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Kompakte Objekte in der Astrophysik - Max Planck Society ... --> Pauli-Prinzip, Fermi-Dirac-Statistik: Fermionen können nicht denselben Quantenzustand besetzen--> Hydrostatisches

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Text of Kompakte Objekte in der Astrophysik - Max Planck Society ... --> Pauli-Prinzip,...

  • Kompakte Objekte in der Astrophysik

    � Weisse Zwerge

    � Neutronensterne

    � Schwarze Löcher

    � Beobachtung / Physikalische Prozesse

    � Aufbau: Zustandsgleichung ...

    � Entwicklung: Akkretion / Kühlung ...

    Vorlesung im SS2004 von Christian Fendt

  • Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004

    Kompakte Objekte - Grundlagen

    3. Zustandsgleichung 3a. Definitionen

    -- Zustandsgleichung ==>> verknüpft thermodynamische Zustands- größen : P, T, n, S, u, µ ...

    -- Verschiedene Komponenten: Elektronen, Neutronen, Ionen (Protonen, Metalle) --> Konzentration Y_i = n_i / n --> Druck: P_e, ... --> Masse / Dichte : n_e ...

    -- Chemisches Potential: ~ Energieänderung bei chem. Reaktionen (Teilchenaustausch) wobei

    -- Mittleres molekulares Gewicht:

    --> pro Elektron:

    � i = � u � n i S , V

    � i � i dY i =0

    1 �

    = Y e�� i Y i m u m B

    � e� 2

    1� X H

    3b. Kinetische Gastheorie

    ==>> Dichte im Phasenraum beschreibt System aus Teilchen:

    --> Verteilungsfunktion f --> Volumen der Phasenraumzelle --> statistisches Gewicht g: g = 2S+1 (Masseteilchen) g = 2 (Photonen) ....

    ==> Energiedichte u:

    Ruhemasse m:

    ==> Druck:

    dD d 3 x d 3 p

    =g h�3 f � x , � p , t

    u =� E dD

    d 3 x d 3 p d 3 p

    P = 1 3 �

    p v dD

    d 3 x d 3 p d 3 p

    v = p c 2 / E

    E 2 = p 2 c 2�m 2 c 4

  • Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004

    Kompakte Objekte - Zustandsgleichung

    3c. Entartung

    ==> Ideales Gas im Gleichgewicht:

    (+) Fermionen (Fermi-Dirac-Statistik) (-) Bosonen (Bose-Einstein-Statistik)

    --> kleine Dichten / hohe Temperaturen: --> Maxwell-Verteilung, f(E) für vollständig entartete Fermionen T ~ 0: --> Fermi-Energie: -->

    --> Fermi-Impuls p_F:

    f E = 1

    exp E �� / kT ±1

    f E �exp E ��

    kT

    �=E F f E =1, E �E F f E =0, E �E F

    E F 2 = p F

    2 c 2�m e 2 c 4

    --> relativity parameter : x = p_F / m_e c

    --> Elektronendruck:

    --> Dichte (Ruhemasse):

    ==>> Ideale Zustandsgleichung für entartete Elektronen: P(ρ) durch x

    P e= 1 3

    2 h 3 �0

    p F p 2 c 2

    p 2 c 2�m e 2 c 4 1 / 2

    4� p 2 d 3 p

    = 8�m e

    4 c 5

    3 h 3 �0

    x x 4

    1� x 2 1 / 2 dx

    =1.42180×10 25� x dyne cm� 2

    � x = 1

    8� 2 1� x 2

    2 3

    x 3� x � ln x � 1� x 2

    0=� e m u n e=0.974×10 6 � e x

    3 g cm�3

    x =1.009×10� 2 0 /� e 1 / 3

    � / kT �

  • Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004

    Kompakte Objekte - Zustandsgleichung

    3c. Entartung

    Ideale Zustandsgleichung entarteter Elektronen: --> Grenzfälle: x >> 1, x Entwicklung von Φ (x) --> Darstellung von P(ρ) als Polytrope

    (1) Nichtrelativistische Elektronen: ρ_0 >10^6 g/ccm, x >> 1, Φ (x) =x^4/12π^2

    --> Γ = 4/3,

    P=K � 0 �

    x = p F

    m e c

    K =1.2435×10 15 � e �4 / 3 cgs

    K =1.0036×10 13 � e �5 / 3 cgs

    Ähnlich für andere Teilchen: --> Skalierung mit Masse m_i --> statistisches Gewicht g_i

    z.B. für Neutronen (Neutronenstern...): --> Grenzfälle: x >> 1, x 6 x 10^15 g/ccm, x >> 1

    --> Γ = 4/3,

    K =5.3802×10 9 cgs

    K=1.2293×10 15 cgs

  • Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004

    Kompakte Objekte - Zustandsgleichung

    3c. Entartung

    Entartetes Gas in Sternen: --> wenn Phasenraum der Elektronen klein: --> Pauli-Prinzip, Fermi-Dirac-Statistik: Fermionen können nicht denselben Quantenzustand besetzen --> Hydrostatisches Gleichgewicht (ρ ~ ρ_0):

    --> Virial-Theorem:

    Gravitationsenergie des Sterns:

    für polytropes Gas, totale innere Energie:

    � q e � p e 3 �4 � e

    12 � 7

    3 / 2

    G m e R m u 5 / 6 M 1 / 6

    3

    dP dr

    =� G m r � r

    r 2 m r =�0

    r � 4 � r 2 dr

    W =��0 R G m r

    r � 4� r 2 dr

    W =�3�0 R

    P 4� r 2 dr

    W =�3 � �1 U

    --> Abstand 2er Elektronen im Phasenraum:

    Maxwell-V.: --> T_m ~ M/R mittlere Temperatur --> ρ_m ~ M/R^3 mittlere Dichte (--> krit. ρ: Maxwell-Vert. entartet)

    --> Phasenraumvolumen eines Elektrons:

    --> für M_o und 0.03 R_o: (∆q ∆p) ~ h^3 !! (ähnlich für braune Zwerge, Jupiter)

    U =�0 R

    u ' 4� r 2 dr

    u ' = P / � �1 u ' =u ' �� c 2

    P = �

    � m u kT W =

    3 M � m u

    k T m

    � q e � p e 3 �180 h 3

    M M o

    1 / 2

    R Ro

    3 / 2

    � p e ~ 6m e k T m ~ 12 m e G M M u � / 7 R

    � q e ~ � e m u /� 1 / 3

    ~ 4 � e m u R 3 / M 1 / 3

  • Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004

    Kompakte Objekte - Zustandsgleichung

    3d. Chandrasekhar-Grenzmasse

    Masse-Radius-Relation für entartetes Elektronengas:

    --> polytropes Gasgesetz: Γ = 5/3 , 4/3

    --> löse hydrostatisches Gleichgewicht:

    durch Substitution:

    --> Γ = 5/3, n=3/2, (ξ1=3.65.., ξ1^2(δ')=2.71..)

    1 r 2

    d dr

    r 2

    dP dr

    =�4�G � r

    M =4� R 3 � n / 1� n n�1 K 4�G

    n / n � 1

    �1 3 � n / 1� n

    �1 2 � ' �1

    �=� c � n

    r =a � � =1�1/ n

    a= n�1 K � c

    1 / n � 1

    4�G

    1 / 2

    � � =0 for �� �1

    R=1.12×10 4 km � c

    10 6 g / ccm

    �1 / 6

    � e

    2

    �5 / 6

    M =0.70 M o R

    10 4 km

    �3

    � e

    2

    �5

    --> Γ = 4/3, n = 3, (ξ1=6.89.., ξ1^2(δ')=2.01..)

    R=3.35×10 4 km � c

    10 6 g / ccm

    �1 / 3

    � e

    2

    � 2 /3

    M =1.447 M o � e

    2

    � 2

  • Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004

    Masse-Radius-Relation für entartetes Elektronengas (Hamada & Salpeter 1961:

    M M o

    =0.7 R

    10 4 km

    �3

    � e

    2

    �5

    Kompakte Objekte - Zustandsgleichung

    3d. Chandrasekhar-Grenzmasse

    M M o

    =1.447 � e

    2

    � 2

  • Kompakte Objekte - Zustandsgleichung

    3e. “Landau-Grenzmasse”

    Ableitung der Chandrasekhar-Grenzmasse nach Landau (1932): (auf WD und NS anwendbar)

    --> Annahme N Fermionen, Radius R --> Dichte n ~ N/R^3

    --> Pauli-Prinzip: Volumen pro Fermion ~1/n

    --> Heisenberg'sche Unschärfe-Relation: Impuls pro Fermion ~ n^1/3 h/2π

    --> Fermi-Energie des relativ. Gasteilchens:

    --> Gravitative Energie pro Fermion:

    (Masse: Baryonen, Druck: Elektr./Baryonen)

    -->Stabiles Gleichgewicht bei minimaler totaler Energie:

    --> E>0 (N klein): --> E fällt bei wachs. R --> E_F ~ (p_F)^2 ~1/R^2 fällt --> n.-rel. --> E_G > E_F für wachs. R --> E < 0 mit E->0 für R->\infty --> stabiles GG bei endlichem Radius --> E< 0 (N groß): E fällt, keine Rückkopplung bei fallendem R --> kein GG, Kollaps!

    --> Maximale Anzahl im GG durch E = 0 :

    --> GG Radius:

    E F~ h

    2� n 1 / 3 c~

    h c N 1 /3

    2� R

    E G~� G M m B

    R , M =N m B

    E =E F �E G~ h c N 1 / 3

    2� R �

    G N m B 2

    R ~

    1 R

    N max ~ hc

    2�G m B 2

    3 / 2

    ~2×10 57

    M max ~N max m B~1.5 M o

    R� h

    2�mc hc

    2�Gm B 2

    R~5×10 8 m m e

    cm~3×10 5 m m n

    cm

  • Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004

    Kompakte Objekte - Zustandsgleichung

    3f. Verbesserte WD-Modelle

    Zusätzliche Effekte verändern Chandrasekhar-Modell für weiße Zwerge