Kompakte Limesriiume und limitierte Funktionenalgebren

E. BINZ

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Einleitung

Es bezeichne Xeinen Limesraum (s. [7]). Die 9~-Algebra aller stetigen Funktionen von X nach dem K6rper der reellen Zahlen ~R heisse ~(X). In [2] wurden einige Bemerkungen zur Korrespondenz zwischen X und seiner, mit der Limitierung der stetigen Konvergenz (s. [1 ] und [6]) versehenen Funktionenalgebra ~c(X) zusammen- gestellt. Dabei wurden dort spezielle Limesr/iume, n/imlich die c-einbettbaren, etwas n~iher betrachtet. Ein c-einbettbarer Limesraum Y ist dadurch charakterisiert, dass seine Limitierung durch die limitierte 9~-Algebra (s. [1]) ~c(Y) bestimmt ist.

Hier nun sollen die Beziehungen zwischen einem kompakten Limesraum X und seiner Limesalgebra (ist dasselbe wie limitierte Algebra) ~c(X) n/iher untersucht werden (s. S/itze 3, 4, 6, 8 und 9). Wir nennen einen Limesraum kompakt, wenn er separiert ist und jeder Ultrafilter konvergiert. Insbesondere soil festgestellt werden, welche der kompakten Limesr/iume c-einbettbar sind (s. S~itze 4 und 9). Es wird sich herausstellen, dass es genau die topologischen sind. (Ein Limesraum heisst topologisch, falls seine Limitierung eine Topologie ist.) Dass es kompakte Limesr~iume gibt, die nicht topologisch sind, kann etwa aus [5], Satz 4.12, p. 57 gefolgert werden. Man w~ihle einen separierten nicht-topologischen Limesraum. Nach dem erw/ihnten Satze besitzt dieser eine (separierte) Kompaktifizierung. Diese kann aber nicht topologisch sein!

Der von C. H. Coon und H. R. FISCHER in [6] behandelte verallgemeinerte Begriff der Gleichstetigkeit und der von denselben Autoren verallgemeinerte Satz von Ascoli (s. [6]) erlauben uns, das angekiJndigte Vorhaben leicht auszufiihren. Die in [6] im Zusammenhang mit den uniformen Limitierungen (uniform convergence structures) eingefiihrten Begriffe werden hier als bekannt vorausgesetzt. Die von uns aus [6] be- n6tigten Terme und S~itze werden in (1.4) und (1.5) kurz zusammengestellt.

1. Vorbemerkungen

In diesem Paragraphen sollen einige sp/iter zur Anwendung kommende grund- legende Begriffe und Beziehungen aus [1], [2] und [6] kurz aufgeffihrt werden.

1.1. Seien A und A' zwei limitierte ~-Algebren (s. [1]) mit Einselement e u n d e ' resp. Statt von einem Algebrahomomorphismus (nicht notwendig stetig) zwischen A und A' (der e in e' iiberf~ihrt) sprechen wir im folgenden kurz von einem Homo- morphismus zwischen A und A'. Die Menge aller stetigen Homomorphismen von A

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in A' heisse o~t%~(A, A'). Wenn A' identisch mit ~R ist, so kiirzen wir Wo,n(A, ~) durch .r ab. Die Menge aller Homomorphismen von A nach 9~ heisse HomA.

Tr/igt ~t~o~ A die Limitierung der stetigen resp. derpunktweisen Konvergenz (s. [1 ] und [6]), so schreiben wir ~ , ~ c A resp. W o ~ A. Letzterer ist ein vollstiindig reguliirer (s. [8], p. 36) topologischer Raum.

Ffir jeden Homomorphismus ue~'~,~ (A, A') ist (falls gf,~m A und ~,"c,, A' nicht leer sind)

u* : 3f~omc A' ~ ,~(6 c. m c A resp.

u* : ~f~o~n~ A' ) o;/f o~ s A,

definiert durch u* (h) = h o u fiir jedes h e~o~n A', stetig. 1.2. Seien X und Y Limesr/iume (s. [1] und [7]). Die Menge der stetigen Ab-

bildungen yon X nach Y heisse cg(X, Y). Ist diese mit der Limitierung A~ der stetigen resp. mit der Limitierung A~ der punktweisen Konvergenz versehen, so setzen wir (~(X, Y) resp. (~(X, Y). Letzterer ist genau dann topologisch, wenn Y topologisch ist. Der Einfachheit halber ersetzen wir das Zeichen (~(X, ~) durch (g(X). Die beiden R/iume (~c(X) und (g~(X) sind limitierte ~-Algebren (s. [1]).

F0r j edes fE~(X, Y) ist die Abbildung

f * :C~c(Y) , (g~(X),

welche jedes g e cg~ (y) in g of e (g~ (X) iiberfiihrt, ein stetiger Homomorphismus. 1.3. Jedes Element x aus einem Limesraum X induziert einen stetigen Homo-

morphismus ix(x):(g~(X) , ~R,

definiert durch ix(x) ( f ) = f ( x ) tar jedesf~Cg~(X) (s. [2]). Die Abbildung

i x : X ' ~ ' ~ c (~ (X)

(ffihrt jedes x ~ X in ix(x ) fiber) ist nach [2] ebenfalls stetig. Weil

stetig ist (s. [21) muss

id: ~ ' % ~ (g~ (X) , J~o,,~ % (X)

ix: X , -~,~,,,, % (X) auch stetig sein.

Wie in [2] steht I(Z) ffir ix(Z)c~%,n(gc(X). Durch Einffihren der Limitierung der stetigen resp. der punktweisen Konvergenz auf I(X) erh/ilt man die Limesr/iume lc(X) und I,(X). Dabei ist 1,(X) als Unterraum yon ~ s e g c ( X ) ein vollst~indig re- gulgirer topologiseher Raum.

Satz 9 in [2] besagt, dass ffir jeden Limesraum X

(IXX)) , (IXX))

Kompakte Limesr~iume und limitierte Funktionenalgebren 197

ein Isomorphismus ist. Der darauffolgende Satz 10 h~ilt insbesondere fest, dass fiir jeden Limesraum X

,x. (I t (x)) , c(x)

ein bistetiger Isomorphismus ist. Das gibt Anlass zur folgenden Definition (s. [2]):

DEFINITION l. Ein Limesraum X heisst c-einbettbar, falls ix :X ~lc(X ) ein Hom6omorphismus ist. Ein c-einbettbarer Limesraum X wird c-volleinbettbar genannt, falls I(X) = ~o,Jr ~ (X) gilt.

Sei g~ N-Algebra aller stetigen, beschriinkten Funktionen von X nach 9L

LEMMA 1. Fiir einen Limesraum X sei lc(X ) ein kompakter, topologischer Raum. Oann gelten c~( X)= c~~ X) und I( X)= Hom (g~ X).

Der Beweis soil hier nur kurz skizziert werden. Die Voraussetzungen implizieren: (it(X)) = c~o (/~(X)) und folglich ~ ( X ) = ego (X). Aus 10.5.c, p. 142 in [8] folgert man

"* induziert eine Bijektion von I(X) auf I(I~(X)) = Horn ~o (I~(X)). Die Abbildung 'x I(lc(X)), woraus I ( X ) = HomCg~ resultiert.

1.4. C. H. COOK und H. R. FISCHER ffihrten in [6] den Begriff der uniformen Li- mitierung (uniform convergence structure) auf einer nicht-leeren Menge E x E ein. Dieser stellt eine Verallgemeinerung desjenigen der uniformen Struktur yon BOURBAKI [3] dar. Die Menge E zusammen mit einer uniformen Limitierung heisst uniformer Limesraum (uniform convergence space). Jede uniforme Limitierung auf E x E indu- ziert in natiJrlicher Weise eine Limitierung auf E. Die Menge E versehen mit dieser Limitierung heisse der zum betrachteten uniformen Limesraum assoziierte Limesraum. Sowohl den uniformen Limesraum, als auch den dazu assoziierten Limesraum werden wir fortan mit dem selben Symbol bezeichnen.

Fiir einen Limesraum X und einen uniformen Limesraum Y definierten die oben genannten Autoren auf cg(X, Y) die Limitierung der uniformen Konvergenz (the structure of uniform convergence, s. [6], p. 98, w 2). Wir bezeichnen diese Limitierung mit A,. Die Menge ~(X, Y) versehen mit A, heisse ~,(X, Y). Die Limitierung der uniformen Konvergenz auf ~(X, Y) ist stets feiner als die Limitierung der stetigen Konvergenz (s. Theorem 6 in [6])! Sind speziell X ein topologischer und Y ein (ira Sinne von [3]) uniformisierbarer Raum, so sind die Limitierung der uniformen Kon- vergenz und die Topologie der uniformen Konvergenz auf if(X, Y) identisch!l)

In unseren Betrachtungen in (2.) wird A u stets auf ~ (X) definiert sein. Die uniforme Limitierung auf .~ • ~ sei stets die von der Addition in ~ erzeugte uniforme Struktur im Sinne von [3].

1.5. Seien X ein Limesraum und Y ein uniformer Limesraum. Die Menge aller Abbildungen von X nach Y sei mit ~ ( X , Y) bezeichnet. Eine nicht-leere Teilmenge

1) Die Aussage bleibt auch dann richtig, wenn X durch einen beliebigen Limesraum ersetzt wird.

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H c ~ ( X , Y) versehen mit der Limitierung der punktweisen Konvergenz heisse H s. In [6] findet sich:

DEFINITION 2. Es bezeichnen X ein Limesraum und Y ein uniformer Limesraum. Eine nicht-leere Teilmenge H c ~ ( X , Y) heisst gleichstetig in xoeX, falls

d: X , u(Hs, r ) ,

definiert durch d ( x ) ( f ) = f ( x ) f i i r jedes xEX und jedes f~H~, an der Stelle Xo stetig ist.

H heisst gleichstetig, falls H in jedem x ~ X gleichstetig ist. Wenn H c . ~ ( X , Y) gleichstetig ist, so sind alle Funktionen in H stetig, d.h.

H ~ ~(X, Y). Eine nicht-leere Teilmenge H c ~(X, Y) versehen mit der Limitierung der stetigen

Konvergenz sei mit ~ bezeichnet. Sind Hcund Hs vermSge der Identitfit hom6omorph, so driicken wir das oft durch H~=H~ aus.

LEMMA 2 (COOK und FISCHER). Seien X ein Limesraum und Y ein uniformer Limes- raum. Fiir eine gleichstetige Teilmenge H c <~(X, Y) gilt Hc = H~.

LEMMA 3 (CooK und FISCHER). Die Voraussetzungen seien wie in Lemma 2. Eine nicht-leere Teilmenge einer gleichstetigen Menge M c c~ (X, Y) ist gleichstetig.

Eine nicht-leere Teilmenge A ~ Z eines Limesraumes Z heisst relativ kompakt, falls die Adh~irenz (s. [7]) A- in Z kompakt ist.

SATZ YON ASCOLI (COOK und FISCHER). Seien X ein Limesraum, Y ein separierter, uniformer Raum (im Sinne yon [3]) und H c <~(X, Y) eine nicht-leere Teilmenge. Genau dann ist H ~ ~c(X, Y) relativ kompakt, wenn H gleichstetig ist und

H(x) = {f (x)l f e B , x E S fest}

fiir jedes x ~ X in Y relativ kompakt ist.

Bemerkung: Sei (A, A) ein kompakter Unterraum des separierten Limesraumes Z. Dann gilt A = ~. Ffir jeden separierten Limesraum Y ist ~c(X, Y) separiert (s. [1]). Folglich ist mit einem kompakten Unterraum H ~ ( X , Y) die Menge H relativ kompakt.

2. tJber kompakte I~ (X)

Weil fiir jeden Limesraum X die Limesalgebren ~c (Ic(X)) und C~c(X ) verm6ge tx bistetig isomorph sind, kfnnen wir an Stelle von c~(X) das Objekt c~ (it(X)) unter- suchen. Fiir jede'n kompakten Limesraum X ist Ic(X ) ebenfalls kompakt. Deshalb versuchen wir in diesem Paragraphen erst N~iheres fiber den kompakten Limesraum

Kompakte Limesrgume und limitierte Funktionenalgebren 199

le(X ) zu erfahren, um spater mit Hilfe yon (~c (le(X)) st/irkere Aussagen fiber We(X) machen zu k6nnen.

2.1. Um etwas weitere Aufschlfisse zu erhalten, w/ihlen wir ffir einen Limesraum X eine Teilmenge Hc.Cgomrge(X), die I(X) umfasst, und versuchen festzustellen, wie einschr/inkend die Eigenschaft , ,kompakt" ffir He ist. Es sei bemerkt, dass H~ topolo- gisch ist.

Aus dem Satze von Ascoli und der Bemerkung in (1.5.) erh/ilt man:

LEMMA 4. Wenn H e kompakt ist, dann ist H gleiehstetig. Die Lemmata 2 und 4 implizieren:

LEMMA 5. Wenn H gleichstetig ist, dann gilt He= H~. Ist H e kompakt, so ist er topologisch.

Mehr fiber kompakte He erfahren wir (s. Satz 3), wenn wir die Beziehung zwischen der Kompaktheit von H e und der Gleichstetigkeit von H eingehender studieren (s. Satz 1). Dazu ben6tigen wir die n/ichsten drei Lemmata.

LEMMA 6. H e = H~ impliziert, dass

d: c~(X) , C~c(H~),

definiert durch d ( f ) ( h ) = h ( f ) fiir jedes f ~C~ r und jedes hEH~, ein bistetiger Iso- morphismus ist.

Vorerst verifiziert man, dass

x) ein kommutatives Diagramm stetiger Abbildungen ist. (Hierin ist ix aufgefasst als Abbildung yon X in H.) Mithin muss d injektiv sein. Homs ~ (X) bedeute den topolo- gisehen Raum gebildet aus der Menge aller Homomorphismen yon c~(X) nach ~R und der Topologie der punktweisen Konvergenz. Aus 11.7. in [8] entnehmen wir, class I (X) in Hom, cO(X) dicht liegt. Das bedeutet, class I (X) c Hs ebenfalls dicht liegt.

"* injektiv sein. Nun ergibt sicb aus dem Weft He = H, vorausgesetzt ist, muss daher ix obigen Diagramm leicht die Surjektivit~it und hernaeh die Bistetigkeit von d.

LEMMA 7. Sei X ein vollstiindig reguliirer topologischer Raum, fiir den ~e(X) eine topologische Algebra ist. Dann ist die Limitierung A e auf ~e(X) die Topologie der kompakten Konvergenz.

200 E. BINZ

Unter den gemachten Voraussetzungen ist Ac eine Topologie. Diese ist nach [4], exercice 10c, w p. 72 identisch mit der Topologie der kompakten Konvergenz.

LEMMA 8. Ein vollstiindig reguldrer topologischer Raum X, fiir den

id:(g.(X) , (go(X)

ein Hom6omorphismus ist, muss notwendigerweise kompakt sein. Die Voraussetzungen implizieren: A u auf (gu(X) ist die Topologie der gleich-

m/issigen Konvergenz (s. 1.4) und ist mit der algebraischen Struktur von (g(X) ver- tr/iglich. Daher ist nach Lemma 7 A c die Topologie der kompakten Konvergenz. Wir betrachten die Nullumgebung

U = {f~(g(X)t ]f (x)] _< 1 fiirjedes xeX}

in (gu(X). Nach Voraussetzung enth/ilt U eine Nullumgebung der Form

g -- {f e(g(X)l l /(x)l-< e fiJr jedes x e K } ,

wobei e>0e~tl und K eine kompakte Menge ist. Wenn nun K # X w/ire, so g/ibe es ein xeX, das nicht in K liegen wiirde. Nun ist X vollst/indig regul/ir und daher findet sich ein f e(g(X) mit f ( x ) = 2 und f [K= 0. Diese Funktion w/ire offensichtlich in V aber nicht in U. Also ist K= X.

SATZ 1. Sei X ein Limesraum. Eine Teilmenge Hc~t%~(gc(X) mit H ~ I ( X ) ist genau dann gleichstetig, wenn Hr ein kompakter, topologischer Raum ist,

Wenn H, kompakt ist, so ist nach Lemma 4 H gleichstetig. Nun nehmen wir umgekehrt H als gleichstetig an. Dann gelten (s. Definition 2 und Lemma 5) :

(i) d: (gr , (gu (H~) ist stetig. und

( i i ) Hc = hrs.

Die Limitierung yon (gu(Hs) ist feiner als diejenige yon (gc(Hs) (s. 1.4). Daher folgert man aus (ii) und Lemma 6, dass

id: (gu (Hs) , (gr (H~)

ein Hom6omorphismus ist. Weil der Limesraum H c wegen (ii) ein vollst/indig regul/irer topologischer Raum ist, muss er nach Lemma 8 kompakt und topologisch sein.

2.2. Sei X ein Limesraum. (g~ !R-Algebra aller stetigen, beschr/ink - ten Funktionen von X nach ~R. Weiter bezeichne Hom~(g~ den topologischen Raum, bestehend aus der Menge aller Homomorphismen von (g~ nach ~tl und der Topologie der punktweisen Konvergenz.

SATZ 2. Fiir jeden Limesraum X ist Homs(g~ kompakt. .~ , Weil ,x.(g(I~(X)) ,(g(X) ein Isomorphismus ist (s. Satz 9 in [2]), sind

Kompakte Limesr~iume und limitierte Funktionenalgebren 201

~o(i~(X)) und ~~ verm6ge i*[~ ~ (I,(X)) isomorph. Daher sind Homsff ~ (Is(X)) und Homs~~ hom6omorph. Es ist Is(X ) ein vollst/indig regul/irer topologischer Raum. Nach 11.5 und 11.9 in [8] ist Homs~~ kompakt. Also ist auch Homsff~ kompakt.

SATZ 3. Seien X ein Limesraum und HcJ~f%mcgc(X) eine Teilmenge, welche I(X) umfasst. Dann sind die folgenden A ussagen iiquivalent:

(i) H, ist kompakt. (ii) I~(X) und HomsC~~ sind identisch. (ii) impliziert nach Satz 2 offensichtlich (i). Umgekehrt sei H~ kompakt. Dann

sind H und I(X) gleichstetig (s. Lemmata 4 und 3). Also ist nach Satz 1 der Raum lc(X ) kompakt und nach Lemma 5 gar topologisch. Mit Hilfe von Lemma 1 schliessen wir nun Ic(X ) = HomS~~

KOROLLAR 1. Fiirjeden kompakten Limesraum X ist Ir HomsC~(X). Denn fiir jeden kompakten Limesraum X ist Ic(X) kompakt und folglich ist die

Behauptung nach Satz 3 wahr.

3. Kompaktheit und c-Einbettbarkeit

Hier nun soll angegeben werden, welche der kompakten Limesr~iume c-einbettbar (s. Definition 1 in (1.3))sind.

3.1. Ein kompakter, c-einbettbarer Limesraum ist nach Satz 3 topologisch und es gilt ~r162 ) = Hom~ c~(X). Umgekehrt ist jeder kompakte, topologische Raum c-volleinbettbar (s. [2]). Zusammengefasst k6nnen wir also sagen:

SATZ 4. Ein kompakter Limesraum ist genau dann c-einbettbar, wenn er topologisch ist. Jeder kompakte, topologische Raum X ist c-volleinbettbar und es gilt ,of%~c W c (X) = Hom~ r

Jeder Unterraum eines c-einbettbaren Limesraumes ist c-einbettbar. Also gilt:

SATZ 5. Jeder kompakte Unterraum eines c-einbettbaren Limesraumes ist topolo- gisch.

Fiirjeden Limesraurn Xist fie(X) c-einbettbar (s. [2]). Folglich ist jeder kompakte Unterraum yon cgr topologisch.

3.2. Nun sei X ein kompakter Limesraum. Der Limesraum Ir ist ebenfalls kompakt und nach Satz 3 sogar topologisch. Daher ist die Limitierung auf fie (Ir identisch mit der iiblichen Supremumsnormtopologie. Also ist fie (Ic(X)) eine Banach- algebra. Die Abbildung

ix*: (gr (Ir , cg c (X)

ist ein bistetiger Isornorphismus (s. 1.3). Daraus folgt:

202 E. BINZ

SATZ 6. Fiir jeden kompakten Limesraum X ist ~ ( X ) eine Banachalgebra unter der iiblichen Supremumsnorm.

4. ~c(X) als Banachalgebra

Der eben ausgesprochene Satz 6 ffihrt uns nun zur Frage, ftir welche der c-einbett- baren Limesr~iume X die Limesalgebra We(X) eine Banachalgebra ist. Eine voll- stiindige Antwort enthiilt Satz 9.

4.1. Sei X ein pseudokompakter Limesraum (d.h. alle stetigen Funktionen yon X nach 9t sind beschriinkt). ~(X) versehen mit der iiblichen Supremumsnormtopologie heisse ~,(X).

SATZ 7. Sei X ein Limesraum, fiir den ~c(X) eine Banachalgebra ist. Dann ist X pseudokompakt und

i d : ~ ( X ) ,~,,(X)

ist ein bistetiger Isomorphismus. Wir weisen erst nach, dass jedes f e ~ c ( X ) beschr~inkt ist. Sei Vo={fe~c(X)[

II f ][ < I}. Dabei bedeutet f ~ Jlf tl die Norm in (~c(X). Es ist Vo eine offene Null- umgebung. Alle Elemente in e+ V o sind invertibel. Hierin bedeutet e das Einselement. Man w/ihle nun ein 2 ~ mit 12[> 1. Dann gilt

e + 2 - 1 . V o c e + Vo .

Also ist ftir jedes f ~ V o die Funktion e + 2- x. f invertibel, was f ( x ) # - 2 fiir jedes x ~ X bedeutet. Der Allgemeinheit yon 2 wegen folgt If(x)[ < 1 ftir alle xsX. Also ist jede Funktion in V o beschrfinkt, was abet die Beschriinktheit aller Funktionen in W~(X) nach sich zieht. Daher ist X pseudokompakt. Wie man nun leicht verifiziert, ist id als Isomorphismus yon tier Banachalgebra ~ (X) auf die Banachalgebra ~ , (X) stetig. Daher ist id sogar bistetig.

LEMMA 9. Fiir einen pseudokompakten, vollstiindig reguldren topologischen Raum X ist ~ v ~ c ~ , ( X ) ein kompakter, topologischer Raum.

Es bezeichne fl(X) die Stone-~ech'sche Kompaktifizierung (s. [8]) yon X und ia :X )fl(X) die (stetige) natiirliche Inklusionsabbildung. Es ist

ein bistetiger Isomorphismus. Deshalb ist

, n(X)

, ( x ) )

ein Hom6omorphismus. Als kompakter, topologischer Raum ist fl(X) hom6omorph zu 9 f f o ~ f f . (fl(X)). Mithin ist auch ~ c ~ . (X) kompakt und topologisch.

Kompakte Limesr~ume und limitierte Funktionenalgebren 203

SATZ 8. Wenn fiir einen Limesraum X die Limesalgebra ~r eine Banachalgebra ist, dann ist I t (X) ein kompakter, topologischer Raum.

Sei ~ c ( X ) eine Banachalgebra. Einerseits wissen wir, dass

i* : ~c( Ic (X)) , ~ c ( X )

ein bistetiger l somorph i smus ist. Wir folgern dami t aus Satz 7: Es ist Ic(X) pseudo- k o m p a k t und (~r und ~ . ( /~ (X)) sind verm6ge d er Identit/it h o m 6 o m o r p h . Anderseits sind (~ (/~(X)) und (~ (/~(X))identisch. Also ist auch Is(X) p s e u d o k o m p a k t und

id: ( ~ (/~ (X)) , ~ , ( I s (X))

ist bistetig. Jetzt folgern wit mit Hilfe von L e m m a 9 die Kompak the i t yon J t % ~ ( l ~ ( X ) ) . Daraus schliessen wir, dass auch ~ o r ) k o m p a k t ist. Aus Satz 3 lesen wir daher ab, dass I~(X) k o m p a k t und topologisch ist.

Mit Hilfe der S~itze 4, 6 und 8 folgern wir abschliessend:

SATZ 9. Fiir einen c-einbettbaren Limesraum X sind die folgenden Aussagen gleich-

wertig : (i) X ist kompakt.

(ii) X ist kompakt und topologisch.

(iii) c~c(X) ist eine Banachalgebra.

University of Michigan, Ann Arbor, Mich.

LITERATUR

[| ] BINZ, E., und KELLER, H. H., Funktionenriiume in der Kategorie der Limesriiume, Ann. Acad. Sci. Fenn. [A], I, 383 (1966).

[2 ] BINZ, E., Bemerkungen zu limitierten Funktionenalgebren, Math. Ann. 175 (1968), ! 69-184. [3] BOURBAKI, N., Topologie g~ndral, Chap. II, 3 e ed., Act. Sci. Ind. 1142, Paris (1961). [4] BOURBAKI, N., Topologie g~ndral, Chap. X, 3 e ed., Act. Sci. Ind. 1084, Paris (1961). [5] COCHRAN, A. C., On uniform convergence structures and convergence spaces, Diss., University of

Oklahoma (1966). [6] CooK, C. H., und FISCHER, H. R., Equicontinuity and continuous convergence, Math. Ann., 159

(1965), 94-104. [7] FISCHER, H. R., Limesriiume, Math. Ann. 137 (1959), 269-303. [8] GILLMAN, L., und JERlSON, M., Rings of continuous functions (Van Nostrand, Princeton 1960).

Eingegangen den 6. Juli 1967