Körperschall ||

L. Cremer M. Heckl Krperschall

Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH

Lothar Cremer Manfred Heckl

Krperschall Physikalische Grundlagen und technische Anwendungen

Zweite, vllig heu bearbeitete Auflage

Mit 200 Abbildungen

' Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH

Lothar Cremer t

Manfred Heck! Institute fr Technische Arbeit TU Berlin-Sekr. TA 7 Einsteinufer 27 10587 Berlin

Die Deutsche Bibliothek- CIP-Einheitsaufnahme Cremer, Lothar: Krperschall : physikalische Grundlagen und technische Anwendungen I L. Cremer; M. Heckl. - 2., neu bearb. Aufl. -Berlin ; Heidelberg ; New York ; Barcelona ; Budapest ; Hongkong ; London ; Mailand ; Paris ; Santa Clara ; Singapore ; Tokio : Springer, 1996

ISBN 978-3-662-08183-9 NE: Heckl, Manfred:

Dieses Werk ist urheberrechtlich geschtzt. Die dadurch begrndeten Rechte, insbesondere die der bersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funk-sendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Gren-zen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulssig. Sie ist grundstzlich vergtungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes.

Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996 Ursprnglich erschienin bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg in 1996 Softcover reprint of the bardeover 2nd edition 1996 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, da solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wren und daher von jedermann benutzt werden drfen. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z.B. DIN, VDI, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewhr fr die Richtigkeit, Vollstndigkeit oder Aktualitt bernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls fr die eigenen Arbeiten die vollstndigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gltigen Fassung hinzuzuziehen.

Produktion: PRODUserv Springer Produktions-Gesellschaft, Berlin Einbandentwurf: Struwe & Partner, Heidelberg; Satz: Lewis & Leins GmbH, Berlin SPIN: 10034344 68/3020- 54 3 2 1 0 -Gedruckt auf surefreiem Papier

ISBN 978-3-662-08183-9 ISBN 978-3-662-08182-2 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-08182-2

Vorwort zur zweiten Auflage

Obwohl die erste Auflage dieses Buches vor mehr als 25 Jahren erschien, wurde die bewhrte Kapiteleinteilung beibehalten und es wurden auch groe, die Grundlagen betreffende Teile des ursprnglichen Materials bernommen. Das Buch enthlt daneben zahlreiche nderungen und Ergnzungen, da sich in den letzten Jahren das Wissen um Krperschallfragen erweitert hat und da Berech-nungsmethoden, die frher zu umfangreich erschienen, nun mit Computer re-lativ problemlos durchgefhrt werden knnen. Zu den nderungen gegenber der ersten Auflage gehren die hufige Anwendung des Hamiltonschen Prinzips sowie des Wellenzahl-

spektrums, die Behandlung der Schwingungen von Schalen, von orthotropen Platten so-

wie einigen zusammengesetzten Strukturen, die Krperschallentstehung durch Stovorgnge und durch Rollen, die Einfhrung des Begriffs der Krperschallintensitt, die statistische Energieanalyse (SEA) mit einigen Anwendungen.

Die Einteilung des Buches und das zu behandelnde Material wurde noch mit Pro-fessor Cremer vor seinem Tode abgesprochen. An der Ausarbeitung einzelner Abschnitte konne er sich nicht mehr beteiligen. Der Verfasser der zweiten Auf-lage hat aber versucht, mglichst viel von der Denkweise von Professor Cremer zu bernehmen, so da sie - hoffentlich - auch seinen Geist atmet. Der Verfasser mchte Frau Tpfer-lmelmann, Frau Wanjek und Frau Westphal-Schubert fr die mhsame Arbeit beim Schreiben des Textes und beim Erstellen der Abbil-dungen danken. Dank gebhrt auch dem Verlag fr die sorgfltige Ausstattung des Buches.

Berlin, September 1995 Manfred Heckl

Inhalt

1 Definition, Messung und mebare Erzeugung von Krperschall 1

1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Mechanische Memethoden und Betrachtungsweisen 3 1.2.1 Messung der Bewegung (Zeigerschreibweise) 3 1.2.2 Vergleich mit einer bekannten Beschleunigung (Impedanz und

Admittanz) . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3 Mechanische Krperschallaufnehmer als gedmpfte

Einmassenschwinger . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.4 Rckwirkung des Megerts auf die Bewegung des Meobjekts 13 1.2.5 Das Problem des "ruhenden Bezugskrpers" bzw. des "starren

Abschlues" . . . . . . . . . . 20 1.2.5.1 Die Lagrangeschen Gleichungen . . . . 23 1.2.5.2 Bewegungen in mehreren Richtungen 24 1.2.5.3 Reziprozitt bzw. wechselseitige Leistung 30 1.2.5.4 Entwicklungssatz . . . . . 32 1.2.6 Energiebetrachtungen 32 1.2.6.1 Energieerhaltung, Energieflu 32 1.2.6.2 Minimierung der mittleren Energiedifferenz (Hamiltonsches

Prinzip) . . . . . . . . . . . 33 1.2.6.3 Der Rayleigh-Quotient . . . . . 35 1.3 Steuernde Krperschall-Aufnehmer 37 1.3.1 Steuernde elektrische Aufnehmer 37 1.3.2 Optische Verfahren . . . . . . 42 1.4 Elektromechanische Wandler fr die Erzeugung und Messung von

Krperschall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.4.1 Elektrodynamische Wandler . . . . . . . . . . . . 44 1.4.1.1 Impedanzen und bertragungsfaktoren bei unbeweglichen

Magneten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.4.1.2 Energiebilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.4.1.3 Impedanzen und bertragungsfaktoren bei beweglichen Magneten 50 1.4.2 Piezoelektrische Wandler 54 1.4.3 Elektrostatische Wandler 60 1.4.4 Elektromagnetische Wandler 65 1.4.5 Magnetostriktive Wandler 67

VIII Inhalt

1.4.6 Ergnzende Anmerkungen zu den reziproken Wandlern 1.4.6.1 M-Wandler und N-Wandler . . . . 1.4.6.2 Anwendung von Luftschallwandlern fr

Krperschalluntersuchungen . . . . 1.4.6.3 Kalibrierung mit Hilfe des Reziprozittsprinzips 1.5 Zusammengesetzte Megren 1.6 Literatur . . . . . . . . .

2

2.1 2.1.1 2.1.2 2.2 2.2.1 2.2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.4 2.4.1 2.4.2 2.5 2.6 2.6.1

bersicht ber die verschiedenen Wellenarten Longitudinale Wellen . . . . . . . . . . Die reine Longitudinalwelle . . . . . . . . Die quasi-longitudinalen Wellen in Stben und Platten Transversalwellen Die ebene Transversalwelle Torsionswellen Biegewellen Bewegungsgleichung Energiebeziehungen Die Wellenbewegungen auf Stben endlicher Lnge Longitudinale Eigenschwingungen Biege-Eigenschwingungen . . . . . . Die allgemeinen Feldgleichungen Das Wellenfeld an einer freien Oberflche Reflexion ebener Wellen

2.6.1.1 Spurwellengeschwindigkeit und Winkelbeziehungen 2.6.1.2 Reflexion von L-Wellen . . . . . . . . . . . 2.6.1.3 Reflexion von T-Wellen

68 68

69 70 72 74

77

77 77 82 87 87 90 95 95

102 104 105 110 115 124 124 125 127 129

2.6.1.4 Diskussion der Reflexionsfaktoren und Reflexionsgrade 131 2.6.2 Anregung des elastischen Halbraums 132 2.6.3 Die freie Oberflchenwelle (Rayleighwelle) 135 2.7 Plattenwellen . . . . . . . . . . . . 137 2.7.1 Randbedingungen und Lsungsformen 137 2.7.2 Wellen, deren Verschiebungen nur parallel zur Oberflche sind 139 2.7.3 Wellen, deren Verschiebung auch senkrecht zur Oberflche sind 141 2.7.4 Ableitung von Bewegungsgleichungen fr dnne Platten aus den

allgemeinen Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 147 2.7.4.1 Quasilongitudinal- und Schubwellen in ebenen, isotropen Platten 147 2.7.4.2 Biegewellen in ebenen isotropen Platten 151 2.7.4.3 Biegewellen in ebenen, orthotropen Platten 154 2.7.4.4 Dnne Platten mit Vorspannung und Bettung 156 2.8 Ableitung von Bewegungsgleichungen mit Hilfe des

Hamiltonschen Prinzips 157 2.8.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Inhalt IX

2.8.2 Ebene Platten mit Schubsteife (korrigierte Biegewelle) 158 2.8.3 Zylinderschalen 162 2.8.3.1 Grundgleichungen 162 2.8.3.2 Spezialflle 167 2.8.3.3 Phasengeschwindigkeiten 168 2.8.3.4 Wellenimpedanzen 171 2.8.3.5 Resonanzfrequenzen 172 2.9 Krperschallintensitt 175 2.9.1 Grundgleichungen 175 2.9.2 Leistungstransport in dnnen Platten 175 2.9.3 Leistungstransport in dnnen Zylinderschalen 179 2.10 Literatur 181

3 Dmpfung 183

3.1 Dmpfungsmechanismen und ihre Darstellungsweise 183 3.2 Komplexer Modul und komplexe Wellenzahl 186 3.3 Resonanzschwingungen von gedmpften Stben 193 3.3.1 Quasilongitudinal- und Torsionswellen 194 3.3.2 Biegewellen . . . . . . . . 200 3.4 Messung des komplexen Moduls 205 3.4.1 Messung an kleinen Proben. 206 3.4.1.1 Bestimmung des Spannungs-Dehnungsdiagramms 206 3.4.1.2 Bestimmung von Transfergren beim "Tonpilz" 208 3.4.1.3 Bestimmung des Ausschwingvorganges . . . . 209 3.4.1.4 Bestimmung der Resonanzfrequenz und der Halbwertsbreite 211 3.4.2 Messung an Stben . . . . . . 213 3.4.2.1 Bestimmung der Halbwertsbreiten 213 3.4.2.2 Bestimmung der Abklingzeiten 215 3.4.2.3 Bestimmung der Pegelabnahme 217 3.4.2.4 Sonstige Memethoden 218 3.4.3 Messungen an nicht stabfrmigen Proben 219 3.5 Meergebnisse 220 3.5.1 Metalle 220 3.5.2 3.5.3

Kunststoffe Baustoffe

223 225

3.6 Dmpfung von geschichteten Platten 227 3.6.1 Platten mit einfachen Belgen, die auf Dehnung beansprucht sind 227 3.6.2 Platten mit Mehrschichtbelgen . . . . . . . 231 3.6.2.1 Biegesteife Grundplatte mit dnner Abdeckplatte 232 3.6.2.2 Dicke Platten mit dnner Zwischenschicht 235 3.6.3 Bewegungsgleichungen fr geschichtete Platten 237 3.6.3.1 Platten mit einfachen Entdrhnbelgen (Doppelbalken) 237 3.6.3.2 Verbundplatten (Dreischichtbalken) . . . . . . . . 242

X Inhalt

3.7 Dmpfung durch Resonatoren . . . . . . . 245 3.7.1 Dmpfung durch dicke Schichten (Schttungen) 250 3.8 Dmpfung von Fgestellen . . . . . . . . . 252 3.8.1 Fgestellendmpfung durch Relativbewegung in Normalenrichtung 252 3.8.2 Fgestellendmpfung durch Relativbewegung in tangentialer

Richtung 257 3.9 Literatur 259

4 Impedanzen 263

4.1 Definition von Punktimpedanz, Wellenimpedanz und Admittanz 263 4.2 Messung mechanischer Punktimpedanzen 265 4.2.1 Bestimmung von Kraft und Schnelle 265 4.2.2 Vergleich mit einem bekannten Widerstand 268 4.2.3 Sonstige Memethoden . . . . . . . . 271 4.3 Eingangsimpedanzen von unendlich ausgedehnten Stben und

Platten . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 4.3.1 Anregung von Quasilongitudinalwellen in Stben 4.3.2 Anregung von Biegewellen auf Balken . . . . 4.3.3 Die Biegewelleneingangsimpedanz der homogenen Platte 4.4 Wellenimpedanz . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Verfahren zur Berechnung der Wellenimpedanzen 4.4.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Zusammenhang zwischen Wellenimpedanz und Punktimpedanz 4.4.3.1 Platte mit Schubsteife . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3.2 Der unendliche, isotrope Halbraum . . . . . . . . . . . 4.4.3.3 Weitere Beispiele ( orthotrope Platte, dicke Platte, Plattenstreifen,

Rohr) ................. . 4.4.4 Momentenimpedanzen ............. . 4.4.5 Verfahren zur Berechnung von Impulsantworten 4.5 Leistungsbertragung in unbegrenzte, ebene Strukturen 4.5.1 Verfahren zur Berechnung der Krperschalleistung 4.5.1.1 Fernfeldmethode . . . . . . . . . 4.5.1.2 Fouriertransformation 4.5.2 Zusammenhang mit der Punktadmittanz 4.5.2.1 Anwendung auf Platten und dgl. 4.5.2.2 Anwendung auf den elastischen Halbraum 4.5.3 Deutung der Ergebnisse und Beispiele 4.6 Zusammenfassung von Impedanz- und Admittanzformeln;

273 274 279 285 285 286 288 290 292

294 300 303 304 304 304 306 307 307 309 309

Nherungsbeziehungen . . . . 313 4.7 Anregung von endlichen Systemen 316 4.7.1 Allgemeine Eigenschaften 316 4.7.2 Anwendungsbeispiele 320 4.7.3 Leistungsbetrachtungen 324

Inhalt XI

4.8 Spezielle Probleme 332 4.8.1 Stoanregung 332 4.8.1.1 Nherungslsung 332 4.8.1.2 Exakte Berechnungsmethode 336 4.8.2 Krperschallanregung durch eine pltzliche Entlastung 342 4.8.3 Rauhe Oberflchen als Krperschallquellen 344 4.8.4 Parameteranregung 347 4.8.5 Elastische Lagerung 351 4.9

5

5.1 5.1.1 5.1.2 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3

5.3 5.3.1 5.3.2 5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.3

Literatur

Dmmung von Krperschall

Material- und Querschnitt-Wechsel Dmmung von Longitudinalwellen Dmmung von Biegewellen Rechtwinklige Ecken und Verzweigungen Biegewellenanregung einer Ecke Longitudinalwellenanregung einer Ecke Rechtwinklige Verzweigungen mit Biege- und Longitudinalwellenanregung . . . . . . Krperschalldmmung durch elastische Zwischenlagen Longitudinalwellendmmung durch elastische Zwischenlagen Biegewellendmmung durch elastische Zwischenlag~n Krperschalldmmung durch Sperrmassen . . . . Longitudinalwellendmmung durch Sperrmassen Biegewellendmmung durch symmetrische Sperrmassen Exzentrische Sperrmasse (Kopplung von Longitudinal- und Biegewellen)

353

357

357 358 360 364 364 368

369 374 374 377 381 381 382

386 5.5 Kettenleiter 389 5.5.1 Masse-Feder-Ketten 389 5.5.2 Kettenleiter fr Longitudinalwellen 393 5.5.3 Biegekettenleiter . . . . . . . 398 5.6 Anwendung des Hamiltonschen Prinzips auf

Krperschallbertragungsprobleme 404 5.6.1 Vorgehensweise . . . . . . . . . . . . 404 5.6.2 Einfaches Anwendungsbeispiel . . . . . 406 5.6.3 Biegewellen und Longitudinalwellen bei einer unsymmetrischen

Sperrmasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 5.7 Probleme des schrgen Einfalls . . . . . . . . . . . . . 414 5.7.1 Allgemeine Betrachtungen zur Bewertung des schrgen Einfalls 414 5.7.2 Allgemeine Folgerungen aus den Randbedingungen 417 5.7.2.1 Wellenzahlen bzw. Winkel 417 5.7.2.2 Amplituden 419 5.7.3 Beispiele 421

XII Inhalt

5. 7.3.1 Biegewellenbertragung ber Ecken und Verzweigungen 421 5.7.3.2 Anregung von "in-plane Wellen" an Ecken etc. 424 5.7.3.3 bertragung ber Versteifungen (Spanten, Rippen und dgl.) 427 5.7.4 Anmerkungen zur Verwendung des Hamiltonschen Prinzips 431 5.8 Dmmung zwischen parallelen Platten . . . . . . . . . 432 5.8.1 Kontinuierliche Kopplung durch eine elastische Zwischenschicht

(Schwimmender Estrich) 432 5.8.2 Punktfrmige Schallbrcken . . . . 438 5.9 Statistische Energieanalyse (SEA) 441 5.9.1 Analogien zur statistischen Raumakustik 441 5.9.2 Energieflu in gekoppelten Oszillatoren 445 5.9.3 Schtzung von Kopplungsverlustfaktoren 448 5.9.3.1 Eindimensionale Anordnungen 448 5.9.3.2 Mehrdimensionale Anordnungen 452 5.9.4 Anwendungsbeispiele 454 5.10

6

6.1 6.2 6.3 6.4 6.4.1 6.4.2 6.4.3 6.4.4 6.4.5 6.5 6.5.1 6.5.2

Literatur

Abstrahlung von Krperschall

Messung der abgestrahlten Leistung Definition und Messung des Abstrahlgrades Der Strahlungsverlustfaktor . . . . . Elementarstrahler . . . . . . . . . . . Ungerichteter Kugelstrahler (Monopol) Dipolstrahler, Abstrahlung von Wechselkrften Die unendliche Platte Zylinderstrahler . . . . . . . . . . . Impulsschallquellen . . . . . . . . . . Der ebene Strahler in der schallharten Wand Der ebene Strahler als Summe von Punktquellen Der ebene Strahler als Summe von ebenen Wellen (Wellenzahlspektren) . . . . . . . . . .

456

459

459 463 466 468 468 470 473 477 481 484 485

491 6.6 Abstrahlung von Biegewellen . . . . . . . 495 6.6.1 Abstrahlung von einer halbunendlichen Platte 495 6.6.2 Die Grenzfrequenz . . . . . . . . . . . 497 6.6.3 Abstrahlung von Eigenformen . . . . . . 501 6.6.4 Abstrahlung von Biegewellen bei gegebener uerer Anregung 504 6.6.4.1 Grundgleichungen 504 6.6.4.2 Beispiele . . . . 506 6.6.5 Vergleich mit Messungen 509 6.6.6 Weitere Anmerkungen zur Abstrahlung von Krperschall 513 6.6.6.1 Zylinderstrahler mit vorgegebener uerer Anregung 513 6.6.6.2 Ebene Platten mit Versteifungen etc. . . . . . . . . 515

Inhalt XIII

6.6.6.3 Abstrahlung von beliebig geformten Krpern mit vorgegebener Schnelleverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517

6. 7 Anregung von Platten und dgl. durch Schallwellen (Luftschalldmmung) . . . . . . . 520

6.7.1 Dmmung von Einfachwnden (Platten) 520 6.7.2 Doppelwnde mit Schallbrcken 523 6.8 Zusammenhang zwischen Abstrahlung und Anregung 526 6.8.1 Das Reziprozittsprinzip . . . . . . . . . . . . 526 6.8.2 Anregung und Abstrahlung in einem Hallraum 528 6.8.3 Riebtcharakteristiken von Anregung und Abstrahlung 530 6.8.4 Schalldmmung oberhalb der Grenzfrequenz 532 6.8.5 Schalldmmung in der Nhe der Grenzfrequenz 535 6.9

6.9.1 6.9.2 6.9.3 6.10

Anwendung der statistischen Energieanalyse SEA auf Schalldmmprobleme Nebenwegbertragung . . . . . . . . . . . Doppelwnde . . . . . . . . . . . . . . . Mehrfachwnde mit vielen starren Verbindungen Literatur

Sachverzeichnis

536 536 539 542 544

547

Benutzte Formelzeichen

A

B

B' c D D' D" E

E( ... ) Ex, Ez EKin EPot F Fo Fx,Fy,Fz Fw F' G H

H~2l( ... ) I

I' I fx,Iy.Iz In(.) K

L

Lw Lp

HUfsgre (Amplitude), Admittanz (1.17), (4.1) Schallabsorptionsflche [m2 ] Biegesteife eines Balkens (2.75) [N m2 ] in Kap.1 magnetische Induktion Biegesteife einer Platte (2.184d) [N m] in Kap.1 Kapazitt eines Kondensators Modul (longitudinale Steife) (2.2) [N/m2 ] Realteil des komplexen Moduls Q. Imaginrteil des komplexen Moduls Q. Elastizittsmodul [N/m2 ] Energie [Ws] in i

XVI Benutzte Formelzeichen

Lv M N

s T

u

Uw V w

Zoo ZRad

a

all, a12, etc. b

Schnellepegel (1.32), (6.11), Bezugswert 5 w-s m!s Moment [Nm] ganze Zahl in Kap.4 Anzahl von Moden Leistung [W] mechanische Verlustleistung [W] Leistung pro Lngeneinheit [W/m] in Kap.1 elektrische Ladung Querkraft bei Biegung (2.184e) in Kap.1 elektrischer (ohmscher) Widerstand, in Kap.5 und 6 Schalldmma (5.14) (6.80) Radius, Abstand Flche [m2] Periodendauer, Nachhallzeit (Tab. 3.2) [s] Torsionssteife (2.56a) (Nm2) elektrische Spannung [V], Strmungsgeschwindigkeit [m/s] Fahrgeschwindigkeit [m/s]

Wandlerspannung Volumen [m3 ] Arbeit in Kap.4 und 5 Momentenimpedanz (4.76) Impedanz (1.9) (4.1) [Ns/m] in Kap.1 elektrische Impedanz [Ohm] Kennimpedanz fr Longitudinalwellen (2.14) [Ns/m3] Wellenimpedanz (Trennimpedanz, Transmissionsimpedanz) (4.2) Impedanz der entsprechenden unendlichen Struktur Strahlungswiderstand (6.59)

Radius eines Zylinders oder einer Kugel, Beschleunigung [m/s2] Hilfsgren Breite [m] Bandbreite einer Resonanzkurve (Tab. 3.2) Wellengeschwindigkeit (Phasengeschwindigkeit [m/s] Wellengeschwindigkeit im umgebenden Medium, meist Luft Biegewellengeschwindigkeit (2.85) 2.196b) Gruppengeschwindigkeit (2.88a) Longitudinalwellengeschwindigkeit desgl. in einer Platte (2.34)

e

f fn /g g

h

iw j k

k' k" kx, k1 , kz ko kB kr k, kR kr l

m' m"

n

p q r

Benutzte Formelzeichen XVII

desgl. in einem Stab (2.32) Rayleighwellengeschwindigkeit (2.149a) Schubwellengeschwindigkeit (2.47) Kopplungsgre bei SEA (5.182b) Dicke [m] Basis der natrlichen Logarithmen (2.71828 ... ) Frequenz [Hz] n-te Resonanzfrequenz Grenzfrequenz der Koinzidenz (6.53a) Erdbeschleunigung 9.81 m/s2 in Kap.3 Schubparameter (3.87a) in Kap.5 Ausbreitungsma fr Kettenleiter (5.94) Plattendicke [m] Geometrieparameter (3.87) elektrischer Strom [A] Wandlerstrom imaginre Einheit ganze Zahl Wellenzahl [1/m] Realteil der komplexen Wellenzahl k Imaginrteil der komplexen Wellenzahl k Wellenzahl in x, y, z -Richtung Wellenzahl im umgebenden Medium, meist Luft Wellenzahl fr Biegewellen (2.83) (2.196a) Wellenzahl fr Longitudinalwellen (2.18) Wellenzahl in radialer Richtung (6.39b) Wellenzahl fr Rayleighwellen Wellenzahl fr Schubwellen Lnge (normalerweise mit Index zum Unterschied von der Zahl1 )[m] Leiterlnge mittlere freie Weglnge (5.150a,b) Masse [kg] ganze Zahl Masse pro Lngeneinheit [kg/m] Masse pro Flcheneinheit [kglm2] in Kap.2 Brechzahl (2.138c) ganze Zahl Druck, Kraft pro Fcheneinheit, Schalldruck [N/m2 ] Volumenflu [m3/s] Reibungswiderstand (1.19) Radius [m] in Kap. 5 Reflexionsfaktor Reflexionsfaktoren fr Longitudinal -und Transversalwellen

XVIII

s

s"

s ...

s

t

L1 LlN e @' A

Il( ... ) cP

y


Reflexionsfaktoren an Stabenden (3.26) Reflexionsfaktor fr Nahfeld (5.18) Federsteife [N/m] Federsteife pro Flcheneinheit [N/m3] = a{} Bogenlnge auf dem Umfang Vektor der Verschiebung (2.116) Zeit [s] in Kap.5 Transmissionsfaktor (5.18) Transmissionsfaktor fr Nahfeld (5.18) in Kap.2 allgemeine Feldgre Schnelle (Teilchengeschwindigkeit) [m/s] Schnelle in x, y, z -Richtung Wandlersdlnelle Winkelehnelle (Winkelgeschwindigkeit) [1/s]

Laplacescher Operator, Kennzeichnung einer Differenz Anzahl der Moden in einem Frequenzband Trgheitsmoment (2.59) [kgm2] Massentrgheitsmoment pro Lnge [kgm] logaritmisches Dekrement (3.57a) (Tab.3.2) in Kap. 4 Norm von Eigenfunktionen (4.104a) Ausbreitungsfunktion fr Biegewellen (4.43) in Kap.2 skalares Potential in Kap. I magnetischer Flu in Kap.2 Vektorpotential

Hilfsgre in Kap.1 Wandlerkonstante in Kap.5 Absorptionsgrad (5.139b) in Kap.6 Abstrahlparameter (6.83a) Biegewinkel in Kap.5 Hilfsgre (5.32) in Kap.6 Anregeparameter (6.83h) Schubwinkel Phasensprung bei der Reflexion Wandlerkonstante (1.81b) Variationssymbol Abklingkonstante (1.25) relative Volumennderung in Kap.3 und 6 akustische Grenzschichtdicke (3.129a),(6.29)

o( ... ) E

TJ

V

p

PLL PLT. PTT Po u

Txy. Tyz, Tzx cp cp( ... ) X

"' (l)

Dirac'sche Deltafunktion Dehnung [m/m] in Kap.5 Hilfsgre (5.66) Dehnung in x, y, z -Richtung

Benutzte Formelzeichen XIX

Bewegung (Ausschlag) in z-Richtung [m], in Kap.6 Strahlungswirkungsgrad (6.13) Bewegung (Ausschlag) in y-Richtung, Verlustfaktor (3.8a) (3.22) (Tab.3.2) Kopplungsverlustfaktor (5.187a) Einfallswinkel in Kap.5 Hilfsgre (5.75) in Kap.S Hilfsgre (5.21) Wellenlnge [m] Biegewellenlnge Longitudinalwellenlnge Wellenlnge bei der Grenzfrequenz in Abschnitt 5.6 Lagrangescher Multiplikator Querkontraktionszahl (Poisson'sche Zahl) (2.21) in Kap.S Hilfsgre (5.75) ganze Zahl normierte Frequenz, z.B. v = waj cu bei Zylindern kinematische Viskositt in Kap.5 Hilfsgre (5.66) Bewegung (Ausschlag) in X-Richtung 3.14159265 Dichte [kglm3] in Kap. 5 Reflexionsgrad (5.10) Reflexionsgrade fr verschiedene Wellentypen Dichte im umgebenden Medium Spannung in Normalenrichtung [N/m2], in Kap.6 Abstrahlgrad (6.9a) in Kap.Sb Dickenverhltnis (5.12) Normalspannung in x, y, z -Richtung Schubspannung [N/m2], in Kap. 3 Relaxationszeit {3.5) in Kap.S und 6 Transmissionsgrad (5.8) (6.80) Schobspannungen in den drei Richtungen Phasenwinkel Eigenfunktion Drehwinkel Hilfsgre z.B. (5.22), Winkel Kreisfrequenz Resonanzkreisfrequenz

XX

~

V p IZI v* Re{ ... } Im{ ... } x,y,z r, cp, z R,--,cp


mittleres Schnellequadrat; komplexer Elastrizittsmodul; Matrix von A; Scheitelwert von g; Fouriertransformation von v; Zeitableitung von g; zweite Zeitableitung von g; Ortsableitung von g zweite Ortsableitung von g Vektor v; Effektivwert von p; Absolutbetrag von Z; konjug. komplexer Wert von v; Realteil Imaginrteil kartesische Koordinaten Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten

Das Zeichen- wird manchmal auch zur Kennzeichnung eines Wechselanteils benutzt, wenn er vom Gleichanteil (Mittelwert) unterschieden werden soll. Wenn keine Verwechslungen zu befrchten sind, knnen die ber- und Unterstreichungen, etc. auch weggelassen sein.

1 Definition, Messung und mebare Erzeugung von Krperschall

1.1 Definition

Eine sehr groe Zahl der Schallereignisse, die unser Ohr erreichen - sei es der Klang einer Geige, das Quietschen einer Bremse oder eine lautstarke Unterhal-tung in der nachbarlichen Wohnung - werden durch schwingende Festkrper erzeugt oder fortgeleitet Man bezeichnet das Gebiet der Physik, das sich mit der Erzeugung, bertragung und Abstrahlung von- meist sehr kleinen- zeit-lich wechselnden Bewegungen und Krften in festen Krpern beschftigt, als "Krperschall"1.Dabei drckt die Bezeichnung "Schall" bereits aus, da das Hauptaugenmerk bei den hrbaren Frequenzen - also etwa im Bereich 16 Hz bis 16000 Hz - liegt. Diese Frequenzen sind jedoch durchaus nicht als starre Grenzen anzusehen; so ist es beispielsweise ohne weiteres mglich, da die Me-methoden, mit denen die Krperschalleigenschaften von Materialien im hrba-ren Bereich bestimmt werden, auch im Ultraschallgebiet angewandt werden. Es knnen andererseits auch Verfahren, die fr tiefe Frequenzen (z.B. in der Seis-mologie oder in der mechanischen Schwingungslehre) entwickelt wurden, auch fr Krperschallprobleme benutzt werden.

Trotz der Beschrnkung aufhrbare Frequenzen handelt es sich beim Krper-schall um ein sehr umfangreiches und abwechlungsreiches Gebiet. Das gilt so-wohl fr die auftretenden Phnomene als auch fr die Anwendung. Hinsicht-lich der Phnomene ist die grere Vielfalt der Erscheinungen dadurch bedingt, da man es mit vielen verschiedenen Medien zu tun hat. Hinzu kommt, da in Festkrpern zwei Wellentypen und ihre verschiedenen Kombinationen auftreten, whrend in Gasen oder Flssigkeiten nur Kompressionswellen interessieren.

Hinsichtlich der prakischen Anwendung liegt ein wichtiges Interesse bei der Lrmbekrnpfung, also bei der Vermeidung oder Verringerung von Krper-schall im Bauwesen, im Maschinenbau und im Fahrzeugbau. Daneben inte-ressieren Krperschallprobleme auch bei der Materialuntersuchung - speziell bei Hochpolymeren -, bei der Maschinenberwachung und bei der detaillier-ten Untersuchung der Vorgnge an vielen Musikinstrumenten. Ferner ist eine Beschftigung mit Krperschallfragen auch notwendig im Zusammenhang mit

1 Der Ausdruck "Krperschall" wurde bereits 1932 vom Ausschu fr Einheiten und Formelgren eingefhrt. Eine Verwechslung mit dem Schall, der von Organen des menschlichen Krpers ausgeht, ist im heutigen Sprachgebrauch nicht mehr zu befrchten.

2 1 Definition, Messung und mebare Erzeugung von Krperschall

der Wasserschallabstrahlung von Schiffen und schlielich bei der Behandlung ei-ner gewissen Klasse von Materialermdungserscheinungen, wie sie insbesondere bei Flugkrpern auftreten. Diese Erscheinungen, bei denen zwar die einzelnen Schwingungsvorgnge, wenn man sie kurzzeitig betrachtet, noch fast linear sind, bei denen jedoch ber lngere Zeit gesehen wegen der enorm groen Lastwech-selzahlen nicht umkehrbare Effekte auftreten, werden zwar noch mit den Me-thoden des Krperschalls betrachtet, stellen aber bereits den bergang zu dem weiten und uerst komplizierten Gebiet der nichtlinearen Schwingungen dar.

Auch bei Beschrnkung auf lineare Vorgnge ist der Amplitudenbereich des Krperschalls sehr gro. Hinsichtlich der Bewegung reicht er von weni-ger als w-ll m bei leisen, hochfrequenten Geruschen bis ZU einigen w-3 m bei lauten, tieffrequenten Tnen. Der Bereich der Krperschallschnelle ( = Schwinggeschwindigkeit) erstreckt sich von etwa w-7 m/s bis fast 1 m/s; bei den sehr hufig gemessenen Beschleunigungen kann man Werte zwischen w-3 m/s2 und 104 m/s2 erwarten. In diesem Buch werden fast nur lineare Vorgnge be-handelt; d.h. solche, bei denen eine Vernderung der anregenden Wechselkraft um einen bestimmten Faktor eine Vernderung der Bewegung um denselben Faktor bewirkt. Bei den meisten Krperschallanwendungen ist diese Linearitt vorhanden, falls man in Kauf nimmt, da die Materialparameter eventuell von der statischen Belastung abhngen. Damit ist auch die Gltigkeit des sog. Super-positionsprinzips gewhrleistet. Ausnahmen liegen vor, wenn - die Materialparameter von den Schwingungsamplituden abhngen, wie das

beispielsweise bei hochbelasteten Gummifederkrpern unter Maschinen der Fall sei kann;

- die Bewegungsamplituden von hnlicher Gre sind wie die kleinsten Abmessungen eines Krpers; (das ist z.B. mglich, wenn die Amplitude einer Plattenschwingung vergleichbar mit der Plattendicke ist oder wenn - wie beim Hertzsehen Kontakt - die Gre einer Kontaktflche amplitu-denabhngig ist.

Neben den erwhnten Grenzen des uns hier interessierenden Frequenz- und Am-plitudenbereichs zeigt die Praxis, da oft auch eine Einschrnkung hinsichtlich der Dimension vorgenommen werden kann. Die wichtigsten Bauelemente las-sen sich nmlich als eindimensionale Stbe oder zweidimensionale Platten bzw. Schalen betrachten. Das gilt sowohl fr die Pfeiler und Mauern im Bauwesen als auch fr die Trger und Bleche, aus denen Fahrzeuge und Maschinen gebaut werden. In all diesen Fllen ist zumindest eine Dimension klein gegen die in-teressierenden Wellenlngen, so da man, wie in den folgenden Kapiteln gezeigt wird, weitreichende Annherungen und Vereinfachungen machen kann.

1.2 Mechanische Memethoden und Betrachtungsweisen 3

1.2 Mechanische Memethoden und Betrachtungsweisen

1.2.1 Messung der Bewegung (Zeigerschreibweise)

Genau wie beim Luftschall stehen auch beim Krperschall kinematische und dynamische Feldgren zur Verfgung. Ein wesentlicher Unterschied besteht je-doch darin, da beim Luftschall in den allermeisten Fllen eine dynamische Feldgre, der Schalldruck, gemessen wird und nur selten eine kinematische Gre, etwa die Schallschnelle. Beim Krperschall ist es genau umgekehrt. Die Mehrzahl aller "Krperschall- Aufnehmer" nimmt kinematische Gren wie Aus-schlag, Schnelle oder Beschleunigung auf. Dynamische Gren wie Spannungen und Krfte werden - wenn berhaupt - aus den Ableitungen von kinemati-schen Gren und Materialparametern ermittelt. Der Grund liegt zum Teil darin, da der Druck ein Skalar und damit eine "einfache" Gre ist, whrend beim Krperschall die Vektoren Ausschlag, Schnelle, Beschleunigungtrotz ihrer Rich-tungsabhngigkeit einfacher zu messen sind als die nur in Tensoren zusam-menfabaren Spannungen.

Ein anderer, wesentlicher Unterschied zwischen Luft- und Krperschall be-steht darin, da man leicht und ohne allzu groe Mefehler im Ionern eines Volumens den Luftschall messen kann. Beim Krperschall kann man dagegen fast nur auen messen; denn es bedeutet einen starken, das Krperschallfeld we-sentlich beeinflussenden Eingriff, wenn man einen Aufnehmer - etwa mit Hilfe einer kleinen Bohrung - im Ionern plazieren will.

Das vom Standpunkt der Anschauung einfachste mechanische Krperschall-meverfahren ist die unmittelbare Beobachtung des Ausschlags, d.h. der relativen Verschiebung gegenber einem ruhenden Objekt, das eine Skala trgt (s. Skizze in Bild 1.1). Da die Ausschlge sehr klein sind, benutzt man dazu vorzugsweise Mikroskope, wie sie auch bei der Luftschalleichung eingesetzt werden. Dieses Anwendungsbeispiel zeigt bereits, da die unmittelbare Ausschlagsbeobachtung auf Laboruntersuchungen beschrnkt ist. Erschwerend kommt hinzu, da ein im Vergleich zu den sehr kleinen Krperschallamplituden "ruhender" Krper nur sehr schwer zu realisieren ist.

Die optische Ausschlagsbersetzung, die hier durch das Mikroskop vorge-nommen wird, kann noch primitiver durch die Ablenkung eines Lichtstrahls mit Hilfe eines Spiegels der Lnge ls vorgenommen werden. Dabei wird eine Kante mit dem Ausschlag g bewegt, whrend die andere drehbar an einem "ru-henden" Krper befestigt ist (Bild 1.2). Der Spiegel dreht sich somit um gjl5

~ruhender r ~ '' Bezugskrper

&f /ZWJ////7/h Meobjekt Bild 1.1. Schematische Skizze zur unmittelbaren Beobachtung des Ausschlages eines Meobjektes


a b

Bild 1.2. Beobachtung des Ausschlages mittels geschwenktem Spiegel auf Hebel (a) Ersatz durch "Masse-Hebel" (b)

Ein auf ihn fallender Lichtstrahl wird um den doppelten Winkel abgelenkt und erzeugt auf einem Schirm in der Entfernung L einen Ausschlag

(1.1) Da es leicht mglich ist, 2Lfls = 500 zu machen, kann ein Ausschlagvon 0,01 mm so vergrert werden, da er nicht nur gemessen, sondern sogar in seinem Zeitverlauf registriert werden kann.

Diese Schwenkspiegel-Methode unterscheidet sich von der unmittelbaren Be-trachtung nach Bild 1.1 dadurch, da die Masse m des Spiegels eine Belastung fr das Meobjekt darstellt. Die dabei wirkende Kraft ist

1 ( g 15 ) m .. F =I; m22 = 4'- (1.2)

Dabei ist g die zweite Zeitableitung der Bewegung, also die Beschleunigung. ndert sich der Ausschlag zeitlich sinusfrmig

g = g cos(wt + q;~), (1.3) so gilt das gleiche fr die rckwirkende Kraft:

F = F(wt + q;p), (1.4) wobei sich

w2m F = - 4-g und q;p = q;~ +'Tl' (1.5)

ergibt. Dieselben Beziehungen gelten auch, wenn der zu messende Anschlag durch

ein Hebelsystem vergrert wird, wie etwa beim sog. Ritzschreiber bzw. Aska-niaschreiber nach Bild 1.3.

Da jeder Zeitverlauf sich aus solchen sinusformigen Vorgngen zusammen-setzen lt und wir im folgenden nur mit linearen Beziehungen zwischen den Feldgren zu tun haben werden, bei denen diese Teilvorgnge getrennt betrach-tet und zum Schlu berlagert werden knnen, bedeutet das Zurckgreifen auf sinusfrmige Vorgnge oder,- wie man in der Akustik sagt- auf "reine Tne", keine Beschrnkung, sondern vielmehr eine groe Vereinfachung der Darstel-lung.

1.2 Mechanische Mernethoden und Betrachtungsweisen 5

Drehachse

Papier

Meobjekt

Bild 1.3. Prinzip des "Ritz-Schreibers". Bei starrer Drehachse ist ~2 = 0

Man kann auch von der Darstellung sinusfrmiger Vorgnge durch die Pro-jektion rotierender Zeiger auf die reelle Achse Gebrauch machen. Mathematisch heit das, wir ersetzen die Anstze (1.3) und (1.4) durch:

(1.6)

g und F kennzeichnen die Lnge der Zeiger, q;~ und q;p ihre Lage fr den Zeit-punkt t = 0, w die Winkelgeschwindigkeit der Rotation, der Vorsatz Re{ . . . } die Projektion auf die reelle Achse. Hinsichtlich der Bezeichnung von .J=l mit j schlieen wir uns dem Gebrauch der Elektrotechnik an. Es sei an dieser Stelle auch vermerkt, da in diesem Buch konsequent mit einer Zeitabhngigkeit der Form exp(jwt) und nicht - wie sehr hufig in der angloschsischen Literatur -mit exp( -iwt) gerechnet wird.

Da das Projizieren und Rotieren den Zeigern aller mit gleicher Frequenz schwingenden Feldgren gemeinsam ist, ist die Lnge und Lage des Zeigers im Zeitpunkt t = 0 allein bereits zur Kennzeichnung der betreffenden Schwingung ausreichend, und es ist zweckmig, fr diese komplexe Gre eine die Ampli-tude und den Nullphasenwinkel des Zeigers zusammenfassende Kennzeichnung einzufhren. Wir wollen dafr die auf internationaler Basis vorgeschlagene Un-terstreichung einer Gre zur Kennzeichnung ihres komplexen Charakters ver-wenden, also statt (1.6) schreiben:

(1.6a)

Die Beibehaltung der Kennzeichnung des Scheitelwertes durch das "Dach" hat den Vorteil, da sie den eine Feldgre kennzeichnenden "Zeiger" sofort von den anderen komplexen Gren unterscheidet. Im brigen gilt fr alle solche Kenn-zeichnungen, da man sie auch weglassen kann, wenn von vornherein feststeht, welche Art von Gre gemeint ist.

Ein weiterer groer Vorteil des Rechnens mit - und Denkens in - Zeigern be-steht darin, da jede Differentiation nach der Zeit zu einer Multiplikation mit jw und jede zweimalige Differentiation also zu einer Multiplikation mit -w2 wird.


Als Zeigergleichung geschrieben nimmt (1.2) die Form an: w2m

E.= --4-f (1.7) Da die rckwirkende Kraft des Megerts bei gegebenem Ausschlag mit dem Quadrat der Frequenz wchst, wird man schlieen knnen, da der Kippspiegel oder der Schreiber nach Bild 1.3 nur fr tiefe Frequenzen geeignet ist. Das gilt aber auch deshalb, weil - wie beim Luftschall- nicht das Quadrat des Ausschlags, sondern das Quadrat der Schnelle (Teilchengeschwindigkeit) unabhngig von der Frequenz der Energie proportional ist.

Fhrt man nun in (1.7) den Zeiger der Schnelle ~=jw_

ein, so ergibt sich

F = J.wmv. - 4-

(1.8)

(1.7a)

Man nennt den Quotienten des Zeigers einer Kraft E. durch den Zeiger der Schnelle ~. den diese an einem Angriffspunkt in der Kraftrichtung erzeugt, die "mechanische Impedanz" und bezeichnet diese mit dem Buchstaben z_.

Man kann nun die Frage, inwieweit man mit der Rckwirkung eines Krperschall-Aufnehmers auf das Objekt der Messung zu rechnen hat, am be-sten am Vergleich der Impedanz des Aufnehmers Z.. a zur Impedanz des Objekts z_ 0 am Mepunkt erkennen, die daher auch Punktimpedanz heit und sich dar-aus ergibt, inwieweit die rckwirkende Kraft dem Meobjekt eine Schnelle E./Z..o aufzwingt, die somit die usprnglich zu messende Schnelle ~ 0 ndert:

~ = ~o- E./Z..o = ~o-


ausbt, kann nicht negativ werden:

F = m(g + t) > 0. (1.11) Man kann diese Beschleunigungsschwelle sogar zur absoluten Eichung von Schwingtischen, d.h. von vertikal mit vernderlicher Frequenz hin-und herbe-wegten Platten verwenden. Man braucht dazu nur einen kleinen Probekrper - z.B. eine kleine Metallkugel - aufzulegen und dafr zu sorgen, da er nicht klebt (z.B. wegen einer Schmutzschicht). Im allgemeinen macht sich die ber-schreitung der Erdbeschleunigung durch das Gerusch des Wiederaufprallens oder durch ein Wandern auf der Oberflche bemerkbar. Fr genauere Messun-gen kann man Schwingtisch und Probekrper in einen Stromkreis einschalten, dessen Unterbrechung auf verschiedene Weise angezeigt werden kann.

Man kann das Ablsekriterium auch auf andere Schwellenwerte einstellen, wenn man die der Schwerkraft unterliegende Masse zustzlich mit einer vorge-spannten Feder mit der Steife s an das Meobjekt drckt, s. Bild 1.4a. In diesem Falle braucht man sogar die Schwerkraft gar nicht; denn sie wirkt nicht anders als die Kraft der Federvorspannung Fo, d.h. das Ablseprinzip ist auch auf ho-rizontale Bewegungen anwendbar. Man hat in diesen Fllen aber zu beachten, da die resultierende, auf das Objekt wirkende Kraft, die wieder nicht negativ werden kann, auch vom Ausschlag abhngt:

(1.12) Beschrnkt man sich wieder auf reine Tne und fhrt noch die Eigenkreisfreqenz des Masse-Feder-Systems mit

wo=/f (1.13) ein, so ergibt sich der Scheitelwert des Ausschlags, bei dem Abheben stattfindet (F = 0), ZU

~ Fofm + g d 2~ Fo/m + g (1.14) " = 2 2 o er a = -w" =- 21 __ 7 w -w0 1-w0 w-(a =Zeiger der Beschleunigung)

Damit der unter Vorspannung angedrckte Schwinger als Beschleunigungsanzei-ger wirkt, ist offenbar notwendig, da die Erregerfrequenz wesentlich grer als

ruhender Bezugskrper

a b

Bild 1.4. Durch Feder angedrckte Masse als Beschleunigungsbegrenzer. a Konstruktive Anordnung, b mechanisches Schaltschema mit "Masse-Hebel"


die Eigenfrequenz des Schwingers ist, oder umgekehrt ausgedrckt, da dieser tiefer abgestimmt ist als die Erregerfrequenz. Die Masse darf also nicht zu klein, die Federung nicht zu steif sein.

Trotz dieser Einschrnkung wurde das Verfahren mit Erfolg von Bragg [1.1] zur Messung von Membranschwingungen benutzt.

Bei Annherung an die bereinstimmung beider Frequenzen an die "Reso-nanz" wchst der Maximalausschlag ber jede Grenze. Das hat brigens nicht etwa eine besonders hohe Rckwirkung zur Folge. Vielmehr kompensieren sich die zueinander gegenphasigen Wechselkrfte an Masse und Feder, die zur Bil-dung der auf das Megert wirkenden Wechselkraft F zu addieren sind:

. s E = JWmy_ + --:- y_ , JW

(1.15)

oder anders ausgdrckt, die Impedanz des - hier nur eine Beschleunigungs-schwelle anzeigenden - Megertes verschwindet bei der Resonanz.

Man knnte die in Bild 1.4a zu sehende Masse und Feder vor starrer Flche in Einklang mit der "Widerstandsanalogie" als "Hintereinanderschaltung" von Masse und Feder bezeichnen. Man darf aber dann mit diesem Ausdruck nicht konstruktive Vorstellungen verbinden, wie wir sie von elektrischen Schaltungen her gewohnt sind, und meinen, er ergbe sich daraus, da vom schwingenden Objekt her in Bild 1.4a Masse und Feder "hintereinander" angeordnet sind. Man braucht nur zu bedenken, da sich dieselbe Zusammensetzung der Kraft wie in (1.15) ergibt, wenn die Masse neben der Feder am schwingenden Objekt ange-bracht ist. Die untere und obere Seite der Masse in Bild 1.4a hat keineswegs die Bedeutung von "Eingang" und "Ausgang" eines elektrischen Zweipols, vielmehr greifen alle Krfte am gleichen "Pol" an; der Gegenpol ist der absolute Raum des Inertialsystems, gegen den die Beschleunigung zu messen ist. Man kann die to-pologischen Verhltnisse elektrischer Netzwerke auf mechanische Systeme recht anschaulich bertragen, wenn man die Masse durch einen Hebel ersetzt, auf dessen Mitte eine Masse punktfrmig konzentriert zu denken ist und der Mas-sehebel genannt sei [1.2], s. Bild 1.4b. Von den Betrachtungen am Kippspiegel und dessen Ersatz durch einen solchen Massehebel in Bild 1.2b wissen wir, da der Hebel in der Mitte die Masse 4m aufweisen mu, wenn sie am Gelenkpunkt als Trgheitswiderstand jwm wirken soll.

Dem topologischen Bild in 1.4b entspricht also viel besser die Aussage, da Feder und Masse "parallel" geschaltet sind, die auch dann dem elektrischen Analogon entsprechen wrde, wenn man die sich verzweigenden Krfte mit den sich teilenden Strmen vergleichen wrde.

In dieser Hinsicht weicht allerdings der "Kraftflu" im Massehebel von dem konstanten Strom in einem elektrischen Zweig ab. Die Querkraft ist vor und hinter der Masse wohl gleich gro, kehrt aber ihr Vorzeichen um. Das kann sich dann bemerkbar machen, wenn der andere Gelenkpunkt nicht an einem ru-hende Krper befestigt ist, sondern ebenfalls an einem bewegten, wenn also der Massehebel als Kopplungselement wirkt. Man kann aber diesen Vorzeichenwech-


sel wieder rckgngig machen, indem man den Massehebel in zwei topologisch hintereinander geschaltete Massehebel aufteilt.

Da ein konstruktives "Hintereinander" nichts ber die Topologie der ana-logen Schaltung aussagt, zeigt ferner, da sich eine ganz andere Impedanz des Aufnehmers ergibt, wenn, wie in Bild l.Sa vom Objekt her erst die Feder und dann die Masse kommt. Dann darf sie freilich nicht an einen ruhenden Krper angrenzen, wenn sie berhaupt schwingen soll. Hier tritt keine Kraftverzweigung ein. Die am "Eingang" des Aufnehmers wirkende Kraft F "fliet" durch die Feder zur Masse; dagegen sind jetzt Massenausschlag gm und Federzusammendrckung g- g m verschieden; ihre Summe liefert die Verschiebung am Meobjekt g. Dieser "Schaltungs"-Unterschied kommt wieder besonders gut beim Ersatz der Masse durch einen Massehebel heraus, wie der Vergleich zwischen Bild l.Sb und 1.4b zeigt.

Aus der Summation der Beziehungen

~ = E/(jwm), jw V- V = -F - _m S- (1.16a)

folgt fr die Beziehung zwischen Schnelle und Kraft am Berhrungspunkt des Aufnehmers mit dem Objekt:

~= (jw + -} )E. s JWm

(1.16b)

Hier verschwindet im Falle der Resonanz (w = w0 ) das Reziproke der Impedanz, das Admittanz genannt und mit .!1 bezeichnet sei:

.!1 = ~ = (jw + -. 1_). z_ s JWm

(1.17)

Bei der Resonanz wird in diesem Fall die Impedanz unendlich. Dasselbe gilt fr die Schnelle Vm der Masse bei gegebener Schnelle v des

Objekts, deren Zusammenhang sich aus der Zusammenfassung von (1.16a) in der dynamischen Beziehung:

s ) . E = -;-(~- ~m = ]Wm~m JW

(1.18).

ergibt zu:

~m= -----=-1- (wfwo)2 (1.18a)

Bild 1.5. Einfacher Schwinger als Frequenz-Anzeiger. a Konstruktive Anordnung, b Schaltschema

10 I Definition, Messung und mebare Erzeugung von Krperschall

Dies zeigt zunchst, da man eine Vergrerung der zu beobachtenden, mit dem Auge unwahrnehmbar kleinen Bewegungen auer mittels Mikroskop oder Lichtstrahl auch durch Resonsanz herbeifhren kann.

1.2.3 Mechanische Krperschallaufnehmer als gedmpfte Einmassenschwinger

Im letzten Abschnitt wurde gezeigt, da ein Masse-Feder-System, wie es von ei-nem einfachen Krperschallaufnehmer gebildet wird, zu Resonanzerscheinungen fhren kann. Die mathematische Behandlung des Resonanzphnomens in {1.15-1.18) war jedoch noch unvollstndig, weil die unvermeidliche Dmpfung nicht bercksichtigt wurde. Im folgenden wird daher als einfachstes Dmpfungsele-ment (weiteres ber Dmpfungs. Kap. 3) ein Zhigkeitswiderstand betrachtet, bei dem durch Flssigkeits- oder Gasreibung (Viskositt) eine geschwindigkeit-sproportionale Kraft

Fr= -rv (1.19) erzeugt wird. Dabei ist r der sog. Reibungswiderstand.

Als Symbol fr den Reibungswiderstand hat sich ein in Bewegungsrichtung zeigender Strich, der von einem U umgeben ist, eingebrgert. Es soll an einen Kolben erinnern, der sich in einem mit einer zhen Flssigkeit gefllten Zylinder befindet, s. Bild 1.6. Wieder wirkt dieses Element vom Kraftflu her "parallel" zur Masse, wie das mit dem Massehebel arbeitende Schaltschema in Bild 1.6b erkennen lt. Der Ausdruck fr den Eingangswiderstand (Impedanz) ist daher

1 jwm + r z = . 1 = 2 {1.20) -

1: + jwm + r 1 - ( ;J + j:r Dieser Widerstand kann nicht unendlich werden. Im Resonanzfall nimmt er bei kleinem Reibungswiderstand gem der Ungleichung r w0m = ,JSiii den Wert

Z= sm - r

(1.21) an.

Dieser Maximalwert ist reell. Er ist umso hher, je grer Masse und Feder-steife sind und je kleiner der Reibungswiderstand r ist.

a b

Bild 1.6. Wie Bild l.S, aber mit linearem Reibungswiderstand. a Konstruktive Anordnung, b Schalt-schema


Fr das allgemein als "bertragungsfaktor" bezeichnete Verhltnis vmfv ge-winnen wir nun aus der um die Reibungskraft erweiterten dynamischen Bezie-hung (1.18)

_;_~- ~m)- T~m = jwm~m )W bzw. ~m 1

= 1- (wfwo)2 + jwrjs" (1.22) ~ Fr w = w0 erhalten wir

(1.22a)

Es wre also prinzipiell mglich, den zu Vm gehrigen Ausschlag gm unmittelbar oder auch ber ein Mikroskop zu beobachten und daraus auf den interessieren-den Ausschlag des Objekts zu schlieen. Wenn von dieser Mglichkeit praktisch kein Gebrauch gemacht wird, so nicht nur, weil die Dmpfung der Schwingung meist nicht nur von einem Reibungswiderstand herrhrt und selbst dieser schwer zu bestimmen ist, sondern vor illern weil der "Resonanzgipfel" sehr schmal ist.

Um diesen in allgemeiner Form zu beschreiben, wollen wir noch die Abkling-konstante in (1.22a) einfhren, die das Abklingen der freien Schwingungen des in Bild 1.6 gezeigten Systems bei festgehaltenem Objekt, also bei

(1.23) kennzeichnet. Durch Einsetzen von (1.23) in die Differentialgleichung des freien Systems

mt+rt+sg = 0

ergibt sich

= _!_ 2m'

wobei die Eigenkreisfrequenz sich von w0 auf

w=Jw~-2 erniedrigt. Gleichung (1.22) nimmt damit die Form

~m 1 ~ = 1 - (wfwo)2 + jw2jw~

(1.24)

(1.25)

(1.25a)

(1.26)

an. Der Verlauf dieses "bertragungsfaktors" ist unter Verwendung der in der Akustik blichen logarithmischen Skalen in Bild 1.7 fr einen "Dmpfungsgrad" von jw0 = 0,1 wiedergegeben. Er zeigt zwar keinen Pol mehr, aber einen ausgesprochenen Gipfel, der ein wenig unter der fr das ungedmpfte System geltenden Eigenkreisfrequenz w0 liegt, nmlich, wie das Verschwinden des Dif-ferentialquotienten des absoluten Nennerquadrats nach w2 zeigt, bei der etwas niedrigeren "Gipfelkreisfrequenz"

(1.27)


0,1 0,7

V __ /1-

-r-

r-'-ys '2 !Jw112 I wo . \ \\

\' ~ \

70

Bild 1.7. Frequenzgang des bertragungsmaeseines einfachen Schwingers nach Bild 1.5

Wenn der Dmpfungsgrad hinreichend klein ist, kann dieser Unterschied bei der Beschreibung der Gipfellage, Gipfelhhe und Gipfelform vernachligt werden. Es gilt also

und Wo Vm,max ~ 20 V.

Fhrt man die Kreisfrequenzabweichung

Llw = w - Wo

(1.28)

(1.29) in (1.26) ein, so erhlt man unter Vernachlssigung quadratischer Glieder dieser Gre

Ym 1 = ---:---:--:-::

Ym,max 1 + j..1wjo (1.30)

Man kann diese Abhngigkeit des Verhltnisses einer Feldgre zu ihrem bei Resonanz erreichten Maximalwert von der Frequenzabweichung geradezu zur Definition einer "Resonanzfunktion" machen. Sie kennzeichnet nicht nur den parabolischen Scheitelbereich

I ~~~ 1- ~ (..1w)2' Ym,max 2 (1.30a) sondern gilt auch noch unterhalb der Wendepunkte bei hinreichend klei-nem o, beschreibt also den fr alle Resonanzerscheinungen kennzeichnenden "glockenfrmigen" Verlauf der Amplituden, bzw. der Amplitudenquadrate oder deren Logarithmen ber der Frequenzabweichung. Bei Auftragung des Logarith-mus liegt der Wendepunkt dort, wo das Verhltnis der Amplitudenquadrate, also die Energien, auf den halben Wert herabgesunken sind. Die dazugehrige Kreis-frequenzabweichung sei daher mit dem Index 1/2 versehen. Sie ergibt sich aus (1.30a) zu

(1.31)


Das Doppelte dieses Abstandes, das als anschauliches Ma fr die Gipfelbreite anzusehen ist, wird als "Halbwertsbreite" bezeichnet. Sie wird meist nicht als Kreisfrequenznderung, also in rad s-1, sondern als Frequenznderung, also in Hz, angegeben:

211/J/2 = ~j7T. (1.31a) (Oft wird diese Gre auch einfach mit A.f bezeichnet.)

Sind die Amplituden aufgetragen, so kennzeichnet die Halbwertsbreite die Stel-len, wo diese das 0,707fache der Maximalwerte betragen. Sind die relativen Krperschallschnellepegel, also die Gren

Lv = lOlg (-v-) 2 [dB] Vmax

(1.32)

aufgetragen, so kennzeichnet die Halbwertsbreite den Abfall vom Resonanzgipfel um 3 dB.

Hohe Gipfelwerte erfordern kleine Reibungswiderstnde, d.h. kleine Abkling-konstanten, bzw. kleine Dmpfungsgrade. Bei ihnen mu man aber kleine Halb-wertsbreiten, also schmale Gipfel in Kauf nehmen. Die dadurch gegebene starke Frequenzabhngigkeit macht schwach gedmpfte Systeme im Resonanzbereich als Krperschallaufnehmer ungeeignet.

Die starke Frequenzabhngigkeit der Amplitude von schwach gedmpf-ten mechanischen Schwingern, die sie zur Amplitudenmessung wenig geeignet macht, ist ein Vorteil, wenn sie als einfache Frequenzanzeiger benutzt werden. Ein Beispiel ist der in Starkstromanlagen frher weit verbreitete "Zungenfre-quenzmesser", der aus einer Reihe von schwach gedmpften Systemen mit ver-schiedener - aber bekannter - Resonanzfrequenz besteht.

1.2.4 Rckwirkung des Megerts auf die Bewegung des Meobjekts

Jede Messung bedeutet bekanntlich einen - hoffentlich vernachligbar klei-nen - Eingriff in das Meobjekt. Da dieses allgemeine Gesetz natrlich auch fr Krperschallmessungen gilt und da die Rckwirkung nicht immer offensichtlich ist, wollen wir diese Frage in diesem Abschnitt an einfachen Beispielen disku-tieren.

Zuerst betrachten wir die in Bild 1.8 dargestellte Anordnung. Sie besteht aus einer dicken Platte oder dgl. mit der vorgegebenen Schnelle y. Darauf steht ber Federn mit der Gesamtsteife sg die Masse mM mit der Schnelle YM Diese Schnelle soll mit einem mechanischen Gert gemessen werden. Man kann diese Anordnung als Idealisierung einer Lagerung sehen, bei der ein empfindliches Gert der Masse mM vor den Fundamentschwingungen v geschtzt werden soll. Der Erfolg der Manahme soll mit Hilfe eines Aufnehmers der Masse m und der Steife s gemessen werden. Die Rechnungen knnen mit kleinen nderungen auch auf eine - stark idealisierte - Lagerung angewandt werden, bei der die


Bild 1.8. Anzeigesystem nach Bild 1.5, aufgesetzt auf einen einfachen Schwinger. a Konstruktive Anordnung, b Schaltschema

Masse mM durch eine Kraft E.o angeregt wird und die Krperschalleinleitung in das Fundament verringert werden soll.

Beschrnkt man sich auf reine Tne der Kreisfrequenz w, dann sind die auf die Federn wirkenden Krfte:

untere Feder

obere Feder s -:-Dabei sind g die Zeiger der Auslenkung und ~ die der Schnelle. Die Massenkrfte ergeben sich aus den Beschleunigungen jwvM bzw. jwvm zu

untere Masse

obere Masse

Das Gleichgewicht der Krfte erfordert

jwmM~M = EM jwmm~ m = E. m

Sg S . d.h. -;-{!- ~M)- -;-{!M- ~m) = )WmM~M )W }lrJ (1.34)

_;_(- w2mM + Sg + s)~M- S~m = Sg~ - s~M + ( -w2m + s)~m = 0. (1.35)

Wrde man das Problem der mit der Kraft E. 0 angeregten Maschine auf diese Art behandeln, dann wre~= 0 zu setzen und jwmM~M durch (jwmM~M- E.o) zu substituieren. Das fhrt dann dazu, da der "anregende Term" auf der rechten Seite jwE. 0 wird.

Aus (1.35) folgt unmittelbar

(1.36a)


(1.36b)

Dabei sind

w~ = sjm und wf = sg/mM die Bestimmungsgleichungen der Eigenkreisfrequenzen der einzelnen Masse-Feder-Systeme.

Gleichung (1.36a) zeigt, da durch das Vorhandensein der kleinen Masse m die Bewegung von mM stellenweise betrchtlich beeinflut wird. - Bei den Nullstellen des Nenners, also bei den oberhalb von Wm bzw. unterhalb

von wM liegenden Frequenzen (vorausgesetzt WM < wm)

(1.37)

treten Resonanzberhhungen auf, die bei Abwesenheit von m nicht vorhan-den wren;(l.37) ist brigens identisch mit der Formel fr die Resonanzfre-quenz einer doppelt elastischen Lagerung.

- Bei der Frequenz w = Wm wird ~M = 0; d.h. die Masse mM wird vollstndig abgebremst (Antiresonanz); falls- was bei sg/mM = sjm durchaus mglich ist -wm = WM wird, liegt an dieser Stelle sogar die grtmgliche nderung, nmlich der bergang von einer unendlich groen Schnelle (weil bei Abwe-senheit von m die Resonanz bei wM = wm lge) zu einer verschwindenden Schnelle vor.

Bei Bercksichtigung der Dmpfung treten diese Effekte nicht mehr so aus-geprgt auf, aber sie sind noch vorhanden. Um die entsprechende Rechnung fr das in Bild 1.8 skizzierte System durchfhren zu knnen, braucht man ledig-lich in (1.34) auf der rechten Seite zu den Trgheitstermen die Reibungskrfte

r~ m bzw. r~ M zu addieren. Es ist dabei angenommen, da die beiden "Dmp-fungstpfe" an einem ruhenden Bezugskrper befestigt sind. Das wrde in etwa der Wirklichkeit entsprechen, wenn es sich um Reibung am umgebenden Me-dium (z.B. Luft) handeln wrde. Fr den Fall, da die Dmpfung auf die inne-ren Verluste im Material der Federn zurckzufhren ist, wrde man in erster Nherung die "Dmpfungstpfe" parallel zu den Federn anordnen. In (1.34) be-deutet das, da sj jw durch rm + sj jw und sg/ jw durch rM + sg/ jw zu ersetzen wre.

Bild 1.9 zeigt den Frequenzgang von ~M/~ einmal ohne (gestrichelt) und ein-mal mit (ausgezogen) dem aus s und m bestehenden Mesystem. In dem Beispiel wurde gleiche Abstimmung angenommen, also sjm = sg/mM und rjm = rg/mM; auerdem wurde mit m = O,lmM gerechnet. Fr den Dmpfungsgrad wurde mit r j2sm = 0,1 gerechnet; der Verlustfaktor wre also TJ = 0,2. Man erkennt deut-lich die starke Rckwirkung in der Nhe der Resonanzfrequenz und die bei kleinem mfmM Verhltnis geringe Wirkung auerhalb der Resonanz.


h~ I~ lfdB v !V R-J 1-- \I

\ i\ \'~

\~~~ \

10

Bild 1.9. Frequenzgang des bertragunsgsmaes des Meobjektes. Gestrichelt ohne, ausgezogen mit aufgesetztem, gleich abgestimmtem Anzeige-System (wm = wM)

Man knnte alle mit den Resonanzerscheinungen verbundenen Nachteile ei-nes abgestimmten Aufnehmers mildern, indem man den Dmpfungsgrad so gro macht, da keine oder nur sehr schwache Resonanzberhhungen auftreten, oder gar ein ber groe Frequenzgebiete nur schwach sich ndernder bertra-gungsfaktor entsteht. Bei Tauchspulenmikrophonen fr Luftschall erreicht man dies, indem man die Membran mglichst breitbandig belastet. Bei Krperschal-laufnehmern bereitet das Schwierigkeiten, soda diese nur entweder sehr hoch oder sehr tief abgestimmt sind.

Das in Bild 1.8 skizzierte mechanische System hat brigens nicht nur fr die Krperschallmetechnik eine groe Bedeutung. Es beschreibt auch die Wir-kung der sog. "Schwingungstilger"; d.h. kleiner Masse-Feder-Systeme, die auf eine groe in Resonanz schwingende Masse mM aufgesetzt werden. Wie man sieht, kann man bei dem gewhlten Beispiel mit einem relativ kleinen "Tilger", bestehend aus s, r m m die Resonanzamplitude um 11 dB reduzieren. Als weiteres Beispiel zeigt Bild 1.10 die Idealisierung eines sehr gebruchlichen Krperschall-

Schwingspule mit Anregekrper m1

a

Auflagefeder s0

Klebesteile s1

b

Bild 1.10. Mechanische Eigenschaften eines elektrodynamischen Wandlers. 1 Prinzipieller Aufbau, b Idealisierung


wandlers (s. Abschn. 1.4.1). Er besteht aus der kleinen Schwingspule m~o die ber eine steife Feder s1 (z.B. eine Klebestelle) am Meobjekt befestigt ist. Die Schwingspule ist auerdem - zur Zentrierung - ber die weiche Feder s2 mit der groen Masse m2 des Topfmagneten verbunden, der seinerseits ber die weichen Federn s0 auf dem Meobjekt ruht.

Lt man vorlufig die elektrodynamische Rckwirkung auer acht, dann ergibt sich analog zu (1.34) aus dem Gleichgewicht der Krfte

soEs handelt sich hier wie bei (1.34) um zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Eine Auflsung nach v1 bzw. v2 bereitet keine Schwierigkeiten. Nach einigen Zwischenrechnungen findet man beispielsweise fr den Unterschied zwischen den Schnellen am Meobjekt und denen der Schwingspule

f - f 1 112 (.,} p, - p, - u2) ~ = 114 p,- 112(p, + 0"1 + u2) + 0"1 + 0"2- oi' (1.38a)

Vom Standpunkt der Rckwirkung ist es jedoch interessanter, die mechanisch Impedanz zu ermitteln, die das Mesystem hat, wenn es vom Meobjekt aus gesehen wird. Hierfr gilt

Za=f_=E1+E2 (1.39)

Dabei bedeutet F die gesamte wirkende Kraft, die sich aus den beiden Fe-derkrften

S1 So fl=-;-{f-fl) bzw. E2=-;-{!-f2) )W )W

zusammensetzt. Fhrt man die einfachen, aber etwas langwierigen Rechnungen durch, so ergibt sich

Za . -112 p,(l + 0"1 - O"z) + (1 + p,)(ul + 0"2 - o1) -- J (1.39a) wm2 - 114 p,- 112(p, + 0"1 + Uz) + 0"1 + O"z - u~

Es wurden hier dieselben Abkrzungen benutzt wie in (1.38a), nmlich m1 s1 Sz 2 w2 w2m2 f.L- - 0"1 = --; 0"2 = --; 11 = 2 = --.

- mz' so + Sz so + Sz w2 so + Sz Fr ein spezielles Beispiel ist IZafwmzl in Bild 1.11 aufgetragen. Es wurde dabei, um Unendlichkeitsstellen zu vermeiden, eine kleine Dmpfung bercksichtigt. Erwartungsgem ist unterhalb der Abstimmfrequenz des Magneten (d.h. 11 < 1) IZal = wm2. In einem breiten Zwischengebiet gilt IZal = wmzp, = wm~o um dann schlielich mit der Frequenz abzunehmen. Allerdings ist der letztgenannte Bereich fr die Metechnik wenig interessant, weil m1 "entkoppelt" ist, also wesentlich kleinere Amplituden macht als das Meobjekt.

Der idealisierte Aufbau eines anderen Krperschallwandlers, der groe, prak-tische Bedeutung hat, ist in Bild 1.12a skizziert. Es handelt sich um die me-


40------Maximum fUr Verlustfaktor 1 o-2

20---------------- Maximum fUr Verlustfaktor 1 o-1

_ _ _ - - - - - Massenimpedanz von m2

-40

- Massenimpedanz von m1

-60

0,1 10 100 1000 10000 v = ro/ro2 = ro"Jm2/s2

Bild 1.11. Frequenzgang des Impedanz eines Krperschallmegertes nach Bild 1.10. Nach GI. (l.38a) fr 1-' = mJ!m2 = 0, 003; Ut = 5J/(5o +52) = 10 000; u2 = 52/(5o +52) = 0, 95 gerechnet

mz,llz

V

a b

Bild 1.12. Krperschallwandler in Gehusen (m2 ="seismische Masse"). a Piezoelektrischer Wandler, b Geophon, c mechanisches Ersatzbild

chanische Schaltung eines piezoelektrischen Wandlers, bei dem die Feder s aus piezoelektrischem Material besteht. Da die erzeugten elektrischen Ladungen pro-portional der wirkenden Kraft

s E I = -;-~ - ~ 2) )W sind, mu man in diesem Fall die Schnelle der "seismischen" Masse m2 und des Gehuses m1 kennen.


Bei den sog. "Geophonen" (Bild 1.12b) ist m2 die Masse eines Magneten, in dessen Spalt sich eine Spule befindet. Die Spule ist starr mit dem Gehuse verbunden. Der Magnet "hngt" an den weichen Federn s. Da die induzierte Spannung proportional der Geschwindigkeitsdifferenz y- y 2 ist, mu auch hier diese Gre bestimmt werden.

Die Ausgangsgleichung fr die weitere Rechnung ist auch hier eine Kraftbi-lanz. Sie lautet

_;_(y- Y2) = jwm2Y2 JW

Damit kann man sofort y2fy und auch die Schnelledifferenz (im Magnetfeld) 1 (y- Y2) = Y 2/ 2 (1.40) 1 - w2 w

ermitteln. hnlich gilt fr die an der (piezoelektrischen) Feder wirkenden Kraft . 1 E. I = )Wrn2V __ 11 2 1 -ur w2 (1.40a)

Dabei ist w~ = sjm2. Wie man sieht, ist die vom Wandler gemessene Schnelledifferenz y - y 2

im Frequenzbereich w w2 gleich der Schnelle y des Meobjekts. Um eine schnelleproportionale elektrische Spannung zu erhalten, wird man also Geo-phone mglichst tief abstimmen, d.h. die Feder s sehr weich und - soweit es die Gesamtimpedanz erlaubt- die Masse m2 gro machen. Umgekehrt ist es bei der Kraft E. 1 Sie erweist sich im Bereich w w2 als proportional der Beschleu-nigung jwy des Meobjekts. Bei piezoelektrischen Aufnehmern wird man also eine hohe Abstimmung whlen, zumal fr w w2 die Kraft E. 1 und damit das Mesignal abnimmt.

Schlielich interessiert noch die Gesamtimpedanz der Anordnung. Sie errech-net sich aus der Massenimpedanz jwm2 und dem Kraft/Schnellekoeffizienten an der Feder s. Es gilt also

E. . E.1 . . 1 ( ) Za = - = jwm1 +- = ]Wm1 + ]Wrn2 __ , 1 2 1.41 y y 1- ur w2 Etwas umgeschrieben ergibt sich daraus die Impedanz eines sog. Tonpilzes

m2 w2m2 1+----z . m1 s

a = ]Wml . 2 w-mz 1---

s

(1.41a)

(1.41a) zeigt, da fr sjm2 = w~ eine Unendlichkeitsstelle (Antiresonanz) vor-liegt und bei der Tonpilzresonanz

W =S -+-2 ( 1 1 ) 12 ml mz

(1.41b)

eine Nullstelle (Resonanz).


Mit Hilfe der Impedanz Za des Meaufnehmers knnen Probleme der Rck-wirkung auch allgemein behandelt werden. Dazu betrachten wir die in Bild 1.13 skizzierte Situation, bei der das Meobjekt ohne Belastung durch das Megert an der Mestelle die Schnelle ~ 0 und die Impedanz Z 0 aufweist. Bei Verbin-dung mit dem Megert ndert sich die Schnelle von ~ 0 auf~ m weil die Kraft E = ~ mZa vom Megert auf das Meobjekt zurckwirkt. Es gilt also

E ~ 1 ~m = ~o- Zo = ~o- z/m oder ~m = ~o 1 + Za/Zo. (1.42) Wie man sieht, ist fr eine mglichst rckwirkungsfreie Messung die Bedingung lZal JZ0 J zu erf.llen. Krperschallmegerte sollen daher mglichst klein und leicht sein oder mglichst schwach an das Meobjekt angekoppelt wer-den. Auch Resonanzerscheinungen sollten vermieden werden, da sie u. U. bei einigen Frequenzen zu hohen, schwer vorhersehbaren Werten von Za fhren. Falls Rckwirkungen unvermeidlich sind, fhren sie meist zu Verringerungen der Schnelle. Fr lZal ~ IZol ist es aber - weil Za und Z0 verschiedene Vor-zeichen haben knnen - auch mglich, da die Rckwirkung die Schnelle des Meobjekts erhht.

Meobjekt

I

:~ I I 0,Megert der Impedanz Z3 ll!m

Bild 1.13. Beeinflussung der Bewegung eines Meobjektes durch die Impedanz des Megertes. Es wird nur eine Bewegungsrichtung bercksichtigt.

Man beachte, da normalerweise die in (1.42) auftretenden Gren kom-plex sind. (1.42) liefert also auch die durch die Rckwirkung verursachte Pha-sennderung (Phasenfehler). Soll der Phasenfehler klein gehalten werden (z.B. bei Intensittsmessungen), so ist die Bedingung IZal JZ0 J wesentlich strenger einzuhalten als bei alleiniger Betrachtung der Betragsfehler.

1.2.5 Das Problem des "ruhenden Bezugskrpers" bzw. des "starren Abschlues"

Bei den Krperschallmegerten nach Bild 1.1 und 1.2 sowie bei zahlreichen optischen und elektrischen Krperschallmeverfahren wird ein "ruhender Be-zugskrper" bentigt. Es handelt sich dabei um eine Idealisierung, die beson-ders bei Frequenzen ber einigen 100 Hz kaum zu realisieren ist, weil "ruhend" bedeutet, da, bezogen auf ein Inertialsystem, die Bewegungen des ruhenden Krpers wenigstens kleiner als 10-6 m, hufig sogar kleiner als 10-10 m sein mssen.


Ein hnliches, im Prinzip unlsbares Problem ist der "starre Abschlu", der bei einigen Krperschallmeverfahren (z.B. bei der Steifemessung nach Abschn. 3.4.1.1) erwnscht ist. Auch hier handelt es sich um eine Idealisierung, von der man umso weiter entfernt ist, je hher die Frequenz ist.

Einen Ausweg aus dieser Schwierigkeit bietet die Verwendung von Mege-rten, die nach dem "Tonpilzprinzip" aufgebaut sind (s. Abschn. 3.4.1.2 und Bild 1.12), oder auf eine andere Weise eine "seismische Masse" als Bezugsgre benutzen. Der Grundgedanke besteht offensichtlich darin, den kaum zu reali-sierenden starren Krper durch einen solchen zu ersetzen, dessen Bewegung exakt berechnet und damit auch bercksichtigt werden kann. Selbstverstndlich eignen sich hierfr nicht nur "seismische Massen", sondern auch andere Anord-nungen, falls man ihre Impedanz fr die interessierenden Bewegungsrichtungen berechnen kann.

In der Praxis kann es allerdings oft recht schwierig sein, eine derartige Im-pedanzberechnung durchzufhren. Ein relativ einfaches Beispiel eines Laborauf-baus, bei dem sogar nur eine Bewegungsrichtung bercksichtigt wird, zeigt Bild 1.14. Es besteht aus den sechs Massen m1 bis m6, deren Bewegungen sich aus den zu beiden Seiten angreifenden Krften und dem Newton'schen Trgheitsge-setz ergeben. Dabei tritt statt der zweimaligen Zeitableitung der Faktor -w2 auf, weil wir der Einfachheit halber mit Zeigern rechnen und den Faktor exp(jwt) weglassen. Die im Schwingungssystem herrschenden Krfte sind entweder von auen vorgegeben (z.B. F0) oder knnen aus der Zusammendrckung der ein-zelnen Federn der Steife s1 bis s6 ermittelt werden. Es entstehen so 12 lineare Beziehungen, die in Bild 1.14 angegeben sind. Es stellt keine Schwierigkeit dar, die Krfte zu eliminieren. Wir erhalten so folgende 6 lineare Gleichungen fr die

m1 = Bezugskrper; m2 = Labortisch; m3, m4 = Massen, die zu "inneren Resonanzen" des Bezugskrpers fhren; m5, m6 = Massen von aufliegenden Teilen, z.B. Megerte.

Bild 1.14. Idealisierung eines Meaufbaus, der aus mehreren Teilen besteht


unbekannten Bewegungen

au, -51, -53, -54, 0, 0, ~I Eo -5,, azz, 0, 0, -5s, -56, ~2 0 -53, 0, a33, 0, 0, 0, 6 0 (1.43) 0, 0, ~4 = -54, 0, 0, a44, 0 0, -5s, 0, 0, ass. 0, ~5 0 0, -56, 0, 0, 0, a66 ~6 0

Mit au = -w2mt +5t +53 +54; azz = -w2mz +51 +5z +5s +56; a33 = -w2m3 +53; a44 = -w2m4 +54; ass = -w2ms + 5s; a66 = -w2m6 +56. Es ist relativ leicht, aus (1.43) die Bewegungsamplituden ~ 1 bis ~ 6 auszurechnen und daraus die interessierende Impedanz - -

auszurechnen. Bild 1.15 zeigt fr einen bestimmten Parametersatz Ergebnisse.

60

40

f 20 ~ r-----

z.=jrom, 0

-10

0,01 0,02 0,04 0,1 0,2 0,4 2 4 10

v = ro/ro1 = ro../m1/s1

Bild 1.15. Frequenzgang der Impedanz der Anordnung nach Bild 1.14 Parameter: m2fm1 = 1; m3/m1 = 3; m4/m1 = 1, 8; ms/mi = 5; m6/m1 = 32; 52/5J = 0, 02; 53/5I = 0, 8; 54/51 = 1, 1; 5s/5J = 0, 4; 56/5I = 0, 76 Verlustfaktor: 71 = 0, 01 ausgezogene Kurve, 71 = 0, 1 gestrichelte Kurve


1.2.5.1 Die Lagrangeschen Gleichungen

Die in (1.43) benutzte Bilanzierung der Krfte lt sich natrlich auch aufkom-pliziertere Schwingungssysteme anwenden, aber es ist fraglich, ob das immer die geschickteste Vorgehensweise ist. Es soll daher auch noch ein anderes sehr wichtiges Verfahren zur Herleitung von Bewegungsgleichungen vorgestellt wer-den. Es handelt sich um die Anwendung der Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art [1.3]. Dabei kommt man ganz ohne den Begriff der Kraft aus und hat den zustzlichen Vorteil, da hauptschlich quadratische Terme auftreten, soda die Wahrscheinlichkeit, Vorzeichenfehler zu machen, etwas geringer ist. Im nch-sten Abschnitt werden wir dann sehen, da die Lagrangeschen Gleichungen eine Folge eines noch fundamentaleren Gesetzes der Mechanik, des Hamiltonschen Prinzips, sind.

Die Methode der Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art besteht aus zwei Schritten:

a) Berechnung der gesamten im Schwingungssystem enthaltenen kinetischen und potentiellen Energien;

b) Differentiation der Energien nach den Schnellen und Auslenkungen zur Be-stimmung der Bewegungsgleichungen.

Um das Verfahren zu verdeutlichen, wenden wir es auf das Schwingungssystem in Bild 1.14 an. Die kinetische Gesamtenergie ist in diesem Fall

(1.44)

Die potentielle Energie ist nur in den Federn enthalten. Man findet sie, indem man annimmt, da eine Feder in vielen kleinen Stufen jeweils um das Stck Lll zusammengedrckt wird. Die Zusammendrckung nach der k-ten Stufe sei lk = kLllk und am Ende des Vorgangs - also nach k = K Stufen - lk. Die in der k-ten Stufe wirkende Kraft ist nach dem Hooke'schen Gesetz Fk = slk und die Arbeit, die beim bergang von der Stufe k nach k + 1 geleistet werden mu, ist L1Ek = F kLlh. Addiert man die bei den einzelnen Stufen geleisteten Arbeiten, dann erhlt man fr die in der Feder gespeicherte, gesamte potentielle Energie

K K K

Epot = L L1Ek = s L lkLllk = s(Llld L k = k=O k=O k=O (1.45)

= s(LlldK(K + 1) ~ ~(KLlld = ~li. 2 2 2

Die in einer Feder gespeicherte, potentielle Energie ist also dem Quadrat der Zusammendrckung proportional.


Wenden wir diese Beziehung auf die Anordnung in Bild 1.14 an, so ergibt sich

Epot = ~ [s, (g, - qz)2 + Szq~ + s3(g, - q3)2 + s4(g, - q4)2 (1.45a) +ss(qz - qs)2 + s6(qz - q6)2 + so(qo - g,)2]

Man beachte, da das Ergebnis unabhngig davon ist, ob man g, - q2 oder q2 - g, etc. schreibt; man ist also zumindest hier in der Vorzeichenwahl frei. In (1.45a) wurde noch ein Term mit den in der Skizze von Bild 1.14 gestrichelt bzw. in Klammern angegebenen Steife s0 und der vorgegebenen Auslenkung g0 eingefhrt. Wir werden ihn zur Darstellung einer eventuellen ueren Kraft bentigen und damit die Einfhrung einer solchen Kraft umgehen.

Wie man in Bchern ber theoretische Physik nachlesen kann, besteht das Verfahren der Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art darin, den Ausdruck

d 8(Epot - Ekin) 8(Epot - Ekin) .. . -d - ag = 0 fr l = 1, 2, 3, 4,... (1.46)

t avi i zu bilden. Dabei sind Vi und gi die unbekannten Schnellen und Auslenkungen-also nicht die vorgegebene und damit bekannte Auslenkung q0 Man beachte, da in diesen Rechnungen Vi und gi zeitabhngige Gren und keine Zeiger sind.

Fr alle hier behandelten Beispiele und fr viele andere Schwingungspro-bleme ist es mglich, die Koordinaten so zu whlen, da die kinetische Energie nur von den Schnellen vi und die potentielle Energie nur von den Auslenkungen gi abhngen. Damit wird aus (1.46)

d aEkin 8Epot --- + -- = 0 fr i = 1, 2, 3, 4,... (1.46a) dt avi agi

Setzt man (1.44) und (1.45a) in (1.46) ein und fhrt die entsprechenden Diffe-rentiationen durch, so erhlt man sechs lineare Gleichungen. Sie sind mit (1.43) identisch, vorausgesetzt, da man die Steife der Hilfsfeder s0 so klein macht, da soq1 ---* 0 und q0 so gro whlt, da soqo = Po. Zudem ist zu bercksichtigen, da bzw. in Zeigerschreibweise

dvi d2qi b h dvi 2 dt = dt2 zw. in Zeigersc reibweise dt ---* -w _ i. ( 1.46b)

1.2.5.2 Bewegungen in mehreren Richtungen

Die groen Vorteile des Lagrangreschen Verfahrens kommen erst richtig zum Tragen, wenn man das Schwingungsverhalten komplizierter Systeme behan-delt. Beispielsweise werden die Schwingungen von Konstruktionen, die aus Tausenden von Teilen bestehen oder durch sehr viele Einzelelemente mo-delliert werden knnen, normalerweise mit der Methode der finiten Ele-mente (FEM) und damit in den meisten Fllen letztlich nach Gl.(I.46)


- oder einer Abwandlung davon - berechnet. Wir wollen hier jedoch nicht auf die Einzelheiten der FEM eingehen, weil die damit verbundenen Pro-bleme der Elementwahl, der Dateneingabe, der Handhabung groer Ma-trizen etc. den Rahmen dieses Buches sprengen wrde. Wir geben le-diglich noch ein Beispiel an, das zeigen soll. wie man bei Vorhanden-sein von verschiedenen Bewegungsrichtungen und von Drehbewegungen vor-geht.

In Bild 1.16 handelt es sich um ein Schwingungssystem, bei dem vertikale, horizontale und Drehbewegungen um eine zur Papierebene senkrechte Achse mglich sind. Es ist also bei der kinetischen Energie die Translation mit den Schwerpunktsschnellen Vsx bzw. Vsy und die Drehung mit der Winkelschnelle cp = dcpjdt zu bercksichtigen. Es gilt

( d{s d71s . dcp) V5x = dt; V5y = dt; cp = dt .(1.47)

Dabei ist m die Masse und 6 das Trgheitsmoment des jeweiligen Schwin-gers.

Fr die Berechnung der potentiellen Energie mssen wir etwas weiter aus-holen, weil die Bewegungsrichtungen miteinander verkoppelt sind. Nach (1.45) gilt fr eine Feder der Steifes, die den Punkt (x," Yv) mit dem Punkt (xp., Jp.) verbindet

(1.48)

' ' :+ - - - - Xs-XA- - - - ~

Koordinaten des Schwerpunktes x5, y 5

Koordinaten der Federbefestigungspunkte (xA, YA), (x8, y8), (xc, Ycl

Bild 1.16. Starre Masse auf Federn mit Anregung durch die Bewegung ~o. 7Jo bzw. die Krfte Fox Foy


Dabei ist lR die Federlnge in der Ruhelage und lB die bei Bewegung der Fe-derenden um (~", 17.,) bzw. (~JL' 17JL), s. Bild 1.17. Sie ist nach dem Satz von Pythagoras gegeben durch

{ 2 2}1/2 lB = [ (x., + ~.,)- (xJL + ~JL)] + [ (y., + 17.,)- (yJL + 11JL)] . (1.48a) Die Federlnge in Ruhelage ist

l { 2 2}1/2 B = (x., - xJL) + (y., - y.,) . Durch Einsetzen ergibt sich nach kleineren Umformungen

s 2 [{ x.,- XJL y.,- YJL Es = ].lR 1 + 2 li (~.,- ~JL) + 2 li (17., -17JL)+

+ (~.,- ~JL)2 + (17v -11JL)2 }1/2- 1]2 li li

Da lx"- xJLI :::: lR und 1~"- ~JLI lR und entsprechendes fr y und 11 gilt, sind die Terme mit li im Nenner viel kleiner als eins. Man kann also die Nherung

(1 + e) 1/ 2 ~ 1 + e/2 anwenden und erhlt

s 2 [X.,-XJL y.,-yJL ] 2 Es = ].lR li (~.,- ~JL) + ~~ (17., -17JL) + Rf + R71 (1.48b) Die mit Rf und R11 bezeichneten Reste sind von zweiter Ordnung in den Bewe-gungsgren. Sie stellen die sog. "geometrische Nichtlinearitt" dar. Sie treten auch bei vollkommen amplituden-unabhngigem Materialverhalten (konstante Federsteife s) auf. Sie knnen eine Rolle spielen, wenn 1~" - ~JLI 2: lx" - xJLI oder l77v -77JLI 2: ly"- YJLI' wenn also eine Auslenkung grer oder vergleichbar ist mit der kleinsten Dimension der Gesamtanordnung. Bei sehr schrg liegen-

Bild 1.17. Koordinaten einer Feder in Ruhe (Lnge IR) und nach einer Bewegung (Lnge IB)


den Federn und groen Auslenkungen kann die geometrische Nichtlinearitt durchaus eine Rolle spielen. Beispielsweise handelt es sich bei einer Plattenbe-wegung, wenn die Auslenkung von der Grenordnung der Plattendicke ist, letztlich um eine geometrische Nichtlinearitt [1.4). Auch die zuerst von H. Hertz beschriebene Amplitudenabhngigkeit der Kontaktsteife ist von diesem Typ [1.5].

In diesem Buch wollen wir uns jedoch auf lineare Schwingungen konzen-trieren; d.h. die nichtlinearen Terme R~ und R11 vernachligen. Damit wird die potentielle Energie einer Feder bei zweidimensionaler Beanspruchung

(1.48c)

Als nchstes mssen wir nun noch die Auslenkungen (, 'Tl an einem belie-big gewhlten Punkt des Schwingers durch die translatorische Bewegung des Schwerpunktes und die Drehbewegung ausdrcken. Dazu nehmen wir an, da -bezogen auf einen willkrlich gewhlten Koordinatenursprung - der Schwer-punkt die Ruhekoordinaten (xs, ys) habe. Seine Verschiebungen und damit die Translation jedes Punktes des Schwingers seien ((s, '1'/s), s. Bild 1.18. Den Dre-hanteil ((D. '1'/D) an der Verschiebung eines Punktes mit den Ruhekoordinaten (x, y) finden wir aus den Formeln fr die Koordinatentransformation bei Dre-hung. Falls 'P der Drehwinkel und der Schwerpunkt der Drehpunkt ist, gilt (s.a. Bild 1.18)

(D = (x- xs) cos({J- (y- ys) sin({J- (x- xs) '1'/D = (x- xs) sin({J + (y- ys) cos 'P- (y- Ys). (1.49)

Wegen der cos- und sin-Funktionen stellt (1.49) einen nichtlinearen Zusammen-hang zwischen Drehwinkel und Auslenkung dar. Fr die hier interessierenden kleinen Schwingungen kann man die Nherung cos 'P ~ 1 und sin 'P ~ cp machen und erhlt

(D = -(y- Ys)'P '1'/D = (x- xs)({J.

Es liegt also auch hier eine "geometrische Nichtlinearitt" vor, die allerdings erst bei hheren Amplituden zum Tragen kommt als die in (1.48a) enthaltene Nichtlinearitt.

Durch Addition der Translations- und der Drehanteile erhlt man schlielich die Gesamtverschiebung am Ort (x, y) des Krpers

( = (s + (D = (s- (y- Ys)'P 'Tl = '1'/s + '1'/D = '1'/s + (x- xs)({J. (1.50)

Setzt man die so ermittelten Verschiebungen in (1.48c) ein und addiert die Anteile der einzelnen Federn, so findet man fr die in Bild 1.16 skizzierte


'------X ----~

1. Ruhelage : I., -=1 ! I ~---------t ___ l ________ .

(0,0)

1 so

I I I I

2. Drehung um den : , __ f~ __ Schwerpunkt (x5, Ysl 1

I I I I I

@------(0,0)

x-xs+so = r cos (a+


Die einzelnen Schritte sind - Einsetzen von (1.50) in (1.51) fr den Fall x = XA, x = XB, y = YA y = YB

x=xc, y =yc; - Einsetzen des so erhaltenen Ausdrucks sowie von (1.47) in (1.46 und 46a); - Durchfhrung der Differentiation nach Vsx Vsy cp, gs, TJs, qJ; - bergang zur Zeigerschreibweise nach (1.46); - Annahme, da die Hilfsfedern Sox ---+ 0 und soy ---+ 0, aber gleichzeitig die

vorgegebenen Auslenkungen so gro sind, da Fox= gosox sowie Foy = TJoSoy die von auen wirkenden Krfte sind.

Das so erhaltene Gleichungssystem ist von der Form

A12 A13) (fs) ( Eox ) A22 A23 TJs = Eoy . A32 A33 P. Eox + Eoy

(1.52)

wobei A"JL etwas lngere Ausdrcke sind, die von der jeweiligen geometrischen Anordnung abhngen.

In Bild 1.19 sind fr ein spezielles Beispiel die Impedanzen fr einige Anre-georte aufgetragen. Man erkennt die starke Abhngigkeit vom Anregeort, weil

40-

30-

20

10. E

~ 0-_Ql 0 N

-10

-20

-30

0,1 0,2 0,4 2

1/ l( II

~ I

4

~l-

----II

10 20 40

Bild 1.19. Impedanz einer starren Masse auf Federn bei Anregung ber dem Schwerpunkt (Kurve I) und auerhalb des Schwerpunktes (Kurve II) Parameter: s2 = 0, ls1; s3 = s1; S4 = 0, 2s1; r9 = 0, 231;

@=mr~


im vorliegenden Fall eine Drehbewegung leicht anzuregen ist. Man erkennt auerdem die beiden "Nebenresonanzen", die neben der Hauptresonanz auf-treten. Sie sind besonders markant, wenn die Anregestelle weit vom Drehpunkt entfernt ist. Man beachte, da selbst dann Nebenresonanzen auftreten, wenn die uere Kraft im Schwerpunkt wirkt. Das ist darauf zurckzufhren, da die Federn nicht symmetrisch angeordnet und nicht gleich sind. Die Kopplung der Bewegungen in den verschiedenen translatorischen und rotatorisehen Freiheits-graden und das dadurch bedingte Auftreten von mehreren Resonanzen (maximal sechs) wird bei Messungen an starren Krpern manchmal bersehen und kann die Ursache von Mefehlern sein.

Das Verfahren der Lagrangeschen Gleichungen ist nicht nur ein sehr brauch-bares Hilsmittel zur Aufstellung von Bewegungsgleichungen, es eignet sich auch zur Herleitung wichtiger, allgemeiner Gesetze fr lineare Mehrmassenschwin-ger. Da diese Frage in Bchern ber mechanische Schwingungslehre ausfhrlich behandelt wird, soll es hier gengen, die wichtigsten Ergebnisse ohne Beweis wiederzugeben.

1.2.5.3 Reziprozitt bzw. wechselseitige Leistung

Da es sich bei den uns interessierenden Energieausdrcken immer um quadrati-sche Formen handelt, ergibt sich stets ein symmetrisches Gleichungssystem. Eine Konsequenz hiervon ist die Gltigkeit des Reziprozittsprinzips. Es stellt eine Beziehung zwischen den Feldgren her, wenn Anrege- und Beobachtungsort vertauscht werden. Es ist dabei Voraussetzung, da das Produkt aus anregen-der Gre (Kraft, Moment, Volumenflu etc.) und beobachteter Gre (Schnelle bzw. Auslenkung, Winkelschnelle, Schalldruck etc.) die Dimension einer Arbeit oder Leistung hat. Eine Verallgemeinerung des Reziprozittsprinzips ist der Satz von der wechselseitigen Energie [1.6]. Die entsprechenden Beziehungen sind in Bild 1.20 angegeben. Sie sind dabei auf Zeiger, also komplexe Amplituden ange-wandt.

Falls ein System auch reziproke Wandler enthlt (s. Abschn. 1.4), kann das wechselseitige Produkt aus Strom und Spannung in die Reziprozittsbeziehungen mit einbezogen werden. Der Beweis hierfr kann mit Hilfe des Hamiltonschen Prinzips erfolgen, wenn man es auch auf elektrische Energiespeicher anwendet, s. Gl.(1.79).

1.2 Mechanische Memethoden und Betrachtungsweisen

direkt

Es gilt H' = E' s bzw. EIE' = Mf (Kraftanregung)

M m' = M' m (Momentenanregung)

F'7 E,s, + Ezs'z + E3s'3 + M4!1!'4 = E' sss + E' 6S6 + E' 7S7 (wechselseitige Energie)

y

i .U' = E'Y (i = Strom, U = Spannung eines elektro-mechanischen Wandlers)

Bild 1.20. Reziprozitt und wechselseitige Energie

reziprok

E'


1.2.5.4 Entwicklungssatz

Mit Hilfe der Theorie der linearen Gleichungen kann man beweisen, da Mehr-massenschwinger eine Reihe von Resonanzfrequenzen aufweisen, die sich aus den Singularittsstellen der Koeffizientenmatrix ergeben (s. z.B. [1.7)). Zu jeder der Resonanzfrequenzen gehren eine oder mehrere charakteristische Amplitu-denverteilungen, die als Moden bezeichnet werden. Es lt sich zeigen, da jede Bewegungsverteilung sich als Summe von Moden darstellen lt. Im tieffrequen-ten Bereich gengen meist schon wenige Moden, um die Schwingungsverlufe in sehr guter Nherung zu beschreiben. Das hat den Vorteil, da man bei Kennt-nis der Moden (z.B. aus einer FEM-Rechnung oder aus einer experimentellen Modalanalyse) mit relativ geringem Aufwand alle tieffrequenten Bewegungen beschreiben kann [1.7, 1.8].

1.2.6 Energiebetrachtungen

In den letzten Abschnitten wurde die kinetische und die potentielle Energie dazu benutzt, Bewegungsgleichungen aufzustellen. In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, da Energiebeziehungen darberhinaus ein sehr geeignetes Mittel zur Behandlung von Schwingungsvorgngen sind.

1.2.6.1 Energieerhaltung, Energieflu

Aussagen ber die Energieflsse erhlt man, indem man die Bewegungsglei-chungen, die stets Kraftgleichgewichte darstellen, mit den Schnellen (Schwing-geschwindigkeiten) multipliziert und so zu den Leistungen (Kraft x Schnelle) bergeht. Am einfachsten sehen wir das beim gedmpften Einmassenschwinger nach (1.24). Fgen wir noch eine uere, treibende Kraft hinzu, so finden wir

(1.53) Nach Multiplikation mit ~ auf beiden Seiten erhalten wir eine Lelstungsbilanz, die folgendermaen umgeformt werden kann

.. '2 1 d '2 1 d 2 '2 mgg + rg + sgg = 2 d/mg ) + 2 dt (sg ) + rg = Fg

oder

:t ( ~m~2 + ~sgz) + r~2 = F~ bzw. :t (Ekin + Epot) + Pv = P. (1.53a) Dieser Ausdruck besagt, da die von auen bertragene Leistung P = F g = F. v entweder von der Dmpfung verbraucht wird (der Anteil Pv = rl2) oder dazu dient, die aus einem kinetischen und einem potentiellen Anteil bestehende Ge-samtenergie zu verndern. Im "eingeschwungenen" Zustand verschwinden defi-


nitionsgem die Anteile mit d I dt; d.h. die eingespeiste und die durch Dmp-fung verbrauchte Leistung sind gleich.

In (1.53 und 1.53a) haben wir mit den Zeitfunktionen (Momentanwerten) gerechnet. Wenn wir nun zu den Zeigern bergehen, mssen wir beachten, da Leistung und Energie aus Produkten von Feldgren bestehen. Das hat zur Folge, da die von additiven Verknpfungen unbeeinfluten Operationen Re{ ... } und der Faktor exp(jwt) nicht mehr ohne weiteres weggelassen werden knnen. Wir mssen also auf die Definitionsgleichung (1.6) zurckgehen und

P = Fg = Fv =Re {Eej"'1} Re {yej"'1} schreiben. Mit

E = IEiej'~' bzw. Y = lyleN wird daraus (IFI bedeutet der Absolutwert):

P = IEIIYIRe{ej(wt+


ein Minimum) annimmt. Es ist erstaunlich, da die ungeheure Vielfalt der phy-sikalischen Vorgnge durch ein so einfach zu formulierendes Prinzip darstellbar ist. Weiterhin ist erwhnenswert, da man - eventuell mit kleinen Kunstgriffen -bei Anwendung des Hamiltonschen Prinzips alle Vorgnge ohne den Begriff der Kraft (also "ohne Druck und Zwang") beschreiben kann. Einzelheiten ber die mit dem Begriff der Kraft verbundenen Problemes. z.B. [1.10].

Als Formel geschrieben, lautet das Hamiltonsche Prinzip

1 1t2 ) -- (Ekin - Epot dt =Minimum (Extremum). t2 - t1 t1

(1.55)

Da ein Minimum (oder Extrem um) einer stetigen und glatten Funktion dadurch charakterisiert ist, da sich in seiner Nhe der Funktionswert nicht (oder zu-mindest weniger als linear) ndert, ist die Aussage (1.55) gleichbedeutend damit, da die Variation der mittleren Energiedifferenz verschwindet; d.h.

1t2 8 ( Ekin- Epot) dt = 0. tl

(1.55a)

Der konstante Faktor t 1 - t2 wurde dabei gekrzt. Das Symbol 8 bedeutet die Variation. Wie sie in unseren Fllen durch Differenzieren gebildet werden kann, soll das nchste Beispiel zeigen.

Wir betrachten wieder einen Einmassenschwinger, der ber die Feder sH von einer vorgegebenen Auslenkung [0 angeregt wird, s. Bild 1.21. Offensichtlich mssen wir nun den Ausdruck

8 -m[ - -s[ - -so([o- [) dt = 0 { 1t2 [ 1 2 1 2 1 2] } . tl 2 2 2

(1.56)

bilden, s.a. (1.46). Zur Variation benutzen wir die Tatsache, da kleine nderun-gen (Variationen) einer beliebigen Funktion g(xJ. x2, o ) folgendermaen aus den nderungen der Argumente gewonnen werden knnen:

ag ag 8{g(x~> x2, 0 )} = -a 8x1 + -a 8x2 + 0 0 0 0 (1.56a) X1 X2

Dabei sind 8xh 8x2 die Variationen der Argumente. Angewandt auf (1.56) ergibt sich

(1.56b)

Bild 1.21. Einmassenschwinger mit Weganregung


Den ersten Term kann man durch partielle Integration noch in die geeignetere Form

(1.56c)

bringen. Der erste Term auf der rechten Seite von (1.56c) wird zu Null, wenn man beispielsweise die Integrationsgrenzen so whlt, da dort d~/dt verschwindet. Damit erhalten wir aus (1.56b)

1~[ ~f ] -m-2 - sf - sof + sofo dt = 0. tl dt

(1.56d)

Dieser Ausdruck mu fr alle denkbaren, auch zeitlich vernderlichen Variatio-nen l3f verschwinden. Das ist nur mglich, wenn die eckige Klammer identisch mit Null ist. Wir erhalten also

d2f m dt2 + sf + sof = sofo. (1.56e)

Das ist die gesuchte Bewegungsgleichung des in Bild 1.21 skizzierten Systems. Wenn mehrere Massen und Federn beteiligt sind, geht man im Prinzip ge-

nauso vor. Auf die entsprechende Rechnung wird hier verzichtet, weil sie iden-tisch ist mit der Ableitung der Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art; s. z.B. (1.46). In den spteren Abschnitten werden wir das Hamittonsehe Prinzip noch auf weitere interessantere Flle anwenden.

1.2.6.3 Der Rayleigh-Quotient

Bisher haben wir unter Benutzung von Energiesummen und -differenzen wichtige Beziehungen abgeleitet. In diesem Abschnitt werden wir uns mit einem Verfahren beschftigen, bei dem eine Energiegleichheit entscheidend ist [1.11, 1.12].

Voraussetzung fr die Anwendung des Rayleigh-Quotienten ist die Annahme, da bei allen Resonanzen (aber nicht auerhalb von Resonanzen) die Beziehung

Epot = Ekin (bei Resonanz bzw. freien Schwingungen) (1.57)

gilt, wobei die berstreichung die Mittelung ber eine oder mehrere Schwin-gungsperioden bedeutet.

Nehmen wir beispielsweise an, da ein Mehrmassenschwinger mit einer seiner Resonanzfrequenzen Wn schwingt, dann haben die Auslenkungen und Schnellen der v-ten Masse den Zeitverlauf

fv(t) = fvA cos(wnt + 'Pv); Vv(t) = -wfvA sin(wnt + 'Pv). (1.57a) Im Mittel ber eine oder mehrere Perioden wird

(1.57b)


Dami

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