Kompakte Objekte in der Astrophysik - Max Planck Society...--> Pauli-Prinzip, Fermi-Dirac-Statistik: Fermionen können nicht denselben Quantenzustand besetzen--> Hydrostatisches Gleichgewicht

Kompakte Objekte in der Astrophysik

� Weisse Zwerge

� Neutronensterne

� Schwarze Löcher

� Beobachtung / Physikalische Prozesse

� Aufbau: Zustandsgleichung ...

� Entwicklung: Akkretion / Kühlung ...

Vorlesung im SS2004 von Christian Fendt

Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004

Kompakte Objekte - Grundlagen

3. Zustandsgleichung 3a. Definitionen

-- Zustandsgleichung ==>> verknüpft thermodynamische Zustands- größen : P, T, n, S, u, µ ...

-- Verschiedene Komponenten: Elektronen, Neutronen, Ionen (Protonen, Metalle) --> Konzentration Y_i = n_i / n --> Druck: P_e, ... --> Masse / Dichte : n_e ...

-- Chemisches Potential: ~ Energieänderung bei chem. Reaktionen (Teilchenaustausch) wobei

-- Mittleres molekulares Gewicht:

--> pro Elektron:

� i =� u� n i S , V

� i � i dY i =0

1�

= Y e�� i Y i

m u

m B

� e�2

1� X H

3b. Kinetische Gastheorie

==>> Dichte im Phasenraum beschreibt System aus Teilchen:

--> Verteilungsfunktion f --> Volumen der Phasenraumzelle --> statistisches Gewicht g: g = 2S+1 (Masseteilchen) g = 2 (Photonen) ....

==> Energiedichte u:

Ruhemasse m:

==> Druck:

dDd 3 x d 3 p

=g h�3 f�x ,�p , t

u =� EdD

d 3 x d 3 pd 3 p

P =13 �

p vdD

d 3 x d 3 pd 3 p

v = p c 2/ E

E 2= p 2 c 2

�m 2 c 4


Kompakte Objekte - Zustandsgleichung

3c. Entartung

==> Ideales Gas im Gleichgewicht:

(+) Fermionen (Fermi-Dirac-Statistik) (-) Bosonen (Bose-Einstein-Statistik)

--> kleine Dichten / hohe Temperaturen: --> Maxwell-Verteilung, f(E) << 1:

--> für vollständig entartete Fermionen T ~ 0: --> Fermi-Energie: -->

--> Fermi-Impuls p_F:

f E =1

exp E �� / kT ±1

f E �expE ��

kT

�=E F

f E =1, E �E F

f E =0, E �E F

E F2= p F

2 c 2�m e

2 c 4

--> �relativity parameter� : x = p_F / m_e c

--> Elektronendruck:

--> Dichte (Ruhemasse):

==>> Ideale Zustandsgleichung für entartete Elektronen: P(ρ) durch x

P e=13

2h 3 �0

p F p 2 c 2

p 2 c 2�m e

2 c 4 1 / 2 4� p 2 d 3 p

=8�m e

4 c 5

3 h 3 �0

x x 4

1� x 2 1 / 2 dx

=1.42180×10 25� x dyne cm� 2

� x =1

8� 2 1� x 2 23

x 3� x � ln x � 1� x 2

0=� e m u n e=0.974×10 6� e x 3 g cm�3

x =1.009×10� 2 0 /� e

1 / 3

� / kT �



3c. Entartung

Ideale Zustandsgleichung entarteter Elektronen: --> Grenzfälle: x >> 1, x << 1,

--> Entwicklung von Φ (x) --> Darstellung von P(ρ) als Polytrope

(1) Nichtrelativistische Elektronen: ρ_0 << 10^6 g/ccm, x << 1, Φ (x) =x^5/15π^2

--> Γ = 5/3,

(2) Extrem relativistische Elektronen:

ρ_0 >>10^6 g/ccm, x >> 1, Φ (x) =x^4/12π^2

--> Γ = 4/3,

P=K � 0�

x =p F

m e c

K =1.2435×10 15� e�4 / 3 cgs

K =1.0036×10 13� e�5 / 3 cgs

Ähnlich für andere Teilchen: --> Skalierung mit Masse m_i --> statistisches Gewicht g_i

z.B. für Neutronen (Neutronenstern...): --> Grenzfälle: x >> 1, x << 1,

(1) Nichtrelativistische Neutronen: ρ_0 << 6 x10^15 g/ccm, x << 1

--> Γ = 5/3,

(2) Extrem relativistische Neutronen:

ρ_0 >>6 x 10^15 g/ccm, x >> 1

--> Γ = 4/3,

K =5.3802×10 9 cgs

K=1.2293×10 15 cgs



3c. Entartung

Entartetes Gas in Sternen: --> wenn Phasenraum der Elektronen klein: --> Pauli-Prinzip, Fermi-Dirac-Statistik: Fermionen können nicht denselben Quantenzustand besetzen --> Hydrostatisches Gleichgewicht (ρ ~ ρ_0):

--> Virial-Theorem:

Gravitationsenergie des Sterns:

für polytropes Gas, totale innere Energie:

� q e � p e3�4 � e

12 �7

3 / 2

G m e R m u5 / 6 M 1 / 6

3

dPdr

=�G m r � r

r 2m r =�0

r� 4 � r 2 dr

W =��0

R G m rr

� 4� r 2 dr

W =�3�0

RP 4� r 2 dr

W =�3 � �1 U

--> Abstand 2er Elektronen im Phasenraum:

Maxwell-V.: --> T_m ~ M/R mittlere Temperatur --> ρ_m ~ M/R^3 mittlere Dichte

(--> krit. ρ: Maxwell-Vert. entartet)

--> Phasenraumvolumen eines Elektrons:

--> für M_o und 0.03 R_o: (∆q ∆p) ~ h^3 !!

(ähnlich für braune Zwerge, Jupiter)U =�0

Ru ' 4� r 2 dr

u ' = P / � �1 u ' =u ' �� c 2

P =�

� m u

kT W =3 M� m u

k T m

� q e � p e3�180 h 3 M

M o

1 / 2

RRo

3 / 2

� p e ~ 6m e k T m ~ 12 m e G M M u � / 7 R

� q e ~ � e m u /�1 / 3

~ 4 � e m u R3/ M 1 / 3



3d. Chandrasekhar-Grenzmasse

Masse-Radius-Relation für entartetes Elektronengas:

--> polytropes Gasgesetz: Γ = 5/3 , 4/3

--> löse hydrostatisches Gleichgewicht:

durch Substitution:

--> Γ = 5/3, n=3/2, (ξ1=3.65.., ξ1^2(δ')=2.71..)

1r 2

ddr

r 2

�

dPdr

=�4�G � r

M =4� R 3 � n / 1� n n�1 K4�G

n / n � 1

�13 � n / 1� n

�12� ' �1

�=� c �n

r =a �� =1�1/ n

a=n�1 K � c

1 / n � 1

4�G

1 / 2

� � =0 for �� 1

R=1.12×10 4 km� c

10 6 g / ccm

�1 / 6

� e

2

�5 / 6

M =0.70 M oR

10 4 km

�3

� e

2

�5

--> Γ = 4/3, n = 3, (ξ1=6.89.., ξ1^2(δ')=2.01..)

R=3.35×10 4 km� c

10 6 g / ccm

�1 / 3

� e

2

� 2 /3

M =1.447 M o

� e

2

� 2


Masse-Radius-Relation für entartetes Elektronengas (Hamada & Salpeter 1961:

MM o

=0.7R

10 4 km

�3

� e

2

�5


3d. Chandrasekhar-Grenzmasse

MM o

=1.447� e

2

� 2


3e. “Landau-Grenzmasse”

��

Ableitung der Chandrasekhar-Grenzmassenach Landau (1932): (auf WD und NS anwendbar)

--> Annahme N Fermionen, Radius R --> Dichte n ~ N/R^3

--> Pauli-Prinzip: Volumen pro Fermion ~1/n

--> Heisenberg'sche Unschärfe-Relation: Impuls pro Fermion ~ n^1/3 h/2π

--> Fermi-Energie des relativ. Gasteilchens:

--> Gravitative Energie pro Fermion:

(Masse: Baryonen, Druck: Elektr./Baryonen)

-->Stabiles Gleichgewicht bei minimaler totaler Energie:

--> E>0 (N klein): --> E fällt bei wachs. R --> E_F ~ (p_F)^2 ~1/R^2 fällt --> n.-rel. --> E_G > E_F für wachs. R --> E < 0 mit E->0 für R->\infty --> stabiles GG bei endlichem Radius --> E< 0 (N groß): E fällt, keine Rückkopplung bei fallendem R --> kein GG, Kollaps!

--> Maximale Anzahl im GG durch E = 0 :

--> GG Radius:

E F~h

2�n 1 / 3 c~

h c N 1 /3

2� R

E G~�G M m B

R, M =N m B

E =E F �E G~h c N 1 / 3

2� R�

G N m B2

R~

1R

N max ~hc

2�G m B2

3 / 2

~2×10 57

M max ~N max m B~1.5 M o

R�h

2�mchc

2�Gm B2

R~5×10 8 mm e

cm~3×10 5 mm n

cm



3f. Verbesserte WD-Modelle

��

Zusätzliche Effekte verändern Chandrasekhar-Modell für weiße Zwerge (z.B. Hamada & Salpeter 1961):

(1) elektrostatische (Coulomb-) Kräfte: --> lokale Ladungsverteilung: --> Elektronen im C.-Potential der Ionen --> Anziehung vermindert Druck

--> Annahme: n_e konstant im Ionengitter: --> Gitterzelle um Ion mit Z Elektronen, mit Radius r_0:

--> elektrostatische Energie:

--> zw.Elektr.: --> Ion-Elektr.:

mit

--> Coulomb-Energie pro Elektron:

--> Druck durch Coulomb-Kräfte:

--> vgl: Chandrasekhar extrem relativ.:

--> klein, aber wichtig in dichten WD / wenig dichten NS ( α ~ 1/137 Feinstrukturkonstante)

4 � r 03/ 3=1/ n N

E ee =�0

r 0

q dqr

=35

Z 2 e 2

r 0

q =�Z e r / r 03

E ei = Z e�0

r 0

dqr

=�32

Z 2 e 2

r 0

E c

Z=

E ee�E ei

Z=�

910

e 2 43� n e Z 2

13

P c =n e2 d

dn e

E c

Z=�

310

e 2 43� n e

4 Z 2

13

P 0 =�h c8�

3� 2 n e4

13

P

P 0

=P 0� P c

P 0

=1�2

53

53�

13

� Z23




��

(1) elektrostatische (Coulomb-) Kräfte:

--> vgl: Chandrasekhar nicht relativ.:

--> P = 0 für

--> Beispiel Eisen: ρ_0 ~ 250 g/ccm !

(vgl. 7.86 g/ccm Laborwert ...) --> Elektronengas nicht gleichförmig bei kleinen Dichten, Rand-Effekte --> Ansatz ok für WD und große Planeten

--> besserer Ansatz: Thomas-Fermi-Methode:

--> Potential V(r) sphärisch, leicht variabel --> V(r) durch Poisson-Gleichung:

mit Dichte:

--> Thomas-Fermi-Gleichung:

--> Druck:

--> ρ klein (für große ρ: s.o.):

P 0 ~n e

53

P

P 0

=1�4�m e e 2

h 2

Z 2

2 n e

13

n e =Z 2

2�3 a 03 , a 0 =

h 2

2�m e e 2

� 0�0.4 Z 2 g / ccm

E F =�e V r �p F

2 r2 m e

=constant

�2 V r =4 � e n e�nuklearer Anteil

n e =8�

3 h 3 p F3

=8�

3 h 3 2 m e E F �e V r3 / 2

d 2�

dx 2 =�

3

xE F �e V r =

Z e 2� xr

r =� x , �=a 0 9� 2/128 Z

1 / 3

P =8�

15 h 3 m e

p F5 r 0 =

Z 2 e 2

10��4

� x 0

x 0

52

P =2h 3

13 �0

p F p 2

m e

4� p 2 dp

� x ~144 x �3 , x : P ~ x 0�10

~� 010 / 3

x 0 ,




��

(2) inverser β-Zerfall (Neutronisierung):

--> bei hohen Dichten:

für

Bedingung: kein β-Zerfall:

--> erfüllt bei hoher Dichte: --> alle Energieniveaus für e besetzt

--> Mischung aus p, n, e:

--> chem. Potentiale: --> �relativ.parameter�:

Ladungserhaltung -->

--> Zustandsgleichung der (p,n,e)-Mischung:

u.ä. für innere Energie u

--> Kritische Dichte für Neutronen (x_p ~ 0):

-->

e�� p � n��

E e� m n �m p c 2=1.29 MeV

n � p�n��

� e�� p=� n

x e=p F

e

m e c, x p=

p Fp

m p c, x n=

p Fn

m n c

m e 1� x e2�m p 1� x p

2=m n 1� x n

2

m e x e=m p x p

P=m e c 2

� e3 � x e �

m p c 2

� p3 � x p

�m n c 2

� n3 � x n

n=1

3� 2� p

3 x p3�

12� 2

� n3 x n

3

x n=0, m e 1� x e2=m n �m p

n=1

3� 2� e

3

m n �m p

m e

2

�1

3 / 2

n=7.37×10 30 cm�3 0=1.2×10 7 g

cm 3




��

(2) inverser β-Zerfall (Neutronisierung):

--> Zunahme Neutronen bei höheren Dichten:

-->

--> Verhältnis n_p/n_n : -- sinkt erst für steigendes x_n -- ist minimal (=0.0026) für -- steigt dann auf 1/8 für

--> Probleme: - Neutrino-Emission - thermodyn. GG (offenes System) - n/p/e aus nukl. Reaktionsraten

m e2�m p

2 x p2�m p 1� x p

2=m n 1� x n

2

n p

n n

�18

1�4m n �m p

m n x n2 �4

m n �m p2�m e

2

m n2 x n

4

1�1/ x n2

3 / 2

� 0=7.8×10 11 gcm 3

x n �� , � 0 ��

10 7�� 0�4×10 11 g cm�3 ¿

4×10 11 gcm 3

4×10 12 gcm 3

u=n N M A , Z �u ' n e �u n n n

--> Harrison-Wheeler-Zustandsgleichung: --> für: A=10^57 Baryonen --> welche Nukleonen? welcher Druck? --> Nuklearbrennen im thermodyn. GG --> stabile (minimale) Energiezustände (z.B. Eisen Fe(56,26) für A=56) --> mehr Neutronen bei höheren Dichten --> kritisches n/p Verhältnis bei --> �neutron drip�: freie Neutronen (+ Elektronen + Kerne N) definieren niedrigsten Energiezustand --> Druck durch Neutronen ab

--> Energiedichte eines (N,n,e)-Gemischs:

--> M(A,Z) = ???? (Kern-Energie, �Massengleichung�) --> Näherung von HW




��

Harrison & Wheeler, 1958 (HW):

--> Zustandsgleichung P(ρ):

-- �neutron drip� bei 3.18 x 10^11g/ccm, hier: (A,Z) ~ (122, 39.1) -- 60% n-Druck bei 4.54x10^12g/ccm, hier: (A,Z) ~ (187, 48.8)

--> vgl. zu Eisen (56, 26): (ideales Elektronengas) Abweichungen ab ~ 10^7 g/ccm

--> Baym-Pethick-Sutherland, 1971 (BPS):

--> Verbesserungen für

--> A und Z sind diskret ! --> Gitter-Energie ~> nukl. Zusammens. ~> u_e

--> Phasenübergang zwischen Nukleonen --> Diskontinuität in n und ρ = u/c^2:

--> Beispiel: δρ ~ 2.9% für

Fe56 (Z/A=0.464) -> Ni62 (Z/A=0.452)

10 7�� 0�4×10 11 g cm�3 ¿

� c 2=u=n e

M A , ZZ

�u ' n e �u n n n

P= P e� P n

n=n eAZ�n n u=n N M A , Z �u ' n e �u n n n �u L

� �

�� nn

�� Z / A

Z / A


��

--> Harrison & Wheeler (1958), Baym, Pethick & Sutherland (1971) und andere:



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