Kompakte Objekte in der
Astrophysik
� Weisse Zwerge
� Neutronensterne
� Schwarze Löcher
� Beobachtung / Physikalische Prozesse
� Aufbau: Zustandsgleichung ...
� Entwicklung: Akkretion / Kühlung ...
Vorlesung im SS2004 von
Christian Fendt
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Kompakte Objekte - Grundlagen
3. Zustandsgleichung
3a. Definitionen
-- Zustandsgleichung ==>> verknüpft
thermodynamische Zustands-
größen : P, T, n, S, u, µ ...
-- Verschiedene Komponenten:
Elektronen, Neutronen, Ionen (Protonen,
Metalle) --> Konzentration Y_i = n_i / n
--> Druck: P_e, ...
--> Masse / Dichte : n_e ...
-- Chemisches Potential:
~ Energieänderung bei chem. Reaktionen
(Teilchenaustausch) wobei
-- Mittleres molekulares Gewicht:
--> pro Elektron:
� i =
� u
� n i S , V
� i � i dY i =0
1
�
= Y e�� i Y i
m u
m B
� e�
2
1� X H
3b. Kinetische Gastheorie
==>> Dichte im Phasenraum beschreibt
System aus Teilchen:
--> Verteilungsfunktion f
--> Volumen der Phasenraumzelle
--> statistisches Gewicht g:
g = 2S+1 (Masseteilchen)
g = 2 (Photonen) ....
==> Energiedichte u:
Ruhemasse m:
==> Druck:
dD
d 3 x d 3 p
=g h�3 f
�
x ,
�
p , t
u =� E
dD
d 3 x d 3 p
d 3 p
P =
1
3 �
p v
dD
d 3 x d 3 p
d 3 p
v = p c 2 / E
E 2 = p 2 c 2�m 2 c 4
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Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3c. Entartung
==> Ideales Gas im Gleichgewicht:
(+) Fermionen (Fermi-Dirac-Statistik)
(-) Bosonen (Bose-Einstein-Statistik)
--> kleine Dichten / hohe Temperaturen:
--> Maxwell-Verteilung, f(E) für vollständig entartete Fermionen
T ~ 0:
--> Fermi-Energie:
-->
--> Fermi-Impuls p_F:
f E =
1
exp E �� / kT ±1
f E �exp
E ��
kT
�=E F
f E =1, E �E F
f E =0, E �E F
E F
2
= p F
2 c 2�m e
2 c 4
--> relativity parameter : x = p_F / m_e c
--> Elektronendruck:
--> Dichte (Ruhemasse):
==>> Ideale Zustandsgleichung für
entartete Elektronen: P(ρ) durch x
P e=
1
3
2
h 3
�0
p F p 2 c 2
p 2 c 2�m e
2 c 4 1 / 2
4� p 2 d 3 p
=
8�m e
4 c 5
3 h 3
�0
x x 4
1� x 2 1 / 2
dx
=1.42180×10 25� x dyne cm� 2
� x =
1
8� 2
1� x 2
2
3
x 3� x � ln x � 1� x 2
0=� e m u n e=0.974×10
6
� e x
3 g cm�3
x =1.009×10� 2 0 /� e
1 / 3
� / kT
�
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Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3c. Entartung
Ideale Zustandsgleichung entarteter
Elektronen:
--> Grenzfälle: x >> 1, x Entwicklung von Φ (x)
--> Darstellung von P(ρ) als Polytrope
(1) Nichtrelativistische Elektronen:
ρ_0 >10^6 g/ccm, x >> 1, Φ (x) =x^4/12π^2
--> Γ = 4/3,
P=K � 0
�
x =
p F
m e c
K =1.2435×10 15 � e
�4 / 3 cgs
K =1.0036×10 13 � e
�5 / 3 cgs
Ähnlich für andere Teilchen:
--> Skalierung mit Masse m_i
--> statistisches Gewicht g_i
z.B. für Neutronen (Neutronenstern...):
--> Grenzfälle: x >> 1, x 6 x 10^15 g/ccm, x >> 1
--> Γ = 4/3,
K =5.3802×10 9 cgs
K=1.2293×10 15 cgs
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Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3c. Entartung
Entartetes Gas in Sternen:
--> wenn Phasenraum der Elektronen klein:
--> Pauli-Prinzip, Fermi-Dirac-Statistik:
Fermionen können nicht denselben Quantenzustand besetzen
--> Hydrostatisches Gleichgewicht (ρ ~ ρ_0):
--> Virial-Theorem:
Gravitationsenergie des Sterns:
für polytropes Gas, totale innere Energie:
� q e � p e
3
�4 � e
12 �
7
3 / 2
G m e R m u
5 / 6 M 1 / 6
3
dP
dr
=�
G m r � r
r 2
m r =�0
r
� 4 � r 2 dr
W =��0
R G m r
r
� 4� r 2 dr
W =�3�0
R
P 4� r 2 dr
W =�3 � �1 U
--> Abstand 2er Elektronen im Phasenraum:
Maxwell-V.:
--> T_m ~ M/R mittlere Temperatur
--> ρ_m ~ M/R^3 mittlere Dichte
(--> krit. ρ: Maxwell-Vert. entartet)
--> Phasenraumvolumen eines Elektrons:
--> für M_o und 0.03 R_o: (∆q ∆p) ~ h^3 !!
(ähnlich für braune Zwerge, Jupiter)
U =�0
R
u ' 4� r 2 dr
u ' = P / � �1 u ' =u ' �� c 2
P =
�
� m u
kT W =
3 M
� m u
k T m
� q e � p e
3
�180 h 3
M
M o
1 / 2
R
Ro
3 / 2
� p e ~ 6m e k T m ~ 12 m e G M M u � / 7 R
� q e ~ � e m u /�
1 / 3
~ 4 � e m u R
3
/ M 1 / 3
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Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3d. Chandrasekhar-Grenzmasse
Masse-Radius-Relation für entartetes
Elektronengas:
--> polytropes Gasgesetz: Γ = 5/3 , 4/3
--> löse hydrostatisches Gleichgewicht:
durch Substitution:
--> Γ = 5/3, n=3/2, (ξ1=3.65.., ξ1^2(δ')=2.71..)
1
r 2
d
dr
r 2
�
dP
dr
=�4�G � r
M =4� R 3 � n / 1� n
n�1 K
4�G
n / n � 1
�1
3 � n / 1� n
�1
2
� ' �1
�=� c �
n
r =a �
� =1�1/ n
a=
n�1 K � c
1 / n � 1
4�G
1 / 2
� � =0 for �� �1
R=1.12×10 4 km
� c
10 6 g / ccm
�1 / 6
� e
2
�5 / 6
M =0.70 M o
R
10 4 km
�3
� e
2
�5
--> Γ = 4/3, n = 3, (ξ1=6.89.., ξ1^2(δ')=2.01..)
R=3.35×10 4 km
� c
10 6 g / ccm
�1 / 3
� e
2
� 2 /3
M =1.447 M o
� e
2
� 2
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Masse-Radius-Relation für entartetes
Elektronengas (Hamada & Salpeter 1961:
M
M o
=0.7
R
10 4 km
�3
� e
2
�5
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3d. Chandrasekhar-Grenzmasse
M
M o
=1.447
� e
2
� 2
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3e. “Landau-Grenzmasse”
Ableitung der Chandrasekhar-Grenzmasse
nach Landau (1932):
(auf WD und NS anwendbar)
--> Annahme N Fermionen, Radius R
--> Dichte n ~ N/R^3
--> Pauli-Prinzip: Volumen pro Fermion ~1/n
--> Heisenberg'sche Unschärfe-Relation:
Impuls pro Fermion ~ n^1/3 h/2π
--> Fermi-Energie des relativ. Gasteilchens:
--> Gravitative Energie pro Fermion:
(Masse: Baryonen, Druck: Elektr./Baryonen)
-->Stabiles Gleichgewicht bei minimaler
totaler Energie:
--> E>0 (N klein): --> E fällt bei wachs. R
--> E_F ~ (p_F)^2 ~1/R^2 fällt --> n.-rel.
--> E_G > E_F für wachs. R
--> E < 0 mit E->0 für R->\infty
--> stabiles GG bei endlichem Radius
--> E< 0 (N groß): E fällt, keine
Rückkopplung bei fallendem R
--> kein GG, Kollaps!
--> Maximale Anzahl im GG durch E = 0 :
--> GG Radius:
E F~
h
2�
n 1 / 3 c~
h c N 1 /3
2� R
E G~�
G M m B
R
, M =N m B
E =E F �E G~
h c N 1 / 3
2� R
�
G N m B
2
R
~
1
R
N max ~
hc
2�G m B
2
3 / 2
~2×10 57
M max ~N max m B~1.5 M o
R�
h
2�mc
hc
2�Gm B
2
R~5×10 8
m
m e
cm~3×10 5
m
m n
cm
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Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3f. Verbesserte WD-Modelle
Zusätzliche Effekte verändern
Chandrasekhar-Modell für weiße Zwerge
