationäre Lösung von (6.36) die Fermi-Funktion. Daher

lässt sich im thermischen Zustand die kinetische Energie durch

E thkin = 2

∫

dεD(ε)ε

1+ e βε(6.57)

berechnen. Für diesen Term lässt sich eine Sommerfeld- Entwicklung durchführen

E thkin = 2

∫ EF

−∞

dεD(ε)ε+π2

3T 2D(0)+O (T 3) . (6.58)

Für die kinetische Energie des Präthermalisierungsplateaus benötigen wir dessen Besetzun-

gen n (ε,τ= 0+)

E prekin = 2

∫

dεεD(ε)n (ε,τ= 0+). (6.59)

Die benötigten Besetzungen gewinnen wir aus dem Langzeitmittel der Präthermalisierungs-

dynamik (3.34). Aus der Gleichheit der kinetischen Energien (6.59) und (6.58) erhalten wir

damit einen Zusammenhang zwischen T und g . Da die Besetzungen des Präthermalisie-

rungsplateaus die Gestalt

n (ε, t ) = n (ε, 0)+O (g 2) (6.60)

besitzen, werden sich die jeweils ersten Terme aus (6.58) und (6.59) kompensieren und so ein

Zusammenhang

T ∝ g (6.61)

54

6.5 Bestimmung der Temperatur

entstehen. Man beachte, dass damit Punkt (ii) des in Kapitel 1.1.2 skizzierten Szenarios

verifiziert ist. In Kapitel 9 werden wir das hier präsentierte Schema im Hubbard-Modell

auswerten.

55

Teil III.

Resultate für das Hubbard-Modell

7. Das Hubbard-Modell in unendlichen

Dimensionen

Dieses Kapitel dient als Vorbereitung für die in den Folgekapiteln durchgeführte Analyse

des Hubbard-Modells im Rahmen der kinetischen Theorie. Wir beginnen dieses Kapitel

mit einer Herleitung des Hubbard-Modells und zeigen, wie sich das Modell in die kine-

tische Theorie einbauen lässt. Ferner werden wir auf die Vereinfachungen eingehen, die

sich aus dem Modell sowie dem Sonderfall unendlicher Dimensionen ergeben. Abschlie-

ßend präsentieren wir die Berechnung einiger Observabler, die für die Auswertung nötig

sind.

7.1. Einführung in das Hubbard-Modell

Die Originalarbeiten [5–7] über das Hubbard-Modell stammen aus dem Jahre 1963. Weiterfüh-

rende Literatur findet sich beispielsweise in [95, 96]. Wir geben hier eine Idee der Herleitung

des Hubbard-Modells und werden darüber hinaus auf einige für uns relevante Eigenschaften

des Modells eingehen.

Wir betrachten positiv geladene Ionen, die in einem periodischen Gitter angeordnet sind.

Wir nehmen an, die Ionen selbst sind unbeweglich und wechselwirken nicht untereinander.

Jedoch erzeugt ein Ion, das sich am OrtRj befindet, aufgrund seiner Ladung ein elektrisches

Potential

V (r−Rj ) . (7.1)

Das Potential erbt die Periodizität des Gitters, d.h.

V (r+R) =V (r) R : Gittervektor . (7.2)

In diesem Potential bewegen sich Elektronen, deren Wechselwirkung durch

Hee =1

4πε0

∑

i<j

e 2

|ri −rj |(7.3)

gegeben ist. Zusammen mit der kinetischen Energie der Elektronen wird das System durch

59

7 Das Hubbard-Modell in unendlichen Dimensionen

den Hamilton-Operator

H =Hei+Hee (7.4)

Hei =∑

i

pi2

2m+∑

i j

V (ri −Rj ) (7.5)

charakterisiert. In den nicht wechselwirkenden Teil Hei wurde die kinetische Energie der

Elektronen miteinbezogen. Die Eigenzustände von Hei sind Bloch-Wellen

ψnkσ(r+R) =ψnkσ(r) , (7.6)

durch die sich die Periodizität des Gitters wider spiegelt [1, 97]. n indiziert die elektronischen

Bänder. Im Folgenden werden wir auf diesen Index verzichten, da wir uns auf das Einband-

Hubbard-Modell beschränken. Wir führen die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren

c †kσ , ckσ (7.7)

der Bloch-Zustände ein. Diese lassen sich mit

c †iσ =

1p

L

∑

k

e−ik·Ri c †kσ (7.8)

c †kσ =

1p

L

∑

i

e ik·Ri c †iσ (7.9)

auf die ortsabhängigen Wannier-Funktionen transformieren, die am GitterplatzRi lokalisiert

sind. In dieser Basis wird (7.4) durch

H =∑

i j

t i j c †iσc jσ+

∑

i j k l

Vi j k l c †iσc †

jσ′ckσ′c lσ (7.10)

dargestellt. Das Matrixelement

t i j = ⟨i |∑

i ′

pi ′2

2m+∑

i ′ j ′

V (ri ′ −Rj ′)|j ⟩ (7.11)

ist die Amplitude für ein Hüpfen der Elektronen von Gitterplatz j zu i . Der Wechselwirkungs-

anteil ist durch das Matrixelement

Vi j k l = ⟨i j |1

4πε0

∑

i ′<j ′

e 2

|ri ′ −rj ′ ||k l ⟩ . (7.12)

gegeben. Es sei hier angemerkt, dass bis auf den Verzicht mehrerer Bänder bisher keine

Näherung gemacht wurde und (7.10) eine exakte Darstellung eines elektronischen Bandes

innerhalb eines periodischen Potentials ist. Da dieser Hamilton-Operator jedoch sehr schwer

60

7.1 Einführung in das Hubbard-Modell

lösbar ist, sind Approximationen notwendig. Wir nehmen an, die Wechselwirkung sei rein

lokal, d.h. nur Elektronen, die sich auf demselben Gitterplatz befinden, wechselwirken mitein-

ander. Aufgrund der Abstandsabhängigkeit der Coulomb-Wechselwirkung wird dieser Anteil

am Größten sein. Daher beachten wir nur

Vi i i i =U (7.13)

und gelangen schließlich zum Hamilton-Operator des Hubbard-Modells

H =∑

i jσ

t i j c †iσc jσ+U

∑

i

n i↑n i↓ . (7.14)

Aufgrund der Approximation eignet sich das Hubbard-Modell zur Beschreibung stark loka-

lisierter Elektronen. Deren Wellenfunktionen sind um die IonenorteRj stark konzentriert

und überlappen nur gering. Aus diesem Grund wird oft nur ein Hüpfen zwischen benachbar-

ten Gitterplätzen betrachtet und t i j = t gesetzt. In diesem Fall besitzt das Hubbard-Modell

nur noch zwei Parameter, t und U . Man beachte, dass der Einfluss der Atomrümpfe nur

als statischer Hintergrund berücksichtigt wurde. Infolgedessen werden Systeme mit star-

ker Gitterdynamik oder starker Elektron-Phonon-Kopplung im Hubbard-Modell nicht gut

beschrieben. Das Hubbard-Modell sollte jedoch auch nicht als möglichst genaue Abbildung ei-

nes realen Systems gesehen werden. Vielmehr ist es das einfachste Modell, dass es ermöglicht,

wechselwirkende Elektronen in einem periodischen Potential zu studieren.

Der Hamilton-Operator (7.14) soll nun in die kinetische Theorie eingebaut werden. Dazu

transformieren wir (7.14) mit (7.9) in den Impulsraum. Der Anteil der kinetischen Energie

wird dadurch diagonalisiert

∑

i j

t i j c †iσc jσ =

∑

k

εkc †kσckσ (7.15)

mit der Dispersionsrelation

εk =1

L

∑

k

t i j e ik(Ri−Rj ) . (7.16)

Dadurch haben wir den nicht wechselwirkenden Anteil des Hubbard-Modells bereits in die

Form (1.4) überführt, die in der kinetischen Theorie benötigt wird. Für den Wechselwirkungs-

anteil führt eine Transformation in den Impulsraum auf

U∑

i

n i↑n i↓ =U

L

∑

k1k2k3k4

∆(k1+k2−k3−k4)c†k↑c

†k↓ck↓ck↑ (7.17)

mit der von-Laue-Funktion

∆(k) =1

L

∑

i

e ikRi =∑

G

δk,G . (7.18)

61


Diese drückt die, aufgrund der Translationsinvarianz gegebene Impulserhaltung bis auf

einen reziproken Gittervektor G aus. Um die in Kapitel (4) verwendeten Symmetrien der

Koeffizienten Vαβγδ zu gewährleisten, ist eine Symmetrisierung von (7.17) erforderlich. Durch

die Zuordnung α→ (k ,σ) und g →U erhält man

g Vαβγδ =U

4L∆(k1+k2−k3−k4)Σ1234 , (7.19)

mit dem Spinanteil

Σ1234 =∑

σ

δσ1σδσ2σ

�

δσ3σδσ4σ−δσ3σδσ4σ

�

. (7.20)

Dadurch ist die Symmetrie der Koeffizienten gewährleistet und mit (7.15) bzw. (7.19) besitzen

wir nun eine Vorschrift das Hubbard-Modell auf einen Hamilton-Operator der Form (1.4) bzw.

(1.5) abzubilden. Eine interessante Beobachtung machen wir für das Verhalten der Anteile

(5.10) und (6.15) in unseren kinetischen Gleichungen. Diese beinhalten die Koeffizienten

vαβ (t ) =∑

γ

Vαγγβnγ(t ) . (7.21)

Durch die in (7.19) auftretende von-Laue-Funktion verschwinden darin alle Terme mit α 6=β .

Demzufolge treten nur Koeffizienten vαα mit zwei identischen Indizes auf. In den beiden

Termen der kinetischen Theorie, (5.10) und (6.15), führt dies auf

T 2ν (t )∝ |vαβ |

2�

nαnβ −nαnβ�

= |vαα|2 (nαnα−nαnα) = 0 . (7.22)

Daher treten im Hubbard-Modell nur die T 1ν -Terme (5.4) und (6.11) auf 6.

Eine weitere Vereinfachung betrifft den Spin. Liegt zum Zeitpunkt t = 0 keine Spinpolarisa-

tion vor, d.h.

nk↑(0) = nk↓(0) . (7.23)

erhalten die kinetischen Gleichungen diese Symmetrie für alle Zeiten (Beweis siehe Anhang

A.2). Aus diesem Grunde genügt es, die Zeitentwicklung der spinlosen Größe nk(t ) zu betrach-

ten.

7.2. Fermionen in unendlichen Dimensionen

Durch die Untersuchung in unendlichen Dimensionen ergeben sich weitere Vereinfachungen

[10, 96, 98–101]. Eine ausführliche Zusammenfassung darüber findet sich in [12]. Um die

6 In jedem anderen translationsinvarianten Modell werden durch die Impulserhaltung ebenfalls die Terme T 2ν

verschwinden. Vorsicht ist bei offenen Randbedingungen geboten. Durch diese wird die Translationsinvarianzgebrochen und T 2

ν können durchaus einen Beitrag liefern.

62

7.2 Fermionen in unendlichen Dimensionen

Vereinfachungen in d =∞ zu verstehen, betrachte man zunächst die Dichtematrix

g 0i jσ = ⟨c

†iσc jσ⟩0 . (7.24)

Das Betragsquadrat |g 0i j ,σ|2 kann als Wahrscheinlichkeit für den Übergang eines Teilchens

von Gitterplatz j zu i interpretiert werden. Die Übergänge zu den nächsten Nachbarn sind

gleich wahrscheinlich. Bei einer Anzahl von Z nächsten Nachbarn sollte daher gelten:

|g 0i jσ|

2 ∝O�

1

Z

�

∝O�

1

d

�

. (7.25)

Betrachtet man nun die Green-Funktion

G 0i jσ =−⟨T c jσ(t )c †

iσ(0)⟩0 (7.26)

verhält sich diese wie (7.25). Der Unterschied zwischen (7.26) und (7.24) liegt in der Zeitent-

wicklung des Operators c jσ(t). Das Verhalten (7.25) ist jedoch eine Konsequenz der Geometrie

des Gitters und ändert sich daher zeitlich nicht. Man kann nun zeigen [102, 103], dass für die

Green-Funktion im Allgemeinen (ohne Beschränkung auf nächste Nachbarn) gilt:

G 0i jσ ∝O

�

1

d ||Ri−Rj ||/2

�

. (7.27)

Die Metrik ||R||=∑d

n=1 |Rn | definiert den Abstand zwischen zwei Punkten als Summe der da-

zwischenliegenden horizontal und vertikal verlaufenden GittervektorenRn . Die Eigenschaft

(7.27) kann als die zentrale Ursache für die Vereinfachungen in d =∞ gesehen werden. Für

Ri =Rj verliert (7.27) seine d -Abhängigkeit. Daher sind diese Terme die Einzigen, die im

Limes d =∞ einen Beitrag liefern. Ein System ist in unendlichen Dimensionen nur durch

lokale Prozesse bestimmt. Dies überträgt sich auf die Selbstenergie

Σi jσ(ω)d→∞= Σi jσ(ω)δi j , (7.28)

bzw. im Impulsraum erhält man eine k-unabhängige Selbstenergie

Σσ(k,ω) d→∞= Σσ(ω) . (7.29)

Die impulsunabhängige Selbstenergie (7.29) ist die bedeutendste Vereinfachung in unendli-

chen Dimensionen. Es sei zur Kenntnis genommen, dass diese Eigenschaft in d =∞ keine

Näherung, sondern ein exaktes Resultat ist7. Eine weitere Besonderheit in unendlichen Di-

mensionen ergibt sich bei der Betrachtung von Wechselwirkungen ohne Impulsabhängigkeit

(vgl. (7.19)) [98, 106]. Treffen in diesem Fall 4 Green-Funktion-Linien in einem Vertex zu-

7 Aus diesem Grund lässt sich eine mittlere Feldtheorie (DMFT) konstruieren, die in d =∞ exakt ist [104, 105].

63


sammen, so ist an diesem Vertex der Impuls erhalten. Diese Erhaltung ist nun die einzig

verbleibende Impulsabhängigkeit und wird in der Vertex-Funktion

v (ε1,ε2,ε3,ε4) =∑

k1k2k3k4

∆(k1+k2−k3−k4)4∏

i=1

δ(εi −ε(ki )) (7.30)

durch die von-Laue-Funktion∆(k) repräsentiert. Im Fourier-Raum lässt sich nun zeigen, dass

(7.30) in d =∞ in die Einteilchenzustandsdichten faktorisiert

v (ε1,ε2,ε3,ε4) =4∏

i=1

D(εi ) . (7.31)

Dies ist gleichbedeutend mit

∆(k) =1

L. (7.32)

Dadurch besitzt das Hubbard-Modell in d = ∞ keine Impulsabhängigkeit mehr. Für die-

se Arbeit ist (7.31) die bedeutendste Eigenschaft unendlicher Dimensionen, da diese die

Evaluation häufig auftretender k -Summationen stark vereinfachen wird.

7.3. Berechnung einiger Observablen

Für die Analyse der folgenden Kapitel benötigen wir einige Observablen, deren Definition

sich hier findet. Wir weisen darauf hin, dass wegen Anhang A.2 unsere berechnete Größe

nk(t ) keine Spinabhängigkeit aufweist. Aus diesem Grund können wir die in den Observablen

häufig auftretenden Spin-Summen ausführen, wodurch ein Faktor 2 entsteht.

Die kinetische Energie der Elektronen pro Gitterplatz ist gegeben durch

Ekin(t ) =2

L

∑

i ,j

t i j ⟨c †i (t )c j (t )⟩0 =

2

L

∑

k

εknk(t ) . (7.33)

Die k-Summationen lassen sich mit der Zustandsdichte auch in Energie-Integrationen um-

schreiben1

L

∑

k

H (εk)−→∫

dεD(ε)H (ε) , (7.34)

womit wie die kinetische Energie durch

Ekin(t ) = 2

∫

dεD(ε)εn (ε, t ) (7.35)

ausdrücken können. Die Doppelbesetzung pro Gitterplatz ist definiert als:

d (t ) =1

L

∑

i

⟨n i↑(t )n i↓(t )⟩0 . (7.36)

64

7.3 Berechnung einiger Observablen

Für ein nicht wechselwirkendes System faktorisiert der Erwartungswert in die einzelnen

Beiträge und man erhält für Systeme mit halber Füllung

d (0) =1

4. (7.37)

Im Hubbard-Modell ist die Wechselwirkungsenergie pro Gitterplatz über

Eww(t ) =Ud (t ) (7.38)

mit der Doppelbesetzung verknüpft. Die Gesamtenergie des Systems

E tot = Ekin(t )+Eww(t ) (7.39)

ist eine Erhaltungsgröße in einem isolierten System und kann daher aus den bekannten

Werten

Ekin(0) =

∫ EF

−∞

dεεD(ε) (7.40)

und

Eww(0) =U

4(7.41)

bestimmt werden. Da n(ε, t ) und somit Ekin(t ) zu jedem Zeitpunkt bekannt sind, lässt sich

über

Eww(t ) = E tot−Ekin(t ) (7.42)

die Wechselwirkungsenergie berechnen. Daraus können wir mit (7.38) die Doppelbesetzung

gewinnen

d (t ) =E tot−Ekin(t )

U(7.43)

Eine weitere interessante Größe ist die Diskontinuität an der Fermi-Kante, die wir im Folgen-

den über

∆n (t ) = limε→0(n (−ε, t )−n (ε, t )) (7.44)

berechnen werden.

65

8. Präthermalisierung im

Hubbard-Modell

Die Präthermalisierung des Hubbard-Modells konnte erstmals in [49] gezeigt werden. Die

im Rahmen der kinetischen Theorie durchgeführte Approximation in Kapitel 5 führt zu

äquivalenten Resultaten. In diesem Kapitel verwenden wir diese Approximation und be-

schreiben damit die Präthermalisierungsdynamik des Hubbard-Modells.

8.1. Vorbereitung

Gleichung (5.15) dient als Ausgangspunkt unserer Auswertung. Wegen (7.22) verschwindet der

Term T 2ν (t ). Ferner spezifizieren wir die allgemeine Wechselwirkung Vαβγδ auf das Hubbard-

Modell, d.h. wir ordnen jedem griechischen Index einen Impuls- und Spinindex zu

ν→k1,σ1 β →k2,σ2 γ→k3,σ3 δ→k4,σ4 . (8.1)

und verwenden (A.32):

nk1(t ) =nk1(0)−4U

L3

∑

k2k3k4

′ sin2(∆εk1k2k3k4 t /2)(∆εk1k2k3k4)2

×�

nk1(0)nk2(0)nk3(0)nk4(0)−nk1(0)nk2(0)nk3(0)nk4(0)�

(8.2)

Die auftretenden Impulssummen werden nun mit der Vorschrift (7.34) in Energieintegratio-

nen überführt. Wir definieren

Jε1(E ) =

∫

d(ε2,ε3,ε4)δ(E +ε2−ε3−ε4)D(ε2)D(ε3)D(ε4)

× [n (ε1, 0)n (ε2, 0)n (ε3, 0)n (ε4, 0)−n (ε1, 0)n (ε2, 0)n (ε3, 0)n (ε4, 0)] (8.3)

sowie

F (ε, t ) =

∫ ∞

−∞

dEsin2(E −ε)t /2(E −ε)2

Jε(E ) . (8.4)

67

8 Präthermalisierung im Hubbard-Modell

Damit kann (8.2) in eine kompakte Form

n (ε1, t ) = n (ε1, 0)−4U 2F (ε, t ) (8.5)

transformiert werden. Für die weitere Evaluation folgen wir dem in [34] beschriebenem

Vorgehen. Durch dieses kann die Anzahl der Energie-Integrationen auf eine Einzige reduziert

werden. Die notwendigen Voraussetzungen hierfür sind eine halbe Bandfüllung sowie eine

symmetrische Zustandsdichte D(ε) = D(−ε). In diesem Fall können wir (8.6) in folgender

Form darstellen

n (ε1, t ) =n (ε1, 0)−4U 2sgn(ε1)

∫ t

0

ds (t − s )Re[R(s )3e i s |ε1|] . (8.6)

mit R(s ) =∫

dεΘ(−ε)D(ε)e is |ε|. Über (7.44) erhalten wir daraus den Sprung an der Fermi-

Kante

∆n (t ) = 1−4U 2

∫ t

0

ds (t − s )Re[R(s )3] . (8.7)

Über (7.43) bestimmen wir die zeitliche Entwicklung der Doppelbesetzung

d (t ) = d (0)−2U

∫ t

0

ds Im[R(s )4] (8.8)

mit d (0) = 0.25 . Man beachte, dass die Wechselwirkung U in den Gleichungen (8.6)-(8.8)

lediglich als Faktor in der Differenz zum Anfangszustand auftritt.

8.2. Resultate

Die hier gezeigten Resultate der Gleichungen (8.6)-(8.8) wurden in einem MAPLE-Programm

ausgewertet. Die Zeitentwicklung der Besetzungen n(ε, t ) ist in Abb. 8.1(a) für verschiede-

ne Werte ε > 0 zu sehen. Da diese über der Fermi-Kante liegen, sind sie nicht besetzt. Ein

Anschalten der Wechselwirkung führt zu einer raschen, jedoch geringen Zunahme der Be-

völkerung dieser Niveaus. Nach dem Anstieg auf einen Maximalwert setzt der Abfall zum

präthermischen Wert ein. Mit zunehmender Entfernung zur Fermi-Kante ist eine Abnahme

der Höhe des präthermischen Wertes sowie eine Zunahme der Relaxationsgeschwindigkeit

festzustellen. Die gesamte Impulsverteilung des Präthermalisierungsplateau ist in Abb. 8.1 (b)

dargestellt. Die Verteilung wurde durch das Langzeitmittel von (8.6) gewonnen. Gegenüber

der Stufenfunktion des Anfangszustand ist eine Abnahme der Fermi-Diskontinuität festzu-

stellen. Die durch das Einschalten der Wechselwirkung dem System zugeführte Energie sorgt

für eine leichte Besetzung der Niveaus ε> 0 und führt zu einer Abrundung der Fermi-Kante.

68

8.2 Resultate

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0 2 4 6 8 10 12

n(ε

,t)

t

(a)

ε= 0.049

ε= 0.136

ε= 0.538

ε= 1.096

0

0.25

0.5

0.75

1

-2 -1 0 1 2

n(ε)

ε

(b)U = 0.5

U = 1

Abbildung 8.1.: (a) Transienten für verschiedene Energien ε bei U = 0.25. Nachdem ein Maximum er-reicht wurde, relaxiert das System zum Präthermalisierungsplateau. Geschwindigkeitder Relaxation und Höhe des präthermischen Wertes hängen von der Entfernungzur Fermi-Kante ab. (b) Die Impulsverteilung des Plateaus besitzt eine deutlicheDiskontinuität an der Fermi-Kante. Deren Größe nimmt zwar mit zunehmendem Uab, bleibt jedoch für die betrachteten U ≤ 1 beachtlich.

Diese Abnahme des Sprungs skaliert aufgrund der Struktur von (8.7) mit U 2. Die Diskontinui-

tät ist selbst für U = 1 noch sehr groß und ein klares Indiz dafür, dass das System noch nicht

thermalisiert ist. Dies lässt sich auch in der zeitlichen Entwicklung des Fermi-Sprungs∆n (t )

erkennen (Abb. 8.2(a)). Dieser fällt zunächst rasch ab, nimmt dann ebenfalls einen stationär-

69

8 Präthermalisierung im Hubbard-Modell

0.82

0.84

0.86

0.88

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

0 1 2 3 4 5

∆n(t)

t

(a)

U = 0.25U = 0.5

U = 0.75U = 1

0.18

0.19

0.2

0.21

0.22

0.23

0.24

0.25

0 1 2 3 4 5

d(t)

t

(b)

U = 0.25U = 0.5

U = 0.75U = 1

Abbildung 8.2.: Zeitliche Entwicklung des (a) Sprungs an der Fermi-Kante und (b) der Doppelbeset-zung, jeweils für verschiedene U ’s. Der Sprung nimmt gegenüber dem Grundzustandnur schwach ab und zeigt ein konstantes Verhalten im präthermischen Zustand.Die Doppelbesetzung verhält sich linear in U und erreicht ihren thermischen Wertbereits im präthermischen Zustand.

en Wert an und bildet ein Präthermalisierungsplateau. Selbst für die stärkste Wechselwirkung

U = 1 beträgt der Wert noch 80 % des Anfangszustand, für das kleinste U=0.25 ist gar kaum

eine Abnahme beobachtbar (∆n ≈ 0.99). Der für den thermischen Zustand erwartete Wert

∆n(t ) = 0 ist also noch nicht annähernd erreicht. Die Thermalisierungsdynamik muss an

dieser Stelle noch Einiges leisten. Die Doppelbesetzung dagegen (Abb. 8.2(b)) erreicht im

70

8.2 Resultate

Präthermalisierungsplateau bereits ihren thermischen Wert. Gegenüber dem wechselwir-

kungsfreien Fall mit d = 0.25 ist eine Abnahme von bis zu 25% in der zeitlichen Entwicklung

wahrnehmbar. Man erkennt zudem den linearen Zusammenhang der Doppelbesetzung in U .

71

9. Thermalisierung im Hubbard-Modell

Dieses Kapitel ist das Herzstück der Arbeit und behandelt die Thermalisierung des Hub-

bard-Modells. In einem ersten Schritt evaluieren wir die volle kinetische Gleichung aus

Abschnitt 6.2 und diskutieren die damit verbundenen Probleme der numerischen Imple-

mentierung. Daran angeschlossen, führen wir diverse Verbesserungen ein, die diese Pro-

bleme abschwächen. Dies erlaubt uns, Resultate der vollen kinetischen Gleichung zu prä-

sentieren. Wir vergleichen die Übereinstimmung unmittelbar nach dem Einschalten der

Wechselwirkung mit DMFT- Daten und der Approximation aus Kapitel 5. Ferner untersu-

chen wir das Langzeitverhalten und ermitteln eine Fermi-Funktion als Endzustand . An-

schließend vergleichen wir diesen mit den Resultaten der QBG und prüfen den Zusam-

menhang zwischen Temperatur und Wechselwirkung aus Abschnitt 6.5. Wir beenden das

Kapitel mit einer Analyse der Zeitskala der Thermalisierung.

9.1. Volle kinetische Gleichung

9.1.1. Vorbereitung

Wir verwenden (6.20) und führen die Ersetzung

ν→k1,σ1 β →k2,σ2 γ→k3,σ3 δ→k4,σ4 . (9.1)

durch. Wegen (7.22) verschwindet T 2ν (t ). Ferner verwenden wir die Abbildung (A.32) auf die

Hubbard-Wechselwirkung und erhalten schließlich

nk1(t ) =nk1(0)+2U 2

L3

∫ t

0

ds∑

k2k3k4

′ sin∆εk1k2k3k4(t − s )∆εk1k2k3k4

×�

nk1(s )nk2(s )nk3(s )nk4(s )−nk1(s )(nk2(s )nk3(s )nk4(s )�

. (9.2)

73

9 Thermalisierung im Hubbard-Modell

Wir transformieren mit (7.34) die Impulssummen auf Energieintegrationen über die Zustands-

dichte (1.15):

n (ε1, t ) =n (ε1, 0)

−2U 2

∫ t

0

ds

∫

d(ε2,ε3,ε4)sin∆ε1234(t − s )

∆ε1234D(ε1)D(ε2)D(ε3)

× [n (ε, s )n (ε1, s )n (ε2, s )n (ε3, s )−n (ε, s )n (ε1, s )n (ε2, s )n (ε3, s )] . (9.3)

Diese Gleichung wird numerisch implementiert.

9.1.2. Probleme der numerischen Implementierung

Es handelt sich bei (9.3) um eine nichtlineare Volterra-Integralgleichung zweiter Art. Ein

Algorithmus zur Lösung dieser Art von Gleichungen findet sich in [92]. Das Verfahren wendet

zunächst die Trapezregel an, um (9.3) in ein nichtlineares Gleichungssystem zu transformie-

ren. Dieses lässt sich dann mit dem Newton-Verfahren [107] lösen. Die Lösung ist allerdings

numerisch sehr aufwändig. Zwar konvergiert das Newton-Verfahren sehr schnell, jedoch

müssen pro Zeitschritt drei Energieintegrationen durchgeführt werden. Hinzu kommt, dass

aufgrund der Retardierung der zeitlichen Integration, die Lösung zum Zeitpunkt t von sämtli-

chen Zeitschritten s < t abhängt. Verschärft wird dieses Problem durch die t - Abhängigkeit

des Kernels. Diese führt dazu, dass die Werte s < t zu jedem Zeitschritt aufs Neue berechnet

werden müssen. Propagiert man die Gleichung in der Zeit, steigt die Anzahl der zu berech-

nenden Werte s < t an, dadurch wächst die Berechnungsdauer der Zeitschritte. Dies ist

insbesondere problematisch, da die Zeitentwicklung sehr lange durchgeführt werden muss,

um den finalen Zustand zu erreichen.

Um nun Rechnungen in vertretbarer Zeit durchzuführen, durfte die Anzahl I der Berech-

nungspunkte auf dem Energieband εk nicht zu groß sein. An diesen Punkten werden die

Energieintegrale ausgewertet. Da pro Zeitschritt drei Energieintegrationen stattfinden, müs-

sen dafür I 3 Werte berechnet werden. Diese Werte müssen zudem für jedes n (ε1) berechnet

werden. Daher skaliert der Rechenaufwand mit I 4. Durch diese starke Abhängigkeit waren

zunächst nur Rechnungen mit I ≤ 100 möglich.

Die Resultate für I = 40 und I = 60 sind in Abb. 9.1 zu sehen. Dargestellt sind jeweils vier

verschiedene ε. In beiden Bildern deutlich zu sehen, ist ein fast sprunghaftes Verhalten der

Transienten, das unabhängig vom betrachteten ε zu identischer Zeit auftritt. In Abb. 9.1(a) ist

zusätzlich ein periodisches Auftreten dieses Verhaltens festzustellen. Bei einigen ε’s führt dies

zu negativen Besetzungen, daher ist ein physikalischer Effekt ausgeschlossen. Die Abhängig-

keit der Sprungstelle vom verwendeten I lässt vielmehr auf ein Artefakt der Diskretisierung

schließen.

74


-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80 100 120 140

n(ε

,t)

t

(a)ε= 0.45ε= 0.65ε= 0.95ε= 1.15

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0 20 40 60 80 100

n(ε

,t)

t

(b)ε= 0.5ε= 0.7ε= 0.9ε= 1.3

Abbildung 9.1.: Zeitentwicklung einiger Transienten mit (a) I = 40 und (b) I = 60. Die senkrechtenschwarzen Linien markieren die Zeit aus (9.6). Diese Zeiten fallen exakt mit demAuftreten des Sprungs zusammen. In (a) und in (b) sind negative Besetzungen zuerkennen. In beiden Bildern ist U = 0.5.

Durch eine genauere Analyse der Implementierung ergibt sich Folgendes: Die Energieintegra-

tion wurde nach der Trapezregel mit äquidistanten Punkten im Abstand 4/I durchgeführt.

Daher ist die im Argument des Sinus auftretende Energiedifferenz ein Vielfaches davon,

∆ε1234 = z ·4

I, z ∈Z . (9.4)

75


Folglich verschwindet der Sinus, wenn die Bedingung

z ·4

It = 2πn , n ∈Z (9.5)

erfüllt ist. Ist die Bedingung für z = 1 erfüllt, sind sämtliche Energiedifferenzen ein Vielfaches

von 2π. Die Zeiten t , für die dies eintritt, sind durch

t = n · Iπ

2(9.6)

gegeben. Leitet man (9.3) nach der Zeit ab

d

dtn (ε1, t )∝ sin∆ε1234t , (9.7)

so stellt man fest, dass für Zeiten die (9.6) erfüllen,

d

dtn (ε1, t ) = 0 (9.8)

folgt. Deshalb findet aufgrund der Diskretisierung keine Veränderung des Systems mehr statt.

In einem realen System würde dies angesichts der kontinuierlichen Energieverteilung jedoch

nie passieren. Darin liegt die Ursache des numerischen Artefakts. Bestätigt wird dies durch

einen erneuten Blick in Abb. 9.1: Die Zeiten, die sich aus (9.6) ergeben, sind als horizontale

Linien eingezeichnet und fallen exakt mit den Artefakten zusammen. Durch genaueres Be-

trachten kann kurz vor den Artefakten ein konstantes Verhalten der Transienten ausgemacht

werden, dadurch wird (9.8) bestätigt. Wie aus (9.6) ersichtlich, führt eine Erhöhung der Anzahl

der Berechnungspunkte I zu einem späteren Auftreten des Artefakts. Das Problem auf diese

Weise zu beseitigen ist aber nicht ohne Weiteres möglich. Wie zu Beginn dieses Kapitels

beschrieben, müsste die Effizienz des Programms drastisch erhöht werden, um Rechnungen

mit größerem I in vertretbarer Zeit durchführen zu können. Im Folgenden werden wir daher

Verbesserungen vorstellen, die zu einer Reduktion der Rechenzeit führen.

9.1.3. Verbesserungen: Additionstheorem und Vektorsinus

Einen ersten Ansatzpunkt für eine Optimierung der Rechenzeit stellt die Sinusfunktion in (9.3)

dar. Die numerische Berechnung trigonometrischer Funktionen ist sehr aufwändig, zudem

müssen pro Zeitschritt I 4 Sinuswerte berechnet werden. Zur Verbesserung der Rechenzeit

greifen wir auf die Intel MKL (=math kernel library) zurück [108]. Diese bietet unter dem Punkt

Vector Mathematical Functions (VML) eine effiziente Möglichkeit zur Berechnung trigonome-

trischer Funktionen. Den VML-Funktionen wird ein Vektor an Werten übergeben, deren Sinus

dann parallel berechnet wird. In unserem Fall übergeben wir sämtliche I 4 Energieargumente

der Sinusfunktion in (9.3) der VML-Funktion und erhalten die zugehörigen I 4 Sinus-Werte.

76


Diese werden gespeichert und aufgerufen, wenn sie in der Berechnung gebraucht werden.

Auf diese Art und Weise wird einerseits die CPU-Leistung besser genutzt, andererseits kann

die Berechnung auf mehreren CPU-Kernen parallel erfolgen. Ein Blick auf Tabelle 9.1 zeigt,

dass dadurch die Laufzeit des Programms um das 40-fache verkürzt werden konnte.

Als weitere Verbesserung möchten wir eine analytische Umformung von (9.2) vorstellen.

Diese beruht auf der Verwendung der simplen trigonometrischen Identität

sin(x − y ) = sin(x )cos(y )− sin(y )cos(x ) . (9.9)

Zunächst betrachte man die Struktur von (9.2). Diese besteht aus der Sinusfunktion, die von

t und s abhängt, sowie einem lediglich von s -abhängigen Integralkernel K

nν (t ) = nν (0)+

∫ t

0

ds∑

βγδ

′sin(∆ενβγδ(t − s ))Kνβγδ(s ) . (9.10)

Man nehme zur Kenntnis, dass wir in diesem Abschnitt aus Gründen der Übersichtlichkeit

die griechischen Indizes den Impulsindizes vorziehen. Mit Hilfe des Additionstheorem (9.9)

lässt sich das Integral überführen auf

∫ t

0

ds∑

βγδ

′sin(∆ενβγδ(t − s ))Kνβγδ(s ) =

∑

βγδ

′sin(∆ενβγδt )K 1

νβγδ(t )

−∑

βγδ

′cos(∆ενβγδt )K 2

νβγδ(t ) (9.11)

mit den Funktionen

K 1νβγδ(t ) =

∫ t

0

ds cos(∆ενβγδs )Kνβγδ(s ) (9.12)

K 2νβγδ(t ) =

∫ t

0

ds sin(∆ενβγδs )Kνβγδ(s ) . (9.13)

Wir nehmen nun an, uns liegen sämtliche Besetzungen nν (t ) bis zum Zeitpunkt t vor. Wir

möchten nun den nächsten Zeitschritt bis t +h berechnen. Mit (9.11) erhalten wir

nν (t +h)−nν (0) =

=∑

βγδ

′sin(∆ενβγδ(t +h))

K 1νβγδ(t )+

∫ t+h

t

ds cos(∆ενβγδs )Kνβγδ(s )

!

−∑

βγδ

′cos(∆ενβγδ(t +h))

K 2νβγδ(t )+

∫ t+h

t

ds sin(∆ενβγδs )Kνβγδ(s )

!

. (9.14)

Durch die Additivität des Integrals konnten wir in den Kernel-Funktion K 1,2νβγδ(t ) den Inte-

77


Propagation durch Laufzeit des Programms

Gleichung (9.3) ohne Optimierungen ≥ 100 hGleichung (9.3) mit VML-Funktionen ≈ 2, 5 hGleichung (9.14) mit VML-Funktionen = 54 s

Tabelle 9.1.: Programmlaufzeiten der vorgestellten Implementierungsarten. Die Varianten mit VML-Funktionen wurden auf 16 CPU-Kernen durchgeführt. Die Laufzeit bezieht sich auf 1000Zeitschritte mit I = 60.

grationsschritt t → t +h abspalten. Dieser berechnet sich mit der Trapezregel zu

∫ t+h

t

ds cos(∆ενβγδs )Kνβγδ(s )≈ h cos(∆ενβγδ(t +h))Kνβγδ(t +h) (9.15)

und

∫ t+h

t

ds sin(∆ενβγδs )Kνβγδ(s )≈ h sin(∆ενβγδ(t +h))Kνβγδ(t +h) . (9.16)

Die Funktionen K 1,2νβγδ(t )müssen nun nicht neu berechnet werden, da diese bereits vom

vorhergehenden Zeitschritt bekannt sind. Der Aufwand für die Berechnung des neuen Zeit-

schritts besteht nun lediglich darin, die zwei Werte (9.15) und (9.16) zu berechnen, diese zu

K 1,2νβγδ(t ) zu addieren und die Summe dann mit sin(∆ενβγδ(t +h)) bzw. cos(∆ενβγδ(t +h)) zu

multiplizieren. Damit besteht die in Abschnitt 9.1.2 erwähnte Notwendigkeit der Neuberech-

nung aller Werte mit s ≤ t nicht mehr. Die dadurch gewonnene Einsparung an Rechenzeit

ist enorm. Gegenüber der gewöhnlichen Integration von (9.3) reduziert sich die Rechenzeit

um einen Faktor 6000 und selbst gegenüber der Integration mit VML-Funktionen besteht

ein Einsparungsfaktor von 150 (siehe Tab. 9.1). Allerdings tritt nun ein anderer limitierender

Faktor auf. Die notwendig gewordene Speicherung der Funktionen K 1,2νβγδ(t ) benötigt zwei

Felder der Größe I 4. Hinzu kommen nochmals zwei Felder derselben Größe für die VML-

Funktionswerte von Sinus und Kosinus. Für I = 150 benötigt eines dieser Felder bereits über

3 Gigabyte an Speicher. Die Explosion an Speicherbedarf wird daher eine Grenze für die Wahl

von I sein.

9.1.4. Konstruktion der Dispersion aus der Zustandsdichte

Während der Fokus im vorhergehenden Abschnitt auf der Optimierung der Programmlaufzeit

lag, möchten wir uns hier mit der Wahl der Diskretisierung der Energieintegration beschäfti-

gen. Wie in Abschnitt 9.1.2 beschrieben ist die äquidistante Einteilung des Energiebandes

die Ursache des numerischen Artefakts. Daher wollen wir hier eine andersartige Einteilung

finden um diesen Diskretisierungseffekt zu minimieren. Eine Möglichkeit hierzu besteht

darin, aus der Zustandsdichte eine Dispersionsrelation εk zu konstruieren. Wir stellen im

78


0

0.1

0.2

0.3

0.4

-2 -1 0 1 2

D(ε)

ε

(a)

-2

-1

0

1

2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

εk

k

(b)

Abbildung 9.2.: (a) Semi-elliptische Zustandsdichte mit V = 1 und (b) daraus konstruierte Dispersionεk .

Folgenden das Verfahren aus [109] vor. Voraussetzungen hierfür sind ein εk welches k = 0

enthält und dort minimal ist. Zudem sei die Fermi-See zusammenhängend. Dann lässt sich

die Bandfüllung z (ε) einerseits berechnen mittels der Zustandsdichte

z (εF) =

∫ EF

−∞

dεD(ε) , (9.17)

andererseits durch das Volumen der Fermi-See. Diese ist im eindimensionalen Fall:

v (kF) = 2

∫ kF

0

dk ′a

2π= kF

a

π. (9.18)

EF ist die Fermi-Energie und kF der zugehörige Impuls. Wir setzen beide Möglichkeiten gleich

v (k ) = z (εk ) , (9.19)

und unter der Annahme, dass z (ε) invertierbar ist, erhalten wir aus der Umkehrung der letzten

Gleichung einer Vorschrift die Dispersion εk zu konstruieren:

εk = z−1 (v (k )) . (9.20)

Für die von uns verwendete Zustandsdichte (1.15) ist D(ε)≥ 0 und damit z (ε) invertierbar.

Konkret bedeutet dies die Gleichung

z (ε) =

∫ ε

−2V

dε′

p

4−ε′2

2π(9.21)

umzukehren. Die Invertierung wurde mit Hilfe eines MAPLE-Programms durchgeführt. Die

entstehende Dispersionsrelation ist in Abb. 9.2(b) zu sehen. Diese Dispersion wird in (9.14)

verwendet. In diesem Fall muss der Übergang auf Energieintegrationen nicht mehr vollzogen

79


werden.

9.1.5. Resultate

Wir lassen alle in den vorherigen Kapiteln beschriebenen Verbesserungen einfließen und

präsentieren im Folgenden die Resultate: Die Simulationen wurden auf dem Augsburger

Linux Computer Cluster (alcc) durchgeführt. Zur Verfügung standen eine Maschine mit 256

GB RAM und 16 CPU-Kernen. Damit war es möglich, Simulationen mit I = 254 bis t = 450

durchzuführen. Dies genügte, um für U = 0.75 und U = 1 den finalen Zustand zu erreichen.

Doch zunächst analysieren wir das Verhalten auf kurzen Zeiten. Dieses sollte mit der aus

(8.6) gewonnenen präthermischen Dynamik übereinstimmen. Ein Vergleich der Transienten

ε = 0.123714 und ε = 0.7073978 ist in Abb. 9.3 illustriert. In allen Fällen besteht eine gute

Übereinstimmung der Dynamik bis kurz nach dem Maximalwert. Danach relaxiert (8.6)

zum Präthermalisierungsplateau und wird dort stationär. Gleichung (9.14) dagegen nimmt

insbesondere für ε= 0.123714 (linke Seite in Abb. (9.3)) nur kurz den präthermischen Wert an.

Außerdem stellt man fest, dass die Verweilzeit im präthermischen Zustand mit steigendem

U abnimmt. So ist außer für U = 0.25 kein ausgeprägtes Plateau mehr zu erkennen. In

den anderen Fällen setzt bereits kurz nach dem Maximum die Relaxation zum thermischen

Wert ein. Dies wäre in Einklang mit Ref. [49], deren Autoren für die Präthermalisierung

eine Zeitskala t ≈ 1/U 2 feststellten und für die Thermalisierung t ≈ 1/U 4 vermuteten. Für

große U separieren diese Zeitskalen kaum, wodurch das Präthermalisierungsplateau sehr

kurz ist und die Relaxation zum thermischen Wert rasch einsetzt. Für ε= 0.707397 (rechte

Seite in Abb. (9.3)) unterscheidet sich das Verhalten nicht wesentlich. Ein Blick darauf lässt

bei U = 0.25 ein langes Präthermalisierungsplateau erkennen, dessen Länge ebenfalls mit

zunehmendem U abnimmt. Auffallend ist hier, dass für U = 0.75 und U = 1 der präthermische

Wert aus (8.6) nicht angenommen wird. Man beachte jedoch, dass (8.6) auf einer erheblichen

Approximation ρ(t )−→ρ(0) besteht. Diese basiert auf der Annahme |g | � 1. Diese Annahme

ist bei U = 0.75 und U = 1 schlecht erfüllt und kann dazu führen, dass die präthermischen

Werte nicht mehr korrekt sind. Zwar beruht (9.14) auf derselben Annahme, jedoch in weitaus

geringerem Maße. Eine Folge davon sind die in Abb. (9.3))(g) und (h) wahrgenommenen

Diskrepanzen. An das Plateau anschließend setzt die Relaxation zum thermischen Wert

ein. Durch die Verbesserungen aus Abschnitt 9.1.3 war eine Propagation bis ca. t = 450

möglich. Dies genügt, um bei U = 1 und U = 0,75 den stationären Zustand zu erreichen.

Die Zeitentwicklung der gesamten Impulsverteilung für U = 0.75 und U = 1 ist in Abb. 9.4

illustriert. Dort ist sehr schön die Evolution aus einer Stufenfunktion bei t = 0, hin zu einer

kontinuierlichen Funktion des Endzustandes zu sehen. Das Präthermalisierungsplateau ist

leider zu kurz, um es hier erkennen zu können. Die Relaxationsgeschwindigkeit ist bei U = 1

deutlich höher. Hier ist bei t = 250 bereits der stationäre Zustand erreicht. Bei U=0.75 stellt

8 Diese Werte von ε sind eine Folge der Diskretisierung aus 9.1.4 und durchaus so vorgesehen.

80


ε= 0.123714 ε= 0.707397

0

0.05

0.1

0.15

0 2 4 6 8 10 12

n(ε

,t)

t

(d)0

0.02

0.04

0.06

n(ε

,t)

(c)0

0.01

0.02

n(ε

,t)

(b)0

0.002

0.004

0.006

n(ε

,t)

(c)

(b)

(a)

prätherm. Dyn.kinetische Gl.




0

0.02

0.04

0.06

0 2 4 6 8 10 12

n(ε

,t)

t

(h)0

0.01

0.02

0.03

n(ε

,t)

(g)0

0.005

0.01

0.015

n(ε

,t)

(f)0

0.001

0.002

0.003

0.004

n(ε

,t)

(f)

(e)





Abbildung 9.3.: Vergleich der Transienten für ε= 0.123714 (linke Seite) bzw. ε= 0.707397 (rechte Sei-te) zwischen (8.6) und (9.14) für U=0.25: (a)/(e), U=0.5: (b)/(f), U=0.75: (c)/(g), U=1:(d)/(h). Mit zunehmendem U verweilt (9.14) kürzer im präthermischen Zustand undder zu sehende Übergang zum thermischen Wert setzt früher ein. Die Übereinstim-mung beider Gleichungen unmittelbar nach dem Einschalten der Wechselwirkungist erkennbar. Danach ist die Dynamik beider Gleichungen nur für kleine U-Werteim Einklang.

81


-2-1

01

20 50 100 150 200 250 300 350 400 450

0

0.5

1

n(ε

,t)

(a)

ε

t

n(ε

,t)

-2-1

01

20 50 100 150 200 250

0

0.5

1

n(ε

,t)

(b)

ε

t

n(ε

,t)

Abbildung 9.4.: Der gesamte Prozess der Thermalisierung für U = 0.75 (a) und U = 1 (b). Die zuBeginn vorliegende Stufenfunktion evolviert zu einer Fermi-Verteilung. Man beachtedie unterschiedlichen Skalen der t -Achse.

sich dieser erst bei t ≈ 450 ein. Sehr gut erkennbar ist außerdem der Abbau der Diskontinuität

an der Fermi-Kante. Der Endzustand scheint, wie in [49] vorhergesagt, eine Fermi-Funktion

zu sein. Um zu prüfen, ob tatsächlich eine solche vorliegt, tragen wir

ln

�

1

n (ε, t )−1

�

(9.22)

über der Energie ε auf. Wie leicht nachzurechnen ist, gilt im Falle einer Fermi-Funktion

ln

�

1

f (ε)−1

�

=βε , (9.23)

d.h. es liegt eine Gerade vor, deren Steigung die inverse Temperatur ist. In Abb. 9.5 sind die

finalen Impulsverteilungen der 3D-Darstellungen aus 9.4 auf diese Weise aufgetragen. In

beiden Fällen findet man die erhoffte Gerade, so dass der stationäre Zustand durch eine Fermi-

Funktion beschrieben wird. Auffällig sind die Abweichungen bei U = 0.75 an den äußeren

Enden. Dort sind die Besetzungen sehr nahe bei 1 bzw. 0. Im Rahmen der numerischen

Genauigkeit kann es vorkommen, dass Werte größer als 1 bzw. kleiner als 0 auftreten. Diese

82


-15

-10

-5

0

5

10

15

-2 -1 0 1 2

ln(1/n(ε

,t)−

1)

ε

U = 1U = 0.75

Abbildung 9.5.: Logarithmische Auftragung der finalen Impulsverteilung aus Abb. 9.4. Der lineareZusammenhang lässt darauf schließen, dass der Endzustand durch eine Fermi-Funktion beschrieben wird. Die Unregelmäßigkeiten in U = 0.75 sind durch diebegrenzte numerische Genauigkeit bedingt. Die Steigung der Geraden ist die inverseTemperatur β .

führen zu den Abweichungen von der Gerade in Abb. 9.6. Ferner können wir nach (9.23) aus

der Geradensteigung die inverse Temperatur ablesen. Daraus ordnen wir der Fermi-Funktion

bei U = 1 eine höhere Temperatur zu. Die genaue Bestimmung der Temperatur und ein

Vergleich mit dem dafür erwarteten Wert erfolgt später.

Der Sprung an der Fermi-Kante sowie die Doppelbesetzung sind in Abb. 9.6 abgebildet. Ne-

ben den Resultaten aus (8.6) und (9.14) sind in diesen Figuren Daten der DMFT-Rechnungen

aus [34] eingezeichnet. Für die beiden kleinen U-Werte stellt man für alle drei Berechnungs-

methoden eine sehr gute Übereinstimmung fest. Im Gegensatz dazu sind für U = 0.75 und

U = 1 deutliche Abweichungen zu sehen. Hier ist die Annahme |g | � 1, auf der die Approxima-

tionen beruhen, nicht mehr hinreichend gut erfüllt. In Abb. 9.6(a) kann man für U ≥ 0.5 einen

Abfall der Diskontinuität nach dem Präthermalisierungsplateau erkennen. Dies illustriert

sehr schön den einsetzenden Thermalisierungsprozess. Für U = 0.5 ist zudem eine schöne

Übereinstimmung von (9.14) mit den DMFT-Daten auszumachen. In Abb. 9.6(b) dagegen

verharren auch DMFT-Daten und (9.14) in ihrem präthermischen Wert. Während die DMFT-

Daten leider nicht für größere Zeiten berechnet werden können, ist in (9.14) auch für t > 100

keine Abweichung auszumachen (hier nicht gezeigt). Das ist in Einklang damit, dass die

Doppelbesetzung ihren thermischen Wert bereits im Präthermalisierungsplateau erreicht.

83


0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

0 1 2 3 4 5

∆n(t)

t

(a)

U = 0.25U = 0.5

U = 0.75U = 1

0.18

0.19

0.2

0.21

0.22

0.23

0.24

0.25

0 1 2 3 4 5

d(t)

t

(b)

U = 0.25U = 0.5

U = 0.75U = 1

Abbildung 9.6.: Vergleich des (a) Fermi-Sprungs und (b) der Doppelbesetzung zwischen (8.7) (dünne,schwarze Linien) und (9.14) (farbige Linien). Für U = 0.5 und U = 1 sind zusätzlichDMFT-Daten eingezeichnet (Symbole). In beiden Bildern ist für U ≤ 0.5 eine guteÜbereinstimmung aller Berechnungsmethoden wahrzunehmen. Im Fermi-Sprungist nach dem Präthermalisierungsplateau sehr schön die einsetzende Reduktionzum thermischen Zustand zu sehen. Die Doppelbesetzung dagegen verlässt ihrenpräthermischen Wert nicht mehr.

84

9.2 Resultate der Quanten-Boltzmann-Gleichung

9.2. Resultate der Quanten-Boltzmann-Gleichung

9.2.1. Vorbereitung

Da (6.36) eine Langzeitnäherung ist, wird die Präthermalisierungsdynamik darin nicht zu

sehen sein. Dafür kann die Gleichung zu extrem großen Zeiten propagiert werden. Um (6.36)

für das Hubbard-Modell zu simulieren, verwenden wir (A.33). Darin wurde die Absorption

der Wechselwirkung in die Zeit τ beachtet. Wegen (7.22) verschwindet T 2ν (t ). Wie im Kapitel

zuvor führen wir die Ersetzungen

ν→k1,σ1 β →k2,σ2 γ→k3,σ3 δ→k4,σ4 (9.24)

und verwenden (7.34), um die Impulssummen auf Energieintegrationen umzuschreiben. Wir

erhalten

d

dτn (ε,τ) =−2π

∫

d(ε1,ε2,ε3)δ(ε+ε1−ε2−ε3)D(ε1)D(ε2)D(ε3)

× [n (ε,τ)n (ε1,τ)n (ε2,τ)n (ε3,τ)−n (ε,τ)n (ε1,τ)n (ε2,τ)n (ε3,τ)] . (9.25)

Zur Lösung dieser nichtlinearen Differentialgleichung wurde das Runge-Kutta-Ver-fahren der

NAG-Routinen [110] gewählt. Als Anfangswerte dienten die Besetzungen der Präthermalisie-

rung, die wir aus dem Langzeitmittel von (8.6) erhalten. Aufgrund der nicht mehr vorhande-

nen Zeitintegration ist die Propagation dieser Gleichung wesentlich weniger aufwändig als für

(9.14). Daher können problemlos I = 1000 Berechnungspunkte des Energiebandes gewählt

werden. Sämtliche im Folgenden präsentierten Resultate wurden mit I = 1000 ermittelt.

9.2.2. Vergleich zwischen QBG und voller kinetischer Gleichung

Es wurden Simulationen für Werte von U = 0.05 bis zu U = 1 durchgeführt. Als Erfolg können

wir das Erreichen eines stationären Zustandes für ausnahmslos alle U ’s betrachten. In Abb. 9.7

ist die Zeitentwicklung einiger Transienten zu sehen. Alle abgebildeten Transienten relaxieren

vollständig. Allerdings wachsen diese Relaxationszeiten mit sinkendem U sehr stark an. So

findet bei U = 0.05 die Konvergenz im Bereich 107 statt. Mit der QBG sind wir sogar in der

Lage, zu noch längeren Zeiten zu gelangen.

In der linken Spalte von Abb. 9.8 ist die Zeitentwicklung der gesamten Impulsverteilung für

U = 0.25 bis U = 1 dargestellt. Die Thermalisierungsdynamik sorgt für eine weitere Reduktion

des Sprungs und führt schließlich zu einer Fermi-Funktion im Endzustand. Dies wurde

erwartet, da wir in (6.3) demonstrieren konnten, dass (9.25) diese als stationäre Lösung besitzt.

Man beachte, dass die Zeitentwicklung nicht im Anfangszustand, sondern im präthermischen

Zustand startet. Dies ist an der leichten Abrundung der Verteilungen bei t = 0 zu erkennen.

85


0

0.1

0.2

0.3

0 1e+07 2e+07 3e+07

n(ε

,t)

t

(a)

ε= 0.002ε= 0.022

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0 50000 100000 150000

n(ε

,t)

t

(b)

ε= 0.078ε= 0.502

0.98

0.99

1

0 10000 20000

n(ε

,t)

t

(c)

ε=−0.302ε=−0.502

0.7

0.8

0.9

1

0 1000 2000 3000

n(ε

,t)

t

(d)

ε=−0.102ε=−0.202

Abbildung 9.7.: Transienten für sehr kleine U ’s: (a) U = 0.05, (b) U = 0.15 , (c) U = 0.25, (d) U = 0.5.Von (d) zu (a) nehmen die Relaxationszeiten drastisch zu. In jeder Simulation konntejedoch der stationäre Wert erreicht werden.

Von besonderem Interesse sind die finalen Verteilungen für U = 0.75 und U = 1, da wir diese

Fälle mit den Resultaten von (9.14) vergleichen können. Dies erlaubt uns, Aussagen über die

Qualität der ALZ zu machen.

In der rechten Spalte vergleichen wir die finalen Zustände der ALZ mit denen von (9.14). Wie

im vorherigen Kapitel bereits besprochen, konnte für Letztere nur für U = 0.75 und U = 1 der

Endzustand erreicht werden. Wie zu sehen ist, stimmen für diese Werte von U beide Resultate

nahezu perfekt überein. Damit haben wir eine Bestätigung für die Qualität der ALZ. Ein Blick

auf die rechte Spalte in Abb. 9.8 zeigt diesen Vergleich. Für die beiden angesprochenen Fälle

(siehe (c) & (d)) ist eine hervorragende Übereinstimmung auszumachen. Für U = 0.25 und

U = 0.5 dagegen ist aufgrund der noch nicht sehr weit fortgeschrittenen Relaxation von (9.14)

noch ein deutlicher Sprung zu sehen. Man kann nun argumentieren, dass aufgrund des guten

Einvernehmens bei U ≥ 0.75 auf die Gültigkeit bei kleineren U ’s geschlossen werden kann.

Schließlich stellt die ALZ den Grenzfall g →∞ von (9.14) dar. Daher sollte die Qualität der ALZ

bei U ≤ 0.5 gegenüber U ≥ 0.5 sogar verbessert werden. Zusätzlich konfrontieren wir einzelne

Transienten bei kleinen U ’s miteinander(siehe Abb. 9.9). Die dort eingezeichneten größeren ε

relaxieren zudem rascher, sodass für U = 0.5 der stationäre Wert erreicht wird (Abb. 9.9(d)).

Variiert man U nach unten, wie in Abb. 9.9(a)-(c)), wird zwar noch nicht der finale Zustand

86


-20

2015000

30000

0

1

n(ε

,t)

(a)

ε

t

n(ε

,t)

0

0.5

1

-2 -1 0 1 2

n(ε)

ε

QBGkin. Gl.

-20

202500

5000

0

1

n(ε

,t)

(b)

ε

t

n(ε

,t)

0

0.5

1

-2 -1 0 1 2n(ε)

ε

QBGkin. Gl.

-20

20750

1500

0

1

n(ε

,t)

(c)

ε

t

n(ε

,t)

0

0.5

1

-2 -1 0 1 2

n(ε)

ε

QBGkin. Gl.

-20

20375

750

0

1

n(ε

,t)

(d)

ε

t

n(ε

,t)

0

0.5

1

-2 -1 0 1 2

n(ε)

ε

QBGkin. Gl.

Abbildung 9.8.: Resultate der QBG für (a) U = 0.25, (b) U = 0.5, (c) U = 0.75, (d) U = 1. Linke Spalte:Gesamte Impulsverteilung: Der präthermische Zustand evolviert in eine Fermi-Funktion. Rechte Spalte: Vergleich der Impulsverteilungen am Simulationsende von(9.25) und (9.14). Für U ≥ 0.5 genügt die Zeit, um einen stationären Zustand zuerreichen. Beide Resultate sind quasi deckungsgleich. Bei den kleineren U ’s erreicht(9.14) den stationären Zustand noch nicht, so dass noch ein deutlicher Sprung zusehen ist.

87


0

0.0001

0.0002

0 100 200 300 400

n(ε

,t)

t

(a)QBG

kinetische Gl.

0

0.0002

0.0004

0.0006

0 100 200 300 400

n(ε

,t)

t

(b)QBG

kinetische Gl.

0

0.0004

0.0008

0.0012

0.0016

0 100 200 300 400

n(ε

,t)

t

(c)QBG

kinetische Gl.

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0 100 200 300 400

n(ε

,t)

t

(d)QBG

kinetische Gl.

Abbildung 9.9.: Vergleich einzelner Transienten von (9.25) und (9.14).(a) U = 0.1,ε = 1.642, (b)U = 0.15,ε = 1.41 (c) U = 0.25,ε = 1.21 (d) U = 0.5,ε = 1.01. Es ist durchgehendeine hervorragende Übereinstimmung festzustellen. In (d) wird sogar der stationäreZustand erreicht.

erreicht, jedoch finden wir hier bis zum Ende der Simulationszeit eine gute Übereinstimmung

der gegenübergestellten Resultate. Es ist daher zu erwarten, dass dieses Einvernehmen bis

zum stationären Zustand fortbesteht. Abschließend halten wir fest, dass wir für U ≤ 0.5 zwar

keinen Vergleich der Endwerte von ALZ und (9.14) ziehen können. Allerdings ist aufgrund der

genannten Gründe davon auszugehen, dass die Qualität der ALZ in diesem Parameterbereich

anhält.

9.2.3. Temperatur des Endzustandes

Wir sind nun in der Lage, für beliebig kleine U ’s die Zeitentwicklung des Hubbard-Modells bis

zum Endzustand durchzuführen. Dessen Impulsverteilung ist eine Fermi-Funktion. Doch

besitzt diese Fermi-Funktion die richtige Temperatur, d.h. entspricht diese der Energie, die

bei t = 0 ins System einfloss? Aufgrund der Erhaltung der kinetischen Energie der Quanten-

Boltzmann-Gleichung (6.36) lässt sich die Temperatur mit der in Abschnitt 6.5 beschriebe-

nen Methode bestimmen. Dafür benötigen wir die kinetische Energie des präthermischen

Zustands. Zu deren Berechnung sind die Besetzungen des Präthermalisierungsplateaus erfor-

derlich. Wir greifen dafür auf das Langzeitmittel von (8.5) zurück. Dieses setzen wir in (6.59)

88


0

0.25

0.5

0.75

1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

n(ε)

ε

f (1/(αU ))U = 0.1

U = 0.25U = 1

Abbildung 9.10.: Gegenüberstellung des Endzustandes der QBG (farbige Punkte) und der Fermi-Funktion, deren Temperatur aus (9.27) berechnet wurde (schwarze Linien). Imgesamten untersuchten Parameterbereich 0≤U ≤ 1 sind die Resultate in hervorra-gendem Einvernehmen.

ein und setzen dies mit (6.58) gleich. Wir erhalten den Ausdruck

π2

3(kBT )2D(0) =−8U 2

∫

D(ε)ε⟨F (ε)⟩∞︸︷︷︸

K

(9.26)

der in

kBT =αU (9.27)

überführt werden kann. Die Konstante9

α=p

−24K /π (9.28)

kann numerisch zu a = 0.2 bestimmt werden. Damit konnte die Hubbard-Wechselwir-kung

U mit der Temperatur T verknüpft werden. Insbesondere ist

T ∝U , (9.29)

womit Punkt (ii) des Szenarios aus 1.1.2 verifiziert wurde. In Abb. 9.10 werden die numeri-

schen Resultate der QBG mit der Fermi-Funktion bei kBT =αU konfrontiert. Hier zeigt sich

9 Die Wurzel hier ist wohl definiert, da stets K ≤ 0. F ist die Abweichung von der Stufenfunktion und daherF ≥ 0 für ε≤ 0 bzw. F ≤ 0 für ε≥ 0. Ferner gilt D(ε)≥ 0, woraus zusammen mit der Multiplikation mit ε imIntegranden, K ≤ 0 folgt.

89


eine exzellente Übereinstimmung mit den numerischen Daten im gesamten untersuchten

Parameterbereich 0≤U ≤ 1.

9.2.4. Relaxationszeit der Thermalisierung

Ziel dieses Abschnittes ist es, einen Zusammenhang der Relaxationszeit mit der Wechselwir-

kung U herzustellen. Wie wir bereits beobachten konnten, wächst die Relaxationszeit mit

abnehmendem U stark an. Um dies nun zu konkretisieren, benötigen wir eine Größe deren

Relaxationsverhalten nur von U abhängt. Die Analyse einzelner Transienten ist daher nicht

sinnvoll, da deren Relaxationsgeschwindigkeit sehr stark von ε abhängt. Eine Größe, die sich

aufgrund ihrer Unabhängigkeit von ε anbietet, ist der Sprung an der Fermi-Kante. Im vorlie-

genden Fall muss die Definition (7.44) leicht modifiziert werden. Aufgrund der Diskretisierung

des Energiegitters existiert in den numerischen Daten ein (betraglich) kleinstes ε (ε± =±0.002

bei I = 1000). Daher ist es nicht möglich, beliebig nahe an die Fermi-Kante heranzurücken

und der in (7.44) auftretende Limes ε→ 0 ist nicht durchführbar. Wir modifizieren (7.44)

deshalb und berechnen den Sprung als Differenz der Besetzungen bei ε+ und ε−:

∆n (t ) = n (ε−, t )−n (ε+, t )−�

f (ε−)− f (ε+)�

. (9.30)

Eine Konsequenz dieser Definition ist, dass selbst für eine Fermi-Funktion∆n (t ) nicht ver-

schwindet, sondern gegen die Differenz der Fermi-Funktionen von ε+ und ε− strebt. Um

diesen unerwünschten Effekt auszuschalten, subtrahieren wir in (9.30) diese Differenz. Die

Temperatur der zu subtrahierenden Fermi-Funktionen ist durch (9.27) gegeben. Eine logarith-

mische Auftragung von (9.27) ist in Abb. 9.11 (a) dargestellt. Das lineare Verhalten der Größe

lässt sofort auf den funktionalen Zusammenhang

∆n (t ) = Ae−γτ (9.31)

schließen. Durch eine numerische Anpassung der Funktion Ae−γτ an die Daten konnten

die Zerfallskonstanten γ gewonnen werden. Die angepassten Funktionen sind in Abb. 9.11

(a) als schwarze Linien eingezeichnet. Um nun eine Relation mit U herzustellen, wurden in

Abb. 9.11(b) die Zerfallskonstanten über der Wechselwirkung U aufgetragen. Daraus lässt sich

der Zusammenhang

γ=χU 2 (9.32)

erkennen. Eine Anpassung obiger Funktion an die Datenpunkte liefert

χ = 0.038 . (9.33)

Da diese Berechnungen in der skalierten Zeit τ durchgeführt wurden, ergibt sich in Realzeit t

90


0.001

0.01

0.1

1

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

∆n(t)

U 2t

(a)U = 1

U = 0.75U = 0.5

U = 0.25

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

γ/U

2

U

(b)

0.0001

0.01

0.04 0.2 1

χU 2

expon. Anpassung

Abbildung 9.11.: (a) Logarithmische Darstellung von∆n (t ) (bunte Linien). Schwarze Linien: Anpas-sung der Exponentialfunktion. (b) blaue Punkte: Zerfallskonstanten, die aus den An-passungen der Exponentialfunktion gewonnen wurden. Die rote Linie zeigt einenangepassten quadratischen Zusammenhang. Einbettung: Doppelt-LogarithmischeDarstellung zur Verifizierung des quadratischen Verhaltens.

der Zusammenhang

γ=χU 4 . (9.34)

Diese starke Abhängigkeit von U erklärt die extrem langen Relaxationszeiten bei kleinen U ’s.

Durch obige Relation konnten wir Punkt (iii) aus 1.1.2 validieren.

Abschließend stellen wir die vollständige Zeitentwicklung einer Transiente dar. Diese ist in

91


0

0.1

0.2

0.3

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

n(ε

,t)

t

0

0.025

0.05

0.075

0 2 4 6 8 10

n(ε

,t)

t

QBGkinetische Gl.


Abbildung 9.12.: Vollständige Zeitentwicklung der Transiente ε= 0.123 bei U = 0.75. Sowohl QBGals auch die volle Gleichung relaxieren zum thermischen Wert. Dieser ist durch denschwarzen Pfeil dargestellt und ist der Wert der Fermi-Funktion mit T nach (9.27).Das eingebettete Bild zeigt die Zeitentwicklung unmittelbar nach dem Einschaltender Wechselwirkung. Die Präthermalisierungsdynamik nach (8.6) ist in Hellblaueingezeichnet.

Abb. (9.12) eingezeichnet und illustriert auf kompakte Weise einen Teil unserer Ergebnisse.

Die volle kinetische Gleichung beschreibt die Evolution der Transiente von ihrem Anfangswert

(n (ε, 0) = 0) bis zum thermischen Wert (dargestellt durch schwarzen Pfeil). Die QBG gibt zwar

nicht das Verhalten zu sehr kurzen Zeiten wieder, schmiegt sich aber sehr schnell an die volle

kinetische Gleichung an und stimmt mit dieser bis zum Erreichen des stationären Zustands

gut überein. Eine Vergrößerung der Dynamik auf kurzen Zeiten ist im eingebetteten Bild

zu sehen. Während die volle kinetische Gleichung und die Approximation (8.6) zunächst

im Einklang sind, strebt Letztere dem Präthermalisierungsplateau entgegen. Komplementär

dazu ist in der vollen kinetischen Gleichung bereits der einsetzende Thermalisierungsprozess

zu sehen.

92

10. Zusammenfassung und Ausblick

Diese Arbeit befasste sich mit der Echtzeitdynamik schwach wechselwirkender Quantensys-

teme nach einem schlagartigen Einschalten der Wechselwirkung. Die plötzliche Änderung

dieses Parameters führt zu einer Umverteilung der elektronischen Besetzungen nk, die jedoch

wieder in einen stationären Zustand relaxieren. Ein Fokus der Arbeit lag in der Frage, ob dieser

Zustand nun thermisch ist, d.h., ob die elektronische Besetzungsverteilung der eines Systems

im Gleichgewicht entspricht, welches dieselbe Energie wie das zeitentwickelte System besitzt.

Zur Behandlung dieser Systeme wurde in Kapitel 2 zunächst eine kurze Einführung in die

Statistische Physik gegeben. Dabei wurde der von Jaynes im Jahre 1957 entwickelte Zugang

gewählt, der die zentrale Größe der Statistik, die Entropie, als Maß für die Unkenntnis eines

Systems betrachtet. Um willkürliche Annahmen auszuschließen, muss diese Größe maximiert

werden. Bekannte Parameter des Systems fließen als Einschränkung für diese Maximierung

der Entropie ein. Mathematisch gesehen wird ein Extremum der Entropie mit den bekannten

Parametern als zu erfüllende Nebenbedingungen gesucht. Als Ergebnis erhält man ein gene-

ralisiertes Gibbs-Ensemble, das die kanonischen Ensembles als Spezialfall erhält. Darüber

hinaus wurden integrable und nicht integrable Systeme vorgestellt. Aufgrund ihrer großen An-

zahl von Erhaltungsgrößen wird in integrablen Systemen i.A. keine Thermalisierung erwartet.

In einigen Fällen werden bestimmte Observable integrabler Systeme korrekt durch ein gene-

ralisiertes Gibbs-Ensemble beschrieben. Nicht integrable Systeme dagegen thermalisieren

für gewöhnlich, d.h., deren Observable können durch ein thermisches Ensemble beschrieben

werden. Die in dieser Arbeit behandelten schwach wechselwirkenden Systeme können im

Sinne dieser Klassifikation aufgrund ihrer Nähe zu einem integrablen Punkt als fast integrabel

angesehen werden.

Kapitel 3 griff die bisherigen Arbeiten über fast integrable Systeme auf. Pionierarbeit leiste-

ten hier Möckel und Kehrein 2008, die die Dynamik des schwach wechselwirkenden Hubbard-

Modells mit Hilfe eines störungstheoretischen Zugangs beschreiben konnten. Der in diesem

Kapitel vorgestellte Formalismus ist äquivalent zu diesem Zugang. Damit ist es möglich, die

Präthermalisierungsdynamik des Hubbard-Modells zu beschreiben. Diese mündet in das

Präthermalisierungsplateau, dass durch ein GGE beschrieben werden kann.

Teil II der Arbeit befasste sich mit der Entwicklung einer kinetischen Theorie für die Evo-

lution der Impulsverteilung. Diese Theorie beschreibt Systeme, die sich zunächst in einem

Fermi-Gas im Grundzustand befinden und deren Zeitentwicklung nach einer schlagartigen

Parameteränderung einer schwachen Zwei-Teilchen-Wechselwirkung unterliegt. Von der

93

10 Zusammenfassung und Ausblick

Schrödinger-Gleichung ausgehend, lässt sich für die Größe nk eine exakte Gleichung ange-

ben, die jedoch die vollständige Kenntnis des Dichteoperators ρ(t ) erfordert. Aus diesem

Grunde war die Verwendung eines effektiven statistischen Operators nötig. Dieser konnte

durch diverse Approximationen gewonnen werden. Wurde der statistische Operator des An-

fangszustandes gewählt, konnten die Resultate der Präthermalisierungsdynamik aus [49, 83]

auf analytischer Ebene reproduziert werden. Das Langzeitmittel dieser Gleichung entspricht

dem Erwartungswert des GGE. Damit konnten die Resultate der Präthermalisierungsdynamik

als ein Grenzfall der kinetischen Theorie erzielt werden.

Im Weiteren wurde die Wahl eines zeitabhängigen Dichteoperators, der in der nicht wech-

selwirkenden Basis Diagonalgestalt besitzt, gerechtfertigt. Dies ermöglichte eine Zerlegung

mit Wick’s Theorem in zeitabhängige Besetzungen und führte auf eine nichtlineare Integro-

Differentialgleichung. Um das Langzeitverhalten dieser Gleichung zu studieren, wurde eine

Näherung vorgestellt. Diese führt eine mit der Wechselwirkung skalierte Zeit τ = t g 2 ein

und behandelt den Limes g → 0. Dadurch konnte die Integro-Differentialgleichung in eine

wesentlich einfacher zu lösende nichtlineare Differentialgleichung transformiert werden. Für

diese konnten einige Eigenschaften bewiesen werden. So erhält die Gleichung kinetische

Energie und Wechselwirkungsenergie des präthermischen Zustands. Dadurch konnte im

Folgenden eine direkte Proportionalität zwischen Temperatur und Wechselwirkung gezeigt

werden.

In Teil III wurde das Hubbard-Modell in unendlichen Dimensionen mit der entwickelten

kinetischen Theorie behandelt. Zunächst reproduzierten wir die Resultate der Präthermali-

sierungsdynamik und verglichen sie mit den Ergebnissen der Volterra-Gleichung für kurze

Zeiten. Danach wurde das Langzeitverhalten untersucht. Hier zeigten sich aufgrund der

hohen Komplexität der vollen kinetischen Gleichung Schwierigkeiten bei der numerischen

Implementierung. Durch diverse Verbesserungen konnte die Zeitentwicklung bis t = 450

ermöglicht werden. Dies genügte, um bei U = 0.75 und U = 1 einen thermischen Endzustand

zu erreichen. Für kleinere U ’s ist die Relaxation sehr langsam, die Relaxationszeiten können

hier im Bereich bis zu 107 liegen. Diese Zeiten konnten problemlos mit der Approximation

der lokalen Zeit (ALZ) erreicht werden. Für sämtliche Werte U ≤ 1 wurde ein stationärer

Zustand erreicht. Für U = 0.75 und U = 1 wurde das Ergebnis mit der stationären Lösung

der Volterra-Gleichung verglichen. Auch hier war eine nahezu perfekte Übereinstimmung

festzustellen, wodurch der Einsatz der ALZ gerechtfertigt wurde. Ein ebenfalls sehr schönes

Resultat zeigte der Vergleich der finalen Impulsverteilung der ALZ mit der Fermi-Funktion

bei der in Kapitel 6 berechneten Temperatur. Die beiden Kurven stimmten perfekt überein,

wodurch gezeigt werden konnte, dass tatsächlich der thermische Zustand erreicht wird und

somit das Hubbard-Modell in d =∞ thermalisiert. Darüber hinaus wurde die Zeitskala der

Thermalisierung aus den numerischen Daten extrahiert. Hier zeigte sich eine Proportionalität

zu 1/U 4, womit die extrem langen Relaxationszeiten bei kleinen U ’s erklärt werden konnten.

Der große Erfolg dieser Abhandlung ist die Beschreibung der Dynamik des Hubbard-

94

Modells im Rahmen einer einzigen Theorie. Die Theorie gibt den zweistufigen Relaxations-

prozess wieder und enthält die bisherigen Ergebnisse als Grenzfall. Diese werden erweitert

durch die Darstellung der Thermalisierung des Modells. Greifen wir das in 1.1.2 vorgestellte

Szenario von Möckel-Kehrein auf, so wurden sämtliche Punkte validiert:

(i) Eine Quanten-Boltzmann-Gleichung beschreibt den Übergang vom präthermischen

zum thermischen Zustand und verwendet die präthermischen Werte als Anfangsbedin-

gungen.

(ii) Der finale Zustand ist eine Fermi-Verteilung mit T ∝U .

(iii) Die Zeitskala der Thermalisierung ist proportional zu 1/U 4.

(iv) Durch die Erhaltung der kinetischen Energie in der QBG verändert sich diese (und

damit auch die Wechselwirkungsenergie) nach dem Präthermalisierungsplateau nicht

mehr.

Die Beschreibung des vollständigen Relaxationsprozesses gestaltet sich mit der vollen kineti-

schen Gleichung als sehr aufwändig. Jedoch kann sowohl für das Kurzzeit- als auch für das

Langzeitverhalten auf Approximationen zurückgegriffen werden, die die Auswertung sehr

einfach machen. Darin ist ebenfalls einer der Vorzüge der Theorie zu sehen.

Ausblick

Die Anwendung der Theorie auf niederdimensionale Systeme wäre ein interessanter nächster

Schritt. Aufgrund der Formulierung der Theorie für allgemeine Wechselwirkungen wäre dies

unter Verwendung der bestehenden Gleichungen ohne Weiteres möglich. Lediglich die von-

Laue-Funktion, die sich in d =∞ zu einer Konstante vereinfacht, behält nun ihre explizite

Impulsabhängigkeit. Dadurch entkoppeln diek-Summen in den Gleichungen der kinetischen

Theorie nicht und können nicht separat ausgeführt werden. Die von-Laue-Funktion erlaubt

jedoch, eine der in den Gleichungen auftretenden k-Summen zu eliminieren. Die Berech-

nung reduziert sich dadurch auf die Evaluation von zwei k-Summen. Dies sollte numerisch

durchführbar sein.

In einigen der bereits erwähnten Experimente befinden sich die Partikel in einem harmoni-

schen Potential. Dessen Einfluss könnte noch in die Theorie eingebaut werden. Die Partikel

erfahren hier auf ihrem Gitterplatz i eine zusätzliche Energie h i . Das Potential würde daher

einen zusätzlichen Term

HP =∑

i

h i n i (10.1)

im Hamilton-Operator des Systems verursachen. Da dies ein nicht wechselwirkender Teil ist,

könnte dieser ohne Weiteres in die kinetischen Gleichungen eingebaut werden. Das würde le-

diglich eine Modifikation von H0 bedeuten und ein verändertes Spektrum der Energien εα des

95

10 Zusammenfassung und Ausblick

nicht gestörten Systems bewirken. Die Struktur der Gleichungen wird jedoch im Wesentlichen

durch den Kommutatorh

c †αc †βcγcδ, H1

i

bestimmt, der sich durch den Einbau des Potentials

nicht ändert. Der modifizierte Hamilton-Operator H0 muss jedoch diagonalisiert werden. Da

es sich hierbei um ein Einteilchen-Problem handelt, sollte dies zumindest numerisch kein

Problem darstellen. Anschließend müssen die Koeffizienten Vαβγδ in dieser Basis dargestellt

werden.

Ein weiterer interessanter Ansatzpunkt besteht in der Analyse von Anfangszuständen, die

nicht Eigenzustand von H0 sind. Untersuchungen ergaben, dass die Gleichungen bereits in

O (g ) einen Beitrag liefern und die Zeitentwicklung durch

d

dtn v (t ) =−2i g

∑

βγδ

Vvβγδ⟨c †v c †βcγcδ⟩0e i∆Evβγδt +h.c.+O (g 2) (10.2)

gegeben ist. Wie zu erkennen ist, wird die Berechnung der Dynamik in diesem Fall sogar

einfacher. Weitere Berechnungen zeigten, dass das GGE auch hier mit dem Langzeitmittel

obiger Gleichung übereinstimmt. Dies sind durchaus interessante Ansätze und darüber

hinaus sind die Gleichungen relativ einfach. Ein Problem besteht lediglich darin, sich den

in (10.2) enthaltenen Erwartungswert des korrelierten Anfangszustandes zu beschaffen. Mit

diesem steht einer weiteren Evaluation von (10.2) nichts mehr im Wege. Um die Resultate

zu kontrollieren, sollte man jedoch versuchen, sich Vergleichsresultate einer verlässlichen

numerischen Simulation des Systems zu beschaffen.

96

A. Appendix

A.1. Symmetrisierung der kinetischen Gleichungen

Die in Teil II entwickelte kinetische Theorie führt nach der Anwendung des Wick’schen

Theorems auf Gleichungen der Form

d

dtnν (t ) = T 1

ν (t )+T 2ν (t ) (A.1)

mit den Funktionen

T 1ν (t ) =−8g 2

∫ t

0

ds∑

αβγδ

|Vαβγδ|2(δαν +δβν −δγν −δδν )

× cos∆εαβγδ(t − s )�


(A.2)

und

T 2ν (t ) =−32g 2

∫ t

0

ds∑

αδ

|vαδ|2(δαν −δδν )cos((εα−εδ)(t − s ))nα . (A.3)

Es wurde auf ein Zeitargument in den Besetzungen nα auf der rechten Seite verzichtet. Die

Besetzungen kommen in Teil II zwar sowohl zeitabhängig als auch konstant vor, jedoch hat

dies keinen Einfluss auf die im Folgenden durchgeführten Umformungen. Wir beginnen mit

T 1ν (t ) und postulieren die Äquivalenz von (A.2) zu

T 1ν (t ) =−4g 2

∫ t

0

ds∑

αβγδ

|Vαβγδ|2(δαν +δβν −δγν −δδν )

× cos∆εαβγδ(t − s )�

nαnβnγnδ−nαnβnγnδ�

. (A.4)

Um dies einzusehen, setzen wir nν = 1−nν und führen die Multiplikationen in der eckigen

Klammer in (A.4) aus. Dadurch entstehen 2 Terme, in denen 4 n miteinander multipliziert

97

A Appendix

werden. Diese kompensieren sich und die übrigen Terme ergeben

T 1ν (t ) =−4g 2

∫ t

0

ds∑

αβγδ


×�

nαnβ −nγnδ−nαnβnδ−nαnβnγ+nβnγnδ+nαnγnδ�

. (A.5)

Obige Gleichung ist invariant gegenüber der Vertauschung von α↔ β sowie γ↔ δ (die

Koeffizienten erfüllen (1.6)). Wird die Vertauschung (α,β )↔ (γ,δ) durchgeführt, bleiben die

Koeffizienten Vαβγδ aufgrund des Betragsquadrats und der Kosinus aufgrund seiner Achsen-

symmetrie davon unberührt. Es gilt jedoch

δδν +δγν −δβν −δαν =−(δαν +δβν −δγν −δδν ) . (A.6)

Folglich entsteht durch die Operation (α,β )↔ (γ,δ) ein Minuszeichen. Man wende nun die

beiden Vertauschungen auf die einzelnen Terme in (A.5) derart an, dass diese in die Form

nαnβ −2nαnβnγ (A.7)

überführt werden. Es folgt die Äquivalenz von (A.2) zu (A.4). Ferner werden die Summationen

über die Kronecker Symbole in (A.4) durchgeführt. Unter der erneuten Verwendung der

Invarianz von α↔β sowie γ↔δ bleiben zwei Terme

T 1ν (t ) =−8g 2

∫ t

0

ds∑

βγδ

|Vνβγδ|2 cos∆ενβγδ(t − s )�

nνnβnγnδ−nν nβnγnδ�

+8g 2

∫ t

0

ds∑

αβδ

|Vαβνδ|2 cos∆εαβνδ(t − s )�

nαnβnν nδ−nαnβnνnδ�

. (A.8)

Führt man im unteren Term die Umbenennungen (α→δ), (β → γ) und (δ→β ) durch, erhält

man bis auf ein Vorzeichen den oberen Term und es ergibt sich schließlich

T 1ν (t ) =−16g 2

∫ t

0

ds∑

βγδ

|Vνβγδ|2 cos∆ενβγδ(t − s )�

nνnβnγnδ−nν nβnγnδ�

. (A.9)

Die Behandlung von T 2ν (t ) ist deutlich weniger aufwendig. Führt man die Summen über die

Kronecker-δ’s aus, bekommt man

T 2ν (t ) =−32g 2

∫ t

0

ds∑

δ

|vνδ|2 cos((εν −εδ)(t − s ))nν

−32g 2

∫ t

0

ds∑

α

|vαν |2 cos((εα−εν )(t − s ))nα . (A.10)

98

A.2 Spinsymmetrie

Im ersten Term führe man die Umbenennung (δ→α) durch und nutze die Symmetrien von

Kosinus und den vαβ :

T 2ν (t ) =−32g 2

∫ t

0

ds∑

α

|vνα|2 cos((εν −εα)(t − s ))(nν −nα) (A.11)

Zusätzlich betrachte man

nνnα−nνnα = nν −nνnα−nα+nνnα =

= nν −nα . (A.12)

Hiermit lässt sich (A.11) in einer symmetrischeren Form schreiben

T 2ν (t ) =−32g 2

∫ t

0

ds∑

α

|vνα|2 cos((εν −εα)(t − s ))(nνnα−nνnα) . (A.13)

Damit sind die in Teil II verwendeten Umformungen ausführlich erklärt.

A.2. Spinsymmetrie

Bei der Herleitung von (6.36) wurde als Anfangszustand ein Fermi-Gas im Grundzustand

verwendet, bei dem keine Spinpolarisation vorlag, d.h.

nν↑(0) = nν↓(0) (A.14)

Es kann nun gezeigt werden, dass die kinetischen Gleichungen diese Symmetrie erhalten. Die-

se Behauptung wollen wir im Folgenden über vollständige Induktion beweisen. Behauptung:

nν↑(t ) = nν↓(t ) für alle t (A.15)

Induktionsanfang: siehe (A.14)

Induktionsannahme:

nν↑(s ) = nν↓(s ) für alle s ∈ [0, t ] (A.16)

Induktionsschritt:

nν↑(t +∆t ) = nν↓(t +∆t ) (A.17)

Zum Beweis betrachte man nνσ in einer Umgebung von t . Dort können wir nνσ durch seine

Taylor-Reihe darstellen:

nνσ(t +∆t ) = nνσ(t )+dnνσ(t )

dt∆t +

d2nνσ(t )dt 2

∆t 2+∞∑

k=3

dk nνσ(t )dt k

∆t k . (A.18)

99

A Appendix

Um (A.17) zu verifizieren, zeigt man nun gliedweise die Äquivalenz der Taylor-Reihen von

nν↑(t +∆t ) und nν↓(t +∆t ). So gilt in (A.18) die Gleichheit der ersten Terme

nν↑(t ) = nν↓(t ) (A.19)

aufgrund der Induktionsannahme (A.16). Die ersten Ableitungen sind durch (6.11) gegeben.

Da in dieser Gleichung nur die Besetzungen zu s ∈ [0, t ] auftauchen, gilt Gleichheit wegen

(A.17). Folglich giltdnν↑(t )

dt=

dnν↓(t )dt

(A.20)

Betrachten wir nun die zweiten Ableitungen und stellen diese als Ableitung von (6.11) dar:

d2nν (t )dt 2

=d

dtT 1ν (t )+

d

dtT 2ν (t ) (A.21)

mit Nνσ(s ) = nν (s )nβ (s )nγ(s )nδ(s )−nν (s )nβ (s )nγ(s )nδ(s ). Nun führe man in T 1ν (t ) und T 2

ν (t )

eine Substitution s = t x durch. Dadurch wird die Obergrenze des Integrals 1 und es lässt sich

nun der Integrand nach der Produktregel differenzieren

d

dtT 1ν (t ) =−16g 2

∫ 1

0

dx∑

βγδ

|Vνβγδ|2 cos(∆ενβγδ(t (1−x )))N 1νσ(t x )

+16g 2

∫ 1

0

dx t (1−x )∑

βγδ

|Vνβγδ|2∆ενβγδ sin(∆ενβγδ(t (1−x )))N 1νσ(t x )

−16g 2

∫ 1

0

dx t∑

βγδ

|Vνβγδ|2 cos(∆ενβγδ(t (1−x )))d

dtN 1νσ(t x ) . (A.22)

und

d

dtT 2ν (t ) =−32g 2

∫ 1

0

dx∑

α

|vνα|2 cos((εν −εα)(1−x )t )N 2νσ(t x )

+32g 2

∫ 1

0

dx t (1−x )∑

α

|vνα|2 sin((εν −εα)(1−x )t )N 2νσ(t x )

−32g 2

∫ 1

0

dx t∑

α

|vνα|2 cos((εν −εα)(1−x )t )d

dtN 2νσ(t x ) (A.23)

mit den beiden Funktionen

N 1νσ(s ) = nν (s )nβ (s )nγ(s )nδ(s )−nν (s )nβ (s )nγ(s )nδ(s ) (A.24)

und

N 2νσ(s ) = nν (s )nα(s )−nν (s )nα(s ) . (A.25)

100

A.3 Abbildung auf das Hubbard-Modell

Beide Funktionen können mit der Produktregel differenziert werden. Damit ist jeder Term in

(A.22) und (A.23) entweder von den nνσ(t x ) oder ddt

nνσ(t x ) abhängig. Diese befolgen nach

(A.16) die Symmetrie ↑↔↓. Somit gilt

d2nν↑(t )dt 2

=d2nν↓(t )

dt 2. (A.26)

Da sämtliche höhere Ableitungen außerdem auf die erste Ableitung zurückgeführt werden

können, ist der Induktionsschritt somit bewiesen.

A.3. Abbildung auf das Hubbard-Modell

Mit (7.19) besitzen wir eine Vorschrift für die Abbildung einer allgemeinen Zweiteil-chen-

Wechselwirkung der Form (1.5) auf die Hubbard-Wechselwirkung. Nun lässt die Erhaltung der

Spinpolarisation (A.19) sowie der Limes d =∞weitere Vereinfachungen für diese Vorschrift

zu. Die in dieser Arbeit behandelten Gleichungen sind (5.15),(6.14) und (6.36). Wie gesehen,

tragen die Koeffizienten vαβ im Hubbard-Modell nicht bei und die Vorschrift (7.19) fließt in

jeder Gleichung ausschließlich über

g 2|Vνβγδ|2 =U 2

16L2∆2(k1+k2−k3−k4) (Σ1234)2 (A.27)

ein [83]. Die von-Laue-Funktion ist entweder 0 oder 1 daher gilt

∆2(k1+k2−k3−k4) =∆(k1+k2−k3−k4) . (A.28)

Der Indexσ1 ist durch die Besetzung nνσ auf der linken Seite der Gleichungen festgelegt. Aus

diesem Grund entfällt die Summe in Σ1234

Σ1234 =δ2σ2σ1

�

δσ3σ1δσ4σ1 −δσ3σ1δσ4σ1

�2

=δσ2σ1

�

δσ3σ1δσ4σ1 −2δσ3σ1δσ4σ1δσ3σ1δσ4σ1 +δσ3σ1δσ4σ1

�

. (A.29)

Der gemischte Term verschwindet und da (5.15),(6.14) und (6.36) gegenüber einer Vertau-

schungσ3↔σ4 invariant sind, folgt

Σ1234 = 2δσ2σ1δσ3σ1δσ4σ1 . (A.30)

Damit erhalten wir

g 2|Vνβγδ|2 = 2U 2

16L2∆(k1+k2−k3−k4)δσ2σ1δσ3σ1δσ4σ1 . (A.31)

101

A Appendix

Wir betrachten den Limes d →∞ und erhalten mit (7.32)

g 2|Vνβγδ|2 =U 2

8L3δσ2σ1δσ3σ1δσ4σ1 (A.32)

Man beachte, dass in Kapitel 6.3 die Wechselwirkung g in der Zeit τ= g t 2 absorbiert wurde,

weshalb (A.32) leicht modifiziert wird zu

|Vνβγδ|2 =1

8L3δσ2σ1δσ3σ1δσ4σ1 . (A.33)

Diese beiden Gleichungen geben uns nun eine Vorschrift, wie wir das Hubbard-Modell in

unendlichen Dimensionen in die Gleichungen unserer kinetischen Theorie abbilden können.

Es sei auch auf die sehr einfache Struktur hingewiesen. So ist in beiden Fällen keine Impuls-

abhängigkeit mehr vorhanden. Zudem führen die Kronecker-δ’s der Spinindizes zu einem

Wegfall der Spinsummen in den Gleichungen.

102

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[110] NAG, Numerical Algorithms Group, http://www.nag.co.uk/ .

110

Danksagung

Mein Dank gilt...

...Prof. Dr. Dieter Vollhardt für die Möglichkeit in einem spannenden und sehr aktiven For-

schungsgebiet zu promovieren. Prof. Vollhardt ermöglichte mir Reisen u.a. nach Zürich und

Bochum durchzuführen und hatte immer ein offenes Ohr.

...Prof. Dr. Ulrich Eckern für die Übernahme des Zweitgutachtens, sowie Jun.-Prof. Dr. Liviu

Chioncel und Prof. Dr. Achim Wixforth für die Bereitschaft der Prüfungskommission anzuge-

hören.

...Dr. Marcus Kollar für die unzähligen Stunden, die er mit erklären und diskutieren mit mir

verbrachte. Man kann sich wahrscheinlich keine bessere Betreuung vorstellen. Ich danke

auch für die sonstige tolle Zusammenarbeit.

...unserer Sekretärin Barbara Besslich für die Hilfe in allen möglichen Verwaltungsfragen.

...sämtlichen Mitgliedern des Lehrstuhls für eine stets freundliche und angenehme Atmo-

sphäre. Insbesondere möchte ich den Zimmerkollegen Christian Gramsch, Markus Dutschke,

Andreas Held, Kathrin Garb und Julian Berlow für vergnügliche Kaffeepausen und interessante

Diskussionen danken.

...Ralf Utermann für die Hilfe bzgl. der Benutzung des Clusters und der VML-Funktionen.

...meinen Studienkollegen, Armin Seibert, Martin Wolf und Dr. Antonio Hill für die Gesell-

schaft auch abseits der Universität.

111

Lebenslauf

Michael Stark Geburtsdatum: 06.03.1984

Vogelmauer 1 Geburtsort: Wertingen

86152 Augsburg Staatsangehörigkeit: Deutsch

[email protected]

Tabellarischer Werdegang:

1990-1994 Grundschule in Dillingen an der Donau

1994-2003 Johann-Michael-Sailer Gymnasium Dillingen

2003 Abitur

2003-2004 Zivildienst beim Bayrischen Roten Kreuz Dillingen

2004-2009 Studium der Physik an der Universität Augsburg

2009 Diplom

2009-2010 Forschungsaufenthalt am Instituto de Ciencia de Materiales de Madrid

seit 2010 wissenschaftlicher Mitarbeiter am Lehrstuhl für Theoretische Physik III der

Universität Augsburg

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Kinetische Theorie für schwach wechselwirkende Elektronen ... · Es bleibt jedoch das Anderson-Modell zu lösen, wofür numerische Verfahren nötig sind. Mittlerweile existieren