Acra :klathematica Academiae Scientiarum tIungaricae Tomus 28 (1---2), (1976), 51--54.

KOMPAKTE SUMMIERBARKEIT VON POTENZREIHEN IM EINHEITSKREIS

V o l l

W. LUH (Giegen)

1. Einleitung

Es sei A=(Gk) eine unendliche Matrix mit komplexen Koeffizienten. Eine

Folge {s,} heigt A-limitierbar zum Wert s, wenn jede der Reihen ~ = ~ ' e,,k Sk k = 0

(n =0, 1 . . . . ) konvergiert und auBerdem A-Iirn s, = lin~ a , ,=s ist. Das durch A defini-

erte Limitierungsverfahren heil3t permanent, wenn f~r jede Folge {s,,} mit lira s, = s

auch A-!ifn s , = s gilt. Nach dem Satz yon Toeplitz (siehe etwa [6], S. 11) ist A genau

dann permanent, wenn folgende drei Eigenschaften erffillt sind:

(1) lira ~nk -7- O, k = O, I . . . . ;

(2) Iim ~ % k = 1;

(3) es gibt eine Konstante C mit ~ [~,kl ~ C. k = 0

In mehreren neueren Arbeiten ist untersucht worden, unter welchen notwendigen

und hinreichenden Bedingungen fiber A alle FoIgen {ak}, ftir welche die Reihe Z ak Z k k=O

den Konvergenzradius 1 hat, A-limitierbar sind. Man beachte hierzu die Arbeiten von HAPLANOV [2], TON~,~E [7], [8] sowie KOTnE--TO~PLITZ [4], GANA~ATn'Z IYER [1]. Die Beweismethoden hierbei sind meist rein iimitierungstheoretischer Art (Methode des gleitenden Buckels usw.).

Wir interessieren uns bier ffir ein weitergehendes Problem; unser Ziel ist die Gewinnung notwendiger und hinreichender Kriter~en ffir A, damit f~r alle Potenz-

reihenf(z) = ~ a~z k vom Konvergenzradius 1 d~e A-Transformierte k = 0

k

a , ( z ) : ~ ~,,ks~(z) mit Sk(Z) : X a j z j k = o j = o

im Einheitskreis kompakt gegen f ( z ) konvergiert (eine Folge yon Funktionen heigt kompakt konvergent in einem Gebiet, wenn sie in jedem kompakten Teil gleichmggig konvergier 0. Es ist zu erwarten, dab wir schw~ichere als die Toeplitzschen Bedingungen erhalten werden. Wir zeigen:

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SATZ. Die Folge {a,(z)} konvergiert fiir alle Potenzreihen f ( z ) = Z ajz j vom j = 0

Konvergenzradius 1 in [z I < 1 kompakt gegen f (z) genau dann, wenn A die Eigenschaften (1), (2) erfiilh und auflerdem

(4) zu jedem rC(O, 1) gibt es eine Konstante C(r) mit Icr rk ~ C(r), k = 0, 1 . . . . ; n = 0 , 1, ... .

Es ist klar, dab die Bedingung (4) sicher dann eft/Jilt ist, wenn (3) gilt, aber nicht umgekehrt. Zur kompakten Summierung yon Potenzreihen im Einheitskreis k6nnen also auch gewisse nicht permanente Verfahren herangezogen werden.

Unser Satz ist eine direkte Konsequenz aus zwei Hilfssiitzen, welche mit rein funktionentheoretischen Mitteln bewiesen werden.

2. Beweis des Satzes

Wir betrachten zun/ichst die Folge {z ~} und er6rtern die Frage, unter welchen

notwendigen und hinreichenden Bedingungen die A-Transformierte z ,(z)= ~ e.k zk im Einheitskreis kompakt gegen Null konvergiert, k=0

HILFSSATZ 1. Die Folge {%(z)} konvergiert in tzl < 1 kompakt gegen Null genau dann, wenn A die Eigenschaften (1) und (4) erfiillt.

BEWEIS. 1) Wir zeigen, dab (1) und (4) hinreichend sind. Zu einem kompakten Teil B des Einheitskreises gibt es ein qE(0, 1) so, dab Izl < q ffir alte z~B. Wir w~ihlen ein rC(q, 1) und erhalten:

Iz l <= rk <= C(r).

so dab ffir jedes n die Reihe %(z) in B absolut und gleichm/i$ig konvergiert.

Zu gegebenem e>O w/ihlen wir ein N so, dab C(r) . ~ r <e. Es ergibt k = N

sich dann:

maxlv,(z)l <_- X I~,klq k+ ~ I~,kl rk < • I~,kl+e. B k=O k = N k=O

Wegen (1) folgt die Behauptung. 2) Wir nehmen an, dab z,(z) ffir jedes n existiert und in /z[< 1 kompakt gegen

Null konvergiert. Da dann bei festem n die Potenzreihe %(z) auf kompakten Teilen yon ]zl < 1 gleichm~iBig konvergiert, ergibt sich ffir die m-te Ableitung:

z~,m)(z) = m! . ~,k m = O, 1 . . . . . k = m ~m)

Fiir n ~ ~ konvergiert "c, ~m) (z) im Einheitskreis kompakt gegen Null, und es folgt ffir Z = 0 :

m!. lim c%, = lira z,(m~(0) = 0.

Also ist die Bedingung (1) notwendig.

A c t a M a t h e m a t i c a A c a d e m i a e S c ~ e n t i a r u m H u n g a r ~ c a e 28, 1_976

K O M P A K T E S U M M I E R B A R K E I T V O N P O T E N Z R E I H E N 53

F/jr jedes rE(0, 1) und k = 0 , 1 . . . . erhalten wir:

r~.~! = @ i " f ~.(z) dz 1 ,~,{~ zk+--- i- <- ~ . m a x ]%(z)[.

Daraus folgt (4). Als n~ichstes untersuchen wir die A-Transformierten o-, (z) yon Potenzreihen mit

dem Konvergenzradius 1.

HILFSSATZ 2. Die Folge {a, (z)} konvergiert fiir alle Potenzreihen f ( z ) = ~ a s z k k=O

yore Konvergenzradius 1 in Izl< 1 kompakt gegen f ( z ) genau dann, wenn {%(z)} in ]z]<l kompakt gegen Null konvergiert und A die Eigenschaft (2) erfiillt.

BEwvIs. 1) Wit zeigen, dab die Bedingungen hinreichend sind. Es sei wieder B ein kompakter Tell des Einheitskreises und q~(0, 1) so, dab lzl<q ftir alle z~B.

Bei festem n ist die Reihe ~ IC~,k[q k offenbar konvergent. F/jr die Reihenreste k = 0

rk(z)=Sk(Z)--f(z) gilt mit einer geeigneten Konstanten M die Absch/itzung max Irk(z)[~Mq k ffir alle k. Hieraus folgt (bei festem n) die absolute und gleich-

B

m/iBige Konvergenz der Reihe ~,(z)= ~ C%krk(z) in B. Mit (2) ergibt sich dann k = 0

(5) o,,(z) + f ( z ) Z ~,k = ~,(z), k=O

so dab ffir festes n und z~B die Reihe o-,,(z) konvergiert. Mit Hilfe der Cauchyschen IntegraIformel erhalten wir f/jr alle zCB:

z 1 Wegen [--~ ~ - - . max ]z] < 1 konvergiert {~o,,(z)} auf B glechm/igig gegen Null. Aus t ~ l - q " (5) folgt wegen (2), dab {a, (z)} auf B gleichm/iNg gegenf(z) konvergiert.

2) Wir nehmen an, dab {o-, (z)} ffir alle Potenzreihenf(z) yore Konvergenzradius 1 existiert und in [zl-< 1 kompakt gegen f ( z ) konvergiert. F/Jr die geometrische Reihe

z k haben wir dann k = 0

~"~ l - z i - - z J ' a n ( z )

k = 0

Aus ~in~ o-, (0) = 1 folgt (2), und wit erhalten

I ~.~ - ~ . ( z ) . ~.(z) 1 - z k=0 1 - z

Hieraus ergibt sich die Existenz yon z,(z) in 0<lz t<: l und damit auch in Iz[<l. AuBerdem folgt die Kompakte Konvergenz yon {%,(z)} in ]z[< 1 gegen Null. Damit ist Hilfssatz 2 bewiesen.

Aus Hilfssatz 1 und Hilfssatz 2 ergibt sich sofort unser Satz.

A c t a Ma~hemat ica A c a d e m i a e S c i e n t i a r u m Hungar icae 28, !976

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Literatnrverzeichnis

[1] V. GANAPATt-IY [YER, On the spaces of integral functions, Proc. Amer. Math. Soc., 3 (1952), 874--883.

[2] M. G. HAPLANOV, Linear transformations of analytic spaces, Amer. Math. Soc. Transl., (2) 13 (1960), 177--183.

[3] G. H. HAV, OY, Divergent series (Oxford, 1963). [4] G. K6THE, O. TO~VLITZ, Lineare R~ume mit unendlich vielen Koordinaten und Ringe unendli-

cher Matrizen, Journal fiir die reine und angewandte Mathematik, 171 (1934), 193--226. [5] G. M. PETERSEN, Regular matrix transformations (London, 1966). [6] A. PZYERIMHOFF, Lectures ~ on summability (Berlin, Heidelberg, New York, 1969). [7] P. C. TONN~, Matrix transformations on the power-series convergent on the unit disc, J. London

Math. Soc., (2) 4 (1972), 667--670. [8] P. C. TONNE, Matrix representations for linear transformations on series analytic in the unit

disc., Pacific J. Math., 64 (1973), 385--392. [9] O. TOEVLITZ, Uber allgemeine lineare Mittelbildungen, Praee Matematyezno-fizyezne, 22

(1911), 113--119. [10] K. ZELLER, W. BEEKMANN, Theorie der Limitierungsverfahren (Berlin, Heidelberg, New York,

1970).

(Eingegangen am 9. April 1974. )

MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSIT)kT D 63 GIEBEN IHERINGSTRA3E 6 BUNDESREPUBLIK DEUTSCHLAND

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