KOMMUNIKATIONSSYSTEME

Eine Einführung

Jürgen H. Franz

Fachhochschule Düsseldorf, Fachbereich ElektrotechnikLabor für Nachrichtenübertragungstechnik und Optische Nachrichtentechnik

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Vorwort

Das vorliegende Skript umfasst den Inhalt der Vorlesung Kommunikationssysteme, vormalsÜbertragungssysteme 1 und Übertragungssysteme 2. Es erspart Ihnen das Mitschreiben in derVorlesung und eröffnet somit Raum für seminaristische Diskussionen und für eigene Arbeiten.Übungen finden nicht im Wochenrhythmus nach einem festgelegten Zeitplan statt, sondernimmer dann, wenn ein Themenschwerpunkt abgeschlossen ist. Zum Semesterende werden wirdarüber hinaus eine Klausur aus den vergangenen Semestern gemeinsam lösen. Das Bearbeitender Übungsaufgaben und Klausuren sowie ein gründliches Studium des Skripts bzw. derAuswahl besprochener Themen sind die besten Voraussetzungen für ein erfolgreiches Ab-schneiden. In diesem Sinne wünsche ich Ihnen viel Freude in der Welt der Kommunikations-systeme und einen ihren Wünschen entsprechenden Abschluss.

Jürgen H. Franz

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Inhalt

1 Einführung

1.1 Was sind Übertragungssysteme?1.2 Geschichtlicher Überblick1.3 Mensch und Übertragungstechnik1.4 Ziel der Vorlesung

Übung 1

2 Allgemeine Grundlagen

2.1 Signale2.2 Spektralanalyse2.2.1 Zeitsignal und Spektrum2.2.2 Fouriertransformation2.2.3 Bandbreite2.3 Der Diracimpuls2.4 Systemtheorie2.4.1 Einführung2.4.2 Systemfunktion2.4.3 Impuls- und Sprungantwort2.4.4 Phasen- und Gruppenlaufzeit2.5 Pegelrechnung2.5.1 Dämpfungs- und Verstärkungsfaktor2.5.2 Dämpfungs- und Verstärkungspegel2.5.3 Systemberechnung2.6 Rauschen2.6.1 Autokorrelationsfunktion und Rauschleistungsdichtespektrum2.6.2 Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion2.6.3 Filterung von Rauschen2.6.4 Tabelle: Gaußsches Fehlerintegral

Übung 2

3 Amplitudenmodulation

3.1 Zeitsignal, Spektrum und Bandbreite3.1.1 Übertragung ohne Träger3.1.2 Übertragung mit Träger3.2 Typische Zeitverläufe3.3 Einseitenband-Amplitudenmodulation3.4 Demodulation3.4.1 Synchrondemodulation

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3.4.2 Hüllkurvendemodulation3.5 Lineare und nichtlineare Verzerrungen

Übung 3

4 Winkelmodulation

4.1 Frequenz- und Phasenmodulation4.2 Zeitsignal, Spektrum und Bandbreite4.3 Varianten der Frequenzmodulation4.4 Demodulation4.4.1 Synchrondemodulation4.4.2 Frequenzdiskriminator4.5 Lineare und nichtlineare Verzerrungen

Übung 4

5 Pulsmodulation

5.1 Trägerpuls5.2 Pulsamplitudenmodulation5.2.1 Zeitsignal, Spektrum und Bandbreite5.2.2 Demodulation5.3 Abtasttheorem5.4 Pulsmodulationsarten5.5 Pulscodemodulation5.5.1 Quantisierung und Codierung5.5.2 Quantisierungsfehler und -geräusch5.5.3 Signalrauschverhältnis5.5.4 Bandbreite5.5.5 Lineare Verzerrungen5.5.6 Charakteristika der PCM-Technik5.6 Deltamodulation

Übung 5

6 Multiplextechnik

6.1 Einführung6.2 Frequenzmultiplex6.3 Funktionenmultiplex6.3.1 Orthogonale Funktionen6.3.2 Quadraturmodulation6.3.3 Codemultiplex6.3.4 Spread Spectrum Technik und Frequency Hopping6.4 Zeitmultiplex6.4.1 Modell und Funktion

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6.4.2 PCM-Zeitmultiplex6.4.3 Lineare Verzerrungen

Übung 6

7 Digitale Übertragungssysteme

7.1 Einleitung7.2 Impulsinterferenzen und Augenmuster7.3 Fehlerwahrscheinlichkeit7.4 Digitale Trägerfrequenzsysteme7.4.1 Systemanalyse7.4.2 Vergleich digitaler, binärer Trägerfrequenzsysteme7.5 Mehrstufige Übertragungssysteme7.5.1 Klassifizierung7.5.2 Symbolrate7.5.3 Bandbreite7.5.4 Mehrstufige versus binäre Kommunikationssysteme7.5.5 Symbol- und Bitfehlerwahrscheinlichkeit

Übung 7

8 Synchroner und asynchroner Übertragungsmodus

8.1 Synchroner Übertragungsmodus8.2 Asynchrone Übertragungsmodus8.3 Gegenüberstellung des synchronen und asynchronen Transportmodus

Übung 8

9 Optimierung

9.1 Informationstheorie (folgt)9.2 Signalangepasste Filter9.2.1 Herleitung der Systemfunktion und Impulsantwort9.2.2 Signalrauschverhältnis9.2.3 Vergleich von Filtern für AWGN-Kommunikationssysteme9.2.4 Korrelator9.2.5 Optimale Empfänger9.3 Codierung (folgt)9.3.1 Mathematische Grundlagen der Blockcodierung9.3.2 Baum-, Netz- und Zustanddiagramm bei der Faltungscodierung9.3.3 Quellencodierung - zwei Beispiele

Übung 9

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10 Ausblick - Klausurvorbereitung

A Anhang

A1 Tabelle Trans-Atlantic-Transmission (TAT)A2 Mathematische Grundlagen

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1 EINFÜHRUNG

1.1 WAS SIND ÜBERTRAGUNGSSYSTEME?

Übertragungssysteme sind technische Systeme, die eine Übertragung, Verteilung und Vermitt-lung von Nachrichten oder Informationen ermöglichen. Sie bilden die Grundlage der globalenKommunikationsinfrastruktur und somit anschaulich das Nervensystem der komplexen Welt-wirtschaft. Das einfachste Übertragungssystem ist die im folgenden Bild dargestellte Punkt-zu-Punkt Übertragung, mit einem Sender, Übertragungskanal und Empfänger.

Bild 1.1: Punkt-zu-Punkt Übertragung als einfaches Beispiel eines Übertragungssystems

Die zur Realisierung von Übertragungssystemen erforderliche Technik bezeichnen wir alsNachrichtenübertragungstechnik (kurz: Übertragungstechnik), Telekommunikationstechnikoder einfach Kommunikationstechnik. Das allgemeine technische Ziel der Übertragungstechnikist, eine möglichst große Informationsmenge über eine möglichst weite Strecke möglichstschnell und möglichst fehlerfrei zu übermitteln.

1.2 GESCHICHTLICHER ÜBERBLICK

• 800 v. Chr. Rauchzeichenübertragung• 200 v. Chr. Codierte optische Übertragung mit Fackeln (Polybios)• 1794 Optischer Telegraph nach Claude Chappe• 1838 Drahtgebundene Telegraphie (Morse)• 1861/1876 Telefon von Philipp Reis und von Graham Bell• 1887 Elektromagnetische Welle (Heinrich Herz)• 1895 Radio (Marconi)• 1939 Abtasttheorem (Herbert P. Raabe)• 1948 Informationstheorie nach Shannon• 1962 Erste Satellitenübertragung mit Telstar (1965: Early Bird = Intelsat 1)• 1975 Optische Übertragung mit Lichtwellenleitern

Literatur: Aschoff, Volker: Geschichte der Nachrichtentechnik Bd. 1 und 2. Springer, Berlin/Heidelberg 1984 und

1989. Zur optischen Kommunikationstechnik siehe auch Skript der gleichnamigen Vorlesung.

Eine vollständige Übersicht findet sich im Anhang.1

WDM = Wavelength Division Multiplexing (Wellenlängenmultiplex)2

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1.3 MENSCH UND ÜBERTRAGUNGSTECHNIK

Die Übertragungs- oder Kommunikationstechnik befindet sich seit den neunziger Jahren desletzten Jahrhunderts in einer stürmisch verlaufenden Entwicklung. Durch die starke und rascheAusbreitung des Internet, der Multimediakommunikation und vieler neuer Kommunikations-dienste verdoppelt sich derzeit der Bedarf an Übertragungskapazität etwa alle zweieinhalbJahre.

Beispiel: Trans-Atlantic Transmission (TAT)1

1956 TAT-1 (Koaxialkabel) 84 Sprachkanäle

1983 TAT-7 (Koaxialkabel) 4000 Sprachkanäle

1988 TAT-8 (Glasfaser) 40000 Sprachkanäle

1997 TAT-12/13 (Glasfaser) ca. 80000 Sprachkanäle (5 GBit/s)

2001 TAT-14 (16-WDM ) ca. 2500000 Sprachkanäle (16x10 GBit/s)2

2002 Apollo (80-WDM, 4 Fasern) ca. 50000000 Sprachkanäle (4x80x10 GBit/s=3,2 TBit/s)

Die rasante Entwicklung der Übertragungskapazitäten, insbesondere durch die Lichtwellenlei-tertechnik, führte dazu, dass das Leben des Menschen heute entscheidend durch die Kommuni-kationstechnik geprägt ist, so dass wir von der heutigen Zeit als Kommunikationszeitalter undvon der derzeit lebenden Gesellschaft als Informationsgesellschaft sprechen. Verbunden mit dergesellschaftlichen Relevanz der Kommunikationstechnik werden Ingenieure und Studierendeder Kommunikationstechnik zunehmend mit nicht-technischen Problemen und Begriffenkonfrontiert. Hierzu gehören u.a. Datenschutz, gerechte Gebührenerfassung, Akzeptanz-probleme, wirtschaftliche, soziale und kulturelle Begleiterscheinungen, Sozialverträglichkeit,Ethik in der Informationsgesellschaft, Technikfolgenabschätzung und -bewertung. Im Rahmender technisch orientierten Vorlesung Übertragungssysteme können diese Punkte trotz ihrerRelevanz nicht expliziert werden. Ihnen ist die Veranstaltung Philosophie und Technik desBachelorstudiengangs und Technikfolgenabschätzung und -bewertung des Masterstudiengangsgewidmet.

1.4 ZIEL DER VORLESUNG

Das Ziel der Vorlesung ist die Vermittlung grundlegender Verfahren und Methoden, die dasAnalysieren, Realisieren und Optimieren von Übertragungssystemen ermöglich.

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2 GRUNDLAGEN

2.1 SIGNALE

Zur Übertragung von Information wie Sprache, Musik, Graphiken, Bewegtbilder (Video), Texteoder Daten, muss diese zunächst in ein technisches Signal, z.B. eine Spannung, gewandeltwerden. Zur Anpassung dieser technischen Signale an den Übertragungskanal, z.B. ein Kupfer-kabel, eine Glasfaser oder der freie Raum, ist es weiterhin erforderlich, diese Signale zusätzlichzu codieren und durch Modulation in einen anderen Frequenzbereich zu überführen (Bild 2.1).

Bild 2.1: Übertragungssystem mit Modulator (MOD) und Demodulator (DEM)

Bedingt durch die große Vielfalt möglicher Modulations- und Demodulationsverfahren (sieheBlatt Modulationsarten), Codier- und Decodierverfahren, sind in einem Übertragungssystem dieunterschiedlichsten Signalarten messbar. Die drei folgenden Beispiele geben einen erstenÜberblick. Weitere Signale finden Sie auf den Blättern Signalverläufe I, II und III.

Beispiel 1: Typische technische Nachrichtensignale

Bild 2.2: Analoge Basisbandsignale Bild 2.3: Digitales Basisbandsignal

(a) Sinussignal, (b) z.B. Sprache hier: binär und bipolar

B- Bitfrequenz f = 1/T in Hz- Bitrate R = 1Bit/T in Bit/s

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Beispiel 2: Typische Trägersignale

Bild 2.4: Harmonischer Träger Bild 2.5: Pulsträger

(Sinusträger) g(t): Grundimpuls z.B. g(t)=*(t)

Amplituden- Winkelmodulation Pulsträger sind die Basis für alle Puls-

modulation modulationsverfahren wie PAM, PPM,

AM, ASK, FM, FSK (CPFSK, PFM, PCM und )M.

OOK MSK, GMSK), PM,

PSK, DPSK

Beispiel 3: Typische Sendesignale (siehe auch Blätter Sendesignale I, II und III)

Bild 2.6: AM-Signal mit analoger Nachricht Bild 2.7: FM-Signal mit digitaler Nachricht

(FSK-Signal)

Bild 2.8: PCM-Signal (a) NRZ (non return to zero), (b) RZ (return to zero)

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BLATT MODULATIONSARTEN

Bild 2.9: Modulationsarten

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BLATT SIGNALVERLÄUFE I

Bild 2.10: Zeitkontinuierliches Trägersignal und amplitudenkontinuierliches Nachrichtensignal

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BLATT SIGNALVERLÄUFE II

Bild 2.11: Zeitkontinuierliches Trägersignal und amplitudendiskretes Nachrichtensignal

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BLATT SIGNALVERLÄUFE III

Bild 2.12: Zeitdiskretes Trägersignal und amplitudenkontinuierliches Nachrichtensignal

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2.2 SPEKTRALANALYSE

Nachdem im vorigen Abschnitt typische Signale von Übertragungssystemen untersucht wurden,wendet sich dieser Abschnitt den entsprechenden Spektren zu.

2.2.1 ZEITSIGNAL UND SPEKTRUM

Zur Beurteilung ob ein Nachrichtensignal über einen Übertragungskanal übertragen werdenkann bzw. welche Fehler dabei zu erwarten sind, ist es notwendig, nicht nur den Zeitverlauf desSignals zu kennen, sondern auch sein Frequenzspektrum. Dieses ist mathematisch über dieFouriertransformation mit dem Zeitsignal verknüpft. Messtechnisch werden das Zeitsignal mitdem Oszilloskop und das Spektrum mit dem Spektrumanalysator erfasst.

Bild 2.13a: Zeitsignal (Oszilloskop) Bild 2.13b: Spektrum (Spektrumanalysator)

2.2.2 FOURIERTRANSFORMATION

Die Fouriertransformation ist ein Grundelement der Systemanalyse (siehe Abs. 2.4 System-theorie), also auch der Analyse von Übertragungssystemen.

Statt der in dieser Grafik skizzierten Pfeile wird üblicherweise die folgende Symbolik verwen-det, um die Verknüpfung zwischen Zeit- und Frequenzbereich anzuzeigen.

Mathematisch sind Zeit- und Frequenzbereich über die beiden bekannten Gleichungen

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und

verknüpft. Ist u(t) beispielsweise eine Spannung, dann folgt für das Spektrum U( f ) die EinheitV/Hz (spektrale Dichte).

Für den praktischen Umgang mit der Fouriertransformation stehen eine Reihe von Gesetzen undRegeln zur Verfügung. Zur Analyse und zur Konzipierung von Übertragungssystemen sindinsbesondere die folgenden beiden von Bedeutung.

(A) Das Reziprozitätsgesetz

Hieraus folgt:

Dies bedeutet:

- ein kurzer (schneller) Impuls besitzt ein breites Spektrum,- ein breiter (langsamer) Impuls besitzt ein schmales Spektrum.

Hieraus folgt das Zeitgesetz der Übertragungstechnik:

Je kürzer die Übertragungszeit (der Impuls oder das Bit) ist, umsogrößer ist die Bandbreite bzw. um so breiter ist das Spektrum!

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(B) Der Faltungssatz

Die Faltung von Signalen oder Spektren wird durch das Symbol * gekennzeichnet und durchdie folgenden beiden Gleichungen beschrieben:

In vielen Fällen kann die mathematische Faltung mit Faltungsintegral durch eine einfachegraphische Faltung ersetzt werden. Im Umfeld von Übertragungssystemen sind vor allem zweiFaltungsoperationen von besonderer Bedeutung: erstens die Faltung eines Signals oder Spek-trums mit einem Diracimpuls *(x) und zweitens die Faltung zweier gleich breiter Rechtecksig-nale.

Bild 2.14: Faltung zweier Rechtecke, z.B. eines Bits mit einer rechteckförmigen

Systemimpulsantwort

Die Faltung eines Signals mit einem Diracimpuls (siehe Abs. 2.3) wird beispielsweise bei derAbtastung von analogen Zeitsignalen zum Zwecke ihrer Digitalisierung benötigt (Kap. 5). DieFaltung eines Spektrums mit einem Diracimpuls findet man insbesondere bei den analogenModulationsverfahren (Kap. 3 und 4) und die Faltung zweier Rechtecksignale beispielsweisebei der Analyse digitaler Systeme, wobei die Systeme durch ihre Übertragungsfunktion H( f )und durch ihre Impulsantwort h( t ) beschrieben sind (Abs. 2.4).

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(C) Fouriertransformationstabelle

Neben den Gesetzen und Regeln der Fouriertransformation existieren umfangreiche Trans-formationstabellen, die den praktischen Gebrauch dieser Transformation wesentlich erleichtern.Die folgende Tabelle gibt einen kleinen Überblick. Sie enthält zehn Transformationen, die fürdie Analyse und Konzipierung von Übertragungssystemen besonders nützlich sind.

Lfd.Nr.

Zeitfunktion u(t) Spektrum U( f ) Anmerkung

1 1 *(f) Gleichsignal

2 *(t) 1 Impuls

3

0*(f-f )Komplexeharmonisch Schwingung

0 0 04 cos(2Bf t) 1/2@[*(f-f ) + *(f+f )] cos(x)=1/2@(e + e )jx -jx

0 0 05 sin(2Bf t) 1/(2j)@[*(f-f ) - *(f+f )] sin(x)=1/(2j)@(e - e )jx -jx

6 Gaußimpuls

7 Rechteckimpuls der Breite

g1/(2f )

8 Harte Bandbegrenzung(hard limited)

9

10

Tabelle 2.1: Zehn wichtige Fouriertransformationen

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Die nachfolgende Tabelle gibt abschließend nochmals einen kleinen Überblick über typischeSignale, ihre Spektren und die dazugehörige mathematische Grundlage.

Zeitsignal - Oszilloskop -

Spektrum- Spektrumanalysator -

Mathematische Grundlage

Harmonisches Signal

0 0z.B. sin(2Bf t) oder cos(2Bf t)eine bzw. zwei diskreteFrequenzen, nämlich

0 0f und -f

cos(x) =1/2 e + 1/2 e jx -jx

sin(x) = 1/(2j) e -1/(2j) e jx -jx

Periodisches Signal

0mit Periode T und

0 0Grundfrequenz f = 1/T

unendlich viele, aberdiskrete Frequenzen,

0nämlich ± n@f

Fourierreihe

Nicht-periodisches Signal kontinuierliches Frequenzspektrum

Fourierintegral

Tabelle 2.2: Signalarten und ihre Spektren

2.2.3 BANDBREITE

Die wichtigste Kenngröße des Spektrums eines Nachrichtensignals ist seine Bandbreite. ZurBestimmung der Bandbreite gibt es gemäß folgender Grafik zumindest zwei unterschiedlicheMöglichkeiten.

Bild 2.15: Ermittlung der Bandbreite

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(A) ÄQUIVALENTE RECHTECKBREITE

Entsprechend dem Reziprozitätsgesetz gilt )f@)t = 1. Für die mathematische und physikalischeBandbreite folgt somit:

(B) 3 dB BANDBREITE

Die 3 dB Bandbreite wird in der englischsprachigen Literatur häufig als full width at halfmaximum (FWHM) bezeichnet. Gemäß der Pegelrechnung (Abs. 2.5) bedeuten eine Verringe-rung um 3 dB eine Leistungshalbierung bzw. eine Verringerung der Spannung um den Faktor1/%2. Die 3 dB Bandbreite bzw. das FWHM ist somit wie folgt definiert:

(C) ÄQUIVALENTE RAUSCHBANDBREITE (siehe Abs. 2.6)

(D) BEISPIEL: BANDBREITE EINER GAUßFÖRMIGEN ÜBERTRAGUNGSFUNKTION

Ein Übertragungssystem mit gaußförmiger Übertragungscharakteristik folgt dem Frequenzgang

Für die Ermittlung der Bandbreite dieses Systems stehen gemäß obiger Überlegungen diefolgende Möglichkeiten zur Auswahl:

(1) Flächengleiches Rechteck

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(2) Halbwertsbreite (FWHM, 3-dB Breite)

(3) Rauschbandbreite

(E) ALLGEMEINE REGELN

In Übertragungssystemen sind grundsätzlich zwei Arten von Bandbreiten zu unterscheiden,

� erstens die Bandbreite der Signale und

� zweitens die Bandbreite der Übertragungssystems selbst bzw. seiner Komponenten,z.B. des Übertragungskanals (Kupferkabel, Glasfaser u.a.), der Verstärker, Filter usw.

Nur wenn die Bandbreite des zu übertragenden Signals kleiner oder gleich der Bandbreite desSystems ist, ist eine fehlerfreie Übertragung möglich. Dabei gilt:

Beispiel: Typische Bandbreiten von Nachrichtensignalen

Analoges Telefon 4 kHzDigitales Telefon (ISDN) 64 kBit/s �32 kHzAnaloges TV 7 MHzKabel-TV mit ca. 35 Kanälen ca. 300 MHz

Je breitbandiger (schneller) die Nachrichtensignale sind, umso größer sind dieAnforderungen an die Bandbreite (Übertragungskapazität) des Übertragungssystems.

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Beispiel: Bandbreite von Übertragungssystemen

System mit Kupferzweidrahtleitung 10 MHzSystem mit Koaxialkabel 500 MHzSystem mit Glasfaser > 10 GHz

1. Problem: Wachsender Bedarf an immer schnellerer Übertragung von immer größerenInformationsmengen bei begrenzter Bandbreite (und gleichzeitig kleiner Fehler-wahrscheinlichkeit)

Vgl.: 3 Liter/100km Auto mit 3 Bit/Hz Übertragungssystemen

Mögliche Lösungen:

- Trägerfrequenzverfahren in noch nahezu unerschlossenen Frequenz-bereichen, z.B. 60 GHz beim Satellitenfunk oder optische Frequenzenbei optischen Übertragungssystemen.

- Redundanzreduktion durch Quellenkodierung, z.B. MPEG, MP3 u.a.

- Neue Multiplextechniken, z.B. Wellenlängenmultiplex und optischesZeitmultiplex

- CCC (ihre Zukunft als Ingenieur)

2. Problem: Je größer die Bandbreite ist, umso stärker die Störung durch Rauschen (Abs.2.6)

2.3 DER DIRACIMPULS

Der Diracimpuls ist ein unendlich schmaler und unendlich hoher Impuls mit der Impulsflächeeins.

Bandbreite ist heute - ebenso wie die Energiequellen (z.B. Erdöl) - eine kostbare undnur begrenzt verfügbare Ressource!

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Darstellung:

Bild 2.16: Der Diracimpuls

Ausblendeigenschaft:

Fouriertransformation:

Bedeutung:

Die Diracfunktion oder der Diracimpuls hat viele Anwendungen im Rahmen von Übertragungs-systemen. Hierzu gehören u.a.:

- die mathematische Annäherung kurzer Impulse bei der Analyse von Übertragungs-systemen,

- die zeitdiskreten Modulationsverfahren (Kapitel 5) und

- die analogen Modulationsverfahren (Kapitel 3 und 4).

2.4 SYSTEMTHEORIE

Die Systemtheorie behandelt die Methoden zur Analyse von Systemen, z.B. von Übertragungs-systemen oder Teilen davon (z.B. des Übertragungskanals, der Filter u.a.).

2.4.1 EINFÜHRUNG

Die Systemtheorie geht von einer Black-Box-Betrachtung des Systems aus.

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Bild 2.17: Das System als Black-Box

1 2Hierbei sind u (t) und u (t) beliebige Signale und nicht notwendig Spannungen. Beide Signalekönnen damit als Platzhalter interpretiert werden.

Die Voraussetzung für die Anwendung der Systemtheorie sind lineare und zeitinvarianteSysteme, also die praktisch wichtigste Klasse von Systemen.

Linearität

�

�

Zeitinvarianz

� Die Systemeigenschaften ändern sich bei zeitinvarianten Systemen nicht mit derZeit.

Folgerung

� Am Ausgang des Systems entstehen gegenüber dem Systemeingang keine neuenFrequenzen.

�

2.4.2 SYSTEMFUNKTION

Jedes Übertragungssystem ist vollständig und eindeutig durch seine Systemfunktion

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bestimmt. Sind die Systemfunktion und das Eingangsspektrum bekannt, so kann das Spektrumdes Systemausgangsignals wie folgt ermittelt werden.

Als Synonyme für den Begriff der Systemfunktion findet man u.a. die Begriffe Übertragungs-funktion, Systemübertragungsfunktion und Frequenzgang (bestehend aus Amplituden- und

1 2Phasengang). Systemfunktion H( f ) und die Spektren U ( f ) und U ( f ) sind im Allgemeinenkomplexe Größen, also Größen mit Real- und Imaginärteil bzw. mit Betrag und Phase.

Zwei Beispiele (hier: Amplitudengang)

mBild 2.18a: Hifi-Audio-Verstärker Bild 2.18b: Bandpassfilter mit f =10,7 MHz (UKW-

Bandbreite ca. 20 kHz ZF) Bandbreite ca. 100 kHz

(A) Harmonisches Eingangsignal (Sinus- oder Cosinussignal)

1 1 0 1Das Eingangssignal ist in diesem Fall u (t) = A @cos(2B f t + n ) bzw.

1 1wobei u (t) = Re{u (t)}. Beim Sonderfall des harmonischen Signals ist es zur Berechnung des

2Ausgangssignals nicht erforderlich (aber möglich) in den Spektralbereich zu gehen und u (t)

2 2 1 1 0über U ( f ) und U ( f ) = H( f )@U ( f ) zu berechnen, wobei U ( f ) = *(f - f ) ist. Hier genügt diefolgende einfache Berechnung:

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Am Systemausgang haben sich folglich gegenüber dem Systemeingang sowohl die Amplitudeals auch die Phase verändert. Die Frequenz ist dagegen gleich geblieben.

1 0Beispiel: Gegeben sei das Eingangsignal u (t) = 2V cos(2B f t) und die Systemfunktion

0 0H( f ) an der Stelle f , nämlich H( f ) = 0,5 exp(-j B/2).

1 0 0 01. Schritt: u (t) = 2V exp(j2B f t) = 2V cos(2B f t) + j 2V sin(2B f t)

2 1 0 02. Schritt: u (t) = u (t)@ H( f ) = 1V exp(-j B/2) exp(j2B f t)

2 23. Schritt: u (t) = Re{ u (t)} wegen Linearität

0 = 1V cos(2B f t - B/2)

0 = 1V sin(2B f t)

(B) Periodisches Eingangsignal

Ist das Eingangssignal periodisch, so kann es in seine harmonischen Spektralanteile zerlegt unddamit als komplexe Fourierreihe dargestellt werden.

nHierbei sind A die komplexen Amplituden der harmonischen Teilschwingungen mit den

0 0Frequenzen n f und f die Grundfrequenz. Im Fall des periodischen Eingangsignals kann das

2 1 0Ausgangssignal nicht mehr über u (t) = u (t)@ H( f ) berechnet werden. Dies gilt nur noch für

n 0die einzelnen Teilschwingungen A exp(j2B n f t). Es folgt:

Die additive Überlagerung der einzelnen harmonischen Teilschwingungen

n 0 0A @H( nf ) exp(j2B n f t)

am Systemausgang ist wegen der Linearität des Systems erlaubt.

(C) Beliebiges Eingangssignal

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1Auch hier setzt sich das Signal u (t) aus Einzelschwingungen zusammen, nämlich aus

Als Antwort auf diese Einzelschwingung liefert das System an seinem Ausgang das Signal

Die Überlagerung (Integration) aller Einzelschwingungen am Systemausgang liefert schließlichdas Ausgangssignal

2Der allgemeine Weg zur Bestimmung des Systemausgangssignals u (t) bei einem beliebigen

1Signal u (t) am Systemeingang ist demnach wie folgt:

2Als Alternative steht für die Berechnung von u (t) die Faltungsoperation zur Verfügung(nächster Abschnitt).

2.4.3 IMPULS- UND SPRUNGANTWORT

Die Impulsantwort folgt unmittelbar aus der Übertragungsfunktion H( f ):

Bild 2.19: Die Impulsantwort eines Systems

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Ein lineares, zeitinvariantes System ist hinsichtlich seines Übertragungsverhaltens durch jeweilseine der beiden Funktionen, nämlich h( t ) und H( f ), eindeutig und vollständig beschrieben.

Bild 2.20: Zwei Wege der Berechnung des Systemausgangssignals

Die Sprungantwort F(t) des Systems ist die Antwort des Systems auf einen Einheitssprung ,(t)am Systemeingang.

Bild 2.21: Die Sprungantwort eines Systems

Die Sprungantwort berechnet sich zu

Dies bedeutet, die Impulsantwort des Systems ist gleich der zeitlichen Ableitung seinerSprungantwort.

2.4.4 PHASEN- UND GRUPPENLAUFZEIT

Die Phasenlaufzeit ist diejenige Zeit, die ein einzelner Spektralanteil, beispielsweise die

0harmonische Schwingung A@exp (j 2 B f t), benötigt, um das System mit der Übertragungs-funktion H( f ) zu durchlaufen.

Die Gruppenlaufzeit beschreibt dagegen die entsprechende Laufzeit eines Signalgemischs,also einer Frequenzgruppe.

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Beide Laufzeiten sind über den Phasengang b( f ) bzw. b(T) des Systems bestimmt, der wiefolgt mit der System- oder Übertragungsfunktion H( f ) verknüpft ist:

Hierbei sind:

a( f ) der Amplitudengang (Dämpfung), der die Amplitude des zu übertragenden Signalsbeeinflusst und

b( f ) der Phasengang, der die Phase und die Laufzeit des zu übertragenden Signalsbeeinflusst.

(A) Phasenlaufzeit

Die Phasenlaufzeit berechnet sich zu

Ein Signal wird nur dann phasenverzerrungsfrei übertragen, wenn alle Spektralanteile des

n 0Signals, beispielsweise A @exp (j 2 B n f t), die gleiche Laufzeit haben. Die Bedingung fürPhasenverzerrungsfreiheit lautet demnach

(B) Gruppenlaufzeit

Die Gruppenlaufzeit ist

Den Vergleich von Phasenlaufzeit und Gruppenlaufzeit verdeutlicht die folgende Grafik.

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Bild 2.22: Der Einfluss des Phasengangs eines Systems auf die Phasen- und Gruppenlaufzeit

Î - Die Phasenlaufzeit ist für alle Spektralanteile gleich

- Die Gruppenlaufzeit ist frequenzunabhängig

Ï - Die Phasenlaufzeit der einzelnen Frequenz- oder Spektralanteile ist unterschiedlich

- Die Gruppenlaufzeit ist frequenzabhängig. Dies bedeutet, dass unterschiedlicheFrequenzgruppen unterschiedliche Laufzeiten haben. Innerhalb einer Frequenzgruppesind aber die Laufzeiten der einzelnen Frequenzanteile nahezu gleich, vorausgesetzt,dass der Phasengang b(T) des Systems innerhalb der Frequenzgruppe nahezu linearist.

2.5 PEGELRECHNUNG

Die Pegelrechnung dient der einfachen Berechnung von Verstärkungen und Dämpfungeninnerhalb eines Übertragungssystems.

Bild 2.20: Spannungs- und Leistungspegel am Ein- und Ausgang eines Systems

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2.5.1 DÄMPFUNG UND VERSTÄRKUNG ALS ZAHLENVERHÄLTNIS: DÄMPFUNGS- BZW. VERSTÄRKUNGSFAKTOR

Verstärkung: r > 1

Dämpfung: r < 1

2.5.2 DÄMPFUNG UND VERSTÄRKUNG ALS PEGEL: DÄMPFUNGS- BZW. VERSTÄRKUNGSMAß

(A) Dezibel (dB)

1 2Für Z = Z gilt:

(B) Neper (Np)

1 2Für Z = Z gilt:

Hieraus folgt:

Eine Dämpfung (attenuation) liegt vor, wenn a positiv ist, beispielsweise ein Dämpfungsgliedmit a = +3 dB.

Eine Verstärkung (gain) liegt vor, wenn wenn a negativ ist, beispielsweise ein Audioverstärkermit a = -20 dB bzw. g = +20 dB.

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Häufig vorkommende Dezibel-Werte sind (bitte einprägen!):

(C) Beziehung zwischen Dezibel und Neper

1 dB = 0,1151 Np

1 Np = 8,686 dB

(D) Pegel bei ungleichen Impedanzen

1 2Für den praktisch meist vorliegenden Fall der Anpassung Z = Z ist der letzte Term in dieserGleichung Null, d.h. die Gleichung geht in die bereits unter Punkt (A) angegebene Gleichungüber.

(E) Absoluter Spannungspegel

In der Praxis sind neben den relativen Pegeln dB und Np, die zwei beliebige Spannungen undLeistungen in Relation setzen, auch vielfältige absolute Pegel in Gebrauch, die eine (gemesse-ne) Spannung oder Leistung zu einer festen (absoluten) Spannung oder Leistung in Bezugsetzen. Als Beispiel werden hier zwei absolute Pegel aufgeführt. Der in der optischen Kommu-nikationstechnik besonders häufig genutzte absolute Leistungspegel wird im nächsten Unter-abschnitt erläutert.

(1) Bezugsspannung: 775 mV ÷ dBrms (auch dBu genannt)

± 3 dB halbe (-) bzw. doppelte (+) Leistung am Systemausgang

± 6 dB halbe (-) bzw. doppelte (+) Spannung am Systemausgang

± 10 dB Faktor 10 kleinere (-) bzw. Faktor 10 größere (+) Leistung am Systemausgang

± 20 dB Faktor 100 kleinere (-) bzw. Faktor 100 größere (+) Leistung am Systemausgangbzw.Faktor 10 kleinere (-) bzw. Faktor 10 größere (+) Spannung am Systemausgang

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V(2) Bezugsspannung: 1 V ÷ dB

(F) Absoluter Leistungspegel

Beim absoluten Leistungspegel wird die tatsächliche Leistung, z.B. eine gemessene Leistung,in Bezug zu einer festen Leistung gesetzt. Bei kleineren Leistungen, wie sie zumeist in opti-schen Übertragungssystemen vorkommen, ist die Bezugsleistung 1 mW. Der Leistungspegelwird dann in dBm angegeben. Z.B.: ,,Der eingesetzte Laser liefert eine Leistung von 10 dBm.”

Typische Werte in optischen Übertragungssystemen sind:

P in dBm -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10

P in Watt 10 10 10 10 10 10 10 10-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2

Beachte: 0 dBm entspricht dem Bezugspegel von 10 W = 1 mW.-3

(G) Weitere absolute Pegel

dBi Antennengewinn bezogen auf den isotropen Strahler

dB(A) Bewerteter bzw. gewichteter Schalldruck bei der Lautstärkemessung (z.B. beimLärmschutz)

2.5.3 Systemberechnung

Der Vorteil der Pegelrechnung besteht darin, dass die Berechnung eines Übertragungssystemsauf die beiden Grundrechenarten der Addition und Subtraktion begrenzt wird, voraussgesetzt,dass die Pegel bekannt sind.

Bild 2.21: Berechnungsgrundlage

-34-

Mit -10 lg(r) = a (siehe oben) folgt schließlich die einfache Berechnungsformel:

Beispiel: Ein optisches Übertragungssystem

2Bild 2.22: Wie groß ist die Leistung P am Systemausgang?

1. Schritt: Berechnung der Gesamtdämpfung a

22. Schritt: Berechnung der Systemausgangsleistung P in dBm

2,dBmHieraus folgt: P = - 10 dBm

-35-

23. Schritt: Berechnung der Systemausgangsleistung P in Watt

Diese Berechnung in drei Schritten hätte auch abgekürzt werden können. Denn nach dem erstenSchritt ist mit a = 20 dB bekannt, dass das Eingangssignal um den Faktor 100 gedämpft wird.Das Eingangsignal hat 10 dBm und ist somit um 10 dB (Faktor 10) größer, als eines mit 0 dBm.Es hat somit eine Leistung von 10 mW. Damit beträgt die Leistung am Systemausgang 0,1 mW.

Merke: Vergrößert sich die Dämpfung um jeweils +10 dB, so verringert sich die Leistung umjeweils einen Faktor 10.

2.6 RAUSCHEN

Jede technische Übertragung von Information wird unvermeidlich durch Rauschen gestört. Esgibt:

- thermisches Rauschen,- Verstärkerrauschen,- Hintergrundrauschen,- Schrotrauschen u.a.

Das Rauschsignal (kurz: Rauschen) ist kein determiniertes, sondern ein statistisches Signal.Sein Zeitverlauf kann daher nicht durch eine Gleichung beschrieben werden. Rauschen kannfolglich auch nicht prognostiziert werden.

Bild 2.23a: Deterministisches Signal Bild 2.23b: Rauschen

u(t) = A sin(2Bft) n(t) = ?

Rauschen wird durch statistische Kennwerte wie Mittelwert und Streuung beschrieben. Sta-tistisch vollständig ist die Beschreibung des Rauschens durch

-36-

- das Rauschleistungsdichtespektrum und

- die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.

2.6.1 AUTOKORRELATIONSFUNKTION UND RAUSCHLEISTUNGSDICHTESPEKTRUM

n(A) Die Autokorrelationsfunktion (AKF) l (J)

Das in der Praxis am häufigsten vorkommende Rauschen ist das stationäre Rauschen, dessenstatistischen Kennwerte sich nicht mit der Zeit ändern. Seine AKF berechnet sich zu

Hierbei ist E(x) der Erwartungswert von x.

n(B) Das Rauschleistungsdichtespektrum (LDS) L ( f )

Die Fouriertransformierte der AKF

mit

wird als LDS bezeichnet. Dieses Spektrum ist ein Maß dafür, welche Frequenzanteile imRauschen vorkommen und welche Leistung oder Stärke es hat.

-37-

(C) Zusammenhang zwischen AKF und LDS

Bild 2.24: Rauschen mit geringen statistischen Bindungen zwischen zeitlich benachbarten

Rauschwerten n(t) und n(t+J)

Bild 2.25: Rauschen mit starken statistischen Bindungen zwischen zeitlich benachbarten

Rauschwerten n(t) und n(t+J)

(D) Der Sonderfall des weißen Rauschen

Beim weißen Rauschen sind alle Frequenzanteile gleichstark. Das weiße Rauschen dient alsmathematisches Modell, um das in der Praxis de facto vorhandene technische Rauschen, daslediglich innerhalb einer bestimmten Bandbreite (zumeist die genutzte Arbeitsbandbreite) einekonstante Rauschleistungsdichte aufweist, zu beschreiben.

-38-

Bild 2.26: Weißes und technisches Rauschen

(E) Rauschleistung und Varianz

Die Varianz F und die Streuung F (auch rms: root mean square) sind ein Maß für die Stärke2

des Rauschens. Die Varianz F ist definiert als die mittlere, quadratische Abweichung vom2

Rauschmittelwert, d.h.

Bei den meisten technischen Rauschquellen ist der Mittelwert des Rauschens gleich Null. Indiesem Fall gilt:

nDie Varianz F ist somit identisch der Fläche unter dem Rauschleistungsdichtespektrum L ( f ).2

Bild 2.26: Weißes und technisches Rauschen

Zur Ermittlung der Rauschleistung N in Watt muss zwischen Rauschstromquellen (Einheit vonn(t) ist Ampère) und Rauschspannungsquellen (Einheit von n(t) ist Volt) unterschieden werden.Für die an einem Widerstand R messbare Rauschleistung folgt somit

-39-

und

Anmerkungen:

n(1) Der Widerstand R kann auch bereits beim LDS L ( f ) berücksichtigt werden. In diesem

nFall hat das LDS L ( f ) nicht die Einheit V /Hz (bei Rauschspannungsquellen) bzw. die2

Einheit A /Hz (bei Rauschstromquellen), sondern W/Hz und es gilt N = F . 2 2

(2) Da in Übertragungssystemen zumeist weder die Rauschleistung noch die Signalleistungvon Interesse sind, sondern das Signalrauschverhältnis S/N, wird bei der Angabe derRauschleistung N der Widerstand R häufig nicht berücksichtigt, da sich dieser bei derVerhältnisbildung S/N ohnehin herauskürzt. Daher wird in der Literatur häufig dieRauschleistung N verkürzt in V bzw. A angegeben.2 2

2.6.2 WAHRSCHEINLICHKEITSDICHTEFUNKTION

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF; engl.: probability densitiy function, pdf) er-möglicht eine Aussage über die Auftrittswahrscheinlichkeit bestimmter Rauschwerte oderRauschpegel. Sie erlaubt daher die Ermittlung derjenigen Wahrscheinlichkeit, mit der einRauschsignal eine bestimmte Schwelle überschreitet und damit einen Fehler, z.B. ein Bitfehler,bei der Übertragung verursacht. Die WDF des Rauschens ist daher für die Analyse der Qualitätvon Übertragungssystemen von großer Bedeutung.

Bild 2.27: Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Aus Bild 2.26 folgt für die Auftrittswahrscheinlichkeit p (engl.: probability) bestimmterRauschwerte:

-40-

In der Praxis werden Übertragungssysteme zumeist durch ein Rauschen mit gaußförmiger WDFgestört. Diese hat den folgenden funktionalen Verlauf:

Bild 2.28: Gaußförmige WDF

Ein wichtiger Parameter der gaußförmigen WDF ist ihre Streuung F bzw. ihre Varianz F , die2

gemäß dem vorigen Abschnitt über N = F @R bzw. N = F @R mit der Rauschleistung N ver-2 2 -1

knüpft ist. Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von Rauschwerten, die größer einer

0Schwelle n sind, berechnet sich gemäß obiger Gleichung und Grafik wir folgt:

Hierbei ist

das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral (siehe Tabelle am Ende dieses Abschnitts), die inder angelsächsischen Fachliteratur zumeist durch die complementary error function erfc(x)

-41-

ausgedrückt wird. Dabei gilt: erfc(x) = 1 - erf(x). Die folgende Abbildung verdeutlicht wichtigeEigenschaften von Q(x).

Bild 2.29: Gaußförmige Standard-WDF mit Mittelwert Null und Streuung Einsund das dazugehörige Gaußsche Fehlerintegral

2.6.3 FILTERUNG VON RAUSCHEN

Um das Rauschen in seiner Stärke zu begrenzen, werden Filter oder andere bandbreitenbegren-zende Bauteile eingesetzt.

Bild 2.30: Filter zur Rauschbegrenzung

(A) LDS und Varianz am Filterausgang

Das LDS am Filterausgang ist durch das LDS am Filtereingang und durch das Betragsquadratder Systemfunktion bestimmt:

Hieraus folgt für die Varianz des Rauschens:

-42-

Der rechte Ausdruck dieser Gleichung gilt nur, wenn am Eingang des Filters weißes Rauschen

x 0 mangenommen wird, also L ( f ) = L . In diesem Ausdruck sind f die Mittenfrequenz des Filtersund

die Rauschbandbreite in Hz.

1 2 Beispiel: Steilflankiges Filter mit H( f ) = 1 für f # f # f und H( f ) = 0 sonst.

Bild 2.31: Rauschminderung durch ein steilflankiges Filter (hier: frequenzmäßig

einseitige Darstellung)

m R 2 1 Aus Bild 2.31 folgt mit H( f ) = 1 und B = f - f

Hieraus folgt:

Je größer die Bandbreite ist, umso stärker ist der Einfluss des Rauschens.

(B) WDF Am Filterausgang

Die Bestimmung der WDF am Filterausgang ist im Allgemeinen sehr aufwendig und schwierig.Nur für das gaußförmige Rauschen folgt eine sehr einfache Lösung nämlich:

Ist das Rauschen am Filtereingang gaußverteilt, dann ist auch das Rauschen am Filter-

y xausgang gaußerteilt und zwar mit F # F .

-43-

(C) Frequenzmäßig einseitige und frequenzmäßig zweiseitige Darstellung

Bild 2.32: Frequenzmäßig zweiseitige (links) und frequenzmäßig einseitige Darstellung

des Rauschens (rechts)

2.6.4 SCHMALBANDNÄHERUNG DES RAUSCHEN

Wird auf ein schmalbandiges Filter oder einen schmalbandigen Übertragungskanal mit

ein weißes, gaußverteiltes Rauschen gegeben, so kann das Filterausgangssignal in der Schmal-bandnäherung

dargestellt werden. Hierbei sind x(t) und y(t) statisch voneinander unabhängige, gaußverteilte

x y nund mittelwertfreie Rauschsignale mit einer Streuung F = F = F .

Beispiel:

Bild 2.33: Schmalbandiges Filter

-44-

RDas in Bild 2.33 dargestellte Filter besitzt eine Rauschbandbreite von B = 2 MHz. Es ist

R m schmalbandig, da B /f = 2/100 = 0,02 << 1. Das LDS des Rauschens am Filterausgang ist

und die Varianz

Anwendung findet die Schmalbandnäherung des Rauschens insbesondere bei der Analysedigitaler Trägerfrequenzsysteme (Abs. 7.4).

2.6.5 TABELLE: GAUßSCHES FEHLERINTEGRAL

x Q(x) x Q(x) x Q(x)

0 0,5 2,8 0,256@10 5,6 0,110@10-2 -7

0,2 0,421 3 0,135@10 5,8 0,341@10-2 -8

0,4 0,345 3,2 0,687@10-3 6 0,101@10-8

0,6 0,274 3,4 0,337@10 6,2 0,289@10-3 -9

0,8 0,212 3,6 0,159@10 6,4 0,795@10-3 -10

1 0,159 3,8 0,724@10 6,6 0,210@10-4 -10

1,2 0,115 4 0,317@10 6,8 0,534@10-4 -11

1,4 0,808@10 4,2 0,133@10 7 0,131@10-1 -4 -11

1,6 0,548@10 4,4 0,542@10 7,5 0,325@10-1 -5 -13

1,8 0,359@10 4,6 0,211@10 8 0,632@10-1 -5 -15

2 0,228@10 4,8 0,794@10 8,5 0,961@10-1 -6 -17

2,2 0,139@10 5 0,287@10 9 0,114@10-1 -6 -18

2,4 0,820@10 5,2 0,103@10 9,5 0,106@10-2 -6 -20

2,6 0,466@10 5,4 0,344@10 10 0,769@10-2 -7 -23

-45-

3 AMPLITUDENMODULATION

Das Ziel der Amplitudenmodulation (AM) ist, das Nachrichtensignal aus dem Basisband ineinen höherfrequenten Frequenzbereich zu verschieben, der frequenzmäßig besser an denÜbertragungskanal (ein Kabel, die Atmosphäre usw.) angepasst ist.

Bild 3.1: Amplitudenmodulator

Die AM verwendet harmonische Trägersignale, also

3.1 ZEITSIGNAL, SPEKTRUM UND BANDBREITE

Die ideale AM entspricht der Multiplikation des Nachrichtensignals mit dem Trägersignal.

MHierbei ist 1/U eine realisierungsabhängige Modulator- oder Multiplizierkonstante. Für dasSpektrum des amplitudenmodulierten Signals folgt aus obiger Gleichung:

H NDas Spektrum U (f ) folgt somit aus der Faltung des Nachrichtenspektrums U (f ) mit dem

TTrägerspektrum U (f ).

-46-

Wird zur Analyse von AM-Signalen die komplexe Rechnung verwendet, so darf nur dasTrägersignal komplex angesetzt werden und nicht Träger- und Nachrichtensignal. Denn nur indiesem Fall gilt:

3.1.1 ÜBERTRAGUNG OHNE TRÄGER

H TEine Übertragung ohne Träger bedeutet, dass U (f ) = 0. Eine Übertragung ohne Träger

Tbedeutet aber nicht, dass u (t) = 0.

0 0Hieraus folgt mit g(x) i *(x - x ) = g((x - x ):

Bild 3.2: Spektren von Nachricht, Träger und moduliertem Signal bei der AM

-47-

Das Spektrum des amplitudenmodulierten Signals umfasst nach Bild 3.2 ein oberes und einunteres Seitenband. Es ist eine Zweiseitenbandsignal (ZSB-Signal). Die Bandbreite dieses ZSB-

HAM-Signals u (t) beträgt folglich

ZSB-AM N,maxB = 2 A f

3.1.2 ÜBERTRAGUNG MIT TRÄGER

AM-Signale mit Trägeranteil können prinzipiell mittels

- direkter Trägeraddition im HF-Bereich oder mittels

- additiver Überlagerung eines Gleichanteils im Basisband (vgl. Übung 3)

erzeugt werden. Für die folgenden Überlegungen wird eine cosinusförmige Nachricht an-genommen, d.h.:

Hierbei kann die Nachrichtenfrequenz als Tonhöhe des Signals gedeutet werden und dieNachrichtenamplitude als Maß für die Signallautstärke. Für das amplitudenmodulierte Signalfolgt somit:

Hieraus folgt die Hüllkurvendarstellung

Hierbei ist a(t) die Hüllkurve und

Hder Modulationsgrad des AM-Signals u (t).

-48-

Mit cos(x) = 1/2@exp(jx) + 1/2@exp(-jx) kann die obige Hüllkurvendarstellung in die folgendeSpektraldarstellung umgeformt werden:

Aus dieser Darstellung wird deutlich, dass ein AM-Signal mit Träger unter der Voraussetzungeiner cosinusförmigen Nachricht aus drei Spektralanteilen besteht, dem Träger selbst, derunteren Seitenlinie und der oberen Seitenlinie. Somit folgt für das Spektrum:

Bild 3.3: Spektren von AM-Signalen mit Träger bei cosinusförmiger Nachricht

N,max(oben) und bei beliebiger Nachricht mit maximaler Frequenz f

Der Modulationsgrad m ist ein Maß für die Amplituden der Seitenlinien (Nachricht) in Bezugauf die Amplitude des Trägers. Die Bestimmung des Modulationsgrades erfolgt allgemein überdie Hüllkurve a(t).

-49-

3.2 TYPISCHE ZEITSIGNALE

Bild 3.4: Typische Signalverläufe amplitudenmodulierter Signale

-50-

3.3 EINSEITENBAND-AMPLITUDENMODULATION

Bei der Zweiseitenband-AM (ZSB-AM) ist die Nachricht sowohl im oberen Seitenband (Regel-lage) als auch im unteren Seitenband (Kehrlage) vollständig enthalten. Daher genügt prinzipielldie Übertragung nur eines der beiden Seitenbänder, was eine Bandbreitenersparung von 50%bewirkt, d.h.:

ESB-AM ZSB-AMB = 0,5 @ B

Die Einseitenband-AM (ESB-AM) kann durch Verwendung von Filtern oder 90/-Modulatorenrealisiert werden.

(A) Filterverfahren

1. Schritt: Erzeugung eines ZSB-AM-Signals

2. Schritt: Selektion eines Seitenbandes mit einem Bandpass (BP)

Bild 3.5: ESB-AM mittels Filterung

Da sowohl im oberen als auch im unteren Seitenband die Nachricht vollständig enthalten ist, istes beim ESB-AM-Verfahren prinzipiell gleich, ob das obere oder das untere Seitenband mitdem Bandpass selektiert und übertragen wird. Das technische Problem des Filterverfahrens liegtprimär in der Realisierung besonders schmalbandiger und steilflankiger Bandpass-Filter hoherGüte.

-51-

(B) 90 -Modulatoro

Bild 3.6: ESB-AM mittels 90-Grad-Komponenten

H1 H2Abhängig davon, ob die beiden ZSB-AM Signale u (t) und u (t) addiert oder subtrahiertwerden, wird das obere bzw. das untere Seitenband selektiert. Das technische Problem des 90 -o

Modulators liegt in der 90 -Phasenverschiebung des gesamten Spektrums des Nachrichten-0

signals.

Die folgende Tabelle fasst nochmals dies verschiedenen mathematischen Darstellungsformenvon ESB- und AM-Signalen zusammen.

-52-

ZSB-AM ESB-AM

Reell

1a

2a

3a

Komplex

1b

2b

3b

Modulationsgrad

Tabelle 3.1: Mathematische Darstellungsformen von ESB- und ZSB-AM-Signalen

-53-

3.4 DEMODULATION

Wir unterscheiden zwei Realisierungen der Demodulation, nämlich

-die kohärente Demodulation oder Synchrondemodulation und

- die inkohärente Demodulation oder Hüllkurvendemodulation.

3.4.1 SYNCHRONDEMODULATION

Die Funktion des Synchrondemodulators ist prinzipiell identisch mit der des Modulators, d.h.er arbeitet als Multiplizierer.

Bild 3.7: Synchrondemodulation

Das technische Problem der Synchrondemodulation liegt in der Erzeugung des Synchronträgers.

T TIm Idealfall ist u' (t) = u (t). Im Realfall werden Träger und Synchronträger allerdings abwei-

Tchen. Der Synchronträger wird gegenüber dem Träger zumindest einen Phasenfehler n' (t)aufweisen, d.h.:

Für die nachfolgenden Überlegungen gelten vereinfachend die beiden folgenden Normierungen:

-54-

Beispiel: Synchrondemodulation eines ZSB-AM-Signals

Hieraus folgt:

und weiter:

Anmerkung: cos(x)@cos(y) = 1/2@cos(x-y) + 1/2@cos(x+y); cos(-x) = cos(x)

3.4.2 HÜLLKURVENDEMODULATION

Im Gegensatz zur Synchrondemodulation benötigt die Hüllkurvendemodulation keinen Syn-chronträger. Ihre Realisierung ist folglich einfacher.

Bild 3.8: Hüllkurvendemodulation

-55-

Mathematisch wird die Hüllkurvendemodulation wie folgt beschrieben:

Für ein ZSB-AM-Signal folgt somit:

Die Bedingung für einen verzerrungsfreien Hüllkurvenempfang von ZSB-AM-Signal lautetsomit:

In Bezug auf das Auftreten von Verzerrungen folgt somit für ZSB-AM-Signale (siehe oben)und für ESB-AM-Signale (ohne Beweis, der aber einfach geführt werden kann; siehe u.a.Übung 3) das folgende Resultat:

ESB-AM ZSB-AM

T TSynchrondemodulation unverzerrt für n' = n unverzerrt

Hüllkurvenmodulation stets durch Oberwellen ver-zerrt: Klirren -m

unverzerrt für m # 1

Tabelle 3.2: Verzerrungen von ZSB- und ESB-AM-Signalen bei der Synchron-

und der Hüllkurvendemodulation.

Die folgenden Überlegungen und Untersuchungen gelten nicht nur für die Nachrichtenübertragung mittels der3

Amplitudenmodulation, sondern allgemein für jede Art der technischen Nachrichtenübertragung, also auch für

die in den nachfolgenden Kapiteln zu untersuchenden Modulationsverfahren.

-56-

3.5 LINEARE UND NICHTLINEARE VERZERRUNGEN3

Bei der Übertragung von Signalen werden diese erstens verzerrt und zweitens durch Rauschen(Abs. 2.6, Kapitel 7) gestört. Bei den Verzerrungen unterscheiden wir zwei Arten: die lineareVerzerrung und die nichtlineare Verzerrung.

(A) Lineare Verzerrungen

Lineare Verzerrungen werden meist durch den Übertragungskanal (z.B. durch ein Koaxial-kabel) verursacht, der durch die begrenzte Bandbreite nicht in der Lage ist, alle Frequenzanteiledes Signals gleichermaßen zu übertragen. Bei der linearen Verzerrung werden die am Kanal-eingang vorhandenen Frequenzanteile während der Übertragung sowohl in der Amplitude alsauch in der Phase verändert, wodurch im Gesamtsignal eine Verzerrung sichtbar wird. ImVergleich zur nichtlinearen Verzerrung entstehen aber bei der linearen Verzerrung keine neueFrequenzen am Kanalausgang.

Bild 3.9: Lineare Verzerrungen bei der Amplitudenmodulation

Mit

folgt

-57-

Lineare Verzerrungen verändern folglich Amplitude und Phase der einzelnen Spektralanteile.

H NDie Folge ist ein verzerrtes Empfangssignal u' (t) bzw. u' (t), also bei AM eine verzerrteHüllkurve a'(t).

(B) Nichtlineare Verzerrungen

Nichtlineare Verzerrungen werden durch nichtlineare Übertragungskennlinien verursacht undkönnen im Sender (z.B. durch eine nichtideale Modulation), im Übertragungskanal (z.B. durcheine nichtlineare Signalverstärkung) und im Empfänger (z.B. durch eine nichtideale Demodula-

Ntion) auftreten. Als Folge davon entstehen im Empfangssignal u' (t) neue Frequenzen, dieOberwellen.

Ein Maß für die Stärke der unerwünschten Oberwellen ist der Klirrfaktor. Der Klirrfaktorbezüglich der i-ten Oberwelle bzw. der (i+1)-ten Harmonischen ist

Der Gesamtklirrfaktor, der alle Oberwellen berücksichtigt, beträgt

-58-

3 WINKELMODULATION

Ebenso wie bei der Amplitudenmodulation, so ist es auch das Ziel der beiden Winkelmodula-tionsarten

- Frequenzmodulation (FM) und

- Phasenmodulation (PM)

das Nachrichtensignal aus dem Basisband in einen höherfrequenten Frequenzbereich zuverschieben, der frequenzmäßig besser an den Übertragungskanal (ein Kabel, die Atmosphäreusw.) angepasst ist. Gleichfalls wie bei der Amplitudenmodulation, so gründen auch beideWinkelmodulationsarten auf harmonischen Trägersignalen. Für das modulierte Signal folgtsomit:

Hierbei sind

n(t) die modulierte Phase,

M(t) die modulierte Gesamtphase und

a TdM(t)/dt = T (t) = T + dn(t)/dt die Augenblicks(winkel)frequenz.

4.1 FREQUENZ- UND PHASENMODULATION

Zwischen der FM und der PM besteht folgender grundsätzlicher Unterschied:

Für die folgenden Ableitungen wird vereinfachend ein sinusförmiges Nachrichtensignalangenommen, also

Zur Veranschaulichung ist es hilfreich, sich die Amplitude dieser Nachricht als Maß für dieLautstärke und die Frequenz dieser Nachricht als Tonhöhe eines Sinustones vorzustellen.

NPM: n(t) - u (t)

NFM: dn(t)/dt - u (t)

-59-

Für die FM und die PM ergeben sich nunmehr die nachfolgend aufgeführten weiteren Unter-schiede:

(A) Phasenmodulation

Hierbei ist

Für die Augenblicks(winkel)frequenz folgt

Hierbei ist

Merke: Bei der Phasenmodulation variiert die Phase im Takt der Nachricht, also sinusförmig.Die Schnelligkeit der Phasenveränderung ist durch die Nachrichtenfrequenz (Tonhöhe) und derHub der Phasenänderung durch den Phasenhub bzw. durch die Nachrichtenamplitude (Laut-stärke) bestimmt. Gleichzeitig mit der Phase variiert aber auch die Frequenz, allerdings nicht imTakt bzw. synchron mit der Nachricht (also sinusförmig), sondern cosinusförmig. Mit jederPhasenmodulation ist somit zugleich auch eine Modulation der Frequenz verknüpft, da dieFrequenz direkt über die Ableitung der Phase mit der Phase verbunden ist.

(B) Frequenzmodulation

Hierbei ist

-60-

Für die Augenblicks(winkel)frequenz folgt

und für die modulierte Phase

Hierbei ist

Merke: Bei der Frequenzmodulation variiert die Frequenz im Takt der Nachricht, also sinusför-mig. Die Schnelligkeit der Frequenzänderung ist durch die Nachrichtenfrequenz (Tonhöhe) undder Hub der Frequenzänderung durch den Frequenzhub bzw. durch die Nachrichtenamplitude(Lautstärke) bestimmt. Der Frequenhub hat somit bei der Frequenzmodulation die gleicheFunktion wie der Phasenhub bei der Phasenmodulation. Gleichzeitig mit der Frequenz variiertbei der Frequenzmodulation aber auch die Phase, allerdings nicht im Takt bzw. synchron mitder Nachricht (also sinusförmig), sondern cosinusförmig. Mit jeder Frequenzmodulation istsomit zugleich auch eine Modulation der Phase verknüpft.

(C) Phasen- und Frequenzhub

Aus den obigen Überlegungen folgt für die Verknüpfung von Phasen- und Frequenzhub

Dabei gilt für die PM

-0 # n(t) # 0Und für die FM

-)T # dn(t)/dt # )T

-61-

4.2 ZEITSIGNAL, SPEKTRUM UND BANDBREITE

Für die Betrachtungen in diesem Abschnitt wird weiterhin vereinfachend ein sinusförmigesNachrichtensignal angenommen, also

(A) Zeitsignal

Das winkelmodulierte Signal (hier: PM) hat für das obige sinusförmige Nachrichtensignal denin Bild 4.1 dargestellten Verlauf. Weitere typische Zeitverläufe frequenzmodulierter Signalesind im Bild 4.2 wiedergegeben.

Bild 4.1: Zeitverlauf eines winkelmodulierten Signal

Der entsprechende Zeitverlauf für die FM ist ähnlich und nicht ohne Weiteres vom Zeitverlaufder PM zu unterscheiden. Im Folgenden müssen daher diese beiden Winkelmodulationsartennicht gesondert unterschieden werden. In der komplexen Darstellung folgt das winkelmodulier-te Signal dem Verlauf

Der zweite Exponentialterm ist periodisch und kann folglich in eine Fourierreihe entwickeltwerden

nDie Amplituden (Fourierkoeffizienten) J (0) sind hier die sogenannten Besselkoeffizienten oderBesselfunktionen (siehe Unterabschnitt B). Die letzte Gleichung kann nun noch wie folgtumgeformt werden.

-62-

Aus dieser Gleichung werden bereits unmittelbar die einzelnen (unendlich vielen) Teilschwin-gungen oder Spektralinien ersichtlich, aus denen das winkelmodulierte Signal und folglich dasdazugehörige Spektrum - das Besselspektrum - besteht (Unterabschnitt C).

Bild 4.2:Typische Zeitverläufe frequenzmodulierter Signal

-63-

(B) Eigenschaften der Besselfunktionen

Die Besselkoeffizienten und die Besselfunktionen zeichnen sich durch die folgenden Eigen-schaften aus:

(1) Funktionsverlauf

Bild 4.3: Besselfunktionen

(2) Werte für 0 = 0

(3) Symmetriebeziehungen

(4) Für die Winkelmodulation relevante Näherungen

-64-

(C) Spektrum

HAus dem im Unterpunkt A abgeleiteten Zeitverlauf u (t) folgt mit

für das Spektrum eines winkelmodulierten Signals:

Bild 4.4: Das Besselspektrum

Das folgende Bild zeigt neun mit einem Spektrumanalysator aufgenommene Besselspektreneines frequenzmodulierten Signals in Abhängigkeit von der Nachrichtenfrequenz und derNachrichtenamplitude eines sinusförmigen Nachrichtensignals.

Bild 4.5: Besselspektren eines FM-Signals in Abhängigkeit von Nachrichtenfrequenz und -amplitude

-65-

(D) Bandbreite

Die Bandbreite eines winkelmodulierten Signals ist theoretisch unendlich. Da die Bessel-funktionen aber mit steigendem Index n rasch abnehmen, kann praktisch von einer endlichenBandbreite ausgegangen werden (vgl. Abschnitt 4.4).

4.3 VARIANTEN DER FREQUENZMODULATION

Ist die Nachricht ein Digitalsignal, so wird die Trägerfrequenz nicht kontinuierlich, sondernsprunghaft verändert. Wir nennen dieses Modulationsverfahren Frequenzumtastung oderFrequency Shift Keying (FSK) und unterscheiden verschiedene Varianten:

(A) FSK mit Phasensprung

Bei dieser Variante hat das modulierte Signal den folgenden Zeitverlauf:

Hierbei ist a(t) die binäre Nachricht, wobei a(t) = 1 während eines 1-Bits ist und a(t) = -1

1 0während eines 0-Bits. Der Frequenzhub )f bzw. der zweifache Frequenzhub ist 2@)f = f - f .

1 0Während eines 1-Bits wird folglich die Frequenz f und während eins 0-Bits die Frequenz fübertragen. Das folgende Bild zeigt den Zeitverlauf für die Symbolfolge 1 0 0 1.

Bild 4.6: Zeitverlauf eines FSK-Signals mit Phasensprüngen

-66-

Die Gesamtphase des FSK-Signals folgt dem Verlauf

Der Verlauf der modulierten Phase n(t) kann in einem Phasendiagramm dargestellt werden.

Bild 4.7: Phasendiagramm (Phasentapete) eines FSK-Signals mit der Bitfolge 1 0 0 1

Die Realisierung erfolgt beispielsweise mittels einer schaltbaren Kapazität, die in einemSchwingkreis angeordnet ist.

Bild 4.8: Frequenzumtastung (frequency shift keying) mit schaltbarer Kapazität

(B) FSK ohne Phasensprung - Continuous Phase FSK (CPFSK)

Bei dieser Variante folgt das modulierte Signal dem Zeitverlauf

mit

-67-

Das folgende Bild zeigt den Zeitverlauf der Winkelfrequenz dn(t)/dt für die bereits obenbetrachtete Symbolfolge 1 0 0 1.

Bild 4.9: Zeitverlauf der Winkelfrequenz dn(t)/dt bei einem CFSK-Signal

Berücksicht man, dass

so kann auch für das CPFSK-Signal das Phasendiagramm konstruiert werden.

Bild 4.10: Phasendiagramm (Phasentapete) eines CPFSK-Signals mit der Bitfolge 1 0 0 1

-68-

Aus diesem Bild wird deutlich, dass CPFSK-Signale gegenüber FSK-Signalen keine Phasen-sprünge mehr aufweisen. Der zeitliche Verlauf der Phase n(t) als auch des modulierten Signals

Hu (t) ist kontinuierlich (siehe Bild 4.11). Störend, insbesondere hinsichtlich des Bandbreitenbe-darfs, erweisen sich nun allein noch die Knicke innerhalb des Phasenverlaufs bei den Übergan-gen von 1-Bits zu 0-Bits und umgekehrt (siehe Bild 4.10).

Bild 4.11: Zeitverlauf eines CPFSK-Signals mit der Bitfolge 1 0 0 1

Die Vorteile von CPFSK im Vergleich zu FSK liegen im geringeren Bandbreitenbedarf, daCPFSK-Signale keine Sprünge beinhalten. Die Realisierung erfolgt beispielsweise mittels einesVoltage Controlled Oscillators (VCO).

(C) Minimum Shift Keying (MSK) und Gaussian Minimum Shift Keying (GMSK)

Eine Sonderform des CPFSK ist das MSK. Es unterscheidet sich vom CPFSK durch einen

1 0kleineren Frequenzhub. Bei MSK ist dieser über 2@)f = f - f = 1/(2T ) mit der Bitdauer Tverknüpft. Der Frequenzhub )f = 1/(4T ) ist der kleinstmögliche oder der minimal möglichste

H0 H1Hub, bei der die beiden Teilsignale u (t) beim 0-Bit und u (t) beim 1-Bit gerade noch or-thogonal sind (zur Orthogonalität siehe Abs. 7.6).

Bild 4.12: Zeitverlauf eines MSK- und eines GMSK-Signals mit der Bitfolge 1 0 0 1

Eine Sonderform des MSK ist das GMSK. Es hat den gleichen Frequenzhub wie MSK, aber dieÜbergange der Frequenzen erfolgen nicht sprunghaft, wie bei MSK, sondern stetig gemäß

-69-

einem Gaußprofil (siehe Bild 4.12). Während MSK, ebenso wie CPFSK, noch einen unstetigenPhasenverlauf im Phasendiagramm aufweist (siehe den eckigen Verlauf der Phase in Bild 4.10),so verläuft die Phase bei GMSK im Phasendiagramm völlig stetig und frei von Ecken, die beiGMSK abgerundet sind. Ansonsten ähnelt das Phasendiagramm von GMSK dem von MSK undCPFSK in Bild 4.9. Es soll daher nicht nochmals gesondert dargestellt werden. Insgesamt folgthieraus für GMSK-System die kleinst mögliche erforderliche Bandbreite. Es wird daher dorteingesetzt, wo Bandbreite besonders knapp und damit eine besonders wertvolle Ressource ist,z.B. bei den digitalen Mobilfunknetzen (D- und E-Netz).

4.4 DEMODULATION

Die Demodulation eines winkelmodulierten Signals erfolgt in zwei Schritten:

1. Schritt: Beseitigung störender AM durch Amplitudenbegrenzung.

Bild 4.13: Amplitudenbegrenzung eines winkelmodulierten Signals

2. Schritt: Demodulation

4.4.1 SYNCHRONDEMODULATION

Das folgende Blockschaltbild demonstriert die Möglichkeit der Demodulation winkelmodulier-ter Signale - PM und FM - mittels eines Synchrondemodulators.

-70-

Bild 4.14: Synchrondemodulation winkelmodulierter Signale

Mit

und der Normierung

folgt

Die Näherung auf der rechten Seite dieser Gleichung ist für kleine Phasenhübe gültig, also für0 n 1. Die empfangene Nachricht ist folglich proportional der modulierten Phase und damit,bei Phasenmodulation, zugleich proportional der gesendeten Nachricht. Der obere Zweig des inBild 4.14 dargestellten Synchrondemodulators hat somit die Funktion eines Phasendemodula-tors, der untere Zweig dementsprechend die Funktion eines Frequenzdemodulators.

4.4.2 FREQUENZDISKRIMINATOR

Die am häufigsten verwendete Schaltung zur Demodulation analoger und digitaler FM-Signaleist der im Bild 4.15 dargestellte Frequenzdiskriminator.

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Bild 4.15: Frequenzdiskriminator

Die Frequenzgänge beider Schwingkreise haben den in Bild 4.16 oben dargestellten Verlauf.Aus beiden folgt die für den Frequenzdiskriminator typische Diskriminatorkennlinie (Bild 4.16unten).

Bild 4.16: Ableitung der Diskriminatorkennlinie (unten) aus den Frequenzgängen der

beiden Schwingkreise eines Frequenzdiskriminators (oben).

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4.5 LINEARE UND NICHTLINEARE VERZERRUNGEN

Ebenso wie bei der AM, so können auch bei der Übertragung winkelmodulierter Signale lineareund nichtlineare Verzerrungen auftreten. Letztere können bereits im Sender entstehen, wenn derModulator aufgrund seiner Realisierung nicht in der Lage ist, den erforderlichen linearenZusammenhang zwischen Nachrichtensignal und Trägerphase (PM) bzw. Nachrichtensignal

N Nund Trägerfrequenz (FM) herzustellen, also n(t) -u (t) bzw. dn(t)/dt -u (t). Des Weiterenkönnen nichtlineare Verzerrungen bei der Demodulation, in Verstärkern oder indirekt als Folgelinearer Verzerrungen durch den Übertragungskanal (also durch Bandbegrenzung) auftreten.

(A) Symmetrische Bandbegrenzung auf *n* = 1

Bei einer symmetrischen Bandbegrenzung des Besselspektrums auf *n* = 1 ist die Bandbreite

N,maxdes winkelmodulierten Signals gleich der eines ZSB-AM-Signals, nämlich B = 2@f . Dasbandbegrenzte winkelmodulierte Signal folgt dem Verlauf:

0 -1 1Mit J (0) .1 und -J (0) = J (0) .0/2 für 0 n 1 folgt:

Im Zeigerdiagramm stellt sich dieses Signal wir folgt dar:

Bild 4.17: Zeigerdiagramm eines auf *n* = 1 bandbegrenzten winkelmodulierten Signals

-73-

Aus dem Zeigerdiagramm folgt für die modulierte Phase

Es wird deutlich, dass die modulierte Phase n'(t) nicht proportional zum Nachrichtensignal

N N Nu (t) = û @ sin(T t) ist, was die Bedingung einer verzerrungsfreien Phasenmodulation ist (sieheAbschnitt 4.1). Gleichfalls ist auch dn'(t)/dt nicht proportional zum Nachrichtensignal alsBedingung für eine verzerrungsfreie Frequenzmodulation. Die Nachricht steht in der obigenGleichung im Argument einer arctan-Funktion, also im Argument einer nichtlinearen Funktion.Es werden somit als Folge der Bandbegrenzung, die eine lineare Verzerrung darstellt, zusätzlichnichtlineare Verzerrungen auftreten. Wie stark diese sind, soll nun untersucht werden. Mit derNäherung

und der trigonometrischen Relation

folgt:

Da der Phasenhub 0 in der Praxis zumeist sehr viel kleiner Eins ist, kann im ersten Term derAusdruck 1/4@0 gegenüber der 1 vernachlässigt werden. 2

Die nichtlineare Verzerrung wird in dieser Gleichung unmittelbar deutlich, denn die moduliertePhase setzt sich zusammen aus der Nachricht (erster Term) und einer Oberwelle (zweiterTerm). Der Klirrfaktor der nichtlinearen Verzerrung berechnet sich folglich für die Phasenmo-dulation zu

Um den Klirrfaktor für die Frequenzmodulation zu bestimmen, muss die modulierte Phasezunächst nach der Zeit differenziert werden.

-74-

NHierbei ist 0@T = )T der Frequenzhub (siehe Abschnitt 4.1 C). Aus dieser Gleichung folgt fürden Klirrfaktor bei Frequenzmodulation

Das Klirren, als indirekte Folge der Bandbegrenzung, ist somit bei der Frequenzmodulationstärker als bei der Phasenmodulation.

(B) Symmetrische Bandbegrenzung auf *n* Seitenbänder Die Berechnung erfolgt hier ähnlich wie für *n* = 1, nur dass nun mehr Zeiger im Zeigerdia-gramm zu berücksichtigen sind (fünf Zeiger bei *n* = 5, sieben Zeiger bei *n* = 7 usw.). Dermathematische Aufwand wächst dabei mit größer werdendem *n* rasch an. Die folgende Grafikzeigt das Ergebnis.

Bild 4.18: Klirrfaktor eine FM-Signals bei einer Bandbegrenzung auf *n* = 1 Seitenbänder

In der Praxis gelten die beiden folgenden Faustformeln:

-75-

Der Klirrfaktor ist somit durch die verfügbare Bandbreite und durch die maximale Frequenz derNachricht bestimmt.

Bild 4.19: Bandbegrenzung eines FM-Spektrums

Beispiel: UKW-Rundfunk

N)T = 2B @ 75 kHz, f = 20 kHz Y B = 190 kHz

TAnmerkung: Bei einem reinen Sinussignal ist bereits ein Klirrfaktor von K = 2% hörbar, bei

TMusik und Sprache ist das Klirren aufgrund eines Verdeckungseffektes erst ab etwa K = 5%hörbar. Darüber hinaus wird vom menschlichen Gehör die zweite Oberwelle bzw. die dritteHarmonische in aller Regel als deutlich störender wahrgenommen, als die erste Oberwelle bzw.die zweite Harmonische.

-76-

5 PULSMODULATION

Die Pulsmodulationsarten unterscheiden sich von den bisher untersuchten Modulationsarten(AM, PM und FM) primär in der Struktur des verwendeten Trägersignals.

AM, PM, FM: Harmonisches Trägersignal, z.B. Sinus- oder Cosinusträger

Pulsmodulation: Periodischer Pulsträger, z.B. Diracpuls

Während es beim sinus- oder cosinusförmigen Träger nur drei Möglichkeiten der Modulationgibt (AM, PM, FM), gibt es beim Pulsträger (Abs. 5.1) weitere Möglichkeiten der Modulation.Wir unterscheiden:

Pulsamplitudenmodulation (PAM, Abs. 5.2), Pulsphasen- und Pulsfrequenzmo-dulation (PPM und PFM, Abs. 5.4), Pulsdauermodulation (PDM, Abs. 5.4),Pulspositionsmodulation (PPM, Abs. 5.4), Pulscodemodulation (PCM, Abs. 5.5)und Delta- oder 1-Bit-Modulation ()M).

Technische und theoretische Grundlage und zugleich Bedingung der Möglichkeit aller Puls-modulationsarten ist das Abtasttheorem (Abs. 5.3).

5.1 TRÄGERPULS

In diesem Abschnitt werden zunächst der ideale Trägerpuls und anschließend der reale Träger-puls untersucht.

(A) Idealer Trägerpuls

Der ideale Trägerpuls ist eine periodische Folge von Diracimpulsen. Sein Zeitsignal hat denfolgenden Verlauf.

Bild 5.1: Idealer Trägerpuls (c: Impulsintergral, Fläche unter dem Diracimpuls)

Beachte: Einzelner Dirac = Impuls

Periodische Fortsetzung von Impulsen = Puls (vgl. menschlicher Puls)

-77-

Als Formel können Trägerpuls und Trägerspektrum wie folgt beschrieben werden:

Da der Trägerpuls ein periodisches Signal ist, kann er in eine Fourierreihe zerlegt werden.Daher folgt in der Zeitsignalgleichung der dritte Term (der zweite Summenterm) mittels einerFourierreihenentwicklung aus dem zweiten Term (erstem Summenterm). Das Spektrum des

aidealen Trägerpulses ist gleichfalls periodisch und zwar mit f , was aus dem dritten Term (demzweiten Summenterm) deutlich wird. Daher kann auch das Spektrum des idealen Trägerpulsesin eine Fourierreihe zerlegt werden. In der obigen Gleichung für das Spektrum ist der zweiteTerm (der erste Summenterm) die Fourierreihenentwicklung des dritten Terms (zweitenSummenterms). Die folgende Graphik zeigt das periodische Spektrum.

Bild 5.2: Spektrum eines idealen Trägerpulses

Das Spektrum einer periodischen Diracfolge, also eines idealen Trägerpulses, ist ebenfalls eineperiodische Diracfolge.

Zur Vertiefung: Ableitung der Fourierkoeffizienten

Die letzte Umformung folgt aufgrund der Ausblendeigenschaft der Diracfunktion *(t).

-78-

(B) Realer Trägerpuls

Der reale Trägerpuls hat den folgenden Zeitverlauf.

a aBild 5.3: Realer Trägerpuls mit Periode T = 1/f

Reale Trägerpulse werden durch einen Pulsgenerator erzeugt, der wie folgt mathematischmodelliert werden kann:

Bild 5.4: Mathematisches Modell der Erzeugung realer Trägerpulse

Aus Bild 5.4 folgt:

aDies bedeutet, dass jeder einzelne Diracimpuls c@*(t - nT ) am Filtereingang in einen Impuls

ac@h(t - nT ) = g(t) am Filterausgang geformt wird (Bild 5.5). Hierbei ist g(t) der Grundimpulsdes Pulsträgers und h(t) die Impulsantwort des Impulsformerfilter.

Bild 5.5: Mathematisches Modell der Erzeugung realer Trägerpulse

Anmerkung zu den Einheiten: Die Einheit der Diracimpulsfläche ist Vs und die Einheit derImpulsantwort ist 1/s. Hieraus folgt, wie nicht anders zu erwarten, für den Grundimpuls dieEinheit V.

-79-

Das Spektrum des realen Pulsträger ist

Damit kann das Ergebnis wie folgt zusammengefasst werden:

Da auch der reale Trägerpuls ein periodisches Signal ist, kann er ebenso wie der ideale Träger-puls in eine Fourierreihe zerlegt werden. Der dritte Term (der zweite Summenterm) der Zeit-signaldarstellung folgt somit auch hier mittels einer Fourierreihenentwicklung aus dem zweitenTerm (erstem Summenterm). Das Spektrum des realen Trägerpulses ist allerdings im Gegensatzzum Spektrum des idealen Trägerpulses nicht mehr periodisch. Zweiter und dritter Term derSpektraldarstellung sind somit nicht, wie beim idealen Trägerpulsspektrum, über eine Fourier-reihenentwicklung verknüpft. Bild 5.6 zeigt den Verlauf des Spektrums.

Bild 5.6: Spektrum eines realen Trägerpulses

Im Gegensatz zum Spektrum eines idealen Trägerpulses ist das Spektrum eines realen Träger-pulses nicht mehr periodisch.

(C) Pulserzeugung

Reale Trägerpulse können mittels Multivibrator, Sinusgenerator mit Komparator oder Software-modellierung erzeugt werden.

-80-

5.2 PULSAMPLITUDENMODULATION

Das Prinzip der Pulsamplitudenmodulation (PAM) entspricht dem der Amplitudenmodulation(AM) mit dem Unterschied, dass bei der PAM kein harmonisches Trägersignal (z.B. einSinusträger) verwendet wird, sondern ein Pulsträger (Bild 5.7).

Bild 5.7: Pulsamplitudenmodulator

Vereinbarungen:

N Ti H(1) u (t), u (t) und u (t) seien dimensionslos

M(2) U = 1 (Modulatorkonstante)

N(3) Das Nachrichtenspektrum U ( f ) sei bandbegrenzt

5.2.1 ZEITSIGNAL, SPEKTRUM UND BANDBREITE

Die ideale PAM entspricht der Multiplikation des Nachrichtensignals mit dem Trägersignal(vgl. Kapitel 3)..

Für das Spektrum des pulsamplitudenmodulierten Signals folgt aus dieser Gleichung (vgl.Kapitel 3):

-81-

H NDas Spektrum U (f ) folgt somit aus der Faltung des Nachrichtenspektrums U (f ) mit dem

TTrägerspektrum U (f ). Bild 5.8 zeigt einen typischen Zeitverlauf und ein typisches Spektrum.

Bild 5.8: Zeitsignale und Spektren bei der Pulsamplitudenmodulation

Das Spektrum eines PAM-Signals ist bei Verwendung eines idealen Pulsträgers (Diracpulses)

Nperiodisch. Es entspricht der periodischen Fortsetzung des Nachrichtenspektrums U (f ). DieBandbreite des PAM-Spektrums ist folglich unendlich.

Anmerkung: Die Höhe der Diracimpulse ist unendlich (Abschnitt 2.3). In obigen Bild symboli-sieren die unterschiedlich hoch dargestellten Diracimpulse die Gewichtung (Impulsfläche) derDiracimpulse und somit die Abtastwerte der Nachricht an der betreffenden Stelle.

NDie ursprüngliche Nachricht u (t ) kann im Empfänger prinzipiell durch einen Tiefpass mit derGrenzfrequenz

N,max g a N,maxf # f # f - f

wiedergewonnen werden (Abs. 5.2.2). Hierzu muss das Abtasttheorem

a N,maxf = 2 @ f

erfüllt sein (Abs. 5.3).

Zusammenfassend gelten für die Pulsamplitudenmodulation die folgenden Beziehungen.

-82-

N a NDie zeitdiskreten Werte u (nT ) sind die Abtastwerte des Nachrichtensignals u (t). Der letzte

NTerm in der Zeitsignalgleichung entspricht der Multiplikation des Nachrichtensignals u (t ) mit

Tidem idealen Träger- oder Diracpuls u (t ). Aus dem letzten Term der Spektralgleichung wird

Ndie periodische Fortsetzung des Nachrichtenspektrums U ( f ) deutlich. Dieser letzte Term kannfolglich in einer Fourierreihe (zweiter Term der Spektralgleichung) entwickelt werden.

5.2.2 DEMODULATION

In diesem Abschnitt werden die ideale Demodulation mittels eines Tiefpasses und die realeDemodulation mittels einer sampling-and-hold-Schaltung untersucht.

(A) Ideale Demodulation qua Tiefpass

Bei der idealen Demodulation wird ein Küpfmüller-Tiefpass mit steilflankiger Bandbegrenzungverwendet. Seine Systemfunktion und seine Impulsantwort haben den folgenden Verlauf:

Bild 5.9: Spektrum und Impulsantwort des Küpfmüller-Tiefpasses

Am Ausgang dieses Filter erhalten wir das Nachrichtensignal

-83-

HGemäß dieser Gleichung entspricht die Tiefpassfilterung des PAM-Signals u (t) der Inter-

N apolation der Abtastwerte u (nT ) mit der si-Funktion (Bild 5.10).

Bild 5.10: Demodulation eines PAM-Signals mittels Küpfmüller-Tiefpass

Für den Fall, dass das Abtasttheorem erfüllt ist (Abs. 5.2.3), sind empfangenes Nachrichtensig-

N Nnal u’ (t) und gesendetes Nachrichtensignal u (t) bis auf eine konstanten Faktor identisch, d.h.

N N N au’ (t) = const.@ u (t). Dies bedeutet, dass allein aus den zeitdiskreten Abtastwerten u (nT ) dasursprüngliche Nachrichtensignal grundsätzlich eindeutig und verzerrungsfrei zurückgewonnenwerden kann.

(B) Reale, praktische Demodulation qua Sample-and-Hold

Die Demodulation eines PAM-Signals mit einer Sample-and-Hold-Schaltung folgt dem in Bild5.11 dargestelltem Schema.

Bild 5.11: Demodulation eines PAM-Signals mittels Sample-and-Hold

-84-

5.3 ABTASTTHEOREM

N NGegeben sei das kontinuierliche Nachrichtensignal u (t) mit dem Spektrum U ( f ).

Bild 5.12 zeigt ein Nachrichtenspektrum, dass die notwendige Bedingung der Bandbegrenzungerfüllt.

Bild 5.12: Bandbegrenztes Nachrichtenspektrum

Stellvertretend für die möglichen Pulsmodulationsarten werden im Folgenden die Auswirkun-gen der beiden oben aufgeführten Bedingungen für die Pulsamplitudenmodulation (PAM) näher

Nbetrachtet. Gemäß Abschnitt 5.2 wird bei der PAM das Nachrichtensignal u (t) mit dem

TiTrägerpuls u (t) multipliziert (erster Term in nachfolgender Gleichung) und dadurch abgetas-tet (zweiter Term in nachfolgender Gleichung).

Hieraus folgt für das Spektrum des PAM-Signals die bereits in Abschnitt 5.2 abgeleiteteperiodische Fortsetzung des Nachrichtenspektrums.

aHinsichtlich der Abtastfrequenz f sind nunmehr drei Fälle zu unterscheiden.

Notwendige Bedingung aller Pulsmodulationsverfahren ist,

N(1) dass das Nachrichtenspektrum U ( f ) bandbegrenzt ist und

(2) dass das Abtasttheorem erfüllt ist.

-85-

a N, max(A) Unterabtastung (Aliasing) mit f < B < 2@f

Bild 5.13: Unterabtastung (Aliasing)

Es werden hier zu wenig Abtastwerte genommen. Als Folge überlappen sich die Einzelspektren. Eine

NRückgewinnung der gesendeten Nachricht u (t) ist daher nicht mehr möglich.

a N, max(B) Grenzfall mit f = B = 2@f

Bild 5.14: Grenzfall

Die Anzahl der Abtastwerte ist in diesem Grenzfall gerade ausreichend, um das ursprünglichen

NNachrichtensignal u (t) mittels eines idealen Tiefpasses zurückzugewinnen.

a N, max(C) Überabtastung (Over Sampling) mit f > B = 2@f

Bild 5.15: Überabtastung (Over Sampling)

NDie Nachricht u (t) wird hier häufiger abgetastet als prinzipiell notwendig. Die ursprüngliche

NNachricht u (t) kann hier sicher mittels eines Tiefpasses wiedergewonnen werden.

-86-

Aus den drei oben dargestellten Fällen kann das folgende Abtasttheorem abgeleitet werden:

N N N, maxIst ein Nachrichtensignal u (t) bandbegrenzt, d.h. f # f , dann kann aus demabgetasteten Nachrichtensignal (aus dem PAM-Signal)

Ndas ursprüngliche Nachrichtensignal u (t) eindeutig und damit verzerrungsfreizurückgewonnen werden, wenn das Abtasttheorem

erfüllt ist.

5.4 PULSMODULATIONSARTEN

Neben der Pulsamplitudenmodulation (PAM) gibt es weitere Möglichkeiten, Pulsträger miteiner Nachricht zu modulieren. Die bekannteste und praktisch bedeutendste ist die Pulscodemo-dulation (PCM), die im folgenden Abschnitt 5.4 untersucht wird. Alle anderen Möglichkeitensind Gegenstand dieses Abschnitts.

(A) Pulsdauermodulation

Bei der Pulsdauermodulation (PDM) bleibt im Gegensatz zur PAM die Pulsamplitude konstant.Moduliert wird bei der PDM die Weite oder Dauer der einzelnen Trägerimpulse. Das Prinzipzeigt Bild 5.16.

Bild 5.16: Pulsdauermodulation

a N, maxf $2@f

-87-

Die Realisierungsbedingungen der PDM sind:

a a N, max(1) f = 1/T $2@ f (Abtasttheorem)

N a(2) )t # )t(u ) # T ()t: unmodulierte Impulsbreite)

(B) Pulsphasen- und Pulsfrequenzmodulation

Pulsphasenmodulation (PPM) und Pulsfrequenzmodulation (PFM) sind ebenso wie die PM undFM sehr ähnliche Modulationsarten. Ihr Prinzip zeigt Bild 5.17.

Bild 5.17: Pulsphasen- bzw. Pulsfrequenzmodulation

Die Realisierungsbedingungen der PPM und der PFM sind:

a a N, max(1) f = 1/T $2@ f (Abtasttheorem)

N a a(2) 0 # )T(u ) # T - )t ()t: unmodulierte Impulsbreite; )t nT )

(C) Pulspositionsmodulation

Die digitale Variante der Pulsphasenmodulation ist die Pulspositionsmodulation (PPM), diebeispielsweise für laserstrahlgestützte optische Kommunikationssystem im Weltraum eingeeigneter Kandidat ist. Im Gegensatz zur Pulsphasenmodulation gibt es aber bei der Puls-positionsmodulation nur eine bestimmte, diskrete Anzahl (2, 4, 8 usw.) zulässiger Impuls-

apostionen innerhalb der T -Zeitspanne (Bild 5.18)

-88-

Bild 5.17: (a) Binäre Pulspositionsmodulation mit der Nachricht 100110 und

(b) vierstufe Pulspositionsmodulation mit der Nachricht 100110001101

5.5 PULSCODEMODULATION

Die Pulscodemodulation erfolgt in drei Schritten: Pulsamplitudenmodulation, Quantisierung derkontinuierlichen Impulsamplituden und Codierung der quantisierten Impulsamplituden (Bild5.18).

Bild 5.18: Pulscodemodulation

5.5.1 QUANTISIERUNG UND CODIERUNG

Die folgende Graphik 5.19 verdeutlich die Funktionsweise der Pulscodemodulation. Es wird

Nangenommen, dass der in der Amplitude kontinuierliche Verlauf des Nachrichtensignals u (t)auf insgesamt acht zulässige Amplituden (0 V, 1 V bis 7 V) begrenzt bzw. quantisiert wird.Diese acht Amplitudenwerte können je einem Codewort bestehend aus drei Bits zugeordnet und

Hdamit codiert werden. Das Ergebnis ist ein digitales, binäres PCM-Signal u (t). Bedingung ist,

N N,maxdass der Dynamikbereich der Nachricht u (t), nämlich 2@u , den quantisier- und codierbarenAmplitudenbereich von -0,5 V bis 7,5 V nicht übersteigt. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, soentstehen unzulässig hohe Qantisierungsfehler (Abs. 5.5.2).

-89-

Bild 5.19: Funktionsweise der Pulscodemodulation

Aus Bild 5.19 folgt für das PCM-Signal die Bitrate (in Bit/s)

und die Bitfrequenz (in Hz)

Hierbei sind T die Bitdauer und n die Anzahl der Bits je Codewort bzw. je Abtastwert. Bittebeachten Sie, dass das jeweils letzte Gleichheitszeichen in den beiden obigen Gleichungen nurbei exakter Erfüllung des Abtasttheorems gilt. Bei Überabtastung sind Bitrate und Bitfrequenzhöher.

Für M = 8 Quantisierungsstufen folgt aus Bild 5.19:

N, max N N N 2@u = 2@)u + 2@)u /2 = 8@)u

Allgemein gilt

-90-

Beispiel: ISDN

N, maxBei ISDN beträgt die maximale Nachrichtenfrequenz f = 4 kHz und die Bitanzahl jeAbtastwert n = 8. Hieraus folgen für die Anzahl M der Quantisierungstufen M = 256 und für dieBitrate R = 64 kBit/s.

5.5.2 QUANTISIERUNGSFEHLER UND -GERÄUSCH

Beim Quantisierungsfehler sind der maximale (absolute) und der relative Quantisierungsfehlerzu unterscheiden. Der erste berechnet aus

und der zweite aus

N, maxDa der Quantierungsfehler nur von der maximalen Nachrichtenamplitude u abhängig ist,nicht aber von der Amplitude der Nachricht zu einem gegebenen Zeitpunkt, ist dieser Fehlerstets der gleiche. Er stört daher besonders, wenn die aktuelle Amplitude gerade sehr klein ist,z.B. bei sehr leisen Musikstellen. Er stört dagegen weniger, wenn die aktuelle Amplitude geradegroß ist, z.B. bei lauten Musikstellen. Abhilfe schaft eine nicht-lineare Codierung, bei der dieQuantisierung bei kleinen Amplituden feiner, bei größeren Amplituden dagegen größer ist(siehe unten). Bei der linearen Quantisierung sind im Gegensatz zur nicht-linearen Qantisierungalle Quantisierungsstufen gleich groß (Bild 5.20).

Aus dem in Bild 5.20 dargestellten Verlauf des Quantisierungsfehlers kann das folgendeQuantisierungsgeräusch N abgeleitet werden:

Hieraus folgt:

aAnmerkung: Da , innerhalb des Aussteuerbereiches periodisch ist, genügt zur Ermittlung von

aE{, } die Integration über nur eine einzige Periode.2

-91-

Bild 5.20: Lineare Quantisierungskennlinie und Quantisierungsfehler

5.5.3 SIGNALRAUSCHVERHÄLTNIS UND SIGNALSTÖRABSTAND

Zur Bestimmung des durch das Quantisierungsgeräusch verursachte Signalrauschverhältniswird ein sinusförmiges Signal

N N, max N u (t) = u sin(2 B f t)

N,maxangenommen. Dieses Signal überstreicht einen Bereich von 2@u und damit den in denBildern 5.19 und 5.20 zulässigen Dynamik- oder Aussteuerbereich. Seine effektive Signallei-stung ist

Hieraus folgt für das Signalrauschverhältnis

und für den Signalstörabstand

-92-

Tabelle 5.1 zeigt typische Werte:

n 2 3 4 5 6 7 8

dBS/N 13,8 19,8 25,8 31,6 37,8 43,9 49,9

Tabelle 5.1: Signalstörabstand bei unterschiedlicher Anzahl von Bits je Abtastwert

Der Signalstörabstand beträgt somit bei ISDN (n = 8) etwa 50 dB, was praktisch völlig ausrei-chen ist.

Beispiel: Audio-CD

Bei einer Audio-CD ist jeder Abtastwert mit 8 Bit codiert. Hieraus folgt für den Signalstör-abstand

Das Signalrauschverhältnis ist abhängig von der Nachrichtenamplitude. Hieraus folgt,

große Amplitude Y großes Signalrauschverhältnis (gut)

kleine Amplitude Y kleines Signalrauschverhältnis (schlecht)

Signale mit kleiner Amplitude (z.B. kleiner Lautstärke) werden folglich wesentlich stärkerdurch das Quantisierungsgeräusch gestört, als Signale mit großer Amplitude (z.B. großerLautstärke). Abhilfe schafft hier eine Kompander-Quantisierungskennlinie gemäß Bild 5.21.

Bild 5.21: Kompander-Quantisierungskennlinie

-93-

5.5.4 BANDBREITE

In diesem Abschnitt geht es um die Beantwortung der folgenden Frage:

gWelchen Frequenzbereich 0 # f #f muss ein Übertragungssystem - z.B. einKabel - übertragen können, damit der Empfänger noch richtig zwischen denbeiden Binärsymbolen 0 und 1 unterscheiden kann?

Am einfachsten, wenn auch nicht ganz exakt, kann diese Frage beantwortet werden, wenn manvom schnellstmöglichen PCM-Signal ausgeht. Dieses ist dann gegeben, wenn seine Bitfolge

@@@ 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 @@@

ist. Zeitsignal und Spektrum dieses Signals haben den folgenden Verlauf (Bild 5.22).

Bild 5.22: PCM-Signal und PCM-Spektrum für die periodische Symbolfolge 0101010101

Zur fehlerfreien Detektion des PCM-Signals im Empfänger müssen die einzelnen Bits desPCM-Signals nicht notwendig von rechteckiger Form sein. Wichtig ist vielmehr, dass derEmpfänger gerade noch zwischen den Binärsymbolen unterscheiden kann. Hierzu tastet derEmpfänger jedes Bit in der Bitmitte ab und entscheidet anhand einer Entscheiderschwelle, obdas empfangene Bit eine 1 war (Abtastwert liegt oberhalb der Entscheiderschwelle) oder eine0 (Abtastwert liegt unterhalb der Entscheiderschwelle). Dies ist auch dann noch möglich, wennvon dem gesendeten rechteckförmigen PCM-Signal nur noch aufgrund von Bandbegrenzungseine sinusförmige Grundschwingung empfangen wird (Bild 5.22). Das Übertragungssystemmuss folglich zumindest diese Grundschwingung übertragen können. Daher ist die erforderlicheKanalgrenzfrequenz des Übertragungssystems

Diese Grenzfrequenz ist zugleich ein Maß für die Bandbreite B des PCM-Signals. Die physika-lische Bandbreite, die nur die positiven Frequenzen berücksichtigt ist somit:

-94-

Für die mathematische Bandbreite, die auch die negativen Frequenzen einbezieht, folgt dement-sprechend

Beide Bandbreitengleichungen sind Näherungen oder ,,Faustformeln”, die sich besonders füreine rasche Systemanalyse eignen, beispielsweise zur Beantwortung der Frage, ob ein gegebe-nes Übertragungssystem für die Übertragung des PCM-Signals geeignet ist oder nicht. Dietatsächliche Bandbreite und die dazugehörige Kanalgrenzfrequenz sind geringfügig höher. Inder Praxis gilt meist:

5.5.5 LINEARE VERZERRUNGEN

Die auch bei der Übertragung von PCM-Signalen auftretenden linearen Verzerrungen, diezusammen mit der Störung durch Rauschen zu Bitfehlern führen, werden im Kapitel 7 ,,DigitaleÜbertragungssysteme” untersucht.

5.5.6 CHARAKTERISTIKA DER PCM-TECHNIK

(A) Vorteile

(1) PCM-Signale sind störunempfindlicher und können regeneriert werden

(2) Die Form von PCM-Signalen (,,Nullen” und ,,Einsen”) ist unabhängig vom Nach-richtensignal (Dienst, Service). PCM-Übertragungssysteme sind daher dienstetrans-parent und diensteintegrierbar, was beispielsweise bei ISDN (Integrated ServicesDigital Network) genutzt wird.

(3) Mit Bandbreitenreduktion mittels Quellencodierung - beispielsweise mittels MPEGoder MP3 - ist die Bandbreite eines PCM-Signals kleiner als die Bandbreite ent-sprechender AM-, PM- oder FM-Signale. Bei der Einführung der PCM-Technik wardieser Vorteil noch nicht gegeben, da die Bandbreitenreduktionsverfahren zu dieserZeit noch nicht ausgereift waren. Zu diesem Zeitpunkt war die größere Bandbreitevon PCM-Signalen ein Nachteil gegenüber den AM-, PM- und FM-Techniken.

N,max aBeispiel: Sprachübertragung mittels ISDN mit f = 4 kHz, n = 8 und f = 8 kHz.Hieraus folgt:

-95-

- Ohne Bandbreitenreduktion:

B g Bf = 8/125 :s = 64 kHz und f = f /2 = B = 32 kHz.Die physikalische Bandbreite B des PCM-Signals ist folglich achtmal größer als

N N,maxdie Bandbreite des Nachrichtensignals B = f = 4 kHz.

- Mit Bandbreitenreduktion:

Bei einen Reduktionsfaktor von 15 (bei Videosignalen etwa 50) folgt für dieBandbreite des PCM-Signals B = 32 kHz/15 = 2,1 kHz. Die Bandbreitenredukti-on bezogen auf das analoge Nachrichtensignal beträgt somit 4 kHz/2,1 kHz .2.Bei Videosignalen beträgt die Bandbreitenreduktion gegenüber dem Analogsig-nal etwa 6, sodass beispielsweises innerhalb der Bandbreite eines analogen TV-Kanals nunmehr sechs digitale TV-Signale untergebracht werden können.

(B) Qualitätsmerkmale

Die Qualität eines PCM-Übertragungssystem, also eines digitalen Übertragungssystems wirdersten durch seine Bitfehlerwahrscheinlichkeit (Kapitel 7), seine Bitrate und seinen Verstärker-oder Regeneratorabstand (Kostenfaktor, Bild 5.23) bestimmt.

Bild 5.23: Digitales Übertragungssystem mit Sender, Inline-Verstärkern, Regeneratoren

und Empfänger sowie einem Bitfehler bei der Übertragung

5.6 DELTAMODULATION

Bei der Deltamodulation ()M) oder der 1-Bit-Modulation wird ebenso wie bei der konventio-

Hnellen Pulscodemodulation (PCM) ein binäres Digitalsignal u (t) erzeugt. Modulator undDemodulator sind aber bei der )M im Gegensatz zur PCM einfacher zu realisieren. Bild 5.24illustriert die Funktionsweise der )M.

-96-

aBild 5.24: Prinzip der Deltamodulation oder 1-Bit-Modulation mit T = T

N aIm Gegensatz zur PCM werden bei der )M nicht die momentanen Abtastwerte u (n@T ) codiert,

N a N asondern die Vorzeichen der Änderung u ([n+1]@T ) - u (n@T ) zweier aufeinander folgenderAbtastwerte. Da dieses Vorzeichen nur zwei Zustände einnehmen kann (plus oder minus),

Ngenügt zur Codierung ein einziges Bit. Die Nachricht u (t) darf dabei allerdings nicht zu schnellansteigen wie das folgende Bild 5.25 verdeutlicht.

NBild 5.25: Fehlerhafte Codierung bei zu raschem Anstieg des Nachrichtensignals u (t)

-97-

(A) Maximal zulässige Steigung des Nachrichtensignals

N aDie Steigung des Nachrichtensignals u (t) darf während der Abtastzeit T und damit während

Nder Bitdauer T die Höhe )u einer Stufe nicht übersteigen. Hieraus folgt:

(B) Quantisierungsfehler und Quantisierungsgeräusch

NFür den Fall, dass das Nachrichtensignal u (t) die oben ermittelte maximal zulässige Steigungbzw. Schnelligkeit nicht übersteigt, unterscheiden sich )M und konventionelle PCM in punctoQuantisierungsfehler und Quantisierungsgeräusch nicht.

(C) Bandbreite bzw. Grenzfrequenz des )M-Signals

gFür die Berechnung der Grenzfrequenz f des )M-Signals wird hier das folgende sinusförmigeNachrichtensignal zugrunde gelegt:

g B a BHieraus folgt mit f = f /2 und T = T = 1/f

N,maxLöst man diese Gleichung nach der auf f normierten Grenzfrequenz auf, so folgt:

Interessant ist in diesem Zusammenhang der Vergleich mit der Grenzfrequenz eines konventio-nellen PCM-Signals. Mit

N,max NM = 2 = (2@u /)u ) n

und

B N,max N,max N,max N N,max gf = 2@n@f = 2@ld(M)@f = 2@ld(2@u /)u )@f = 2@f

-98-

folgt

Die PCM benötigt folglich eine deutlich geringere Grenzfrequenz und damit eine deutlichgeringe Bandbreite als die )M. Nehmen wir beispielsweise eine maximale Nachrichtenfrequenz

N,max N,max Nf = 4 kHz und M = 2@u /)u Quantisierungsstufen so folgt für beide Modulationsarten:

gPCM: f = 32 kHz

g)M: f = 402 kHz o 32 kHz.

(D) Modulator und Demodulator

Bild 2.26 zeigt den prinzipiellen Aufbau des Modulators und des Demodulators bei der )M. Eswird deutlich, dass insbesondere der Demodulator im Vergleich zur konventionellen PCMeinfacher zu realisieren ist.

Bild 5.25: (a) Modulator und (b) Demodulator bei der )M

-99-

6 MULTIPLEXSYSTEME

6.1 EINFÜHRUNG

In den vorigen Kapitel wurde stets stillschweigend angenommen, dass nur eine einzige Nach-richt zu übertragen ist. Die Annahme entspricht aber nicht der Realität. De facto sind immerzahlreiche Nachrichten oder Informationen gleichzeitig zu übertragen. Ohne Multiplexverfahrenmüssen hierzu ebenso viele Überstrecken parallel betrieben werden, wie Informationskanälevorhanden sind (Bild 6.1).

Bild 6.1: Merkanalübertragung ohne Multiplextechnik

i i(S : Sende- oder Informationskanäle, E : Empfänger)

Die Multiplextechnik ermöglich die Mehrfachausnutzung eines einzigen Übertragungskanals(Bild 6.2). Sie verringert folglich erheblich die Kosten der Informationsübertragung (Ersparnisan Leitungen, Zwischenverstärkern u.a.).

Bild 6.2: Merkanalübertragung mit Multiplextechnik

-100-

Es gibt die folgenden Multiplexarten:

- Frequenzmultiplex (FDM, frequency division multiplex, Abs. 6.2),

- Funktionenmultiplex, Codemultiplex (CDM, code division multiplex, Abs. 6.3),

- Zeitmultiplex (TDM, time division multiplex, Abs. 6.4) und

- Polarisationsmultiplex.

6.2 FREQUENZMULTIPLEX

Das Frequenzmultiplexverfahren wird im Rundfunk (Radio und TV), in Kabelfernsehnetzen(cable TV), in der analogen Telefonie, im Mobilfunk und in vielen anderen Bereichen einge-setzt. Das folgende Blockschaltbild 6.3 illustriert seine Funktion.

Ni Bild 6.2: Frequenzmultiplexsystem (Mod.: AM-, PM- oder FM-Modulator, u analoges oder

digitales Nachrichtensignal, z.B. ein PCM-Signal)

HDas folgende Bild 6.3 zeigt das Spektrum des Multiplexsignals u , für den Fall, dass alle

N,maxNachrichtensignale auf f bandbegrenzt sind.

-101-

Bild 6.3: Spektrum eines Frequenzmultiplexsignals

Aus Bild 6.3 wird deutlich, dass das Übertragungssystem in der Lage sein muss, auch noch die

Tz N,maxhöchste vorkommende Frequenz des Frequenzmultiplexsignals, nämlich f + f , übertragenzu können.

6.3 FUNKTIONENMULTIPLEX

Funktionenmultiplexsysteme gründen auf den Eigenschaften orthogonaler Funktionen bzw.Signale.

- Frequenzmultiplexsysteme (Abs. 6.2): Sinusförmige Träger- Zeitmultiplexsysteme (Abs. 6.4) Pulsträger- Funktionenmultiplexsysteme Orthogonale Funktionen als Träger

6.3.1 ORTHOGONALE FUNKTIONEN

i Ti j TjZwei periodische Funktionen x (t) = u (t) und x (t) = u (t) sind dann orthogonal, wenn sowohldie Bedingung

als auch die Bedingung

-102-

erfüllt sind. Aufbauend auf diesen beiden Eigenschaften orthogonaler Funktionen kann dasfolgende in Bild 6.4 dargestellte Multiplexsystem konzipiert werden.

Bild 6.4: Frequenzmultiplexsystem mit orthogonalen Trägersignalen

In diesem System sind alle Trägersignale zueinander orthogonal und erfüllen somit unterein-ander die obigen beiden Bedingungen orthogonaler Funktionen. Im Gegensatz zu einemFrequenzmultiplexsystem haben alle Trägersignale die gleiche Trägerfrequenz. Auf der Emp-fängerseite dieses Systems realisiert der Multiplikator die in obiger erster Bedingung or-

i jthogonaler Funktionen gegebene Multiplikation x (t) @ x (t) und der Integrator die in dieserBedingung aufgeführte Integration. Es ist zu beachten, dass bei dieser Integration das Nach-richtensignal vor das Integral gesetzt werden kann, da es wesentlich langsamer ist, als dasTrägersignal und somit innerhalb des Integrationsintervalls von 0 bis T praktisch kontant ist,wobei T die Periode des Trägersignals ist.

6.3.2 QUADRATURMODULATION

Die Quadraturmodulation ist eine Variante der Frequenzmultiplexsysteme,, die auf orthogona-len Trägersignalen gründen. Als der wohl praktisch wichtigste Vertreter der Quadraturmodulati-on soll hier exemplarisch die Quadraturamplitudenmodulation (QAM) näher untersucht werden.Bei der QAM werden zur gleichzeitigen Übertragung von zwei Nachrichtensignalen zweiharmonische, orthogonale Trägersignale verwendet, die beide - entgegen Frequenzmultiplex-systemen - die gleiche Trägerfrequenz haben. Bild 6.5 zeigt das Blockschaltbild der QAM.

-103-

Bild 6.5: Multiplexsystem mit QAM

Die maßgebenden orthogonalen Trägersignale in diesem System sind auf der Senderseite

und auf der Empfängerseite

Alle vier Trägersignale wurden hinsichtlich ihrer Amplitude normiert, da diese für das Ver-ständnis der Funktionsweise des Systems ohne Bedeutung ist. Alle vier Trägersignal haben alsovereinfachend die normierte Amplitude 1. Auf der Empfängerseite wurde zudem ein Phasen-fehler n angenommen. Die jeweiligen Träger im Sender und Empfänger sind folglich nichtexakt zueinander synchron. Für das Multiplexsignal folgt:

Hieraus folgt für die beiden empfangenen Nachrichtensignale

und

-104-

Die bei der Synchrondemodulation gleichfalls entstehenden hochfrequenten Anteile mit der

Tdoppelten Trägerfrequenz 2 f werden durch die Tiefpassfilter (TP) eliminiert und treten daherin den beiden obigen empfangenen Nachrichtensignalen nicht mehr auf. Ist der Phasenfehler nhinreichend klein (n << 1), so folgt mit den beiden Näherungen cos(n) . 1 und sin(n) . n

und

Der jeweils zweite Summand in diesen beiden Gleichungen ist verantwortlich für störendesKanalnebensprechen. Dies bedeutet, dass man beispielsweise beim Empfang eines Audio-

N1 N1Rundfunkkanals u (t) den Rundfunkkanal u (t) zumindest teilweise mithören kann. Nur imIdealfall, bei dem der im Empfänger zugesetzte Träger synchron zum modulierten Träger istund somit der Phasenfehler n = 0 ist, können beide Nachrichten verzerrungsfrei und ohneKanalnebensprechen empfangen werden.

6.3.3 CODEMULTIPLEX

Beim Codemultiplex (engl.: code division multiplex, CDM) werden binäre, periodisch fortge-setzte, orthogonale Codewörter als Träger genutzt. Diese unter dem Begriff der Pseudo-Zufalls-folgen bekannten Digitalsignale werden mit PN-Generatoren (PN: pseudo noise) erzeugt.

Bild 6.6: PN-Generator mit einer Periode von sieben Bit

-105-

Der in Bild 6.6 dargestellte PN-Generator liefert ein Codewort, das lediglich aus sieben Bitsbesteht. Sind zum Anfangszeitpunkt die ersten drei Speicherzellen des getakteten Schiebe-registers mit Einsen belegt, dann folgt als PN-Signal im Rhythmus des Taktes die folgende inTabelle 6.1 (letzte Spalte) aufgeführte Bitsequenz:

Takt Speicherzelle

1 2 3 4 (PN-Signal)

0 1 1 1 0

1 1 1 0 1

2 1 0 1 0

3 0 1 0 0

4 1 0 0 1

5 0 0 1 1

6 0 1 1 1

7 = 0 1 1 1 0

Tabelle 6.1: Speicherplatzbelegung eines PN-Generators mit vier Speicherzellen

Gemäß Tabelle 6.1 wiederholt sich das Bitmuster nach sieben Takten. Folglich wiederholt sicham Ausgang des Generators das in der Tabelle grau hinterlegt Codewort. Die PN-Folge amAusgang des Generators hat somit die folgende Sequenz

@@@ * 0 1 0 0 1 1 1 * 0 1 0 0 1 1 1 * 0 1 0 0 1 1 1 * 0 1 0 0 1 1 1 * 0 1 0 0 1 1 1 *@@@

Die Periode dieses pseudozufälligen Binärsignals beträgt somit P = 2 - 1 = 7. Analysiert man3

diese Folge genauer, so fällt auf, dass sie bis auf die Bitkombination 000 alle anderen dreistel-ligen Bitkombinationen beinhaltet, nämlich 001, 010, 011, 100, 101, 110 und 111. Daher eignensich diese nahezu zufälligen Folgen hervorragend zur Qualitätsbestimmung digitaler Über-tragungssysteme.

6.3.4 SPREAD SPECTRUM UND FREQUENCY HOPPING

Sowohl das Spread-Spectrum- als auch das Fequency-Hopping-Verfahren verwenden hochrati-ge PN-Folgen mit großer Periode (z.B. P = 2 -1) um ein bereits moduliertes Signal ein zweites15

Mal zu modulieren. Beim Spread-Spectrum-Verfahren wird als Ausgangsignal zumeist einbinäres PSK-Signal (2-PSK, BPSK) oder ein binäres ASK-Signal genutzt und beim Frequency-Hopping-Verfahren zumeist ein M-FSK- oder MSK-Signal.

Das folgende Blockschaltbild 6.7 führt die wesentlichen Elemente eines Spread-Spectrum-

N PNSystems auf. In diesem Bild sind u (t) die digitale Nachricht und u (t) das als Träger fungie-rende digitale PN-Signal.

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Bild 6.7:Einkanal-Spread-Spectrum-System

Nachricht und PN-Signal unterscheiden sich primär in ihrer Bitfrequenz, denn diese ist bei derNachricht wesentlich kleiner als beim PN-Träger. D.h.:

PN Bf o f .

In diesem Fall ist auf dem Übertragungsweg (Punkt Ï) ein Spektrum messbar, das gegenüberdem Spektrum am Punkt Î

PN B(1) um den Faktor f /f breiter bzw. gespreizt ist (daher spread spectrum) und eine

PN B(2) um den Faktor f /f geringere Leistungsdichte aufweist.

Das Signal verschwindet folglich auf dem Übertragungsweg (Punkt Ï) nahezu vollständig imRauschen. Daher kann man dieses Signal nur dann empfangen, wenn man die zum modulierenverwendete PN-Folge kennt und diese im Empfänger als Synchronträger zusetzt. Die Über-tragung kann auch nicht mittels sinusförmiger Störsender gestört werden, da das diracförmigeSpektrum dieses Sendes durch die Multiplikation mit dem PN-Signal im Empfänger gespreiztwird und damit nur noch als sehr schwaches Rauschen die empfangene Nachricht stört. Spread-Spectrum-Systeme sind somit erstens nahezu abhörsicher, zweitens nahezu störunempfindlichund dritten multiplexfähig, wenn man statt einer PN-Folge (Bild 6.7) mehrere orthogonale PN-Signale verwendet.Gleiche Überlegungen gelten für Frequency-Hopping-Systeme. Bei diesen Systemen wird die

PNTrägerfrequenz eines FSK-Signals in kurzen Zeitabständen (1/f ) umgeschaltet. Die jeweilsneue Trägerfrequenz wird dabei in quasi zufälliger Folge aus einem Set unterschiedlicherTrägerfrequenzen (typisch 32-500) ausgewählt.

6.4 ZEITMULTIPLEX

Das Zeitmultiplexverfahren ist heute das am weitesten Verbreiteste. Es ist das primäre Multi-plexverfahren digitaler elektrischer und optischer Übertragungssysteme. Es wird u.a. eingesetztbei der digitalen Telefonie im ISDN und beim digitalen Rundfunk. Häufig wird es in Verbin-dung mit anderen Multiplexarten gemeinsam eingesetzt.

-107-

6.4.1 MODELL UND FUNKTION

Das folgende Bild 6.8 veranschaulicht die prinzipielle Funktionsweise des Zeitmultiplex-verfahrens anhand eines einfachen Modells.

Bild 6.8:Einfaches Modell eines Zeitmultiplexübertragungssystems

Die Anwendung von Zeitmultiplex in digitalen Übertragungssystemen erfordert die folgendenGrundbedingungen:

N1 N2 Nz(1) Alle Nachrichten u (t), u (t) bis u (t) müssen bandbegrenzt sein und

(2) Für alle Nachrichtensignale muss das Abtasttheorem erfüllt sein, d.h.:

a N,max a N,maxf $2 @f bzw. T $2 @T

Hierbei gilt:

N,max N1,max N2,max Nz,maxf = max{f , f , @@@ f }.

Um das Funktionsprinzip des Zeitmultiplexverfahrens weiter zu verdeutlichen, zeigt das

Hfolgende Bild 6.9 ein typisches Zeitmultiplexsignal u (t) basierend auf der Pulsamplitudenmo-dulation (PAM) mit nur z = 4 Nachrichtensignalen.

Bild 6.9: PAM-Zeitmultiplexübertragung mit z = 4 Nachrichtensignalen

a a zZwischen der Abtastperiode T = 1/f , der Zeitschlitzlücke T zwischen zwei Abtastwertenzweier aufeinander folgender unterschiedlicher Nachrichtensignale und der Anzahl z der zuübertragenen Nachrichtensignale besteht der folgende einfache Zusammenhang.

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a zT = z @ T

Das Zeitmultiplexverfahren ist bei allen Modulationsarten einsetzbar, die auf dem Abtast-theorem gründen. Es sind dies die Pulsmodulationsverfahren PAM, PDM, PPM, PFM undPCM, wobei die PCM-Zeitmultiplextechnik die heute mit Abstand am häufigsten genutzte ist.

6.4.2 PCM-ZEITMULTIPLEX

In einem ersten Schritt ist zunächst das digitale PCM-Signal selbst zu erzeugen, sofern nichtbereits per se ein digitales Signal vorliegt. Dies geschieht gemäß dem folgenden einfachenBlockschaltbild 6.10 (vgl. auch Abs. 5.5).

Bild 6.10: Erzeugung eines PCM-Signals

Anschließend wird in einem zweiten Schritt das Zeitmultiplexsignal, indem die Bitwörter dereinzelnen PCM-Signale nacheinander auf den Übertragungskanal gegeben werden (Bild 6.11).

Bild 6.11: Zeitmultiplexbildung

(A) Zeitverlauflauf eines PCM-Zeitmultiplexsignals

Der typische Zeitverlauf eines PCM-Zeitmultiplexsignals und damit eines typischen Digital-signals ist im Bild 6.12 dargestellt. Vereinfachend wurden für dieses Bild die folgenden dreiAnnahmen getroffen:

-109-

(i) z = 4 Nachrichtenkanäle bzw. Nachrichtensignale

(ii) 16 Qantisierungsstufen je Abtastwert

(iii) 4-Bit-Codewort je quantisiertem Abtastwert (16 = 2 )4

Bild 6.12: PCM-Zeitmultiplexsignal mit z = 4 Nachrichtensignalen und 4 Bit je quantisiertem Abtastwert

Aus diesem Bild kann nun unmittelbar die Bitrate des Zeitmultiplexsignals als wichtige Kenn-größe, welche die Anforderungen an der Übertragungskanal (insbesondere in puncto seinerBandbreite) abgeleitet werden.

(B) Bitrate

Die Bitrate (Datenrate oder Bitgeschwindigkeit) eines Zeitmultiplexsignals lässt sich un-mittelbar aus Bild 6.12 ableiten.

Beispiel:

N,maxf = 4 kHz (Sprache) und n = 8

Hieraus folgt mit

z = 1: R = 64 kBit/s (Bitrate bei ISDN)

z = 32: R = 2048 kBit/s (Bitrate bei PCM 30 gemäß CCITT-bzw. ITU-Standard)

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(C) PCM30-Übertragungssystem

In einem PCM30-Übertragungssystem werden 30 Nachrichtensignale zu einem einzigengemeinsamen Zeitmultiplexsignal zusammengefasst und gemeinsam über einen einzigenÜbertragungskanal (z.B. über eine einzige Leitung) übertragen. Die folgende Grafik 6.13 zeigtdie Struktur des Multiplexsignals. In dieser Grafik repräsentiert jeder einzelne Block ein 8-Bit-Codewort.

Bild 6.13: PCM30-Rahmen

In dieser Grafik repräsentiert das 8-Bit-Codewort A die Rahmenerkennung und zeigt demEmpfänger des PCM30-Multiplexsignals jeweils den Rahmenbeginn an. Das 8-Bit-CodewortB dient der Signallisierung. Das PCM30-Übertragungssystem mit seinem PCM30-Rahmenzeichnet sich durch die folgenden Parameter:

aAbtastfrequenz: f = 8 kHzCodewort: n = 8

1Bitrate eines Kanals: R = 64 kBit/sNachrichtenkanäle: 30Betriebskanäle: 2Kanalanzahl: 32

RRahmendauer: T = 125 :sBitrate: R = 2048 kBit/s = 2,048 MBit/s

Die oben mit z bezeichnete Gesamtanzahl der Nachrichtenkanäle (z.B. verschiedene Telefonka-näle) ergibt sich beim PCM30-Übertragungssystem aus der Summe der 30 Nachrichtenkanäle(daher PCM30) und der beiden Betriebskanäle, also z = 32.

Mittels übergeordneter Zeitmultiplexer können ausgehend vom PCM30-System höhere Bitratenrealisiert werden. Das PCM30-System wird daher als PCM30-Primärübertragungssystem oderals PCM30-Grundsystem bezeichnet. Verwendet man lediglich einen weiteren Multiplexer, soentsteht das in Bild 6.14 dargestellte PCM120-System, in dem 120 niederfrequente Nach-richtensignale (NF-Signale) zu einem gemeinsamen Multiplexsignal zusammengefasst werden.

-111-

Bild 6.14: Erzeugung eines PCM120-Signals

Die Bitrate des PCM120-Signals schließt so genannte Stopfbits ein, die zur Taktanpassung dervier Zuleitungen des Mulitplexers dienen. Daher ist die Bitrate geringfügig höher als dasVierfache der PCM30-Bitrate, nämlich R = 4 @ 2048 kBit/s + 256 kBit/s = 8448 kBit/s.

(D) PCM-Hierarchie

Um noch höhere Bitraten zu erzielen werden weitere übergeordnete Multiplexer verwendet.Dadurch entsteht die folgende PCM-Hierarchie, die auch plesiochrone (siehe unten) digitaleHierarchie (PDH) genannt wird.

PCM30 2,048 MBit/sPCM 120 8,448 MBit/sPCM 480 ca. 34 MBit/sPCM 1920 ca. 140 MBit/s

PCM 7680 ca. 560 MBit/s

(E) Probleme der PCM-Zeitmultiplextechnik

Die PCM-Zeitmultiplextechnik zeichnet sich durch ein technisches und ein regulatives Problemaus. Diese sind:

- Die Multiplexbildung ist - da Stopfbits verwendet werden müssen - nur plesiochron,aber nicht synchron. Der Begriff ,,plesiochron” bedeutet ,,nahezu synchron” und stehtsomit zwischen asynchron und synchron.

- Die PCM-Hierarchie ist nicht international standardisiert, z.B. USA � Europa � Japan.

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Beispiel: USA (Normung durch ATT): 24 Kanäle à 64 kBit/s Y 1,544 MBit/sEuropa (Normung durch CCITT, heute ITU): 32 Kanäle à 64 kBit/s Y 2,048 MBit/s

Mit der Einführung des Synchronen Transport Modus (synchronous transport mode, STM) undder Synchronen digitalen Hierarchie (synchronous digital hierarchy, SDH) wurde diese Problemzumindest teilweise gelöst. STM und SDH sind erstens synchron, zweitens internationalgenormt und drittens kompatibel zur PDH (siehe oben). Beide sind Gegenstand von Kapitel 8.

6.4.3 LINEARE VERZERRUNGEN

Die Auswirkungen linearer Verzerrungen, die aufgrund der begrenzten Bandbreite des Über-tragungskanals H( f ) entstehen, werden im Folgenden zunächst anhand eines PAM-Zeitmulti-plexsystems illustriert (A) und in puncto idealer (B) und gaußförmiger Bandbgrenzung (C)näher untersucht. Anschließend werden exemplarisch die Folgen linearer Verzerrungen beiPPM-Zeitmultiplexsystemen betrachtet (D). Für die praktischen wichtigeren PCM-Zeitmulti-plexsysteme und somit für digitale Übertragungssysteme im Allgemeinen werden die Aus-wirkungen linearer Verzerrungen im Kapitel sieben untersucht.

(A) PAM-Zeitmultiplexsysteme

Bild 6.15 zeigt das Ergebnis für ein PAM-Zeitmultiplexsystem, wobei vereinfachend nur z = 3Nachrichtenkanäle angenommen werden.

Bild 6.15: Lineare Verzerrungen bei einem PAM-Zeitmultiplexsystem mit z = 3 Nachrichtenkanälen

a zZwischen der beiden in diesem Bild angegeben Zeiten T und T , der Kanalanzahl z und der

aAbtastfrequenz f besteht der folgende bereits oben ermittelte Zusammenhang:

Aus Bild 6.15 wird deutlich, das jeder Übertragungskanal aufgrund seiner per se begrenztenBandbreite eine störende Verbreiterung seiner Eingangsimpulse bewirkt. Je kleiner dabei dieBandbreite ist, umso größer ist die Verbreiterung und damit die dadurch bedingte Übertragungs-

-113-

störung. Die Impulsverbreiterung bewirkt, wie im Bild 6.15 deutlich zu erkennen ist, einstörendes Impulsnebensprechen am Kanalausgang. Die Impulse interferieren miteinander, d.h.es gibt Impulsinterferenzen.

Ein Maß für die Stärke der unerwünschten Impulsinterferenzen ist das Nebensprechverhältnisbzw. die Nebensprechdämpfung, die in Neper (Np) angegeben wird (siehe Kapitel 2). Hierbeigelten die folgenden beiden Prämissen (Bild 6.16):

(i) Berücksichtung von nur zwei benachbarten Impulsen

(ii) Beide Impulse haben die gleiche Höhe

NDas Nebensprechverhältnis k ist definiert als

Hierbei ist h(t) die zur Systemfunktion H( f ) des Übertragungskanals gehörende Impulsantwort.Alle am Kanalausgang auftretenden Impulse haben die Form der Impulsantwort; sie unter-scheiden sich lediglich in der Amplitude infolge der Pulsamplitudenmodulation (PAM) wie imBild 6.15 oben deutlich zu erkennen ist. Dies gilt selbstverständlich nur dann, wenn neben denImpulsinterferenzen infolge der Bandbegrenzung keine weiteren Störungen mehr auftreten.

Bild 6.16: Nebensprechen bei einem PAM-Zeitmultiplexsystem

N NDie Nebensprechdämpfung a in Neper (Np) berechnet sich aus dem Nebensprechverhältnis kwie folgt:

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Die Nebensprechdämpfung ist durch die beiden nachfolgenden Extremwerte begrenzt:

N N- keine Nebensprechen: b = 0 6 k = 0 6 a = 4 Np

N N- volles Nebensprechen: b = a 6 k = 1 6 a = 0 Np

Im ersten Fall sind beide Nachrichtenkanäle vollständig isoliert und zwischen beiden bestehtsozusagen eine unendliche Dämpfung. Während dieser Fall durchaus realistisch ist - wennbeispielsweise die einzelnen Impulse der einzelnen Nachrichtenkanäle nur hinreichend weitgenug auseinander liegen - ist der zweite Extremfall unrealistisch. Denn hier liegen die Abtast-werte zweier unterschiedlicher Nachrichtenkanäle direkt übereinander.

(B) Nebensprechen bei idealer Bandbegrenzung

Bei einem Übertragungskanal mit idealen Bandbegrenzung wird diejenigen Frequenzanteile deszu übertragenden Signals, die innerhalb der Bandgrenzen liegen, unverfälscht übertragen. AlleFrequenzanteile werden gar nicht übertragen. Die Systemfunktion eines Kanals mit idealerBandbegrenzung hat daher den im folgenden Bild 6.17 dargestellten Verlauf:

Bild 6.17: Systemfunktion und Impulsantwort eines Übertragungskanals mit idealer Bandbegrenzung

Für das Nebensprechverhältnis folgt hieraus:

Bild 6.18 zeigt den dazugehörigen Verlauf der Nebensprechdämpfung:

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Bild 6.18: Nebensprechdämpfung bei einem Übertragungskanal mit idealer Bandbegrenzung

Aus Bild 6.18 wird deutlich, dass das störenden Nebensprechen mit größerer Bandbreite bzw.

g Ngrößerer Grenzfrequenz f abnimmt (die Nebensprechdämpfung a folglich zunimmt) undsowohl mit steigender Kanalanzahl z als auch mit steigender maximaler Nachrichtenfrequenz

N,max Nf zunimmt (die Nebensprechdämpfung a folglich abnimmt).

(C) Nebensprechen bei gaußförmiger Bandbegrenzung

Bei Übertragungskanälen mit gaußförmiger Bandbegrenzung haben Systemfunktion undImpulsantwort den folgenden in Bild 6.19 dargestellten Verlauf:

Bild 6.19: Systemfunktion und Impulsantwort eines Übertragungskanals mit

gaußförmiger Bandbegrenzung

Für das Nebensprechverhältnis folgt dementsprechend:

-116-

Bild 6.20 zeigt den dazugehörigen Verlauf der Nebensprechdämpfung:

Bild 6.20: Nebensprechdämpfung bei einem Übertragungskanal mit

gaußförmiger Bandbegrenzung

Vergleicht am die ideale mit der gaußförmigen Bandbegrenzung so werden die beiden folgen-den Ergebnisse ersichtlich:

- Bei der idealen Bandbegrenzung kann theoretisch eine unendlich hohe Bandbegrenzungerzielt werden. Praktisch bewirkt aber bereits eine kleine Abweichung von der optima-len Filtergrenzfrequenz eine starke Verringerung der Nebensprechdämpfung, die dannsogar kleinerer Werte annehmen kann, als diejenigen bei der gaußförmigen Band-begrenzung, wie die Dämpfungswerte in den beiden Graphiken 6.18 und 6.19 zeigen.

- Die bei gaußförmiger Bandbegrenzung erreichbaren Nebensprechdämpfungen sindhinsichtlich Abweichungen in der Kanalgrenzfrequenz, aber auch hinsichtlich Abwei-chungen in der Kanalanzahl und der maximalen Nachrichtenfrequenz, stabiler als beider idealen Bandbegrenzung.

(D) Nebensprechen bei PPM-Zeitmultiplexsystemen

Bei der PPM werden im Gegensatz zur PAM nicht die Amplitude, sondern die Position dereinzelnen Impulse abhängig vom jeweiligen Abtastwert des Nachrichtensignals verändert bzw.moduliert (siehe Abs. 5.4 B). Bei PPM-Zeitmultiplexsysteme kann es daher prinzipiell vor-kommen, dass zwei Impulse zweier unterschiedlicher Nachrichtensignale aufeinander zuverschoben werden, was zu Impulsnebensprechen führen kann. Bild 6.20 verdeutlich dieseVerschiebung exemplarisch anhand zweier Nachrichtenkanäle.

-117-

Bild 6.20: PPM-Zeitmultiplexsignal mit zwei Nachrichtenkanälen

bei maximaler Impulsauslenkung

maxIn diesem Bild sind )t die Impulsbreite am Ausgang des Übertragungskanals, T die maxima-le durch die Modulation bedingte Impulsauslenkung (beispielsweise bei maximaler Nach-richtenamplitude) und )T der minimale Abstand unter der Bedingung, dass es zu keinerImpulsüberlappung kommt. Die Zeit zwischen zwei benachbarten Impulsen im unmoduliertenFall beträgt einerseits (vgl. Abs. 6.4.1):

Andererseits kann aus Bild 6.20 zusätzlich die folgende Beziehung abgelesen werden:

Das letzte Gleichheitszeichen in dieser Gleichung berücksicht die bereits im Grundlagenkapitel

g(Kapitel zwei) abgeleitete, bekannte Relation: )t @ )f = )t @ 2f = 1. Setzt man die beiden obigen

zGleichungen für T in Beziehung, so folgt als Bedingung für die Nichtüberlappung zweibenachbarter Impulse zweier unterschiedlicher Nachrichtenkanäle:

gPraktisch sind meist die Kanalgrenzfrequenz 2f und die Impulsbreite )t am Kanalausgang

N,maxsowie die maximale Nachrichtenfrequenz f gegeben. Hieraus folgt:

max- Große Kanalanzahl z 6 kleine maximal zulässige Impulsauslenkung T

max- Kleine Kanalanzahl z 6 große maximal zulässige Impulsauslenkung T

-118-

7 DIGITALE ÜBERTRAGUNGSSYSTEME

7.1 EINLEITUNG

(A) Was sind digitale Signale?

Der Begriff digital hat seinen Ursprung im Lateinischen und bedeutet im ursprünglichen Sinne,,in Ziffern darstellend”. Digitalsignale sind somit Signale, deren Zeit- und Amplitudenabhän-gigkeit durch eine endliche Anzahl diskreter Ziffern darstellbar sind. Oder kürzer:

Beispiele:

Bild 7.1: Typische Digitalsignale

(B) Warum digitale Übertragungssysteme?

Digitale Übertragungssysteme zeichnen sich im Vergleich zu analogen Übertragungssystemedurch die folgenden Vorteile aus:

� Unempfindlicher gegenüber Störungen

Nur Störsignale mit einem Störpegel oberhalb einer bestimmten Schwelle können Fehler(Bitfehler) verursachen (Bild 7.2).

� Digitalsignal können regeneriert werden

Liegt der Störsignal- oder Rauschpegel unterhalb einer bestimmten Schwelle, so kann dasDigitalsignal vollständig regeneriert werden (Bild 7.2).

Digitalsignale sind zeit- und amplitudendiskret.

-119-

Bild 7.2: Störung und Regenration von Digitalsignalen

� Möglichkeit der Fehlererkennung und Fehlerkorrektur

Ist die Anzahl an Fehlern (Bitfehlern) nicht zu hoch, so können diese mittels Kanalcodie-rung einerseits erkannt und andererseits korrigiert werden.

� Möglichkeit der Bandbreitenersparnis

Digitalsignale haben ohne zusätzliche Maßnahmen eine höhere Bandbreite als analogeSignale. Während beispielsweise ein analoges Sprachsignal in Telefonqualität einephysikalische Bandbreite von 4 kHz aufweist, besitzt ein digitalisiertes Sprachsignal beieiner Abtastfrequenz von 8 kHz und einer Codierung der Abstastwerte mit 8 Bit eine

-120-

Bandbreite von 32 kHz (siehe Abschnitt 5.5.4), also eine achtfach höhere Bandbreite.Dies war mit Einführung der Digitalisierung ein wesentlicher, aber aufgrund der obenaufgeführten Vorteile, kein entscheidender Nachteil. Durch anspruchsvolle Quellenco-dierverfahren wie MPEG oder JPEG ist es seit einigen Jahren möglich, den Bandbreiten-bedarf von Digitalsignalen so stark zu reduzieren, dass dieser heute sogar geringer ist, alsder von analogen Signalen (Bild 7.3).

Bild 7.3: Bandbreitenkompression bei digitalen Signalen

Durch diese starke Kompression ist es heute möglich, innerhalb einer gegebenen Band-breite anstatt beispielsweise eines einzigen analogen TV-Kanals, fünf digitale TV-Kanäleunterzubringen, z.B. bei DVB-T, beim digitalen Kabelfernseh oder beim digitalen Satelli-tenrundfunk.

� Diensteintegration und Kanaltransparenz

Digitalsignale sind unabhängig von der übertragenen Nachricht oder der zu übertragenenInformation stets eine Folge von ,,Einsen” und ,,Nullen”. Für alle Arten von Nachrichtenoder Diensten (services) kann somit anstatt einer Vielzahl spezieller Netze ein gemein-sames Netz verwendet werden. Das Netz ist somit transparent für alle Arten von Dien-sten. Diese Diensteintegration ist das wesentliche Merkmal des heutigen ISDN.

ISDN: Integrated Services Digital Network

(C) Qualitätskriterien

Jedes Signal - ob analog oder digital - wird während der Übertragung einerseits durch lineareund nichtlineare Verzerrungen und andererseits durch Rauschen gestört. Zur Beurteilung derStärke dieser Störungen stehen die folgenden Kriterien zur Verfügung.

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Analoge Systeme Digitale Systeme

Signalrauschverhältnis bzw. Signalstörabstand

Klirrfaktor Augenmuster

- Bitfehlerwahrscheinlichkeit

Tabelle 7.1: Qualitätskriterien bei analogen und digitalen Kommunikationssystemen

In den beiden folgenden Abschnitten werden die Qualitätskriterien digitaler Übertragungs-systeme abgeleitet und erläutert.

7.2 IMPULSINTERFERENZEN UND AUGENMUSTER

Impulsinterferenzen oder Impulsnebensprechen sind eine Folge der unvermeidbaren Band-begrenzung digitaler Kommunikationssysteme. Aus diesem Grund wird im Folgen zunächst derBlick nochmals auf die wesentlichen Komponenten eines Kommunikationssystems gerichtet.Anschließend wird das Augenmuster als eine Möglichkeit vorgestellt, die Stärke der störendenImpulsinterferenzen zu messen und zu bewerten.

(A) Kommunikationssysteme

Jedes Kommunikationssystem besteht in seiner einfachsten Darstellungen (Bild 7.4) aus dreiKomponenten, dem Sender (S), dem Übertragungskanal (K) und dem Empfänger (E).

Bild 7.4: Grundelemente digitaler Kommunikartionssysteme

Dieses Blockdiagramm, welches lediglich die Struktur eines Kommunikationssystems wieder-gibt und daher nicht für eine weiterführende Analyse geeignet ist, kann zu diesem Zweck ineinem weiteren Schritt in ein vereinfachtes Ersatzschaltbild überführt werden. Für ein digitalesBasisbandübertragungssystem, also für ein System, in dem keine Modulation zur Anwendungkommt, beinhaltet dieses Ersatzschaltbild die folgenden in Bild 7.5 dargestellten Komponenten.

-122-

Bild 7.5: Vereinfachtes Ersatzschaltbild eines digitales Kommunikartionssystems

Ein Maß für die Beurteilung der Qualität eines digitalen Übertragungssystems ist das Detek-

Etionssignal d(t) am Ausgang des Empfangsfilters H ( f ), dass einerseits die primäre Aufgabehat, das störende Rauschen in seiner Bandbreite und damit in seiner Stärke zu begrenzen,andererseits dadurch das Ausmaß der Impulsinterferenzen vergrößert. Der Realisierung desEmpfangsfilters ist folglich eine besondere Beachtung zu schenken. Frequenzgang und Band-breite des Empfangsfilters gehören in einem digitalen Kommunikationssystem zu den optimier-baren Systemgrößen in puncto einer Minimierung der Bitfehlerwahrscheinlichkeit. Das Detek-tionssignal d(t) wird zweifach gestört und zwar

• durch Rauschen einerseits und

• durch Impulsinterferenzen infolge Bandbegrenzung (linearer Verzerrung) andererseits.

(B) Impulsinterferenzen

Das Detektionssignal d(t) setzt sich anschaulich aus dem rauschfreien aber durch Impuls-

0interferenzen gestörten Detektionsnutzsignal d (t) und dem gefilterten und damit bandbegrenz-ten Rauschen n(t) zusammen:

Dabei gilt:

Das Rauschen (siehe Kapitel 2) wird im Folgenden zunächst vernachlässigt, um allein dieAuswirkungen der Impulsinterferenzen infolge der resultierenden Bandbegrenzung durch den

K EÜbertragungskanal H ( f ) und das Empfangsfilter H ( f ) zu untersuchen. In diesem Fall stellt

0sich das Detektionssignal d (t) an einem Oszilloskop wie folgt dar (Bild 7.6):

-123-

0Bild 7.6: Digitales Sendesignal a(t) und empfangenes Detektionssignal d (t)

(C) Augenmusterdarstellung

(i) Messschaltung

0Legt man das Detektionssignal d (t) an einen Oszilloskopen und triggert diesen im Bittakt (Bild7.7), so entsteht ein Muster, dass die Form eines Auges hat.

Bild 7.7: Aufbau zur Messung des Augenmuster

Das in diesem Aufbau dargestellte zu testende System, kann ein vollständiges Kommunika-tionssystem bestehend aus Sender, Kanal und Empfänger sein oder auch nur eine zu testendeTeilkomponente dieses Systems, z.B. ein einzelnes Filter.

(ii) Augenmuster

In Abhängigkeit von der Systemfunktion des zu testenden Systems oder seiner Teilkomponenteweiß das gemessene Auge bestimmte Symmetrien bezüglich Amplitude und Zeit auf. Das inBild 7.8 dargestellte Auge gründet auf einem System mit einer gaußförmigen Systemfunktionund ist folglich sowohl horizontal- als auch vertikalsymmetrisch.

-124-

Bild 7.8: Augenmuster

Das primäre Maß zur Beurteilung der Stärke störender Impulsinterferenzen ist die Augenöff-nung A. Aber auch die Zahl der im Augenmuster erkennbaren Augenlinien kann als ein solchesMaß genutzt werden, wie im Folgenden gezeigt wird.

(iii) Anzahl der Augenlinien

0Die Ursache der Signalverformungen im Detektionssignal d (t) und somit der unterschiedlichenAugenlinien im Augenmuster ist die Impulsverbreiterung durch Bandbegrenzung, insbesonderedes Übertragungskanals und des Empfangsfilters. Hierdurch kommt es zu einem Impuls- oderBitnebensprechen, bei dem sich benachbarte Impulse oder Bits gegenseitig stören. DiesesNebensprechen ist um so stärker, je mehr benachbarte Impulse oder Bits sich gegenseitig stören.Die Anzahl der Augenlinien im Augenmuster sind ein direktes Maß für die Anzahl sich gegen-seitig störender Impulse oder Bits. Dabei besteht der folgende einfache Zusammenhang.

Bei konstanter Bitrate R = 1 Bit/T gilt:

Kleiner Bandbreite ÿ stärkeres Impuls- oder Bitnebensprechen ÿ stärkere Signal-verformung ÿ größere Anzahl von Augenlinien

Bei konstanter Bandbreite B gilt:

Größere Bitrate ÿ stärkeres Impuls- oder Bitnebensprechen ÿ stärkere Signalverfor-mung ÿ größere Anzahl von Augenlinien

Zusammenfassend folgt somit:

-125-

Die Anzahl K der Augenlinien ist von der Anzahl sich gegenseitig störender Impulse oder Bitsabhängig. Bezeichnet man die Anzahl störender vorlaufender Impulse oder Bits mit v und dieAnzahl störender nachlaufender Impulse oder Bits mit n so folgt:

Beispiele:

n = v = 0 ÿ K = 2 sendeseitiges Auge von a(t)

n = v = 1 ÿ K = 8 Bild 7.8

n = v = 2 ÿ K = 32

(iv) Augenöffnung

Im Empfänger wird das Detektionssignal im Bittakt abgetastet und in puncto der Entscheider-schwelle E auf ,,0" oder ,,1" entschieden.

0d(t ) # E ÿ ,,0"

0d(t ) > E ÿ ,,1"

0Hierbei ist t der Abtastzeitpunkt, der zumeist in Bitmitte liegt. Eine Fehlentscheidung ist dabei

0 0umso wahrscheinlicher, je näher bereits der unverrauschte Abtastwert d (t ) an der Entscheider-schwelle E liegt. Selbst ein geringer Rauschpegel kann hier bereits eine Fehlentscheidung unddamit einen Bitfehler hervorrufen. Diejenigen Bitfolgen, die eine Augenlinie nahe der Ent-cheiderschwelle E haben, sind ergo am gefährdesten und werden als ungünstigste Bitfolgenoder worst case pattern bezeichnet. Diese bilden im Augenmuster das eigentliche Auge undlegen die Augenöffnung A fest (Bild 7.8). In der Praxis sind dies zumeist die beiden folgendenBitsequenzen:

@@@ 0001000 @@@ (Einzeleins) und

@@@1110111 @@@ (Einzelnull).

Für die Augenöffnung A folgt somit gemäß Bild 7.8 unter Berücksichtigung von Symme-triebeziehungen:

Je größer das Produkt B@T aus Bandbreite und Bitdauer ist, umsogeringer ist der störende Einfluss von Impulsinterferenzen und umsogeringer ist die Anzahl an Augenlinien im Augenmuster.

-126-

Zumeist wird aber nicht die absolute Augenöffnung, sondern die relative Augenöffnung alsMaß für den störenden Einfluss von Impulsinterferenzen angegeben. Sie beträgt:

Je geringer die Augenöffnung ist, umso stärker sind die störenden Impulsinterferenzen. DaImpulsinterferenzen einen direkten Einfluss auf die zu erwartende Anzahl von Bitfehlern haben,ist die Augenöffnung zugleich ein Maß für die Wahrscheinlichkeit einer Fehlentscheidung unddamit eines Bitfehlers:

(v) Berechnung der Augenöffnung

In der Praxis ist die Augenöffnung A eine häufig genutzte praktische Messgröße. Eine theoreti-sche Berechnung der Augenöffnung ist dagegen seltener erforderlich. Da sie aber einen tieferenEinblick in die Wechselbeziehung der verschiedenen Systemparameter gibt, wird sie hier kurzund ohne Beweis dargestellt. Die Augenöffnung berechnet sich aus den störenden vor- undnachlaufenden Bits oder Impulsen wie folgt:

0Hierbei beschreibt g(t ) den abgetasteten Grundimpuls des jeweils aktuellen Bits, die ersteSumme die abgetasteten Grundimpulse der nachlaufenden Bits und die zweite Summe dieabgetasteten Grundimpulse der vorlaufenden Bits. Beide Summen verringern den abgetastetenGrundimpuls des aktuellen Bits und ziehen sozusagen diesen Abtastwert näher an dieEntscheiderschwelle, was die Wahrscheinlichkeit eines Bitfehlers erhöht. Unter dem Begriff desGrundimpulses wird hier die Rechteck- oder Bitantwort des Systems H( f ) verstanden (Bild7.9).

Je kleiner die Augenöffnung A bzw. a ist, umso größer ist dieWahrscheinlichkeit eines Bitfehlers.

-127-

Bild 7.9: Der Grundimpuls g(t) als Antwort auf einen Rechteckimpuls bzw. auf ein singuläres Bit

Sind die ungünstigsten Bitfolgen, wie in Bild 7.10 dargestellt, durch die beiden Folgen Ein-zelnull und Einzeleins gegeben, so vereinfacht sich die Berechnung der Augenöffnung.

Bild 7.10: Innere Augenlinien der Bitsequenzen Einzelnull und Einzeleins

Die an Punkt Î messbare Spannung beträgt

Î 0 1 0U = U @ H(0) + (U - U ) @ g(0)

Hieraus folgt für die Bitsequenz Einzeleins ein ungünstigster Detektionsabtastwert von

1u Î 0 1 0d = U - U @ H(0) = (U - U ) @ g(0)

Desgleichen folgt für die an Punkt Ï messbare Spannung

Ï 1 1 0U = U @ H(0) - (U - U ) @ g(0)

Hieraus folgt für die Bitsequenz Einzelnull ein ungünstigster Detektionsabtastwert von

0u Ï 0 1 0 1 0d = U - U @ H(0) = (U - U ) @ H(0) - (U - U ) @ g(0)

Î Ï 1u 0uMit A = U - U = d - d folgt schließlich:

-128-

0 1Für den häufigen Fall U = -U folgt:

Die Schwierigkeiten in der Berechnung der Augenöffnung bestehen zumeist in den folgendenAspekten: Erstens in der Bestimmung der ungünstigsten Bitsequenzen, falls diese nicht Ein-zelnull und Einzeleins sind und zweitens in der Ermittlung des Grundimpulses g(t).

Die folgenden Überlegungen demonstrieren, dass die soeben gewonnene Gleichung ein Sonder-fall der zu Beginn des Unterabschnitts (v) allgemeinen Gleichung ist. Diese Überlegungen sindoptional und können vom Leser auch übersprungen werden. Ausgangspunkt sind die imfolgenden Bild 8.11 darstellten Signale.

Bild 7.11: Augenöffnung als Folge der Überlagerung (rot) der Bitantworten (schwarz)

vorlaufender und nachlaufender Bits

Aus Bild 7.11 folgt gemäß für die halbe Augenöffnung

bzw.

Hierbei repräsentiert der Ausdruck in der Klammer die Antwort des Systems auf eine Gleich-

1 1spannung U am Systemeingang, also U @H(0).

0 1Hiermit folgt mit U = -U für die Augenöffnung A, wie zu beweisen war, die bereits obenangegebene Gleichung

-129-

Bild 7.12 verdeutlicht zum Abschluss dieses Abschnitts die Entstehung der Linien im Augen-muster nochmals in einer anderen Weise und zwar für den Fall, dass das Auge vertikal- undhorizontalsymmetrisch ist und insgesamt acht Linien beinhaltet.

Bild 7.12: Entstehung der Linien in einem vertikal- und horizontalsymmetrischen Auge. Aus:

Franz, J. H., Jain, V. K.: Optical Communications - Components and Systems. CRC (Amerika),

alpha science (Europa) 2000 und in chinesischer Übersetzung bei Beejing Media 2002.

7.3 FEHLERWAHRSCHEINLICHKEIT

Ein digitales Kommunikationssystem ist in der Regel umso besser, je seltener im Empfänger eingesendetes Bit falsch erkannt wird. Die Wahrscheinlichkeit p für das Auftreten eines solchenFehlers sollte folglich möglichst klein sein. Typische Werte sind:

-130-

p < 10 bei der Satellitenkommunikation und-6

p < 10 bei der optischen Faserkommunikation.-9

Bei der optischen Faserkommunikation darf somit von 10 gesendeten Bits im Mittel nur ein+9

einziges Bit falsch erkannt werden.

(A) Ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit

mDa die Berechnung der tatsächlichen mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit (FWK) p relativaufwendig ist, wird in der Praxis meist die ungünstigste FWK

u 0 1 p := p = ½( p + p )

u m m usowohl als gute Näherung (p . p ) als auch als obere Schranke (p # p ) verwendet. Hierbeisind:

0p = p(0 ÷ 1) für @@@ 1110111 @@@

1p = p(1 ÷ 0) für @@@ 0001000 @@@

Die ungünstigste FWK bezieht sich folglich auf die beiden ungünstigsten Symbolfolgen, alsomeist auf Einzelnull und Einzeleins. Die Wahrscheinlichkeit einer Fehlentscheidung ist bei

0u 1u diesen beiden Folgen am größten, da der Abtstand ihrer Detektionsabtastwerte d und d zurSchwelle am kleinsten ist. Bei allen anderen Symbolfolgen ist der Abstand der Detektions-abtastwert zur Schwelle größer.

(B) Berechnung der ungünstigsten FWK

Die Berechnung der ungünstigsten FWK wird in fünf Schritte gegliedert. Zunächst erfolgt kurzeBetrachtung der Detektionsabtastwerte und ihrer beiden Komponenten (i) und daran anschlie-ßend eine graphische Interpretation der FWK (ii). Im dritten Schritt erfolgt die Ableitung einerGleichung zur Berechnung FWK (iii), die im vierten Schritte dazu genutzt wird, um die FWKim Hinblick auf eine optimale Entscheiderschwelle zu minimieren (iv). Dies führt im fünftenund letzten Schritt zu einem überschaubaren und kompakten Ergebnis der Berechnung derungünstigsten FWK (iv).

(i) Detektionsabtastwerte

0 0Die Detektionsabtastwerte setzen sich aus einem Nutzabtastwert d (t ) und einem Rauschabtast-

0wert n(t ) zusammen.

0 0 0 0d(t ) = d (t ) + n(t )

Für die Berechnung der ungünstigsten FWK sind die beiden folgenden ungünstigsten Detek-tionsabtastwerte maßgebend:

-131-

0 0 0ud (t ) = d für @@@ 1110111 @@@

und

0 0 1u d (t ) = d für @@@ 0001000 @@@

0u 1uZur Berechnung der beiden ungünstigsten Detektionsabtastwerte d und d siehe Abschnitt 7.2.Für eine schnelle, grobe Abschätzung der FWK können die beiden folgenden Näherungen

0u 0 1u 1d . U und d . U

verwendet werden, die ein impulsinterferenzfreies Kommunikationssystem annehmen.

0Für die Rauschabtastwerte n(t ) gilt (vgl. Kapitel 2):

0n(t ): • gaußverteilt mit Varianz F = N

• mittelwertfrei

Übertragungskanäle, die additiv durch eine derartiges Rauschen gestört werden, werden alsAWGN-Kanäle bezeichnet.

AWGN: Additive White Gaussian Noise

(ii) Graphische Interpretation

0u 1u 0Bild 7.13 verdeutlich den Zusammenhang der oben genannten vier Signalgrößen d , d , U und

1 d 0 d 1U mit den beiden gaußförmigen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen f (d)* und f (d)* und

0 1den gleichfalls bereits oben eingeführten Fehlerwahrscheinlichkeiten p und p . Es ist ersicht-lich, dass die Berechnung der ungünstigsten FWK über den Weg einer Flächenberechnungerfolgt.

Bild 7.13: Graphische Berechnung der Bitfehlerwahrscheinlichkeit

-132-

Für die nachfolgende Berechnung der ungünstigsten Bitfehlerwahrscheinlichkeit p werden diebeiden folgenden Abkürzungen verwendet:

0d(t ) = d und

0n(t ) = n.

(iii) Berechnung

Die ungünstigste Bitfehlerwahrscheinlichkeit p entspricht dem Mittelwert aus den beiden

0 1ungünstigsten Bitfehlerwahrscheinlichkeiten p und p . Für den praktisch häufigsten Fall derGleichhäufigkeit der beiden Binärsymbole 0 und 1 folgt:

Aus der obigen Graphik 7.13 folgt weiterhin:

Berücksichtigt man nun, dass das Rauschen einer Gaußverteilung folgt, so erhält man:

Zur Vereinfachung der weiteren Berechnung bieten sich die folgenden Substitutionen an:

Hiermit folgt:

-133-

1uAufgrund von Symmetriebeziehungen kann beim zweiten Integral anstatt von - 4 bis (E-d )/F

1uauch von (d -E)/F bis + 4 zu integriert werden. Unter Verwendung der Q-Funktion (sieheKapitel 2) vereinfacht sich damit die Berechnung der Bitfehlerwahrscheinlichkeit zu:

(iv) Optimierung der Entscheiderschwelle

Die ungünstigste Bitfehlerwahrscheinlichkeit wird minimal, wenn die Entscheiderschwelle E im

d 0 d 1Schnittpunkt der beiden Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen f (d)* und f (d)* liegt, waseinerseits mathematisch durch dp/dE = 0 nachgewiesen werden kann, andererseits aber bereitsunmittelbar aus Bild 7.13 deutlich wird. Das heißt:

(v) Ergebnis

Als Ergebnis der Berechnung der ungünstigsten Bitfehlerwahrscheinlichkeit p folgt somit diekompakte Gleichung

1u 0uMit der Augenöffnung A = bis d - d folgt schließlich:

(C) Einfluss des Empfangsfilters auf die Bitfehlerwahrscheinlichkeit

EGemäß Abschnitt 7.2 ist die Augenöffnung A von der Übertragungsfunktion H ( f ) des

EEmpfangsfilters bzw. von dessen Impulsantwort h ( t ) abhängig. Damit ist die AugenöffnungA maßgeblich durch die Bandbreite B dieses Filters bestimmt. Es gilt:

-134-

Weiterhin ist nach Kapitel zwei die Varianz F gleichfalls eine Funktion der Übertragungs-2

funktion des Empfangsfilters und damit gleichfalls eine Funktion von dessen Bandbreite B. DasEmpfangsfilters hat bezüglich des Rauschens die Aufgabe, dieses in seiner Bandbreite zubegrenzen und damit seinen störenden Einfluss zu reduzieren. Es gilt:

Da die beiden Prozesse (1) und (2) die Bitfehlerwahrscheinlichkeit gegenläufig beeinflussen,muss eine optimale Bandbreite B (Bild 7.14) bzw., genauer, eine optimale Übertragungs-

Efunktion H ( f ) des Empfangsfilters existieren.

Bild 7.14: Bitfehlerwahrscheinlichkeit p als Funktion der Bandbreite B

In Bild 7.14 können die folgenden drei Bereiche bzw. Punkte differenziert werden:

Î geringes Rauschen, kleine Augenöffnung ÷ große Bitfehlerwahrscheinlichkeit

Ï Minimale Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei optimaler Bandbreite

Ð starkes Rauschen, große Augenöffnung ÷ große Bitfehlerwahrscheinlichkeit

Hieraus folgt:

(1) Je größer die Bandbreite B, umso größer ist die Augenöffnung A.

(2) Je größer die Bandbreite B, umso größer ist die Rauschstreuung Fund damit der störende Einfluss des Rauschens.

EDie Übertragungsfunktion H ( f ) des Empfangsfilters bzw. dessenBandbreite B ist eine optimierbare Systemgröße.

-135-

(D) Bitfehlerwahrscheinlichkeit und Signalrauschverhältnis

Verwendet man N = F als proportionales Maß für die Rauschleistung (Kapitel 2) und S = A als2 2

proportionales Maß für die Signal- bzw. Nutzsignalleistung, so folgt für die Bitfehlerwahr-scheinlichkeit

Diese Gleichung gilt nicht allgemein, sondern unter der Bedingung binärer, also zweistufigerdigitaler Basisband-Kommunikationssysteme. Mehrstufige Kommunikationssysteme undTrägerfrequenzsysteme werden in den beiden folgenden Abschnitten 7.4 und 7.5 untersucht.

Der Verlauf der Fehlerwahrscheinlichkeitsfunktion ist, wie Bild 7.15 zeigt, im praktischenrelevanten Abschnitt, also bei Fehlerwahrscheinlichkeiten kleiner 10 sehr steil. Kleinste-6

Änderungen im Signalrauschverhältnis S/N bewirken hier bereits große Veränderungen derBitfehlerwahrscheinlichkeit p.

Bild 7.15: Bitfehlerwahrscheinlichkeit p als Funktion des Signalrauschverhältnisses S/N

Die Fehlerwahrscheinlichkeitskurve beginnt nicht bei p = 1, sondern bei p = 1/2. Der Grunddafür ist, dass bei p = 1 jedes 1-Bit als 0-Bit und umgekehrt erkannt. Hat der Empfänger hiervonKenntnis, dann genügt eine einfache Invertierung aller empfangenen Bit, um alle Bits fehlerfreizu erkennen. Aus p = 1 wird somit p = 0. Die maximale Fehlerwahrscheinlichkeit liegt folglichbei p = 1/2.

Für die in der Praxis häufig geforderte Bitfehlerwahrscheinlichkeit von p = 10 gilt die folgen--9

de sehr gute Näherung (Kapitel 2):

-136-

p = 10 = Q(6).-9

Hieraus folgt für das dazu erforderliche Signalrauschverhältnis

dBS/N = 144 bzw. (S/N) = 21, 6 dB.

Anmerkung: Anstatt des Begriffs der Bitfehlerwahrscheinlichkeit wird häufig der Begriff derBitfehlerrate bzw. im englischen Sprachgebrauch der Begriff bit error rate (BER) verwendet.Streng genommen ist dies aber nicht korrekt, da der Begriff Rate immer eine Zeitangabevoraussetzt, wie in der Absorptionsrate oder der Monatsrate bei Ratenzahlung. Eine korrekteBitfehlerrate wäre demnach beispielsweise 10 Bitfehler/s. Stattdessen wird aber in der Praxisdie Bitfehlerrate zumeist mit der Bitfehlerwahrscheinlichkeit gleichgesetzt, also beispielsweiseBER = 10 . Dies ist aus den hier genannten Gründen inkorrekt. Zwischen der Bitfehlerrate BER-9

und der Bitfehlerwahrscheinlichkeit p besteht vielmehr die folgende Beziehung:

BBER = p @ f

Bwobei f = 1/T die Bitfrequenz und T die Bitdauer ist.

(E) Augenmuster, Augenöffnung und Bitfehlerwahrscheinlichkeit

Aus den bisherigen Untersuchungen wird deutlich, dass Augenmuster, Augenöffnung undBitfehlerwahrscheinlichkeit in einen engen Verhältnis stehen. Dies ermöglicht, bei entsprechen-der praktischer Erfahrung, aus dem am Oszilloskop dargestellten Augenmuster direkt die zuerwartende Fehlerwahrscheinlichkeit abzuschätzen, wie Bild 7.16 zeigt.

Bild 7.16: Augenmuster, Augenöffnung und Bitfehlerwahrscheinlichkeit

-137-

7.4 DIGITALE TRÄGERFREQUENZSYSTEME

Während im vorigen Abschnitt digitale Basisbandsysteme untersucht wurden, stehen in diesemAbschnitt digitale Trägerfrequenzsysteme zur Diskussion, also Systeme, in denen das zuübertragene Digitalsignal zunächst mittels Modulation eines Trägersignals in einen höherenFrequenzbereich verschoben, dann übertragen und schließlich im Empfänger mittels Demodula-tion wieder detektiert wird. Typische Signalverläufe digitaler Trägerfrequenzsignale wurdenbereits im Abschnitt 2.1 aufgezeigt. In Abhängigkeit vom Modulationsverfahren sind vielfältigedigitale Trägersysteme realisierbar, wie zum Beispiel die folgenden.

ASK: Amplitude-Shift Keying (Amplitudenumtastung)

FSK: Frequency-Shift Keying (Frequenznumtastung)

PSK: Phase-Shift Keying (Phasenumtastung)

DPSK: Difference-Phase-Shift Keying (Differenzphasenumtastung)

Im engeren Sinne zählt auch die digitale Intensitätsmodulation (IM) einer Laserlichtwelle zuden digitalen Trägerfrequenzsystemen, da in diesem Fall das digitale Basisbandsignal in denBereich der Lichtfrequenzen verschoben wird. Im dabei einfachsten Fall wird das Licht einerLichtquelle, beispielsweise eines Lasers oder einer LED, im Takt der digitalen Nachricht ein-oder ausgeschaltet, was diesem Verfahren die Bezeichnung On-Off Keying (OOK) verliehenhat.

Typische Anwendungsfelder digitaler Trägerfrequenzsysteme sind beispielsweise die Satelliten-kommunikation, der Mobilfunk, die optischen Kommunikationssysteme, das digitale Kabel-fernsehnetz und der terrestrische digitale Fernsehrundfunk (DVB-T).

7.4.1 SYSTEMANALYSE

Aufgrund der Vielfalt möglicher Modulations- und Demodulationsarten (Kapitel 2) werden imfolgenden exemplarisch nur das inkohärente ASK- und das kohärente PSK-System analysiert,da beide typische Eigenschaften aufweisen, die sich auch bei allen anderen Systemvariantenfinden. Die Analyse der anderen Systemvarianten ist daher sehr ähnlich. Eine kleine Auswahldieser Varianten gibt Bild 7.16. Dieses Bild stellt nur die Empfängerseite der Systeme dar, dadiese für die Analyse hinreichend ist. Denn für die für die Beurteilung der Qualität des ge-samten Kommunikationssystems ist allein die Qualität des empfangenen Signals, also dasSignal am Ausgang der Übertragungsstrecke (Sender - Kanal - Empfänger) maßgebend. EinAuswahl von Ergebnissen der hier nicht untersuchten Kommunikationssysteme gibt dernachfolgende Abschnitt 7.4.2.

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Bild 7.17: Eine Auswahl von Empfängern digitaler Trägerfrequenzsysteme

(A) Inkohärentes ASK-System

Das der Analyse des inkohärenten ASK-Systems zugrunde liegende Blockschema zeigt Bild7.18. Es gelten die folgenden vereinfachten Annahmen:

-139-

H T(1) u (t) = a(t) @ U @ cos(2Bf t)

mit a(t) = 0 während eines 0-Bits und a(t) = 1 während eines 1-Bits.

w 0(2) n (t): weißes, gaußverteiltes Rauschen mit der Rauschleistungsdichte L in V /Hz.2

E H H(3) keine Impulsinterferenzen durch H ( f ), d.h. u '(t) = u (t)

Bild 7.18: Inkohärenter ASK-Empfänger

H HIm HF-Band (Messpunkt Î) ist unter Berücksichtung der obigen Annahme u '(t) = u (t) dasfolgende Signal messbar:

Schmalbandnäherung des Rauschens (Kapitel 2)

Der Hüllkurvendemodulator detektiert aus diesem Signal die Hüllkurve A(t), so dass im An-schluss an den Tiefpass (Messpunkt Ï) folgendes Basisbandsignal messbar ist:

Die gesendete digitale Nachricht a(t) wird zwar empfangen, aber innerhalb eines Wurzelaus-drucks (Nichtlinearität) und gestört durch die beiden Rauschprozesse x(t) und y(t). Der Idealfalld(t) = a(t) wird nicht erreicht. Es wird somit im Folgenden zu untersuchen sein, wie sich dieseStörungen auswirken. Hierüber gibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Detektionssignals

0d(t ) am Messpunkt ÐAuskunft. Zur Darstellung dieser Verteilung sind die folgenden Abkür-zungen hilfreich:

0 0 0 0d(t ) = d, a(t ) = a, x(t ) = x und y(t ) = y.

-140-

Nach Kapitel 2 sind die beiden gaußverteilten Rauschprozesse x(t) und y(t) der Schmalbandnä-herung des Rauschens durch die folgenden Varianzen statistisch bestimmt:

HFHierbei ist F die im HF-Signal, also am Punkt Î messbare Rauschstreuung, die wiederum

n identisch der Rauschstreuung F des tatsächlichen Rauschens n(t) ist. Die Wahrscheinlichkeits-

d 0 d 1 0dichtefunktionen f (d)* und f (d)* des abgetasteten Detektionssignals d(t ) = d zeigt Bild 7.19.

Bild 7.19: Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen und Bitfehlerwahrscheinlichkeit beim inkohärenten ASK-System

Da beide die beiden Rauschprozesse x(t) und y(t) dem Nutz- oder Nachrichtensignal a(t) nichtrein additiv überlagert sind, sondern quadratisch innerhalb einer Wurzelfunktion, sind dieWahrscheinlichkeitsdichtefunktionen des abgetasteten Detektionssignals d, im Gegensatz zumdigitalen, binären Basisbandübertragungssystem (Abs. 7.3), weder für das Symbol "0" noch fürdas Symbol "1" gaußverteilt. Statt dessen folgt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion beimSymbol "0" einer Rayleigh-Funktion und die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion beim Symbol"0" einer Rice-Funktion:

0Hierbei ist I die Besselfunktion nullter Ordnung. Die Bitfehlerwahrscheinlichlichkeit kannauch hier, ebenso wie bei digitalen, binären Basisbandübertragungssystemen (Abs. 7.3) übereine Flächenberechnung erfolgen. Da die beiden Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen abernicht gaußverteilt sind, ist die Berechnung allerdings weitaus umfangreicher und führt letzt-

-141-

endlich nur unter Verwendung adäquater Näherungen zu umberschaubaren, praxisgerechtenLösungen. Diese Lösung ist:

(B) Kohärentes PSK-System

Das der Analyse des kohärenten PSK-Systems zugrunde liegende Blockschema zeigt Bild 7.20.

Bild 7.20: Kohärenter PSK-Empfänger

Für die Analyse dieses Systems gelten die folgenden Bedingungen und Annahmen:

H T(1) u (t) = U @ cos(2Bf t + a(t)@B)

mit a(t) = 0 während eines 0-Bits und a(t) = 1 während eines 1-Bits.

w 0(2) n (t): weißes, gaußverteiltes Rauschen mit der Rauschleistungsdichte L in V /Hz.2

E H H(3) keine Impulsinterferenzen durch H ( f ), d.h. u '(t) = u (t)

M(4) U/U = 1

Am Messpunkt Î ist unter Berücksichtung der obigen Annahmen das folgende HF-Signalmessbar:

Die Summe aus dem zweiten und dritten Term dieses Ausdruck ist die bereits oben bei derAnalyse des inkohärenten ASK-Empfängers verwendete Schmalbandnäherung des Rauschens.Der aus dem Multiplikator und dem Tiefpass bestehende Synchrondemodulator detektiert ausdiesem Signal das folgende Basisbandsignal (Messpunkt Ï):

-142-

Hierbei ist a'(t) = +1 für a(t) = 0 und a'(t) = -1 für a(t) = 1. Da der Rauschprozess x(t) hierdem Nutz- bzw. Nachrichtensignal a'(t) additiv überlagert ist, haben beide Wahrscheinlichkeits-

d 0 d 1dichtefunktionen f (d)* und f (d)* des abgetasteten Detektionssignals d einen gaußförmigenVerlauf (Bild 7.21).

Bild 7.21: Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen und Bitfehlerwahrscheinlichkeit beim kohärenten PSK-System

Die Berechnung der Bitfehlerwahrscheinlichkeit kann aufgrund der gaußförmigen Verteilungbei den beiden Symbolen "0" und "1" in direkter Analogie zum digitalen, binären Basiband-übertragungssystem erfolgen. Das Ergebnis ist:

7.4.2 VERGLEICH DIGITALER, BINÄRER TRÄGERFREQUENZSYSTEME

Als Kriterium des Vergleichs digitaler, binärer Trägerfrequenzsysteme bietet sich das für einebestimmte Fehlerwahrscheinlichkeit erforderliche Signalrauschverhältnis an. Für eine Fehler-wahrscheinlichkeit von p = 10 folgen für das inkohärente ASK-System und das kohärente-9

PSK-System unter Verwendung der oben abgeleiteten Gleichungen für die Fehlerwahrschein-lichkeit:

S/N .160 bzw. 22 dB für das inkohärente ASK-System

und

S/N . 36 bzw. 15,5 dB für das kohärente PSK-System.

Das PSK-System benötigt folglich für die gleiche Bitfehlerwahrscheinlichkeit von p = 10 eine-9

um 6,5 dB geringere Empfangsleistung S. Dies erlaubt eine Vergrößerung der Übertragungs-reichweite oder beispielsweise eine Verkleinerung der Sende- oder Empfangsantennen bei derSatellitenkommunikation.

-143-

Die Analyse aller anderen Trägefrequenzsysteme erfolgt ähnlich der Analyse des inkohärentenASK-Systems und des kohärenten PSK-Systems, wobei die Fehlerwahrscheinlichkeit bei deninkohärenten Systeme grundsätzlich eine exponentielle Abhängigkeit aufweisen und diekohärenten Systeme stets der Q-Funktion folgen (Tabelle 7.2).

System FWK Vergleich

1 PSK (Referenzsystem)

0 dB

2 DPSK

+ 0,4 dB

3 Dual-Filter FSK mitkohärente Demodulation + 3,0 dB

4 Dual-Filter FSK mitinkohärenter Demodulation + 3,4 dB

4 Single-Filter FSK mit kohärenter Demodulation + 6,0 dB

5 ASK mit kohärenter Demodulation

+ 6,0 dB

6 Single-Filter FSK mitinkohärenter Demodulation + 6,4 dB

7 ASK mitinkohärenter Demodulation + 6,4 dB

Tabelle 7.2: Vergleich digitaler Trägerfrequenz-Übertragungssysteme.

Kriterium: erforderliches S/N-Verhältnis für p = 10-9

-144-

7.5 MEHRSTUFIGE DIGITALE KOMMUNIKATIONSSYSTEME

Bisher wurden in diesem Kapitel ausschließlich binäre Kommunikationssysteme betrachtet. Indiesem Abschnitt werden nun mehrstufige Kommunikationsysteme untersucht, die mit jedemTakt nicht nur ein einzelnes Bitssymbol Symbolen "0" oder "1" übertragen, sondern gleich-zeitig mehrere Bits.

7.5.1 KLASSIFIZIERUNG

Bild 7.22 zeigt zunächst fünf Beispiele digitaler ASK-Kommunikationssysteme, wobei dieerstens drei Beispiele 1 bis 3 binäre Systeme und die beiden folgenden Beispiele 4 und 5vierstufige Systeme darstellen.

Bild 7.22: Beispiele binärer und vierstufiger ASK-Basisbandübertragungssysteme und

ASK-TF-Übertragungssysteme (TF: Trägerfrequenz)

-145-

Bild 7.23 zeigt als weitere Beispiel vier PSK-Trägerfrequenzsysteme, wobei die ersten dreiBeispiele 6 bis 8 binäre Kommunikationssysteme sind (2-PSK oder BPSK, B: Binär) und diebeiden folgenden Beispiele 9 und 10 vierstufige Systeme (4-PSK oder QPSK, Q: Quadratur).

Bild 7.23: Beispiele binärer und vierstufiger PSK-TF-Übertragungssysteme

Mehrstufige Kommunikationssysteme sind nicht auf vier Stufen begrenzt, sondern könnengrundsätzlich auf beliebig viele Stufen erweitert werden. Ein achtstufiges System zeigt Beispiel11 in Bild 7.2.4. Ebenso können in mehrstufigen Systemen die verschiedenen Modulationsarten,wie beispielsweise ASK und PSK, kombiniert werden (Beispiel 12 in Bild 7.2.4).

-146-

Bild 7.24: Beispiele achtstufiger TF-Übertragungssysteme

Von praktischer Bedeutung, insbesondere für die Satelliten-Kommunikation und für denMobilfunkstandard UMTS, ist die Quadratur-Phasenumtastung (QPSK). Der dazugehörigeModulator kannst mittels zwei Amplitudenmodulatoren realisiert werden, wobei einmal einsinus- und einmal ein cosinusförmiges Trägersignal verwendet wird. Da beide Trägersignalezueinander orthogonal sind (Abs. 6.3.1), kann die QPSK-Modulation auch als QAM bezeichnetwerden. Das Blockschaltbild des Modulators zeigt Bild 7.25 und das des Demodulators Bild7.26.

Bild 7.25: QPSK-Modulator

Die Lage der vier Zustände in der komplexen Ebene bzw. im Phasenraum kann wie folgtermittelt werden:

-147-

Das Ausgangssignal des QPSK-Modulators hat die Form

H 1 T 2 Tu (t) = a @cos(2Bf t) + a @sin(2Bf t)

bzw. in komplexer Darstellung

H 1 T 2 T 1 2 Tu (t) = a @exp(j2Bf t) + a @(-j)@exp(j2Bf t) = (a - j@a )@exp(j2Bf t)

Damit ergibt sich die folgende Zuordnung:

1 2 1 2a a a - j@a Symbol

1 1 1 - j 11u

1 -1 1 + j 1-1u

-1 1 -1 - j 11u-

-1 -1 -1 + j 1-1u-

Tabelle 7.3: Symbolzuordnung bei der QPSK-Modulation

Bild 7.26: QPSK-Demodulator

Verwendet man zusätzlich zum QAM- bzw. QPSK-Modulator eine sogenannte Mapping-Einrichtung, so kann beispielsweise ein 64-QAM-Kommunikationssystem realisiert werden(Bild 7.27), wie es beim terrestrischen digitalen Rundfunk, also beim DVB-T (Digital VideoBroadcasting-Terrestrical), verwendet wird.

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Bild 7.27: 64-QAM

Beim 64-QAM werden Gruppen oder Symbole mit je sechs Bit gebildet, die vierundsechzigPhasen- und Amplitudenstufen zugeordnet werden. Mit der Gruppe werden somit gleichzeitigsechs Bit übertragen.

7.5.2 SYMBOLRATE

Bei mehrstufigen Kommunikationssystemen werden je Zeittakt oder Schritt nicht wie beibinären Kommunikationssystemen nur jeweils ein einziges Bit übertragen, sondern gleichzeitigmehrere Bits, die zu einer Gruppe oder einem Symbol zusammengefasst sind. Den Unterschiedzwischen den Kenndaten eines Binärsystems und einem mehrstufigen System verdeutlicht Bild7.28.

Bild 7.28: Vergleich binärer (a) und mehrstufiger (hier: vierstufiger) Übertragung (b)

Die Kenndaten sind:

Binärübertragung Mehrstufige Übertragung

ST: Bitdauer in s T : Symboldauer in s

S SR = 1 Bit/T: Bitrate in Bit/s R = 1 Symbol/T : Symbolrate in Symbol/s

B S Sf = 1/T: Bitfrequenz in Hz f = 1/T : Symbolfrequenz in Hz

-149-

Bei einem M-stufigen Kommunikationssystem beinhaltet jedes Symbol n Bits. Dabei gilt:

B SZwischen der Bitfrequenz f und der Symbolfrequenz f besteht in Analogie zu Bild 7.28 derfolgende Zusammenhang:

Für den Sonderfall der Binärübertragung mit n = 1 folgt, wie zu erwarten, die Identität von

B S B SBitdauer und Symboldauer, also T = T , und von Bitfrequenz und Symbolfrequenz, also f = f .

7.5.3 BANDBREITE

Damit ein Übertragungskanal, z.B. ein Koaxialkabel, das mehrstufige Signal übertragen und deranschließende Empfänger dieses Signal fehlerfrei detektieren kann, muss der Übertragungs-kanal in Analogie zum Binärsystem (Abs. 5.5.4) mindestens eine physikalische Bandbreite oderGrenzfrequenz von

Saufweisen. Für den Sonderfall des Binärsystems (n = 1, T = T ) folgt, wiederum wie zu erwar-

g Bten, die bereits in Abs. 5.5.4 abgeleitete Grenzfrequenz f = f /2 = 1/(2T). Ist die Kanalgrenz-frequenz gegeben, weil beispielsweise das Übertragungsmedium bzw. der Übertragungskanalbereits vorhanden ist oder eine verfügbare Bandbreite vorgegeben ist (z.B. 4 kHz beim analogenTelefonkanal), so folgt aus obiger Gleichung eine maximal übertragbare Bitfrequenz

B Bbzw. eine maximal übertragbare Bitrate R = 1 Bit/T = 1 Bit @ f .

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7.5.4 MEHRSTUFIGE VERSUS BINÄRE KOMMUNIKATIONSSYSTEME

Mehrstufige Kommunikationssysteme weisen gegenüber binären Kommunikationssystemenzwei wesentliche Vorteile, aber auch einen Nachteil auf. Diese sind:

Vorteile:

- Höhere Bitrate bei gegebener Kanalbandbreite bzw. Kanalgrenzfrequenz

- Geringerer Bandbreitenbedarf bei gegebener Bitrate

Nachteil:

- Größere Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei gleicher maximaler Sendeamplitude, da dieeinzelnen Symbole enger beieinander liegen.

Selbstverständlich kann man die Bitfehlerwahrscheinlichkeit dadurch verringern, dass man die

1 0maximale Sendeamplitude erhöht. Sind beispielsweise in Bild 7.28a u = 1 V und u = -1 V und

11 00wählt man in Bild 7.28b u = 4 V und u = -4 V, dann ist der Abstand zwischen den direktbenachtbarten Symbolen des vierstufigen Systems ebenso 2 V wie beim Binärsystem. In diesemFall ist die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit (nächster Abschnitt) in beiden Systemengleich und der oben genannte Nachteil scheint aufgehoben. Doch dieser Schein trügt. Denn nunzeigt sich beim vierstufigen System ein neuer Nachteil, der bei gleicher maximaler Sendeam-

1 11plitude ( u = u = 1 V) nicht gegeben ist. Es erfordert im Maximalfall eine 16-fache Leistung(da die Leistung proportional dem Quadrat Spannung ist) und verbraucht damit eine 16-facheEnergie.

7.5.5 SYMBOL- UND BITFEHLERWAHRSCHEINLICHKEIT

Die Fehlerwahrscheinlichkeit in mehrstufigen Kommunikationssystemen hängt nicht allein vomAbstand der Symbole ab, sondern, wie Bild 7.29 zeigt, auch von Zuordnung der Bits zu deneinzelnen Symbolen.

Bild 7.29: Unterschiedliche Zuordnungen von Bits zu Symbolen in einem QPSK-System

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Je enger Symbole zusammenliegen, um so wahrscheinlicher ist, dass infolge Rauschens einSymbol falsch erkannt wird und damit ein Symbolfehler und als Folge davon Bitfehler auf-treten. In Bild 7.29 sind daher Übergänge oder Symbolfehler der Art Ï wahrscheinlicher, alsÜbergänge oder Symbolfehler der Art Î. Natürlich können hin und wieder auch Symbolfehlerder Art Î auftreten, aber eben bei weitem seltener als diejenigen der Art Ï. In Analogie zu denBinärsystemen kann also auch bei mehrstufigen Systemen eine ungünstigste Fehlerwahr-scheinlichkeit ausgemacht werden (Abs. 7.3):

Î Unwahrscheinlicher Symbolfehler

Ï Wahrscheinlicher Symbolfehler ÷ ungünstigste Symbolfehlerwahrscheinlichkeit

In Bild 7.29a verursacht ein Symbolfehler (z.B. 11 wird als 01 erkannt) meist nur ein Bitfehler.Aufgrund der ungünstigen Codierung bzw. Zuordnung der Bits zu den Symbolen in Bild 7.29b,bewirkt hier ein Symbolfehler meist zwei falsche Bits. Es ist somit bereits bei der Konzipierungdes Systems darauf zu achten, solche systeminhärenten Fehler zu vermeiden.

SDie ungünstigste Symbolfehlerwahrscheinlichkeit p und Bitfehlerwahrscheinlichkeit p sinddurch die Rauschstreuung F und durch die Minimaldistanz D bestimmt (Bild 7.29). Bei kohä-renter Detektion gilt:

Man beachte die Ähnlichkeit dieser Gleichung mit der Formel für die Bitfehlerwahrscheinlich-keit für binäre Basisbandsysteme (Abs. 7.3), in der statt der Minimaldistanz D die Augenöff-nung A stand, die letztendlich als Abstand zwischen den beiden ungünstigsten Detektionsabtast-

u1 u0 u1 u0werten d und d gleichfalls ein Minimalabstand ist: D = A = d - d . Aus der ungünstigstenSymbolfehlerwahrscheinlichkeit folgt näherungsweise die ungünstigste Bitfehlerwahrschein-lichkeit

Abschließend soll als Beispiel nochmals das QPSK-System näher betrachtet werden, bei dempro Schritt n = 2 Bit zugleich übertragen werden. Gemäß Bild 7.29 beträgt bei diesem Systemdie Minimaldistanz

Die Varianz des Rauschen beträgt gemäß Abschnitt 2.6 und Abschnitt 7.5.3

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Hieraus folgt für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit

Der letzte Term in dieser Gleichung folgt aus S/N = D /F . Diese Gleichsetzung ist in Überein-2 2

stimmung zu der in Abs. 7.5.3 verwendeten Gleichung S/N = A /F . Führt man in analogerweise2 2

die Berechnung der Symbolfehlerwahrscheinlichkeit auch für höherstufige Systeme aus, sofolgt das in Bild 7.30 graphisch dargestellte Ergebnis. In diesem Bild wird angenommen, dass

Sjeder Symbolfehler stets nur ein Bitfehler verursacht, also p = p ist. Zudem wird eine bei allenStufen gleiche Bitrate R = 1 Bit/T angenommen.

Bild 7.30: Unterschiedliche Zuordnungen von Bits zu Symbolen in einem QPSK-System

Es wird deutlich, dass mit größerer Stufenanzahl M die Anforderungen an das Signalrausch-verhältnis S/N größer werden, da mit wachsendem M die einzelnen Symbole enger beieinanderliegen. Andererseits wächst bei konstantem S/N die Fehlerwahrscheinlichkeit mit steigenderStufenanzahl M. Es fällt auf, dass die beiden Systeme mit M = 2 und M = 4 bei großem Signal-rauschverhältnis eine gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit aufweisen. Der Grund hierfür ist, dassbeim Binärsystem mit M = 2 sowohl die Minimaldistanz D als auch die Rauschstreuung F umden Faktor %2 größer ist als beim vierstufigen System mit M = 4. Erstes ist der Fall, weil beigleicher maximaler Sendeamplitude die beiden Binärsymbole "0" und "1" weiter auseinanderliegen als zwei unmittelbar benachbarte Symbole beim vierstufigen System, z.B. die beidenSymbole "11" und "10" in Bild 7.29a. Zweites ist der Fall, weil bei gleich Bitrate die für dasBinärsystem benötigte Bandbreite größer ist, als die für das vierstufige Systeme (Abs. 7.5.3)

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und mit der Bandbreite zugleich der störende Einfluss des Rauschens größer wird, der in derRauschstreuung F zum Ausdruck kommt. Beides hebt sich gegenseitig auf. In formaler Schreib-weise stellt sich diese wie folgt dar:

Binärsystem:

Vierstufiges System:

Während Binärsystem und vierstufiges System folglich bei großen SignalrauschverhältnissenS/N nicht unterscheiden, gibt es aber dennoch einen Unterschied in der Fehlerwahrscheinlich-keit bei kleinen Signalrauschverhältnissen S/N wie in Bild 7.30 zu sehen ist. Der Grund hierfürist, dass bei kleinen Signalrauschverhältnissen S/N, beispielsweise infolge eines starken Rau-schens, zunehmend auch die bislang unwahrscheinlichen Symbolfehler möglich werden, dienicht nur einen Bitfehler, sondern gleich zwei Bitfehler zur Folge haben. Ein solcher Symbol-fehler ist beispielsweise der Übergang Î vom Symbol "11" zum Symbol "00" in Bild 7.29a.

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8 SYNCHRONER UND ASYNCHRONER ÜBERTRAGUNGSMODUS

In diesem Kapitel werden zwei Übertragungsmoden vorgestellt, die in gegenwärtigen Kommu-nikationssystemen eine besondere Rolle zukommt. Es sind dies der synchrone Transportmodus(STM, Abs. 8.1) und der asynchrone Transportmodus (ATM, Abs. 8.2). Beide Moden werdenhier nur einführend betrachtet. Für weiterführende und tiefergehende Betrachtungen wird aufdie einschlägige Fachliteratur verwiesen.

8.1 SYNCHRONER ÜBERTRAGUNGSMODUS

Der synchronen digitalen Hierarchie (SDH; engl.: Synchronous Digital Hierarchy), die densynchronen Übertragungs- oder Transportmodus (STM) als Baustein beinhaltet, liegen diefolgenden drei Entwicklungsschritte zugrunde:

(1) Plesiochrone Digitale Hierarchie (PDH),

(2) Synchronous Optical Network (SONET, USA, 1985), erstes Synchronnetz,

(3) SDH (beinhaltet SONET), seit 1988 weltweiter Standard.

Bei der PDH - bekannter unter der Bezeichnung PCM-Hierarchie - werden höherratige Daten-signale (z.B. PCM-120) durch plesiochrone Multiplexbildung niederratiger Signale (z.B. PCM-30) gebildet. Hierzu werden Stopfbits, Rahmen und Überrahmen benötigt. Jede Hierarchiestufeerfordert einen neuen Rahmen. Aus dem hochratigen Signal der höchsten Hierarchiestufe kanndaher das PCM-30 Basissignal nur Schritt für Schritt durch fortgesetztes Demultiplexenzurückgewonnen werden.

(A) Synchroner Transportmodus 1 (STM-1)

Der Nachteil der PDH wird bei der SDH beseitigt. Hier kann auch in der hochratigsten Hierar-chiestufe noch auf jedes einzelne Signal zurückgegriffen werden. Die technische Grundlagehierfür ist der synchrone Transportmodus 1 (STM-1). Im Gegensatz zur eindimensionalenRahmenstruktur der PCM-Hierarchie werden hier die Daten in einen zweidimensionalenRahmen mit 9 Zeilen und 270 Spalten gepackt (Bild 8.1). Dieser setzt sich zusammen aus dem

- STM-1 Container mit 2349 Bytes, die Nutzinformation,

und einem

- Section Overhead mit 81 Bytes, die Steuer-, Signalisierungs- und Managementdaten.

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Bild 8.1: Struktur des Synchronen Transportmodus 1 (STM-1)

Vergleich man den für den Betrieb des System benötigten Overhead des STM-1 mit dem desPCM-30, so folgt ein deutlicher Unterschied:

! PCM-30: 2x8 Bit = 16 Bit Overhead

! STM-1: 9x9 Bytes = 648 Bit Overhead

Ebenso deutlich ist der Unterschied in der Bitrate. Sowohl der PCM -30 Rahmen als auch derSTM-1 Rahmen werden innerhalb 125 :s sequentiell bitweise ausgelesen. Beim PCM-30 ergibtsich damit eine Bitrate von 2048 MBit/s (Abs. 6.4.2). Beim STM-1 folgt dagegen eine Bitratevon

Diese Bitrate setzt sich zusammen aus der Informationsbitrate von 150,34 MBit/s und derOverheadbitrate von 5,18 MBit/s. Die Informationsbitrate von STM-1 ist größer als die Bitratedes PCM-960 Systems (139,264 MBit/s). Der STM 1 Informationscontainer kann folglich dasPCM-960 Signal aufnehmen. Es ist abwärtskompatibel.

Jedes Byte des STM-1 Rahmens oder Containers wird alle 125 :s ausgelesen und übertragen.Für die einzelnen Bytes des Containers folgt somit eine Bitrate von

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Jedes einzelne Byte des STM-1 Containers entsprich folglich einem 64 kBit/s-Kanal und somiteinem ISDN-Kanal.

(B) Synchroner Multiplexer

Um höhere Bitraten als 155,52 MBit/s zu erzielen, werden ähnlich wie bei der PCM überge-ordnete Multiplexer eingesetzt. Aus dem STM-1 Signal folgt somit nach einer ersten Multi-plexstufe ein STM-4 Signal (Bild 8.2).

Bild 8.2: Synchroner Multiplexer

In diesem Bild entspricht jedes einzelne Quadrat an den vier Eingängen einem STM-1 Rahmen.Die Folge 1a 1b 1c 1d auf Leitung 1 stellt somit ein STM-1 Signal dar, in dem die einzelnenSTM-1 Rahmen sequentiell aufeinander folgen. Im Multiplexer werden jeweils vier STM-1Rahmen zu einem STM-4 Rahmen zusammen gefasst. Bei insgesamt vier Eingangsleitungenfolgt somit für das STM-4 Signal eine gegenüber dem STM-1 Signal exakt vierfache Bitrate,nämlich 4 x 155,52 MBit/s = 622,08 MBit/s. Da auch diese Bitrate dem gegenwärtigen Kom-munikationsbedarf nicht gerecht wird, werden dem in Bild 8.2 dargestellten synchronenMultiplexer weitere Multiplexerstufen übergeordnet. Auf diese Weise ergibt sich die folgendeSynchrone Digitale Hierarchie (SDH):

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STM 1 155,52 MBit/s

STM 4 622,08 MBit/s

STM 16 2488,32 MBit/s, also etwa 2,5 GBit/s

STM 64 9953,28 MBit/s, also etwa 10 GBit/s

STM 256 39813,12 MBit/s, also etwa 40 GBit/s

OC 1 51,84 MBit/s

OC 3 155,52 MBit/s

OC 12 622,08 MBit/s

OC 48 2488,32 MBit/s, also etwa 2,5 GBit/s

OC 192 9953,28 MBit/s, also etwa 10 GBit/s

OC 768 39813,12 MBit/s, also etwa 40 GBit/s

Tabelle 8.1: Synchrone Digitale Hierarchie (SDH)

der International Telecommunication Union - Telecommunication Standardization Sector (ITU-T)

Zum Vergleich zeigt die folgende Tabelle 8.2 die in den Vereinigten Staaten verwendeteSONET-Hierarchie, die eine kleinere Basisdatenraten aufweist.

Tabelle 8.2: Hierarchie des Synchronen Optischen Netz (SONET)

des American National Standards Institute (ANSI)

Die hohen Datenraten der obersten Stufen der SDH oder der SONET-Hierarchie sind nur nochvia optischer Kommunikationssysteme übertragbar, die Laser als Sender und Lichtwellenleiterals Übertragungskanal verwenden. Besonders hohe Datenraten werden erzielt, wenn zusätzlichzum synchronen Multiplexen optisches Frequenzmultiplex verwendet wird, das unter demBegriff des Wellenlängenmultiplexes (WDM: wavelength division multiplex) geläufig ist. EinBeispiel zeigt Bild 8.3.

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Bild 8.3: Synchrones Multiplexen in Verbindung mit Wellenlängenmultiplex

Neben dem synchronen Transportmodus der synchronen digitalen Hierarchie ist gegenwärtigauch ein asynchroner Transportmodus geläufig, der im folgenden kurz vorgestellt wird.

8.2 ASYNCHRONER ÜBERTRAGUNGSMODUS

Die üblicherweise benutzte und damit geläufigere englische Bezeichnung dieses Modus lautetAsynchronous Transfer Mode (ATM). Dieser ist eine nahezu ideale Übertragungs- und Multi-plextechnik für die Dienste in einem digitalen Netz, insbesondere im Breitband-ISDN (B-ISDN).

Der wesentliche Vorteil von ATM ist seine variable Datenrate. Netze, die auf ATM basierensind unabhängig von der Datenrate der zu übermittelnden Dienste, wie beispielsweise Sprachemit 64 kBit/s oder Video mit 2 MBit/s. ATM-Netze sind folglich hinsichtlich der gemeinsamen,gleichzeitigen Übermittlung unterschiedlicher Dienste sehr flexibel, was durch folgendenAusspruch besonders zum Ausdruck kommt: ,,Gebt uns 50 MBit/s, den Rest erledigen wirselbst!”

ATM-Netze sind wie ISDN verbindungsorientiert und ebenso wie Datennetze paketorien-tiert. Als verbindungsorientiertes Netz gliedert sich jede Informationsübertragung in dreiPhasen

1. Verbindungsaufbau

2. Kommunikation, Datenaustausch

3. Verbindungsabbau.

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Die Pakete bei ATM werden Zellen genannt und haben eine feste Größe durch die ITU stan-dardisierte Größe von 53 Byte. Das folgende Bild 8.4 veranschaulich die Entstehung der Zellen.

Bild 8.4: Asynchroner Transportmodus (ATM)

Eine ATM-Verbindung bzw. ein ATM-Netz kann solange neue Zellen aufnehmen und über-tragen, bis seine es an die physikalische Grenze seiner übertragbaren Bitrate stößt. Die Grenzehängt ab von den verwendeten Komponenten, insb. vom verwendeten Übertragungskanal(Kupferzweidrahtleitung, Koaxialkabel oder Lichtwellenleiter). Ist die maximal übertragbareBitrate erreicht, werden alle weiteren Zellen abgewiesen, wie das folgende Bild 8.5 veranschau-licht. Aus diesem Bild wird auch die Asynchronität des Modus deutlich. Denn gegenüber STMwird hier der Übertragungskanal nicht gleichmäßig und gleichtaktig mit Zellen belegt, sondernabhängig von der vom Kunden gewünschten Übertragungskapazität mit mehr (schwarze Zellen,z.B. Video) oder weniger Zellen (linierte Zellen, z.B. Sprache).

Bild 8.5: Das Trichterprinzip des asynchronen Transportmodus

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8.3 GEGENÜBERSTELLUNG DES SYNCHRONEN UND ASYNCHRONEN TRANS-

PORTMODUS

Synchroner und asynchroner Transportmodus unterscheiden sich nicht nur in puncto Syn-chronität und Asynchronität, sondern, wie Tabelle 8.3 zusammenfasst, auch in der Art undWeise, wie die Signale, Zellen oder Pakete innerhalb eines Netzes übertragen (verbindungs-orientiert oder verbindungslos) und vermittelt werden (leitungsvermittelnd oder paketver-mittelnd).

STM ATM PTM

Leitungsvermittlung

(Line-switching)

Paketvermittlung

(Packet-switching)

Paketvermittlung

(Packet-switching)

Verbindungsorientiert

(Connection-based)

Verbindungsorientiert

(Connection-based)

Verbindungslos

(Connectionless)

Realer Schaltkreis

(Circuit)

Virtueller Schaltkreis

(Virtual circuit)

Virtueller Schaltkreis

(Virtual circuit)

Tabelle 8.3: Vergleich der Transportmoden STM (Synchronous Transfer Mode),

ATM (Asynchronous Transfer Mode) und PTM (Packet Transfer Mode)

Synchroner und asynchroner Transportmodus stehen nicht in Konkurrenz zueinander, sondernhaben das Potential, einander zu ergänzen. Während der asynchrone Transportmodus eherdirekt auf die übertragenen Dienste bezogen ist, übernimmt der synchrone Transportmodus eherdie Aufgabe eines gleichmäßig getakteten Transportbandes. Unberücksichtigt technischerExaktheit kann man sich daher das Zusammenwirken beider Moden bildlich wie folgt vor-stellen: der synchronen Transpotmodus ist ein gleichmäßig laufendes Fließband, das von denKunden ungleichmäßig mit mehr oder weniger Zellen belegt wird. Damit ergibt sich diefolgende mögliche, aber nicht zwingend notwendige Ebenenstruktur (Bild 8.6). Die untersteEbene oder Schicht dieser Struktur ist die physikalische und wird hier durch eine Lichtwellen-leiterverbindung unter Verwendung des Wellenlängenmultiplexverfahrens realisiert. Dieoberste Ebene wird durch die zu übertragenen Dienste repräsentiert und damit durch dieÜbertragungswünsche der beiden Teilnehmer A und B. Die beiden mittleren Ebenen geben die

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! ISO International Organisation for Standardisationz.B. das Sieben-Schichten- oder OSI-Modell (OSI = Open Systems Interconnections)

! ITU-T International Telecomunication Unit -Telecommunication Standardization Sectorz.B. SDH, DenseWDM-Kanalraster

! ANSI American National Standards Institutez.B. SONET

! IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineersz.B. Zugriff auf lokale Netze (Token-Ring u.a.)

Aufgabenteilung - Dienstevermittlung und Signal- bzw. Zellentransport - vom synchronen undasynchronen Transportmodus wieder.

Bild 8.6: Mögliche Ebenen- oder Schichtenstruktur mit einem Zusammenwirken

des synchronen und asynchronen Transportmodus

Die in diesem vorgestellten Transport- oder Übertragungsmoden sind international standardi-siert, auch wenn national zum Teil unterschiedliche Standards zum Einsatz kommen, da essowohl national als auch international agierende Standardisierungsverbände und Institutionengibt. Die folgende Tabelle gibt die vier gegenwärtig bedeutendsten Institutionen wieder, dieStandards im Bereich der Kommunikationstechnik und Kommunikationssystemen erstellen.

Tabelle 8.4: Vier bedeutende Standardisierungsorganisationen der Kommunikationstechnik

-162-

9 OPTIMIERUNG

Bei jeder Optimierung ist zunächst die Frage nach dem Kriterium zu beantworten, das dieRichtschnur und das Maß der Optimierung bilden soll. Bei analogen als auch bei digitalenKommunikationssystemen könnte beispielsweise die zu die zu maximierende Übertragungs-länge sein. Bei digitalen Kommunikationssystemen bietet sich die zu maximierende Bitrate alsein Kriterium der Optimierung an.

Ein für analoge als auch für digitale Kommunikationssysteme besonders geeignetes Optimie-rungskriterium ist das Signalrauschverhältnis, bei digitalen Systemen darüber hinaus noch dieWahrscheinlichkeit eines Bitfehlers. Das Ziel der Optimierung von Kommunikationssystemenist somit die Maximierung des Signalrauschverhältnisses oder die Minimierung der Bitfehler-wahrscheinlichkeit. Bei digitalen Kommunikationssystemen ist die Maximierung des Signal-rauschverhältnisses gleichbedeutend mit dem Ziel, bei einer gegebenen Bitrate und einervorgegebenen Übertragungsreichweite eine geforderte Bitfehlerwahrscheinlichkeit mit einemmöglichst geringen Signalrauschverhältnis zu erreichen. In diesem Fall ist ein System A, das füreine Bitrate von 10 GBit/s, eine Übertragungsreichweite von 10 km und eine Bitfehlerwahr-scheinlichkeit von 10 einen Signalrauschabstand von 20 dB benötigt, besser als ein System B,-10

das für die gleiche Bitrate, die gleiche Übertragungsreichweite und die gleiche Bitfehlerwahr-scheinlichkeit einen um 3 dB größeren Signalstörabstand von 23 dB benötigt. Das System A istbesser, weil es bei gleicher Stärke des Rauschens nur eine Signalleistung benötigt, die um dieHälfte kleiner sein darf, als die vom System B benötigte Signalleistung. Offen bleibt dabeivorerst die Frage, ob es vielleicht ein System C gibt, dass bei gleicher Bitrate, gleicher Überta-gungsreichweite und gleicher Bitfehlerwahrscheinlichkeit einen noch kleineren Signalrausch-abstand als 20 dB und folglich eine noch kleinere Signalleistung erfordert. Falls es ein solchesSystem gibt ist weiter zu fragen, bis zu welcher Grenze der Signalrauschabstand und damit dieSignalleistung minimiert werden können, ohne dass Bitrate, Übertragungsreichweite oderBitfehlerwahrscheinlichkeit Einbußen erleiden. Diese Fragen zu beantworten ist die Aufgabeder Optimierung von Kommunikationssystemen.

Eine Grundlage für die Optimierung digitaler Kommunikationssysteme ist die Informations-theorie und die sogenannte Shannon-Grenze bezüglich des kleinstmöglichen Signalrausch-verhältnisses bei gegebener Bitrate und fehlerfreier Übertragung (Abs 9.1). Eine praktischeAnnäherung an diese theoretische Grenze ist prinzipiell mittels signalangepasster Optimalfilter(Abs. 9.2) und mit Kanalcodierung möglich (9.3). Beide Verfahren werden kurz und ohneAnspruch auf theoretische Vollständigkeit vorgestellt.

9.1 INFORMATIONSTHEORIE

folgt

-163-

9.2 SIGNALANGEPASSTE FILTER

Optimale Filter liefern das bestmögliche Signalrauschverhältnis und folglich zugleich diekleinstmögliche Bitfehlerwahrscheinlichkeit. Optimalfilter sind zur Erfüllung dieser Aufgabean ihr Eingangssignal in besonderer Weise angepasst. Sie werden daher als signalangepassteFilter oder als Matched Filter bezeichnet. Ausgangspunkt der Herleitung der Systemfunktionoder der Impulsantwort des Optimalfilters ist der folgende Ausschnitt eines Blockschaltbildeseines digitalen Empfängers.

Bild 9.1: Optimierungsaufgabe in einem digitalen Empfänger

9.2.1 HERLEITUNG DER SYSTEMFUNKTION UND IMPULSANTWORT

Die Signalleistung am Ausgang eines Optimalfilters zum Abtastzeitpunkt ist

Für die Rauschleistung erhalten wir

Hieraus folgt mit x = * x * für das Signalrauschverhältnis der Ausdruck2 2

-164-

Mit der Schwartzschen Ungleichung

und den beiden Substitutionen

folgt für das Signalrauschverhältnis

Der Maximalwert und somit der Bestwert des Signalrauschverhältnisses beträgt folglich

Diesen Maximalwert kann nur dann erreicht werden, wenn in der obigen Ungleichung dasGleichheitszeichen gegeben ist. Nach Schwartz tritt dies für den Fall ein, dass

ist, wobei K eine frei wählbare Konstante ist. Das Optimalfilter, welches das maximale Signal-rauschverhältnis ermöglicht, muss demnach die folgende Systemfunktion aufweisen:

-165-

Für den in der Praxis zumeist gegebenen Sonderfall einer Störung durch weißes Rauschen mit

0L(f ) = L , geht diese Gleichung über in die Systemfunktion des Matched Filters:

Die dazugehörige Impulsantwort erhalten wir durch die Fourier-Rücktransformation

Das Ergebnis dieser Transformation ist

Die Impulsantwort des Matched Filters ist folglich bis auf die übertragungstechnisch unbedeu-

0tende Konstante c identisch dem gespiegelten und um den Abtastzeitpunkt t verschobenen

HEmpfangsimpuls bzw. Empfangsimpulsfolge u (t). Bild 9.2 gibt ein Beispiel. In diesem Bildkann man sich den Eingangsimpuls als ein verzerrtes, nicht-rechteckförmiges Bit mit der

2Bitdauer T = t vorstellen.

Bild 9.3: Eingangssignal und Impulsantwort eines Matched Filters

Ist der Empfangsimpuls und somit das Signal am Eingang dies Matched Filters rechtecktförmig,wie beispielsweise bei einem unverzerrten und unverrauschten binären Digitalsignal, so folgenfür die Impulsantwort und für das Ausgangssignal des Matched Filters die folgenden in Bild 9.2skizzierten Ergebnisse:

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Bild 9.3: Eingangssignal, Impulsantwort und Ausgangssignals eines Matched Filters

Es wird deutlich, dass die Bitbreite am Ausgang des Matched Filters doppelt so groß ist wie amEingang, nämlich 2T. Der Maximalwert des Ausgangssignals wird in Bitmitte und somit zum

0Abtastzeitpunkt t = T erreicht. Betrachtet man nicht nur ein einzelnes Bit am Eingang desMatched Filters, sondern eine Bitfolge, so stellt sich das Ergebnis wie folgt dar (Bild 9.4):

Bild 9.4: Eingangs-, Detektions- und Ausgangssignals eines digitalen Empfängers

mit Matched Filter

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Bei einem rechtechtförmigen Eingangssignal, wie beispielsweise bei einem Bit eines unverzerr-ten Digitalsignals, ist die Impulsantwort des signalangepassten Filters, also des Matched Filters,gleichfalls rechtecktförmig. Sein Frequenzgang hat ergo den Verlauf einer si-Funktion.

1Unter der kommunikationstechnisch unbedeutenden Annahme c@ U @T = 1 ist sein Verlauf wirfolgt (Bild 9.5).

Bild 9.5: Systemfunktion bzw. Frequenzgang eines Optimalfilters für

rechteckförmige Eingangssignale

Das auf rechteckfömige Eingangssignale signalangepasste Optimalfilter ist folglich ein so-

ggenannter Spalttiefpass mit einer mathematischen Bandbreite von 2f = 1/T. Das Produkt von

gGrenzfrequenz und Bitdauer ist somit f @T = 0,5 (vgl. Abs. 5.5.4).

Bild 9.6: Bitantwort und Augemuster eines durch Berhard Wandernoth realisierten Matched Filters

Bild 9.6 zeigt die gemessene dreiecksförmige Bit- oder Rechteckantwort (links) eines realisier-ten Matched Filters und das an seinem Ausgang gemessene Auge für rechteckförmige Ein-gangsignale. Die Messaufnahmen wurden von Berhard Wandernoth, vom dem auch die Idee zurRealisierung und die Realisierung selbst sind, zu Beginn der 1990er Jahre im Labor für Opti-

-168-

sche Kommunikationstechnik (damalige Leitung: J. H. Franz) der Deutschen Forschungsanstaltfür Luft- und Raumfahrt durchgeführt.

9.2.2 SIGNALRAUSCHVERHÄLTNIS

1Für ein rechteckförmiges Eingangssignal (also ein Bit) mit der Amplitude U und der Breite Tliefert ein Matched Filter gemäß obigen Übelegungen und gemäß Bild 9.3 ein dreieckförmiges

1Ausgangssignal mit einer maximalen Signalamplitude von c@T@U . Demzufolge beträgt die2

Signaleistung an einem ausgangsseitigen Lastwiderstand Z

Für die Rauschleistung am Filterausgang gilt gemäß Kapitel 2

Berücksichtigen wir nun noch, dass die Systemfunktion des Matched Filters in dem hiervorliegenden speziellen Fall durch die Gleichung

und die Rauschbandbreite durch

gegeben sind, so folgt schließlich für das Signalrauschverhältnis:

9.2.3 VERGLEICH VON FILTERN FÜR AWGN-KOMMUNIKATIONSSYSTEME

Werden in ähnlicher Weise wie im vorigem Abschnitt auch die Signalrauschverhältnisse fürandere Filter berechnet, so wird ersichtlich, um wie viel größer und damit besser das mit demMatched Filter erzielbare Signalrauschverhältnis ist. Das Ergebnis zeigt Tabelle 9.1.

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Filter Optimale

Grenzfrequenz

Rauschbandbreite Abstand zum

Matched Filter

Matched

Filter (Spalttiefpass) 0 dB

Gaußtiefpass

0.5 dB

Steilflankiger

Tiefpass 0.8 dB

Tabelle 9.1: Vergleich eines gaußförmigen und steilflankigem Tiefpasses mit dem Mached Filter

Die in dieser Tabelle aufgeführten Filter sind durch die folgenden Übertragungsfunktionen undImpulsantworten prädiziert.

(1) Matched Filter (Spalttiefpass)

(2) Gaußtiefpass

(3) Steilflankiger Tiefpass

g Anmerkung: Im Abschnitt 5.5.4 wurde für die minimal erforderliche Kanalgrenzfrequenz f der

g B g Näherungswert f = 0,5@ f = 0,5/T bzw. f T = 0,5 errechnet. Wie die obige Tabelle zeigt, mussmit Ausnahme des Matched Filters die Kanalgrenzfrequenz de facto geringfügig größer sein,um zu optimalen d.h. zu maximalen S/N-Verhältnissen, zu gelangen. In der Praxis gilt dabeifolgende Abschätzung:

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9.2.4 KORRELATOR

Für das Ausgangs- oder Detektionssignal des Matched Filters gilt:

MF H 0 0Damit folgt h (t) = c @ u (t - t) für das zum Zeitpunkt t abgetastete Detektionssignal

0Hierbei folgt der letzte Term aus dem vorletzten mittels der Substitution t = t - J. DieserAusdruck ist als Korrelation bekannt, hier die Korrelation eines Signals mit sich selbst. Diesbedeutet:

Abbildung 9.7 stellt abschließend nochmals beide Möglichkeiten der Realisierung einesOptimalfilters gegenüber: die mittels Matched Filter und die mittels Korrelator. Beide führenbei ansonsten gleichen Bedingungen zum gleichen maximalen Signalrauschverhältnis am

0 0Ausgang, wobei in der Praxis ist t meist der Bitdauer, also t = T.

Bild 9.7: Matched Filter und Korrelator als gleichwertige Realisierung des Optimalfilters

Korrelator und Matched Filter sind vom Ergebnisher zwei gleiche Realisierungen des Optimalfilters.

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9.2.5 OPTIMALE EMPFÄNGER

Mit einem einzigen Optimalfilter oder Matched-Filter, das lediglich an das Signal eines ein-zigen Bits angepasst ist, beispielsweise an ein Rechtecksignal, folgt zwar ein für diese Konfigu-ration bestmögliches Signalrauschverhältnis, die Shannon-Grenze wird damit aber noch nichterreicht. Näher an diese Grenze kommt man, wenn anstatt einem einzigen Optimalfilter viersolcher Filter verwendet, wobei das erste Filter an die Signalform für das Bitpaar 11, das zweiteFilter an die Signalform für das Bitpaar 10, das dritte Filter an die Signalform für das Bitpaar 10und das vierte Filter schließlich an die Signalform für das Bitpaar 00 angepasst ist. Ein solcherEmpfänger mit vier Optimalfiltern hat einen Aufbau, wie er in der folgenden Abbildung 9.8dargestellt ist. Um die Zeichnung nicht zu überfrachten, wurde der Takt nur an den unterstenAbtastkomponente angelegt. Selbstverständlich sind auch die darüber liegenden drei Abtast-komponenten mit den gleichen Takt zu versorgen.

Bild 9.8: Konfiguration eines quasi-optimalen Empfängers mit vier Optimal Filtern (Opt. F.)

Die in diesem Bild dargerstellt Empfängerkonfiguration erfordert zwar für eine vorgegebeneBitfehlerwahrscheinlichkeit ein kleineres Signalrauschverhältnis als eine Konfiguration mitbloß zwei oder einem Filter, aber sie stellt dennoch nicht den optimalen Empfänger dar. Daherwurde oben der Begriff ,,quasi-optimal” verwendet. Ein weiterer Schritt in Richtung derShannongrenze wird erreicht, wenn man anstatt vier Optimalfilter acht Optimalfilter verwendetund diese auf die Signale der acht Bitfolgen 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 und 111 anpasst.Optimal wird der Empfänger erst dann, wenn in seiner Konfiguration unendlich viele Optimal-filter verwendet werden. In diesem Grenzfall erreicht der Empfänger die Shannongrenze undbenötigt dabei das kleinstmögliche Signalrauschverhältnis von -1,6 dB. Da dies allerdings nichtmehr praktikabel, sondern nur noch von theoretischem Interesse ist, wird in der Praxis meist nur

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ein Filter verwendet und die Qualität der Übertragung zusätzlich mittels geeigneter Codier-verfahren gesteigert.

9.3 CODIERUNG (noch unvollständig)

Neben dem Einsatz von Optimalfiltern erlaubt auch der Einsatz von geeigneten Codierverfahrendie Shannongrenze zumindest in theoretischer Hinsicht zu erreichen.

9.3.1 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER BLOCKCODIERUNG

1 2 k,Gegeben sei ein Informationswort x , x @@@ x das im Sender (Transmitter) des Übertragungs-

1 2 rsystems um ein Prüfwort c , c @@@ c erweitert wird. Es entsteht so das Sendecodewort

1 2 k 1 2 rx , x @@@ x , c , c @@@ c .

Zur mathematischen Beschreibung des Codier- und Decodiervorgangs bedient man sich derVektor- bzw. Matrizenrechnung. Informations- und Codewort haben hierbei die folgende Form:

Beide Wörter sind über die Beziehung

und die Generatormatrix

miteinander verknüpft. Das Geheimnis der Blockcodierung oder, technisch gesprochen, dieLeistungsfähigkeit eines Blockcodes liegt nun in der geschickten Wahl dieser Generatormatrix

ijbzw. ihrer Koeffizienten g . Unter Leistungsfähigkeit ist dabei die Fähigkeit des Codes zuverstehen, Übertragungsfehler (Bitfehler) zu erkennen und zu korrigieren. Je mehr Fehlererkannt und korrigiert werden können umso leistungsfähiger ist der Code. Die Auswahl derGeneratormatrix ist eine rein mathematische Aufgabe und erfordert eine nicht geringe Portionan Erfahrung auf die hier nicht näher eingegangen werden kann. Es sei aber angemerkt dasnicht nur eine sondern eine ganze Reihe von Generatormatrizen existieren - häufig nach Ihren

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Erfindern benannt -, die ihrer Aufgabe Fehler zu korrigieren mehr oder weniger gut nach-kommen.

Bei der oben angegebenen Verknüpfung von Informations- und Sendecodewort ist zu beachten,dass es sich hierbei nicht um ein arithmetisches Produkt eines Zeilenvektors mit einer Matrix,sondern um ein logisches Produkt handelt, das den Rechenregeln der modulo-2- bzw. derExklusiv-ODER-Operation und der AND-Operation (Symbol v) gehorcht. So gilt beispiels-

1weise für den Wert c :

Für die weitere Betrachtung, insbesondere für die Beschreibung des Decodiervorgangs imEmpfänger (Receiver) ist es sinnvoll zusätzlich zur Generatormatrix ihre Transponierte

einzuführen. Dabei gilt:

Während der Übertragung wird das Codewort durch Störungen wie Verzerrungen und Rauschenverfälscht, d.h. es werden Bitfehler verursacht. Dieses Entstehen der Bitfehler können wirmathematisch durch ein Fehlerwort (error word) beschreiben das sich dem Sendecodewortadditiv (logisch additiv) überlagert. Das empfangene Codewort ist demnach

Beispiel:

Aus diesem Beispiel wird deutlich, dass jede Eins im Fehlerwort ein Bitfehler und jede Nullkein Bitfehler bedeutet. Zur Decodierung des empfangenen und möglicherweise fehlerbehafte-teten Codewortes wird im Empfänger das sogenannte Syndrom

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gebildet. Ist das Syndrom

so ist dies ein Indikator dafür, dass im Empfangswort ein oder mehre Bits falsch sind. Ist dasSyndrom

dann ist das Empfangswort entweder fehlerfrei oder es liegen so viele Fehler vor, dass aus demfehlerbehafteten Wort ein neues zulässiges Codewort entstanden ist. Zusätzlich zur Informationob das Empfangswort fehlerfrei ist oder nicht, beinhaltet das Syndrom für den Fall dass Fehleraufgetreten sind auch Hinweise darauf, in welchen Bitpositionen die Fehler stecken. DasSyndrom bietet somit dem Empfänger die Möglichkeit Bitfehler in einem gewissen Umfang zukorrigieren (vgl. Hammingdistanz und Anzahl korrigierbarer Fehler). Zur Auswertung desSyndroms sind umfangreiche Algorithmen erforderlich. Die Komplexität des Decoders steigtdabei mit der Länge des Codewortes und dem Wunsch die Anzahl erkennbarer und korrigier-barer Fehler zu erhöhen. The Schlüssel in der Leistungsfähigkeit von Blockcodes liegt daherwesentlich in der Entwicklung von effizienten Algorithmen und schnellen, integrierten elektro-nischen Schaltungen wie VLSI und VHIC. Dies ist insbesondere in der optischen Nachrichten-technik mit Datenraten von bis zu 40 GBit/s je Wellenlängenkanal eine große technischeHerausforderung.

9.3.2 BAUM-, NETZ- UND ZUSTANDSDIAGRAMM BEI DER FALTUNGSCODIERUNG

Die folgenden drei Abbildungen verdeutlichen die Funktionsweise der Faltungscodierunganhand dreier typischer Diagramme: das Baum-, Netz und Zustandsdiagramm. Um den Kom-plexitätsgrad zu verringern wurden für alle drei Diagramme die folgenden Werte zugrundegelegt.

M = 1, k = 1 und n = 2

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Bild 9.10: Baumdiagramm

Bild 9.11: Netzdiagramm

Bild 9.12: Zustandsdiagramm

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9.3.3 QELLENCODIERUNG - ZWEI EINFACHE BEISPIELE

Während die in den beiden vorigen Abschnitten vorgestellten Kanalcodierungsarten theoretischdas Erreichen der Shannongrenze ermöglich, verfolgen Quellencodierungsverfahren eine andereOptimierungstrategie, nämlich die Reduzierung [...].

Da eine vollständige Untersuchung der vielfältigen Quellencodierungsverfahren, beispielsweisedas MPEG-Verfahren, den Rahmen dieser Einführung sprengen würde, werden im folgendenexemplarisch nur zwei vorgestellt, um das Prinzip dieser Verfahren aufzuzeigen.

(A) Codierung nach Fano

Symbol Auftrittswahr-

1scheinlichkeit pCode

natürlich nach Fano

1x 1/2 0 0

2x 1/8 1 100

3x 1/8 10 101

4x 1/16 11 1100

5x 1/16 100 1101

6x 1/16 101 1110

7x 1/32 110 11110

8x 1/32 111 11111

S SBei einer Bitdauer T sind die mittlere Symboldauer T und Symbolrate R bei

S- natürlicher Codierung: T = 3 T und

SR = 1 Symbol/3T = 0,33 Symbole/T

S- Codierung nach Fano: T = (1/2+2@1/8@3+3@1/16@4+2@1/32@5)T = 2,3125 T und

SR . 0,43 Symbole/T

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(B) Codierung nach Gray

Symbol Code

natürlich nach Gray

1x 0 0

2x 1 1

3x 10 11

4x 11 10

5x 100 110

6x 101 111

7x 110 101

8x 111 100

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ANHANG (folgt)

A1 Tabelle Trans-Atlantic-Transmission (TAT)A2 Mathematische Grundlagen