View
3
Download
0
Embed Size (px)
Kompakte Objekte in der Astrophysik
� Weisse Zwerge
� Neutronensterne
� Schwarze Löcher
� Beobachtung / Physikalische Prozesse: ART
� Aufbau: Zustandsgleichung ...
� Entwicklung: Akkretion / Kühlung ...
Vorlesung im SS2004 von Christian Fendt
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3d. Chandrasekhar-Grenzmasse
Masse-Radius-Relation für entartetes Elektronengas:
--> polytropes Gasgesetz: Γ = 5/3 , 4/3
--> löse hydrostatisches Gleichgewicht:
durch Substitution:
Γ = 5/3,
1 r 2
d dr
r 2
�
dP dr
=�4�G � r
M =4� R 3 � n / 1� n n�1 K 4�G
n / n � 1
�1 3 � n / 1� n
�1 2 � ' �1
�=� c � n
r =a � � =1�1/ n
a= n�1 K � c
1 /n � 1
4�G
1 / 2
� � =0 for �� �1
R=1.12×10 4 � c
10 6 g
cm 3
� 1 6
� e
2
� 5 6
km
M =0.70 R
10 4 km
�3
� e
2
�5
M o
Γ = 4/3,
R=3.35×10 4
� c
10 6 g
cm 3
� 1 3
� e
2
� 2 3
km
M =1.447 � e
2
� 2
M o
n= 3 2
, �1=3.65.., �1 2 � ' �1 =2.71.. n=3, �1=6.89..., �1
2 � ' �1 =2.01...
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3f. Verbesserte WD-Modelle
Zusätzliche Effekte verändern Chandrasekhar-Modell für weiße Zwerge (z.B. Hamada & Salpeter 1961):
(1) elektrostatische (Coulomb-) Kräfte: --> lokale Ladungsverteilung: --> Elektronen im Coulomb-Potential der Ionen --> Anziehung vermindert Druck
--> Annahme: n_e konstant im Ionengitter: --> Gitterzelle um Ion mit Z Elektronen mit Radius:
--> elektrostatische Energie:
--> zw.Elektronen: --> zw. Ion u. Elektr.:
--> Coulomb-Energie pro Elektron:
--> Coulomb-Druck:
--> Druck durch Coulomb-Kräfte:
r 0� 4� 3
r 0 3 =n N
�1
E ee =� 0
r 0 q dq
r =
3 5
Z 2 e 2
r 0
q =�Z e r / r 0 3
E ei = Z e� 0
r 0 dq r
=� 3 2
Z 2 e 2
r 0
E c Z
= E ee�E ei
Z =�
9 10
e 2 4 3 � n e Z
2
1 3
P c =n e 2 d
dn e
E c Z
=� 3
10 e 2
4 3 � n e
4 Z 2 1 3
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3f. Verbesserte WD-Modelle
Elektrostatischer Druck:
--> vgl. zu Chandrasekhar-Modell
(1) extrem relativistisch:
( α = 1/137 Feinstruktur-Konstante) --> kleiner Effekt, aber wichtig in dichten WD / wenig dichten NS
(2) nicht relativistisch:
--> P = 0 für
--> Beispiel Eisen: --> Abweichung: Elektronengas nicht gleichförmig bei kleinen Dichten, Rand-Effekte --> Ansatz ok für WD und große Planeten
P 0 =� h c 8�
3� 2 n e 4
1 3 P
P 0 =
P 0� P c P 0
=1� 2
5 3
5 3 �
1 3
� Z 2 3
P 0 ~n e
5 3 P
P 0 =1�
4 �m e e 2
h 2 Z 2
2 n e
1 3
n e = Z 2
2�3 a 0 3 , a 0 =
h 2
2�m e e 2 � 0�0.4 Z
2 g / ccm
� 0�250 g / ccm , Laborwert � 0 =7.86 g / ccm
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3f. Verbesserte WD-Modelle
(1) elektrostatische (Coulomb-) Kräfte:
--> besserer Ansatz: Thomas-Fermi-Methode:
--> Dichte:
--> Potential V(r) sphärisch, leicht variabel, Poisson-Gl.:
--> Thomas-Fermi-Gleichung: mit
--> Druck:
--> für kleine ρ (für große ρ s.o.):
P = 8�
15 h 3 m e p F
5 r 0 = Z 2 e 2
10�� 4 � x 0
x 0
5 2
E F =�e V r �
p F 2 r
2 m e =constant
� 2 V r =4� e n e� nukl. Anteil
n e = 8�
3 h 3 p F
3 =
8�
3 h 3 2 m e E F �e V r
3 2
d 2�
dx 2 =
� 3
x E F �e V r =
Z e 2� x r
r =� x , �=a 0 9� 2
128 Z
1 3
P = 2 h 3
1 3 �0
p F p 2
m e 4� p 2 dp
� x ~144 x �3 , x �� : P ~ x 0 �10
~ 0 10 / 3x 0 �� ,
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3f. Verbesserte WD-Modelle
(2) inverser β-Zerfall (Neutronisierung):
--> bei hohen Dichten:
für
Bedingung: kein β-Zerfall: --> erfüllt bei hoher Dichte: --> alle Energieniveaus für e besetzt
--> Mischung aus p, n, e:
--> chem. Potentiale: --> relativity parameter:
Ladungserhaltung -->
--> Zustandsgleichung der (p,n,e)-Mischung:
u.ä. für innere Energie u
--> Kritische Dichte für Neutronen (x_p
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3f. Verbesserte WD-Modelle
(2) inverser β-Zerfall (Neutronisierung):
--> Zunahme Neutronen bei höheren Dichten:
-->
--> Verhältnis n_p/n_n : -- sinkt erst für steigendes x_n -- ist minimal (=0.0026) für -- steigt dann auf 1/8 für
--> Probleme: - Neutrino-Emission - thermodyn. GG (offenes System) - n/p/e aus nukl. Reaktionsraten
m e 2 �m p
2 x p 2 �m p 1� x p
2 =m n 1� x n
2
n p n n
� 1 8
1�4 m n �m p m n x n
2 �4 m n �m p
2 �m e
2
m n 2 x n
4
1�1/ x n 2
3 / 2
� 0=7.8×10 11 g
cm 3
x n �� , � 0 ��
10 7�� 0�4×10 11 g cm�3
4×10 11 g / cm 3
4×10 12 g
cm 3
u=n N M A , Z �u ' n e �u n n n
--> Harrison-Wheeler-Zustandsgleichung: --> für und Baryonenzahl --> Problem: welche Nukleonen?
--> Nuklearbrennen im thermodyn. GG --> stabile (minimale) Energiezustände (z.B. Eisen Fe(56,26) für A=56) --> Neutronenreichere Kerne bei hohen ρ --> kritische n/p-Verhältnis ab --> neutron drip: freie Neutronen (+ Elektronen + Kerne N) definieren niedrigsten Energiezustand --> Druck freier Neutronen ab
--> Energiedichte eines (N,n,e)-Gemischs:
--> M(A,Z) = ??? (Kern-Energie, Massengleichung) --> HW: M(A,Z) semi-empirisch
A=10 57
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3f. Verbesserte WD-Modelle
Harrison & Wheeler, 1958 (HW):
--> Zustandsgleichung P(ρ):
-- neutron drip bei hier: (A,Z) ~ (122, 39.1) -- 60% n-Druck bei hier: (A,Z) ~ (187, 48.8)
--> vgl. zu Eisen (56, 26): (ideales Elektronengas) Abweichungen ab
--> Baym-Pethick-Sutherland, 1971 (BPS):
--> Verbesserungen für
--> A und Z sind diskret ! --> Gitter-Energie ~> nukl. Zusammens. ~> u_e
--> Phasenübergang zwischen Nukleonen --> Diskontinuität in n und ρ = u/c^2:
--> Beispiel: für Fe56 -> Ni62, also Z/A=0.464 -> Z/A=0.452
10 7�� 0�4×10 11 g cm�3
¿
� c 2=u=n e M A , Z
Z �u ' n e �u n n n
P= P e� P n
n=n e A Z �n n u=n N M A , Z �u ' n e �u n n n �u L
� �
� � � n n ��
� Z / A Z / A
3.18×
