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Klassische Elektrodynamik

Pascal Peter

13.01.09

Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 1 / 35

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Gliederung

1 Klassische ElektrodynamikEinführungDie maxwellschen GleichungenVektornotation

2 Differentialform-Darstellung im dreidimensionalen AnsatzDarstellung der Felder durch DifferentialformenKontraktions-Operator und Lorentz-KraftTonti-DiagrammKugelkoordinaten

3 Raumzeit-Ansatz

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Klassische Elektrodynamik

Teilgebiet der Physik:Eigenschaften und Wirkungen elektrischer und magnetischer Felder

Entstehung (Induktion, Verschiebungsstrom)Ausbreitung (elektromagnetische Wellen)Wirkung auf Materie (Kräfte)

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Induktion

Ein zeitabhängiges Magnetfeld erzeugt ein elektrisches Feld.

Beispiel:Ein zeitabhängigesmagnetisches Feldinduziert Spannung Uindan einer Leiterschleife.Dies erzeugtwirbelförmiges elektrischesFeld entlang der Schleife.

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Induktion

Ein zeitabhängiges Magnetfeld erzeugt ein elektrisches Feld.

Beispiel:Ein zeitabhängigesmagnetisches Feldinduziert Spannung Uindan einer Leiterschleife.Dies erzeugtwirbelförmiges elektrischesFeld entlang der Schleife.

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Verschiebungsstrom

Ein zeitabhängiges elektrisches Feld erzeugt ein Magnetfeld.

Beispiel:Ein elektrisches Feld in einem Kondensator wächst linear mit der Zeitan.Dies erzeugt wirbelförmiges Magnetfeld um das elektrische Feld.

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Verschiebungsstrom

Ein zeitabhängiges elektrisches Feld erzeugt ein Magnetfeld.

Beispiel:Ein elektrisches Feld in einem Kondensator wächst linear mit der Zeitan.Dies erzeugt wirbelförmiges Magnetfeld um das elektrische Feld.

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Die maxwellschen Gleichungen

1865: Beschreibung derzeitlichen EntwicklungelektromagnetischerFelder im Raum durch dieMaxwell-Gleichungen.Gekoppeltes SystempartiellerDifferentialgleichungen.Zählen zu den wichtigstenGleichungen der Physik. Abbildung: J.C. Maxwell

(1831–1879)

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Vektornotation der Maxwellschen Gleichungen

Maxwellsche Gleichungen∂B∂t = −rot

−→E (Faradaysches Induktionsgesetz)

∂E∂t = rot

−→B − 4πJ (Verallgemeinertes Ampèresches Gesetz)

div−→B = 0 (Quellenfreiheit des Magnetfelds)

div−→E = 4πρ (Poisson-Gleichung)

Lorentz-Kraft−→F = q(

−→E + v ×

−→B )

−→E : Elektrische Feldstärke,

−→B : Magnetische Flussdichte,

J: magnetische Polarisation, ρ: Ladungsdichte,−→F : Lorentz-Kraft,

q: elektrische Ladung, v: Geschwindigkeit

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Vektornotation der Maxwellschen Gleichungen

Maxwellsche Gleichungen∂B∂t = −rot

−→E (Faradaysches Induktionsgesetz)

∂E∂t = rot

−→B − 4πJ (Verallgemeinertes Ampèresches Gesetz)

div−→B = 0 (Quellenfreiheit des Magnetfelds)

div−→E = 4πρ (Poisson-Gleichung)

Lorentz-Kraft−→F = q(

−→E + v ×

−→B )

−→E : Elektrische Feldstärke,

−→B : Magnetische Flussdichte,

J: magnetische Polarisation, ρ: Ladungsdichte,−→F : Lorentz-Kraft,

q: elektrische Ladung, v: Geschwindigkeit

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Vektornotation der Maxwellschen Gleichungen

Maxwellsche Gleichungen∂B∂t = −rot

−→E (Faradaysches Induktionsgesetz)

∂E∂t = rot

−→B − 4πJ (Verallgemeinertes Ampèresches Gesetz)

div−→B = 0 (Quellenfreiheit des Magnetfelds)

div−→E = 4πρ (Poisson-Gleichung)

Lorentz-Kraft−→F = q(

−→E + v ×

−→B )

−→E : Elektrische Feldstärke,

−→B : Magnetische Flussdichte,

J: magnetische Polarisation, ρ: Ladungsdichte,−→F : Lorentz-Kraft,

q: elektrische Ladung, v: Geschwindigkeit

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Differentialform-Darstellung

im dreidimensionalen Ansatz

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Darstellung der Felder durch Differentialformen

Dreidimensionaler Ansatz: Zeit als Parameter.Interpretation der Lorentzkraft F: 1-Form.

Aus−→F = q(

−→E + v ×

−→B ) folgt also: E und v × B sind 1-Formen.

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Darstellung der Felder durch Differentialformen

Dreidimensionaler Ansatz: Zeit als Parameter.Interpretation der Lorentzkraft F: 1-Form.

Aus−→F = q(

−→E + v ×

−→B ) folgt also: E und v × B sind 1-Formen.

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Darstellung der Felder durch Differentialformen

Die elektrische Feldstärke wird durch eine 1-Form repräsentiert:

E = Exdx + Eydy + Ezdz =−→E dq (1)

Hierbei sind Ex , Ey , Ez die kartesischen Komponenten des elektrischenFeldes.

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Darstellung der Felder durch Differentialformen

B bezeichnet die Flächendichte des magnetischen Flusses, d.h. B mussüber Flächen integrierbar sein.

Daher stellen wir B durch eine 2-Form dar:

B = Bzdxdy + Bxdydz + Bydzdx =−→B θ (2)

Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 11 / 35

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Darstellung der Felder durch Differentialformen

B bezeichnet die Flächendichte des magnetischen Flusses, d.h. B mussüber Flächen integrierbar sein.

Daher stellen wir B durch eine 2-Form dar:

B = Bzdxdy + Bxdydz + Bydzdx =−→B θ (2)

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Divergenz und Rotation

Wie lässt sich rotE in der Differentialformnotation darstellen?

dE = (∂Ey

∂x− ∂Ex

∂y)dxdy + (

∂Ez

∂y− ∂Ey

∂z)dydz + (

∂Ex

∂z− ∂Ez

∂x)dzdx

= (rot−→E )θ

Wie lässt sich divB in der Differentialformnotation darstellen?

dB = (∂Bx

∂x+

∂By

∂y+

∂Bz

∂z)dxdydz = div

−→B Θ

Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 12 / 35

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Divergenz und Rotation

Wie lässt sich rotE in der Differentialformnotation darstellen?

dE = (∂Ey

∂x− ∂Ex

∂y)dxdy + (

∂Ez

∂y− ∂Ey

∂z)dydz + (

∂Ex

∂z− ∂Ez

∂x)dzdx

= (rot−→E )θ

Wie lässt sich divB in der Differentialformnotation darstellen?

dB = (∂Bx

∂x+

∂By

∂y+

∂Bz

∂z)dxdydz = div

−→B Θ

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Divergenz und Rotation

Erinnerung

Für ω =∑

aHdxH ∈p∧L, dimL = n gilt per Definition:

dω =n∑

i=1

∂aH

∂x i dx idxH

dB = d(Bzdxdy + Bxdydz + Bydzdx) =∂Bz

∂zdzdxdy +

∂Bx

∂xdxdydz

+∂By

∂ydydzdx = (

∂Bz

∂z+

∂Bx

∂x+

∂By

∂y)dxdydz

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Divergenz und Rotation

Erinnerung

Für ω =∑

aHdxH ∈p∧L, dimL = n gilt per Definition:

dω =n∑

i=1

∂aH

∂x i dx idxH

dB = d(Bzdxdy + Bxdydz + Bydzdx) =∂Bz

∂zdzdxdy +

∂Bx

∂xdxdydz

+∂By

∂ydydzdx = (

∂Bz

∂z+

∂Bx

∂x+

∂By

∂y)dxdydz

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Divergenz und Rotation

Durch Anwendung des Stern-Operators auf E und B erhalten wir:

∗E = Exdydz + Eydzdx + Ezdxdy

∗B = Bxdx + Bydy + Bzdz

Also gilt auch:d ∗ E = (div

−→E )Θ

d ∗ B = (rot−→B )θ

Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 14 / 35

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Divergenz und Rotation

Durch Anwendung des Stern-Operators auf E und B erhalten wir:

∗E = Exdydz + Eydzdx + Ezdxdy

∗B = Bxdx + Bydy + Bzdz

Also gilt auch:d ∗ E = (div

−→E )Θ

d ∗ B = (rot−→B )θ

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Faradaysches Induktionsgesetz

Aus ∂−→B

∂t = −rot−→E erhalten wir mit (rot

−→E )θ = dE :

∂B∂t

= −dE

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Faradaysches Induktionsgesetz

Aus ∂−→B

∂t = −rot−→E erhalten wir mit (rot

−→E )θ = dE :

∂B∂t

= −dE

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Verallgemeinertes Ampèrsches Gesetz

Aus ∂−→E

∂t = rot−→B − 4π

−→J erhalten wir mit d ∗ B = (rot

−→B )θ:

∂ ∗ E∂t

= d ∗ B − 4πJ

mit der 2-Form

J = Jxdydz + Jydzdx + Jzdxdy

Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 16 / 35

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Verallgemeinertes Ampèrsches Gesetz

Aus ∂−→E

∂t = rot−→B − 4π

−→J erhalten wir mit d ∗ B = (rot

−→B )θ:

∂ ∗ E∂t

= d ∗ B − 4πJ

mit der 2-Form

J = Jxdydz + Jydzdx + Jzdxdy

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Quellenfreiheit und Poisson-Gleichung

div−→B = 0 wird mit dB = div

−→B Θ zu:

dB = 0

div−→E = 4πρ wird mit d ∗ E = (div

−→E )Θ zu:

d ∗ E = 4πρΘ

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Quellenfreiheit und Poisson-Gleichung

div−→B = 0 wird mit dB = div

−→B Θ zu:

dB = 0

div−→E = 4πρ wird mit d ∗ E = (div

−→E )Θ zu:

d ∗ E = 4πρΘ

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Kontraktions-Operator

und Lorentz-Kraft

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Der Kontraktions-Operator

DefinitionEs seien a2, a3, . . . , ar ∈ V beliebige TangentialvektorenWir definieren y : V × Λr → Λr−1; (a, ω) 7→ ayω mit

(ayω)(a2, a3, . . . , ar ) = ω(a, a2, a3, . . . , ar )

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Beispiel

∂xydxdy = dy

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Lorentz-Kraft

Beweis:vyB =

= (vx∂

∂x+ vy

∂y+ vz

∂z)y(Bzdxdy + Bxdydz + Bydzdx) =

= vxBzdy − vxBydz − vyBzdx + vyBxdz − vzBxdy + vzBydx =

= (vzBy − vyBz)dx + (vxBz − vzBx)dy + (vyBx − vxBy )dz =

= (v ×−→B )dq

Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 21 / 35

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Lorentz-Kraft

Beweis:vyB =

= (vx∂

∂x+ vy

∂y+ vz

∂z)y(Bzdxdy + Bxdydz + Bydzdx) =

= vxBzdy − vxBydz − vyBzdx + vyBxdz − vzBxdy + vzBydx =

= (vzBy − vyBz)dx + (vxBz − vzBx)dy + (vyBx − vxBy )dz =

= (v ×−→B )dq

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Lorentz-Kraft

Beweis:vyB =

= (vx∂

∂x+ vy

∂y+ vz

∂z)y(Bzdxdy + Bxdydz + Bydzdx) =

= vxBzdy − vxBydz − vyBzdx + vyBxdz − vzBxdy + vzBydx =

= (vzBy − vyBz)dx + (vxBz − vzBx)dy + (vyBx − vxBy )dz =

= (v ×−→B )dq

Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 21 / 35

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Lorentz-Kraft

Beweis:vyB =

= (vx∂

∂x+ vy

∂y+ vz

∂z)y(Bzdxdy + Bxdydz + Bydzdx) =

= vxBzdy − vxBydz − vyBzdx + vyBxdz − vzBxdy + vzBydx =

= (vzBy − vyBz)dx + (vxBz − vzBx)dy + (vyBx − vxBy )dz =

= (v ×−→B )dq

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Lorentz-Kraft

Beweis:vyB =

= (vx∂

∂x+ vy

∂y+ vz

∂z)y(Bzdxdy + Bxdydz + Bydzdx) =

= vxBzdy − vxBydz − vyBzdx + vyBxdz − vzBxdy + vzBydx =

= (vzBy − vyBz)dx + (vxBz − vzBx)dy + (vyBx − vxBy )dz =

= (v ×−→B )dq

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Notationen im Vergleich

Vektornotation∂−→B

∂t = −rot−→E

∂−→E

∂t = rot−→B − 4π

−→J

div−→B = 0

div−→E = 4πρ

−→F = q(

−→E + v ×

−→B )

Differentialform-Notation∂B∂t = −dE∂∗E∂t = d ∗ B − 4πJ

dB = 0d ∗ E = 4πρθ

F = q(E − vyB)

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Tonti-Diagramm

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Kugelkoordinaten

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Kugelkoordinaten

Einzig der ∗-Operator ist vom Koordinatensystem abhängig

Eine Orthonormalbasis in Kugelkoordinaten ist gegeben durch die1-Formen dr , rdθ, r sin θdφ.

Beispiel: Poisson-Gleichung in Kugelkoordinaten

Poission-Gleichung: d ∗ E = 4πρΘHilfsgröße V mit E = −dVÄquivalente Schreibweise: d ∗ dV = −4πρΘ

Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 25 / 35

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Kugelkoordinaten

Einzig der ∗-Operator ist vom Koordinatensystem abhängig

Eine Orthonormalbasis in Kugelkoordinaten ist gegeben durch die1-Formen dr , rdθ, r sin θdφ.

Beispiel: Poisson-Gleichung in Kugelkoordinaten

Poission-Gleichung: d ∗ E = 4πρΘHilfsgröße V mit E = −dVÄquivalente Schreibweise: d ∗ dV = −4πρΘ

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Kugelkoordinaten

Einzig der ∗-Operator ist vom Koordinatensystem abhängig

Eine Orthonormalbasis in Kugelkoordinaten ist gegeben durch die1-Formen dr , rdθ, r sin θdφ.

Beispiel: Poisson-Gleichung in Kugelkoordinaten

Poission-Gleichung: d ∗ E = 4πρΘHilfsgröße V mit E = −dVÄquivalente Schreibweise: d ∗ dV = −4πρΘ

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Kugelkoordinaten

ErinnerungLaplace-Operator: d ∗ df = (4f )dxdydzIn Kugelkoordinaten:

d ∗ df =

[∂

∂r(r2 sin θ

∂f∂r

) +∂

∂θ(sin θ

∂f∂θ

) +∂

∂φ(

1sin θ

∂f∂φ

)

]drdθdφ

Also lässt sich die Poisson-Gleichung d ∗ dV = −4πρΘ inKugelkoordinaten schreiben als:[

∂r(r2 sin θ

∂V∂r

) +∂

∂θ(sin θ

∂V∂θ

) +∂

∂φ(

1sin θ

∂V∂φ

)

]drdθdφ = −4πρdrdθdφ

Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 26 / 35

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Kugelkoordinaten

ErinnerungLaplace-Operator: d ∗ df = (4f )dxdydzIn Kugelkoordinaten:

d ∗ df =

[∂

∂r(r2 sin θ

∂f∂r

) +∂

∂θ(sin θ

∂f∂θ

) +∂

∂φ(

1sin θ

∂f∂φ

)

]drdθdφ

Also lässt sich die Poisson-Gleichung d ∗ dV = −4πρΘ inKugelkoordinaten schreiben als:[

∂r(r2 sin θ

∂V∂r

) +∂

∂θ(sin θ

∂V∂θ

) +∂

∂φ(

1sin θ

∂V∂φ

)

]drdθdφ = −4πρdrdθdφ

Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 26 / 35

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Differentialform-Darstellung

im Raumzeit-Ansatz

Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 27 / 35

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Raumzeit-Ansatz

Raumzeit-Ansatz: Vierdimensionaler Raum statt Zeit als Parameter

Hybrid-Notation:

d bezeichnet die vierdimensionale äußere Ableitungd3 bezeichnet die dreidimensionale äußere Ableitungdq = (dx , dy , dz), θ = (dxdy , dydz , dzdx), Θ = dxdydz wie bisher

Für ein Skalar f gilt dann:

df =∂f∂q

dq +∂f∂t

dt

Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 28 / 35

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Raumzeit-Ansatz

Raumzeit-Ansatz: Vierdimensionaler Raum statt Zeit als Parameter

Hybrid-Notation:

d bezeichnet die vierdimensionale äußere Ableitungd3 bezeichnet die dreidimensionale äußere Ableitungdq = (dx , dy , dz), θ = (dxdy , dydz , dzdx), Θ = dxdydz wie bisher

Für ein Skalar f gilt dann:

df =∂f∂q

dq +∂f∂t

dt

Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 28 / 35

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Raumzeit-Ansatz

Raumzeit-Ansatz: Vierdimensionaler Raum statt Zeit als Parameter

Hybrid-Notation:

d bezeichnet die vierdimensionale äußere Ableitungd3 bezeichnet die dreidimensionale äußere Ableitungdq = (dx , dy , dz), θ = (dxdy , dydz , dzdx), Θ = dxdydz wie bisher

Für ein Skalar f gilt dann:

df =∂f∂q

dq +∂f∂t

dt

Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 28 / 35

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Homogene Gleichungen

Die homogenen Gleichungen d3B = 0 und ∂B∂t = −d3E lassen sich

zusammenfassen zu:

d3−→B θ + ∂

−→B

∂t dtθ + dtd3−→E dq = 0

Diese Gleichung lässt sich vereinfachen zu:

d(−→B θ +

−→E dqdt) = 0

Mit F :=−→B θ +

−→E dqdt können wir dafür schreiben:

dF = 0

Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 29 / 35

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Homogene Gleichungen

Die homogenen Gleichungen d3B = 0 und ∂B∂t = −d3E lassen sich

zusammenfassen zu:

d3−→B θ + ∂

−→B

∂t dtθ + dtd3−→E dq = 0

Diese Gleichung lässt sich vereinfachen zu:

d(−→B θ +

−→E dqdt) = 0

Mit F :=−→B θ +

−→E dqdt können wir dafür schreiben:

dF = 0

Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 29 / 35

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Homogene Gleichungen

Die homogenen Gleichungen d3B = 0 und ∂B∂t = −d3E lassen sich

zusammenfassen zu:

d3−→B θ + ∂

−→B

∂t dtθ + dtd3−→E dq = 0

Diese Gleichung lässt sich vereinfachen zu:

d(−→B θ +

−→E dqdt) = 0

Mit F :=−→B θ +

−→E dqdt können wir dafür schreiben:

dF = 0

Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 29 / 35

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Beweis der Vereinfachung

Behauptung: d−→B θ = d3

−→B θ + ∂

−→B

∂t dtθ

d−→B θ = d(Bzdxdy + Bxdydz + Bydzdx) =

∂Bz

∂zdzdxdy +

∂Bz

∂tdtdxdy+

+∂Bx

∂xdxdydz +

∂Bx

∂tdtdydz +

∂By

∂ydydzdx +

∂By

∂tdtdzdx =

= (∂Bx

∂x+

∂By

∂y+

∂Bz

∂z)dxdydz+(

∂Bx

∂t+

∂By

∂t+

∂Bz

∂t)dt(dxdy+dydz+dzdx) =

= d3−→B θ +

∂−→B

∂tdtθ

Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 30 / 35

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Beweis der Vereinfachung

Behauptung: d−→B θ = d3

−→B θ + ∂

−→B

∂t dtθ

d−→B θ = d(Bzdxdy + Bxdydz + Bydzdx) =

∂Bz

∂zdzdxdy +

∂Bz

∂tdtdxdy+

+∂Bx

∂xdxdydz +

∂Bx

∂tdtdydz +

∂By

∂ydydzdx +

∂By

∂tdtdzdx =

= (∂Bx

∂x+

∂By

∂y+

∂Bz

∂z)dxdydz+(

∂Bx

∂t+

∂By

∂t+

∂Bz

∂t)dt(dxdy+dydz+dzdx) =

= d3−→B θ +

∂−→B

∂tdtθ

Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 30 / 35

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Beweis der Vereinfachung

Behauptung: d−→B θ = d3

−→B θ + ∂

−→B

∂t dtθ

d−→B θ = d(Bzdxdy + Bxdydz + Bydzdx) =

∂Bz

∂zdzdxdy +

∂Bz

∂tdtdxdy+

+∂Bx

∂xdxdydz +

∂Bx

∂tdtdydz +

∂By

∂ydydzdx +

∂By

∂tdtdzdx =

= (∂Bx

∂x+

∂By

∂y+

∂Bz

∂z)dxdydz+(

∂Bx

∂t+

∂By

∂t+

∂Bz

∂t)dt(dxdy+dydz+dzdx) =

= d3−→B θ +

∂−→B

∂tdtθ

Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 30 / 35

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Beweis der Vereinfachung

Behauptung: d−→B θ = d3

−→B θ + ∂

−→B

∂t dtθ

d−→B θ = d(Bzdxdy + Bxdydz + Bydzdx) =

∂Bz

∂zdzdxdy +

∂Bz

∂tdtdxdy+

+∂Bx

∂xdxdydz +

∂Bx

∂tdtdydz +

∂By

∂ydydzdx +

∂By

∂tdtdzdx =

= (∂Bx

∂x+

∂By

∂y+

∂Bz

∂z)dxdydz+(

∂Bx

∂t+

∂By

∂t+

∂Bz

∂t)dt(dxdy+dydz+dzdx) =

= d3−→B θ +

∂−→B

∂tdtθ

Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 30 / 35

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Beweis der Vereinfachung

Behauptung: d−→E dqdt = dtd3

−→E dq

d−→E dqdt = d(Exdxdt + Eydydt + Ezdzdt) =

∂Ex

∂ydydxdt +

∂Ex

∂zdzdxdt+

+∂Ey

∂xdxdydt +

∂Ey

∂zdzdydt +

∂Ez

∂xdxdzdt +

∂Ez

∂ydydzdt =

= (∂Ey

∂x− ∂Ex

∂y)dxdydt + (

∂Ez

∂y− ∂Ey

∂z)dydzdt + (

∂Ex

∂z− ∂Ez

∂x)dzdxdt =

= d3−→E dqdt = dtd3

−→E dq

Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 31 / 35

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Beweis der Vereinfachung

Behauptung: d−→E dqdt = dtd3

−→E dq

d−→E dqdt = d(Exdxdt + Eydydt + Ezdzdt) =

∂Ex

∂ydydxdt +

∂Ex

∂zdzdxdt+

+∂Ey

∂xdxdydt +

∂Ey

∂zdzdydt +

∂Ez

∂xdxdzdt +

∂Ez

∂ydydzdt =

= (∂Ey

∂x− ∂Ex

∂y)dxdydt + (

∂Ez

∂y− ∂Ey

∂z)dydzdt + (

∂Ex

∂z− ∂Ez

∂x)dzdxdt =

= d3−→E dqdt = dtd3

−→E dq

Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 31 / 35

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Beweis der Vereinfachung

Behauptung: d−→E dqdt = dtd3

−→E dq

d−→E dqdt = d(Exdxdt + Eydydt + Ezdzdt) =

∂Ex

∂ydydxdt +

∂Ex

∂zdzdxdt+

+∂Ey

∂xdxdydt +

∂Ey

∂zdzdydt +

∂Ez

∂xdxdzdt +

∂Ez

∂ydydzdt =

= (∂Ey

∂x− ∂Ex

∂y)dxdydt + (

∂Ez

∂y− ∂Ey

∂z)dydzdt + (

∂Ex

∂z− ∂Ez

∂x)dzdxdt =

= d3−→E dqdt = dtd3

−→E dq

Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 31 / 35

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Inhomogene Gleichungen

Die inhomogenen Gleichungen d3 ∗ E = 4πρΘ und∂∗E∂t = d3 ∗ B − 4πJ lassen sich analog zusammenfassen zu:

d3−→E θ+∂

−→E

∂t dtθ + dtd3−→B dq=−4πJdt+4πρΘ

und vereinfachen zu:

d(−→E θ −

−→B dqdt) = 4π(ρΘ− Jdt)

Da FF =−→E θ −

−→B dqdt können wir dafür schreiben:

dFF = 4πj

mit der Ladungs-3-Form j := ρΘ− Jdt

Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 32 / 35

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Inhomogene Gleichungen

Die inhomogenen Gleichungen d3 ∗ E = 4πρΘ und∂∗E∂t = d3 ∗ B − 4πJ lassen sich analog zusammenfassen zu:

d3−→E θ+∂

−→E

∂t dtθ + dtd3−→B dq=−4πJdt+4πρΘ

und vereinfachen zu:

d(−→E θ −

−→B dqdt) = 4π(ρΘ− Jdt)

Da FF =−→E θ −

−→B dqdt können wir dafür schreiben:

dFF = 4πj

mit der Ladungs-3-Form j := ρΘ− Jdt

Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 32 / 35

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Inhomogene Gleichungen

Die inhomogenen Gleichungen d3 ∗ E = 4πρΘ und∂∗E∂t = d3 ∗ B − 4πJ lassen sich analog zusammenfassen zu:

d3−→E θ+∂

−→E

∂t dtθ + dtd3−→B dq=−4πJdt+4πρΘ

und vereinfachen zu:

d(−→E θ −

−→B dqdt) = 4π(ρΘ− Jdt)

Da FF =−→E θ −

−→B dqdt können wir dafür schreiben:

dFF = 4πj

mit der Ladungs-3-Form j := ρΘ− Jdt

Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 32 / 35

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Inhomogene Gleichungen

ErinnerungIm 4-dim. VR mit Orthonormalbasis dx1, dx2, dx3, dt mit zyklischerOrdnung (i,j,k) gilt:

Fdx idt = dx jdxk

Fdx jdxk = −dx idt

FF = F(−→B θ +

−→E dqdt) =

= F(Bzdxdy + Bxdydz + Bydzdx + Exdxdt + Eydydt + Ezdzdt) =

= −Bzdzdt−Bxdxdt−Bydydt+Exdzdy+Eydxdz+Ezdxdy =−→E θ−

−→B dqdt

Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 33 / 35

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Inhomogene Gleichungen

ErinnerungIm 4-dim. VR mit Orthonormalbasis dx1, dx2, dx3, dt mit zyklischerOrdnung (i,j,k) gilt:

Fdx idt = dx jdxk

Fdx jdxk = −dx idt

FF = F(−→B θ +

−→E dqdt) =

= F(Bzdxdy + Bxdydz + Bydzdx + Exdxdt + Eydydt + Ezdzdt) =

= −Bzdzdt−Bxdxdt−Bydydt+Exdzdy+Eydxdz+Ezdxdy =−→E θ−

−→B dqdt

Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 33 / 35

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Maxwell-Gleichungen im Raumzeit-Ansatz

Die Maxwellschen Gleichungen für den Raumzeitansatz sind also:

dF = 0

dFF = 4πj

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Danke für Ihre Aufmerksamkeit!

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