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Kompetenzorientierter Unterricht Kompetenzorientierte Aufgaben Kompetenzbereich Modellieren Dr. M.Gercken – 2009 1

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Kompetenzorientierter Unterricht

Kompetenzorientierte AufgabenKompetenzbereich Modellieren

Dr. M.Gercken – 2009

1

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Modellieren

2Kompetenzorientierter Mathematikunterricht

Mathematik vs. Umwelt

Probleme & Situationenmathematisch

„greifbar“ geeignetes Modell:

- haucht Mathematik Leben ein - wirkungsvolles Hilfsmittel - mächtiges Werkzeug

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Bildungsstandards

3Kompetenzorientierter Mathematikunterricht

Spiralcurricularität

größere Anzahl, höhere Komplexität lösbarer Probleme nach geeigneter Modellbildung

keine Beschränkung auf Naturwissenschaften: soziale & ökonomische Bereiche

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Modellieren 1994 (Sek I)

Erziehungs- und Bildungsauftrag „… Mathematik befähigt sie […] Modelle

der Wirklichkeit zu erstellen und entsprechende Problemlösungen zu erarbeiten. ...“

„ ... in vielen Bereichen menschlichen Denkens ist das Arbeiten mit mathematischen Modellen der Wirklichkeit unverzichtbar. […] Der Unterricht muß den Schülerinnen und Schülern ein echtes Erlebnis von Mathematik, von ihrer Tragweite und von ihrem Beziehungsreichtum vermitteln.“

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Modellieren 1994 (Sek II)

weg von „Mathematik als Produkt: Im vorgegebenen Modell arbeiten“ hin zu „Mathematik als Prozess: Realität modellieren“

LPE 4, Mathematik in der Praxis […]: „Insbesondere werden sie sich der einzelnen Schritte des Modellierens bewusst: Problembeschreibung, mathematische Modellierung, Durchführung der Modellrechnung, Interpretation, Modellkritik.“

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Modellieren 1994 (Sek II)

Fächer verbindendes Thema 4: Modellbildung „Modellieren: Analyse des gestellten Problems,

Diskussion der notwendigen Idealisierungen, Aufstellung der passenden Größengleichungen, Anpassung der Randbedingungen, Modell-Rechnung, Ergebnisanalyse, Überprüfung der Modellvorstellungen durch Experimente, Diskussion der Grenzen der Modellvorstellungen und deren Beziehung zur Wirklichkeit, Bestätigung, Erweiterung oder Scheitern des Ansatzes“

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Modellieren 2004

Stufenspezifische Hinweise (Klasse 10) Durch die Hinzunahme von Fragestellungen aus

anderen Fachgebieten werden die Problemlösefähigkeiten erweitert und eine horizontale Vernetzung auch über Fachgrenzen hinaus erzielt. In diesem Zusammenhang gewinnt die Methode der Modellbildung besondere Bedeutung.

Die zunehmende mathematische Kompetenz der Schülerinnen und Schüler gestattet die Bearbeitung komplexerer, realitätsnaher Fragestellungen unter der Leitidee „Modellierung“.

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Modellieren 2004

Stufenspezifische Hinweise (Klasse 12)

Die Leitidee „Modellierung“ verbindet auch unterschiedliche Teilgebiete der Mathematik und fördert so die Flexibilität des Denkens.

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Modellieren 2004

Klasse 6 - LEITIDEE „MODELLIEREN“ mithilfe geometrischer Modelle Situationen

darstellen und Probleme lösen; Zahlen und Zahlverknüpfungen zur adäquaten

Beschreibung und Untersuchung von Aufgaben in Mathematik und Umwelt einsetzen;

den Dreisatz bei Aufgaben des „bürgerlichen Rechnens“ anwenden;

Ergebnisse sinnvoll runden; durch Schätzen auf Brauchbarkeit überprüfen.

Inhalte Dreisatz; maßstäbliche Darstellungen

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Modellieren 2004 Klasse 8 - LEITIDEE „MODELLIEREN“ inner- und außermathematische Sachverhalte

mithilfe von Tabellen, Termen oder Graphen beschreiben und umgekehrt Tabellen, Terme und Graphen in Bezug auf einen Sachverhalt interpretieren;

mit Prozentangaben in vielfältigen und auch komplexen Situationen sicher umgehen;

ein Zufallsexperiment durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreiben.

Inhalte Interpretation von Graphen und einfachen

Termen, Aufstellen von Termen Prozentrechnung

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Modellieren 2004

Klasse 10 - LEITIDEE „MODELLIEREN“ einen Sachverhalt auf angemessene Weise

mathematisch beschreiben. Eine zugehörige Problemstellung in dem gewählten mathematischen Modell lösen sowie die Ergebnisse auf die Ausgangssituation übertragen, interpretieren und ihre Gültigkeit prüfen;

Inhalte Proportionalität; lineares, natürliches,

beschränktes Wachstum Simulation dynamischer Vorgänge;

Momentanänderung von Größen

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Modellieren 2004

Kursstufe - LEITIDEE „MODELLIEREN“ inner- und außermathematische Sachverhalte

und ihre Veränderungen auch in komplexeren Zusammenhängen mathematisch modellieren.

Inhalte Wahl geeigneter Grundobjekte (zum Beispiel

Koordinatensystem, Variable); Funktionsanpassung

Differenzialgleichung für natürliches und beschränktes Wachstum, Wachstums- und Zerfallsprozesse(auch logistisches Wachstum)

Anwendungen linearer Gleichungssysteme

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Bildungsstandards

13Kompetenzorientierter Mathematikunterricht

© Cornelsen Verlag Scriptor: Mathematikaufgaben selbst entwickeln

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Teilschritte des Modellieren

14Kompetenzorientierter Mathematikunterricht

„Mathematisieren“ und „Interpretieren“

Strukturieren Mathematisieren Mathematisches Arbeiten Interpretieren Validieren

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Strukturierung

15Kompetenzorientierter Mathematikunterricht

Strukturierung

Übergang von Realsituation zu Realmodell:- Vereinfachung- Idealisierung - Auswahl relevanter Informationen

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Mathematisierung

16Kompetenzorientierter Mathematikunterricht

Mathematisierung Schritt von realer Welt in mathematische

WeltErstellung eines mathematisches Modellsaus Alltags- wird mathematische Sprache:- Aufstellen eines Terms - informative Figur- Schaubild etc.

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Mathematisches Arbeiten

17Kompetenzorientierter Mathematikunterricht

Mathematisches Arbeiten

KMK-Standards : mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

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Interpretation

18Kompetenzorientierter Mathematikunterricht

Mathematische Lösung: Rückübersetzung

Schritt zurück in die reale Welt: Interpretation

Interpretation von Größen und Parametern (und ihren als Lösung gefundenen Werten)

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Validierung

19Kompetenzorientierter Mathematikunterricht

zurück zum Anfangspunkt (reales Problem)

Validierung der Ergebnisse

Überprüfung der Bedeutung, der Gültigkeit, der Genauigkeit des Ergebnisses

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Kompetenz

20Kompetenzorientierter Mathematikunterricht

Modellierungskreislauf als Helix erreichte Modellierungskompetenz als Ganghöhe

Hinterfragen … der Eignung

der ÜbertragungsmöglichkeitReflexion, Bewertung

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Beispiel

21Kompetenzorientierter Mathematikunterricht

Aufgabe: Monikas Vater hat fünf Töchter: Lulu, Lala, Lele und Lolo. Wie heißt die fünfte Tochter?

Strukturierung bei der Modellbildung (von der Realsituation zum Realmodell)

Aufgabe überbestimmt

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Beispiel

22Kompetenzorientierter Mathematikunterricht

Aufgabe: Am Hausmeisterkiosk werden in der großen Pause belegte Brötchen, Obst und Getränke verkauft. Wie groß muss der Vorrat an einem Schultag wohl sein?

unterbestimmte Aufgabe vielfältige Möglichkeiten zur

Strukturierung

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Beispiel

23Kompetenzorientierter Mathematikunterricht

Aufgabe: Rekordnagel.

Der Nagel ist etwa 7 m lang und hat einen Durchmesser von etwa 22 cm. Der zum Aufstellen des Nagels zur Verfügung stehende Entladekran des LKW kann maximal eine Masse von 1,5 t heben. (Hinweis: 1 cm³ Stahl wiegt 7,85 g.) Kann man den Nagel mit diesem LKW aufstellen?

(© Cornelsen Verlag Scriptor: Bildungsstandards Mathematik: konkret)

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Beispiel

24Kompetenzorientierter Mathematikunterricht

Mathematisierung/ModellbildungNagel als Zylinder

Mathematische Arbeiten auch in diesem einfachen Fall:

Interpretation

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Beispiel

25Kompetenzorientierter Mathematikunterricht

Aufgabe: Jemand behauptet „Sindelfingen ist von Weil der Stadt 27 km entfernt“. Nimm zu dieser Aussage Stellung.

© 2007 Cornelsen Verlag Scriptor – Mathematisches Modellieren

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Beispiel

26Kompetenzorientierter Mathematikunterricht

Validierung kritische Reflexion Realitätsgehalt? Routenplaner/Karten! Widerspruch trotz eines vollständigen

Durchlaufs einer Modellierung

© 2007 Cornelsen Verlag Scriptor – Mathematisches Modellieren

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Spiralcurricularität

27Kompetenzorientierter Mathematikunterricht

Standards 10 „einen Sachverhalt auf angemessene

Weise mathematisch beschreiben, eine zugehörige Problemstellung in dem gewählten mathematischen Modell lösen sowie die Ergebnisse auf die Ausgangssituation übertragen, interpretieren und ihre Gültigkeit prüfen“

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Spiralcurricularität

28Kompetenzorientierter Mathematikunterricht

Standards Kursstufe „inner- und außermathematische

Sachverhalte […] auch in komplexen Zusammenhängen mathematisch modellieren.“

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Das Rad neu erfinden?

29Kompetenzorientierter Mathematikunterricht

IQB-Implementationsaufgaben für Mathematik Sek I (aus "Bildungsstandards Mathematik: Konkret - Aufgabenbeispiele, Unterrichtsanregungen, Fortbildungsideen“, Cornelsen Scriptor (2006) unter

iqb.hu-berlin.de/bista/aufbsp/masek1.com Schriftenreihe der Istron-Gruppe:

„Materialien für einen realitätsbezogenen Unterricht“ (ISTRON 1993-2004)

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Das Rad neu erfinden?

30Kompetenzorientierter Mathematikunterricht

Materialien des BLK-Programms SINUS-Transfer unter www.sinus-transfer.de

Büchter, Leuders: „Mathematikaufgaben selbst entwickeln“, Cornelsen Scriptor (2005)

Maaß: „Mathematisches Modellieren“, Cornelsen Scriptor (2007)

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Das Rad neu erfinden?

31Kompetenzorientierter Mathematikunterricht

Materialien des Mathematik-Unterrichts-Einheiten-Datei e.V. unter www.mued.de

Mathematik lehren 113/2002 – Themenheft „Modellieren“

Praxis Mathematikunterricht 3/2005 – Themenheft „Modellieren“

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Blick über den Leitideerand

32Kompetenzorientierter Mathematikunterricht

verschiedene Rahmenlehr- und Bildungspläne:

Modellieren …… als Leitidee… als allgemeine mathematische

Kompetenz

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sprachliche Haarspaltereien?

33Kompetenzorientierter Mathematikunterricht

„Modellieren“ und „Problemlösen“ Problemlösen in außermath. Situationenkurz: Modellierenlang: Problemlösen im weiteren Sinne Problemlösen in innermath. Situationenentweder: innermathematisches Modellierenoder: Modellieren im weiteren Sinne oder: Problemlösen im engeren Sinne

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Problemlösen und Modellieren

34Kompetenzorientierter Mathematikunterricht

auch im Problemlösen: Validierung

vgl. Bildungsstandards, überfachlicher Kompetenzbereich „Problemlösen“:

„das eigene Denken beim Problemlösen kontrollieren, reflektieren und bewerten und so neues Wissen aufbauen“