Kompakte Storungen nichtisolierter Eigenwerte endlicher Vielfachheit

Von H. BAUMGARTEL in Berlin

(Eingegangen am 18.9. 1972)

Sei @ ein separebler HILBERT-Raum und T ein selbstadjungierter Operator in 8. Sei Lo $: 0 ein Eigenwert endlicher Vielfachheit rn < 00

von T mit dem Eigenprojektor Po. Es ist dim Po = m. Der Eigenwert ;lo sei als Punkt des Spektrums o ( T ) von T nichtisoliert, d. h. setzt man

00

T = A. Po + To , To = R P (d A), s-lim P (Ao-6, Ro+6) = 0, -00 6 - + O

so sol1 P(Ro - 6, lo + 6) $: 0 gelten fur alle 6 > 0. Sei V ein selbstadjungierter kompaliter Operator in @, und zwar sei

Vfy,, 1 i r < m ,

V = €3" A , A f y p , B E y n , p-1 + p-1 = r - 1 .

Im folgenden wird die Storung T ( E ) = T + E F' betrachtet. T ( E ) ist eine analytische Storung vom Typ A I), d. h. E kann als komplexer Parameter aufgefal3t werden.

Ohne Beschrankung der Allgemeinheit kann2) -

$j = sp (Pox, P ( d ) x, A 5 Ri, x E Ima V>

gesetzt werden. 8 ist der kleinste HILBERT-Raum, der T reduziert und Ima T' enthdt.

Es werden einige Resultate uber das Verhalten von lo bei der Storung bzw. des Spektrums von T ( E ) fur E =I= 0, I E I klein, in der Umgebung von A, mitgeteilt, wenn gewisse Analytizitiitsbedingungen erfullt sind. Diese Ergebnisse erweitern und vertiefen einige Resultate von J. S. HOWLAND in dieser Richtung. 3)

1) Siehe z. B. T. KATO [l]. 2) d BoREL-Menge. 3) Siehe J. S. HOWLAND [2], [3].

266 Baumgartel, Kompakte Storurtgen nichtisolierter Eigenwerte

Mit P , = 1 - Po setze man

-c€

Es ist @* ( 2 ) E yr fur Iin z < 0. RO(z) = (2 - T 'o ) - l ist eine holomorphe Operatorfunktion (in bezug auf die Operatornorm) fur I m z 0 , d. h. es ist

Dann folgt4)

d. h. @* ( z ) kann als holomorphe Operatorfunktion in bezug auf die h'oriii

Bedingung 1. Die Operatorfzinktioiz @+ - ( z ) besitze eine annlytische Fort- setzung in 11 = ( z : I z - do: 5 a) , a > 0, mit Werteiz nus y, , d. h. @& (2) sei in 11 holomorph in bezzig auf j : . l j r , 7171d es sei @,(z) E y,, z E 11.

aufgefal3t werden.

Man setze

Die Operatorfunktion 1 - E @ , ( z ) ist holomorph') in (2, I ) E 11 x C. Sei ,!? > 0, ,!? K < 1 sowie Q = ( e : 1 E j 5 ,!I). D a m ist 1 - E @i (2) in 11 x Q beschrankt invertierbar und

( 2 ) r i ( z , I E ) = ( 1 - E @&))-I, ( z , &) E 11 x CF,

(3)

ist holoinorph in 11 x CF. Dabei ist r*(z, 0) --= 1, also

r&. E ) = 1 + & I=,,(:, E ) , ( z . E ) E 11 x CF, wobei T * ( z . E ) in U x (j holomorph ist. Man setze

Sei U' = 11 - {&} die punktierte Kreisscheibe. Dann k t 6 )

( 5 ) 6, ( 2 , E ) = det, (1 - E A , (2)) _ _ __ ~

4, Siehe z. B. I. C. GOCHBERG und If. G. KREIX [4], S. 119 und 121. j) Hoioniorphie von Operatorf unktionen sol1 sich, wenn nichts anderes gesagt nird,

6 , Siehe I. C. GOCHBERG und 11. G. KREIX [4], S. 210f. sowie J. S. H O w L - m D [3], stets auf 1 1 . ; I r beziehen.

S. 332.

Baumgartel, Kompakte Storungen nichtisolierter Eigenwerte 267

holomorph in U’ x E. Es ist

(6) S * ( Z , E ) = 6,(Z, Z), ( 2 , E ) E 22’ x 6,

sowie

(7) 6 + ( z , E ) =I= 0, (z , E ) E U’ x E, Im z > 0, E reell,

und wegen (6) auch

(8) 6- ( z , E ) i 0, ( z , E ) E U’ x Q, Im z < 0 , E reell.

Es gilt

Lemma 1. Sei (2 , E ) E U’ x G. Dann gilt 6 , ( z , F ) =+ 0 genau dann, wenn die Operatorfunktion (1 - E A,(z))-I holornorph ist irn Punkt (2 , E ) .

1st z. B. E = 0 und x E U’, so ist 6, ( 2 , 0 ) = 1 += 0, d. h. (1 - E A , ( z ) ) - i ist im Punkte ( z , 0 ) mit z E U’ holomorph. Dann ist auch (1 - &dk(z))-1 - 1 im Punkt (2, 0 ) holomorph, wobei im Punkt ( z , 0 ) der Nulloperator an- genommen wird. Setzt man

so erhalt man: Die Operatorfunktion !P+ (z, E ) ist im Punkt (2, O ) , z E ll’, holomorph. Man hat

(10) !P&(Z, E ) = A ( Z - (T + E V))-I B*, ( z , E ) E U’ x 6, I m z 2 0 , e reell.

I n U x 0. gilt

1 8 1 - E O , ( Z ) = 1 - -- -- - APoB*T*(z, E ) (1 - F @ * ( Z , &))

(11) ( z - 20

bzw.

)-I

e ( l - E d * ( z ) ) - l = r * ( Z , E ) 1 - - - APOB*IT;(Z,&) . ( z - - Io

112)

Setzt man

sup ( 2 . 8 ) E u x G

jl AP,B*r*(z, E ) I ty = L < - -

sowie E = ( E :

B / y < 1/L gelten soll, so erhalt man aus (12) B}, B > 0, U = ( z : y 5 j z - ;lo[ 5 a>, y > 0, wobei

Lemma 2. Die Operatorfunktionen (1 - E d (z*))-I und Y* ( z , e ) sind in x holomorph.

268 Baiimgartel, Konipakte Storungen nichtisolierter Eigenwerte

Die Gesanitheit der Punkte ( z , E ) E U’ x (3, in denen (1 - E d*(x))-l bzw. Y* ( z , F ) nicht holomorph ist, wird die Singzilaritatsflache 6; der er- wahnten Operatorfunktionen in 11’ x (3 genannt. Aus (12) erhalt man

Lemma 3. Der Pzinlit ( z , E ) E 11’ x 0. gehort genau dann, wemi

zur Singularitatsflache Gk

g i l t . Hierbei ist det (1 - C) die gewohnliclie Determinante bei endlich-

dimensionalem Operator C. Xun ist

= ( z - det [ ( ( z - lo) 1 - F PoB*T, (2, E ) APo)/Po@], d. h. es gilt ( z , E ) E G i genau dann, wenn

(14) gilt.

yk ( z , E ) = det [ ( ( 2 - 1,) 1 - E P,B*I‘, ( 2 , E ) APO)/PO$j] = 0

Die Funktion y+ - ( z , F ) ist holomorph in U x Q , und es gilt

y+ ( z , 0) = ( 2 -

Die Bedingung (14) fiihrt dann unter Benutzung des \vEIERSTRASSschen Vorbereitungssatzes;) zu einer lokalen Beschreibung der Singularitatsfliiche in der Umgebung des Punktes (JbO, 0):

Theorem 1. Es gibt e i n Po > 0 derart, clap die P u n k t e von

G; - n {u’ x E0), wo 6, = { E : 5 Po>, beschrieben werden konnen durch m FtLnktionenS) z: ( E ) , . . . , z ; ( E ) , die im Punlit E = 0 algebroid, i 7 ~ (3, - (0) hobomorph s ind zsnd far die gilt

limz:(F) = I. , ,

(11) 2, ( E ) = zQQ ( E ) ,

(111) I m z ; ( E ) 5 0 , E reell.

= 1 , . . . , m ,

9 = 1, . . . , m ,

8 - u (1)

-

7 ) Siehe z. B. B. A. F ~ K S [5] , S. 68. 8 ) Von denen einige zusammenfallen bzw. Zweige ein und derselben analytischen.

Funktion in Qo sein konnen.

Baumglirtel, Kompakte Storungen nichtisolierter Eigenwerte 269

Durch Theorem 1 wird das Problem einer vollstandigen Beschreibung der Natur der Singularitat von !€'* (2, E ) auf G i - wenigstens in der Umgebung von (Ao, 0) - aufgeworfen. Eine solche Beschreibung ist moglich, soll aber hier nicht ausgefuhrt werden. Jedoch sollen folgenae Resultate erwahnt werden :

Lemma 4. Sei (5, E ) E (5;. Dann ist C ein Pol von Y U , ( z , E ) mit endlich-

Dies folgt unmittelbar aus (4) und einem Satz von M. RIBARI~ und

Lemma 5-11) Sei (5) E ) E U' x (3,

dimensionalem Hauptteilg) .

I. VIDAV 10)

reell, E reell. Dawn gilt: (I) 1st (6, E ) E G i , so ist 5 einfacher Pol von !P*(z, E ) .

(11) E ist Eigenwert von T + E V genau dann, wenn (5 , E ) E (5; gilt und es ist dann

dim P, = v (5, y* (2, E ) ) 3

wo P, Eigenprojektor von E in bezug auf T f E V ist und v die Vielfachheit von 5 als Wurxel von y* (2, E ) bexeichnet. (111) 1st C, das (geminsame) Residzwm von !P* (2, E) im Punkt t, so ist

C, = APE B* sowie dim Ima C, = dim P,. Zum SchluB soll eine einfache Bedingung fur V angegeben werden, die zu einerArt ,,Totalaufspaltung" von G i in derumgebung von (10, 0 ) fuhrt und bei der die Natur der Singularittit von !P, ( z , E ) auf G i explizit be- sehrieben werden kann.

Bedingnng 2. Der Operator PoVPo/Po@ besitze genazc m verschiedene

Man betrachte die in U x (3 holomorphe Operatorfunktion und lion Null verschiedene Eigenwerte u l , a 2 , . . ., a,.

APoB*F*(z, E )

als Storung von AP,B*r*(&, 0 ) = AP,B*. Dieser uiigestorte Operator besitz t wegen

det (1 - p-1 APoB*) = det [(1 - p-1 POVP0)/P,Q]

genau die Zahlen ai, . . ., u, als von Null verschiedene Eigenwerte.

9) F ist dabei als Parameter aufzufassen. '0) Siehe M. RIBARI~ und I. VIDAV [6] bzw. J. S. HOWLAND [3], S. 326. 11) Siehe J. S. HOWLAND [2], [3], zu (11) insbesondere [3].

270 Baumgartel, Kompakte Storungen nichtisolierter Eigenwerte

sei der zu ctQ gehorende Eigenprojektor 12) bezuglich LIP$*. Es ist

Die Storung AP,B*T’, ( 2 , E ) besitzt d a m 13) in einer geeigneten Um- gebung 14) 11 x E, genau 7 1 ~ verschiedene und von Null verschiedene holomorphe (gestorte) Eigenwerte pf ( z , E ) , p$ ( 2 , E ) , . . . , p$(z, E ) ,

det (1 - p:(z, &)-I dPoB”ri(s, E ) ) = 0, ( 2 , E ) E 111 x El. Wegen T - ( z , & 0) = 1, z E 11, ergibt sich

so da13

p p ( z , O ) = E Q , + p = 1 , . . . , m, Z E U i ,

p:(z, E ) = M, + E $ ( z , E ) , ( 2 , E ) f 121 x El, Q = 1,. . ., WL, (15)

rnit einer in It x Q1 holoinorphen Funktion fi: ( z , E ) gesetzt werden kann. Sei 11; = U i - Xach Lemma. 3 gehort ein Punkt ( z , E ) E tr; x El zu r r l genau dann, wenn fur einen Index 0 , 1 5 e 5 m, die Gleichung

(16)

bzw. (17) 2 = 1.0 + Re E + E L @: (2, E )

erfullt ist. Die Gleichung (17) hat in l t l x El bei hinreichend kleinem j e [ genau eine einfache Wurzel 2,’ ( E ) , die in einer geeigneten Umgebung E2 = { E : I E ~ 5 p.1, PL > 0, holoniorph 1st. Dabei ist

(18) ~ $ ( E ) = ~ . ~ + M ~ E + o ( E J ) , 8 - 0 , Q = 1 , . . . , m .

Man setze

(19)

wobei a: (&) in Q, holomorph ist. Nit QF (2, E ) , . . . , Q$) ( 2 , E ) werden die Eigenprojektoren der Eigenwerte

p; (2, E ) , . . . , p; (2, E ) in bezug auf die Storung APoB*I‘, (2, E ) bezeichnek. Sie sind wie die Eigenwerte pf ( z , E ) in l t l x Q1 holomorph. Man hat 15) fur (2, E ) in der Umgebung von (lo, 0)

z:(&) : i.O + E i $ ( ~ ) , i : ( ~ ) = a e , g = I, . . ., m,

@ = 1,. . . , m .

“l) r > 0 sei hinreichend klein, I hi - ue 1 = r positiv orientiert.

‘ 4 ) Siehe z. B. T. KATO [l], S. 117. l s ) r > 0 hinreichend klein, j p - ae I = r positiv orientiert.

‘3) 111 = { z : j 2 - 1 _I a*>, a, > 0, Qi = {&: I & I _I p,}, p, > 0.

Baumgartel, Kompakte Stiirungen nichtisolierter Eigenwerte 271

Es ist Q," ( z , 0 ) = Qe, z E U1, und dim Qf ( 2 , E ) = dim Qe, ( z , E ) E U,X (3,. Die Resolvente ( p - APoB*F, ( 2 , &))-I ist bei f9stem ( z , E ) E U,X Q, eine rationale Operatorfunktion in bezug auf p. Sie ist in jedem Punkt (p, z , E )

mit (2, E ) E Uix EI und ,u E Q (AP,B*T* ( z , E ) ) holomorph. Setzt man ,,"

Qf(z , e ) = 1 - Qf(z, E ) , so erhiilt man @ = I

bzw.

Die Darstellung (22) behiilt auch noch fur p = 0 und p = 00 ihren Sinn. Nit Hilfe von (22) kann die Natur der SingularitBt von U, ( z , E ) auf

G; n (u, x E d

explizit bestimmt werden. Zuniichst erh&lt man fur ( z , E ) € U l x El - { ( A o , 0)} unmittelbar aus ( 2 2 )

Weiter gilt in U I x (52 - {(&, 0))

+ Pe (27 E ) 3

wobei pe(z , E ) in U1 x E2 holomorph ist. Aul3erdem gilt pe( z , 0) = 1 fiir x E U1, so da13

( 2 5 ) p ~ ( ~ > 8 ) = ' + E p p ( Z , E ) ? ( z , E ) E u1 x 6.27 @ = 1> * . - 7 m ,

mit einer in U1 x e2 holomorphen Funktion $je(z, E ) gesetzt werden kann. Setzt man noch

272 Baumglirtel, Kompakte Storungen nirhtisolierter Eigenwerte

so erlialt inaii aus (23): (24) und (25) unter Berucksichtigung von (3) und (19) die Bezieliung

und schliel3lich

?Id

wobei K ( z , F ) = Tk(z, F ) + Trt(z, E )

niorph ist.

Q:(z, E ) $ ~ ( X , E ) in U1 x E2 holo- e - 1

Setzt inan schliel3licli noch

H ( 2 . F ) = K(2. F ) +- 2 yef ( F ) Lf ( 2 . F ) , e-I

so erlialt inan

(2. F ) E 111 x 62. wobei H ( z , E ) in 1I1 x E1 holomorph ist. (29) setzt die Natur von P,(z, E )

in den Punkten ( z . F ) E U l x E1 der Singularitatsflache G i in Evidenz. Fur e = 0, z A lbo erhblt man wegen z: (0) = I., und

7th 12L c Y: (0) T* 0-0- 0) Q$ ( l . o , O ) = 2 a, Qe = AP$* o = l e = l

sofort die Darstellung (4) fur O * ( Z ) . Daniit hat man

Theorem 2. 1st die Bedingung 2 erfullt. so besitzt die Operatorfunktion Ul, ( z , E ) in l t l x E7 die Dnrstellicng (29), ruobei H ( z , F ) in U i x E2 hob- rnorph ist.

Es solleii Folgerungen iiotiert werden. (I) Sei E E E2 - (O}, E werde als Parameter aufgefapt. Dann ist z = A0

Holornorphiepzcnkt fiir Yk (2, E ) , u n d es ist

q J - 0 , &) = &-I (T*(AO, &)&$(A,, E ) - 1).

Baumgartel, Kompakte Storungen nichtisolierter Eigenwerte 253

(11) Sei E E (E2 - (0}, E werde als Parameter aufgefapt. Gehort der P u n k t = ze+ ( E ) fur einen Index e , I 5 Q 5 m, ([, F ) € Ui x E, zu G i , d. h. ist

so ist C einfacher Pol von Y* ( x , E ) mi t dem Residuum

(30) c: ( E l = Y: ( 8 ) r* (5, E ) &$ (t, E ) .

c,f (0) = ae &@. Die Operatorfunktion G:(E) ist in Q, holornorph, wad es gilt

I m Hinblick auf die snfangs aufgeworfene Frage nach dem Verhalten des in einer Umgebung eines instabilen

Theorem 3. Sei E E E2 - {0}, E reel1 und die Bedingung 2 erfullt sowie An

Spektrums @(T + E V ) fur reelles ungestorten Eigenwertes ilo kann folgendes Ergebnis notiert werden.

instabil, d . h.

Imz,+(&) < 0, e = I,. . . ,m, E =+ 0.

Xetzt man

wobei de(&) > 0 far E =+= 0, lim ae(&) = 0 sowie E - 0

lim S,(~)iIni z; ( F ) = + 00 E - O

gelten soll, so erhalt man

(31) I/ AY,(d , ) B" - APoB" + 0, E - 0,

(32) p, ( A , ) 7 Po.

wobei P,(Z) die Spektralschar von T + e V bexeichnet, sowie

Literatiir

[I] T. KATO, Perturbation Theory for Linear Operators, Berlin-Heidelberg-New Pork 1966.

[2] J. S. HOWLAND, Embedded eigenvalues and virtual poles, Pac. J. Math. 29, 565-582 (1969).

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[5] B. A. FUKS, Einfiihrung in die Theorie analytiseher Funktionen mehrerer komplexer Variabler, Moskau 1962 (russ.).

[6] M. R I B A R I ~ und I. VIDAV, Analytic5 properties of the inverse A(z ) -1 of an analytic linear operator valued function A ( z ) . Arch. Rat. Mech. Anal. 32, 298-310 (1969). Math. Nadir. 1974, Bd. 59 , 11. 1-6 18