Klausur - TFD · Hydrodynamik 2(1) Die Bernoulli-Gleichung in der Form 1 2 ru 1 + p 1 +rgh 1 = 1 2 ru 2 + p 2 +rgh 2 darf nicht verwendet werden, wenn die Strömung...turbulent ist....instationär

Lösung

KlausurStrömungsmechanik 1

Frühjahr 2013

06. März 2013, Beginn 15:00 Uhr

Prüfungszeit: 90 Minuten

Zugelassene Hilfsmittel sind:

• Taschenrechner (nicht programmierbar)• TFD-Formelsammlung (ohne handschriftliche Ergänzungen)• Lineal und Schreibmaterial (nur dokumentenecht, => keinen Bleistift verwenden, kein TIPP-Ex)• mitgebrachtes Papier

Andere Hilfsmittel, insbesondere:

• alte Klausuren• Übungen der Vorlesung• Handy, Laptop, Fachbücher, programmierbarer Taschenrechner

sind nicht zugelassen.

Weitere Hinweise:Ergebnisse sind durch einen Rechenweg zu begründen und nur mit einer Einheit richtig. Die zu verwendendenIndizes sind (soweit gegeben) den Skizzen zu entnehmen, ansonsten in die Skizzen einzutragen.

Aufgabe Punkte

1. Verständnisfragen 152. Kurzrechnungen 113. Inkompresible Strömung 18

Gesamt 44

Name, Vorname: ...........................................................

Matrikelnummer: ...........................................................

Wir wünschen Ihnen viel Erfolg!Jun.-Prof. K. MullenersB. Drechsel, V. Köpplin

!!Alle Aufgabenteile (X.X) sind unabhängig voneinander lösbar!!

Lösung

Klausur Strömungsmechanik 1 Name, Vorname: .............................................Sommersemester 2012 Matrikelnummer: .............................................

1. Verständnisfragen (16 Punkte) 00Kreuzen Sie richtige Aussagen an. Es können pro Frage mehrere Antworten richtig sein.(Nur vollständig richtig beantwortete Fragen werden gewertet.)

Fluideigenschaften (1)Der Druck in einem Fluid wirkt stets

� ...aufwärts.

� ...abwärts.

� ...in Strömungsrichtung.

� ...in alle Richtungen.

Strömungsvisualisierung (1)Wann fallen Stromlinien, Bahnlinien und Streichlinien zusammen?

� Nie.

� Wenn die Strömung zweidimensional ist.

� Wenn die Strömung laminar ist.

� Wenn die Strömung stationär ist.

Hydrostatik (1)Der Druck 1m unterhalb des Meeresspiegels ist ungefähr

� ... 103 Pa .

� ...104 Pa .

� ...105 Pa .

� ...106 Pa .

Venturidüsen (1)

� ...sind nur mit kompressiblen Medien verwendbar.

� ...messen den dynamischen Druck.

� ...dienen zur Massenstrombestimmung.

� ...sind frei von Reibungsverlusten.

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Lösung


Ausfluss aus Behälter (1)Der Behälter ist geschlossen und unendlich groß. Der Untergrund ist reibungsfrei.

� c1 > c2.

� Das Gefäß bewegt sich in positive x-Richtung.

� c1(Fluid=Wasser) > c1(Fluid=Ethanol)

Fluid

c1�

c2�

pIpamb

x-

y

6

Interne Strömungen (2)Rohr A Länge: L, Dicke: D

Rohr B Länge: L, Dicke: 2D

Rohr C Länge: 2L, Dicke: 2D

Geben Sie „>,< oder =“ an.

Der Druckverlust in Rohr A > der Druckverlust in Rohr B

Der Druckverlust in Rohr A, laminar > der Druckverlust in Rohr C, laminar

Der Druckverlust in Rohr A, laminar < der Druckverlust in Rohr A, turbulent

Der Druckverlust in Rohr A, glatt < der Druckverlust in Rohr A, rau

Hydrodynamik 1 (2)Geben Sie „>,< oder =“ an.

u1 > u2

p1 < p2

ρa < ρb

λD1 > λD2

V

ρb

ρa

1 2 V

g

D1 D2

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Lösung


Lavaldüse (1)Ordnen Sie die Geschwindigkeitsverläufe den entsprechenden Lavaldüsen A bis D zu.

A B

C D

A D

B C

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Lösung


Prandtl-Sonde (1)

� Massenstrom durch Öffnung A ist Null.

� An B wird der statische Druck gemessen.

� B ist der Staupunkt der Sonde.

� Dynamischer Druck = Druck A - Druck B

A@@R

B

?

Zylinderumströmung (2)Bei welchen Punkten A bis E stellen sich die dargestellten Strömungen ein?

C A

B E

D

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Lösung


Oberflächenspannung (1)

� Der sich einstellende Kontaktwinkel eines Fluidtropfens auf einer festen Oberfläche hängt ausschließlichvon den Eigenschaften des Fluids und der Luft ab.

� Der Kontaktwinkel kann nur Werte zwischen 0° und 90° annehmen.

� Die Oberflächenspannung wirkt in der Grenzfläche zweier Fluide.

� Für eine Seifenblase ist die Differenz zwischen Innen und Außendruck gleich 4σ

R , wobei σ die Oberflä-chenspannung und R der Radius der Seifenblase ist.

Umströmte Platte (1)

x2x1

Geben Sie „>,< oder =“ an.

x1 x2

Wandschubspannung τW : >

Grenzschichtdicke: <

Rex: <

Navier-Stokes-Gleichung (1)

∂u∂ t︸︷︷︸A

+u∂u∂x︸︷︷︸B

+v∂u∂y︸︷︷︸C

+w∂u∂ z︸︷︷︸D

= gx︸︷︷︸E

− 1ρ

∂ p∂x︸︷︷︸F

+µ

ρ

∂ 2u∂x2︸︷︷︸

G

+∂ 2u∂y2︸︷︷︸

H

+∂ 2u∂ z2︸︷︷︸

I

� für stationäre Strömungen ist A = 0.

� für den Fall einer laminaren, geschichteten Strömung zwischen zwei ebenen Platten in x-Richtung istC = D = 0.

� C beschreibt die Fluidzusammensetzung.

� Die Navier-Stokes-Gleichungen sind Impulsgleichungen.

Hydrodynamik 2 (1)

Die Bernoulli-Gleichung in der Form12

ρu1 + p1 +ρgh1 =12

ρu2 + p2 +ρgh2 darf nicht verwendet werden,wenn die Strömung

� ...turbulent ist.

� ...instationär ist.

� ...reibungsfrei ist.

� ...kompressible ist.

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Lösung


Grenzschicht an umströmtem Zylinder (1)Ordnen Sie die dargestellten Geschwindigkeitsprofile den Positionen A bis F zu.

C B

E D

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Lösung


2. Kurzrechenaufgaben (11 Punkte) 00Hinweis: Die Ergebnisse der Kurzaufgaben (mit Einheiten) sind in die dafür vorgesehenen Kästen ein-

zutragen. Geben Sie zusätzlich den Rechenweg an.

2.1. Schalenkreuzanemometer (4 Punkte) 00Gegeben ist ein Schalenkreuzanemometer zur Messung von Windgeschwindigkeiten. Es besteht aus 4 Halb-schalen, die jeweils mit dem Abstand R mit einer Welle verbunden sind. Die Welle dreht mit der Winkelge-schwindigkeit ω .

Draufsicht:

R

III

II

IV

I

c∞ c∞

Hinweis

c∞ c∞

cw = 1.42 cw = 0.38

Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit ω in Abhängigkeit der Strömungsgeschwindigkeit c∞.

Gegeben: R, c

Hinweis: Die Umströmung der Halbschalen III und IV kann vernachlässigt werden. Auch die Gewichtskraft istnicht zu berücksichtigen.

Drehrichtung x �

ω = c∞

R ·0,318

LösungMrecht = Mlinks,Summe aller Momente gleich null, rotierendes aber nicht beschl. System

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Lösung


cw,i =FW

ρ

2 ·w2∞ ·A

Mrechts = R · 12·ρ · (ω ·R− c∞)

2 ·A · cw,1, Relativgeschw. w einsetzen

Mlinks = R · 12·ρ · (ω ·R+ c∞)

2 ·A · cw,2, Relativgeschw. w einsetzen

cw,1 · (c∞−ω ·R)2 = cw,2 · (c∞ +ω ·R)2 mit cw,1 = 3,74 · cw,2

3,74 · (c∞−ω ·R)2 = (c∞ +ω ·R)2

±√

3,74 · (c∞−ω ·R) = (c∞ +ω ·R)

ω ·R ·(

1+±√

3,74)= c∞ ·

(±√

3,74−1)

ω =c∞ ·(±√

3,74−1)

R ·(1+±

√3,74

)Das negative Vorzeichen vor der Wurzel macht physikalisch keinen Sinn. ω ·R kann nicht größer als c∞ sein.

ω =c∞ ·(√

3,74−1)

R ·(1+√

3,74) = 0,318 · c∞

R

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Lösung


2.2. Ausströmen aus einem Druckbehälter (7 Punkte) 00An einem Druckbehälter, in dem sich Luft unter einem Druck von pI = 1.5bar und einer Temperatur vonTI = 300K befindet, ist eine Laval-Düse angeschlossen. Der Außendruck beträgt pA = 1bar.R = 287JK/kgund κ = 1.4

(a) welches Druckverhältnis liegt vor?

(b) Wie groß ist die Dichte der Luft im Drückbehälter?

(c) Welche Geschwindigkeit cA herrscht am Austritt der Düse?

(d) Welche Temperatur TA herrscht am Austrittsquerschnitt?

pApI

= 23

(1)

ρI = 1.742kg/m3 (1)

cA = 256.78m/s (2)

TA = 267.18K (3)

LösungBestimmen des kritischen Druckverhältnisses:(

pA

pI

)∗=

(2

κ +1

) κκ−1

= 0,582 (1)

Vorliegendes Druckverhältnis: (pA

pI

)=

11,5

=23

(2)

Es liegt eine unterkritische Strömung vor –> im engsten Querschnitt gilt Ma < 1.Bestimmung der Dichte im Behälter nach dem idealen Gasgesetz:

ρI =pI

R ·TI= 1,742

kgm3 (3)

Bestimmen der Geschwindigkeit am Austritt über Gleichung in der Formelsammlung auf Seite 6:

pA

p1=

(1− κ−1

2κ

ρ1

p1

(c2

A− c21)) κ

κ−1(4)

mit c1 = 0.

cA =

√√√√[1−(

pA

pI

) κ−1κ

]2κ

κ−1pI

ρ1(5)

cA = 256,78ms

(6)

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Lösung


Bestimmung der Temperatur am Austritt über:

TI

TA= 1+

κ−12

Ma2 (7)

mit

Ma =ca

(8)

unda =√

κRT (9)

Einsetzen und nach TA auflösen führt auf:

TA = TI−κ−1

2c2

AκR

= 267.18K (10)

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Lösung


3. Rohrsystem (18 Punkte) 00In einem Rohrsystem wird Wasser mit einer Pumpe gefördert. Am U-Rohr-Manometer (gefüllt mit Quecksil-ber) wird bei der eingestellten Strömung eine Höhendifferenz von ∆h abgelesen. In den Steigrohren am Anfangund am Ende des Rohrleitungs-Systems wird jeweils die gleiche Füllhöhe abgelesen. Die beiden Krümmerhaben jeweils einen Verlustbeiwert ξK .

Hinweise: Verluste durch Strömungserweiterungen und -verengungen werden nicht berücksichtigt. Verlustedurch Rohrreibung werden nur in den Rohren mit dem kleinern Durchmesser d2 berücksichtigt. Druckverlustin Rohrströmungen:

∆p =ρ

2u2

(∑

iξi +∑

kλk

Lk

Dk

)

Gegeben:

d1 = 1m d2 = 0.5m L2 = 4m∆h = 0.3m h1 = 1.8m h2 = 0.8mg = 9.81m/s2 η = 0.95 ξK = 0.2ρW = 1000kg/m3 ρHg = 13500kg/m3 νW = 1.75×10−6 m2/sλlaminar = 0.03 λturbulent = 0.02

(a) Berechnen Sie die Änderung des statischen Druckes p12 − p9 mit Hilfe des Höhenunterschiedes derQuecksilbersäule. Der Druckverlust durch Reibung zwischen den Punkten 9 und 12 kann vernachlässigtwerden.

Symbolschreibweise Wert

p12− p9 g ·∆h(ρHg−ρW ) 36.8kPa

(b) Bestimmen Sie die Strömungsgeschwindigkeit u2.


u2

√√√√ 2g·∆h(ρHg−ρW )

ρW

[1−(

d22

d21

)2]

8.857m/s

(c) Herrscht laminare Strömung im Rohr mit dem Durchmesser d2?

Die Strömung ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , weil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Lösung


(d) Wie groß ist der Volumenstrom durch das Rohrsystem?


V π

4 d22 ·u2 1.74m3/s

(e) Welcher Druckanstieg muss durch die Pumpe erzeugt werden? Nur Reibungsverluste im Rohr mit demDurchmesser d2 werden berücksichtigt.


∆pPumpeρg(h1 +h2)+

ρ

2 u22

(2ξK + L2

d2λt

) 47.462kPa

(f) Welche Wellenleistung (Wirkungsgrad η) muss an der Pumpe dafür aufgebracht werden?


P V ·∆pPumpeη

86.88kW

(g) Tragen Sie qualitativ den Verlauf des statischen Druckes entlang eines Stromfadens zwischen den Punk-ten 1 und 12 in das gegebene Diagramm ein.

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Lösung


x

y

pm

in

p0

pm

ax

12

34

56

78

910

1112

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Lösung


LösungFür die Zahlenwerte gibt es anteilig insgesamt 2 Punkte.

a) Änderung des statischen Drucks p12− p9Hydrostatik am U-Rohr-Manometer

p9 +∆h ·ρHg ·g = p12 +∆h ·ρW ·g (11)p12− p9 = ∆h ·ρHg ·g−∆h ·ρW ·g (12)

p12− p9 = ∆h ·g · (ρHg−ρW ) j1 (13)= 36787.5Pa (14)

b) Strömungsgeschwindigkeit u2Bernoulli 9−→ 12

u22

2+

p9

ρW+��g · z9 =

u21

2+

p12

ρW+��g · z12

j1 (15)

u22

2− u2

12

=p12

ρW− p9

ρW(16)

Konti:

m12 = m9 (17)u1 ·A12 ·��ρW =u2 ·A9 ·��ρW (18)

u1 = u2A9

A12= u2

d22

d21

j1 (19)

Einsetzen in Bernoulli

u22

2− u2

12

=p12−p9

ρW(20)

u22

2− u2

22

(d2

2

d21

)2

=p12− p9

ρW(21)

u22

2

[1−(

d22

d21

)2]=

p12− p9

ρW(22)

u22 =

2ρW

p12− p9[1−(

d22

d21

)2] (23)

u22 =

2ρW

∆h ·g · (ρHg−ρW )[1−(

d22

d21

)2] (24)

u2 =

√√√√√ 2ρW

∆h ·g · (ρHg−ρW )[1−(

d22

d21

)2] j1 (25)

u2 = 8.859m/s (26)

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Lösung


c) laminar oder turbulent?

Re =u2 ·d2

ν(27)

= 2.5×106 > 2300 j1 (28)⇒ turbulent (29)

d) Volumenstrom V

V = u2 ·A9 (30)

= u2 ·π

4d2

2j1 (31)

= 1.74m3/s (32)

d) Druckanstieg durch die PumpeBernoulli 1−→ 12

��c21

2+��

p1

ρ+��

g · z1

0+P12

ρ ·V=��c2122

+��

p12

ρ+g · z12 +

∆pV 12

ρ

j1 (33)

c1 = c12 , da gleicher Querschnittp1 = p12 , da gleicher Höhenstand in der Wassersäule (siehe Aufgabenstellung)

Definition der Höhen:

z1 = 0z12 = h1 +h2

P12

ρ= ρW ·g · z12 +∆pV 12 (34)

∆pV 12 gemäß gegebener Formel

∆p =ρ

2u2

(∑

iξi +∑

kλk

Lk

Dk

)

u = u2 , da Reibung nur um dünnen Rohr (35)λk = λt , da Strömung turbulent (siehe Aufgabenteil c ) (36)

∆pV 12 =ρ

2u2

2

(2 ·ξk +λt

L2

D2

) j1 + j1P12

V= ∆pPumpe = ρW ·g · (h1 +h2)+

ρ

2u2

2

(2 ·ξk +λt

L2

D2

) j1 (37)

= 47481Pa (38)

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Lösung


f) Wellenleistung P12

P12 =V ·∆pPumpe

η

j1 (39)

= 86965W (40)

g) DruckverlaufInsgesamt 5 Punkte. Je Teilstück 0,5 Punkte; Anfang und Ende zusammen 0,5 Punkte.

x

y

pmin

p0

pmax

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

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Klausur - TFD · Hydrodynamik 2(1) Die Bernoulli-Gleichung in der Form 1 2 ru 1 + p 1 +rgh 1 = 1 2 ru 2 + p 2 +rgh 2 darf nicht verwendet werden, wenn die Strömung...turbulent ist....instationär