Kompakte Objekte in der
Astrophysik
� Weisse Zwerge
� Neutronensterne
� Schwarze Löcher
� Beobachtung / Physikalische Prozesse: ART
� Aufbau: Zustandsgleichung ...
� Entwicklung: Akkretion / Kühlung ...
Vorlesung im SS2004 von
Christian Fendt
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3d. Chandrasekhar-Grenzmasse
Masse-Radius-Relation für entartetes
Elektronengas:
--> polytropes Gasgesetz: Γ = 5/3 , 4/3
--> löse hydrostatisches Gleichgewicht:
durch Substitution:
Γ = 5/3,
1
r 2
d
dr
r 2
�
dP
dr
=�4�G � r
M =4� R 3 � n / 1� n
n�1 K
4�G
n / n � 1
�1
3 � n / 1� n
�1
2
� ' �1
�=� c �
n
r =a �
� =1�1/ n
a=
n�1 K � c
1 /n � 1
4�G
1 / 2
� � =0 for �� �1
R=1.12×10 4
� c
10 6
g
cm 3
�
1
6
� e
2
�
5
6
km
M =0.70
R
10 4 km
�3
� e
2
�5
M o
Γ = 4/3,
R=3.35×10 4
� c
10 6
g
cm 3
�
1
3
� e
2
�
2
3
km
M =1.447
� e
2
� 2
M o
n=
3
2
, �1=3.65.., �1
2
� ' �1 =2.71.. n=3, �1=6.89..., �1
2
� ' �1 =2.01...
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3f. Verbesserte WD-Modelle
Zusätzliche Effekte verändern Chandrasekhar-Modell für weiße Zwerge
(z.B. Hamada & Salpeter 1961):
(1) elektrostatische (Coulomb-) Kräfte: --> lokale Ladungsverteilung:
--> Elektronen im Coulomb-Potential der Ionen --> Anziehung vermindert Druck
--> Annahme: n_e konstant im Ionengitter:
--> Gitterzelle um Ion mit Z Elektronen mit Radius:
--> elektrostatische Energie:
--> zw.Elektronen: --> zw. Ion u. Elektr.:
--> Coulomb-Energie pro Elektron:
--> Coulomb-Druck:
--> Druck durch Coulomb-Kräfte:
r 0�
4�
3
r 0
3
=n N
�1
E ee =�
0
r 0
q dq
r
=
3
5
Z 2 e 2
r 0
q =�Z e r / r 0
3
E ei = Z e�
0
r 0
dq
r
=�
3
2
Z 2 e 2
r 0
E c
Z
=
E ee�E ei
Z
=�
9
10
e 2
4
3
� n e Z
2
1
3
P c =n e
2 d
dn e
E c
Z
=�
3
10
e 2
4
3
� n e
4 Z 2
1
3
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3f. Verbesserte WD-Modelle
Elektrostatischer Druck:
--> vgl. zu Chandrasekhar-Modell
(1) extrem relativistisch:
( α = 1/137 Feinstruktur-Konstante)
--> kleiner Effekt, aber wichtig in dichten WD / wenig dichten NS
(2) nicht relativistisch:
--> P = 0 für
--> Beispiel Eisen:
--> Abweichung: Elektronengas nicht gleichförmig bei kleinen Dichten,
Rand-Effekte
--> Ansatz ok für WD und große Planeten
P 0 =�
h c
8�
3� 2 n e
4
1
3 P
P 0
=
P 0� P c
P 0
=1�
2
5
3
5
3
�
1
3
� Z
2
3
P 0 ~n e
5
3 P
P 0
=1�
4 �m e e
2
h 2
Z 2
2 n e
1
3
n e =
Z 2
2�3 a 0
3 , a 0 =
h 2
2�m e e
2 � 0�0.4 Z
2 g / ccm
� 0�250 g / ccm , Laborwert � 0 =7.86 g / ccm
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Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3f. Verbesserte WD-Modelle
(1) elektrostatische (Coulomb-) Kräfte:
--> besserer Ansatz: Thomas-Fermi-Methode:
--> Dichte:
--> Potential V(r) sphärisch, leicht variabel, Poisson-Gl.:
--> Thomas-Fermi-Gleichung: mit
--> Druck:
--> für kleine ρ (für große ρ s.o.):
P =
8�
15 h 3 m e
p F
5 r 0 =
Z 2 e 2
10�� 4
� x 0
x 0
5
2
E F =�e V r �
p F
2 r
2 m e
=constant
� 2 V r =4� e n e� nukl. Anteil
n e =
8�
3 h 3
p F
3
=
8�
3 h 3
2 m e E F �e V r
3
2
d 2�
dx 2
=
�
3
x
E F �e V r =
Z e 2� x
r
r =� x , �=a 0
9� 2
128 Z
1
3
P =
2
h 3
1
3 �0
p F p 2
m e
4� p 2 dp
� x ~144 x �3 , x �� : P ~ x 0
�10
~ 0
10 / 3x 0 �� ,
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Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3f. Verbesserte WD-Modelle
(2) inverser β-Zerfall (Neutronisierung):
--> bei hohen Dichten:
für
Bedingung: kein β-Zerfall:
--> erfüllt bei hoher Dichte:
--> alle Energieniveaus für e besetzt
--> Mischung aus p, n, e:
--> chem. Potentiale:
--> relativity parameter:
Ladungserhaltung -->
--> Zustandsgleichung der (p,n,e)-Mischung:
u.ä. für innere Energie u
--> Kritische Dichte für Neutronen (x_p
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Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3f. Verbesserte WD-Modelle
(2) inverser β-Zerfall (Neutronisierung):
--> Zunahme Neutronen bei höheren Dichten:
-->
--> Verhältnis n_p/n_n :
-- sinkt erst für steigendes x_n
-- ist minimal (=0.0026) für
-- steigt dann auf 1/8 für
--> Probleme: - Neutrino-Emission
- thermodyn. GG (offenes System)
- n/p/e aus nukl. Reaktionsraten
m e
2
�m p
2 x p
2
�m p 1� x p
2
=m n 1� x n
2
n p
n n
�
1
8
1�4
m n �m p
m n x n
2 �4
m n �m p
2
�m e
2
m n
2 x n
4
1�1/ x n
2
3 / 2
� 0=7.8×10
11 g
cm 3
x n �� , � 0 ��
10 7�� 0�4×10
11 g cm�3
4×10 11 g / cm 3
4×10 12
g
cm 3
u=n N M A , Z �u ' n e �u n n n
--> Harrison-Wheeler-Zustandsgleichung:
--> für
und Baryonenzahl
--> Problem: welche Nukleonen?
--> Nuklearbrennen im thermodyn. GG
--> stabile (minimale) Energiezustände
(z.B. Eisen Fe(56,26) für A=56)
--> Neutronenreichere Kerne bei hohen ρ
--> kritische n/p-Verhältnis ab
--> neutron drip: freie Neutronen
(+ Elektronen + Kerne N) definieren
niedrigsten Energiezustand
--> Druck freier Neutronen ab
--> Energiedichte eines (N,n,e)-Gemischs:
--> M(A,Z) = ???
(Kern-Energie, Massengleichung)
--> HW: M(A,Z) semi-empirisch
A=10 57
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Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3f. Verbesserte WD-Modelle
Harrison & Wheeler, 1958 (HW):
--> Zustandsgleichung P(ρ):
-- neutron drip bei
hier: (A,Z) ~ (122, 39.1)
-- 60% n-Druck bei
hier: (A,Z) ~ (187, 48.8)
--> vgl. zu Eisen (56, 26):
(ideales Elektronengas)
Abweichungen ab
--> Baym-Pethick-Sutherland, 1971 (BPS):
--> Verbesserungen für
--> A und Z sind diskret !
--> Gitter-Energie ~> nukl. Zusammens.
~> u_e
--> Phasenübergang zwischen Nukleonen
--> Diskontinuität in n und ρ = u/c^2:
--> Beispiel:
für Fe56 -> Ni62,
also Z/A=0.464 -> Z/A=0.452
10 7�� 0�4×10
11 g cm�3
¿
� c 2=u=n e
M A , Z
Z
�u ' n e �u n n n
P= P e� P n
n=n e
A
Z
�n n u=n N M A , Z �u ' n e �u n n n �u L
� �
�
�
� n
n
��
� Z / A
Z / A
3.18×
