Klausur zur Akademischen Teilpr ufung, Modul 2,geometrie.zum.de/images/9/97/Klausur_Einführung_Geometrie_WS_12_13.pdf · PH Heidelberg, Fach Mathematik Klausur zur Akademischen Teilpr

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Klausur zur Akademischen Teilprufung, Modul 2,GHPO I vom 22.7.2003, RPO vom 24.08.2003

Einfuhrung in die Geometrie

Wintersemester 12/13, 12. Februar 2013

Klausur zur ATP, Modul 2, Einfuhrung in die Geometrie, WS 12/13, 12.02.2013Name: Vorname: Matrikelnr: Studiengang:

Aufgabe 1: Definieren

Nr. Aufgabe Punkte.

a) Definieren Sie den Begriff Nebenwinkel.3

b) Es seien SA+ und SB+ zwei verschiedene Halbgeraden. Jemand definiertM := {P |P ∈ SA,B+ ∧ P ∈ SB,A+}. Was wurde mit Menge M definiert? 2

c) Scheitelwinkel haben die Eigenschaft kongruent zueinander zu sein. Ist dieseEigenschaft hinreichend, notwendig oder hinreichend und notwendig dafur, dasszwei Winkel Scheitelwinkel sind. Begrunden Sie Ihre Antwort. (Skizzen sind zurBegrundung zulassig.)

2

d) Formulieren Sie eine Konventionaldefinition des Begriffs Tangente an einenKreis. 3

e) Es sei ε eine Ebene in unserem Raum R. Der Punkt Q moge nicht zu ε gehoren.Definieren Sie Halbraum εQ− := {P |... 2

f) Warum ist es sinnlos, den Begriff Sehnendreieck zu definieren?1

g) Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Der Begriff AB− sei bereits definiert.Definieren Sie unter expliziter Verwendung von AB− den Begriff

AB+ := . . .

2

h) Es sei k ein Kreis mit dem Mittelpunkt M . Definieren Sie:α ist Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel) von k. 2

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Aufgabe 2: Argumentieren, Begrunden, BeweisenNr. Aufgabe Punkte.

a) M1 sei die Menge aller gleichseitigen Dreiecke, M2 die Menge aller gleichschenk-ligen Dreiecke. Begrunden Sie M1 ∩M2 6= ∅. 1

b) Mit welchem Satz begrundet man in der absoluten Geometrie, dass ein Dreieckkeine zwei rechten Innenwinkel haben kann. 1

c) Es seien A,B, P drei paarweise verschiedene Punkte. Begrunden Sie:P ∈ AB− ⇒ P 6∈ AB 3

d) Satz I: Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, dann liegt der Mittelpunkt seinesUmkreises auf einer seiner Seiten.Handelt es sich bei Satz I um den Satz des Thales? Begrunden Sie Ihre Antwort.

2

e) Formulieren Sie die Kontrapostition von Satz I.2

f) Gegeben seien drei verschiedene Strecken a, b, c mit |a| = 35, |b| = 2

5und |c| = π.

Begrunden Sie mit Hilfe eines Axioms, dass kein Dreieck existiert, das aus dendrei Seiten a, b, c besteht.

2

g) Gegeben seien eine Gerade l, ein Punkt F außerhalb von l und ein Punkt L aufl (s. Abb. 00). Zeichnen Sie in die Abb. 00 einen Punkt P mit |Pl| = |PF | ein.Erlautern Sie, wie Sie zu P gekommen sind und warum P existiert.

Abb. 00

3



Aufgabe 3: Kriterien

Abb. 01

Konstruktiver Begriffserwerb T1:Legt man auf einen Streifen (Paar paralleler Geraden gund h) Stabchen gleicher Lange (Strecken AD und BCmit AD ∼= BC) derart, dass A und B auf g und D undC auf h wie in Abbildung 1 zum Liegen kommen, dannerhalt man ein gleichschenkliges Trapez ABCD. Es seidabei ferner vereinbart, dass die beiden Stabchen nichtparallel sein durfen, es sei denn, dass das Viereck ABCDein Rechteck ist.

Nr. Aufgabe Punkte.

a) Definieren Sie den Begriff gleichschenkliges Trapez, wie er sich entprechend T1unmittelbar ergibt.Definition GST 1:

5

Abb. 02

Konstruktiver Begriffserwerb T2:Bringt man einen Streifen (Paar paralleler Geraden gund h) mit einem Kreis k entsprechend Abbildung 02zum Schnitt entsteht offenbar auch ein gleichschenkligesTrapez.

Nr. Aufgabe Punkte.

b) Formulieren Sie eine Konventionaldefinition fur den Begriff gleichschenkligesTrapez, wie sie sich entprechend T2 unmittelbar ergibt.Definition GST 2:

3



Abb. 03

Gegeben sei ein Viereck ABCD mit folgenden Eigen-schaften:V1: ABCD hat einen Umkreis k mit Mittelpunkt M .V2: Ferner gelte AB ‖ CD.

Nr. Aufgabe Punkte.

c) Beweisen Sie mit Bezugnahme auf die Skizze aus Abbildung 03: AD ∼= BCErganzen Sie die Skizze in geeigneter Weise. Sie durfen fur den Beweis keineSatze uber die Eigenschaften von Vierecken verwenden,

13

d) In den Teilaufgaben a) und b) haben Sie zwei verschiedene Definitionen GST 1und GST 2 des Begriffs gleichschenkliges Trapez formuliert. Mit dem Beweis ausTeilaufgabe c) haben Sie prinzipiell gezeigt, dass aus einer dieser Definitionendie andere folgt. Aus welcher dieser Definitionen haben Sie welche abgeleitet?

Wir wollen davon ausgehen, dass Definition GST 1 absolut korrekt ist.Was ware noch zu tun, um sicher zu sein, dass die in GST 2 verwendetenEigenschaften fur gleichschenklige Trapeze wirklich diesbezuglich definierendeEigenschaften sind?

2



Aufgabe 4: Beweisen wie die Schuler

Abb. 04

Es sei ABC ein Dreieck mit dem Umkreis k. Der Punkt M sei der Mittel-punkt von k. Ferner sei mc die Mittelsenkrechte von AB. EntsprechendAbbildung 04 moge mc durch den Punkt C gehen. Erganzen Sie die fol-gende Beweisfuhrung, die sich auf die Skizze aus Abbildung 05 bezieht.

Nr. Beweisschritt Begrundung Punkte

(I) MA ∼= MB ∼= MC... 1

(II) M ∈ mc... 2

(III) |∠AMcM | = |BMcM | =90◦ ... 2

(IV) MMc∼= MMc

... 1

(V) |MB| > |MMc| < |MA|... 3

(VI) AMMc∼= BMMc

... 5

(VII) δ1 ∼= δ2... 1

(VIII) β ∼= γ1... 2

(IX) |δ1| = 2 · |γ1|... 2

(X) MC ∼= MC... 1

(XI) AMC ∼= BMC... 4

(XII) γ2 ∼= γ1... 2

(XIII) |δ2| = 2 · |γ1|... 2

(XIV) |δ2| = 2 · |γ2|... 2

(XV) |δ1|+ |δ2| = 2 · (|γ1|+ |γ2|)... 2

Abschlussfrage:Welcher Satz wurde hier fureinen Spezialfall bewiesen?

... 1



Platz fur weitere Ausfuhrungen



Auswertung

Punkte Note Punkte Note erreichte Punkte Note87 1 43 4,586 1 42 4,585 1 41 4,584 1 40 4,583 1 39 4,582 1 38 4,581 1,5 37 4,580 1,5 36 4,579 1,5 35 4,578 1,5 34 4,577 1,5 33 4,576 1,5 32 575 1,5 31 574 2 30 573 2 29 572 2 28 571 2 27 570 2 26 569 2 25 568 2,5 24 567 2,5 23 566 2,5 22 565 2,5 21 5,564 2,5 20 5,563 2,5 19 5,562 2,5 18 5,561 3 17 5,560 3 16 5,559 3 15 5,558 3 14 5,557 3 13 5,556 3 12 5,555 3,5 11 5,554 3,5 10 653 3,5 9 652 3,5 8 651 3,5 7 650 3,5 6 649 4 5 648 4 4 647 4 3 646 4 2 645 4 1 644 4 0 6



Die Axiome

Inzidenzaxiome

Axiom I.0Geraden und Ebenen sind Punktmengen.Axiom I.1 (Axiom von der Geraden)Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthalt.Axiom I.2Zu jeder Geraden gibt es (wenigstens) zwei verschiedene Punkte, die dieser Geraden angehoren.Axiom I.3Es gibt wenigstens 3 paarweise verschiedene Punkte, die nicht kollinear sind.Axiom I.4Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthalt. Jede Ebeneenthalt (wenigstens) einen Punkt.Axiom I.5Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehort g zu E.Axiom I.6Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punktgemeinsam. Axiom I.7Es gibt vier paarweise verschiedene Punkte, die nicht komplanar sind.

Abstandsaxiome

Axiom II.1 (Abstandsaxiom)Zu je zwei Punkten A und B gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl d mitd = 0⇔ A = B.Axiom II.2Fur zwei beliebige Punkte A und B gilt |AB| = |BA|.Axiom II/3 (Dreiecksungleichung)Fur drei beliebige Punkte A,B und C gilt |AB|+ |BC| ≥ |AC| .Falls koll (ABC), dann ist eine der folgenden Gleichungen erfullt

|AB|+ |BC| = |AC||AC|+ |CB| = |AB||BA|+ |AC| = |BC|

Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfullt, so sind A, B und C kollinear.

Axiome der Anordnung

Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)Zu jeder nicht negativen reelen Zahl d gibt es auf jedem Strahl p genau einen Punkt, der zum Anfangs-punkt von p den Abstand d hat.Axiom III.2 (Das Axiom von Pasch)Gegeben sei ein Dreieck ABC. Ferner sei g eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte A,B,Cgeht. Wenn g eine der drei Seiten des Dreiecks ABC schneidet, dann schneidet g genau eine weitere Seitedes Dreiecks ABC.



Axiome der Winkelmessung

Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom)Zu jedem Winkel α gibt es genau eine reelle Zahl ω zwischen 0 und 180.Axiom IV.2 (Winkelkonstruktionsaxiom)Es sei g ≡ SA eine Gerade in der Ebene E. Zu jeder reellen Zahl ω mit 0 < ω < 180 gibt es in jederder beiden durch g bestimmten Halbebenen der Ebene E genau einen Strahl SB+ mit |ω| = |∠ASB|Axiom IV.3 (Winkeladditionsaxiom)Wenn der Punkt P zum Inneren des Winkels ∠ASB gehort , dann gilt |∠ASP |+ |∠PSB| = |∠ASB|.Axiom IV.4 (Supplementaxiom)Nebenwinkel sind supplementar.

Das Kongruenzaxiom

Axiom V (Kongruenzaxiom SWS)Wenn fur zwei Dreiecke ABC und DEF die folgenden 3 Kongruenzen

AB ∼= DEAC ∼= DF

∠CAB ∼= ∠FDE

gelten,dann sind die beiden Dreiecke ABC und DEF kongruent zueinander.

Euklidisches Parallelenaxiom

Axiom EPZu jedem Punkt P außerhalb einer Geraden g gibt es hochstens eine Gerade h, die durch P geht und zug parallel ist.


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